2016届中考数学复习专题练5-2 圆的有关计算1

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2016年中考数学复习专题学生版：圆的有关计算(含14.15中考真题解析)

专题24 圆的有关计算☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2 2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，）B．2cm C．3cm D．4cm2015德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288°B．144°C．216°D．120°2015宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm5．（2015苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．43π B．43π- C．π D．23π-6．（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（）A ．2，3πB．π C23π D．43π7．（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB ，则图中阴影部分的面积是（）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．4π﹣2D ．4π﹣4 8．（2015攀枝花）如图，已知⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）ABC ．29πD ．49π9．（2015自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（）A ．2πB ．πC ．3πD ．32π10．（2015达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π【答案】B ．11．（2015德阳）如图，已知⊙O 的周长为4π，AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A ．2π- B．π C ．π D ．212．（2015梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，以E 为圆心，ED 为半径作半圆，交A 、B 所在的直线于M 、N 两点，分别以直径MD 、ND 为直径作半圆，则阴影部分面积为（）A． B． C． D．13．（2015咸宁）如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，以AB 的中点D 为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在EF 上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A ．由小到大B ．由大到小C ．不变D ．先由小到大，后由大到小 14．（2015常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA ：O 1A 1=k （k 为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A1O1B1；③11ABk A B =；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为2k ．成立的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15．（2015邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π16．（2015北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．17．（2015贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．18．（2015庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=若把Rt△ABC 绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．19．（2015贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D 顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是（结果保留π）．20．（2015天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是．21．（2015河南省）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．22．（2015烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．23．（2015乐山）如图，已知A（2）、B（1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（﹣2，为．24．（2015镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH （不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．26．（2015玉林防城港）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为AD的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．27．（2015扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O 的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．【2014年题组】1．（2014·扬州）如图，已知正方形边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（）A.1.0B．2.0 C.3.0 D.4.02．（2014·金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5:4B．5:2C2D3．（2014·辽宁省本溪市）底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．36π4．（2014·山东省莱芜市）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）5．（2014·贵州安顺市）已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A． 30°B． 60°C． 90°D． 180°6．（湖南衡阳市）圆心角为120 ，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18D．367．（2014南京）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l为cm．8．（2014·呼和浩特）一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．9．（2014·潍坊）如图，两个半径均为3的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）10．（2014·重庆A）如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【例1】在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则AB的长等于（）A．3πB．2πC．23πD．32π【例2】如图，将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm²【例3】一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（）A． 12πcm2 B．15πcm2 C．20πcm2 D．30πcm2归纳4：阴影部分面积基本方法归纳：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．注意问题归纳：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例4】如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在 AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．1．（2015届湖北省宜昌市兴山县校级模拟）劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（）cm2．A．250π B．500π C．750π D．1000π2．（2015届湖北省广水市校级模拟）如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4π B．8π C．12π D．（4+4）π3．（2015届山东省高密市模拟考试）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是（）A．210cm B．210cmπC．220cm D．220cmπ4．（2015届山东省新泰市模拟考试）如图，Rt ABC△中，90ACB∠= ，30CAB∠= ，2BC=，O H，分别为边AB AC，的中点，将ABC△绕点B顺时针旋转120 到11A BC△的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A．7π3-B．4π3+C．πD．4π3+5．（2015届江苏省兴化顾庄等三校校级模拟）若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m，母线长为2.5m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是m2．6．（2015届河南省三门峡市模拟考试）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB ＝8，BC＝6，分别以A、C为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为．7．（2015届湖北省武汉市校级模拟）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（-2，3）、B（-1，2）、C （-3，1），△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）求点A经过的路径弧AA1的长度；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并直接写出D点坐标．8．（2015届广东省中山市校级模拟）如图，AB 是的直径，点D 在上，∠DAB ＝45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）、判断直线CD 与的位置关系，并说明理由；（2）、若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．9．（2015届山东省博兴县校级模拟）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．10．（2015届山东省高密市模拟考试）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径是4，。

