2.1圆的标准方程
2021年高中数学第二章2.2.1圆的标准方程学案北师大版必修2
§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。
高中圆与方程的总结知识点
高中圆与方程的总结知识点一、圆的基本概念1.1. 定义：圆是平面上与一个给定点的距离等于一个常数的点的集合。
1.2. 圆的要素：圆心、半径，圆的圆心记为O，圆的半径记作r。
1.3. 圆的直径：过圆心的两个点之间的线段称为圆的直径，它的长度等于圆的半径的两倍。
1.4. 圆的线段：圆上的一段弧称为圆的线段。
1.5. 圆的弧长：圆的线段的长度。
1.6. 圆的圆周角：圆上的一段的圆弧，其两端点为圆上的两点，则弧所对的圆心角称为圆的圆周角，当圆周角的弧的度数是360度时，这个角也叫圆的周角。
二、圆方程的基本概念2.1. 圆的标准方程：以点(h,k)为圆心,r为半径的圆方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2. 圆的一般方程：圆的一般方程的一般形式为x²+y²+ax+by+c=0。
三、圆与直线的方程3.1. 圆与坐标轴的交点：圆与x轴的交点（a，0）和与y轴的交点（0，b）。
3.2. 圆与直线的位置关系：圆可能与直线相切、相交或者不相交。
3.3. 圆的切线方程：圆的切线方程要求切点在圆上，与圆的切线垂直于和直径的直线相。
四、圆与圆的方程4.1. 圆的位置关系：两个圆可能相离、外切、内切、相交或者包含。
4.2. 圆的位置关系对应的方程：通过分析圆心之间的距离与半径之间的关系，可以确定两个圆的位置关系。
五、圆的参数化方程5.1. 参数化方程的定义：参数是指由一个或几个变化的量组成的多元函数。
5.2. 圆的参数化方程：圆可以用参数方程表示为：x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。
六、解题技巧6.1. 圆方程与圆心、半径的关系：根据圆的标准方程，可以直接读出圆心的坐标和半径的值。
6.2. 圆的切线方程：根据圆的切线要求即切点在圆上，利用斜率的关系求出切线的斜率，然后代入切点的坐标得出切线方程。
6.3. 圆与直线的位置关系：通过解方程组，可以得出圆与直线的交点坐标，从而分析它们的位置关系。
2.1圆的标准方程
(学生回答) x2 y 2 9 （1） （2） 2 2 x 3 y 4 5
说出下列圆的圆 心和半径：(学生 例1 写出圆心为 A(2, 3) 半径长等于 5 的圆的方程，并判断 回答) 点 M1 (5, 7), M2 ( 5, 1) 是否在这个圆上。 ( 教师展示答 案) （从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则 在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上． ） 问题 2 怎样判断点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 的位 置关系 知识探究二：点与圆的位置关系 若点到圆心的距离为 d， （1）d<r 时，点在圆内； （2）d=r 时，点在圆上； （3）d>r 时，点在圆外;
板书解题过程（重点讲解解题方法及解方程的步骤）
解法 1 待定系数法.
引导学生分析 （可学生板演）
方法二：几何法 由于圆心 C 与 A, B 两点的距离相等，所以圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 上．又圆心 C 在直线 l 上，因此圆心 C 是直 线 l 与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|．
3
（3）解此方程组，求出 a、b、r 的值； （4）将所得的 a、b、r 的值代回所设的圆的方程中，就得到 所求的圆的标准方程. 例 3 已 知 圆 心 为 C 的 圆 经 过 点 A(1,1) 和 B(2, 2) , 且 圆 心 在
l : x y 1 0 上 , 求圆心为 C 的圆的标准方程 . 教师用两种方法
（一）复习 （1）求两直线的交点 平面内与一定点 （2）点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是 距离等于定长的 （3）点到直线距离公式 （要将直 点的轨迹称为圆 线方程化为一般式． ） （二）引入 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 2. 确定圆的几何条件 圆心（定位置） 半径（定大小） （三） 【自学探究】: 问题 1：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心 坐标为 C(a,b)，半径为 r。 （其中 a、b、r 都是常数，r>0） 设 M(x,y)为这个圆上任意一点， 那么点 M 满足的条件是 （引 导学生自己列出）P={M||MC|=r},由两点间的距离公式让学 生写出点 M 适合的条件
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是
根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两 个几何要素，然后代入标准方程．
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径
就可以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以 判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将 该点坐标代入圆的方程判断．
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
a＝2， 解此方程组，得b＝－3， r2＝25， ∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x
－
2y－3＝0上的圆的方程． 解：法一：因为A(2，－3)，B(－2，－5)，
1 所以AB中点D(0，－4)，kAB＝2， AB的垂直平分线方程为y－(－4)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋4＝0.
