杭州师范大学高等代数2006真题

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浙江师范大学高等代数2006真题

a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0, a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
的系数矩阵 A 的行列式 A 0 且元素 a12 的代数余子式 A12 0 ，试求该线性方程组的基础解系。五（满分 10 分）、设 n 级矩阵 A 满足 4 A A 2 A 0 ，证明矩阵 E n A 可逆，并求
3 2
( E n A) 1ห้องสมุดไป่ตู้，其中 E n 表示 n 级单位矩阵。
六（满分 15 分）、设 1 ( 1, 0, 1, 1) ，
2 (3, 1, 1, 1) ， 3 (1, 2, 1, 2) ，
1 ( 2, 5, 6, 5) ， 2 ( 1, 2, 7, 3) ，V1 L( 1 , 2 , 3 ) ，V2 L ( 1 , 2 ) ，分别求
．
4．设在向量组 1 , 2 , 3 , 4 中任意 3 个向量都线性无关，则该向量组不一定）线性无关． 5 ．设 A 是 3 级实数矩阵且 A 2 ，已知 A 的一个特征值是是．
（填一定或
1 3 i ，则它的全部特征值 2 2
6 ．设线性空间 V 上的线性变换 , 在 V 的某组基下的矩阵分别是 A, B ，则线性变换
3 2 在同一组基下的矩阵分别是
．
3 0 0 7 ．已知 3 维欧氏空间一组基 1 , 2 , 3 的度量矩阵 A 0 2 1 ，则向量 0 1 3 21 3 2 3 的长度

杭州师范大学高等代数2006--2019年考研真题

杭州师范大学
2019年招收攻读硕士研究生考试题
考试科目代码：838
考试科目名称：高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题15分，共150分
1.求下列行列式的值： .
2.设，其中Q为有理数域.
（1）证明：对于矩阵加法和数乘构成有理数域上的向量空间；
（2）求的一组基；
（3）求中的向量在（2）中所求的基下的坐标.
5、(20分)设a，b为两个复数，令
Va={f(x)|f(x)∈F[x]，f(a)=0}，Vb={g(x)|g(x)∈F[x]，g(b)=0}，
为F[x]的两个子空间，试证：Va与Vb同构．
6、(20分)设V=V1 V2，σ，τ∈L(V)，对于 α=α1+α2∈V，都有σ(α)=α1，
(α1∈V1，α2∈V2)，求证V1与V2都是τ的不变子空间 στ=τσ．
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
4、(15分)已知矩阵A= 与B= 相似，求实数a，b．
5、(10分)设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2009年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：813
考试科目名称：高等代数

2006—数一真题、标准答案及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题(1) lim Xln(1 x)X 01 COSX -----------------(2 )微分方程y y(1 x)的通解是__________________ .X(3)设是锥面z x2—y2( 0 z 1)的下侧，贝U xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy(4)点(2,1, 0)到平面3x 4y 5z 0的距离z =(5 )设矩阵A E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E ,贝U B(6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则P max{X,Y} 1 = ______________、选择题(7)设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0 ,x为自变量x在x0处的增量, y与dy(A) 0 dx y. (B) 0 y dy(C)y dy 0. (D)dy y 0104d 0f(rcos，rsin )rdr等于(A) 02dx x f (X, y)dy.(B) 0勺x°1x2f(x,y)dy.(C) 0「y1y2f(x,y)dx. (C) ^dy J 7 f(x, y)dx. 【】(9)若级数a n收敛，则级数n 1(A) a n收敛.n 1(C) a n a n 1收敛. (B) ( 1)n a n收敛.n 1(D) 3n 3n 1收敛. 【】分别为f(x)在点X。

处对应的增量与微分，若x 0，则(8)设f(x, y)为连续函数，则(10)设f (x, y)与(x, y)均为可微函数，且y (x, y) 0 •已知(x 0, y 0)是f (x, y)在约束条件(x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 0，则 f y (x 0, y 0) 0 0，则 f y (x 0, y 0) 00，则 f y (x 0, y 0) 00，则 f y (x 0, y 0) 0(A) 若a !, a 2,L , a,线性相关，则 (B) 若a !, a ?丄，a,线性相关，则 (C) 若印，玄2丄，a,线性无关，则(A ) P(A B) P(A). (B )P(A B)P(B). (C ) P(A B) P(A).(D )P(A B)P(B). 【】14 )设随机变量X 服从正态分布N( 1, 212) ， Y 服从正态分布N( 2, 2)，且P{| X1| 1} P{| Y 2| 1},(A ) 1 2.(B ) 1 2.( C )12.(D )1 2.【】(12 )设A 为3 阶矩阵，将A 的第 2 行加到第 1 行得B ，再将B 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得C ，记1 10P0 1 0 ，则0 01(A ) CP 1AP.(B ) C PAP 1.(C )C P T AP . (D )C PAP T .【】13)设 A, B 为随机事件，且p(B) 0, p(A|B)1，则必有(D) 若a !, a ?丄，a,线性无关，则】(A) 若 f x (x 。

