2018年衡水名师原创理科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》
(专题密卷)河北省衡水中学高考数学 万卷检测 圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。
第I 卷选择题1.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹（ ）.A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线2.设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆3.若复数11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应11w+的点，则点(,)Z x y 的轨迹是( ) (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧4.椭圆长轴长为4，左顶点在圆()()22414x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）(A) 0， (B) 0 (C)-1， (D) 0，5.已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件( )A.11,22k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B.()11,,22k ⎤⎡∈-∞-+∞⎥⎢⎦⎣C.k ⎡∈⎢⎣⎦D. 2,,2k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭6.AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 ( )A C 7.设F 为抛物线24y x =的焦点，A .B .C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则F A F B F C ++=（ ）A.9B.6C.4D.38.已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l 的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是（ ）（A ） （B ）（C ）（D ）)+∞第Ⅱ卷二、填空题9.双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .10.如图，Rt ABC ∆的三个顶点在给定的抛物线22(0)y px p =>上，斜边AB 平行于x 轴，则AB 边上的高CD = 。
衡水中学专版——圆锥曲线(含解析)
衡水中学专版——圆锥曲线一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥u u u v u u u u v u u u u v ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．1(0,]2B ．(0,2C ．(0,3D ．1(,1)22. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，点P 在直线l 上的射影为Q ，且当2PF PQ +取最小值5时，12F QF S ∆的最大值为（ ） A ．258B ．254C ．252D ．103. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3(,)2aQ c ，222F Q F A c >=，点P 是双曲线C 右支上的动点，且111232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．)+∞B ．7(1,)6C ．7(6D ． 4. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试】已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A ．32B ．52C ．72D ．925.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（）A． B．C． D．6. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与双曲线C的右支交于P点，且的外接圆面积为A． B． C． D．7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知椭圆两个焦点之间的距离为2，单位圆O与的正半轴分别交于M，N点，过点N作圆O的切线交椭圆于P，Q两点，且，设椭圆的离心率为e，则的值为A． B． C． D．8. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交于，，则（）A． B． C．4 D．39. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】如图，设椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12 B ．23 C ．13 D ．1410. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知直线l ： ()1y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②()()22111x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =. 其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．5 B ．10 C ．52 D ．512.【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或 22y x =-+ D ．22y x =-+ 13.【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则A． B．1C．2 D．315. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A． B． C． D．16.【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．17. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】若圆和圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程是( )A． B．C． D．18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D．19. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的周长是（ ） A ． B ． C ． D ．20.【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】已知圆F1：（x+2）2+y2＝36，定点F2（2，0），A 是圆F1上的一动点，线段F2A 的垂直平分线交半径F1A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】已知F 为抛物线2C y x ：＝的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且OA OB ⋅u u u v u u u v＝12(其中O 为坐标原点)，若AFO V 的面积是18，则BFO V 的面积是______ 2. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】已知椭圆22:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为________. 3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】 过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。
2018高考数学100弹之第91弹：回归教材之圆锥曲线与方程
2018高考数学100弹之第91弹：回归教材之圆锥曲线与方程一.曲线与方程(理科)要搞清曲线的方程、方程的曲线的定义，教材思考与讨论给了两个例题对这个定义进行了说明.要把求曲线的方程的步骤以及通过曲线的方程研究曲线性质的步骤搞清楚.二.椭圆椭圆的标准方程的推导必须得会，我在椭圆标准方程推导的三个重要节点中对方程推导的重要性做了详细的说明.椭圆的性质(范围、对称性、顶点、长轴短轴、离心率等)必须牢牢掌握，教材有道应用题直接说了椭圆长轴的两个端点是到焦点距离最近最远的点，我觉得不够严密，在大题中必须给出证明.课后习题研究了椭圆的一个性质：椭圆上一点和长轴两个端点连线的斜率之积为定值.其实该结论的更一般的形式是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P和椭圆上关于原点对称的两个点的连线的斜率(如果存在的话)之积为-b2/a2.用点差法证明很简单，希望大家记住这个结论，小题直接用，大题用点差法说明一下，说不定能起到简化计算的作用.课后还有一道习题：椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上动弦AB的中点为M，O为原点，AB的斜率和OM的斜率(斜率存在)之积也为-b2/a2.三.双曲线双曲线的标准方程也得会推导，要把双曲线和椭圆的方程对照着复习一遍，特别是焦点在不同的轴上方程的区别.双曲线的高频考点是渐近线，教材给了渐近线的证明，用到了极限的知识，了解即可.要把渐近线方程的求法牢牢掌握.区分焦点在不同轴上时的渐近线方程.给了渐近线方程，要会快速设出双曲线方程.同椭圆一样，习题上也研究了双曲线的一个性质：双曲线上一点和实轴两个端点连线的斜率之积为定值.其实该结论的更一般的形式是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)上一点P和双曲线上关于原点对称的两个点的连线的斜率(如果存在的话)之积为b2/a2.也是用点差法证明很简单，也希望大家记住这个结论.四.抛物线抛物线的定义也是抛物线最重要的性质，准线是其高频考点，而且以小题居多，所以一定要将其定义放在首要位置.要将抛物线标准形式的四种形式区分开，特别是开口向上的，我们容易受二次函数干扰，写错其焦点和准线.五.直线与圆锥曲线直线和圆锥曲线位置关系的判断(判别式法)、弦长公式等需要牢牢把握，计算能力就别指望通过看教材提高了.教材上有道求椭圆内接矩形面积最大值的题，用的是构造二次函数的方法，其实直接均值不等式法或参数方程法更简单，当然教材的做法体现了消元构造函数的思想，是很重要的方法.六.有必要做做的题1.(1)已知F1、F2是椭圆x2/9+y2/5=1的焦点，点P在椭圆上且∠F1PF2=π/3，求△F1PF2的面积.(2)已知F1、F2是双曲线3x2-5y2=15的焦点，点P在双曲线上且△F1PF2的面积等于2√2，求∠F1PF2的大小.2.已知点A(1,1)，F是椭圆x2/9+y2/5=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF|+|PA|的最小值和最大值.3.已知F1、F2是椭圆x2/9+y2/4=1的焦点，点P在椭圆上且△F1PF2是直角三角形，求点P的坐标.4. 已知F1、F2是椭圆x2/4+y2=1的焦点，点P在椭圆上：(1)求|PF1|×|PF2|的最大值；(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.5.求双曲线x2/4-y2/36=1上任意一点M到两条渐近线的距离乘积的值，试把这个结论推广到一般的双曲线x2/a2+y2/b2=1.6.已知直线l1:5x+3y=0和l2:5x-3y=0:(1)写出两个以直线l1和l2为渐近线的双曲线的标准方程;(2)如果以直线l1和l2为渐近线的双曲线经过点M(1,3)，求此双曲线的标准方程.7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与它交于P，Q两点，过点P和此抛物线顶点的直线与准线交于点M，求证直线MQ平行于此抛物线的对称轴.8.已知抛物线y2=4x，P是抛物线上一点：(1)设F为焦点，一个定点A(6,3)，求|PA|+|PF|的最小值，并指出此时P的坐标；(2)设点M的坐标为(m,0)，m∈R，求|PM|的最小值(用m表示），并指出此时点P的坐标.9.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为π/4的直线，交抛物线于A，B两点，点A在x轴的上方，求|AF|/|BF|的值.10.已知椭圆x2/36+y2/9=1，弦AB的中点是M(3,1)，求弦AB所在直线的方程.11.过抛物线的顶点O作两条互相垂直的的弦OA和OB,求证：弦AB与抛物线的对称轴交于定点.12.已知点A是椭圆x2+2y2=4的长轴的左端点，以点A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形ABC，求斜边BC的长.13.设A、B分别是直线y=2√5x/5和y=-2√5x/5上的动点，且|AB|=2√5，设O为坐标原点，动点P满足：向量OP等于向量OA加上向量OB，求动点P的轨迹方程.。
