河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

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2016-2017年河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．125．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）体积为V球A．B．C．D．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D 两点所经过的路程之和是．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD ﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A 和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选：D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．12【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．5．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O 为正方形ABCD的中心．连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，∴SE==．在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，∴3=，解得a=2．∴SO=1，∴棱锥的体积V==．故选：B．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选：A．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线．D错误．故选：D．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为．故选：B．10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）球A．B．C．D．【解答】解：如图，设球O的半径为R，由V==，球得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=2，AA1=3，点D为棱BC的中点，∴A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（），A1（0，﹣1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），∴，设E（x，y，z），则，，∴（x，y+1，z﹣3）=（﹣mx，m﹣my，﹣mz），得x=0，y=，z=．∴E（0，，），则，，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得．平面ADC的一个法向量．∴|cos＜＞|=||=||=．解得：m=1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．【解答】解：构造三棱锥A﹣A 1DB，并且有=，因为=sh=××1×1×1=，所以==．设点A到平面A1DB的距离为x，又因为=×S A1BD×x=×××x=，所以x=，即点A到平面A1DB的距离为．故答案为：14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三边为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为：=2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=4，∴AO=DO=2，在△AOD中，AO=DO=2，又AD=2，∴cos∠AOD===0，则∠AOD=，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是×2π×OA=．故答案为：．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：对于①，显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C 的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点，则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1，∴QD=QC1，∴M的轨迹为直线A1D1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．∵的中点为D，∴OD⊥BC．又AC、OD共面，∴AC∥OD．又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD；（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=，由，得r=3，∴，．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴MA⊥BD．又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC．…（6分）（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，∴h=，故该组合体的体积为V==．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，则BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE•cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴异面直线AE与BD所成的角为60°．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）如图，连接AD1，∵E，F分别是AD，DD1的中点，∴AD1∥EF．又∵AD1∥BC1，∴EF∥BC1，∵EF⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B﹣A1B1C1=，∴V ABCD﹣A1C1D1即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．（7分）因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．（10分）∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．。

优质：河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期末考试理数试题(解析版)

