自招竞赛课程数学讲义：自主招生中的三角函数问题(1)【讲师版】
自主招生中的三角函数问题(1)【讲师版】(1)
自招竞赛数学“自主招生中的三角函数问题”讲义编号：三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点。
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图像与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上。
高校的自主招生考试作为一种选拔优秀学生的考试，加强了对三角函数恒等变形的考查。
可见，三角函数问题已成为各校自主招生的热点问题之一。
分析近几年高校自主招生中涉及的三角函数试题，可归纳为以下几种题型：纯三角问题（代数运算为主）、与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。
自主招生中的三角函数问题（1）主要讲解知识梳理部分和纯三角问题（代数运算为主）。
自主招生中的三角函数问题（2）主要讲解三角函数与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。
1求444sin10sin50sin70++o o o的值。
（2010，清华特色考试）2 已知A B C∠∠∠、、为ABCV的三个内角。
证明：2cos cos4sin.2a AB Cb c++≥+(2008，浙江大学自主招生考试)答案：1解2解同角公式：平方关系 222222sin cos 1,sec tan 1,csc cot 1αααααα+=-=-=； 商数关系 sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； 倒数关系 tan cot 1,sin csc 1,cos sec 1αααααα===. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.加法公式：和、差、倍、半、万能公式；积化和差、和差化积公式. 还应熟悉：（1）三倍角公式 32sin33sin 4sin ,cos34cos 3sin αααααα=-=-，1sin(60)sin sin(60)sin 3,cos(60)cos cos(60)41cos3.4αααααααα-+=-+=（*）n 倍角公式∑=--=][02222sin cos )1(cos n k k k n kn k C n θθθ∑=+--+-=][0121212sin cos )1(sin n k k k n k n k C n θθθ（2）0211sin()sin()cos()sin 2222cos()2sin sin22nk n d n n x d x x d d x kd d d =+++--+⋅+==∑，211cos()cos()sin()sin 2222sin()2sin sin22nk n d n n x d x x d d x kd d d =+++--+⋅+==∑.（3）2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+-， 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+-. （4）tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-++=---.（5）若02πθ<<，则sin tan θθθ<<.（6）函数sin xy x=在(0,)π上为减函数；函数tan x y x =在(0,)2π上为增函数. （7）ABC ∆中，①sin sin sin 4cos cos cos222AB CA B C ++=； ②cos cos cos 14sin sin sin222A B CA B C ++=+； ③tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； ④tan tantan tan tan tan 1222222A B B C C A++=； ⑤cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=；⑥sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆、内切圆半径分别为,R r ，半周长为2a b cp ++=. （1）正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===. （2）余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C =+-=+-=+-. （3）射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+. （4）面积：21112sin sin sin (sin sin sin )2224ABC a b c abcS ah bh ch rp R A B C rR A B C R∆=======++2221(cot cot cot )4a Ab Bc C =++.OABS ∆=1 纯三角问题（代数运算为主）例1 求证：20720sin 31<︒<．证明：证法1：由)2,0(,sin π∈<x x x ，20799sin 20sin <<=︒ππ，由)6,0(,3sin ππ∈>x x x ，31939sin 20sin =⨯>=︒πππ．证法2：2320sin 420sin 360sin 3=︒-︒=︒，设x =︒20sin ，则023343=+-x x ， 设2334)(3+-=x x x f ，21,0312)(2±==-='x x x f ，∴函数)(x f y =单调区间)21,(--∞↗，)21,21(-↘，),21(+∞↗，又∵2120sin 0<︒<，及0231274)31(>+-=f ，02757.13)207(<-=f ， ∴20720sin 31<︒<． 【补充】求证：9210tan 61<︒<【练习】N n ∈，2≥n ，求证：321cos ...31cos 21cos >⋅⋅n ．证明：∵121311110<<<<-<<n n ， ∴kk 11sin0<<， ∴n k k k k k k k ,,3,2,)1)(1(111sin 11cos 2222=+-=->-=． ∴)11()4543()3432()2321()1cos 31cos 21(cos2nn n n n +⋅-⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅ 2)32(21121>>+=n n ， ∴321cos 31cos 21cos >⋅⋅n ．例2 C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：233sin sin sin 2≤++<C B A ． 证法1：因为x y sin =在区间)2,0(π上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得2333sin 3sin sin sin =++≤++C B A C B A ， 又由)2,0(,2sin ππ∈>x x x 得，2)(2sin sin sin =++>++C B A C B A π．证法2：C BA CB A B AC B A sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2sin sin sin ++≤+-+=++ .233)46(332)2sin 1)(2sin 33(332)2sin 1(2cos 2)2sin 1(2cos 24322=≤+-=+=+=C C C C C CC B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，不妨设C B A ≥≥，∴C B A C B A <-+<,，2cos 2cos ,22CB AC B A >-<-， ∴C CB AC B A B A C B A sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2sin sin sin ++>+-+=++ 2sin cos 1sin 2cos 22>++=+=C C C C．【练习】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：23cos cos cos 1≤++<C B A ．证明：C B A B A C B A cos 2cos 2cos 2cos cos cos +-+=++C BA cos 2cos 2++≥ 2323)212(sin 22sin 212sin 222≤+--=-+=C C C ，2)(cos 2cos 2)2cos(2cos B A B A B A +-+=-++πππ，2cos 2cos 2cos cos BA B A B A -+=+，<-2B A 2)(B A +-π， ∴2cos 2)(cos 2cos CB A B A =+->-π， ∴C CC B A B A B A sin 2cos 2sin 22cos 2cos 2cos cos =>-+=+， ∴1cos sin cos cos cos >+>++C C C B A ．例3 已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，求证：4331111222≤+++++<cc b b a a ．证明：方法1：由已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可设2tan ,2tan ,2tanCc B b A a ===， 其中C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，则A A A aasin 212tan 12tan122=+=+，B B B bbsin 212tan 12tan122=+=+，C C Ccc sin 212tan 12tan122=+=+， 原不等式等价于233sin sin sin 2≤++<C B A ，证法见例2．方法2：))()(())((122c b c a b a acab c a b a a bc ac ab a a a a ++++=++=+++=+， =+++++222111c c b b a a ))()((2c b c a b a +++， 只需证433))()((21≤+++<c b c a b a ，即2))()((938<+++≤c b c a b a ．