中考数学复习《圆》专题训练--含有参考答案

中考数学复习《圆》专题训练--含有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE 若∠C =48°，则∠AED 的度数为（）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝25°，则∠P 的度数为( )A ．50°B ．70°C ．110°D ．40°6．如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，AB 是直径，C 是BD⌢的中点．若∠C=110°，则∠ABC 的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°8．如图，半径为10的扇形OAB中∠AOB=90°，C为弧AB上一，CD⊥OA，CE⊥OB垂足分别为D，E．若∠CDE=40°则图中阴影部分的面积为（）A．403πB．1109πC．1009πD．10π二、填空题9．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为．10．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D=100°，则∠B的度数是.11．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若∠P=40°，则弦AB所对的圆周角的度数为度.12．如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为．13．如图，在Rt△ABC中AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4√2cm，则图中阴影部分的面积为cm2．三、解答题14．如图，是直径，足的弦．（1）求的度数．（2）若的半径，求的长．15．如图，AB是的直径，点C，M为上两点，且C点为的中点，过C点的切线交射线BM、BA于点EF．（1）求证：；（2）若， MB=2 ，求的长度．⌢的中点，过D作DE∥AC，交OC的延16．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接AC，点D为AC长线于点E.（1）求证：DE是半圆O的切线.（2）若OC=3，CE=2，求AC的长.⌢=AD⌢．17．已知：△ABD内接于⊙O，AB（1）如图①，点C在⊙O上，若∠BCD=60°，求∠ABD和∠ADB的大小；（2）如图②，点C在⊙O外，BD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，若∠BCD=50°，求∠CDA的大小．18．如图，AB是的弦，C是外一点，CO交AB于点P，交于点D，且CP＝CB．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，OP=2，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．A6．A7．B8．C9．45°10．80°11．70°或110°12．6√313．(π+2)14．（1）解：是的直径∴∴∵∴；（2）解：∵∵的半径，AB是直径∴∴．15．（1）证明：如图连接．∵是的切线∴∵点C是的中点∴∵OB=OC∴∴∴∴∴（2）解：如图，连接∵∴∵OM=OB∴为等边三角形∴OB=MB=2∴的长度16．（1）证明：如图，连接OD交AC于点F.⌢的中点∵D是AC⌢=CD⌢∴AD∴∠AOD=∠COD∵OC=OA∴OD⊥AC∵DE∥AC∴OD⊥DE∴DE是半圆O的切线. （2）解：∵OC=3∴OE=5∴在Rt△ODE中∴cosE=DEOE =45∵AC∥DE∴∠FCO=∠E∴cos∠FCO=45∴FC=OC⋅cos∠FCO=3×45=125∵OD⊥AC∴AC=2FC=245.17．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAD=180°−∠BCD=120°∵AB⌢=AD⌢∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB=12(180°−∠BAD)=30°；（2）解：∵BC与⊙O相切于点B∴BD⊥BC，∴∠CBD=90°∵在RtΔBCD中∴∠BDC=90°−∠BCD=40°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∵AB⌢=AD⌢∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB=12×90°=45°∴∠CDA=∠ADB+∠BDC=45°+40°=85°．18．（1）解：直线BC与⊙O相切理由：连接OB∵OA＝OB∴∠OAB＝∠OBA∵CP＝CB∴∠CPB＝∠CBP∵∠CPB＝∠APO∴∠CBP＝∠APO∵∴∠AOC＝90°在Rt△AOP中∵∠OAB +∠APO＝90°∴∠OBA+∠CBP＝90°∴∠OBC＝90°∴OB⊥CB又∵OB是半径∴CB与⊙O相切；（2）解：∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，OP＝2 ∴∠APO＝60°，AP＝2OP＝4∴AO＝BO∵OA＝OB∴∠OBA＝∠A＝30°∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP∴OP＝PB＝2∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB∴△PBC是等边三角形∴∠PCB＝∠CBP＝60°∴BC＝PB＝2∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD2×2π∵OA=√22∴AC=√3OA=√62∴S Rt△OAC=12OA·AC=12×√22×√62=√34∴S阴影=S Rt△OAC−S扇形OAE=√34−π12．。

圆练习题中考

圆练习题中考圆是数学中重要的一种几何形状，在中考中常常作为考点出现。

本文将详细介绍一些与圆相关的练习题，以供中考备考使用。

练习题一：已知圆的半径为5cm，求其周长和面积。

解析：圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。

代入已知数据，可得周长C=2×π×5=10π (cm)。

圆的面积公式为S=πr^2，代入已知数据，可得面积S=π×(5)^2=25π (cm^2)。

练习题二：一个直径为12cm的圆，其面积是多少？解析：由题意可知圆的半径为直径的一半，即半径r=12/2=6 (cm)。

利用圆的面积公式S=πr^2，代入已知数据可得面积S=π×(6)^2=36π (cm^2)。

练习题三：已知正方形的对角线长度为10cm，求其内切圆的半径。

解析：在正方形中，对角线的长度等于边长的√2倍。

设正方形的边长为x，则√2x=10。

解方程可得x=10/√2=5√2。

正方形的对角线长等于圆的直径，所以该圆的直径为10cm。

圆的半径等于直径的一半，即半径r=10/2=5 (cm)。

练习题四：已知圆的半径为8cm，过圆心做一条弦，长为10cm，求该弦与圆的切点之间的距离。

解析：在圆中，半径和切线垂直，所以当弦和切线相交时，切点与圆心的连线垂直于弦。

根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设切点与圆心的距离为d，则根据已知条件可得d^2+5^2=8^2。