1．B 【解析】过()222,3A m m +-， ()23,2B m m m --两点的直线l 的斜率2222232322321m m m mk m m m m m ----==+-+++-， ∵直线l 倾斜角为45∘，∴2232121m mm m --=+-，解得m =−1或m =−2，当m =−1时，A ，B 重合，舍去， ∴m =−2．故选：B ．4．A 【解析】由等差数列的性质可得11212121a a d +--=，即11a =，又()()231615a a a -=+，则2456d d =+，解之得32,4d d ==-（设去），所以(){}11n n a --的前21项和为 ()()()21132432120110221S a a a a a a a =+-+-+⋅⋅⋅+-=+⨯=，应选答案A ．5．C 【解析】由题意，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，为正方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个全等的直三棱柱，设正方体的棱长为a ，则直三棱柱的体积=12×a ×a ×a =12a 3 鳖臑的体积=13×12×a ×a ×a =16a 3，阳马的体积=12a 3−16a 3=13a 3， ∴阳马与鳖臑的体积之比为2:1，故选C ．6．B 【解析】圆心()1,6C 不在直线1y x =+上．由圆的性质，两条切线1l 、2l 关于直线CP 对称，又由已知，两条切线1l 、2l 关于直线l ： 1y x =+对称，所以， CP l ⊥，由点到直线距离可得=2CP ，故选B ．7．A 【解析】函数()f x x α=的图象过点(4，2)，可得42α=，解得12α=，()12f x x =，则()()11n a f n f n ===++．则2017120181S =-++-=-，故选A ．8．A 【解析】由图中数据可得： 1S 22π=⨯⨯=圆锥侧，S 212ππ=⨯⨯=圆柱侧，S底面=π×12=π．所以几何体的表面积为(S 3π=+表面积．故答案为： (3π+．故选A ．9．D 【解析】由题意可知曲线1C ： 2220x y x +-=表示一个圆，化为标准方程得：(x −1)2+y 2=1，所以圆心坐标为(1，0)，半径r =1；2C ： 20mx xy mx -+=表示两条直线y =0和y −mx −m =0，由直线y −mx −m =0可知：此直线过定点(−1，0)，在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y −mx −m =0与圆相切时，圆心到直线的距离1dr ===，化简得： 21,3m m ==．则直线y −mx −m=0与圆相交时，m ∈⎛⎫⎛⋃ ⎪⎪ ⎝⎭⎝，故选：D ．故选：B ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a ．应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．12．C 【解析】①因为点AC 平面11BB C C ，所以直线AC 与直线1C E 是异面直线；②111A EA E AB ⊥时，直线1A E ⊥平面1111,AB C A E AC ∴⊥，错误；③球心O 是直线11,AC AC 的交点，底面1OAA 面积不变，直线1BB 平面1AAO ，所以点E 到底面距离不变，体积为定值；④将距形11AA B B 和距形11BB C C 展开到一个面内，当点E 为1AC 与1BB 交点时， 1AE EC +取得最小值C ． 13．【解析】两条直线平行即斜率相等，所以，即，直线化简为，所以距离，故答案为点睛：已知直线和直线平行，则有且，切记不要了遗忘了这个条件；两条平形直线的距离公式为，在利用公式时注意先将两条直线、的系数化成相同．14【解析】由题得：设AC 与BD 交于点O ，连接1B O ，则1B OC α∠=，又可知11B O B C ===，所以190B OC α︒∠==，过点O 做OH 垂直BC 交BC 于H ，连接 1B H ，所以1OB H β∠=，所以()1cos sin OH OB αββ-====点睛：根据题意先分析线线角通过计算求出90α︒=，然后根据线面角得定义作出β然后根据直接三角形求出sin β，要注意多分析题目条件16．4,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】∵数列{}n a 满足： 11a =， 12n n n a a a +=+（*n N ∈）， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴数列{11n a +}是等比数列，首项为1112a +=，公比为2，∴112n na +=， ∴()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫=-⋅+=-⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列， ∴b n +1>b n ，∴(n −2λ)⋅2n >(n −1−2λ)⋅2n −1，解得λ<1，但是当n =1时， b 2>b 1，∵132b λ=-，∴(1−2λ)⋅2>32-λ，解得λ<45，故选：A ．点睛：数列单调性的研究一般有两个方法：定义法和函数法．定义法即为利用定义得出相邻两项的不等关系，化简为恒成立问题求参；函数法即为利用数列为函数上离散的点，借助函数的单调性研究数列即可，但是需注意数列的不连续性与函数有所区别． 17．【解析】试题解析：（1）因为AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-，又因为()1,1T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+，即320x y ++=．（2）由360{320x y x y --=++=解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ，所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心，又AM ==从而距形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=．【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 18．【解析】试题分析：（1）求出两圆圆心和半径，两圆外切，圆心距等于两半径和，由此解得4m =；（2）点A 坐标为()2,0，点B 坐标为()0,2，设P 点坐标为()00,x y ，由题意得点M 的坐标为0020,2y x ⎛⎫⎪-⎝⎭；点N 的坐标为002,02x y ⎛⎫⎪-⎝⎭，由此得到四边形面积的表达式，化简得4S =．由题意得点M 的坐标为0020,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；点N 的坐标为002,02x y ⎛⎫⎪-⎝⎭，四边形ABNM 的面积00002211222222x y S AN BM y x ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()2000000000042242242211222222y x y x x y y x y x ------=⋅⋅=⋅----，有P 点在圆1C 上，有22004x y +=， ∴四边形ABNM 的面积()()()0000004422422x y x y S y x --+==--，即四边形ABNM 的面积为定值4．【方法点晴】设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >)．(1)两圆相离：无公共点； d R r >+，方程组无解．(2)两圆外切：有一个公共点； d R r =+，方程组有一组不同的解．(3)两圆相交：有两个公共点； R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解．(4)两圆内切：有一公共点； d R r =-，方程组有一组不同的解．(5)两圆内含：无公共点； 0d R r ≤<-，方程组无解．特别地，0d =时，为两个同心圆．19．【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，通过证明线面垂直即可，根据{CD ADPAD ABCD ⊥⊥面面 CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，结合题目条件即可得AP ⊥平面PCD ，（2）由（1）AB ⊥面PAD ，所以AB 为几何体高，所以1132B PAD V AB PA PD -=⋅⋅ 113AB =⇒=，然后建立空间直接坐标系，写出两个平面得法向量，利用向量夹角公式求解即可（2）{ABCD PCD CDBA PCD⋂=平面平面平面 BA CD ⇒，由（1）知AB ⊥面PAD1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅ 113AB =⇒=，取AD 中点O ， PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ， PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图．由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =．()1,1,1PB =-， ()2,1,1PC =--．0{0n PB n PC ⋅=⋅= 0{20x y z x y z +-=⇒--=，取2x =， ()2,1,3n =． cos ,m n 〈〉=14m n m n ⋅=，故所求二面角的余弦值为．20．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用1n n n a S S -=-即可求得121n n a a -=+，从而可以得到()1121n n a a -+=+即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）利用等比数列通项公式可得11222n n n a -+=⨯=进而得n a ；（Ⅲ）由11111112121n n n n n n b a a a +++=+=---，利用裂项相消求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ），知当2n ≥时， ()1121n n a a -+=+，又因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．所以11222n n n a -+=⨯=， ∴21n n a =-（*n N ∈）．（Ⅲ）由（Ⅱ），知111111n n n n n n n a b a a a a a ++++=+= ()()122121n n n +=-- 1112121n n +=---，则2233411111111111121212121212121212121n n n n n T -+=-+-+-+⋯+-+----------- 11121n +=--（*n N ∈）．21．【解析】试题解析:（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥平面ABC ，故1AC CC ⊥，由平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，所以AC ⊥平面1CC D ，又1C D ⊂平面1CC D ，所以1AC DC ⊥．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中， 1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AB ⊥， 1AA AC ⊥，又90BAC ∠=︒，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得()0,0,0A ，()C ，()1C ， ()0,0,1B ， ()12,0,1B ，()2D ，所以()12,0,0BB =，()BD =，即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D的法向量为(0,1,n =．设BP BC λ=， []0,1λ∈，则(),1P λ-，()1DP λ=---．若直线DP 与平面1DBB 成角为3π，则cos ,24n DP n DP n DP⋅===⋅[]50,14λ=∉，故不存在这样的点．22．【解析】试题分析：（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项1a 和公比q 表示出已知条件并解出，可得通项公式；（Ⅱ）由n nn b a =，因此用错位相减法可求得其前n 项和n S ，对不等式()112n n n n S a ++>-按n 的奇偶分类，可求得参数a 的取值范围．（Ⅱ）解： 12n n n b += ∴23411232222n n n S +=++++ 12n S = 34121212222n n n n ++-++++ ∴2341211111222222n n n n S ++=+++- ∴12311111+22222n n n n S +=++-=1111122211222n n n n n +++-+-=- ∴()1112n n a -⋅<-对任意正整数n 恒成立，设()112n f n =-，易知()f n 单调递增． n 为奇数时， ()f n 的最小值为12，∴12a -<得12a >-， n 为偶数时， ()f n 的最小值为34，∴34a <，综上， 1324a -<<，即实数a 的取值范围是13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