由1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可知3≥++c b a ，只需证加强不等式))()((9))((8c b c a b a ca bc ab c b a +++≤++++， 即)2(9)3(8222222222222b c a c a b c b c a b a abc b c a c a b c b c a b a abc ++++++≤++++++， 即≤abc 6b c a c a b c b c a b a 222222+++++，由均值可知显然成立．【练习】已知abc c b a c b a =++>,0,,，求证：231111111222≤+++++<cb a ．提示：设C c B b A a tan ,tan ,tan ===，原不等式等价于23cos cos cos 1≤++<C B A ．【变式】已知1),,0(,,=+++∞∈ca bc ab c b a ，求证：231111222≤+++++<c c b b a a ．提示：设2tan ,2tan ,2tan C c B b A a ===，原不等式等价于232sin 2sin 2sin 1≤++<C B A ．（或将c b a ,,分别替换为cb a 1,1,1将变为上面练习．）例4 设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值．)12,245.(83246cos142cos 1cos 21cos )sin(21cos )]sin()[sin(21cos sin cos 2πππ===+=+≤+==+≤--+=z y x z zz y x z y x y x z y x )12,3.(81432cos142cos 1cos 21)sin(cos 21)]sin()[sin(cos 21cos sin cos 2πππ====+≥+==+≥-++=z y x x xz y x z y z y x z y x 【练习】设C B A ,,是三角形的三个内角，求证：3233sin 3sin 3sin 2≤++<-C B A ，并确定其中的等号何时成立．解析：不妨设︒≥60A ，则︒≤+120C B ，从而︒≤+<-≤︒180)(23||230C B C B ，由此可得)(23cos )(23cos C B C B +>-．再由0)(23sin ≥+C B ，得到)(23cos )(23sin 2)(23cos )(23sin 2C B C B C B C B ++≥-+，即)(3sin 3sin 3sin C B C B +≥+，于是2)(3sin 3sin 3sin 3sin 3sin -≥++≥++C B A C B A ， 为使23sin 3sin 3sin -=++C B A ，必须满足1)(3sin 3sin -=+=C B A ，0)(23sin =+C B ，这是不可能的，从而23sin 3sin 3sin ->++C B A ．另一方面，由︒≥60A 可知，)(23cos )(23sin 23sin 3sin 3sin 3sin C B C B A C B A -++=++)(23sin 23sin C B A ++≤A A 23cos 23sin -=A A 23cos )123(sin 2-=33)23sin 1)(323sin 3(312)23sin 1)(123(sin 2A A A A -+=-+=323)46(3124=≤． 当且仅当,1)(23cos ),23sin 1()323sin 3(=--=+C B A A即︒==︒=20,140C B A 时，等号成立．例5 对于任意的正数x 、y 、z 、及△ABC 三内角A 、B 、C ，总有：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．证明：0)sin sin ()cos cos (sin sin 2sin sin )cos cos (cos cos 2cos cos cos 2)cos cos (cos 2cos 2cos 2),,(22222222222222222≥-+--=-++--=----++--=---++=B z C y C y B z x CB yz B zC y C y B z x C B yz C y B z A yz z y C y B z x Cxy B zx A yz z y x z y x f ∴C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．【补充】求证：02cos 22cos 22cos 2222≥+++++C xy B zx A yz z y x 【变式】求证：)(21cos cos cos z xyy zx x yz C z B y A x ++≤++求证：23cos cos cos ≤++C B A求证：C ab B ca A bc c b a cos 2cos 2cos 2222++=++求证：C B A B A C A C B C B A cos sin sin 2cos sin sin 2cos sin sin 2sin sin sin 222++=++求证：)(21cos cos cos cabb ac a bc C c B b A a ++≤++【练习】给定正整数n ，求最小的正数λ，使得对于任何=i θ),,2,1)(2,0(n i =π，只要2212tan ...tan tan n n =⋅⋅⋅θθθ，就有n θθθcos ...cos cos 21+++不大于λ．解析：1°当2,1=n 时，=λ33n ， 当1=n 时，33cos ,2tan 11==θθ，当2=n 时，,2tan tan 21=θθ设x =12tan θ，则x4tan 22=θ，xx 41111tan 11tan 11cos cos 221221+++=+++=+θθθθx x xx x x x x x x x x 45345214545242411112++-+++=+++++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++设]31,0(451∈=++t xx ，则341234111122≤++-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++t t x x ， =+21cos cos θθ33241111≤+++xx，当2=x 即21θθ=时取等号． 2°当3≥n 时，1-=n λ，先证1cos cos cos 21-<+++n n θθθ ①不妨设n θθθθ≥≥≥≥ 321，要证明①式成立，只要证2cos cos cos 321<++θθθ，②2212tan tan tan n n =⋅⋅⋅θθθ ，故22tan tan tan 321≥⋅⋅θθθ．2sin 1sin 1cos 22ii i θθθ-<-=，32322232sin sin 22sin sin 2cos cos θθθθθθ-≤+-<+，322212322212tan tan 81cos 1,tan tan 8tan θθθθθθ+≥∴≥， 32223222323222321sin sin cos cos 8sin sin tan tan 8tan tan cos θθθθθθθθθθθ+=+≤，)sin sin cos cos 811(sin sin 2cos cos cos 3222322232321θθθθθθθθθ+--<++2cos cos cos 321<++θθθ，⇔1sin sin cos cos 832223222≥+θθθθ⇔)tan 1)(tan 1(sec sec tan tan 8322232223222θθθθθθ++=≥+⇔7tan tan 3222≤+θθ ③． 若③式成立，则②式成立．若③式不成立，即7tan tan 3222>+θθ，从而27tan tan 2212>≥θθ，32cos cos 21<≤θθ，21322cos cos cos 321<+<++θθθ．从而①式得证． 现证1-=n λ为最小的．事实上，若10-<<n λ，则取11<-=n a λ，从而存在,,,2,1)2,0(n i i =∈πθ使得)1,,2,1(1tan ,cos 2-=-==n i a a a i i θθ，122)1(2tan --=n nn a a θ从而2212tan tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ ，但λθθθθθθ=+++>+++-12121cos cos cos cos cos cos n n ， 当3≥n 时，最小的正数λ为1-n ．综上所求最小正数⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)3(,1)2,1(,33n n n n λ．【练习】设8,0,0,0=>>>abc c b a ，求证：21111111<+++++<c b a ．提示：令1cos 11θ=+a ，2cos 11θ=+b ，3cos 11θ=+c由上面练习结论即得。
自主招生试卷北京培训项目真题解析第12讲 反三角函数
从反正弦函数的图像可以看出： (1) 反正弦函数yarcsinx在区间[1,1]上是增函数；
(2) 反正弦函数yarcsinx，x[1,1]是奇函数，
即 arcsin(x)arcsinx ．
记号arcsinx的含义：
(1) x[1,1]；
记作 yarctanx， xR ．
从反正切函数的图像可以看出：
(1) 反正切函数yarctanx在区间(,)上是增函数；
(2) 反正切函数yarctanx，x(,)是奇函数，
即
arctan(x)arctanx ．
记号arccosx、arctanx的含义：
(1) cos(arccosx)x， x[1,1]， arccos x [0, ] ；
从反余弦函数的图像可以看出：
(1) 反余弦函数yarccosx在区间[1,1]上是减函数；
(2) 反余弦函数yarccosx，x[1,1]非奇非偶，
但是中心对称图形
arccos(x) arccosx ．
反正切函数的定义：
的反函数叫做反正切函数， 函数ytanx， x ( , ) 2 2
(2) arcsinx表示一个角，且 arcsin x [ , ] ； 2 2
(3) sin(arcsinx)x， x[1,1]； (4) arcsinx 等价于sin x且 [ , ] ． 2 2
反余弦函数的定义：
函数ycosx，x[0,]的反函数叫做反余弦函数， 记作 yarccosx， x[1,1] ．
第一部分 基础知识串讲
主讲老师： 贾广素
任职学校：山东省济宁一中
2.3 反三角函数
• 近年以来，高中数学教材降低了对反函数的要求，删减了 反三角函数的内容，但自主招生考试中却不会降低要求。 这一点需要大家注意.