解方程可得d^2=39，所以d=√39 (cm)。

练习题五：已知圆的半径为6cm，弧长为4πcm，求弧所对的圆心角的度数。

解析：在圆中，圆心角的度数与所对弧的弧长成正比。

圆的周长为2πr，所以弧所对的圆心角的度数为360°×(4π/(2π×6))=120°。

练习题六：已知圆的半径为10cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为8cm，求切线的长度。

解析：根据圆的性质，切线与半径垂直，所以根据勾股定理可得切线的长度为√(10^2+8^2)=√164 (cm)。

中考专题复习：与圆有关的计算含答案

中考专题复习《与圆有关的计算》一、选择题1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（）A ．6B ．9C ．18D ．362．如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（）A ．B ．C ．D ．3．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ABCD3π6π53π56π4．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（） 23π23π43π23πAB C D二、填空6．正六边形的每个外角是________度。

7．一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm 2，则此扇形的半径为______cm 。

8．如图，△ABC 是等边三角形，AB=2，分别以A ，B ，C 为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________。

15332π15332π736π-736π9．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则的长为_________。

10．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是A ．B ．C ．D ．11．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（）AB 9π183π-92π-3πA ．B ．C ．D ．12．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作交于点C ，若OA=2，则阴影部分的面积为_________。

中考数学一轮复习专题5 圆 5.2 与圆有关的计算(试卷部分)课件

∵∠POC=∠ODE+∠OED,
∴∠POC=2∠OED.
又∵∠POC=2∠PAC,∴∠PAC=∠OED.
∴PA∥DF, (7分)
∴∠PAD=∠FDB.
∵OD⊥AB,∴AD=BD.
∵AC是☉O的直径(zhí
jì
ng),
∴∠DBF=∠ADP=90°.
∴△PAD≌△FDB,
∴PA=FD.
∴四边形PADF是平行四边形. (8分)
∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线. (4分)
(2)∵∠D=30°,∠OCD=90°,
∴∠BOC=60°,OD=2OC,
∴∠AOC=120°,∠BAC=30°. (6分)
设☉O的半径为x,则OB=OC=x,
∴x+2=2x,解得x=2.
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过点O作OE⊥AC,垂足(chuízú)为点E,
P C
180
(2)证明:∵OD⊥AB,PE⊥AC,
︵
∴劣弧的长为
∴∠ODA=∠OEP=90°. (4分)
又∵OA=OP,∠AOD=∠POE,
∴△AOD≌△POE, (5分)
∴OD=OE. (6分)
(3)证明:连接PA.
∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED.
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A. 2
3
B.2
3
C.2 3
3
D.4
2 3
)
3
2
3
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第十二页，共一百二十二页。
答案 C 如图,连接OO',O'B,根据题意可知△AOO',△BOO'都是等边三角形,