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是
根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两 个几何要素，然后代入标准方程．
(y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、
Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)， B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方
程，求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
解：(1)代入圆的标准方程得 (x＋3)2＋(y－4)2＝5. (2)∵半径r＝ 8－52＋－3－12＝5. 所以圆的标准方程为： (x－8)2＋(y＋3)2＝25.
[例2]
一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝
x＋2上，求此圆的标准方程．
[思路点拨] 利用代数法，构造方程求解a、b、r，
地总高120m的摩天轮．
中国最高的摩天轮“南昌之星”位于江西省南昌市红谷 滩新区红角洲赣江边上的赣江市人民公园，是南昌市标志 性建筑．该摩天轮总高度为160m，转盘直径为153m，比 位于英国泰晤士河边的135m高的“伦敦之眼”摩天轮还要 高，成为世界上较高的摩天轮之一．如何写出圆的方程呢？
问题1：在平面直角坐标系中，确定圆的几何要 素是什么？ 提示：圆心和半径． 问题2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合， 到点(1,2)的距离等于1的点(x，y)的集合怎样用方程表 示？ 提示：
a＝2， 解此方程组，得b＝－3， r2＝25， ∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x
－
2y－3＝0上的圆的方程． 解：法一：因为A(2，－3)，B(－2，－5)，
1 所以AB中点D(0，－4)，kAB＝2， AB的垂直平分线方程为y－(－4)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋4＝0.
∴BC的垂直平分线方程为y＝x－3. CD的垂直平分线方程为y＝4.
y＝x－3， 由 y＝4， x方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
2.1圆的标准方程
《圆的标准方程（第1课时）》课前预习指导素材广西壮族自治区藤县中学 麦剑源一、教学重点与难点：1.重点: 圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。
2.难点：由已知条件求圆的标准方程的常用两种方法：待定系数法和几何性质法。
二、 圆的方程的形式是什么呢，它又有什么特征呢？请给出圆的标准方程的推到过程。
思考：当圆心在原点时，圆的方程是什么？方程特征：（1）（2）（3）三、例题与练习x(3) 圆心为坐标原点，且与直线4x+2y-1=0相切；(4)圆过点(0,1)和（0，3），半径等于1；例2、三角形ABC 的三个顶点的坐标分别A (5,1), B (7,－3)，C (2, －8)，求它的外接圆的方程．练习2、已知圆心为C 的圆经过点A (1, 1)和B (2, －2)，且圆心C 在直线 l ：x －y +1=0上，求圆心为C 的圆的标准方程．例题3、如何判断点00(,)M x y 在圆内还是在圆外？点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（提炼总结）练习3：课下思考题：M ，N ，Q 哪个点到圆上点的距离最小？最小距离是多少？四、作业题:1.点(2a , 1 - a )在圆x 2 + y 2 = 4的内部,求实数 a 的取值范围.2.根据下列条件，求圆的方程：（1）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
（ 2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。
.____,4)()()1,1(:22的取值范围为则的内部在圆点练习a a y a x =++-。
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
a＝2， 解此方程组，得b＝－3， r2＝25， ∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x
－
2y－3＝0上的圆的方程． 解：法一：因为A(2，－3)，B(－2，－5)，
1 所以AB中点D(0，－4)，kAB＝2， AB的垂直平分线方程为y－(－4)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋4＝0.
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离
r2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得
到：
(1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为 直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
x2＋y2＝r2 .
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆
心和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r， 因此确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出 以a，b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的 值即能写出圆的标准方程．
2.1圆的标准方程
典例精讲
1.求以C（4，-6）为圆心，半径等于3的 圆的方程。 2.已知两点M1（4，9）和M 2（6，3）,求 以M1M2为直径的圆的方程。
典例精讲
2.已知两点M1（4，9） 和M 2（6，3）,求以 M1M2为直径的圆的
y
M1
C.
方程。
o
M2
x
典例精讲
3.已知圆x 12 y2 2 ，则其圆心和半径分别
为（ ）。 A. (1,0), 2 C. (1,0), 2
B. (-1,0) , 2 D. (-1,0), 2
k
- m.