第十三讲 三角综合提高自主招生
第十三讲 三角综合提高【考点说明】三角是一个极其强大且非常重要的内容，在代数与几何中都占据着非常重要的地位，有着十分丰富的应用。
在自主招生中，三角的热点问题是：三角函数的化简与求职，解三角形，三角函数的而图形与性质。
不过难度并不大，主要以基础内容为主。
【知识引入】一． 两角和、差的三角公式：1.正弦：sin()sin cos cos sin A B A B A B ±=±2.余弦：cos()cos cos sin sin A B A B A B ±=3.正切：tan tan tan()1tan tan A BA B A B±±=二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
212(1)sin ,sin()2(1)cos ,n n n n n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数， 212(1)cos ,cos()2(1)sin ,n n n n n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数三．二倍角公式：1.余弦：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 2.正弦：sin 22sin cos ααα=、 （3）正切：22tan tan 21tan ααα=-四．辅助角公式：sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=►注意：sin cos A x B x C +=有实数解222A B C ⇔+≥ 五．半角公式（万能公式）：sin cos 221cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos αααααααααααα==-===++===- 六．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== （R 为三角形外接圆的半径）七．余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-八．三角形面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===【知识拓展】三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下： 一．三倍角公式：3s i n 33s i n 4s i n ααα=-，2c o s 34c o s 3c o s ααα=-001sin sin(60)sin(60)sin 34αααα+-=001cos cos(60)cos(60)cos34αααα+-=，00tan tan(60)tan(60)ααα+⋅-t a n 3α=。
高中数学竞赛与自主招生专题第五讲：函数与方程(教师版)
高中数学竞赛与自主招生专题第五讲 函数与方程 自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。
热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
一、知识精讲一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：2b x a-= 2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=（韦达定理） 3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥．（2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥．（2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤．3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。
自主招生数学讲义(上)
自主招生讲义（上）第一讲函数的性质 (3)一、知识要点 (3)二、热身练习 (6)三、真题讲解 (7)四、强化训练 (9)第二讲导数 (14)一、知识方法拓展 (14)二、热身练习 (16)三、真题精讲 (17)四、重点总结 (19)五、强化训练 (19)第三讲微积分初步 (30)一、知识方法拓展 (30)二、热身练习 (32)三、真题讲解 (33)四、重点总结 (36)五、强化训练 (36)六、参考答案 (41)第四讲方程与根 (44)一、知识方法拓展 (44)二、热身训练 (46)三、真题精讲 (48)四、重点总结 (50)五、强化训练 (50)第五讲基本不等式及其应用 (56)一、知识方法拓展 (56)二、热身练习： (57)三、精讲名题： (58)四、强化训练 (60)第六讲不等式的证明与应用 (63)一、知识方法拓展 (63)二、热身练习： (64)三、精解名题： (65)四、强化训练 (68)第七讲递推数列 (70)一、知识方法拓展 (70)二、热身练习 (73)三、真题精讲 (74)四、重点总结 (77)五、强化训练 (77)第八讲数列求和，极限和数学归纳法 (81)一、知识方法拓展 (81)二、热身练习 (82)三、真题精讲 (83)四、重点总结 (88)五、强化训练 (88)第一讲 函数的性质一、知识要点1、映射对于任意两个集合,A B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素,x 在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称:f A B →为一个映射，记作:,f A B →其中b 称为像，a 称为原像。
如果:f A B →是一个映射且对任意,,,x y A x y ∈≠都有()(),f x f y ≠则:f A B →是A 到B 上称之为单射.如果:f A B →是映射且对任意,y B ∈都有一个x A ∈使得(),f x y =则称:f A B →是A 到B 上的满射.如果既是单射又是满射，则:f A B →是A 到B 上叫做一一映射.如果是从集合A 到集合B 上的一一映射，并且对于B 中每一个元素b ，使b 在A 中的原像a 和它对应，这样所得的映射叫做:f A B →的逆映射，记作1:.f B A -→2、函数方程问题（1）代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数例.设220,,ab a b ≠≠求()1af x bf cx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. （【解析】分别用1,x x t t ==带入）（2）待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.例.已知()()1f x f x =是一次函数，()()()1n n f x f f x -=且()1010241023f x x =+，求()f x . （【解析】设()()0f x ax b a =+≠求解）3、函数对称性以及周期性1）已知函数()y f x =，若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：直线x a =对称，则()g x =()2f a x -；:f A B →:f A B →直线y b =对称，则()()2g x b f x =-；点(),a b 对称，则()()22g x b f a x =--。
高三数学自主招生辅导课件第二讲_三角函数
≠
即-2<a<-
或
－ <a<2时，sint= 有相异两根t1、t2，原方程有相异 两根α、β，并且 。 当-2<a<- 时，t1+t2=(α＋ ）+（β+ )=π，α+β= 当<a<2时，t1+t2=(α+ )+(β+ )=3π，α+β=
【例11】求cos420°+cos440°+cos480°的值。
商丘市一高奥赛+自主招生+保送生培训专题
第二部分 三角函数
cherdy
主要内容提炼
同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线 图象性质
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 y=asinα+bcosα的 最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式 和差化积公式
正弦定理、 余弦定理、 面积公式
想两边平方或和差化积 8、见a sinα +b cosα ，想化为
a 2 b 2 sin( α φ )形式
9、见cosα ²cosβ ²cosθ ²²²²，先 sin2α 若不行，则化和差 运 用cosα
10、见cosα +cos(α +β )
2 sin α
+cos(α +2 β )²²²²，
【例10】方程 sinx+ cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、 β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。
解：∵
t∈(
sinx+cosx+a=0，∴sin (x+
)=-
。令t= x+
自主招生竞赛三角函数【讲师版】
三角函数知识定位三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中都是必考知识。
有时三角函数会以单独题目出现，如解三角形，证明三角恒等式、不等式等，也有时是解决其他问题的必经之路或是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。
本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
（注：本章中A ，B ，C 同时出现即默认为三角形ABC 的三个内角）知识梳理三倍角公式)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan )3cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos )3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333απαπααααααπαπαααααπαπαααα-+=--=-+=-=-+=-=教学提示：在这里可以向学生指出，对αn sin 和αn cos 而言，它们分别是αsin 和αcos 的n 次多项式，这一点可以通过数学归纳法结合两角和公式来证明。
三个公式的后半部分有时可以处理一些三角函数的连乘问题。
三角形的一些简单的恒等式1cos cos cos 22cos 2cos 2cos 2sin2sin 2sin 41cos cos cos 2cos2cos 2cos 4sin sin sin 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan sin sin sin 42sin 2sin 2sin 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot1cot cot cot cot cot cot tan tan tan tan tan tan =++++=++=++=++=++=++=++=++C B A C B A CB AC B A CB AC B A AC C B B A CB AC B A C B A C B A A C C B B A C B A C B A教学提示：在这里可以向学生指出，如第一，二，三，五，八个恒等式常可以用来做三角代换，即在一些给定条件如xyz z y x =++的代数问题中可以作代换A x tan =，B y tan =，C z tan =进而使用三角函数知识以及条件π=++C B A 解决问题。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