2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的•）21. ( 5 分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x v 1}, B={y|y=|x|} ，则A A B=A . ? B. ( 0 , 1) C . [0 , 1) D .2. （5分）（2018?衡中模拟）设随机变量2E-N (3 ,c ),若P (E>4) =0.2 ,)0.8 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2x B. y= ± 「；x C . y= ± x D . y=35. （5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为 1 : 2: 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1 ,「2,「3,那么门+「2+「3的值为（）等差数列{a n}中，a 3=7 , a5=11，若 b n= .3 ii 1D. 54A . 2B . 3C .126. （5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）的前8项和为（732B.[0, 1](3 VE（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=3（i为虚数单位），则r =1 B.—1 C.D.（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线b2=1 (a >0, b >0)的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若/ PFQ=n,则双曲线的渐近线方程为（A. y= ±7. （5分）（2018?衡中模拟），则数列{b n}10 2& （ 5 分）（2018?衡中模拟）已知（x - 3） =a °+a i （x+1 ） +a 2 （x+1 ） + …+a 10 （x+1 ）10，则 a 8=（）A . 45B . 180C .- 180D . 7209. （ 5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥值范围（）A . （11，25 ）B . （12，22 ）C . （12，17）D . （14，20）S- ABC 的三视图，其表面积为（A . 16B . 8 丨，+6 工C . 16 一， 10 . （5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆 F （- 3, 0）,P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （- 1，3）满足PF+PM 的最大值为率为（）A.— B •阻 | C .丄 D .2V3 2方 3 3In （號+1）（掘>0）（x ）=，若函数 y=f （x ）- kx 恒（e x -l GKO ）有一个零点，贝U k 的取值范围为（）A . k w 0B . k w 0 或 k > 1C . k < 0 或 k > eD . k < 0 或 k12. （5分）（2018?衡中模拟）已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n = - 2n+p ，数列｛b n ｝的通项公 ，若在数列｛c n ｝中C 6< C n （n € N , n 丰6）,则p 的取D . 16+6丨・（a >b >0）的左焦点17,则椭圆的离心11 . （ 5分）（2018?衡中模拟）已知 式为b n =2、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中的横线上.)13 •(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量1、卜满足| i|=2|［上的投影为________ •14 • (5分)(2018?衡中模拟)若数列｛a n｝满足a i=a 2=1 ,a +2, n=2k_1 (k G N*)、,a n+2 = ，则数列｛a n｝前2n项和S2n = _______ •.2斗，n=2k(kG N*)y^4>015 • (5分)(2018 ?衡中模拟)若直线ax+ (a - 2) y+4 - a=0把区域' 3x4-y<^9 分成jt十面积相等的两部分，则一的最大值为z+4a16. (5 分)(2018 ?衡中模拟)已知函数f (x) = ( a+1 ) Inx+' ' x2( a v- 1 )对3任意的X1、X2> 0,恒有|f ( X1 ) - f (X2) | > 4|x 1 - X2|，则a的取值范围为 _________________ •三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 • (12分)(2018?衡中模拟)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a , b , c，满足c=1，且cosBsinC+ (a - sinB) cos (A+B ) =0(1 )求C的大小；(2)求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A , B的值.18 . （12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD , AD //BC，/ ABC=90 ° , PA=AB=BC=2 , AD=1 , M 是棱PB 中点.（I）求证：平面PBC丄平面PCD ;（n）设点N是线段CD上一动点，且I -■!=入：当直线MN与平面PAB所成的角最大时, 求入的值.19 . （12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B）,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60 °、120 °、180。
高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析
X = —½距离为6,点P,Q是椭圆上的两个动点©
C
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP丄40,求证：直线P0过泄点R,并求出R点的坐标。
【例二・】已知一动圆经过点M(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲 线C。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(1,O)任意作两条互相垂直的直线∕1,∕2,分别交曲线C于不同的两点A,B和
的焦点，直线4F的斜率为少，O为坐标原点。
3
（1）求E方程；
（2）设过点A的直线/与E相交于PQ两点，当AOP0的面积最大时，求/的方
程。
专题练习
1•在平面直角坐标系XOy中，已知点A（O,—OB点在直线y = -3±, M点满足
MB//QA,莎•亦=屁•鬲M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程：
(2)P为C上的动点，/为C在P点处的切线，求O点到/距离的最小值。
10.抛汤钱屮阿基来德三角形鲂纟见般质及疝用
11.(S傩曲钱屮的戒切後龜哩
锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的髙频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、
相关点法、泄义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：
1.直译法求轨迹的步骤：
(1)设求轨迹的点为P(χ,y);
(2)由已知条件建立关于x,y的方程；
D,Q设线段ABQE的中点分别为几。・
①求证：直线P0过左点R,并求出泄点/?的坐标;
②求PGl的最小值。
专题练习
1.设椭圆E:丄y+ =y=l（α> b > 0）的右焦点到直线x-y + 2√z2=0的距离为3,且过点Cr Ir
I
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题(解析版)教学内容
时， 取得最大值 .
即
，
当
或 时，
.
当
时，
.
所以
，解得
.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想
.需要注意的是：一、准确无误地作出可行
域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般
情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得
芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是
()
只供学习交流用
此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是
.
故选 B.
5. 已知双曲线 ：
的渐近线经过圆 ：
的圆心，则双曲线 的离心率为
()
A.
此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除
2018 届河北省衡水金卷全国高三大联考
理科数学试题（解析版）
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 .
1. 已知集合 A.
， B.
，则 ( )
C.
D.
【答案】 C
【解析】
.
所以 故选 C.
射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点
射出，则
的周长
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】令
，得 ，即
.
由抛物线的光学性质可知
经过焦点 ，设直线 的方程为
消去 ，得
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题解题分析
二、解法分析
1. 强调数学运算，利用“直译法”进行求解 近几年的高考数学试卷，对本专题的考查中，重
点考查学生的运算能力. 尤其是考查学生对含字母的 代数式的化简变形的能力，在2018年的高考数学试卷 中得到了很好的体现.
“直译法”就是在解决圆锥曲线试题的过程中，利
用数学运算程序，将条件中的文字描述都转化为数学
-
3 2
ö2 ø
+
æ ç è
3+
3 2
ö2 ÷ ø
关键词：圆锥曲线；几何特征；平面向量；试题综合；复习建议
2018年高考数学试卷中，圆锥曲线试题位置前移 是数学试卷结构上的重大调整，这种调整，在适当降 低圆锥曲线试题难度的同时仍然保证了对圆锥曲线主 干知识的考查，在强调通性、通法的基础上重视对数 学学科思想与核心素养的考查，重视对圆锥曲线核心 思想的考查.
8
=
0. 解得
y1
=
2，y2=
4
.
不妨令 M(1，2)，N(4，4)，所
以 FM = (0，2) ， FN = (3，4) . 所以 FM · FN = 8 . 故
答案选D.
【评析】 该题直接求出点 M，N 的坐标，然后利用
向量的基本概念及其运算进行求解.
得 yN =
y1 + y2 2
=1.
