第四节 一阶线性微分方程
合集下载
第四节、一阶线性方程
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx 当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
1)
1
1
Ce 2 1 C (e 2 1), C 1, f ( x)
1 x
e
x2 2
.
例5 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
第四节 一阶线性微分方程
形如
y' p( x) y q ( x)
的微分方程称为一阶线性微分方程
（1）
如果 q ( x ) 0 , 则 y' p(x) y 0
（2）
称为一阶线性齐次方程。 认识线性微分方程P320
如果 q ( x) 0 则称 ( 1) 为一阶线性非齐次方程
（1）一阶线性齐次微分方程的通解
dx
两端除以 yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解为
z e (1n)P( x)dx ( Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
1 y4
x
e ln
y
第3,4节 齐次方程, 一阶线性微分方程
y
2(1ex ), 2(e 1) ex ,
0
x
x 1 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
方程，
其中
P(
y)
1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
x
e
12 y2
y dy
C
e
12 y2
y
dy
dy
1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
即所求通解为
1
x y2(1 Ce y ).
两边积分，得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以，方程的通解公式为
y Ce P( x)dx .
例 3 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
P( x)dx sin xdx cos x,
u
2
(x
3
1) 2
C
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 解微分方程y y tan y .
一阶线性微分方程
dx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程
1 1 = [ ∫ sin xd x + C ] = [C − cos x] x x
7
例3： 求微分方程 ( x − sin y )d y + tan yd x = 0
6 解： 上式不是一阶线性方程的形式， 若将 x 看成 y 的 dx 函数，方程可写为： + cot y ⋅ x = cos y dy 此方程为一阶线性微分方程。 用通解公式有：
即
f ′( t ) − 8π tf ( t ) = 8π te
8π ∫ tdt
4πt 2
4π t 2 −8π ∫ tdt
从而求得通解 f (t ) = e
(8π ∫ te
e
dt + c)
13
=e
4πt 2
( 4π t + c )
2
又 f (0 ) = 1 + 0 故
4πt 2
c=1
所以
f (t ) = e
代入原方程整理得：
′ + x 3 = 2 cos y 3x x
2
dz + z = 2cos y, dy
z = e −∫ d y [2 ∫ cos ye ∫ d y d y + c]
18
原方程的通解： x 3 = sin y + cos y + ce − y
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy′ + 2 xy = xe
z = y1− n , 令
化为线性方程求解. ( n −1) ∫ P ( x ) d x (1− n ) ∫ P ( x ) d x 1− n y =e dx + C ] [ (1 − n) ∫ Q( x) e 21
第四节一阶线性微分方程
第四节 一阶线性微分方程教学目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法教学重点：一阶线性微分方程的形式、及解的形式，利用变量代换解微分方程 教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程教学内容：一、一阶线性微分方程1．定义 方程)()(x Q y x P dx dy=+ （1）称为一阶线性微分方程。
特点 关于未知函数y 及其导数'y 是一次的。
若0)(≡x Q ，称（1）为齐次的；若0)(≠x Q ，称（1）为非齐次的。
如：（1）222x xe xy y -=+' （2）25)1(12+=+-'x x yy2．解法当0)(≡x Q 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。
当0)(≠x Q 时，为求其解首先把)(x Q 换为0，即0)(=+y x P dx dy（2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解⎰=-dx x P Ce y )(为求（1）的解，利用常数变易法，用)(x u 代替C ，即⎰=-dx x P e x u y )()(于是，)]([')()(x P ue e u dx dydx x P dx x P -⎰+⎰=--代入（1），得C dx e x Q u dx x P +⎰=⎰)()(故 ))(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。
（3） 例1 求方程25)1(12+=+-'x x y y （4） 的通解.解 这是一个非齐次线性方程。
先求对应的齐次方程的通解。
012=+-x ydx dy，12+=x dxy dy，C x y ln )1ln(2ln ++=，2)1(+=x C y（5） 用常数变易法。
把C 换成)(x u ，即令2)1(+=x u y ，则有 )1(2)1(2+++'=x u x u dx dy，代入（1）式中得21)1(+='x u ，两端积分，得 C x u ++=23)1(32。
高等数学 第十二章 微分方 第四节 一阶线性微分方程
;
令 y 1 n = z;
思考题
cos y 求微分方程 y′ = 的通解. cos y sin 2 y x sin y
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y = sin 2 y x tan y , = dy cos y dx ∴ + (tan y ) x = sin 2 y , dy
令z=
y,
2
dz 4 2 2 z=x , dx x
2
即 y = x4 x + C . x 解得 z = x + C , 2 2
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy′ + 2 xy = xe
2
x2
;
1 x 2 1 解 y ′ + xy = xe y , 2 dz dy 1 ( 1 ) 2 = 2y , 令z= y =y , 则 dx dx
当Q ( x ) ≡ 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) ≡ 0, 上方程称为非齐次的.
dy dx 2 2 = y+ x , = x sin t + t , 线性的; 例如 dx dt yy ′ 2 xy = 3, y ′ cos y = 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法)
得 C = 6,
x
所求曲线为 y = 3( 2e
+ x 2 x + 2).