河北省衡水中学2017届高三下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

2016—2017学年度高三下学期数学期中考试（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|2,},{|(1)(1)0}xA y y x RB x x x ==∈=-+<，则A B 等于A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 2、若复数z 满足112i z i-=+，则2z 等于 A ．25B ．35C ．105D ．153、椅子双曲线2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一条渐近线过点(1,2)-，则C 的离心率为A ．22B ．2C ．52D ．5 4、已知向量(,)(,),(1,2)a x y x y R b =∈=，若221x y +=，则a b -的最小值为 A ．3 B ．51- C ．31+ D ．52+5、某几何体的三视图如图是，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A ．163π B ．83π C ．89π D ．169π6、已知等比数列{}n a 中，12,n a S =是数列{}n a 前n 项的和，若9S 是3S 和6S 的等差中项，则10a 的值是 A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 7、《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如113(mod 4)≡，则输出的等于A ．8B ．16C ．32D ．648、有5人随机排在一起照相，其中男医生、女以上各1名，男教师、女教师各1名，男运动员1名，则同职业的人互不相邻，且女的相邻的概率为 A ．215 B ．15 C ．815 D ．7309、已知函数()sin()f x A wx ϕ=+（其中0,2A πϕ><）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为 A ．()2sin(2)3g x x π=- B ．()2sin(2)6g x x π=-+C ．()2sin(2)3g x x π=--D ．()2sin(2)6g x x π=-+10、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点在C 的准线l 上，且线段EF 的垂直平分线与抛物线C 及直线l 分别交于P 、Q 两点，若点Q 的纵坐标为3,2O 为原点，则以OP 为直径的圆的方程为 A ．22(1)(2)8x y -+-= B ．22(2)(1)8x y -+-=C ．22(4)(22)96x y -+-=D ．22(2)(2)8x y -+-=11、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，底面ABC ∆是边长为1的正三角形，棱SC 是球O 的直径且2SC =，则异面直线SA 与BC 所成角的余弦值为 A ．34 B ．33 C ．36 D ．1212、若关于x 的不等式1()x x a m a R -<+∈在(0,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为 A ．(222,222)-+ B ．(1,)-+∞ C ．(222,)-+∞ D ．(1,222)-+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知2sin()3sin 4παα+=，则2sin 1cos 2αα+= 14、如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =与直线2x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积223200432(2)|33V x dx x πππ===⎰，据此类比：将曲线2(0)y x x =≥与直线1y =及y 轴围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V 等于15、直线20x y a -+=与330x y +-=交于第一象限，当点(,)P x y 在不等式组20330x y a x y -+≥⎧⎨+-≤⎩表示的区域上运动时，43m x y =+的最大值为8，此时3yn x =+的最大值是 16、已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a b b a n N ++++=+∈，若19,3()n n a b n N +==∈且3nn a λ+36(3)3n λ+-+对一切n N +∈恒成立，则实数λ的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）.已知,,a b c 是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，22224sin 3a bc Abc +=+. （1）求角A ；（2）若13,a ABC =∆的面积是33，求ABC ∆的最大角的余弦值.18、（本小题满分12分）500名学生的语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如下：（1）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.（附参考公式：若2(,)X N μσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，(22)0.96P X μσμσ-<≤+=）19、（本小题满分12分）如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，22AB AD ==. （1）若点E ，H 分布为AB ，CD 的中点，求证：平面1//BD H 平面1A DE ；（2）在线段AB 上是否存在点G ，使二面角1D GC D --的大小为3π？若存在，求出AC 的长；若不存在，请说明理由.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，椭圆的中心点O 到直线0x y b +-=的距离为522. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F ，且倾斜角为045的直线l 和椭圆交于,A B 两点，对于椭圆C 上任一点，若OM OA OB λμ=+，求λμ的最大值.21、（本小题满分12分）已知函数()21(1)ln ()2f x ax a x x a R =-++-∈. （1）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间1[,][,)2m n ⊆+∞，使得函数()g x 在[,]m n 的值域为[(2),(2])2k m k n ++-，求实数k 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()1)4m πρθ=+=+，而曲线C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中ϕ为参数）. （1）若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数的值；（2）当34m =-时，求直线l 被曲线C 截得的弦长.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲设函数()2f x x a x =-+-. （1）若1a =，解不等式()2f x ≤；（2）若存在x R ∈，使得不等式()24t f x t+≤对任意0t >恒成立，求实数a 的取值范围.。