故k=
y1 - y2 x1 - x2
=
4 y1 + y2
=2.
y
A1
A
M
N
O
x
B1
B
图1
【评析】 该题主要考查圆锥曲线与平面几何图形的
联系. 数形结合，利用直角三角形的几何性质，问题
衡水市选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测题(答案解析)
一、填空题1．已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，若直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值为__________.2．P 是非等轴双曲线222:116x y C a -=上的一点，12,F F 分别是双曲线C 左､右焦点，若1122,12PF F F PF ⊥=，则双曲线C 的渐近线方程是__________.3．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.4．已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆D ：22(3)3x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2MN NF +的最大值是___________．5．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____.6．椭圆2214x y +=的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是___________.7．若点(,)x y 在双曲线2214xy -=上，则232x y -的最小值是____________．8．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.9．设点P 在圆22:(6)5C x y +-=，点Q 在抛物线24x y =上，则||PQ 的最小值为_________．10．已知椭圆的方程为2212516x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 点的坐标为(2,1)，P 为椭圆上一点，则2||||PA PF +的最大值是___________.11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．12．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______.13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______. 二、解答题14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左，右焦点分别是12,F F ，椭圆上的4个点,,,A B M N 满足：直线AB 过左焦点1F ，直线AM 过坐标原点O ，直线AN 的斜率为32-，且2ABF 的周长为8 （1）求椭圆C 的方程． （2）求AMN 面积的最大值15．已知抛物线()220y px p =>以椭圆22143x y +=的右焦点为焦点F .（1）求抛物线方程.（2）过F 作直线L 与抛物线交于C ，D 两点，已知线段CD 的中点M 横坐标3，求弦CD 的长度.16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，过右焦点2F 且斜率为1的直线l 与圆()()222221x y -+-=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一点，若12120PF F ∠=︒，求12PF F △的面积.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，且右焦点到左准线的距离为10．（1）求椭圆C 的方程;（2）O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．18．已知双曲线1C 的方程为22143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0)， 直线330x y +-=经过椭圆的上顶点和右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点.若OAB 的面积为26，求直线l 的方程.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，且椭圆C 过点32,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.22．如图，已知圆221:(22)48O x y ++=，点2(22,0)O ，P 是圆1O 上的一动点，N 是1PO 上一点，M 是平面内一点，满足2PM MO =，20NM PO ⋅=．（1）求点N 轨迹Γ的方程；（2）若,,(3,)(0)A B Q t t >均为轨迹Γ上的点，且以AB 为直径的圆过Q ，求证：直线AB 过定点．23．已知椭圆C ：22142x y +=.（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1)2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，B 为椭圆C 的上顶点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN △的垂心．．？若可以，求出直线l 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为2的一点P 到焦点的距离为3. （1）求抛物线C 的方程；（2）设动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点， 直线OA ，OB 的斜率分别为12,k k ，且122k k ⋅=-，证明：直线l 经过定点，求出定点的坐标. 26．（1）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹方程；（2）经过两点(3,A --，(7)B --，求双曲线标准方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设则利用直线倾斜角及两角差的正切可得在上有解该分式方程可转化为一元二次方程利用判别式可得的不等式从而可求离心率的最大值【详解】设右焦点为则故因为直线上存在点P 使得故在上有解即在上有解所以即故解析：14【分析】设()2,P c t ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得()2122att c c a =++在R 上有解，该分式方程可转化为一元二次方程，利用判别式可得,a c 的不等式，从而可求离心率的最大值. 【详解】设()2,P c t ，右焦点为F ， 则tan 2t PAO c a ∠=+，tan 2tPOF c∠=，故()()2222tan 22122t t at c c a APO t t c c a c c a -+∠==++++，因为直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒， 故()2122att c c a =++在R 上有解即()2220t at c c a -++=在R 上有解， 所以()2820a c c a -+≥即216810e e +-≤，故104e <≤.故离心率的最大值为14.故答案为：14. 【点睛】方法点睛：离心率的取值范围的计算，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组，有时也可以根据题设条件构建关于,,a b c 的等量关系，可根据方程有解得到基本量的不等式．2．【分析】由双曲线定义可得根据已知可解得再由渐近线方程是可得答案【详解】因为所以又因为所以即解得或（舍去）所以双曲线C 的渐近线方程是故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义焦点三角形的问题关键点是焦点 解析：2y x =±【分析】由双曲线定义可得212PF PF a -=，根据112PF F F ⊥、已知可解得2a =，再由渐近线方程是by x a=±可得答案. 【详解】因为2122,12PF PF a PF -==，所以122122PF PF a a =-=-， 又因为112PF F F ⊥，2222212444464F F c a b a ==+=+，所以2221122PF F F PF +=，即()222212412a c -+=，解得2a =或4a =（舍去）， 所以双曲线C 的渐近线方程是422y x x =±=±. 故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线的定义、焦点三角形的问题，关键点是焦点三角形中112PF F F ⊥，考查了分析问题、解决问题的能力.3．【分析】求出直线的方程利用点到直线的距离与半通径的关系列出不等式求解即可【详解】解：直线的方程为：椭圆的右焦点过椭圆的右焦点作轴的垂线交于两点直线过的左焦点和上顶点若以为直径的圆与存在公共点可得：可解析：0,5⎛ ⎝⎦【分析】求出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半通径的关系，列出不等式，求解即可． 【详解】解：直线l 的方程为：1x yc b+=-，椭圆的右焦点(,0)c ， 过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，2b a可得：2b c ，即2224a c c -，即：215e，(0,1)e ∈， 解得：50e<．故答案为：⎛ ⎝⎦． 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．【分析】根据题中条件得到的最大值不小于即可由余弦定理结合基本不等式得到点为短轴的顶点时最大；不妨设点为短轴的上顶点记得出离心率的最小值连接得到根据椭圆的定义结合三角形的性质求出的最大值即可得出结果【 解析：4+【分析】根据题中条件，得到12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠最大；不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，得出离心率的最小值，连接DN ，得到()()22maxmax3MN NF DN NF +=++，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出2DN NF +的最大值，即可得出结果. 【详解】若想满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，可得()22222112121221221424cos 22PF PF c PF PF PF PF c F PF PF PF PF PF +--=+-∠=2222221122221112b b b PF PF PF PF a =-≥-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当 12PF PF =，即点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠的余弦值最小，即12F PF ∠最大； 如图，不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，则 23πθ≥，于是离心率3sin 2c e a θ⎫==∈⎪⎪⎣⎭， 因此当椭圆C 的离心率取得最小值32时，24a =，则椭圆 22:14x C y +=；连接DN ，根据圆的性质可得:()()22maxmax3MN NF DN NF +=+，所以只需研究2DN NF +的最大值即可；连接1NF ，1DF ，21144423DN NF DN NF DF +=+-≤+=+当且仅当N ，D ，1F 三点共线（N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号，所以2DN NF +的最大值为4+ 因此2MN NF +的最大值是4+故答案为：4+ 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.5．【分析】设点P(xy)表示出点P 到x 轴的距离为由哪一个角是直角来分类讨论在第一类中直接令x=士3得结果在第二类中要列出方程组【详解】设点则到轴的距离为由于（1）若或令得即到轴的距离为（2）若则由可得 解析：165【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得2y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165． （2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，由1210PF PF +=可得此情况不存在. 综上，P 到x 轴的距离为165. 故答案为：165． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件.6．【分析】根据椭圆的方程求得焦点的坐标得到抛物线的焦点坐标求得的值即可求得抛物线的标准方程【详解】由题意椭圆可得则所以椭圆的右焦点为即抛物线的焦点坐标为设抛物线的标准方程为可得即所以抛物线的标准方程为解析：2y =【分析】根据椭圆的方程求得焦点F 的坐标，得到抛物线的焦点坐标，求得p 的值，即可求得抛物线的标准方程. 【详解】由题意，椭圆2214x y +=，可得224,1a b ==，则c ==所以椭圆的右焦点为F ，即抛物线的焦点坐标为F ，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，可得2p=，即p =所以抛物线的标准方程为2y =.故答案为：2y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到再由二次函数的性质得到结果【详解】点在双曲线上故进而得到：二次函数对称轴为结合二次函数图像及性质可知最小值为时对应的值为故答案为【点睛】这个题目考查了双曲线的 解析：14312【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到()22232314212212x y y y yy -=+⨯-=-+再由二次函数的性质得到结果. 【详解】点(),x y 在双曲线2214x y -=上，故2214x y =+，进而得到：()22232314212212x y yy yy -=+⨯-=-+，二次函数对称轴为112y =，结合二次函数图像及性质可知最小值为112y =时对应的值为14312. 故答案为14312. 