中考数学复习《圆》专题训练-附带参考答案

中考数学复习《圆》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列语句：①长度相等的弧是等弧；②过平面内三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于弦；④90°的圆周角所对的弦是直径；⑤等弦对等弧.其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠C ＝44°，则∠AOB 的大小为（）A ．22°B ．88°C ．66°D ．70°3．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则弧长为（）A ．2π3cmB ．2πcmC ．4cmD ．π3cm 4．如图，⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，若∠A =30°，⊙O 的半径等于6，则弧AC 的长为（）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B.若P =60∘，则AB⌢的长为（）A ．133πB ．136πC ．6πD ．52π 6．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ⌢的中点，点E 是BC ⌢上的一点，若∠ADC =110°，则∠DEC的度数是（）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．3 C．2√3D．√68．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2二、填空题9．如图，AB，CD是⊙O的弦，连结AD，延长AB，CD相交于点P，已知∠P=30°，∠ADC=40°，则BD 的度数是.10．如图，AB为⊙O的切线点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=25°，则∠ABO的度数为．11．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若⊙O半径是4，∠B＝22.5°，那么BC的长是．12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为cm．13．如图，在矩形ABCD中AB=2√3，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，∠BAE=30°则阴影部分的面积为．三、解答题14．如图，在⊙O中AB=CD，弦AB与CD相交于点M.⌢=BD⌢.（1）求证：AC（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径.求证：∠BAC+2∠BAD=90∘.15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上∠PBC=∠C.（1）求证：CB∥PD；（2）若CD=8，BE=2，求⊙O的半径.⌢的中点，过D作DE∥AC，交OC的延16．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接AC，点D为AC长线于点E.（1）求证：DE是半圆O的切线.（2）若OC=3，CE=2求AC的长.17．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，点E为上一点，点F为的中点，连结BF并延长与AE交于点G，连结AF，CF．（1）求证：∠AFC＝∠AFG．（2）当BG经过圆心O时，求FG的长．18．如图，在中AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E，连接过点D 作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积．参考答案1．A2．B3．B4．B5．C6．A7．B8．C9．20°10．40°11．4+4√212．12π13．6√3−8314．（1）解：证明：∵AB=CD⌢=CD⌢∴AB⌢+BC⌢=BD⌢+BC⌢∴AC⌢=BD⌢.∴AC⌢=BD⌢（2）证明：∵AC∴∠ADC=∠BAD∴∠AMC=∠MAD+∠MDA=2∠BAD∵AD是⊙O的直径∴∠ACD=90°∴∠BAC+∠AMC=90°∴∠BAC+2∠BAD=90°.15．（1）证明：∵∠P=∠C，∠PBC=∠C ∴∠P=∠PBC∴CB∥PD；（2）解：连接CO设CO=x，则BO=x∵弦CD⊥AB于点E CD=8∴CE=4∵BE=2∴EO=x−2在Rt△COE中：CO2=CE2+OE2∴x2=42+(x−2)2解得：x=5∴⊙O的半径为5.16．（1）证明：如图，连接OD交AC于点F.⌢的中点∵D是AC⌢=CD⌢∴AD∴∠AOD=∠COD∵OC=OA∴OD⊥AC∵DE∥AC∴OD⊥DE∴DE是半圆O的切线.（2）解：∵OC=3，CE=2∴OE=5，OD=OC=3∴在Rt△ODE中DE=√OE2−OD2=√52−32=4∴cosE=DEOE =45∵AC∥DE∴∠FCO=∠E∴cos∠FCO=45∴FC=OC⋅cos∠FCO=3×45=125∵OD⊥AC∴AC=2FC=245.17．（1）证明：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵∠ACB＝∠AFB∴∠ABC＝∠AFB∵∠ABC+∠AFC＝180°，∠AFG+∠AFB＝180°∴∠AFC＝∠AFG；（2）解：连结AO并延长AO交于点H，如图∵AB＝AC∴∴AH⊥BC，BH＝CH＝6∴AH8设OH＝x，则OA＝OB＝8﹣x在Rt△OBH中，x2+62＝（8﹣x）2解得x∵OB＝OF，BH＝CH∴OH是Rt△BCF的中位线∴CF＝2OH∵点F为的中点∴∠EAF＝∠CAF在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA）∴FG＝FC．18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC，∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接的半径为。

中考真题分类整理：与圆的有关计算(附答案)

一、选择题5．（2020·青岛）如圈，结段AB经过⊙O的圆心，AC BD分别与⊙O相切于点D.若AC= BD= 4,∠A=45°，则圆弧CD的长度为A.πB. 2πC.π D.4π【答案】B【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，CD=904180π⨯=2π，故选B.3. （2020·济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BCAC＝3．则图中阴影部分的面积是．【解析】在Rt△ABC中，∵tanBCAAC==，∴∠A＝30°．∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB．A C设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r==-，解得r ，∴阴影的面积是S ＝60360×π×(32)2＝6－334π．9．（2020·德州）如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等，若∠ABC ＝40°，则∠ADC 的度数是（） A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°【答案】B ．【解析】由题意得到OA ＝OB ＝OC ＝OD ，作出圆O ，如图所示，∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形， ∴∠ABC +∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＝40°，∴∠ADC ＝140°，故选B ．6．（2020·滨州）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【解析】如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A 和∠BCD 都是弧BD 所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B ．6. （2020·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=45°，⊙O 的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8 【答案】A【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 6．(2020·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC 6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD＝AD ＝12AC ＝4,∴BD 22213CD ,故选C.7．（2020·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】C【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得3π．故选C. 8．（2020·绍兴）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( ) A.π B.π2 C.π2 D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A ＝180°-∠B-∠C ＝45°，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2，所以弧BC 的长为902180π⨯=π．10．（2020·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.π-D.2π第10题图【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD ＝－2π＝2π,故选A.8．（2020·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【】A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2020·武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（） A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB ＝∠C ＋m ＋＝90°＋45°＝135°∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆）如图，C 的路径为MN ,E 的路径为PQ 设⊙O 的半径为1，则⊙D ，∴MN PQ ＝42136022360tt ππ⨯⨯⨯1. (2020·泰安)如图,将O 沿弦AB 折叠,AB 恰好经过圆心O,若O 的半径为3,则AB 的长为A.12π B.πC.2πD.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点E,由题可知OD ＝DE ＝12OE ＝12OA,在Rt △AOD 中,sinA ＝OD OA ＝12,∴∠A ＝30°,∴∠AOD ＝60°,∠AOB ＝120°,AB ＝180n rπ＝2π,故选C.4t 2t t165432QP EDAOBC M N2. (2020·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,以点B 为圆心,AB 为半径画弧,交对角线BD 与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－12π【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C. 3. (2020·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.4. （2020·凉山州）如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2π B ．2π C ．178πD ．198π【答案】B【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .5.（2020·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A.45B.34C.23D.12【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=CEOC =√22,设CE=k，则OC=√2CE=√2k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴S正方形ABCDS⊙O=4k22πk2=2π≈23.6.（2020·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．7. （2020·湖州）如图，已知正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接BD ，则∠ABD 的度数是（）A ．60°B ．70°C ．72°D ．144°【答案】C ．【解析】∵正五边形ABCDE 内接于⊙O ，∴∠ABC ＝∠C ＝(52)1805-⨯︒＝108°，CB ＝CD ．∴∠CBD ＝∠CDB ＝1801082︒-︒＝36°．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝108°－72°＝36°．故选C ．8. （2020·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（） A.2B.C.32D.【答案】D ．【解析】∵∠A =90°，∠ABC =105°，∴∠ABD =45°，∠CBD =60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 长为R ，则BD．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR ＝12·2RR．故选D ．9.(2020·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB 的长为 A.3.5cm B.4cm C.4.5cmD.5cmB A【答案】B【解析】AE＝124ABπ⋅⋅,右侧圆的周长为DEπ⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124ABπ⋅⋅＝DEπ⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.10. （2020·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