06级信本高等代数试题

06级信本高等代数试题（A ）一、单项选择（每小题3分，共15分）1、下列矩阵正定的是( )A 、121232123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 、122244246⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C 、122255253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D 、725212525⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2、下列3R 的子集是其子空间的是( )A 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+=B 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+≠C 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+≤D 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+≥ 3、212(,)x x Q ∀∈，下列法则为2Q 的线性变换的是( ) A 、1212(,)x x x x σ=+ B 、122(,)(,0)x x x σ= C 、121(,)(0,sin )x x x σ= D 、2121(,)(,0)x x x σ=4、设3=λ为可逆矩阵A 的特征值，则13)31(-A 有特征值( )A 、181B 、127C 、91D 、315、下列]2,2[-C 中向量为单位向量的是( ) A 、1 B 、x 43 C 、2x D 、22二、填空（每小题3分，共15分）1、一切实n 元二次型可分为个等价类2、2[]C x 作为实数域上的线性空间其维数是，其基为3、向量12αα+关于基312,,ααα的坐标是4、)(,2P L ∈τσ，),(),(x y y x -=σ，(,)(0,)x y x τ=，则(,)x y στ＝5、在3R 中，定义内积31(,)i i i ix y αβ==∑，则)0,1,0(与(0,0,1)的夹角为三)01('、求可逆线性替换PY X =，使实二次型21233121323(,,)28124f x x x x x x x x x x =+--化为标准形，并求其正惯性指数，判断其是否正定．四)01('、求10121123(,,,)12100111L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一组基与维数．五)51('、设22100x y x y z u W R z u x y z u ⨯⎧⎫+++=⎛⎫⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬ ⎪-+-=⎝⎭⎩⎪⎪⎭⎩，21110(,)1011W L ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为22R ⨯的两个子空间，求1212,W W W W + 的一组基与维数．六(10)'、3),,(P z y x ∈∀，令(,,)(2,2,32)x y z x y z x y z x y z σ=++-+-+ ①证明)(3P L ∈σ；②求σ关于基)0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===ααα的矩阵．七)51('、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组标准正交基，)(V L ∈σ，并且1123()22σεεεε=--，2123()22σεεεε=-+-，3123()22σεεεε=--+①证明σ是V 上的对称变换；②求σ的特征值与特征向量；③求V 的一组标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角矩阵．八(10)'、设1234{,,,}αααα是欧氏空间V 的一组标准正交基，证明：1121(2βαα=++34)αα+，212341()2βαααα=--+，312341()2βαααα=-+-，412341()2βαααα=+--也是欧氏空间V 的一组标准正交基．06级信本高等代数试题（A ）答案与评分标准一、单项选择（每小题3分，共15分）D, A, B, C, B ．二、填空（每小题3分，共15分）1、(1)(2)2n n ++；2、4,1,,,i x ix ；3、(0,1,1)；4、(,0)x -；5、2π．三)01('、解：二次型的矩阵046402622A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭对矩阵A 作合同变换04618201600402220020622002001100100100010010110001311211----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（5分）令100110211X Y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则二次型的标准形为222123162y y y --+；正惯性指数为1 ；且不正定．（5分）四)01('、解：取22R ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则111221221112101211230213(,,,)(,,,)1210011111012011E E E E ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（5分） 11121112021302131101000020110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故其基为1012,1210⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，维数为2．（5分）五)51('、解：由0x y z u x y z u +++=⎧⎨-+-=⎩的基础解系可得1W 的基为1001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，（5分）则1210011110(,,,)10011011W W L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而101110000110010110110011011000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，（5分）则1212dim()3,dim()1W W W W +== ，基分别为100111,,100110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭；011110011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（ 5分）六(10)'、①证明：(,,)(2,2,32)x y z x y z x y z x y z σ=++-+-+213(,,)121112x y z ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，令213121112A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，P b a P Y X ∈∀∈∀,,,3，有=+)(bY aX σ)()()(Y b X a bYA aXA A bY aX σσ+=+=+则)(3P L ∈σ；（5分） ②1123()(4,0,4)444σαααα==-+，2123()(3,1,2)234σαααα=-=-+，3123()(2,1,3)32σαααα==-+，故σ关于},,{321ααα的矩阵423432441B ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭．（5分）七)02('、证明：①σ关于标准正交基321,,εεε的矩阵是122212221A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，因A A T =，所以σ是对称变换；（5分） ②解0||)(=-=A xE x f A 得特征值1233,3λλλ===-，对123λλ==，解(3)0E A X -=，基础解系12(1,1,0),(1,0,1)ηη=-=-，得其对应线性无关的特征向量为112213,ξεεξεε=-+=-+，对33λ=-，解(3)0E A X --=，基础解系3(1,1,1,)η=，得属于13-=λ的特征向量3123ξεεε=++；（5分）③令11ξβ=，)1,21,21(),(),(1111222--=-=ββββξξβ，则得标准正交基3212211626161,2121εεεγεεγ+--=+-= ，3213313131εεεγ++=，σ关于此基的矩阵是(3,3,3)diag -．（5分）八、(10)'证由于1234{,,,}αααα是欧氏空间V 的一组标准正交基，故1111112233444444(,)(,)(,)(,)1ββββββββ====+++=11111111121344444444(,)0,(,)0ββββ=--+==-+-=，（5分） 11111111142344444444(,)0,(,)0ββββ=+--==+--=， 11111111243444444444(,)0,(,)0ββββ=-+-==--+=，所以1234{,,,}ββββ也是欧氏空间V 的一组标准正交基．（5分）06级信本高等代数试题（B ）一、单项选择（每小题3分，共15分）1、n 元实二次型X AX '正定⇔（）A 、0A >B 、()r A n =C 、符号差0s =D 、正惯性指数p n = 2、dim ((0,1,1,1),(1,1,0,1),(1,0,1,0),(1,2,1,2))L ----=（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、)(3P L ∈σ，),,0(),,(y x z y x =σ，则2σ的值域与核的维数分别是（）A 、1，2B 、2，1C 、0，3D 、3，04、设2λ=为可逆矩阵A 的特征值，则311()2A -有特征值（）A 、12B 、14C 、18D 、1165、下列]1,1[-C 中向量为单位向量的是（） A 、1 B 、x C 、2x D 、22二、填空（每小题3分，共15分）1、一切n 元复二次型可分为个等价类2、33⨯R 中的所有下三角矩阵所做成33⨯R 的子空间，其维数为3、向量(1,1,1)关于基11213,,εεεεε++的坐标是4、设σ为[]n P x 上的导数变换，核1(0)σ-= ，值域([])n P x σ=5、设12,,,n ααα 是欧氏空间的标准正交基，(,)i j αα= 三)01('、求非退化线性替换PY X =，使实二次型21232121323(,,)242f x x x x x x x x x x =-+-化为标准形，并求其正惯性指数，判断其是否正定．四)01('、求10022214(,,,)11111111L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一组基与维数．五)01('、设1212(1,2,1,0),(1,1,1,1),(2,1,0,1),(1,1,3,7)ααββ==-=-=-，1212(,),(,)U L W L ααββ==，求,U W U W + 的维数与一组基．六)51('、设P 是数域，3),,(P z y x X ∈'=∀，令110(),011101X AX A σ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，①证明)(3P L ∈σ；②求σ关于基)0,1,2(),0,1,1(),1,1,1(321=α=α=α的矩阵．七)51('、设R 是实数域，在欧氏空间3R 中，3()L R σ∈，并且123123123123(,,)(22,22,22)x x x x x x x x x x x x σ=++++++①证明σ是3R 上的对称变换； ②求σ的特征值与特征向量；③求3R 的一组标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角矩阵．八、(10)'设123{,,}ααα是欧氏空间V 的一组标准正交基，证明：11231(22)3βααα=++，21231(22)3βααα=-+，31231(22)3βααα=+-也是欧氏空间V 的一组标准正交基．06级信本高等代数试题（B ）答案与评分标准一、单项选择（每小题3分，共15分）D ，B ，A ，C ，D二、填空（每小题3分，共15分）1、1n +；2、6；3、(1,1,1)-；4、1,[]n P P x -；5、1,0,i ji j=⎧⎨≠⎩三)01('、解：二次型⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321321321011112120),,(),,(x x x x x x x x x f其矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=011112120A ，对A 施行合同变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101111001100010003100112001101010104100010001011112120 （5分）所以Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101111001二次型的标准形为：2322213y y y -+- 正惯性指标是1，非正定。