【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，根据点在曲线上可以二元化一元，最终转化为二次函数求最值的问题，结合图像性质即可得到结果.8．【解析】设由余弦定理知所以故填【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以c a =9．【分析】根据题意将问题转化为圆心到点的最小值与半径差的问题再根据两点间的距离公式求解即可【详解】解：设其中由题易知圆心圆的半径则当时所以故答案为：【点睛】本题考查两个动点间的距离最值问题解题的关键是【分析】根据题意，将问题转化为圆心C 到点Q 的最小值与半径差的问题，再根据两点间的距离公式求解即可. 【详解】解：设(,)Q x y ，其中24x y =．由题易知圆心(0,6)C ，圆的半径r =则|0)QC y ===≥∣．当4y =时，min ||QC =，所以min min ||||PQ QC r =-==【点睛】本题考查两个动点间的距离最值问题，解题的关键是将问题转化为圆心与点Q 的距离最小值与半径差的问题，考查化归转化思想，是中档题.10．【分析】本题先根据已知求出再求最后转化即可解题【详解】解：∵椭圆的方程为∴则∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值椭圆的标准方程求是中档题解析：10+【分析】本题先根据已知求出2a 、c ，再求1||AF 、12||||10PF PF +=，最后转化2||||PA PF +即可解题. 【详解】解：∵椭圆的方程为2212516x y +=，∴225a =，2229c a b =-=，则210a =，3c =，∵(2,1)A ，1(3,0)F -，∴1||AF ==∵12||||210PF PF a +==，∴211||||10||||10||1026PA PF PA PF AF +=+-≤+=+ 故答案为：1026+ 【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值、椭圆的标准方程求a ，b ，c ，是中档题.11．6【解析】因为双曲线的右焦点为所以解析：6 【解析】因为双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0) ，所以3,62p p ==12．【分析】由已知可得为椭圆两焦点再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心以为半径的圆写出圆的标准方程得答案【详解】如图由椭圆方程得所以则为椭圆两焦点所以由于则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的圆其方程 解析：()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，写出圆的标准方程得答案． 【详解】 如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以222c a b =-=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点， 所以||||25DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||5PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以2522(2)20x y ++=．故答案为：22(2)20x y ++=． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线1 【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则1FH ==,当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为15FH =，此时，m n +取得最小值15-.1.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、解答题14．（1）22143x y +=；（2）23【分析】（1）根据2ABF 的周长为8，解得2a =，再由离心率为12求解. ()2设直线3:2AN y x t =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式求得AN ，点O 到直线AN 的距离，然后根据直线AM 过坐标原点，由2AMNAONSS=求解.【详解】()1由椭圆的定义知48,2a a ==，12c a =， 1c ∴=，从而2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.()2如图所示：设直线3:2AN y x t =-+， 代入椭圆方程223412x y +=， 化简得：223330x tx t -+-=， 设()()1122,,,A x y N x y ， 由()23120t ∆=->，得212t <，且()2312914t AN -=+ 而点O 到直线AN 的距离914t d =+，且直线AM 过坐标原点，()23129214914AMNAONt t SS-∴==++，()()2222121222333t t t t +--=≤=当且仅当2212t t =- ， 即26t =时取等号，AMN ∴面积的最大值为3【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦长公式为；AB ==k 为直线斜率)．15．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）根据椭圆的方程得出1c =，则得出椭圆的右焦点为()1,0，进而得出抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的性质得出2p =，从而得出抛物线的标准方程；（2）设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，结合条件和中点坐标公式得出126x x +=，最后根据抛物线的焦点弦公式得出12CD CF DF x x p =+=++，即可得出答案. 【详解】解：（1）由椭圆22143x y +=，可知224,3a b ==，则21c =，即1c =，则椭圆22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，可知：12p=，∴2p =， 所以抛物线的标准方程为24y x =；（2）因为抛物线为24y x =，所以2p =，设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，因为线段CD 中点M 的横坐标为3，则1232x x +=，即126x x +=， 故12628CD CF DF x x p =+=++=+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的简单几何性质，考查抛物线的标准方程、定义以及抛物线的焦点弦公式，熟记抛物线的焦点弦公式是解题的关键.16．（1）2212x y +=；（2）7【分析】（1）运用椭圆的离心率和a ，b ，c 的关系，设出直线l 的方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得c ，即可得到椭圆方程； （2）在12PF F 中，运用余弦定理和椭圆的定义，解方程可得1||PF ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】解：（1）2c a =，可得a =，所以2222b a c c =-=，所以椭圆C 的方程可化为222212x y c c+=.过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程为y x c =-， 此直线与圆()()222221x y -+-=相切，2=，解得1c =， 所求椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）在12PF F △中，设1||PF m =，2||PF n =，m n +=，12||2F F ， 由余弦定理得，22422cos120n m m =+-⨯︒，2242n m m =++，因为n m =代入上式解得m =所以12PF F △面积1211sin120222S m F F =︒==故12PF F △的面积为7【点睛】方法点睛：对于椭圆和双曲线的问题，看到焦半径要马上联想到椭圆双曲线的定义，利用其定义解题，必要时需借助正弦余弦定理求解.17．（1）2211612x y +=；（2【分析】（1）由题得2c =，210a c c+=，联解可得.（2）写出:2AB y x =-，与椭圆方程联解，利用根与系数关系及求得三角形面积得解.【详解】解（1）设椭圆的半焦距为c ，()2,0F2c ∴=，210a c c+=，216a ∴= 22216412b a c ∴=-=-=∴椭圆C 的方程为2211612x y +=（2）:2AB y x =-22211612y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2712360y y ∴+-=设()11,A x y ，()22,B x y1212127367y y y y ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩12y y ∴-==△AOB的面积121122277S OF y y =-=⨯⨯=【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系通常是直线方程与圆锥曲线方程联解，利用根与系数关系求解，达到设而不求，简化运算.18．（1）221169y x +=；（2）()222413y x --=（1≥x ）.【分析】（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距c ，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中2a 的值，从而椭圆方程可求；（2）设(),M x y ，()00,B x y ，根据条件用M 点的坐标表示出B 点的坐标，再根据B 在双曲线上求解出,x y 满足的等式即为轨迹方程. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，由题2437c =+=，设椭圆方程22221y xa b+=（0a b >>）.∴1222212121924282PF PF PF PF c PF PF a⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴2221212142+4=64a PF PF PF PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∴216a =，∴2221679b a c =-=-=，∴2:C 221169y x +=；（2）由题点()0,4A .设双曲线右支上任意一点B 的坐标为()00,x y ，AB 中点M 的坐标为(),x y ，则00242x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴00224x x y y =⎧⎨=-⎩，又点B 在双曲线上，∴2200143x y -=∴()222413y x--=（1≥x ）.【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）.19．（1）2214x y +=；（2）0x y --=或0x y +=或20x --=或20x -=.【分析】（1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出a 、b 的值，进而可求出椭圆C 的方程；（2）设直线l的方程为x my =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出OAB 的面积为1212OABSOF y y =⋅-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，将韦达定理代入OAB 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由0x -=，令0x =可得1y =；令0y =可得x =因为直线0x +-=经过椭圆的上顶点和右焦点，所以半焦距为c =1b =，因此2a ==，所以，椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）可得)2F ，设过)2F的直线方程为x my =，由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()22410m y ++-=， 显然22124164280m m ∆=++=+>.设12(,)A x x ，12(,)B x x，则1224y y m +=-+，12214y y m -=+，从而1224y y m -=+.所以121122OABSOF y y =⋅-==，解得1m =±或m = 所以直线l的方程为0x y -=或0x y +=，20x --=或20x -=.【点睛】 思路点睛：求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式等，表示出三角形（或）四边形的面积，结合题中条件列出方程求解即可.20．（1）22143x y +=；（2）最大值为3.【分析】（1）根据离心率为12以及过定点P ⎭，列方程即可得解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+和22143x y +=联立可得()2234690m y my ++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解. 【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴112212112F ABS F F y y y y =-=-==△，令t =，则1t ≥，∴121241313F AB t S t t t==++△.令()13f t t t=+，则当1t ≥时，()f t 单调递增， ∴()()413f t f ≥=，13F AB S ≤△，即当1t =，0m =时，1F ABS 的最大值为3.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础.21．（1）22132x y +=；（2）3. 【分析】（1）根据离心率c e a ==，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值. 