初三数学下册综合算式专项练习题圆应用

初三数学下册综合算式专项练习题圆应用在初三数学下册的学习中，我们学习了许多与圆有关的知识，包括圆的性质、弦、弧、切线等。

通过这些知识的学习，我们可以运用所学的方法和技巧解决与圆相关的问题。

在本文中，我们将通过综合算式专项练习题来巩固和应用这些知识。

练习题一：已知圆的半径为r，求圆的周长和面积。

解答：圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。

根据给定的半径r，我们可以直接代入公式进行计算。

例如，当半径r=3时，周长C=2π×3≈18.85，面积S=π×3²≈28.27。

因此，圆的周长为18.85，面积为28.27。

练习题二：已知圆心角θ和圆的半径r，求弧长L。

解答：圆心角与弧长的关系为L=θ/360°×2πr。

根据给定的圆心角θ和半径r，我们可以代入公式计算弧长L的值。

例如，当θ=45°、r=5时，弧长L=45/360°×2π×5≈3.93。

因此，弧长L约为3.93。

练习题三：已知圆的直径为d，求圆的半径、周长和面积。

解答：圆的直径与半径的关系为d=2r，因此可得半径r=d/2。

在已知半径r的情况下，圆的周长和面积的计算可参考练习题一中的公式。

练习题四：已知圆上两点A、B，求弦AB的中垂线与弧的交点坐标。

解答：首先，通过连接弦AB和圆心O，可得到弧的中点M。

由于中垂线垂直于弦，因此中垂线OM与弦AB垂直。

根据几何知识，垂直的直线相交于圆上的两点与圆心连线互相垂直，且交点到圆心的距离相等。

因此，我们可以通过求弦AB中点M的坐标，然后求出中垂线OM 的斜率，从而确定中垂线的方程。

进一步求解可以得到中垂线与弧的交点坐标。

练习题五：已知切线与半径的关系，求切线和半径的长度。

解答：切线与半径的关系为切线的平方等于半径的平方加上切点到圆心的距离的平方。

即T²=r²+OM²，其中T为切线的长度，r为半径的长度，OM为切点到圆心的距离。

中考数学总复习《圆的有关计算》专项测试卷含答案

中考数学总复习《圆的有关计算》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】⏜的长为( )1.(2024·安徽中考)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则ABA.2πB.3πC.4πD.6π2.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是( )A.144°B.130°C.129°D.108°3.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的一边,BC是圆内接n边形的一边,则n等于( )A.8B.10C.12D.164.如图,在☉O中,OA=2,∠C=45°,则图中阴影部分的面积为( )A.π-√2 B.π-√22C.π2-2 D.π-25.如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是( )A.√2B.1C.√22D.126.一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24 cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是( )A.8π cmB.16π cmC.32π cmD.192π cm7.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,DO⊥BE于点O,连接AD交BC于点F,若AC=FC.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若BF=8,DF=2√10,求☉O的半径;(3)若∠ADB =60°,BD =1,求阴影部分的面积.(结果保留根号)【B 层·能力提升】8.如图,已知点C 为圆锥母线SB 的中点,AB 为底面圆的直径,SB =6,AB =4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点,则蚂蚁爬行的最短路程为( )A .5B .3√3C .3√2D .6√39.如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,BC =4,将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到△ADE ,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为( )A.143π-6B.259πC.338π-3D.√33+π10.(2024·乐山中考)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作☉O 的切线CD 交BA 延长线于点D ,点E 为CB⏜上一点,且AC ⏜=CE ⏜.(1)求证:DC ∥AE ;(2)若EF 垂直平分OB ,DA =3,求阴影部分的面积.【C 层·素养挑战】11.(2024·唐山二模)一个工件槽的两个底角∠A =∠B =90°,点A ,B 的初始高度相同,尺寸如图1所示(单位:cm),将一个形状规则的铁球放入槽内,测得球落在槽内的最大深度为2 cm(E 为球的最低点).(1)求该铁球的半径;(2)如图2,将这个工件槽的右边升高2 cm(BC =2 cm)后,求该平面图中铁球落在槽内的弧AB 的长度.(参考数据:sin 56°≈√175,cos 34°≈√175,tan 40°≈√175) 参考答案【A 层·基础过关】1.(2024·安徽中考)若扇形AOB 的半径为6,∠AOB =120°,则AB ⏜的长为(C) A .2π B .3π C .4π D .6π2.如图,☉O 与正五边形ABCDE 的两边AE ,CD 相切于A ,C 两点,则∠AOC 的度数是(A)A.144°B.130°C.129°D.108°3.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的一边,BC是圆内接n边形的一边,则n等于(C)A.8B.10C.12D.164.