2016-2017年河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)含参考答案

2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．125．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）体积为V球A．B．C．D．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D 两点所经过的路程之和是．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD ﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A 和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选：D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．12【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．5．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O 为正方形ABCD的中心．连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，∴SE==．在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，∴3=，解得a=2．∴SO=1，∴棱锥的体积V==．故选：B．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选：A．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线．D错误．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为．10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）球A．B．C．D．【解答】解：如图，==，设球O的半径为R，由V球得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=2，AA1=3，点D为棱BC的中点，∴A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（），A1（0，﹣1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），∴，设E（x，y，z），则，，∴（x，y+1，z﹣3）=（﹣mx，m﹣my，﹣mz），得x=0，y=，z=．∴E（0，，），则，，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得．平面ADC的一个法向量．∴|cos＜＞|=||=||=．解得：m=1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．【解答】解：构造三棱锥A﹣A 1DB，并且有=，因为=sh=××1×1×1=，所以==．设点A到平面A1DB的距离为x，又因为=×S A1BD×x=×××x=，所以x=，即点A到平面A1DB的距离为．故答案为：14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三边为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为：=2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=4，∴AO=DO=2，在△AOD中，AO=DO=2，又AD=2，∴cos∠AOD===0，则∠AOD=，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是×2π×OA=．故答案为：．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：对于①，显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C 的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点，则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1，∴QD=QC1，∴M的轨迹为直线A1D1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．∵的中点为D，∴OD⊥BC．又AC、OD共面，∴AC∥OD．又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD；（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=，由，得r=3，∴，．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴MA⊥BD．又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC．…（6分）（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，∴h=，故该组合体的体积为V==．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，则BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE•cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴异面直线AE与BD所成的角为60°．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD ﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）如图，连接AD1，∵E，F分别是AD，DD1的中点，∴AD1∥EF．又∵AD1∥BC1，∴EF∥BC1，∵EF⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴V ABCD=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B﹣A1B1C1=，﹣A1C1D1即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．（7分）因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．（10分）∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =90°；③OE 平分∠AED （易忘）任意等腰三角形条件：△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB =∠COD结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =∠AOB ；③OE 平分∠AED （易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA =OB ，OC =OD ；②∠AOB =∠COD导角核心图形模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。

衡水中学高2017届16-17学年（下）六调试题——数学理

衡⽔中学⾼2017届16-17学年（下）六调试题——数学理河北衡⽔中学2016—2017学年度下学期六调考试⾼三年级（理科）数学试卷第I 卷（选择题部分，共60分）⼀、选择题：共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1．若复数11mii +-为纯虚数，则m 的值为（） A ．1m =- B ．1m =C ．2m =D ．2m =-2．全集U R =，集合{}1()12x A y y ==+，集合{},B y y b b R ==∈，若A B =? ，则b 的取值范围是（）A ．0b <B ．0b ≤C ．1b <D ．1b ≤ 3．甲、⼄、丙三⼈投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下⾯的频数条形统计图所⽰，则甲、⼄、丙三⼈训练成绩⽅差2s 甲，2s ⼄，2s 丙的⼤⼩关系是（）A ．2s 丙<2s ⼄<2s 甲B ．2s 丙<2s 甲<2s ⼄C ．2s ⼄<2s 丙<2s 甲D ．2s ⼄<2s 甲<2s 丙4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，它的⼀条渐近线与圆22(2)4x y -+=相切，则双曲线的离⼼率为（）AB ．2CD．5．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等⽐数列，则212a ab -等于（） A ．14 B ．12 C ．12- D ．12或12- 6．执⾏如图所⽰的框图，若输出的sum 的值为2047，则条件框中应填写的是（）A ．9i <B ．10i <C ．11i <D ．12i < 7．已知6)z +展开式中，系数为有理数的项的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某个多⾯体的三视图，若该多⾯休的所有顶点都在球O 表⾯上，则球O 的表⾯积是（）A ．36πB ．48πC ．56πD ．64π9．已知锐⾓α、β满⾜sin sin 2cos cos αββα+<，设tan tan ,()log ,x a a f x αβ=?=侧下列判断正确的是（） A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(sin )f f αβ> C ．(sin )(sin )f f αβ> D ．(cos )(cos )f f αβ>10．以抛物线2y x =的⼀点(1,1)M 为直⾓顶点作抛物线的两个内接Rt MAB ?,Rt MCD ?,则线段AB 与线段CD 的交点E 的坐标为（）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(2,4)-D ．(1,4)-11．将单位正⽅体放置在⽔平桌⾯上（⼀⾯与桌⾯完全接触），沿其⼀条棱翻动⼀次后，使得正⽅体的另⼀⾯与桌⾯完全接触，称⼀次翻转。

2016-2017学年河北省衡水中学高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年河北省衡水中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的直观图可以是（）A.B. C. D.【答案】B【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选2．在正方体1111ABCD A BC D 中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（）A.直线1AAB.直线11A BC.直线11A DD.直线11B C 【答案】D【解析】试题分析：根据已满治安的概念可得直线11111,,AA A B A D 都和直线EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线11B C 和EF 相交，故选D.【考点】异面直线的概念与判断.3．在空间中，设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是A. 若且，则B. 若，，，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则必不垂直于【答案】C【解析】对于答案A若且，也有的可能；对于答案B，若，，，也有、相交等位置关系；对于答案D，若不垂直于，且，直线也有不垂直于的可能；因此以上三个答案都不正确。

依据线面垂直的定义可知答案C是正确的，应选答案C。

4．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】是水平放置的的直观图，如图所示：所以周长为：，故选A.5．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是，则该正四棱锥的体积是A. B. C. D.【答案】B【解析】设底面边长为，依据题设可得棱锥的高，底面中心到顶点的距离，由勾股定理可得，解之得，所以正四棱锥的体积，故应选答案B。

6．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积O ABC的最小值为（）A.154π B. 4π C. 72πD. 3π【答案】A【解析】如图，设正三角形ABC 的边长为a ，中心为M ，由题设可知3,2OA OM ==，则AM =23a =⇒=D 为圆心12a =其最小值为2min 154S ππ==⎝⎭，应选答案A 。