P. C.
1.点在圆内
|PC|<r
2.点在圆上
|PC|=r
3.点在圆外
|PC|>r
圆上的点到定点的距离
2.1圆的标准方程
长武县中学 文斌
探索圆的方程
1.求圆心为C（a,b）,半径为r的圆的方程。
y
解：设P(x,y)是圆上任意一点，根据圆 的定义，则有|PC|=r
P x, y
即 x a2 y b2 r 两边同时平方得：
x a2 y b2 r2
.r
C a,b
o
x
此方程就是圆心为C（a,b）,半径为r的圆的方程。
x2 y2 r2
o
x
典例精讲
1.求以C（4，-6）为圆心，半径等于3的圆的方程。
解：将圆心C（4，-6）、半径等于3代入圆的标准方 程，得：
x a2 ( y b)2 r2
典例精讲
1.求以C（4，-6）为圆心，半径等于3的圆的方程。
解：将圆心C（4，-6）、半径等于3代入圆的标准方 程，得：
1.已知点A（8，-6）与圆：x2+y2=25,点P是圆C
总结圆的方程知识点
总结圆的方程知识点1. 圆的定义圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，而这个相等的距离称为半径。
圆的定义可以用数学语言来描述为：给定平面上的一个点O和一个正实数r，那么平面上到O点的距离等于r的点的集合就是一个圆。
2. 圆的方程的一般形式在直角坐标系中，圆的方程可以用不同的形式来表示。
最常用的有标准方程和一般方程。
2.1 标准方程圆的标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
2.2 一般方程圆的一般方程可以表示为：x² + y² + Ax + By + C = 0其中A、B、C为常数。
3. 圆的特殊情况3.1 圆的半径为零如果一个圆的半径为零，那么这个圆就是一个点，其坐标为圆心的坐标。
3.2 圆的半径为无穷大如果一个圆的半径为无穷大，那么这个圆就是一条直线，其方程可以表示为Ax + By + C = 0。
4. 圆的相关参数4.1 圆心和半径圆的方程中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
圆心和半径是圆的重要参数，可以通过圆的方程来确定。
4.2 直径和周长圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离，其长度等于半径的两倍。
圆的周长是圆的边界的长度，可以通过圆的半径来计算，其长度等于2πr。
4.3 弦和弦长圆的弦是连接圆上两点的线段，其中最长的弦称为直径。
圆的弦长可以通过两点的坐标来计算。
4.4 切线和切点圆的切线是与圆相切的直线，切点是切线与圆的交点。
切线和切点是圆与直线的重要联系，可以通过圆的方程和直线的方程来计算。
以上就是圆的方程的相关知识点的总结，包括圆的定义、圆的方程的一般形式和特殊情况、圆的相关参数等内容。
圆的方程是解析几何学中的重要内容，掌握这些知识点对于理解圆的性质和与其他几何图形的联系非常重要，希望本文能够对读者有所帮助。
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上一点到固定点的距离等于一个常数的点的集合，这个常数就是圆的半径。
圆是几何中非常重要的图形之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在代数几何中，圆也是一个重要的研究对象，我们可以用方程的形式来描述圆。
圆的标准式方程是圆的一种常见表示方法，它可以简洁地描述圆的几何性质，方程形式为：(x a)² + (y b)² = r²。
其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这个方程的推导可以通过圆的定义和距离公式来实现。
我们知道，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，假设圆心坐标为(h, k)，圆上一点的坐标为(x, y)，根据两点之间的距离公式可得：√((x h)² + (y k)²) = r。
将r²展开得到：(x h)² + (y k)² = r²。
这就是圆的标准式方程的推导过程。
通过这个方程，我们可以很方便地得到圆的几何特征，比如圆心坐标、半径长度等。
在实际应用中，圆的标准式方程可以帮助我们解决很多问题。
比如在几何问题中，我们可以通过方程快速确定圆的位置和性质；在物理问题中，我们可以利用方程描述圆形的运动轨迹；在工程问题中，我们可以通过方程计算圆形的面积和周长等。
除了标准式方程，圆还有其他表示方法，比如参数方程、一般式方程等。
每种表示方法都有其适用的场合，但标准式方程是最常用的一种，因为它简洁明了，直观易懂。
总之，圆的标准式方程是描述圆的一种重要方式，它可以帮助我们快速准确地理解和应用圆的几何特性。
在学习和工作中，掌握这个方程对于解决各种与圆相关的问题都是非常有帮助的。
希望大家能够认真学习和掌握圆的标准式方程，提高数学素养，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
或者利用几何法找出圆的圆心和半径．
[精解详析]
法一：∵圆心在直线y＝x＋2上，
∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方 程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2. ∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，
0－a2＋0－a－22＝r2， ∴ 1－a2＋3－a－22＝r2，
∴BC的垂直平分线方程为y＝x－3. CD的垂直平分线方程为y＝4.