如图,在☉O中,OA=2,∠C=45°,则图中阴影部分的面积为(D)A.π-√2 B.π-√22C.π-2 D.π-225.如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是(D)A.√2B.1C.√22D.126.一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24 cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是(B)A.8π cmB.16π cmC.32π cmD.192π cm7.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,DO⊥BE于点O,连接AD交BC于点F,若AC=FC.(1)求证:AC是☉O的切线;【解析】(1)连接OA∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA∵AC=CF,∴∠CAF=∠CFA∵OD⊥BE,∴∠DOB=∠DOF=90°∴∠OFD+∠ODA=90°.∵∠OFD=∠CFA∴∠CAF+∠OAD=90°,∴OA⊥AC∵OA是☉O的半径,∴AC是☉O的切线.(2)若BF=8,DF=2√10,求☉O的半径;【解析】(2)设☉O的半径为r,∴BO=DO=r∵BF=8,∴OF=8-r.∵∠DOF=90°∴在Rt△ODF中,由勾股定理得OF2+OD2=DF2,∵DF=2√10∴(8-r)2+r2=(2√10)2解得r=6或r=2(不符合题意,舍去)故☉O的半径为6.(3)若∠ADB=60°,BD=1,求阴影部分的面积.(结果保留根号)【解析】(3)∵BO=DO,BD=1,∠DOB=90°∴在Rt△BOD中,由勾股定理得BO2+OD2=BD2∴BO=DO=√22即☉O的半径为√2.2∵∠ADB=60°∴∠AOB=2∠ADB=120°∴∠AOC=180°-∠AOB=60°.∵OA⊥AC∴∠OAC=90°.∴在Rt △OAC 中,tan ∠AOC =tan 60°=ACOA=√3.∵OA =√22,∴AC =√3OA =√62∴S △OAC =12OA ·AC =12×√22×√62=√34,S 扇形OAE =60π×(√22) 2360=π12∴S 阴影=S △OAC -S 扇形OAE =√34-π12.【B 层·能力提升】8.如图,已知点C 为圆锥母线SB 的中点,AB 为底面圆的直径,SB =6,AB =4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点,则蚂蚁爬行的最短路程为(B)A .5B .3√3C .3√2D .6√39.如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,BC =4,将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到△ADE ,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为(B)A.143π-6B.259πC.338π-3D.√33+π10.(2024·乐山中考)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作☉O 的切线CD 交BA 延长线于点D ,点E 为CB⏜上一点,且AC ⏜=CE ⏜.(1)求证:DC∥AE;【解析】(1)连接OC(图略)∵CD为☉O的切线,点C在☉O上∴∠OCD=90°,∴∠DCA+∠OCA=90°∵AB为☉O的直径∴∠ACB=90°,∴∠B+∠OAC=90°.∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA⏜=CE⏜∴∠B=∠DCA,∵AC∴∠B=∠CAE,∴∠CAE=∠DCA∴CD∥AE.(2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积.【解析】(2)连接OE,BE(图略)∵EF垂直平分OB,∴OE=BE∵OE=OB,∴△OEB为等边三角形.∴∠BOE=60°,∴∠AOE=180°-60°=120°∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°.∵DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30°.∵∠OCD=90°,∴OD=2OC=OA+AD∵OA=OC,∴OC=AD=3∴AO=OE=OC=3,∴EF=√32OE=3√32∴S△OAE=12AO·FE=9√34∵S扇形OAE=120π×32360=3π∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE=3π-9√34.【C层·素养挑战】11.(2024·唐山二模)一个工件槽的两个底角∠A=∠B=90°,点A,B的初始高度相同,尺寸如图1所示(单位:cm),将一个形状规则的铁球放入槽内,测得球落在槽内的最大深度为2 cm(E为球的最低点).(1)求该铁球的半径;【解析】(1)连接AB,OA,OE,且OE,AB交于点D由题意,得AB=8,DE=2,OE⊥AB∴AD=12AB=4设铁球的半径为r,则OA=OE=r,OD=OE-DE=r-2第 11 页共 11 页由勾股定理,得OA 2=OD 2+AD 2即r 2=(r -2)2+42解得r =5∴铁球的半径为5 cm .(2)如图2,将这个工件槽的右边升高2 cm(BC =2 cm)后,求该平面图中铁球落在槽内的弧AB 的长度.(参考数据:sin 56°≈√175,cos 34°≈√175,tan 40°≈√175) 【解析】(2)连接OA ,OB ,AB ,过点O 作OF ⊥AB 于点F则AF =BF =12AB ,OA =OB在Rt △ACB 中,由勾股定理,得AB =√AC 2+BC 2=√82+22=2√17∴AF =BF =12AB =√17 由(1)知OA =OB =5∴cos ∠OBF =BF OB =√175 ∴∠OBF =34°∴∠OAB =∠OBA =34°∴∠AOB =180°-2∠OBA =112°∴弧AB 的长度为112π180×5=28π9.。