【详解】（1）由题意得2222292144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a=b =1c =.故椭圆方程为：22132x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，联立直线l 方程代入椭圆方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则222(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=>122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 所以12y y -===，因为20m ≥，所以2110,233m ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦， 易知当0m =，即211233m =+时，原式12y y -取得最大值=此时AOBS的最大值为1211122y F y O ⨯⨯=⨯=-.即三角形OAB . 【点睛】解题的技巧为：设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，可联立消去x ，得到关于y 的一元二次方程，进而可直接求得12y y -的表达式，即可得12y y -的最大值，即可求得面积的最大值，考查分析理解，计算求值的能力属中档题.22．（1）221124x y +=（2）见解析【分析】（1）根据向量的知识证明2NP NO =，从而得出21NO NO +=，再由椭圆的定义证明N 点的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，从而得出方程；（2）求出点Q 的坐标，当直线AB 的斜率存在时，联立椭圆以及直线AB 的方程，由韦达定理结合0AQ BQ ⋅=得出,k b 的关系，借助直线的知识得出定点；当直线AB 的斜率不存在时，由0AQ BQ ⋅=以及椭圆方程得出AB 的直线方程，从而求出定点. 【详解】 （1）22,0PM MO NM PO =⋅=M ∴为线段2PO 的中点且2MN PO ⊥2NP NO ∴=112112PO PN NO NO NO OO =+=+=>N ∴点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且2224128a c b a c ===-=-= 即点N 轨迹Γ的方程为221124x y +=（2）221,11243t t +=∴=，即(3,1)Q当直线AB 的斜率存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，:AB y kx b =+221124y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()2221363120k x kbx b +++-= 21212223126,1313b kbx x x x k k -=+=-++∴ ()()()()12123311AQ BQ x x y y ⋅=--+--()()221212(3)1210kb k x x k x x b b =--++++-+()()2222213126(3)21001313k b kb kb k b b k k+---=-++-+=++ 即2299210k kb b b ++--=，整理得(321)(31)0k b k b +++-=解得13b k =-或3122b k =-- 若13b k =-时，13y kx k =+-，即1(3)y k x -=-，过定点(3,1)，与Q 点重合，不符合题意；若3122b k =--时，3122y kx k =--，即1322y k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，过定点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线AB 的斜率不存在时，设(,),(,)A x y B x y -22(3)1AQ BQ x y ⋅=-+-2210643x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭2(23)(3)03x x =--=解得32x=或3x=（舍），即直线AB的方程为32x=，过定点31,22⎛⎫-⎪⎝⎭综上，直线AB过定点31,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题的第一问主要是借助椭圆的定义求出轨迹方程，第二问中关键是对2299210k kb b b++--=进行因式分解，得出,k b的关系.23．（1）2；（2）24,33⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）PM取最大值P的坐标是(0,.【分析】（1）由方程直接求出,a c，即可求出离心率；（2）可得直线方程为2y x=+，联立直线与椭圆方程即可求出交点坐标；（3）设()00,P x y，利用距离公式与椭圆的有界性即可求出.【详解】（1）因为24a=，22b=，所以2a=，b=c==所以椭圆的离心率2cea==.（2）()2,0A-，直线m的方程为：2y x=+，联立方程组222142y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y整理得：23840x x++=，解得12x=-，223x=-，所以点B的坐标为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭.（3）设()00,P x y，因为P是椭圆C上的动点，所以2200142x y+=，220042x y=-，因为(M，所以MP====因为y≤≤所以当0y =时，PM取最大值P的坐标是(0,. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆的交点坐标，可直接联立方程求解，第三问求椭圆上的点到定点的距离最值，解题的关键是正确表示距离，利用椭圆的有界性求解.24．（1）2212x y +=；（2）可以，43y x =-.【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合点到椭圆上以及关系式222a b c =+，得到方程组，通过解方程组进行求解即可；（2）根据垂心的定义、两直线垂直的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则22222261144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得：22a =，221b c ==， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）假设存在直线l 使得点(1,0)F 是BMN △的垂心，(0,1)B ，(1,0)F ， ∴1BF k =-，F 是BMN △的垂心， ∴BF MN ⊥,从而1MN k =，∴设直线l 的方程为y x m =+.由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩得2234220x mx m ++-=， 令11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=，221612(22)0m m ∆=-->，即23m <NF BM ⊥，则0NF BM ⋅=又2211(1,)(,1)NF BM x y x y ⋅=--⋅-2121(1)(1)x x y y =--- 112122x x x y y y =--+112122()()()x x x x m x m x m =--++++ 212122(1)()x x m x x m m =-+-++-∴222242(1)()033m m m m m --⨯+-⨯-+-=，化简可得：2340m m +-=∴1m =或43m =-当1m =时点B 为直线l 与椭圆的交点，不合题意；当43m =-时，经检验与题意相符. ∴当直线l 的方程为43y x =-时，点F 是BMN △的垂心.【点睛】 关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，解题关键是根据题意列出方程组； 明确垂心的定义也是解题的关键，根据垂心的定义可以求出直线l 的斜率和0NF BM ⋅=，这样就可以利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解.25．（1）24y x =；（2）证明见解析，（2，0）. 【分析】（1）由抛物线的定义可得：232p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即可求出2p =，进而可得抛物线的方程； （2）设直线l 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程化简得2440y my n --=，利用根与系数的关系可得121244y y my y n +=⎧⎨=-⎩，再利用1212122y y k k x x =⨯=-，列方程即可求出2n =，进而可得直线l 经过定点()2,0 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为：2p x =-， 由抛物线的定义可得：232p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2p =， 所以抛物线C 的标准方程为：24y x =（2）证明：设直线l 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程化简得2440y my n --=， ∴.121244y y my y n +=⎧⎨=-⎩ ，。
2021衡水名师原创数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》
2021衡水名师原创数学专题卷 专题十三《圆锥曲线与方程》考点40：椭圆及其性质(1-3题，9-11题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（4,5题，6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（6,7题，16题） 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（8题，16题，17-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知直线210kx y -+=与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围( )A. (]1,9B. [)1,+∞C. [)()1,99,+∞ D.()9,+∞2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为( )ABCD3.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短袖长为2，上顶点为A ，左顶点为12,,B F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △的面积为22-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A.[]1,2B.C.⎤⎦D.[]1,44.设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,且123PF PF =,则双曲线的离心率为( )5.若直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ,则实数k 的取值范围是( )A.2k -<<B.22k -<<C.k <<D.20k -<<6.已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点,A B 满足4AF FB =，若,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN △的面积为5，则||AB =( ) A.94B.134C.214D.2547.已知抛物线252y x =与直线:12l y kx k =+-交于,A B 两点.若90AOB ∠=︒(O 为坐标原点),则实数k =( ) A.4-B.2-C.1D.28.已知点12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>的公共焦点,点P 是它们在第一象限的公共点,满足2211()0F P F F PF +⋅=.若椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,则12142e e e +的取值范围为( )A.)+∞B.)+∞C.[3,)+∞D.[6,)+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。
专题13 选讲部分-汇集名校资源之三年(2016-2018)河北衡水中学高三数学(理)模拟试卷分项版(解析版)