2016-2017学年河北省衡水中学高一(下)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）过不重合的A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m﹣m2，2m）两点的直线l 倾斜角为45°，则m的取值为（）A．m=﹣1 B．m=﹣2 C．m=﹣1或2 D．m=l或m=﹣22．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）与点B（﹣1，﹣2，﹣3）关于（）对称．A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．原点3．（5分）方程x（x2+y2﹣4）=0与x2+（x2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（）A．都表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是两个点，后者是一直线和一个圆D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点4．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣4415．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：26．（5分）过直线y=x+1上的点P作圆C：（x﹣1）2+（y﹣6）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y=x+1对称时，|PC|=（）A．3 B．2 C．1+D．27．（5分）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，则S2017=（）A．B．C．D．8．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A．3π+π B．3π+2πC．6π+2πD．6π+π9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：mx2﹣xy+mx=0有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）∪（0，）10．（5分）三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且=，a1=m，现有如下说法：①a2=5；②当n为奇数时，a n=3n+m﹣3；③a2+a4+…+a2n=3n2+2n．则上述说法正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线2x+y﹣2=0与直线4x+my+6=0平行，则它们之间的距离为．14．（5分）如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=．15．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），若b n+1=（n﹣2λ）•（+1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．18．（12分）若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BA∥平面PCD，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且a n=（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{a n+t}是等比数列，求t的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n=+，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3=20，a2=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）过不重合的A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m﹣m2，2m）两点的直线l 倾斜角为45°，则m的取值为（）A．m=﹣1 B．m=﹣2 C．m=﹣1或2 D．m=l或m=﹣2【解答】解：过A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m﹣m2，2m）两点的直线l的斜率k=，∵直线l倾斜角为45°，∴k==1，解得m=﹣1或m=﹣2，当m=﹣1时，A，B重合，舍去，∴m=﹣2．故选：B．2．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）与点B（﹣1，﹣2，﹣3）关于（）对称．A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．原点【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴点A（1，﹣2，3）与点B（﹣1，﹣2，﹣3）关于y轴对称，故选：B．3．（5分）方程x（x2+y2﹣4）=0与x2+（x2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（）A．都表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是两个点，后者是一直线和一个圆D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点【解答】解：由x（x2+y2﹣4）=0，得x=0或x2+y2﹣4=0，即x=0或x2+y2=4，曲线表示一条直线和一个圆；由x2+（x2+y2﹣4）2=0，得x2=0且x2+y2﹣4=0，即x=0，y=﹣2或x=0，y=2，曲线表示点（0，﹣2）或（0，2）．∴前者是一条直线和一个圆，后者是两个点．故选：D．4．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441【解答】解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）=1，即a1=1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2=a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2=1+5d+5，解得d=2（负值舍去）则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41=﹣2×10+41=21．故选：A．5．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2【解答】解：由题意，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，为正方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个全等的直三棱柱，设正方体的棱长为a，则直三棱柱的体积==鳖臑的体积==，阳马的体积=﹣=，∴阳马与鳖臑的体积之比为2：1，故选：B．6．（5分）过直线y=x+1上的点P作圆C：（x﹣1）2+（y﹣6）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y=x+1对称时，|PC|=（）A．3 B．2 C．1+D．2【解答】解：由题意，CP⊥l，|PC|为圆心到直线的距离，即d==2，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，则S2017=（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x a的图象过点（4，2），可得4a=2，解得a=，f（x）=x，则==﹣，则S2017=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1．故选：B．8．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A．3π+π B．3π+2πC．6π+2πD．6π+π【解答】解：几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，由图中数据可得圆锥的母线为，S圆柱侧=π×2×1=2π，．，所以几何体的表面积为s=2π+π+π=3．故选：A．9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：mx2﹣xy+mx=0有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）∪（0，）【解答】解：根据题意，曲线C2：mx2﹣xy+mx=0，即x（mx﹣y+m）=0，则曲线C2表示两条直线：x=0，y=m（x+1），曲线C1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，为圆心（1，0），半径为1的圆；当m=0时，曲线C2表示两条直线：x=0与y=0，与曲线C1：只有2个交点，不符合题意，当m≠0时，直线x=0与曲线C1只有一个交点，则直线y=m（x+1）与曲线C1：x2+y2﹣2x=0有2个交点，即直线y=m（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交，则有＜1，解可得：﹣＜m＜，且m≠0；综合可得：m的取值范围是（﹣，0）∪（0，）；故选：D．10．（5分）三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，球心O到平面ABC的距离为体对角线的，即球心O到平面ABC的距离为．其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为：+=．故选：D．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且=，a1=m，现有如下说法：①a2=5；②当n为奇数时，a n=3n+m﹣3；③a2+a4+…+a2n=3n2+2n．则上述说法正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：=，a1=m，∴（a n+1+1）（a n+1）=6（S n+n），①n=1时，（a2+1）×（m+1）=6（m+1），∵m+1＞0时，∴a2=5．②n≥2时，（a n+1）（a n﹣1+1）=6（S n﹣1+n﹣1），∴（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6a n+6，a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1=6．∴当n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{a2k﹣1}为等差数列，∴a n=a2k﹣1=m+（k﹣1）×6=3n+m﹣3．③当n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{a2k}为等差数列，∴a n=a2k=5+（k﹣1）×6=3n ﹣1．∴a2+a4+…+a2n=6×（1+2+…+n）﹣n=﹣n=3n2+2n．因此①②③都正确．故选：D．12．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，对于①，∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；对于②，当A1E垂直于AC1时，而C1B1⊥A1E，可得A1E⊥平面AB1C1，则A1E垂直AB1，故只需A1E⊥AB1即有A1E一定不垂直于AC1，故②错误；对于③，由题意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O是AC1与A1C 的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值，故③正确；对于④，设BE=x，则B1E=2﹣x，∴AE+EC1=．由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2，故④正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线2x+y﹣2=0与直线4x+my+6=0平行，则它们之间的距离为．【解答】解：由2m﹣4=0，解得m=2．直线4x+my+6=0化为：2x+y+3=0．经过验证：m=2时，两条直线平行．它们之间的距离d==．故答案为：．14．（5分）如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=．【解答】解：∵在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，AC∥A1E，直线AC与直线DE所成的角为α，∴α=∠A1ED，且A1E==，DE=，A1D=，∴cosα===0，sinα=1，过E作EF⊥平面ADD1A1，交A1D1于F，则F是A1D1的中点，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，∴β=∠EDF，且EF=1，DF=，sinβ==，cosβ==，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=0×+1×=．故答案为：．15．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），若b n+1=（n﹣2λ）•（+1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴两边取倒数，化为=1+，变形为：+1=2，∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，化为：λ＜，解得λ＜．但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，解得λ＜，∴λ∈．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（I）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），即3x+y+2=0．（II）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．18．（12分）若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）圆C1的圆心坐标（0，0），半径为（m＞0），圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，圆心距为：5，又两圆外切，得，解得m=4．（Ⅱ）由题易得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），圆C1：x2+y2=4，设P点的坐标为（x0，y0），x0，y0∈（﹣2，0）．由题意，得点M的坐标为（0，），点N的坐标为（，0），四边形ABNM的面积S=|AN||BM|==||=||，由点P在圆C1上，得x02+y02=4，∴四边形ABNM的面积S=，∴四边形ABNM的面积为定值4．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BA∥平面PCD，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：依题：⇒CD⊥面PAD⇒CD⊥AP，又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，又AP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）⇒AB∥CD由（1）知AB⊥面PAD∴=，取AD中点O，PO⊥AD，平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD，以过点O且平行于AB的直线为x轴，如图建系，各点坐标如图．由（1）易知平面PAD的一法向量为，设平面PBC的法向量为.，.，取x=2，.=，故所求二面角的余弦值为．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且a n=（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{a n+t}是等比数列，求t的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n=+，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由a1=（n∈N*），得a1=1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n﹣2a n﹣1+（n﹣1），即a n=2a n﹣1+1，∴a2=3，a3=7，．依题意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1，当t=1时，a n+1=2（a n+1），n≥2，﹣1即数列{a n+1}是等比数列，故实数t的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，a n+1=2（a n+1），﹣1又因为a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，∴a（n∈N+）．（Ⅲ）由（Ⅱ），知b n=+==，则T n==1﹣21．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC ⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB 1的法向量为，由即令y=1，则，x=0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．设，λ∈[0，1]，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3=20，a2=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a1+a3=20，a2=8．则，…（1分）∴2q2﹣5q+2=0…（2分）∵公比q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．…（5分）（Ⅱ）解：∴S n=∴…（7分）∴S n ==…（9分）∴对任意正整数n 恒成立，设，易知f（n）单调递增．…（10分）n为奇数时，f（n ）的最小值为，∴得，…（11分）n为偶数时，f（n ）的最小值为，∴，…（12分）综上，，即实数a 的取值范围是．…（13分）。