2006—数一真题、标准答案及解析

构造格朗日乘子法函数F=f ( x, y ) + λϕ ( x, y )
今ϕ ′ y ( x0 , y0 ) ≠ 0,∴ λ = −
f y′( x0 , y0 ) f ′( x , y )ϕ ′ ( x , y ) 代入(1)得f x′( x0 , y0 ) = y 0 0 x 0 0 ϕ′ ϕ′ y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )
n =1 ∞
∞
( B) ∑ (−1) n an收敛
n =1 ∞
∞
(C ) ∑ an an +1收敛
n =1
( D) ∑
an + an +1 收敛 2 n =1
(Q ∑ an +1也收敛)
n =1
∞
(10)设f ( x, y )与ϕ ( x, y )均为可微函数,且ϕ ′ y ( x, y ) ≠ 0,已知(x0 ,y0 )是f ( x, y )
′ ( x, y ) = 0 ⎧Fx′ =f x′( x, y ) + λϕ x ⎪ ′ =f y′( x, y ) + λϕ ′ ⎨Fy y ( x, y ) = 0 ⎪ ′ ⎩Fλ =ϕ ( x, y ) = 0
(1) (2)
(D)若f x′ (x0 ,y0 ) ≠ 0,则f y′(x0 ,y0 ) ≠ 0
P{| X − μ1 |< 1} > P{| Y − μ2 |< 1},
（A） σ 1 < σ 2. （C） μ1 < μ 2. 三解答题 15 设区域 D=
（B） σ 1 > σ 2. （D）μ1 > μ 2. 【】
{( x, y ) x
2
+ y 2 ≤ 1, x ≥ 0 ,计算二重积分 I = ∫∫