高三数学寒假自招讲义
一、 函数、方程与不等式一、函数与方程例1. 已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，那么()()f f x x =是否有实数根？并证明你的结论？练习：已知函数2()0f x x px q =++=且(())0f f x =仅有一实根.求证：0,0p q ≥≥.例2. 设()()()4321324f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ,（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，恒有()00f x ≠.练习：432()(58)69f x axx a x x a =++-+-.证明：对任意实数a ,存在0x ，（1）总有()00f x =；（2）总有()00f x ≠.例3. 若方程320xax bx c +++=的三个根恰为,,a b c ，且,,a b c 为不全为零的有理数，求实数,,a b c 的值.练习：设,(,),0a b b ∈-∞+∞≠，,,αβγ是三次方程30xax b ++=的三个根，则总以111111,,αββγγα+++为根的三次方程是（ ） A ．232220a x abx b x a ++-= B. 232220b x abx a x b ++-=C.232220a x ab x bx a ++-= D. 232220b x a bx ax b ++-=例4. 设θ是三次多项式()3310f x x x =-+的一个根，且222θθα+-=.若()h x 是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=，则()0h = .例5. 设9k≥，解方程32229270x kx k x k ++++=.例6. 求方程2x x =+++（n 重根）的解.27101x +-=的实根的个数.约)例7. 记函数2()1,1,22!!nn x x f x x n n =+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根nθ，且2n n θθ+＞.例8. 已知12,,,a a a∈R ，满足120a a a +++=，且122334201312222a a a a a a a a-=-=-==- .求证：1220130a a a ====.例9. 1为两根的有理系数多项式的次数最小为 . 练习：试求出一个整数系数多项式()110n n n n f x a x a x a--=+++，使得()0f x =二、不等式例10. 实数()()1,2,3,1,2,3i i a i b i ==满足123123a a a b b b ++=++，122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++，()()123123min ,,min ,,a a a b b b ≤，求证：{}{}123123max,,max ,,a a a b b b ≤.例11.下列不等式中正确的是（ ）A ．1201617k =<< B ．12011819k =<< C ．1202021k =<< D. 12012223k =<< 练习：求证：313n+++<. 例12. 已知：0,0ab >>，求证：1112a b a ba nb +++<+++.练习：有小于1的正数12,,,n x x x ，且121n x x x +++=.求证：33311221114n nx x x x x x +++>---. 例13. 若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：111100027a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.练习：已知0,0a b >>，且1a b+=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.例14. （1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥.(2),,a b c 为正实数，求证：3a b cx y z++≥，其中,,x y z 为 ,,a b c 的一种排列. 例15. 设0,0,0a b c ≥≥≥，且3a b c ++≤.证明：22231111112111a b c a b c a b c++≤≤++++++++. 例16. 设12,,,n x x x 都是正数，求证：222211212231n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.例17.求()12120111f x x x x =-+-++-的最小值.例18.设函数()1x m f x x +=+，且存在函数1()(,0)2s φt at b t a ==+>≠， 满足2121()t s f t s-+=. （1） 证明：存在函数(s)(0)t φcs d s ==+>，满足2121().s t f s t+-= （2） 设13x =，()1,1,2,n n x f x n +==，证明：1123n n x --≤. 例19. 111()ln ,1,()x n n e f x a a f a x+-===.（1） 求证：10xx e x e -+≥恒成立；（2）试求()f x 的单调区间；（3） 求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立.例20. 已知()(1)1xf x x e =--； （1）求证：当0x >时()0f x <；（2）数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=，求证：数列{}n x 递减且12n nx >二、简单数论与组合杂题一、 整除与同余 例1. 证明：1109|n n a a a a -的充分必要条件是 09|ni i a =∑（其中011,,,,n n a a a a -是十进制数码，110n n a a a a -表示1n +位数码组成8例2. 设m 为非负整数，证明()22157|78m m +++.例3. 是否存在10个正奇数的倒数之和等于1？例4. 证明：任意100个整数中，必有两个整数之差能被99整除. 例5. 求正整数区间[,]()m n m n <中，不能被3整除的数之和. 例6. 求公差是8，由三个质数组成的数列. 例7. 10003在十进制中最后4位是多少？例8.2004818(736)+的个位数是多少？例9. 2005！末尾有连续多少个零？ 例10. 证明：当x 为任何整数时，9753694x x x x -+-可被8640整除.二、不定方程例11. 3个自然数倒数和为1，求所有解. 例12. （1）求三直线160,,02x y y x y +===所围成三角形上的整点个数； （2）求方程组2,1,260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩ 的整数解的个数.例13. 证明：方程22317xy -=没有整数解.练习： 证明：当a 为任意整数时，方程223x y a -=有整数解.例14．设,,a b c 为除1以外没有公因数的三个整数，并且111a b c+=. 求证：(),(),()a b a c b c +--都是完全平方数.例15. 在正整数范围内求方程组的解：33323,2().a b c abc a b c ⎧--=⎨=+⎩ 例16． 求出方程!(1)!!n n m +=的全部整数解. 例17. 证明：1的任何正整数次幂均可写成的形式，其中s 为正整数. 例如))2311==三、组合数学例18．用有限多条抛物线以及它们的内部能否覆盖整个平面?（一条抛物线将平面分成两部分区域，其中包含焦点的区域乘坐抛物线的内部.例19. 100个集装箱内有200件货物（每箱两件），运抵某一货场堆放. 但在堆放过程中货物的顺序被完全打乱了，现在希望将货物重新装入集装箱运走，由于货物只有一条传送带，而且作业空间有限，因此采取如下方案：（200件货物已经被排列成某种顺序）每次从传送带上取下一件货物，如果能装进当前的集装箱则装箱；否则将当前的集装箱密封，并使用一个新的集装箱. 已经放过的货物不能再从集装箱取出，密封的集装箱不能再被打开. 在最坏的情况下，一共需要多少个集装箱？证明你的结论.例20．有333人考试，一共做对了1000道题，做对不多于3道为不及格，做对不少于6道为优秀，不是所有人答对的题的数量奇偶性都相同，问不及格的多还是优秀的多？例21．一场跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。
竞赛与自主招生专题第04讲：函数的性质
专题第四讲 函数的性质从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。
热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
一、知识精讲设函数)(x f y =的定义域为D 1.单调性：（1）传统定义：在区间[]a b ，上，若12a x x b ≤≤＜，如果12()()f x f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果12()()f x f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递减；（2）导数定义：在区间[]a b ，上，如果'()0f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果'()0f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递减；注意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔--⇔--上为减函数在＜②、上为增函数在＞①、D x f x x x f x f D x f x x x f x f )(0)()()(0)()(212121213.复合函数的单调性：（1）增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 （2）对于取值恒为非负数的函数增函数×增函数=增函数 减函数×减函数=减函数 增函数÷减函数=增函数 减函数÷增函数=减函数 （3）若()f x 、()g x 都是增（减）函数，则(())f g x 为增函数；若()f x 、()g x 一个增函数，一个减函数，则(())f g x 为减函数。
高考自主招生讲义：第13讲 三角