一、解答题1.【2018河北衡水中学高三二调】选修4-4：坐标系与参数方程将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．【答案】（1）（2）2．【2018河北衡水中学高三二调】选修4-5：不等式选讲已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：3．【2018河北衡水中学高三分科综合测试】在极坐标系中，曲线,曲线．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．（1）求的直角坐标方程；（2）与交于不同的四点，这四点在上排列顺次为,求的值．【答案】（1）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）．【解析】试题分析：（1）根据，，将极坐标方程化为直角坐标方程，（2）将直线参数方程依次代入的直角坐标方程，由圆的几何性质以及参数几何意义得，再由韦达定理得，代入求得的值. 学@科网试题解析：解：（Ⅰ）因为，，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.4.【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知为任意实数．（1）求证：；（2）求函数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）1．【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．5.【2017河北衡水中学高三押题卷】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点. （1）求圆的直角坐标方程及弦的长；学科%网（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.6.【2017河北衡水中学高三押题卷】已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】（1）；（2）.根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域. （2）因为，所以，所以. 又，所以，知，， 所以，所以， 所以.7. 【2017河北衡水中学高三二调】在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点(3M 对应 的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎫⎪⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程； （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.【答案】（1）221164x y +=，()2211x y -+=；（2）516. 【解析】试题解析：（1）将(3m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos43,23sin3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨=⎩=, 所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点2,4D π⎫⎪⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：极坐标与参数方程．8. 【2017河北衡水中学高三二调】已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥；（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≠【解析】考点：不等式选讲．9.【2017河北衡水中学高三三调】已知直线l 的参数方程为2222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 【答案】（1）2；（2）16． 【解析】考点：10.【2017河北衡水中学高三三调】选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6． 【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值． 学@科网试题解析：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．11. 【2017河北衡水中学高三六调】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==t b y ta x sin cos （t 为参数，0≠a ），曲线1C 的上点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1M 对应的参数4π=t ，将曲线1C 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2''后得到曲线2C ，直线l 的参数方程为10cos sin 2=+θρθρ（1）说明曲线2C 是哪种曲线，并将曲线2C 转化为极坐标方程； （2）求曲线2C 上的点M 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1），（2）（2）直线的普通方程为，点到直线的方程距离为所以最小值为12.【2017河北衡水中学高三六调】选修4-5：不等式选讲已知函数()()a x x x g x x x f -++=--+=1,3212 （1）求()1≥x f 的解集；（2）若对任意的R t ∈，都存在一个S 使得()()t f s g ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）（2）或. 学科！网13. 【2018河北衡水中学高三9月联考】在平面直角坐标系中中，已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：14. 【2018河北衡水中学高三9月联考】已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）利点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．15. 【2017河北衡水中学高三押题卷三】选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.学,科,网...16．【2017河北衡水中学高三押题卷三】选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．17.【2017河北衡水中学高三第三次摸底】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；学.科.网（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）则，所以，同理，所以．18.【2017河北衡水中学高三第三次摸底】选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析所以．19. 【2017河北衡水中学高三押题卷二】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1），，：；；（2）.【解析】试题分析：20.【2017河北衡水中学高三押题卷二】选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：21. 【2017河北衡水中学高三押题卷一】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）. (I)写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；(II)将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）. 学￥科网22. 【2017河北衡水中学高三押题卷一】选修4-5：不等式选讲设函数.(I)当时，解不等式；(II)当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：对于问题（Ⅰ），根据绝对值的概念即可求出不等式的解集；对于问题（Ⅱ），首先求出当时函数在上的最小值，得到一个关于实数的极端不等式，再解这个关于实数的不等式，即可得到实数的取值范围．试题解析：（I）时原不等式等价于即，所以解集为（II）当时，，令，所以当时，取得最小值,由题意知：，所以实数的取值范围为.考点：1、含绝对值不等式的解法；2、极端不等式恒成立问题.23. 【2017河北衡水中学高三上学期六调】极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点）三点．（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值．【答案】（1）见解析;（2）．所以．24.【2017河北衡水中学高三上学期六调】选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若，解不等式；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．学科%网25．【2016河北衡水中学高三上学期六调】已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2．26．【2016河北衡水中学高三上学期六调】设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．【考点】绝对值不等式；函数恒成立问题．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|中的绝对值符号，画出函数函数f （x）的图象，根据图象求解不等式f（x）≤3，（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），从而解得实数x的范围．【解答】解：（1），…所以解集[0，3]…（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，…得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…解得x或x…27．【2016河北衡水中学高三上学期七调在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的普通方程；直接消掉参数t可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得关于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，得|MN|2=|PM||PN|，变形后代入韦达定理可得a的方程．学……科网28．【2016河北衡水中学高三上学期七调】已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（I）．…。
2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》
2019届高三复习理科数学专题卷 专题十三 圆锥曲线与方程考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（11,12题）考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ）A. 2212x +=B. 2212x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点40 易已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D ．133．【来源】重庆市第一中学2017-2018学年高二月考 考点40 中难已知椭圆221(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）A.234．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难如图， 12,A A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A. 14B. 12C. 9D. 7 5．【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试 考点40 难已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.1351- C. 35 D. 236．【来源】河北省五个一联盟2017届高三上学期第一次模拟考试 考点41 易设椭圆22221x y m n +=，双曲线22221x y m n-=，（其中0m n >>）的离心率分别为12,e e ，则（ ）A. 12,1e e >B. 12,1e e <C. 12,1e e =D. 12,e e 与1大小不确定 7．【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考 考点41 易已知双曲线221259x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是（ ）A. 8B. 28C. 12D. 8或28 8．【2017课标II ，理9】 考点41 易若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．239．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点41 中难A 、F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点和右焦点， A 、F 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B 、Q ， O 为坐标原点， ABO ∆与FQO ∆的面积之比为12，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B.12C. 210．【来源】江西南昌十所省重点中学2017届高三第二次模拟 考点41 难已知12,F F 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于( )A.54 B. 535211．【2017课标1，理10】 考点42 中难已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．1012．【来源】河北省石家庄市高三一模考试 考点42 难已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A , B 两点,且3AF FB =u u u r u u u r,抛物线的准线l 与x 轴交于点C , 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF 的面积为则准线l 的方程为( )A. x =x =- C. 2x =- D. 1x =-第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届河北省衡水中学高三下学期期中考试理科数学试题及答案精品
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示语文成绩
与数学成绩，若在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a、b 的值；
（ 3）在语文成绩为及格的学生中，已知
a 10,b 8 ，设随机变量
a b ，求① 的分布列、期望 ; ②数学成绩为优秀的人数比及格的
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5 ，不等式选讲 在平面直角坐标系中，定义点 P(x1, y1) 、 Q( x2 , y2 ) 之间的直角距离
为 L( P,Q ) | x1 x2 | | y1 y2 |，点 A(x,1) ， B(1,2) ， C (5, 2) （1）若 L ( A, B) L( A,C) ，求 x 的取值范围； （2）当 x R 时，不等式 L ( A, B) t L( A, C ) 恒成立，求 t 的最小值 .