圆的有关计算中考专题复习及训练试题

卜人入州八九几市潮王学校圆的有关计算中考专题复习及训练[解读中考要点] 1、弧长公式在半径为R 的圆中，n ︒的圆心角所对的弧长的计算公式为：n Rlnπ=。

解读：在应用时注意，公式中的n 为该弧所对的圆心角的度数，R 为弧所在的圆的半径。

2、扇形面积的计算公式〔1〕假设扇形的半径为R ，圆心角为n ︒，那么扇形面积的计算公式为：2360n R S π=扇形。

〔2〕假设扇形所对的弧长为l ，扇形的半径为R ，那么扇形面积的计算公式为：12S lR =扇形。

解读：扇形的面积公式有两个：①2360n R S π=扇形，②12S lR =扇形。

可以根据题目条件选择应用。

其中，12S lR =扇形与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看作底边，R 看成高，这样比照，便于记忆，也便于应用。

3、圆锥的侧面积〔1〕圆锥的侧面展开图是一个扇形。

如图–1，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π，因此圆锥的侧面积是122r l rl ππ⨯=。

〔2〕圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

解读：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长为圆锥底面圆的周长；扇形的半径为圆锥的母线长。

[剖析经典考题]例1、〔2021〕秋千拉绳长3米，静止时踩踏板离地面。

某小朋友荡秋千时，秋千在最高处离地面2米〔左右对称〕，那么秋千荡过的圆弧长〔〕 A.π米B.2π米C.43π米D.32π米分析：要求秋千荡过的圆弧长，现圆弧的半径〔即秋千拉绳长〕为3米，只要求出圆弧的圆心角的度数即可。

解：如图-2所示，AB 表示秋千荡过的弧，A 点为荡过的最高点，C 点为最低点。

根据题意可知OA=OB=3，AD=EF=2，CE=0.5。

∴CF=2-0.5=.∴OF=OC-CF=. 在Rt △OAF 中， 1.51cos 32OF AOFAO ∠===， ∴∠AOF=60°，根据对称性可知∠AOB=2∠AOF=120°. ∴AB 的长度为12032180ππ⨯=〔米〕。

中考数学总复习第五章圆5.2与圆有关的计算(试卷部分)

DE ∴∠BOD=60°,∴OD= =2, sin 60 2 ,即S 2 60 2 = ∴S扇形BOD= 阴影部分= .故选择D.
2
1 2
1 2
1 2
先根据垂径定理得到CE=DE,进一步得到S△COE=S△
DOE
,从而把阴影部分的面积转化为扇形BOD的面积,然后求解即可.
1 2
6
3 2 6
8.(2018青岛,13,3分)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,O为AC上一点,OA=2,以O为圆心,OA为
半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF,则图中阴影部分的面积是 .
答案
7 3 4 - π 2 3
解析在Rt△ABC中,易知∠A=60°.∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴∠AOF=60°,∴∠ COF=120°.∵BC与☉O相切于点E, ∴∠OEC=90°,又∠C=30°,OE=OA=2,∴OC=4.在Rt△ABC中,∠C=30°,AC=AO+OC=2+4=6,∴ AB= AC=3,BC=AC· cos C=6× =3 3 .设☉O与AC的另一个交点为D,过O作OG⊥AF于点G, 如图所示,则OG=OA· sin A=2× = 3 .∵S△ABC= ×AB×BC= ×3×3 3 = ,S△AOF= ×AF×OG=
答案 C 如图,取CD的中点M,连接AM、EM、DF、CF、MF.
设半圆的半径为r,则r=6, ∴S半圆CFD= πr2= π×62=18π,S△CDF= ×12×6=36. ∵点F是半圆的中点,M是CD的中点,∴MF⊥CD, ∴AD∥MF, 又∵△ADF、△ADM的底相同,高相等,
1 ×12×6=36. ∴S△ADF=S△ADM= 2 1 ×6×6=18, 同理,S△CEF= 2 1 2 1 2 1 2