2
二,伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy + P ( x ) y = Q( x ) y n dx
( n ≠ 0,1)
当n = 0,1时, 方程为线性微分方程. 当n ≠ 0,1时, 方程为非线性微分方程.
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
7-4一阶线性微分方程
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为
y e P( x)dx ( Q( x) e P( x)dxdx C )
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
dy
2019年9月7日星期六
9
解：先考察齐次微分方程 y y 0
dy y , 1 dy dx
dx
y
解得 y Cex，利用常数变易法，设
y u(x)ex , 则 y uex ex 代入原方程，解得 u(x) xex ex C
所以原方程组的通解为 y x 1 Cex
x
1 x
sin xdx C
1 cos x C .
x
2019年9月7日星期六
7
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
dy
1
y
1. dx x sin2 ( xy) x
解： 令 z xy, 则 dz y x dy ,
dx
dx
dz dx
y
x(
x
2019年9月7日星期六
6
例3 求方程 y y sin x 的通解.
x
x
解： P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 dx x
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln xdx C
第04节一阶线性微分方程
1．一阶齐次线性方程的求解
dy Pxy 0
dx
方法一：直接用分式 yCePxdx
方法二：采用分离变量法
2．一阶非齐次线性方程的求解
dyPxy Qx
dx 方法一：直接用公式
y e P x d x Q x e P x d xd x C
注：常用到换底公式 AB eB1nA
方法二： 采用常数变易法
e s in y 2 s in y e s in y 2 e s in y c
4、解 原方程化为 dy 1 y2y2 dx x
这是贝努利方程，进一步化为：
y2 dy1 12 dx x y
令 z 1 ，则 y
dz dx
1 y2
dy dx
代入得
dz 1 z 2 dx x
1dx
求特解
3、解方程
y
1
xcosysin2y
4、解方程 2xy2ydxxdy0
5、解方程 cosydysinyex dx
十六、自测题解
1、解 将方程标准化
y
1 x2
y
x1
ex
1
yex2 dx
ex1xex12 dxdxc
1 x1 1
e x e x ex dxc
ห้องสมุดไป่ตู้
1
e x
ex c
2、解：将方程标准化
dx
dx
代入并整理，得
dz 1zalnx dx x
故该一阶线性方程的通解为：
ze1xdx alnxe1xdxdxc
e1nx alnxelnxdxc
xa2lnx2 c
原方程的通解为:
1 y
xca2lnx2
例５ 求 xdy3yx2 3y 的通解 dx 2
dy Pxy 0
dx
方法一：直接用分式 yCePxdx
方法二：采用分离变量法
2．一阶非齐次线性方程的求解
dyPxy Qx
dx 方法一：直接用公式
y e P x d x Q x e P x d xd x C
注：常用到换底公式 AB eB1nA
方法二： 采用常数变易法
e s in y 2 s in y e s in y 2 e s in y c
4、解 原方程化为 dy 1 y2y2 dx x
这是贝努利方程，进一步化为：
y2 dy1 12 dx x y
令 z 1 ，则 y
dz dx
1 y2
dy dx
代入得
dz 1 z 2 dx x
1dx
求特解
3、解方程
y
1
xcosysin2y
4、解方程 2xy2ydxxdy0
5、解方程 cosydysinyex dx
十六、自测题解
1、解 将方程标准化
y
1 x2
y
x1
ex
1
yex2 dx
ex1xex12 dxdxc
1 x1 1
e x e x ex dxc
ห้องสมุดไป่ตู้
1
e x
ex c
2、解：将方程标准化
dx
dx
代入并整理，得
dz 1zalnx dx x
故该一阶线性方程的通解为：
ze1xdx alnxe1xdxdxc
e1nx alnxelnxdxc
xa2lnx2 c
原方程的通解为:
1 y
xca2lnx2
例５ 求 xdy3yx2 3y 的通解 dx 2
第四节 一阶线性微分方程第五节
2
2
2
dx
习题 7-4 // P315: 1(1,2,8), 2(4).