2016-2017学年河北省衡水中学高一下学期期末考试数学(理)试题(精品解析)

2016-2017学年河北省衡水中学高一下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．若过不重合的()222,3A m m +-， ()23,2B m m m --两点的直线l 的倾斜角为45︒，则m 的取值为（）A. 1-B. 2-C. 1-或2-D. 1或2- 【答案】B【解析】过()222,3A m m +-， ()23,2B m m m --两点的直线l 的斜率2222232322321m m m mk m m m m m ----==+-+++-， ∵直线l 倾斜角为45∘,∴2232121m mm m --=+-，解得m =−1或m =−2，当m =−1时，A ，B 重合，舍去， ∴m =−2. 故选：B.2．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A -与点()1,2,3B ---关于（）对称 A. 原点 B. x 轴 C. y 轴 D. z 轴【答案】C【解析】∵在空间直角坐标系中，点(x ,y ,z )关于y 轴的对称点的坐标为：(−x ,y ,−z )， ∴点A (1,−2,3)与点B (−1,−2,−3)关于y 轴对称，故选C.3．方程()2240x x y +-=与()222240x x y ++-=表示的曲线是（）A. 都表示一条直线和一个圆B. 都表示两个点C. 前者是两个点，后者是一直线和一个圆D. 前者是一条直线和一个圆，后者是两个点【答案】D【解析】试题分析： ()2240x x y +-=化简为0x =或224x y +=，表示直线和圆；()222240x x y ++-=化简得2200{{42x x x y y ==∴+==±，表示两个点【考点】动点轨迹方程4．在公差大于0的等差数列{}n a 中， 71321a a -=，且1a ， 31a -， 65a +成等比数列，则数列(){}11n n a --的前21项和为（）A. 21B. 21-C. 441D. 441- 【答案】A【解析】由等差数列的性质可得11212121a a d +--=，即11a =，又()()231615a a a -=+，则2456d d =+，解之得32,4d d ==-（设去），所以(){}11n na --的前21项和为()()()21132432120110221S a a a a a a a =+-+-+⋅⋅⋅+-=+⨯=，应选答案A 。