第十三讲三角一、知识拓展1.三倍角公式：3sin 33sin 4sin ααα=-，3cos34cos 3cos ααα=-，()()1sin sin 60sin 60sin 34αααα+-=，()()1cos cos 60cos 60cos34αααα+-=，()()tan tan 60tan 60tan3αααα+-=.2. 两个有用的三角不等式：若θ是锐角，则sin cos 1θθ+>，sin tan θθθ<<.3.三角形中的一些三角恒等式：在△ABC 中，①sin sin sin 4coscos cos 222A B C A B C ++=； ②cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+；③222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+； ④222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；⑤222sin sin sin 12sin sin sin 222222A B C A B C++=-； ⑥222cos cos cos 22sin sin sin 222222A B C A B C++=+；⑦tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； ⑧cot cot cot cot cot cot 1A B A C B C ++=；⑨cot cot cot cot cot cot 222222A B C A B C ++=；⑩tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A ++=.4. 锐角△ABC 中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如sin cos A B >.事实上，由sin sin cos 222A B A B A B B πππ⎛⎫+>⇒>-⇒>-= ⎪⎝⎭，即得.由此对任意锐角△ABC ，总有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++. 5.对形如()()()()s i n s i ns i n 2...n ααβαβαβ+++++++-及()()()cos cos ...cos 1n ααβαβ+++++-的式子，可乘以sin 2sin2ββ，再逐项积化和差，依次将各项一拆为二，达到相消的目的.可推导出2k βπ≠时，()()()()1s i n 22sin sin sin 2...sin 1sin2n n n αββααβαβαββ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭+++++++-=；()()()1cos sin 22cos cos ...cos 1sin2n n n αββααβαββ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭+++++-=. 6. 利用三角代换可解决一些函数值域问题.如y =cos θ=，sin θ=，cos y θθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而易得[]1,2y ∈.又如求32412x x y x x -=++的值域，注意到222222112111211x x x x y x x x x --==++++，令t a n 2t x =，则11sin cos sin 224y t t t ==，从而11,44y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 二、热身练习1. （2012“卓越联盟”）函数()cos 2sin y R θθθ=∈+的值域是__________.分析与解：令tan 2t θ=，(),t ∈-∞+∞，则22222111222221t t t y t t t t --+==++++，再用判别式法，求得33y ⎡∈-⎢⎣⎦.2. （2005复旦）在△ABC 中，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，求ACAB. 分析与解：△ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.设tan A k =，tan 2B k =，tan 3C k =，则366k k =，0k =，1-（舍去），或1k =，即t a n 1A =，tan 2B =，tan 3C =.故sin sin 3AC B AB C ==. 3. （2011“卓越联盟”）已知()sin 2sin 2n αγβ+=，则()()tan tan αβγαβγ++=-+__________.分析与解：()()()sin 2sin αγαβγαβγ+=+++-+⎡⎤⎣⎦，()()sin 2sin βαβγαβγ=++--+⎡⎤⎣⎦.所以()()()()sin cos cos sin αβγαβγαβγαβγ++-++++-+=()()()()()()tan 1sin cos cos sin tan 1n n n αβγαβγαβγαβγαβγαβγ+++++-+-++-+⇒=⎡⎤⎣⎦-+-.4. （2008上海交大）若1cos sin 2x x -=，则33cos sin x x -=__________. 分析与解：由条件平方得1312sin cos sin cos 48x x x x -=⇒=，33cos sin x x -=()()cos sin 1sin cos x x x x -+131112816⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.5. （2003同济）已知sin cos 2sin cos y θθθθ=++，[)0,2θπ∈.⑴求y 的最小值；⑵求取到最小值时的θ.分析与解：设s i n c o t θθ=+，t ⎡∈⎣，则21s i n c o s 2t θθ-=，221112222t t y t t --==++.再令2t u +=，则2,2u ⎡∈⎣，2t u=-，()2143131442222u uy u u u -+⎛⎫==+-≥= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当u =即2t =.此时，sin cos 2θθ+=，sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()61arcsin 4k k πθπ⎛+=+- ⎝，()61arcsin 4kk πθπ⎛=+-- ⎝.又[)0,2θπ∈，故1,2k =.三、例题精讲例1. 已知,[,],44x y a ππ∈-∈R ，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，求cos(2)x y +的值．分析构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解． 解法一由已知得33sin 2(2)sin(2)x x a y y +==-+-， 现构造函数3()sin f t t t =+，由此得()(2)f x f y =-， 而函数()f t 在[,]44ππ-上是增函数，所以有2,20x y x y =-+=，即cos(2)x y +=1． 解法二记3()sin 2f x x x a =+-，3(2)(2)sin(2)2g y y y a =++，于是3()sin 2g x x x a =++，又(),()y f x y g x ==分别是R 上的增函数，所以它们的图像与x 轴只有一个交点，而3()sin 2g x x x a =++3[()sin()2]x x a =--+--()f x =--，即()()f x g x -=-，所以函数()y f x =与()y g x =的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称． 记()0,()0f x g x ==的根分别是,2x y ，则1(2)02x y +=，所以cos(2)x y +=1．例 2. （1999年全国高中数学联赛题）已知当]1,0[∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 22>-+--θθx x x x 恒成立，试求θ的取值范围．解设θθsin )1()1(cos )(22x x x x x f -+--=，则由]1,0[∈x 时0)(>x f 恒成立，有0sin )0(>=θf ，0cos )1(>=θf ，22()([(12(1f x x x x ∴=+---2(1(1)x x x x +--0)cos sin 21)(1(2]sin )1(cos [2>-----=θθθθx x x x ，当θθθco s si n si n +=x 时，0sin )1(cos =--θθx x ，令θθθcos sin sin 0+=x ，则100<<x ，0)21cos sin )(1(2)(000>--=θθx x x f ，故212sin 21>θ，即212sin >θ，且0cos ,0sin >>θθ，所求范围是：Z k k k ∈+<<+,1252122ππθππ反之，当Z k k k ∈+<<+,1252122ππθππ时，有212sin >θ，且0cos ,0sin >>θθ，于是只要]1,0[∈x ，必有0)(>x f 恒成立．例3. （１９９１年全国高中联赛）求22cos 10cos 50sin 40sin80+-的值． 分析 本题的基本方法是降次、和差化积，从结构特征构造求解．解法一 注意0sin 40cos50,sin80cos10==，且三角式是关于0cos10,cos50对称的，所以可以构造二元对称代换求值． 设0cos10,cos50a b a b =+=-，则0001(cos10cos50)cos 2022a =+=， 00011(cos10cos50)sin 2022b =-=，所以原式2200cos 10cos 50cos50cos10=+-22()()()()a b a b a b a b =++---+223a b =+02021320)3(sin 20)24=+=． 解法二 利用2222cos 10sin 101,cos 50sin 501+=+=，构造对偶模型求解． 设A =22cos 10cos 50sin 40sin80+-，B =22sin 10sin 50cos 40cos80+-，则02cos 40,A B +=-00001cos 20cos100cos120cos 402A B -=++=-，从而求出34A =．说明 三角式的结构特征分析在解题中的作用很大，往往能揭示问题的本质．本题也可以通过构造三角形等其它方法求解．例4. 化简：tan tan 2tan 2tan3tan(1)tan n n αααααα+++-．分析 从结构特征入手，由于每个乘积项中的两个角相差都是α，从两角差的正切公式化简入手． 解由tan tan(1)tan tan[(1)]1tan tan(1)n n n n n n ααααααα--=--=+-，变形得tan tan(1)tan tan(1)1tan n n n n ααααα---=-，其中2,3,4,n =．从而原式tan 2tan tan 3tan 2tan tan(1)(1)(1)(1)tan tan tan n n ααααααααα----=-+-++-tan tan n n αα=-．例5. 在ABC ∆中，求证：222sin sin sin 4cos cos cos 222a Ab Bc C a b c A B C a b c ++++=++．证明由正弦定理s i n s i n s i n A B C a b c ==得sin sin sin sin A B C C a b c c++=++即coscos 222sin 2A Ba b c C c ++=，① 将①式左边分子分母同乘以2c o s 2C 得2coscos cos 222sin 2A B C a b c C c++=,即2sin 4cos cos cos222c C c A B C a b c =++，同理可得2sin 4cos cos cos 222a A a A B C a b c =++，2sin 4cos cos cos222b B b A B C a bc =++，三式相加即得证．例6. （2011“华约”）A 、B 、C 为△ABC 的内角，且△ABC 不为直角三角形. ⑴求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列时，求cos2C A-的值.分析与解：⑴证明：A B C π++=，A B C π+=-，两边取正切，()()tan tan A B C π+=-，tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B C A B C A B+=-⇒++=++-.tan tan tan tan A C A B C -=+tan tan tan tan A C A B C =++. 由⑴知t a n t a n t a n t a n t an A C A B C =，所以t a n 3B =，3B π=.