2019年中考数学解题技巧---------定边定角现“圆”形课件(共18张PPT)

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定角定弦“隐形圆”破解中考压轴面积最值

2122019年10月（下）国内刊号 C N 61-1499/C 杨格瑞（西安行知中学陕西西安 710003）定角定弦“隐形圆”破解中考压轴面积最值摘要：在三角形中，如果一条边确定，这条边所对的角的度数也确定，这样的三角形有无数个，此时组成角的顶点有无数个，这些点的运动轨迹是圆上一段弧，因为同弧所对的圆周角相等这个定理，那三角形的这条边就是定边（圆中称之为弦），定边所对的角的度数确定，这个角就是定角，这就是“隐形圆”中重要的定角定弦模型。

定角定弦模型主要解决高最值，周长最值和面积最值问题。

关键词：定角定弦；隐形圆；最值；数学建模定角定弦问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是中考考查的重点。

所以近年来，陕西以至全国各地的中考题或者名校的模考题中经常会出现“隐形圆”中“定角定弦”求最值的问题。

如陕西省中考真题2016年和2019年，陕西省中考副题2016年和2017年压轴题。

此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强，大多数学生不容易想到，加上部分题目的计算量大，就很容易造成学生的丢分。

很多学生面对定角定弦求最值问题时往往无从下手，其实是他们没有掌握解决这一问题的方法和策略，也就是数学模型，基于此，在2018届和2019届初三复习课中，笔者对“隐形圆”中“定角定弦”模型进行潜心研究，旨在探索出解决这类问题的有效措施，并且应用于课堂当中，使得学生在模型中掌握知识和技能，提高解决问题的能力，在中考中得到了很好的应用，学生反映良好。