∴ O 为 B1C 中点又 D 为 AC 中点 , 从而 DO // AB1 (4 分)
∵ AB1 平面 BDC 1 , DO 平面 BDC1 ∴ AB1 // 平面 BDC1 (6 分) （Ⅱ）建立空间直角坐标系 B xyz 如图所示 ,
33
则 B(0,0,0) , A(
3,1,0) ,
C (0,2,0)
4
D．2k 或 2k 一 1 （ k∈Z）
4
C． 0
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、 填空题（每题 5分，共 20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．设等比数列 { an} 满足公比 q N * ，a n N * ，且 { a n } 中的任意两项之积
也 是 该 数 列 中 的 一 项 ， 若 a1 281 ， 则 q 的 所 有 可 能 取 值 的 集 合
2019衡水名师原创高考理科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》
2019衡水名师原创理科数学专题卷专题十三 圆锥曲线与方程考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（11,12题）考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题） 一、选择题1.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为( )A.221916x y += B.221916x y +=或221169x y += C.2212516x y += D.2212516x y +=或2211625x y += 2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12,A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( )A.3B.C.D.133.已知点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上,点F 为椭圆的右焦点, PF 的最大值与最小值的比为2,则这个椭圆的离心率为( )A. 12B. 13C. 14D.24.如图, 1A ,2A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点, O 为坐标原点, S , Q ,T 为椭圆上不同于1A ,2A 的三点,直线1OA ,2OA ,OS ,OT 围成一个平行四边形OPQR ,则22OS OT += ( )A. 14B. 12C. 9D. 75已知椭圆的左焦点为,有一小球从处以速度开始沿直线运动,经椭圆壁反射(无论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计),若小球第一次回到时,它所用的最长时间是最短时间的倍,则椭圆的离心率为( ) A.B.C. D.6.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为12,F F ,这两条曲线在第一象限的交点为12,P PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形。
衡水汇编 2016-2018年衡水中学圆锥曲线题型汇编--9.1
2016-2018年衡水中学圆锥曲线题型汇编一、选择题1．【2017河北衡水中学高三押题卷】焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A. 或B.C. 或D.【解析】2.【2018河北衡水中学高三市模拟联考】抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线在轴右侧的部分相交于点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的面积是（）A. B. C. D.【解析】由抛物线的定义可得，，则ＡＦ的斜率等于，的倾斜角等于，可得，故为等边三角形，又因为焦点，方程为，与可得点，抛物线的定义可得，故等边的边长，的面积＝，故选C.3.【2018河北衡水中学高三五调】已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于2c e a ====以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -=4.【2018河北衡水中学高三9月联考】已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得，故其离心率为.选A.５.【2017河北衡水中学高三第三次摸底】已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线离心率等于（ ）A. B. C. D. 2【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即，选D.６.【2018河北衡水中学高三9月联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.7.【2017河北衡水中学高三押题卷一】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（）A. B. C. D.【解析】9.【2017河北衡水中学高三上学期四调】已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1B D10.【2017河北衡水中学高三押题卷三】 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】由题意：M （x 0，2√2）在抛物线上，则8=2px 0，则px 0=4，① 由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE 中，丨DE 丨2+丨DM 丨2=丨ME 丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x 0=2，p=2，∴，故选：B ．1１．【2017河北衡水中学高三六调】以抛物线2x y =的一点()1,1M 为直角顶点作抛物线的两个内接MCD Rt MAB Rt ∆∆,，则线段AB 与线段CD 的交点E 的坐标为（ ） A ．()2,1- B ．()1,2- C.()4,2- D ．()4,1-【解析】设，则，的方程为因为，所以带入得于是在直线上，同理点也在上，因为交点为.故选：.12.【2017河北衡水中学高三上学期四调】已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=1３.【2017河北衡水中学高三二模】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.14.【2016河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．把M点代入①得：．解得p=．故选：D．二、填空题15.【2018河北衡水中学高三市模拟联考】已知是双曲线：（，）的一个焦点，为坐标原点，是双曲线上一点，若是等边三角形，则双曲线的离心率等于__________.【解析】设，是等边三角形，所以，代入化简得：，所以的离心率，故答案为16.【2018河北衡水中学高三五调】已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆，则p 的值为__________. 【解析】17.【2017河北衡水中学高三第三次摸底】已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．18.【2017河北衡水中学高三押题卷二】设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【解析】试题分析：∵△PQM 是锐角三角形，∴∴化为，∴解得∴该椭圆离心率的取值范围是19.【2017河北衡水中学高三上学期四调】过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ．20.【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，若，则__________．,则,即,故在中,高,21.【2017河北衡水中学高三二模】已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．22.【2016河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，即，所以，∵0＜a＜1，∴e2＞5，故．故答案为：．三、解答题23.【2018河北衡水中学高三市模拟联考】已知椭圆（）的焦点分别为，，离心率，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，，且. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆有两个不同的交点，，且点在点，之间，试求和面积之比的取值范围（其中为坐标原点）.24.【2018河北衡水中学高三9月联考】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【解析】（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，若是菱形，则，即，于是有.又，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.25.【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：．令，得，从而．所以．当时，,所以,综上可知．26. 【2017河北衡水中学高三押题卷】已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.，所以.当时，，所以；当时，，所以.综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.27. 【2018河北衡水中学高三二调】如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且,B AOB α⎛∠= ⎝⎭.（1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()f m θ=,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.【解析】0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.28.【2018河北衡水中学高三五调】 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点P 到椭圆C .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,2F c PF c ==，()2,2在椭圆C 上，22421a b∴+=， 由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y+=.又圆心(Q 到2l的距离1d <21k >又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d ，即2d ==MAB ∆面积212S AB d === 令()2213,t k =+∈+∞，则110,,3S t ⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 29. 【2017河北衡水中学高三六调】已知抛物线C 的方程为py x 22=，点()4,4为抛物线上一点，F 为抛物线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。
2018年高考圆锥曲线大题
2018年高考圆锥曲线大题一．解答题（共13小题）1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．7．已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．8．设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．11．已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．2018年高考圆锥曲线大题参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k==﹣=﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1﹣x2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，∴该数列的公差为±．2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k==﹣=﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴k=﹣．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，∴x3=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．【解答】解：（1）由已知得a2=12，b2=4，故c==4，所以F1（﹣4，0）、F2（4，0），因为C是以F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0），半径为4，所以C的轨迹方程为（x﹣4）2+y2=16；（2）设动点M（x，y），P（x0，y0），则=（x+4，y），，由，得（x+4，y）=2（x0﹣x，y0﹣y），即，解得，因为点P在C上，所以，代入得，化简得．4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．【解答】解：（1）c==1，∴F（1，0），∵l与x轴垂直，∴x=1，由，解得或，∴A（1.），或（1，﹣），∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB=+，由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得k MA+k MB=，将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0从而k MA+k MB=0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB，综上∠OMA=∠OMB．5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2=﹣，x1x2=，∴|AB|==，∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；（Ⅲ）设直线PA的斜率k PA=，直线PA的方程为：y=（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）=0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，x1•x C=﹣，x C=﹣，则y C=（﹣+2）=，则C（﹣，），同理可得：D（﹣，），由Q（﹣，），则=（，），=（，），由与三点共线，则×=×，整理得：y2﹣x2=y1﹣x1，则直线AB的斜率k==1，∴k的值为1．6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．7．已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），∴4=2p，解得p=2，设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M（0，y M），N（0，y N），则=（0，y M﹣1），=（0，﹣1）因为=λ，所以y M﹣1=﹣y M﹣1，故λ=1﹣y M，同理μ=1﹣y N，直线PA的方程为y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），令x=0，得y M=，同理可得y N=，因为+=+=+======2，∴+=2，∴+为定值．8．设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2=5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y=6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．由＞0．可得k，故k=﹣，9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e=，∴=；又a2=b2+c2，∴2a=3b，由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；可得ab=6，从而解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；又|AQ|=，且∠OAB=，∴|AQ|=y2，由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；由方程组，消去x，可得y1=，∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，解得k=或k=；∴k的值为或．11．已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，，∴，．∴=．∴a2=8．所以椭圆C的方程为．（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0．∴．即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．由（1）知，，∴．∴m=4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．12．已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，，所以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为．（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得，，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则，，所以，，将代入x2+y2=1，得，又因为=，原点到直线l的距离，所以==×==．当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．综上所述，△AOB面积的最大值为1．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解得a=2，c=b=．∴椭圆的方程为：+=1．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴k AB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．。
2020衡水名师文科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》
10 答案及解析： 答案：C
解析：因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于 A, B 两点且 AF 3BF ,
故直线与双曲线相交只能如图所示的情况,
即 A 点在双曲线的左支, B 点在右支,
设 Ax1, y1 , B x2, y2 ,右焦点 F c, 0c 0,
3 A. 0, 3
B. 0,1
2 C. 2 ,1
2 D. 0, 2
5、已知椭圆 x2 y2 1 以及椭圆内一点 P(4, 2) ，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) 36 9
A. 1 2
1
B．
2
C．-2
D．2
44
D. (0, π ) ( π , π) 22
10、已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0,若存在过右焦点 F
的直线与双曲线 C
相交
于 A, B 两点且 AF 3BF ,则双曲线离心率的最小值为( )
A. 2
B. 3
C.2
D. 2 2
11、如图，过抛物线 y2 8x 焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两点，与抛物线的准线
11 答案及解析： 答案：B 解析： 12 答案及解析： 答案：D
解析：如图，已知 y2 4x ，可知焦点 F (1,0) ，准线： x 1，
过点 A 作准线的垂线，与抛物线交于点 M ,作根据抛物线的定义，可知 BM MF MF MA MB MA 取最小值， 已知 A(3, 2) ，可知 M 的纵坐标为 2，代入 y2 4x 中， 得 M 的横坐标为 1， 即 M (1, 2) .