1.设函数 f ( x )在[0, π]上连续 , 且 ∫ f ( x )dx = 0,
π
∫0
π
7F f ( x ) cos xdx = 0, 试证 : 在(0, π )内至少存在
0
两个不同的点 ξ1 , ξ 2 , 使f (ξ1 ) = f (ξ 2 ).
7F
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、y ( n ) = f ( x )型
解法：逐次积分法.
( 3) 求方程 y = sin x 的通解. 例1
解
方程两端分别逐次积分, 得 :
y ( 2) = ∫ sin xdx = − cos x + C1
y′ = ∫ ( − cos x + C1 )dx = − sin x + C1 x + C 2 y = ∫ ( − sin x + C1 x + C 2 )dx
∴ u′( x ) = Q( x )e ∫ P ( x )dx
积分得 u( x ) = ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
dx + C ,
− P ( x )dx dx + C )e ∫ ,
∴ 非齐次方程的解为y = ( ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
y = ( ∫ Q( x )e ∴ 非齐次方程的解为
dx + C )e
− ∫ P ( x )dx
.
P ( x )dx dy − ∫ P ( x )dx ∫ = + ( ( ) ) . y Q x e dx C e + P ( x ) y = Q( x ), ∫ dx 1 sin x 的通解. 例1 求方程 y′ + y = x x 1 sin x 解法1. P ( x ) = , Q ( x ) = , x x 1 1 sin x ∫ x dx − ∫ x dx ⋅e y = ∫ dx + C e x sin x ln x dx + C e − ln x = ∫ ⋅e x
一阶线性微分方程的标准形式.
1 cos x C .
x
例3、求方程(1 y2 ) ydx 2(2xy2 1)dy 0的通解。
解 dx 4y x 2 dy 1 y2 y(1 y2 )
x
e
4 1
y y2
dy
[
4y
2 e 1 y2 dydy c]
y(1 y 2 )
(1
1 y2
)2
(2
ln
y
y2
c)
例4 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
f (0) ln 2 c ln 2
则f ( x) ln 2 e2x
例2 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两端除以yn，得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
0
y
高数下册 第七章 第四、五节 一阶线性方程全微分方程
17
2) 再解定解问题
y′ + y = 0 , x > 1
y x =1 = y(1) = 2 − 2e−1
此齐次线性方程的通解为 y = C2e−x ( x ≥ 1) 利用衔接条件得 C2 = 2(e − 1) y = 2(e − 1) e−x ( x ≥ 1) 因此有 3) 原问题的解为 2(1 −e−x ), 0 ≤ x ≤ 1 y= −x 2(e − 1) e , x ≥ 1
4.求微分方程 x ln xdy + ( y − ln x)dx = 0 满足条件 求微分方程 1 1 y = (ln x + ) y x=e = 1 的解。 2 ln x 19
= 0 的解。 x 1 y= − 2 x
2
x y′ + y = xex 满足条件 y x=1 = 1的特解。 5.求微分方程 1 1 x −1 x 1 6. y = x ln x − x y= e + x x 3 9 1 6.求微分方程 xy′ + 2 y = xln x , y x=1 = − 求微分方程 的特解。 的特解。 9 y 1 7.过点 ( , 0 ) 且满足关系式 y′ arcsin x + 1 − x2 = 1 过点 1− 2 1 yarcsin x = x − 的曲线方程为 2 的一个解， y = ex 是微分方程 x y′ + p( x) y = x 的一个解，则 8.设 设
1 2y + − 3x = 0 y
21
练 习 题
一、求下列微分方程的通解: 求下列微分方程的通解: 1、 1、 y ′ + y cos x = e − sin x ； 2、 2、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0 ； dy 2 3、 3、( y − 6 x ) + 2 y = 0 . dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: dy 1、 1、 + y cot x = 5e cos x , y π = −4 ； x= dx 2
2) 再解定解问题
y′ + y = 0 , x > 1
y x =1 = y(1) = 2 − 2e−1
此齐次线性方程的通解为 y = C2e−x ( x ≥ 1) 利用衔接条件得 C2 = 2(e − 1) y = 2(e − 1) e−x ( x ≥ 1) 因此有 3) 原问题的解为 2(1 −e−x ), 0 ≤ x ≤ 1 y= −x 2(e − 1) e , x ≥ 1
4.求微分方程 x ln xdy + ( y − ln x)dx = 0 满足条件 求微分方程 1 1 y = (ln x + ) y x=e = 1 的解。 2 ln x 19
= 0 的解。 x 1 y= − 2 x
2
x y′ + y = xex 满足条件 y x=1 = 1的特解。 5.求微分方程 1 1 x −1 x 1 6. y = x ln x − x y= e + x x 3 9 1 6.求微分方程 xy′ + 2 y = xln x , y x=1 = − 求微分方程 的特解。 的特解。 9 y 1 7.过点 ( , 0 ) 且满足关系式 y′ arcsin x + 1 − x2 = 1 过点 1− 2 1 yarcsin x = x − 的曲线方程为 2 的一个解， y = ex 是微分方程 x y′ + p( x) y = x 的一个解，则 8.设 设
1 2y + − 3x = 0 y
21
练 习 题
一、求下列微分方程的通解: 求下列微分方程的通解: 1、 1、 y ′ + y cos x = e − sin x ； 2、 2、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0 ； dy 2 3、 3、( y − 6 x ) + 2 y = 0 . dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: dy 1、 1、 + y cot x = 5e cos x , y π = −4 ； x= dx 2
第十二章 第4节 一阶线性微分方程
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法: 经过变量代换化为线性微分方程.