一、模型建立圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等。

但在一个三角形中，如果知道一条边和这条边所对的角，那么利用圆周角定理推论得出点C的运动轨迹是在双弧上。

所以就可以得出“隐形圆”存在的条件：定角定弦，产生“隐形圆”。

（如图1）二、“定角定弦”模型知识储备1.已知线段A B ，求作点P ，使得∠APB=90°，请作出点P的运动轨迹。

分析：直角所对的边是直径。

定边对定角 “圆”来如此

定边对定角㊀圆来如此∗何波禄,㊀朱成万(杭州第十四中学,浙江杭州㊀310006)㊀㊀摘㊀要:已知三角形的一条边以及这条边的对角,求三角形面积㊁周长或AB +kAC 等有关的最值或取值范围问题是一个高频考点,也是一个学习难点.文章借助三角形的外接圆,通过几何作图的方法,直入问题核心,答案可以看出来 ,这种解题思路和方法值得推广.关键词:解三角形;定边;定角;外接圆中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)02-0028-06㊀㊀已知三角形的一条边以及这条边的对角,求三角形面积㊁周长或AB +kAC 等有关的最值或取值范围问题 ,无论是在高考试题中,还是在各级各类的考试试题中,都是出现频率较高的一个问题.现行通用的方法是有二[1]:一是用正弦定理,化边为角,并借助辅助角公式,将问题转化为求三角函数的值域;二是用余弦定理,化角为边,并借助基本不等式求解.这两种方法都是从代数计算的角度解题,涉及边角的转化㊁三角恒等变换㊁基本不等式的自觉运用等,运算过程相对复杂.这也是学生感觉此类问题难的原因所在.鉴于此,笔者对这类问题进行了深入探究,发现这类问题都可以借助三角形的外接圆(或弧)通过几何作图的方法得以解决.这种从形的角度进行解题的方法,直观形象,能直入问题核心,大大减少了运算量,题目变得简单易懂,答案可以看出来.笔者从以下3个方面进行阐述,以飨读者.1㊀作外接圆解决面积类最值或取值范围问题例1㊀已知a ,b ,c 分别为әABC 中3个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则әABC 面积的最大值为.(2014年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第16题)图1分析㊀由a =2且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,知BC 是一条定线段,A 是一个定角,故点A 在某一圆上运动(如图1所示).显然,当点A 在BC 的中垂线上时,边BC 上的高最大,即әABC 的面积最大.解㊀由a =2且(2+b)(sin A -sin B)=(c -b)sin C,知A =60ʎ,则点A 在如图1所示的☉O 上运动.显然,当点A 在BC 的中垂线上时,即点A 位于点Aᶄ处时,边BC 上的高最大,从而әABC 的面积最大.此时әABC 为等腰三角形,又A =60ʎ,故әABC 为正三角形,根据BC =a =2,得(S әABC )max =3.上面的解法是从几何的角度,利用圆周角定理解题,即定线段所张的角为定角的点在圆周上 ,这一结论表现在三角形中就是已知三角形的一条边以及这条边的对角 ,则该边所对角的顶点在某一圆上.根据这一几何意义,显然有下列结论.结论1㊀在әABC 中,已知a ,A 为定值,则әABC 面积的取值范围为0,a 24tan A 2(ùûúúú.证明㊀由题意知,点A 在定☉O 上,如图1所示,显然当点A 靠近点B 或点C 时,边BC 上的高越小,从而әABC 的面积越小,接近于0.当点A 在BC 的中垂线上时,边BC 上的高最大,此时әABC 的面积最大.因为AᶄD =a 2tanA 2,所以∗收文日期:2020-07-14;修订日期:2020-09-01作者简介:何波禄(1990 ),女,浙江杭州人,中学一级教师.研究方向:数学教育.(S әABC )max =12a㊃a 2tanA 2=a 24tanA 2.㊀㊀综上可知,0<S әABC ɤa 24tanA 2.例2㊀在әABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos A =13,若a =3,求bc 的最大值.(2014年浙江省数学高考理科试题第17题第2)小题)分析㊀所求两边长之积为bc ,显然与面积有关,因为S әABC =12bc sin A ,所以bc =2S әABC sin A.解㊀由cos A =13,得sin A =223,㊀tanA 2=22,由结论1,知S әABC ɤa 24tanA 2ɤ324,故㊀bc =12bc sin A 12sin A =322S әABC ɤ322ˑ324=94.图2例3㊀如图2,四边形ABCD 有外接圆,已知AB =2,BC =6,CD =DA =4.1)求对角线BD 的长;2)作øBPD =60ʎ,试求PB 2+PD 2的取值范围.(第26届希望杯数学邀请赛高一第二试第22题)解㊀1)BD =27(过程略).2)由余弦定理知PB 2+PD 2=BD 2+2PB㊃PD cos P =28+PB㊃PD,其中PB㊃PD =12PB㊃PD sin P 12sin P =433S әPBD .由结论1,知0<S әPBD ɤ73,故PB㊃PD ɪ(0,28],从而PB 2+PD 2的取值范围是(28,56].由于面积的代数结构是二次的,故边与边的积(如例2的bc )或者边长的平方和(例3的PB 2+PD 2)都可以转化为面积问题.在已知对边与对角的情况下,都可以通过作圆 ,从几何的角度求解.2㊀作外接圆解决周长类最值或取值范围问题例4㊀在әABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C.1)求A ;2)若BC =3,求әABC 周长的最大值.