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
与两坐标轴都相切
(|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x1，y1)，(x2，y2) (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)· (y－y2)＝0
5．若点(3， a )在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围 是________．
解析：∵(3， a)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋( a)2>16， ∴a>7.
答案：(7，＋∞)
6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同 一个
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离
2x＋y＋4＝0， 由方程组 x－2y－3＝0， x＝－1， 得 y＝－2.
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0，
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
r2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得
到：
(1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为 直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解：(1)代入圆的标准方程得 (x＋3)2＋(y－4)2＝5. (2)∵半径r＝ 8－52＋－3－12＝5. 所以圆的标准方程为： (x－8)2＋(y＋3)2＝25.
[例2]
一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝
x＋2上，求此圆的标准方程．
[思路点拨] 利用代数法，构造方程求解a、b、r，
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝
(y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
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2
=r
O 说明：
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
特点：明确给出了圆心坐 标和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的 圆的标准方程。
如果圆的方程为： 若圆心为（0，0）时，此方程变为：
( 3 ) y 1 x2 ( 4 ) x 1 y2
课本79页练习1写出下列各圆的方程
作业：P85页 第1题
1 2 5 2 圆( x ) ( y 1) 关于直线y x对称的圆的方程是什么? 2 4
1 2 5 ( x 1) ( y ) 2 4
2
整理得, x0 x y0 y x y
2 0
2 0
0
x y r ,
2 0 2 0 2
X
所求圆的切线方程为x0 x y0 y r
2
x 2 y 2 r 2 ，经过圆上一点 圆的方程是 的切线的方程 x0x +y0 y = r2 M ( x0 , y0 )
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0 ,y0)的切线方程为：
A
0
2.7
B X
y 则： 16 2.7 8.71 3
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例题讲解 1、求圆心为（2，-1），半径为3的圆 的方程。
解： 2、求圆心为（2，-3），且过原点的圆 2 2 2 C的方程。 所求圆的方程为： x 2 y 1 3 解：因为圆C过原所求圆C的方程为： 2 2 x 2 y 3 13
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
(2) 经过点P(5,1),圆心在C(8,-3)
5 (x-3)2+(y-4)2=5 (x-8)2+(y+3)2=25
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
2 2 2
M ( x0 , y0 )的切线方程.
解: 如图, 设切线方程为y y0 k ( x x0 )
半径OM的斜率为kOM
x0 因OM垂直于圆的切线, 所以k y0 x0 切线方程为y y0 ( x x0 ) y0
y0 x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )
让我们一起来欣赏如 下几幅风景画，我们能 发现什么几何图形？
如 设 何 此 写 圆 出 的 此 半 圆 径 的 为 方 程米 ？，
r
Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的 直角坐标系，如 右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP=r
点A(1,1)在圆( x a) ( y a) 4的内部，
2 2
求a的取值范围。
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
例:已知隧道的截面是半径为4米的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆 宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入 这个隧道？ 解：（如右图）建立直角坐 标系，则半圆的方程为：
4 Y
x y 16 y 0
2 2
2
车宽为2.7米即： 2.7 x
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的 方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
46 93 B(6、3) 则a 5, b 6. 0 2 2 X AB (6 4) ( ( 5) ) y 2 ) 2 设圆的方程为2 x 3 292( 610 r 2 , 把点B(6,3)代入得r 2 .
练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：
（1）斜率等于1的切线的方程； 解：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离
等于半径1，得：
|b| 12+(-1)2 所以切线方程为：y = x± 2
=1 解得b=± 2
（2）在y轴上截距是 2 的切线方程。
y = ± x+ 2
例2 已知圆的方程是x y r , 求经过圆上一点
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点， y
P
根据定义，点M到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点M适合的条件可表示为：
(x-a)
2+
r
C x
(y-b)
2.写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
3、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
4.已知两点A(4,9),B(6,3),求以 AB为直径的圆的方程. 解: 设AB的中点为(a, b)
Y
A(4、9)
故所求圆的方程为( x 5) ( y 6) 10
2 2
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x2 y2 0; ( 2 )( x 1)2 8 ( y 2 )2