高等代数真题答案

⾼等代数真题答案第六章习题册1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘.(b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘.(c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘.2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这⾥αβV k F ,∈,∈.3. 下述集合是否是()n M R 的⼦空间 (a) {()}T n V A M R A A =∈|=?(b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这⾥()n A M R ∈是⼀个固定⽅阵.4. 叙述并证明线性空间V 的⼦空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的⼦空间的充分必要条件.5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个⾮空⼦集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?.(b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪.(c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.6. 如果123f f f ,,是实数域上⼀元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性⽆关.试证之.7. 设S 是数域F 上线性空间V 的⼀个线性⽆关⼦集, α是V 中⼀个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈.8. (a)证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的⼦空间的⼀个基.(b). 求3()M F 的⼦空间{()()[]}f A f x F x |∈的⼀个基和维数, 这⾥010001000A=9. 在4R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014 =,=,=,=,=10. 求⼀个⾮零向量ξ, 使得它在基1234(εεεε),,,下的坐标和它在基1234(ηηηη),,,下的坐标相同, 这⾥1234εεεε,,,与第9题相同, 123420101121ηηηη22112111=,=,=,=11. 在4R 中, 求由向量 123421111211αααα30311101=,=,=,= 所张成的⼦空间的⼀个基与维数12. 设123411111146αααα11351122=,=,=,=???????????? ,123411311111ββββ11115131=,=,=,=????????11234{αααα}W Span =,,,, 21234{ββββ}W Span =,,,, 请分别求12W W +和12W W ∩的⼀个基13. 设12{()01},{()1}ij n n ij ij n n ij ji V a a i j n V a a a i j n ××=|=,≤≤≤=|=?,≤,≤是矩阵空间()n M R 的两个⼦空间, 证明12V V ?14. 设3323212322233222g x x g x x x g x x x =?+,=??+,=+?,是[]F x 的⼦空间V ⼀个基, 3321232122f x x f x x f x x =++,=?+,=+.请问123f f f ,,中哪些是属于V ,哪些是不属于V , 如果属于请给出它在基123()g g g ,,下的坐标.15. 4R 中, 求由基1234(αααα),,,到基1234(ββββ),,,的过渡矩阵, 并求向量ξ在指定基1234(αααα),,,下的坐标. 其中1α(1111)=,,,, 2α(1111)=,,?,?, 3α(1111)=,?,,?, 4α(1111)=,?,?,; 1β(1101)=,,,, 2β(2131)=,,,,3β(1100)=,,,, 4β(0111)=,,?,?. ξ(1001)=,,,?.16. 设123()A A A ,,和123()B B B ,,是矩阵空间2()M R 的⼦空间V 的两个基, 其中123123100111450321,111000113112A A A B B B =,=,==,=,=??????求 (a) 基123()A A A ,,到123()B B B ,,的过渡矩阵.(b) 3631C ??=在基123()A A A ,,的坐标(c) C 在基123()B B B ,,的坐标17. 设W 是全体实函数关于函数的加法和函数的数乘所成的实数域上的线性空间, 1W 是全体偶函数所成的⼦集, 2W 是全体奇函数所成的⼦集.证明:1W 与2W 是W 的⼦空间且12W W W =⊕.18. 设1W 与2W 分别是齐次线性⽅程组120n x x x +++= 与 12n x x x === 的解空间.证明12n R W W =⊕, 这⾥R 是实数域.19. 如果12V V V =⊕, ⽽11112V V V =⊕, 证明:11122V V V V =⊕⊕.第七章习题册1. 判别下列变换是否线性变换?(a) α是线性空间V 中⼀个固定向量定义(β)βαβT V :=+,?∈(b) 在3R 中, 定义221231233()()T x x x x x x x ,,:=,+,.(c) 在3R 中, 定义12312231()(22)T x x x x x x x x ,,:=?,+,.(d) 在[]F x 中, 定义(())(1)T f x f x =+2. 设V W ,分别是数域F 上的n 维与m 维线性空间, 12{ααα}n ,,, 是V 的⼀个基, ⽽12{βββ}n ,,, 是 W 中 n 个向量.证明存在唯⼀的线性映射T V W :→使得(α)β12i i T i n =,=,,, .3. 设V W ,是数域F 上的两个线性空间, ()L V W ,是V 到W 的所有线性映射所组成的集合.证明 ()L V W ,关于线性映射的加法与数量乘法, 成为数域F 上的⼀个线性空间.4. 在[]F x 中, 定义 12()(())(())()df x T f x T f x xf x dx:=,:=, 证明: 1221TT T T E ?=5. 设T 是V 的线性变换, 向量αV ∈, 存在⼀个正整数k ,使得1(α)0k T ?≠但(α)0k T =. 证明: 21α(α)(α)(α)k T T T ?,,,, 线性⽆关.6. 证明: 设12T T , 是V 的可逆线性变换, 则12TT 也是可逆线性变换, 并且1111221()TTT T =.7. 设T 是V 的线性变换, 证明T 是单射线性变换的充分必要条件是T 把线性⽆关的向量组变为线性⽆关的向量组.8. 设V W ,是数域F 上的两个线性空间, ⽽T V W :→是线性映射. 证明ker T 与()T V 分别是V 与W 的⼦空间. ⼜若dim V 有限, 证明: dimker dim ()dim T T V V +=.9. 在线性空间2()M F 定义线性变换()T X AX XA =?, 其中1234A ??=, 求T 在基11122122()E E E E ,,,下的矩阵.10. 设1234{}V Span f f f f =,,,为函数空间的4维⼦空间, 其中1cos f bx =, 2sin f bx =, 3cos f x bx =, 4sin f x bx =, 求微分变换D 在基1234()f f f f ,,,下的矩阵.11. T 是n 维线性空间V 上的⼀个线性变换, 如果存在αV ∈使得1(α)0n T ?