衡水中学高2017届16-17学年(下)二调试题——数学理

河北衡水中学2016～2017学年度下学期高三年级二调考试数学（理）试卷命题人郝爽本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择）两部分，共150分，时间120分钟I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1．设集合{|2}A x x =<，{|21,}x B y y x A ==-∈，则A B =A ．(,3)-∞B ．[2,3)C ．(,2)-∞D ．(1,2)-2．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的虚部是 A ．13i - B ．13i + C ．13i -+ D ．13i --3．有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是A ．34 B ．38C ．316πD ．12332π+ 4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长五尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5、2，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．55．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12(2)n n S a n =+≥，且12a =，则20S =A ．1921-B ．2122-C ．1921+D ．2122+6．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点A ．48(,)99B ．24(,)99C ．(2,0)D ．(9,0)7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C．D．8．212()log (21)f x ax x =+-，22sin(2)()x g x π++=若不论2x 取何值，对12()()f x g x >任意173[,]102x ∈总是恒成立，则a 的取值范围是A ．7(,)10-∞-B ．4(,)5-∞-C ．63(,)80-+∞ D ．404(,)495--9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P ，记2(1,2,,10)i i m AB AP i =∙= ，则1210m m m +++ 的值为（） A．B ．45C．D ．18010．已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，若动点(,)P x y 满足等式22(22)(83)0f x x f y y +++++=，则x y +的最大值为（）A．5 B ．5-C.5 D ．511．数列{}n a 满足143a =，*1(1)()n n n a a a n N +=-∈，且12111n n S a a a =+++ ，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{0,2}12．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，AOB ∆的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则||||OM MF 的最大值为（） ABCDII 卷二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学高一下学期期中考试(数学理).doc

河北省衡水中学高一下学期期中考试（数学理）第I 卷一，选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1,已知数列{}n a 的通项公式为()()1121+-=+n a n n ，则=3a （） A ．10- B.10 C.4 D.4- 2.求537+和537-的等差中项和等比中项分别是（）A ． 7, 2 B.7-，2 C. 7，2± D.7，2-3，有四个命题：①d b c a d c b a ->-⇒<>,；②bd ac d c b a <⇒<<>>0,0③330b a b a <⇒<<；④22110b a b a >⇒>>；⑤若b a ,为实数，则2>+b aa b 其中命题正确的有（）个A ．2B 。

3C 。

4D 。

5 4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21332a a a +=，则公比q 为（）A. 21B.1-C. 23D.325.某环保小组发现衡水市生活垃圾年增长率为b ，衡水市生产垃圾量为a 吨，由此可以预测垃圾量为（）A ．)101(b a + 吨B 。

()b a 91+ 吨C 。

10)1(b a + 吨D 。

9)1(b a +吨6. 等差数列{an} 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A ．130B 。

170C 。

210D 。

1607. 已知等比数列{}n a 中，102415321=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则1185a a a 等于 ·············· （）A ．16B 。

4C 。

72D 。

1088. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = （）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 9. 已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( )A ．(]1,-∞-B 。

河北省衡水市高一数学下学期期中试卷理(含解析)

5．如果 a1， a2 ，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则（
）
A． a1a8＞ a4a5B． a1a8＜a4a5C． a1+a8＞ a4+a5D． a1a8=a4a5
6．已知数列 {a n} 满足 a1=0， an+1=an+2n，那么 a2003 的值是（
）
A． 20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×2004
分析0得到sinab的值根据锐角三角形即可求出度数进而求出角c的度数然后由韦达定理根据已知的方程求出ab的值利用余弦定理表示出cosc的值代入变形后将ab的值代入开方即可求出值利用三角形的面积公式表示出abc的面积把absinc的值代入即可求出值
2015-2016 学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（理科）
【考点】等差数列的性质．
【分析】先根据等差中项的性质可排除 C；然后可令 an=n 一个具体的数列进而可验证
不对，得到答案．
【解答】解：∵ 1+8=4+5∴ａ1+a8=a4+a5∴排除 C；
若令 an=n，则 a1a8=1?8＜20=4?5=a 4a5∴排除 D， A．
故选 B
D、A
6．已知数列 {a n} 满足 a1=0， an+1=an+2n，那么 a2003 的值是（
值范围是（
）
A． m＞ 1B．1＜ m＜ 8C． m＞ 8D． 0＜ m＜1 或 m＞ 8
0＜ log m（ ab）＜ 1，则 m的取
4．已知 {a n} 是等比数列， a2=2，a5= ，则 a1a2+a2a3+…+anan+1=（

河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)