中考数学复习圆的综合专项综合练附答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，（1）求证：CM⊥AD；（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接OC∵CM切⊙O于点C，∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=12AD∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE～△ACE∴CE DEAE CE=∴CE2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.2．如图，在ABC∆中，90,BAC∠=︒2,AB AC==AD BC⊥，垂足为D，过,A D 的⊙O分别与,AB AC交于点,E F，连接,,EF DE DF．（1）求证：ADE∆≌CDF∆；（2）当BC与⊙O相切时，求⊙O的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD=CD、∠1=∠C=45°，由∠EAF=90°知EF是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径，根据∠C=45°、AC2可得AD=1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1=12∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．∵123CAD CD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CDF（ASA）．（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=2，∴sin∠C=ADAC ，∴AD=AC sin∠C=1，∴⊙O的半径为12，∴⊙O的面积为24．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．3．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm 在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．4．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴PO，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO 交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BODOE=OB∴△OPE≌△ODB∴OD="OP"（2）连接EA，EB∴∠1=∠EBC∵AB是直径∴∠AEB=∠C=90°∴∠2+∠3=90°∵∠3=∠DEB∵∠BDE=90°∴∠EBC+∠DEB=90°∴∠2=∠EBC=∠1∵∠C=90°∠BDE=90°∴CF∥OE∴∠ODP=∠AFP∵OD=OP∴∠ODP=∠OPD∵∠OPD=∠APF∴∠AFP=∠APF∴AF=AP 又AE=AE∴△APE≌△AFE∴∠AFE=∠APE=90°∴∠FED=90°∴FE是⊙O的切线考点：切线的判定．6．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（m，0）（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是_____；（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．【详解】（1）∵30330,3tan601(1)221︒--===---，3333tan6031︒-==-，∴点S，T与A点互为“向善点”．故答案为S，T．（2）根据题意得：303|1|m-=-，解得：m1＝0，m2＝2，经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：3k bb⎧+=⎪⎨=⎪⎩或320k bk b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：3kb⎧=⎪⎨=⎪⎩或323kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．∵∠BOE＝60°，∴sin60°＝3BEOB=，∴OB＝2，∴m＝﹣2或m＝2；当⊙B与直线y33B作BF⊥直线y33F，如图3所示．同理，可求出m＝0或m＝4．综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．7．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC 于点E，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长（2）如图2，连结CD，若CE=3，△ACD的面积为10，求tan∠BCD（3）如图3，在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D 是△CPF的内心①请你画出△CPF，说明画图过程并求∠CDF的度数②设PC=a，PF=b，PD=c，若（a-2c）（b-2c）=8，求△CPF的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=322）tan∠BCD=14；（3）①135°；②2.【解析】【分析】（1）由A、C、E、D四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF与∠ODA为对顶角，在⊙O中，∠COD=2∠CAD，证明△OCD为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D做DH CB于点H，以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做D切线PF 交CB的延长线于点F，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ．【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ，又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯，解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14．（3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点，设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=2C 2， ∴NF=2b c 2-，CK=2a c 2-，又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b 2c +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-）×2c 2，化简得：)22a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（2c ）（2c ）=8 化简得：()2ab 2c a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c2=8，解得：c22=，或c22=-（舍去），∴m=22c22222=⨯=，即△CPF的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF的内切圆半径长．8．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，（1）求证：△PCM为等边三角形；（2）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．【答案】（1）见解析；（2153 4【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH⊥CM于H，∵△ABC是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM∥BP，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM为等边三角形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中，BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH=30°，∴PH=332，∴S 梯形PBCM =12（PB+CM ）×PH=12×（2+3）×332=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．9．如图，BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，且∠BAE ＝∠C ．（1）求证：AE 与⊙O 相切于点A ；（2）若AE ∥BC ，BC ＝23，AC ＝2，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，则AF 为直径，∠ABF ＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE ＝∠F ，既而得到AE 与⊙O 相切于点A ．（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为【详解】解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，∵AB AB=，∴∠ACB＝∠F，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠BAE＝∠F，∵∠FAB+∠F＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE与⊙O相切于点A．（2）连接OC，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB＝2，∴∠AOC＝∠AOB，∵OC＝OB，∴OA⊥BC，∴CH＝BH＝1BC2在Rt△ABH中，AH1，在Rt△OBH中，设OB＝r，∵OH2+BH2＝OB2，∴（r﹣1）2+2＝r2，解得：r＝2，∴DB＝2r＝4，在Rt△ABD中，AD∴AD的长为【点睛】本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析 (2) EC=172AE=132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=72，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴AE=BE，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF =22，AE 22EF AF +2217722（）（）+132 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。