≠, 但(α)0n T =.证明在V 中存在⼀个基, 使得 T 在该基下的矩阵为 0000100001000010A=.12. 设V 是n 维线性空间, 求dim ()L V V ,, 并找出()L V V ,的⼀个基.13. 证明与n 维线性空间V 的所有线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 14.设123131η1η2η1211=,=,=??????是3R 的⼀个基, 定义线性变换为123505(η)0(η)1(η)1369T T T =,=?,=?,???? 求T 在基123(ηηη),,下的矩阵并求(α)T , 其中2α15??=15. 设AP PB =, 其中1581026900370004P =,??0234002300020000B=,求10A16. 若A 可逆, 证明AB 与BA 相似.17. 若A 与B 相似, C 与D 相似, 证明00A C ??与00B D ??相似18. 设A 与B 相似, C 与D 相似, 请举反例说明AC 与BD 不⼀定相似, A C +与B D +不⼀定相似.19. 设123103η0η1η1210=,=,=?,123100010001e e e =,=,=, 在定义为15(η)03T =,?20(η)16T=?,35(η)19T=?, 已知3R 中线性变换T 在基()123ηηη,,下的矩阵为100110002,求T 在基123()e e e ,,下的矩阵.20. 设12n e e e ,,, 是线性空间V 的⼀个基, 11αβnnj ij i j ij i i i a e b e ===,=∑∑, ()()ij ij A a B b =,=, 已知12αααn,,, 线性⽆关. T 是V 上的线性变换使得(α)β12i i T i n =,=,,, .(a) 证明T 在基12(ααα)n ,,, 下的矩阵为1A B ?.(b) T 在基12()n e e e ,,, 下的矩阵为1BA ?.21. 证明: 1212(λ,λ,,λ)~(λ,λ,,λ)n n i i i diag diag , 其中12()n i i i ,,, 是(12)n ,,, 的⼀个排列.22. 设V 为数域F 上的线性空间, T 是V 的线性变换, 若0λ是T 的特征值, 则对任意(λ)[λ]f F ∈, 0(λ)f 是 ()f T 的特征值, 且T 的属于0λ的特征向量也是()f T 的属于0(λ)f 的特征向量.23. 设12λλ,是线性变换T 的两个不同的特征值, 12αα,分别是属于12λλ,的特征向量, 证明12αα+不是T 的特征向量24. 设T 是V 的线性变换. 证明:T 是可逆线性变换充要条件零不是T 的特征值, 并且若λ是T 的特征值, 则1λ?是1T ?的特征值25. 设A B ,是n 阶⽅阵. 证明若1B P AP ?=, 则()()Tr B Tr A =26. 设V 是复数域上的线性空间, 123(ααα),,是V 的有序基, T 是V 上线性变换它在有序基123(ααα),,下的矩阵为 310410482A=, 求T 的特征值与特征向量.27. 求1111111111111111A=的特征值与特征向量.28. 证明不可能存在n 阶⽅阵A 和B 使得AB BA E ?=29. 求下⾯矩阵1212111211121211121124242A=的特征值30. 设A 是⼀个n 阶下三⾓矩阵. 证明若A 的对⾓线元素1122nn a a a === , 且A 不是对⾓阵, 则A 不可对⾓化.31. 设A 是3阶⽅阵, 112,?,是A 的三个特征值, 101111011,,是分别属于特征值112,?,的三个特征向量,求A .32. 设142034043A=?;求可逆矩阵P 使得1P AP ?为对⾓阵, 并求k A .33. 设A 是⼀个n 阶下三⾓矩阵. 证明若A 的对⾓线元素ii jj a a ≠, (i j ≠), 则A 可对⾓化34. 已知T 在⼀个基下的矩阵为 310410482A=??,试问T 是否可以对⾓化35. 对于n 阶⽅阵A , 定义(){()}n C A D M F AD DA :=∈|= (a) 证明()C A 是()n M F 的⼦空间(b) 设1B P AP ?=, 定义映射1()f D P DP ?:=, 证明f 是()C A 到()C B 的同构映射(c) 设A 是n 阶对⾓矩阵, 它的特征多项式为 1212?(λ)(λ)(λ)(λ)s c c c D s d d d =, 其中12s d d d ,,, 两两不同, 证明22212dim ()s C A c c c =+++.36. 设()n A M F ∈, 证明()n M F 的⼦空间{()()[]}V f A f x F x =|∈的为数等于(λ)A m 的次数.37. 设A 为准对⾓矩阵12()s diag A A A ,,,, 其中i A 为i n 阶⽅阵, 它的最⼩多项式为(λ)12i m i s ,=,,,. 证明: 12(λ)[(λ)(λ)(λ)]A s m m m m =,,, (即A 的最⼩多项式是12s A A A ,,, 的最⼩多项式的最⼩公倍式).38. 设101011112A=,求A 的最⼩多项式.39.求矩阵01011010*******0A=的最⼩多项式, 并判断它们是否可对⾓化.40. 证明:A 是幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为零41. 设T 是矩阵空间()n M F 上的线性变换定义为()T T A A :=. 证明: T 是否可对⾓化42. 若W 是V 的⼀维⼦空间, T 是V 的线性变换, 则W 是T -⼦空间充分必要条件W 中任⼀⾮零向量都是属于同⼀特征值的特征向量.43. 设V 是复数域上n 维线性空间, 1T ,2T 是V 的线性变换, 且1221TT T T =. 证明:1T , 2T ⾄少有⼀个公共特征向量44. 设T 是线性空间V 的线性变换, W 是T -⼦空间, 证明(λ)(λ)WT T m m |45. 设T 是线性空间V 的可逆线性变换, W 是T -⼦空间, 证明W 也是1T ?-⼦空间.46. 设A 是实⽅阵, 则存在实可逆⽅阵P 使得1P AP ? 为上三⾓阵的充分必要条件是A 的特征值全为实数.47. 设T 是3维线性空间V 的线性变换, 它在基123(ααα),,下的矩阵为 210021002A=,(a) 证明如果W 是T 的⾮零不变⼦空间, 则1αW ∈,(b) 证明不存在两个T -⼦空间12W W ,, 使得12V W W =⊕48. 设12T T ,是n 维线性空间V 的两个线性变换, 并且11221T TT T T =?, αV ∈是属于λ的1T 特征向量, 证明2{α012}i W Span T i =|=,,, 是2T -⼦空间, 也是1T -⼦空间.49. 设T 是n 维线性空间V 的两个线性变换, ()()[]f x g x F x ,∈, ()(()())d x f x g x =,, ()[()()]h x f x g x =, (a) 证明如果()()f x g x |, 则ker ()ker ()f T g T ?(b) ker ()ker ()ker ()f T g T d T =∩(c) ker ()ker ()ker ()h T f T g T =+第⼋章习题册1. 试求下列各λ-矩阵的秩, 并判别哪些矩阵是可逆的, 如可逆, 求出其逆矩阵.(a) 22λ2λ111λ1λ1λ1λλ+++??(b) 21010λ1λλ1λ?(c) 5λ125λλ5λ1+??.2. ⽤初等变换求λ-矩阵λ2100λ2100λ2的标准形, 和不变因⼦:。