又211sin 2sin 2sin 2B A C=+， 所以s i ns i n s i nsi nA CA CB +===.即()()()()2sin cos 1cos 22cos 222A C A C A C A C +-=-+--⎡⎤⎣⎦. 将23A C π+=代入，()()11cos 2222A C A C -=⎡⎤----⎢⎥⎣⎦，()()()23cos 12cos 224cos 1A C A C A C -=+-=--.()()24cos 3cos 10A C A C ----=，()cos 1A C -=（此时△ABC 为等边三角形）或14-. 由于cos 02C A ->，所以cos 12C A-==或4四、重点总结在自主招生考试中，三角是一个重要的内容，占有固定的分值.这部分的题目基于高中数学基本的知识及方法，重点为三角函数的图像与性质、三角恒等变换以及解斜三角形，但是难度大大增加了.考生在准备这一部分内容的时候，首先应该掌握三角的基本知识及方法，然后通过对自主招生考试难度的题目的训练，提升思维灵活性，同时需要注意到一些在高考中不要求的公式的运用，针对这方面进行强化训练.这样就能在自主招生考试中取得满意的成绩.五、强化训练A 组1. (2004年全国高中数学联赛)在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin cos(0)f x a ax ax a=+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x的图像所围成的封闭图形的面积是．分析利用正弦函数图像的对称性补形转化求解．解1()),arctanf x axaϕϕ=+=，它的最小正周期为2aπ，振幅为．由()f x的图像与()g x的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成长为2aπ．2. (2003年全国数学联赛)若5,123xππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则2t a n()t a n()c o s() 366y x x xπππ=+-+++的最大值是．分析化弦后利用单调性求解．解22tan()cot()cos()336y x x xπππ=+++++2cos()6sin(2)3xxππ=-+++，由于函数的每一部分在给定区间上都是增函数，所以当3xπ=-时取最大值为6．3. 求24cos cos55ππ+的值．分析从基本方法和构造法两个角度求解．解法一（和差化积逆用公式）24cos cos55ππ+＝322cos cos2cos cos5555ππππ==-，分子分母同乘4sin5π，连续两次逆用二倍角公式得其值为12-．解法二（构造对偶式求解）设2424cos cos,cos cos5555x yππππ=+=-，22241418cos cos(1cos)(1cos)552525xyππππ=-=+-+1421(cos cos)2552yππ=-=-．约去(0)y y>得12x=-．解法三（自身代换构造方程求解）242cos cos cos cos05555xππππ=+=-<，平方 2222424cos cos 2cos cos5555x ππππ=++ 48sin sin141855(1cos )(1cos )22425252sin 2sin 55ππππππ=++++⋅ 1148(cos cos )2255ππ=++1142(cos cos )2255ππ=++122x =+． 得方程21122x x =+，从而解得12x =-．解法四 （构造同形方程）设24cos cos 2cos cos 55x x ππ+=+，则24cos cos ,cos55x ππ=同时满足该同形方程． 由二倍角公式得二次方程2242cos cos (1cos cos )055x x ππ+-++=，这表明24cos ,cos 55ππ是方程2242(1cos cos )055y y ππ+-++=的两根，而且是全体根，由根与系数的关系得241cos cos 552ππ+=-．4. 已知x ∈R ，则函数sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的最大值与最小值的和是．解注意到sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭max sin ,cos ,sin()4x x x π⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 显然()f x 的最大值为1，可以通过作出s i n y x =和cos y x =的图像得到{}m a x s i n ,c o s xx的最小值是2-， 在524x k ππ=+时取得，而此时sin()4x π+的值为1-，所以()f x的最小值是2-，从而最大值与最小值的和是12-．5. 已知函数()sin()(0,)f x x x R ωϕω=+>∈满足()(1)(2f x f x f x =+-+．若s i n (9)A x ωϕω=++，sin(9)B x ωϕω=+-，比较A 与B 的大小关系．解 发现函数()f x 的周期性，运用周期变换求解．由()(1)(2)f x f x f x =+-+得(1)(2)(3)f x f x f x +=+-+，两式相加得(3)()f x f x +=-，即得(6)()f x f x +=，从而可知()f x 是以6为周期的函数，所以(9)A f x =+(3)(3)f x f x =+=-(9)f x B =-=，即A 与B 的大小关系是A B =．6. 设,αβ分别是方程cos(sin )x x =和sin(cos )x x =在区间(0,)2π上的解，确定,αβ的大小关系．解 构造函数，运用其单调性求解． 记()cos(sin ),02f x x x x π=-≤≤，因为(0)101f =-=，()cos1022f ππ=-<，所以()0f x =在(0,)2π上有根，又()f x 在(0,)2π上单调递减，所以()0f x =在(0,)2π上的根α是唯一的．同样记()sin(cos )g x x x =-，由(0)0,()02g g π><及()g x 在(0,)2π上单调递减，所以()0g x =在(0,)2π上的根β存在且是唯一的．由cos(sin )αα=两边取sin 得 sin[cos(sin )]sin αα= 由于sin(cos )x x =的解是唯一的，所以sin αβ=， 故sin βαα=<．7. 求证：23tantantan 777πππ=． 分析 构造方程求解．解由7k πθ=知θ是方程tan3tan 40θθ+=的根．设7k πθ=1,2,3k =． 则tan3tan 40θθ+=，即2tan tan 22tan 201tan tan 21tan 2θθθθθθ++=--． 令tan x θ=，对2tan tan 22tan 201tan tan 21tan 2θθθθθθ++=--展开整理得 642213570x x x -+-=由23tan,tan,tan777πππ是上述方程的三个根，1那么22223tan ,tan ,tan 777πππ是方程32213570t t t -+-=的三个根，由根与系数的关系得22223tan tan tan 7777πππ=，开方即得23tan tan tan 777πππ=8. 若,,a b c 均是整数（其中090c <<）0sin a b c =+，求a bc+的值．分析 角变换，使得098sin50-为完全平方． 解 000098sin5098sin108sin108sin50-=+-- 098sin108[sin(3020)sin(3020)]=+--++ 0298sin108cos 2098sin108(12sin 10)=+-=+-- 2216sin 108sin101(4sin101)=++=+ 所以1,4,10a b c ===，12a b c +=．后分别交此圆于点11,,A B C ，求1111coscos cos 222C A BAA BB CC ++的值． 分析 用正弦定理化边为角转化为三角式处理． 解 如图连接BA ，则12sin()A AA B =+2cosB C-=， 故1cos2cos cos sin sin A B C AAA C -==+， 同理1cossin sin B A =+，1cos sin sin CA B =+， 代入原式得1111cos cos cos 222C A BAA BB CC ++2(sin sin sin )A B C ++==．B 组1. （16届全苏竞赛题）三个数a,b,c ∈)2,0(π，且满足a a =cos ，b b =cos sin ，c c =sin cos ，按从小到大的顺序排列这三个数． 解 运用单调性结合分类讨论求解．（1）若b a =，则a a cos sin cos =，但由a cos )2,0(π∈，故有a a cos sin cos >矛盾，即a ≠b ．（2）若b a <，则由单调性可知b a cos cos >，又由b a <及题意可得b a cos sin cos <，而b b cos cos sin <，因此又可得b a cos cos <，从而产生矛盾． 因此b a >．类似地，若a c =，则由题意可得a a sin cos cos =，从而可得a a sin =与a a sin >矛盾；若a c <，则a a c <<sin sin ，即a c <sin ，a c cos sin cos >∴，即a c >矛盾． 综上可得：c a b <<．2. 已知：定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，且在),0[+∞上是增函数．若不等式0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f 对任意R ∈θ恒成立．求实数m 的取值范围．解 先证明函数在R 上是增函数，运用单调性去掉()f x 后转化为不等式恒成立求解． 设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <，则),0(,21+∞∈--x x ，且21x x ->-． ∵)(x f 在),0[+∞上是增函数，∴)()(21x f x f ->-又)(x f 为奇函数∴)()(21x f x f <．∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数．即函数)(x f 在)0,(-∞和),0[+∞上是增函数，且)(x f 在R 上是奇函数，所以)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．∵0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f ，∴)sin 2()32(cos θθ-->-m f f ，)2(sin )32(cos m f f ->-θθ，m 2sin 32cos ->-θθ，2sin sin 222++>θθm ，161541sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+>θm 。
中学数学竞赛讲义——三角函数
中学数学竞赛讲义——三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=ry ,余弦函数co s α=rx ,正切函数tan α=xy ，余切函数cot α=yx ，正割函数se cα=xr ,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α,co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
自招竞赛课程数学讲义：自主招生中的函数与函数方程问题【讲师版】