13
dy 1 n P ( x ) y Q( x ), 两端除以y ，得 y dx dz n dy 1 n ， 令z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), 代入上式 dx
1
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程
dy P ( x ) y 0. dx
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
1 y ( y cos y ) dy C y
y(C sin y )
9
例5 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲线 f ( x ) 3 与 y x ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴 影部分的面积, 求曲线 y f (x) . 解
2
2
2 yy 2 xy xe
2
x2
( y ) 2 xy xe
2 2
x2
17
作业7-4 P315
1(1) (5) (8) (10)，
2 (3) (5) ,
19
解: 令 z y , 则方程变形为
1
dz z a ln x dx x 1 dx 1 dx x 其通解为 z e x (a ln x) e dx C a 2 x C ( ln x) 2
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于是 G ( t )
k
[G (0) ]e t .
k
一阶微分方程
例 解方程 y ln ydx ( x ln y )dy 0
dy y ln y 分析 若将方程写成 dx x ln y
则它既不是线性方程, 又不能分离变量. dx x ln y 1 1 若将方程写成 x dy y ln y y ln y y dx 1 1 以x为未知函数, x 即 dy y ln y y y 为自变量的 一阶非齐次线性方程.
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
一阶微分方程
一阶线性微分方程的解法 dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx (使用分离变量法) dy dy P ( x )dx , P ( x )dx , y y ln | y | P ( x )dx ln C1 , (C1为任意常数)
1 e y
dy C
1 1 C 1 ln ydy C ln y ln y ln y y 2
此外, y = 1也是原方程的解.
一阶微分方程
注
解方程时, 通常不计较哪个是自变量哪个是
因变量, 视方便而定, 关键在于找到两个变量间的
y
一阶微分方程
从而
ue
1 dx x
1 x dx dx C e
x C 2 x x C y 于是得 e 2 x x C 即 y ln 2 x
一阶微分方程
六、小结
可分离变量的微分方程
M1 ( x ) M 2 ( y )dx N 1 ( x ) N 2 ( y )dy 0
解法 需经过变量代换化为线性微分方程.
n 事实上, 用 y 除方程的两边,得 n dy y P ( x ) y1 n Q( x ) dx
一阶微分方程
即
dy P ( x ) y1 n Q( x ) y dx 1 dy1 n P ( x ) y1 n Q( x ) 1 n dx
将y和y代入原方程 ,得
C ( x )e
P ( x ) dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx
P ( x ) dx
C ( x ) P ( x )e
P ( x )C ( x )e
P ( x ) dx
Q( x )
P ( x ) dx
从而C(x)满足方程 C ( x )e
3
x
0
y
Q
y 3 x y
2
2 即 y y 3x
积分方程
y x3
Py f ( x)源自一阶非齐次线性方程O
x
x
一阶微分方程
y y 3 x
dx
2
P ( x ) 1, Q( x ) 3 x
0
x 0
ydx x 0y
3
2
2 dx y 3 x e dx C 0 e
一阶微分方程
注
熟悉求解方法后,也可以不引入新变量, 而直接按上述方法求解.