2006年高考浙江卷文科数学试题及参考答案-推荐下载

（17）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面为直角梯形， AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面 ABCD，且 PA=AD=AB=2BC，M、N 分别为 PC、PB 的中点。
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求 BD 与平面 ADMN 所成的角。
（18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球，2 个白球；乙袋装有 2 个红球，n 个白球，现从甲、乙两袋中任取 2 个球。

max
x 1 ,
1，平面 α 过棱
x2
(x R) 的最
等于
AB，
（16）如图，函数 y 2sin( x ), x R 其中( 0 )的图象与 y 轴交于点 2
（0，1）
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设 P 是图象上的最高点，M，N 是图象与 x 轴的交点，求 PM 与 PN 的夹角。
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合 A=|x｜－1≤x≤2|，B=|x|0≤x≤4|，则 A∩B= （A）．[0，2] （B）．[1，2] （C）．[0，4] （D）．[1，4]
（C） 5
（D） 7
（9）在平面直角坐标系中，不等式组
（A） 4 2 （B）4 （C） 2 2 （D）2
（10）对 a,b R ，记 max a,b
小值是
（A）0 （B）（C）
第Ⅱ卷（共 100 分）
1
2
3
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。

杭州师范大学高等代数2006--2020年考研初试真题

。
3.已知线性方程组。
(1) 取何值时，该方程组有解。
(2)在有解的情况下，求出该方程组的解。
4.求满足的所有阶方阵（这里是的伴随矩阵）。
5.求解行列式
。
6.设为维欧式空间，为的一个正交变换。设为的一个维数小于的 -不变子空间，令为的正交补。
（1）证明：也是一个 -不变子空间。
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、பைடு நூலகம்
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
六、(25分)

2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷.理)含详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

全卷共4页，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页满分150分，考试时间120钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷（共 50 分）注意事项：1. 答第 1 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2. 每小题选出正确答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号填黑.叁考正式：如果事件 A ， B 互斥，那么P （ A+ B ） = P( A)+ P( B) S=24R πP( A+ B)= P( A)． P( B) 其中 R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概念是p 球的体积公式V=234R π 那么n 次独立重复试验中恰好发生其中R 表示球的半径 k 次的概率：k n k n n p p C k P +-=)1()(4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（１）设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=(A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］（２）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I (3)已知0＜a ＜1，log 1m ＜log 1n ＜0，则(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1（３）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(A)21 (B)23 (C)81 (D)89 （6）函数y=21sin2+4sin 2x,x R ∈的值域是(A)［-21,23］ (B)［-23,21］(C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］(7)“a ＞b ＞c ”是“ab ＜222b a +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件（8）若多项式=+-+++++=+n x n x n x a a x x 则,)1()1()1(11102110112(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10（9）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是(A)4π (B)3π (C)2π (D)42π （10）函数f:|1,2,3|→|1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 (A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2006-13年杭州师范大学高等代数考研试题