自招竞赛数学“自主招生中的函数与函数方程问”讲义编号：热点问题：方程的根的问题；函数的最值问题；函数性质与应用；函数图象与应用；简单的函数方程。
高观知识的渗透在近几年的自主招生考试中，直接或间接涉及函数方程的问题越来越多，抽象函数与方程交融更是受到命题者的青睐。
此类问题要求对函数的本质有较深的理解，而函数方程变化多，求解技巧强，往往涉及不同领域的数学知识。
特别是附加了条件的函数，更是五花八门，各有巧妙。
本讲义通过例题，粗略归纳为几种题型，希望对大家有所帮助。
函数零点的定义对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
结论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数y=f(x)零点的判断方法：1、方程法：解方程f(x)=0，得函数y=f(x)的零点。
2、图象法：画出函数y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标就是y=f(x)的零点。
3、定理法：函数在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a) ·f(b)<0。
例：若函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1的两个零点中，一个在0和1之间，另一个在1和2之间，求k 的取值范围。
函数的对称性✧定理1：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线的对称。
✧定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (b－x)两函数的图象关于直线x=2ab对称。
✧定理3.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b函数的周期性抽象函数周期————“六部曲”✧探究一. T=a（周一）定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数a≠0，使得对一切x∈D，且x+a∈D时都有f(x+a)=f(x)，则称y=f(x)为D上的周期函数，非零常数a叫这个函数的周期。
自招竞赛课程数学讲义：自主招生考试中的反证法问题【讲师版】(函数与方程讲完后讲)
自招竞赛 数学
“自招考试中的反证法问题”
讲义编号：
“反证法”历来是自主招生考试命题“青睐”的一种方法，这是因为它在数学解题中占有特殊地位，有些数学命题采用“反证法”比较简捷，甚至一些数学命题至今除了“反证法”外还没有找到其它更好的证法，因此，它被誉为“数学家最精良的武器之一”。
同时，“反证法”在自主招生中出现的知识背景、表现形式很丰富，它常常和函数、方程、不等式、三角、数列、解析几何等背景融合在一起。
另外，“反证法”不仅有利于复习巩固其它的数学知识，更为重要的是，从 “反面”来思考问题，有利于防止思维定势，培养学生的逆向思维与“解决问题”能力。
1. 数列{}n a 各项均为正数，且对任意的n N +∈满足21n n n a a ca +=+ (常数0c >)。
证明：
(1)对任意的正数M ，存在N N +>，当n N >时，n a M >；
(2)记1,1n n n
b S ca =+为{}n b 的前n 项和，则对任意的0d >，存在N N +∈，当n N >时，有1
10n S d ca <-<. (2013，北京大学等学校联合自主招生考试)
2.
（是后面例15的推广，类似例15可证）
熟悉可能会用到反证法的题目关键词
✧结论以“必有”“一定有”“存在”“没有”“不是”“不存在”或“是否存在”等一类词
语呈现的命题，直接证明不易人手。
若适当采用反证法往往会独辟蹊径，达到柳暗花明的效。
上海高中自主招生—专题讲座·数学(试读文档)
高中自主招生是每一位初中学生都可以尝试的活动鉴于现在市面
Hale Waihona Puke 上自招的材料比较少而且多数培训机构都打着自招的牌子这或许会
让大家很难去选择所以我们就想着尽我们的能力编写一套复习材料 给大家一些帮助
我们建议大家可以从七年级升八年级的暑假开始学习这套材料本
书分为!"讲难度在课本以上竞赛以下每讲都分为知识要点例题
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过训练达到心中有数笃悠悠地去参加高中自主招生活动
我们认为在对的时间做对的事情是最关键的暑假好好复习已学知
(自主招生培训)第七讲：三角函数
第七讲 三角函数第一部分 相关知识1．和差化积与积化和差公式：sin cos αβ= sin sin αβ+= cos sin αβ= sin sin αβ-= cos cos αβ= cos cos αβ+= sin sin αβ= cos cos αβ-=2．三倍角公式与万能代换公式：3sin33sin 4sin ααα=-，3cos34cos 3cos ααα=-；利用三倍角公式求值：0sin18= ；22tan2sin 1tan 2ααα=+，221tan 2cos 1tan 2ααα-=+，22tan2tan 1tan 2ααα=-.3．两个有用的三角不等式：若θ为锐角，则sin cos 1θθ+>，sin tan θθθ<<.例如:①求函数[0,])2y x π=∈的值域；②设(0,)2x π∈，证明：3sin 4x x x >-.4．ABC ∆中的一些恒等式和不等式：①sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=；②；222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+③cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+；④222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；⑥tantan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++=；⑦锐角ABC ∆中，任意角的正弦大于另一个角的余弦，如sin cos A B >. 5．几个恒等式：coscos24αα…cos2nα=sin sin()sin(2)ααβαβ+++++…sin()n αβ++=cos cos()cos(2)ααβαβ+++++…cos()n αβ++=例如：若*n N ∈，则24coscos 2121n n ππ++++…2cos 21n n π+=+ .第二部分 相关习题1.（2012卓越联盟）函数cos ()2sin xy x R x=∈+的值域是 .2.（2012华约）在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为 .3.已知圆222x y k +=至少覆盖函数()xf x kπ=的一个最大值点和一个最小值点，求实数k 的取值范围.4.若23A B π+=，则22cos cos A B +的值域为 .5.（2010北大）是否存在02x π<<，使得sin x 、cos x 、tan x 、cot x 的某种排列为等差数列？6.（2012卓越联盟）设()sin()(0,)f x x R ωϕωϕ=+>∈， 若在常数(0)T T <，使对任意x R ∈有()()f x T Tf x +=成立，则ω可取到的最小值为 .7.（2009复旦）关于x 22cos2xx a +=在区间(0,2)π内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是 .8.（2009复旦）已知2(tan cot )10(0)x x θθθπ-++=<<，且满足3x x ++ (21)n x-++ (2)=，则θ= .9.（2012北约）求使得sin 4sin 2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的实数a 的值.10.（2013华约）已知x 、y 满足1sin sin 31cos cos 5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，求sin()x y -与cos()x y +的值.11.（2010清华）求404040sin 10sin 50sin 70++的值.12.圆221x y +=上有三点，坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，且1231230x x x y y y ++=++=，求证：22222212312332x x x y y y ++=++=.13.（2013北约）对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值．14.（2011北约）ABC ∆的三边a 、b 、c 满足2a b c +≥，A 、B 、C 为ABC ∆的内角，求证：060C ≤.15.（2011华约）A 、B 、C 为ABC ∆的内角，且ABC ∆不为直角三角形.①求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；tan tan 1tan B C C A +-=，且s i n 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列时，求cos2C A-.16. （2011卓越联盟）已知sin 2()sin 2n αγβ+=，求tan()tan()αβγαβγ++-+的值.17.（2010复旦）设α、[,]22ππβ∈-，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是 .18.（2011卓越联盟）在ABC ∆中，2AB AC =，AD 是A 的角平分线，且AD kAC =.（1）求k 的取值范围；（2）若1ABC S ∆=，问：k 为何值时，BC 最短？19.（2010五校选拔）在ABC ∆中，三边长为a 、b 、c 满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为 .20.若8841sin cos 128x x +=，(0,)2x π∈，求x .。
历年自主招生试题分类汇编三角函数.docx
历年自主招生试题分类汇编——三角函数7.（ 2014 年北约）证明tan3是无理数 .【证明】由三角公式tan22 tan,tan()tan tan, 1tan21tan tan若 tan3 是有理数,则 tan6 ,tan12 ,tan 24为有理数 ,再由tan 6和 tan24 可得 tan 30为有理数 ,这与tan303为无理数矛盾 !因此 , tan3是无理数 . 3法二：设t0Q a n3，则t 0Q a nQ6a， n这与 1Q 2t Qtan3003Q 矛盾．39．（ 2013 年北约）对于任意的，求32 cos6cos 6 6 cos 415 cos 2 的值．解析32 cos632(1cos 2) 34cos3 212 cos2 212 c o s2 4 ，2c o s633 c o s2 ，4 c o s 26 cos 426 ，12 c o s215 cos 215 c o s2，各式相加，得 32 cos6cos 6 6 cos 415 cos210 ．题 7（ 2012 年北约）求使得 sin 4 x sin 2 x sin xsin 3 x a 在0,上有唯一解的 a 。
解：设f x sin4 xsin2 x sin xsin3 x1cos6 x cos2x1cos4 x cos2x221sin5 x sin xcos6x cos4 x2∵ f x sin 55x sin x sin5 x sin x f x∴ f x关于直线 x对称2故 f x a 在 0,上有唯一解，只能x 0或 x2当 x0时， a0，此时 sin xsin 5 x0 在0,上不是唯一解，舍去当x时， a 1 ，此时 sin x sin 5 x12∵ 0, 时， sin x 0 ∴ sin x 1 且 sin 5 x 1 ，得 x 为唯一解 ∴ a 12评析： 本题要求掌握函数对称性与三角函数知识，考查学生知识应用的迁移能力。