河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B． C．D．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C13．在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥β B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥β D．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n4．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A． B．3 C． D．125．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A． B． C． D．6．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A． B．4π C． D．3π7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+π B．48﹣π C．48+2π D．48﹣2π8．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直 D．当x变化时，l不是定直线9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A． B． C．3π D．4π10．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 B．恒有平面A′GF⊥平面BCED C．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值 D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．12．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1 B．2 C． D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B． C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A ，B ，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线B 1C 1和直线相交，从而便可得出正确选项．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA 1，A 1B 1，A 1D 1都和直线EF 为异面直线； B 1C 1和EF 在同一平面内，且这两直线不平行； ∴直线B 1C 1和直线EF 相交，即选项D 正确．故选：D ．3．在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若m ∥α且α∥β，则m ∥βB ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC ．若m ⊥α且α∥β，则m ⊥βD ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n 【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，m ∥β或m ⊂β；在B 中，m 与n 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β；在D 中，m 有可能垂直于n ．【解答】解：由m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确；在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误．故选：C ．4．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的周长为（）A ．B ．3C ．D ．12【考点】LB ：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法得到三角形OAB的底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，然后求三角形的周长即可．【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．5．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算．【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD 的中心．连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，∴SE==．在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，∴3=，解得a=2．∴SO=1，∴棱锥的体积V==．故选B．6．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4π C．D．3π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD，而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选A．7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．然后利用正方体的表面积及球的表面积求解．【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．8．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】画出直线l，然后判断选项即可．【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线．D错误．故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3π D．4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据图中数据求出几何体的表面积与体积，从而求出其内切球的半径r，再计算内切球的表面积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为．故选：B．10．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．=，11．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A．B．C． D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】过球心O作平面ABCD的垂线OG，则G为正方形中心，∠OAG为OA与平面ABCD所成的角，求出球的半径OA，再求出AG，即可得出所求角的余弦值．【解答】解：如图，设球O的半径为R，由V==，球得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．12．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由题意画出图形，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量（用含有m 的代数式表示），再求得平面ADC的一个法向量，结合二面角E﹣AD﹣C的余弦值为列式求得m值．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，∴A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（），A1（0，﹣1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），∴，设E（x，y，z），则，，∴（x，y+1，z﹣3）=（﹣mx，m﹣my，﹣mz），得x=0，y=，z=．∴E（0，，），则，，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得．平面ADC的一个法向量．∴|cos＜＞|=||=||=．解得：m=1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】利用等体积法，即=，求点A到平面A1DB的距离．【解答】解：构造三棱锥A﹣A1DB，并且有=，因为=sh=××1×1×1=，所以==．DB的距离为x，设点A到平面A1×x=×××x=，又因为=×SA1BD所以x=，即点A到平面ADB的距离为．1故答案为：14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为： =2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【考点】G7：弧长公式．【分析】由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=2，在△AOD中，AO=DO=2，又AD=2，∴cos∠AOD===0，则∠AOD=，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是×2π×OA=．故答案为：．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】利用体积公式判断①，利用向量计算夹角判断②，根据二面角的定义判断③，利用全等判断④．【解答】解：对于①，显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点，则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1，∴QD=QC1，∴M的轨迹为直线AD1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由AB是底面圆的直径，可得AC⊥BC．再由的中点为D，可得OD⊥BC．则AC ∥OD．由线面平行的判定可得AC∥平面POD；（Ⅱ）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意可得h=r，l=，由△PAB面积是9求得r=3，代入圆锥表面积公式与体积公式求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．∵的中点为D，∴OD⊥BC．又AC、OD共面，∴AC∥OD．又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD；（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=，由，得r=3，∴，．18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC．（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴MA⊥BD．又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC．…（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，∴h=，故该组合体的体积为V==．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AD⊥CD，AD⊥BD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面BCD．（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∠AEF是异面直线AE与BD所成角，由此能求出异面直线AE与BD所成的角．【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，则BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE•cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴异面直线AE与BD所成的角为60°．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；法二：根据长方体的几何特征由平面A 1AB ∥平面CDD 1C 1．证得A 1B ∥平面CDD 1C 1．（2）设A 1A=h ，已知几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，利用等体积法VABCD ﹣A 1C 1D 1=VABCD ﹣A 1B 1C 1D 1﹣VB ﹣A 1B 1C 1，进行求解．（3）在平面CC 1D 1D 中作D 1Q ⊥C 1D 交CC 1于Q ，过Q 作QP ∥CB 交BC 1于点P ，推出A 1P ⊥C 1D ，证明A 1P ⊥C 1D ，推出△D 1C 1Q ∽Rt △C 1CD ，再求求线段A 1P 的长．【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D 1C ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴A 1D 1∥BC 且A 1D 1=BC ．∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∴A 1B ∥D 1C ．∵A 1B ⊄平面CDD 1C 1，D 1C ⊂平面CDD 1C 1， ∴A 1B ∥平面CDD 1C 1．证法二：∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴平面A 1AB ∥平面CDD 1C 1．∵A 1B ⊂平面A 1AB ，A 1B ⊄平面CDD 1C 1． ∴A 1B ∥平面CDD 1C 1．解：（2）设A 1A=h ，∵几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，∴V ABCD ﹣A1C1D1=V ABCD ﹣A1B1C1D1﹣V B ﹣A1B1C1=，即S ABCD ×h ﹣×S △A 1B 1C 1×h=，即2×2×h ﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A 1A 的长为4．（3）在平面CC 1D 1D 中作D 1Q ⊥C 1D 交CC 1于Q ，过Q 作QP ∥CB 交BC 1于点P ，则A 1P ⊥C 1D ．因为A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，C 1D ⊂平面CC 1D 1D ， ∴C 1D ⊥A 1D 1，而QP ∥CB ，CB ∥A 1D 1， ∴QP ∥A 1D 1，又∵A 1D 1∩D 1Q=D 1， ∴C 1D ⊥平面A 1PQC 1，且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD，由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1，故BC⊥平面A1AB，所以BC⊥A1B；（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．。