杭州师范学院 2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业：学科专业：基础数学、应用数学研究方向：研究方向：
"#(25 $) 12345 (6 f(x)=g(x) h(x) 78 h(x) 9Z[x] @ ' 1 %& f(x) (g(x) )Z[x] (g(x) 0 BC 7DEF f(x)=x6+x3+1 GHIPQ Q RSTU @ 2A VW(20 X) Y`abF
3、（20 分）设 A 是 n × (n + 1) 矩阵， I n 是 n 阶单位矩阵，证明：存在 (n + 1) × n 矩阵 B 使 AB = I n 成立的充分必要条件是秩A = n 。
fghg i pqrstu
814
pqrs 2 1 pqrsvw xy
defgh
2 2 已知二次型 f(x1,x2,x3)=5 x12 +5 x 2 +t x3 -2x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，
1）确定参数 t； 2）用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵； 3）指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面。
rstuvwxy wxtu wx
五、 (15 分) a 为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
(a + 3) x1 + x 2 + 2 x3 = a ax1 + (a − 1) x 2 + x3 = a 3(a + 1) x + ax + (a + 3) x = 3 1 2 3
六、(20 分) σ 是向量空间 F4 上的线性变换，对于任意 ξ∈F4，有 σ(ξ)=Aξ；其中

浙江师范大学数学分析与高等代数2006真题

浙江师范大学 2006 年研究生
入学考试试题
考试科目：数学分析与高等代数报考学科、专业：课程与教学论（数学教育学）
数学分析部分
一、求下列极限（每小题 5 分，共 30 分） 1． n lim (1 1 ) n ， 3. 5.
2n 1 1 lim ， x 1 x 1 ln x n k lim k ， n k 1 3 ln(1 x) ， tan x n 1 4． n lim ， k ( k 1) k 1 1 3 5 2 n 1 6. lim 。 x 2 4 6 2n
2.
a b b b a b b b a b b b
b b b a
。
七、当 a，b 取何值时，下列方程组有解，在有解的情况下，求解此线性方程组，并写出方程组的一般解（ 12 分）
2 x1 x2 3 x3 2 x4 6 , 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 5 , ax4 3 , x1 2 x2 5 x 4 x 6 x x b . 2 3 4 1
Q3 的一个线性变换 A，满足：
1 A(ε1，ε2，ε3)＝(ε1，ε2，ε3) 2 3
1 1 3 7 ， 2 4
(1) 求线性变换 A 在 Q 上的特征值与特征向量；（ 8 分） (2) 分别求线性变换 A 的值域 AV 与核 A－1(0)的一组基。（ 8 分）十、设 A 是一个实对称矩阵，在 Rn 上定义线性变换 A： Aα＝Aα，
n 1
2．

n 1
n (n 1)!
四、设数列 an 满足 lim
a1 a2 an a a ， a 为实数. 求证 lim n 0 。 n n n n

杭州师范大学数学分析与高等代数真题12-18

12
设函数
f
(x)
在0, 2
上导函数连续，且
f
x
0 ，求证：对任意自然数 n
有
2 0
f
xsin nxdx
2 n
f
2
f
0
13 证明：函数 f x nenx 在 0, 上连续。 n1
14
求函数

x, y
xn
yn 2
, n 1 在 x
y a,a 0, x 0, y 0 条件下的极值，并证
2n 3n
1x
2
n
的和函数。
（15 分）
六、求椭球面 x2 2 y2 4z2 1到平面 x y z 7 0 的最短距离。
（15 分）
2015 年考试科目代码 720 考试科目名称数学分析（本考试科目共 2页，第 1 页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
七、计算积分 zdxdydz ，其中积分区域 V 是由球面 x2 y2 z2 4 与抛物面
二
证明：若数列an满足： a1
0, an
an1 3 4
,n
2,
则 an 有极限，并求
之。（15 分）
三设 f x | x 1|3 2, x ,, 试求 f 'x 和 f ''x，又问 f '''1是否
2013 年考试科目代码 721 考试科目名称数学分析（本考试科目共 2页，第 1 页）
0
3
x0,2
（15 分）
2015 年考试科目代码 720 考试科目名称数学分析（本考试科目共 2页，第 2 页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸

2006年高考文科数学(浙江)卷

2006年高等学校全国统一数学文试题 (浙江)卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，查每小题做出的四个选择中，只有一道是符合要求的．1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = （）Ａ．[]02，Ｂ．[]12，Ｃ．[]04，Ｄ．[]14， 2．在二项式()41x +的展开式中，含3x 的项的系数是（）Ａ．15Ｂ．20Ｃ．30 Ｄ．403．抛物线28y x =的方程是（）Ａ．2x =-Ｂ．4x =-Ｃ．2y =-Ｄ．4y =-4．已知1122log log 0m n <<，则（）Ａ．1n m << Ｂ．1m n << Ｃ．1m n << Ｄ．1n m <<5．设向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a b ⊥，1a =，2b =，则2c =（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4 Ｄ．56．函数()3232=-+f x x x 在区间[]11-，上的最大值是（）Ａ．2-Ｂ．0Ｃ．2Ｄ．47．“0a >，0b >”是“0ab >”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件8．如图，正三棱柱111-ABC A B C 的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，11A C 的中点，则EF 的长是（）Ａ．29．在平面直角坐标系中，不等式组20200+-⎧⎪-+⎨⎪⎩，，x y x y y ≤≥≥表示的平面区域的面积是（）Ａ．Ｂ．4Ｃ．Ｄ．210．对a b ∈R ，，记作{}max a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，，，，．≥函数(){}()max 12f x x x x =+-∈R ，的最小值是（）Ａ．0Ｂ．12Ｃ．32Ｄ．3A BCDP MN二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，共16分． 11．不等式102+>-x x 的解集是_________． 12．函数2sin cos 1y x x =-，x ∈R 的值域是_________．13．双曲线221-=x y m上的点到右焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于_________．14．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，平面α过棱AB ，且CD α∥，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是_________．三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分．15．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且134S S S ，，成等比数列．（1）求数列134S S S ，，的公式；（2）若34S =，求{}n a 的通项公式．16．如图，函数2ln(π)y x ϕ=+，x ∈R （其中02ϕπ≤≤）的图象与y 轴交于点(01)，．（1）求ϕ的值；（2）设P 是图象上的最高点，M N ，是图象与x 轴的交点，求PM 与PN的夹角．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90AD BC BAD ∠=︒∥，，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N ，分别为PC PB ，的中点．（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角．x18．甲、乙袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球．（1）若3n =，求取到的4个球全是红球的概率；（2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n ．19．如图，椭圆22221(0)x y a b ab+=>>与过点(20)A ，，(01)B ，的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率2e =．（1）求椭圆方程；（2）设1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，求证：．21212AT AF AF =⋅20．设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)(1)0f f >，求证：（1）方程()0f x =有实数；（2）21ba-<<-；（3）设12x x ，是方程()0f x =的两个实根，则122||33x x -<．参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。

2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷.文)含详解

(A)-2
(B)0
(7)“a＞0，b＞0”是“ab>0”的
(A)充分而不必要条件
(C)充分必要条件
(C)2
(D)4
(B)必要而不充分条件 (D)既不允分也不必要条件
（8）如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长都 2，E，F 分别是 AB, A1C1 的中点，则 EF 的长
是
(A)2
(B) 3
0
的解集是
。.
（12）函数 y=2sinxcosx-1,x R 的值域是
（13）双曲线 x2 y2 1上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是 3，则 m 等于 m
（14）如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，平面过棱 AB，且 CD∥α，则正四面体上的所
有点在平面α内的射影构成的图形面积是
（16）如图，函数 y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中 0≤φ≤ )的图象与 y 轴交于点（0，1）.
2
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点，M、N 是图象与 x 轴的交点，求 PM与PN的夹角.
（17）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点.
(Ⅰ)方程 f (x) 0 有实根。
a
(Ⅱ) -2＜＜-1；
b
（III）设 x1, x2 是方程 f(x)=0 的两个实根，则.
3 3
|
x1
x2
|＜2 3
数学试题（文科）参考答案
一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分，共 50 分。
（1）A（2）B （3）A （4）D （5）D （6）C （7）A （8）C （9）B （10）C

高考数学2006年试题与答案-全国卷1理

高考数学试卷第I 卷一．选择题（1）设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则（A ）=N M I ∅ （B ）M N M =I（C ）M N M =Y（D ）=N M Y R（2）已知函数xe y =的图像与函数)(xf y =的图像关于直线x y =对称，则（A ）∈=x e x f x()2(2R ）（B ）2ln )2(=x f ·x ln （0>x ）（C ）∈=x e x f x (2)2(R ）（D ）+=x x f ln )2(2ln （0>x ）（3）双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（A ）41-（B ）－4 （C ）4 （D ）41 （4）如果复数)1)((2mi i m ++是实数，则实数m =（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2（5）函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为（A ）∈+-k k k ),2,2(ππππZ（B ）∈+k k k ),)1(,(ππZ（C ）∈+-k k k ),4,43(ππππZ（D ）∈+-k k k ),43,4(ππππZ （6）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 若a 、b 、c 成等比数列，且==B a c cos ,2则（A ）41（B ）43 （C ）42 （D ）32 （7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （8）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（A ）34（B ）57 （C ）58 （D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0. 如果平面向量b 1、b 2、b 3满足 i i i a a b 且|,|2||=顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i =1，2，3，则（A ）0321=++-b b b（B ）0321=+-b b b（C ）0321=-+b b b（D ）0321=++b b b（10）设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则 131211a a a ++=（A ）120（B ）105（C ）90（D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（A ）58cm 2 （B ）106cm 2（C ）553cm 2（D ）20cm 2（12）设集合}5,4,3,2,1{=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种（B ）49种（C ）48种（D ）47种2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。