dy 1 例 解方程 2 3 dx xy x y
解 这不是线性方程, 也不是伯努利方程. 但若把
dx 3 2 y视为自变量, 方程写为: yx y x dy 2 两边除以 x n=2的伯努利方程. 1 d x d x 2 1 3 x x y y , yx 1 y 3 dy dy dx 1 1 3 3 yx y , P ( y ) y , Q( y) y 即 dy
一阶微分方程
P ( x ) dx [ dx C ] e y ln ydx (y x ln y )dy 0 Q ( x )e P ( x ) dx
解
dx 1 1 x dy y ln y y
P( y)
Q( y )
1 dy y ln y
xe
1 dy y ln y
1 1
e
ydy
Ce
y2 2
2 y2
一阶微分方程
1 y 例 求y e 的通解 x 分析 这不是前面的典型类型中的任何一种, 可仿照伯努利方程的解法, 以e y 通乘等式 两边, 得
dy 1 y e e 1 可化为线性方程 dx x du y y dy 解 令u e e 则 dx dx du 1 du 1 上式成为 u1 即 u 1 dx x dx x 线性方程
解法: 分离变量 两端积分 隐式(或显式)通解 一阶线性微分方程 dy P ( x ) y Q( x ) dx
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q ( x )e dx C ]
一阶微分方程
伯努利微分方程 dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
一阶微分方程
第四节 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式 一阶 线性 dy P ( x ) y Q( x ) 自由项 dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的;
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
dy 如 y x2 , dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt
自修作业
习题7-4(315页) 1.(2)(5)(8)(10) 2.(3)(5) 3.
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
(C eC1 )
一阶微分方程
dy 2. 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ) dx 线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况. P ( x ) dx 线性齐次方程的通解是 Ce ,
显然线性非齐次方程的解不会是如此, 但它们 之间应存在某种共性. dy 设想 非齐次方程 P ( x ) y Q( x ) 的解是 dx
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q ( x )e dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的一个特解
注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程 的常数变易法对高阶线性方程也适用.
一阶微分方程
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q ( x )e dx C ]
一阶微分方程
dG k G , dt dG G k . 关于G的一阶线性非齐次方程 即 dt 由通解公式,得 k dt dt t Ce . G(t ) e [ ke dt C ]
设G(0)表示最初血液中葡萄糖含量,则可确 k 定出 C G (0) ,
伯努利方程的通解
一阶微分方程
dy 4 y x y 的通解. 伯努利方程 例 求方程 dx x 1 1 1 1 作变换 z y 2 y 2 . 解 n 2 dz 1 4 1 则方程化为 1 z 1 x
dx
dz (1 n) P ( x ) z Q( x )(1 n) dx
关系. 解可以是显函数, 也可以是隐函数, 甚至是 参数形式的.
一阶微分方程
雅个布·伯努利 (瑞士) 1654-1705
伯努利(Bernoulli)方程
dy n P ( x ) y Q ( x ) 形如 y ( n 0, 1) dx 的方程, 称为 伯努利(Bernoulli)方程. 当n 0, 1时, 方程为线性微分方程. 当n 0, 1时, 方程为非线性微分方程.
Q( x )
一阶微分方程
P ( x ) dx 即 C ( x )dx Q( x )e dx
P ( x ) dx C ( x ) Q ( x )e dx C
设y C ( x )e
ye
dy P ( x ) y Q ( x )的解. 是 dx 一阶线性非齐次微分方程的通解为
1 sin x 例 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 , 解 P ( x ) , Q( x ) x x
一阶线性非 齐次方程
ye
1 dx x
1 x
sin x x e
1 dx x
1 sin xdx C x cos x C
2 0 Ce x 3x 0 6x 0 6
y |x 0 0
得 C 6
x
所求曲线为 y 3(2e
x 2 x 2)
2
一阶微分方程
例
静脉输液问题.
静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术.为了 研究这一过程,需要知道t 时刻中血液中的葡萄糖 且设葡萄 含量.设G(t)为时刻 t 血液中葡萄糖含量, 糖以常数 k ( g min) 的固定速率输入到血液中, 与此 同时, 血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移 到其他地方,其速率与血液中的葡萄糖含量成正比. 试列出描述这一现象的微分方程,并解之. dG 等于增 解 因为血液中的葡萄糖含量的变化率 dt 加速率与减少速率之差, 而增加速率为常数k, 减少 dG 速率为 G, 其中 为正的比例常数,所以 k G , dt
d z 2 x 即 z 它的通解为 dx x 2
2
x
2
ze
2 dx x
1 故原方程的通解为 y x C ln x 2
4
dx x 2 1 2 x e x C ln x C 2 2 2