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题(解析版)
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】.所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，.所以在内单调递减.又，，.故，选D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，..............................所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当时，，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.点睛：由和求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解. 试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得最小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当时，在内单调递增，当时，成立.当时，令为和中较小的数，所以，且.则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，.∵，∴，.∴.∴.。
2018衡水名师原创专题+理数+专题提高三《基本初等函数》
绝密★启用前2018衡水名师原创专题卷理数专题三《基本初等函数》数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1第1卷一、选择题①;②;③;④;⑤.其中满足条件的函数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2、函数的值域是( )A.B.C.D.3、设函数,如果,则的取值范围是( )A.B.C.D.4、设为正数,且,则( )A.B.C.D.5、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)A.B.C.D.6、已知函数(且)过定点,则点坐标( ) A.B.C.D.7、若函数,则( )A.B.C.D.8、函数的最小值为( )A.B.C.D.9、已知,则的大小关系为( )A.B.C.D.10、已知奇函数在上是增函数,.若,,,则的大小关系为( )A.B.C.D.11、已知函数,若,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.12、幂函数在上是增函数,则( )A.2B.-1C.4D.2或-1二、填空题13、当,不等式恒成立,则实数的取值范围为________.14、已知函数,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是______.15、已知函数,则.16、若对于恒成立,则实数的取值范围是_______.三、解答题17、已知函数,,其中且,.1.若,且时,的最小值是,求实数的值;2.若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.18、已知函数为常数,且得图象过点1. 求实数的值;2. 若函数试判断函数的奇偶数,并说明理由.19、已知函数(且).1.当时,求不等式的解集;2.当时,恒成立,求实数的取值范围.20、已知函数.1.当时,求函数的值域;2.是否存在,使在上单调递增,若存在,求出的取值范围;不存在,请说明理由.21、已知函数是偶函数.1.求的值;2.若函数,是否存在实数使得最小值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.四、计算题1.2.参考答案：一、选择题1.答案：B解析：根据指数函数图像可知①不是凸函数,是凹函数;②,也是凹函数,不满足条件;③;也是凹函数;④;作图可知道是凸函数,成立;⑤是定义域内的凸函数,符合题意,故正确的个数为2,选B.考点:本试题主要考查了凸函数的概念的理解和运用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018衡水名师原创理科数学专题卷专题十三 圆锥曲线与方程考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（11,12题）考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ）A. 2212x +=B. 2212x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点40 易已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A．3B．3C．3D ．133．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点40 中难已知椭圆221(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）A.234．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难如图， 12,A A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A. 14B. 12C. 9D. 7 5．【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试 考点40 难已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.13C. 35D. 23 6．【来源】河北省五个一联盟2017届高三上学期第一次模拟考试 考点41 易设椭圆22221x y m n +=，双曲线22221x y m n-=，（其中0m n >>）的离心率分别为12,e e ，则（ ）A. 12,1e e >B. 12,1e e <C. 12,1e e =D. 12,e e 与1大小不确定 7．【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考 考点41 易已知双曲线221259x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是（ ）A. 8B. 28C. 12D. 8或28 8．【2017课标II ，理9】 考点41 易若双曲线C :22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 B．39．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点41 中难A 、F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点和右焦点， A 、F 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B 、Q ， O 为坐标原点， ABO ∆与FQO ∆的面积之比为12，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B.12 C. 210．【来源】江西南昌十所省重点中学2017届高三第二次模拟 考点41 难已知12,F F 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于( )A.54 B. 535211．【2017课标1，理10】 考点42 中难已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．1012．【来源】河北省石家庄市高三一模考试 考点42 难已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A , B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C , 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF 的面积为则准线l 的方程为( )A. x =x =-2x =- D. 1x =-第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13．【来源】2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上期中 考点40 中难设1F 、2F 分别是椭圆1162522=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则|PM |＋|1PF |的最大值为_______14．【来源】2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考 考点40 难21,F F 分别为椭圆1273622=+y x 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且)(211OF OA OB +=，)(212OF OA OC +=，则=+|||| . 15．【2017课标1，理】 考点41 中难已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 16．【2017课标II ，理16】 考点42 难已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
若M 为FN 的中点，则FN =。
三、解答题（本题共6小题，共70分。
）17．（本题满分10分）【来源】江西省2017届高三下学期调研考试 考点43 考点44 中难已知O 为坐标原点， 12,F F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其离心率2e =， M 为椭圆C 上的动点， 12MF F ∆的周长为4+（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆的右顶点为A ，点,B C （C 在第一象限）都在椭圆上，若OC BA λ=，且·0OC OB =，求实数λ的值.18．（本题满分12分） 【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点43 考点44中难已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点⎛⎝⎭ 1A ， 2A 是椭圆C 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧），B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ，使得向量OP OQ +与2A B 共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.19．（本题满分12分）【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考 考点43 考点44 中难如图，已知圆()22:14E x y +-=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点12,F F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ， A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与直线OA （O 为原点）平行的直线交椭圆C 于,M N 两点，当AMN ∆的面积取最大值时，求直线l 的方程.20．（本题满分12分）【2017课标1，理20】考点43 考点44 中难已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.21．（本题满分12分）【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点43 考点44 中难 已知过()0,2A 的动圆恒与x 轴相切，设切点为,B AC 是该圆的直径． （Ⅰ）求C 点轨迹E 的方程；（Ⅱ）当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在P 处的切线与直线BC交于Q 点．求证: PQC ∆恒为直角三角形．22．（本题满分12分）【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测 考点43 考点44 难已知点()1,0F ，直线:1l x =-，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q . （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,2H ，过F 且与x 轴不垂直的直线交C 于,A B 两点，直线,AH BH 分别交l 于点,M N ，求证：以MN 为直径的圆必过定点.参考答案1．C【解析】由条件可知b c ==， 2a = ，所以椭圆方程为22142x y += ，故选C.2．【答案】A 【解析】3．D【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得： ()()()2241310m x m x m +++++= ，满足题意时： 20)1)(2(12)1(162≥⇒≥++-+=∆m m m m 20≥∴>m m ，当2m =4．A【解析】设()()()1122,,,,,Q x y T x y S x y ， 12,QA QA 斜率分别为12,k k ，则,OT OS 的斜率为12,k k ，且212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以()212222*********45159k OT x y x k x k+=+=+=+，同理()2222245159k OS k +=+，因此()()()22222212112221212125451451451451812559595959k k k k OS OT k k k k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭+=+=+++++ ()22211122211145181251267014595959k kk k k k +++=+==+++.故选A ． 5．D【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近，到右顶点的距离最大，所以由题设可得()546a c a c a c +=-⇒=，即4263e ==，应选答案D 。