高中数学竞赛与自主招生专题第四讲：函数的性质(教师版)
高中数学竞赛与自主招生专题第四讲 函数的性质自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。
热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
一、知识精讲设函数)(x f y =的定义域为D 1.单调性：（1）传统定义：在区间[]a b ，上，若12a x x b ≤≤＜，如果12()()f x f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果12()()f x f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递减；（2）导数定义：在区间[]a b ，上，如果'()0f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果'()0f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递减；注意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔--⇔--上为减函数在＜②、上为增函数在＞①、D x f x x x f x f D x f x x x f x f )(0)()()(0)()(212121213.复合函数的单调性：（1）增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 （2）对于取值恒为非负数的函数增函数×增函数=增函数 减函数×减函数=减函数 增函数÷减函数=增函数 减函数÷增函数=减函数 （3）若()f x 、()g x 都是增（减）函数，则(())f g x 为增函数；若()f x 、()g x 一个增函数，一个减函数，则(())f g x 为减函数。
自主招生中的三角函数问题(1)【学生版】
自招竞赛 数学“自主招生中的三角函数问题（1）”讲义编号：三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点。
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图像与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上。
高校的自主招生考试作为一种选拔优秀学生的考试，加强了对三角函数恒等变形的考查。
可见，三角函数问题已成为各校自主招生的热点问题之一。
分析近几年高校自主招生中涉及的三角函数试题，可归纳为以下几种题型：纯三角问题（代数运算为主）、与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。
自主招生中的三角函数问题（1）主要讲解知识梳理部分和纯三角问题（代数运算为主）。
自主招生中的三角函数问题（2）主要讲解三角函数与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。
1 求444sin 10sin 50sin 70++的值。
（2010，清华特色考试）2 已知A B C ∠∠∠、、为ABC 的三个内角。
证明：2cos cos 4sin .2a AB C b c ++≥+ (2008，浙江大学自主招生考试)同角公式：平方关系 222222sin cos 1,sec tan 1,csc cot 1αααααα+=-=-=； 商数关系 sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； 倒数关系 tan cot 1,sin csc 1,cos sec 1αααααα===. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.加法公式：和、差、倍、半、万能公式；积化和差、和差化积公式. 还应熟悉：（1）三倍角公式 32sin33sin 4sin ,cos34cos 3sin αααααα=-=-，1sin(60)sin sin(60)sin 3,cos(60)cos cos(60)41cos3.4αααααααα-+=-+=（*）n 倍角公式∑=--=][02222sin cos )1(cos n k k k n kn k C n θθθ∑=+--+-=][01212122sin cos )1(sin n k k k n k n k C n θθθ（2）0211sin()sin()cos()sin 2222cos()2sin sin22nk n d n n x d x x d d x kd d d =+++--+⋅+==∑，211cos()cos()sin()sin 2222sin()2sin sin22nk n d n n x d x x d d x kd d d =+++--+⋅+==∑.（3）2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+-， 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+-. （4）tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-++=---.（5）若02πθ<<，则sin tan θθθ<<.（6）函数sin xy x=在(0,)π上为减函数； 函数tan x y x =在(0,)2π上为增函数. （7）ABC ∆中，①sin sin sin 4cos cos cos222AB C A B C ++=；②cos cos cos 14sin sin sin222A B C A B C ++=+； ③tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； ④tan tantan tan tan tan 1222222A B B C C A++=； ⑤cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=；⑥sin2sin2sin24sin sin sin A B C A B C ++=.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆、内切圆半径分别为,R r ，半周长为2a b cp ++=. （1）正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===. （2）余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C =+-=+-=+-. （3）射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+. （4）面积：21112sin sin sin (sin sin sin )2224ABC a b c abcS ah bh ch rp R A B C rR A B C R∆=======++2221(cot cot cot )4a Ab Bc C ==++.22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅纯三角问题（代数运算为主）例1 求证：20720sin 31<︒<．【补充】求证：9210tan 61<︒<【练习】N n ∈，2≥n ，求证：321cos ...31cos 21cos >⋅⋅n ．例2 C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：233sin sin sin 2≤++<C B A ．【练习】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：23cos cos cos 1≤++<C B A ．例3 已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，求证：4331111222≤+++++<c c b b a a ．【练习】已知abc c b a c b a =++>,0,,，求证：231111111222≤+++++<c b a ．【变式】已知1),,0(,,=+++∞∈ca bc ab c b a ，求证：231111222≤+++++<c c b b a a ．例4 设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值．【练习】设C B A ,,是三角形的三个内角，求证：3233sin 3sin 3sin 2≤++<-C B A ，并确定其中的等号何时成立．例5 对于任意的正数x 、y 、z 、及△ABC 三内角A 、B 、C ，总有：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．【补充】求证：02cos 22cos 22cos 2222≥+++++C xy B zx A yz z y x【变式】求证：)(21cos cos cos zxy y zx x yz C z B y A x ++≤++ 求证：23cos cos cos ≤++C B A 求证：C ab B ca A bc c b a cos 2cos 2cos 2222++=++求证：C B A B A C A C B C B A cos sin sin 2cos sin sin 2cos sin sin 2sin sin sin 222++=++求证：)(21cos cos cos cabb ac a bc C c B b A a ++≤++【练习】给定正整数n ，求最小的正数λ，使得对于任何=i θ),,2,1)(2,0(n i =π，只要2212tan ...tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ，就有n θθθcos ...cos cos 21+++不大于λ．【练习】设8,0,0,0=>>>abc c b a ，求证：21111111<+++++<cb a ．试题演练选自“北约、华约、卓约自主招生数学2011-2012三角函数真题部分”1.（2011北约4）2.（2011华约11）3.（2012北约7）4.（2012卓约2）5.（2012卓约6）讲师评价。
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自招竞赛数学
“自主招生中的三角函数问题（1）”
讲义编号：
三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点。
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图像与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上。
高校的自主招生考试作为一种选拔优秀学生的考试，加强了对三角函数恒等变形的考查。
可见，三角函数问题已成为各校自主招生的热点问题之一。
分析近几年高校自主招生中涉及的三角函数试题，可归纳为以下几种题型：
纯三角问题（代数运算为主）、与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。
自主招生中的三角函数问题（1）主要讲解知识梳理部分和纯三角问题（代数运算为主）。
自主招生中的三角函数问题（2）主要讲解三角函数与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。
1求444
sin10sin50sin70
++
o o o的值。
（2010，清华特色考试）
2 已知A B C
∠∠∠
、、为ABC
V的三个内角。
证明：
2
cos cos4sin.
2
a A
B C
b c
++≥
+
(2008，浙江大学
自主招生考试)
答案：1解
2解。