(2020年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第17题)分析㊀1)由sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C ,易求得A =120ʎ.2)延长BA 到点D ,使得AD =AC ,则AB +AC =AB +AD =BD ,将折线AB +AC 的取值范围问题转化为求直线段BD 取值范围的问题.联结CD ,则әACD 为等腰三角形,且D =60ʎ.在әBCD 中,已知边长BC =3,D =60ʎ,则点D 在әBCD 的外接圆圆弧上运动(如图3).显然当BD 为әBCD 的外接圆直径时,әABC 的周长取到最大值.解㊀1)由sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C,知A =120ʎ.2)延长BA 到点D,使得AD =AC,则AB +AC =AB +AD =BD.图3联结CD,因为әACD 为等腰三角形,所以D =60ʎ.根据BC =3,D =60ʎ,可知点D 在如图3所示的☉Oᶄ上运动.显然当BD 为☉Oᶄ直径,即点D 位于点Dᶄ处时,BD 取到最大值,此时әBCD 为直角三角形,BD =3sin 60ʎ=22,故әABC 周长的最大值为3+23.以上解法首先采用了以直代折的方法简化问题,再利用圆周角定理解题,显然有下列结论.结论2㊀在әABC 中,已知a ,A 为定值,则әABC 周长的取值范围是2a ,a +asin A 2(ùûúúú.图4㊀㊀证明㊀延长BA 到点D,使得AD =AC,则AB +AC =AB +AD =BD.联结CD,因为әACD 为等腰三角形,所以D =A2,点D 在定☉Oᶄ上运动,如图4所示.显然BD >a,且当BD 为☉Oᶄ直径时,BD 取到最大值,此时әBCD 为直角三角形,从而BD =a sin D=asinA 2,故әABC 的周长为BD +a,取值范围是2a,a +a sin A 2(ùûúúú.例5㊀在әABC 中,A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ,已知A =60ʎ,求代数式b +ca的取值范围.(2018届吉林市高三第三次调研数学文科试题第17题改编)分析㊀对于任意给定的正实数a ,所求代数式的分子b +c 显然与әABC 的周长l 有关,满足b +c =l -a.解㊀由结论2,知әABC 的周长l 满足2a <l ɤa +a sinA 2=3a,从而b +c a =l -aaɪ(1,2].例6㊀在әABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设S 为әABC 的面积,满足S =34(a 2+b 2-c 2).1)求角C 的大小;2)求sin A +sin B 的最大值.(2010年浙江省数学高考文科试题第18题)解㊀1)C =60ʎ(过程略).2)由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C,知sin A +sin B =a sin C c +b sin C c =32㊃a +bc .由结论2,知㊀㊀㊀a +b +c ɤc +csinC2=3c,从而sin A +sin B ɤ3,于是sin A +sin B 的最大值为3.因为周长的代数结构是一次的,所以边长之和(如例5中的b +c ),或者角的正弦值之和(例6中的sin A +sin B )都可以转化为周长问题.在已知对边与对角的情况下,都可以先通过以直代折简化问题,再借助圆 ,从几何的角度求解.3㊀作外接圆解决AB +kAC 最值或取值范围问题例7㊀在әABC 中,B =60ʎ,AC =3,则AB +2BC 的最大值为.(2011年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第16题)图5解㊀延长AB 到点D,使得BD =2BC,则AB +2BC =AB +BD =AD.联结CD,在әBCD 中,BC sin D =BD sinøBCD =2BCsin (B -D),得tan D =35,从而sin D =327.这说明D 是一个定角,结合AC =b =3,知点D 在如图5所示的大圆☉Oᶄ上运动.显然当AD 为☉Oᶄ的直径,即点D 位于点Dᶄ处时,AB +2BC 取到最大值,此时әACD 为直角三角形,从而AD =bsin D=27,故AB +2BC 的最大值为27.以上解法同样先采用了以直代折的方法简化问题,再利用圆周角定理解题,显然有下列结论.结论3㊀在әABC 中,已知a ,A 为定值,k >0.1)当k +cos A >0且k cos A >-1时,min{a ,ka }<AB +kAC ɤa k 2+1+2k cos Asin A;2)当k +cos A >0且k cos A ɤ-1时,a <AB +kAC <ka ;3)当k +cos A ɤ0时,ka <AB +kAC <a.证明㊀延长BA 到点D,使得AD =kAC,则AB +kAC =AB +AD =BD.联结CD,在әACD 中,AC sin D =AD sinøACD =kACsin (A -D),得tan D =sin Ak +cos A,从而sin D =sin Ak 2+1+2k cos A.这说明D 是定角,其对边BC =a 为定边,故点D 在定圆上运动.图61)当k +cos A >0时,tan D >0,此时D 为锐角,点D 在☉Oᶄ的优弧BC (上,如图6所示.①若øACD =A -D ɪ0,π2(),则tan (A -D)=k sin Ak cos A +1>0,即k cos A >-1.显然当BD 为☉Oᶄ的直径时,BD 取到最大值,此时әBCD 为直角三角形,且BD =a sin D =a k 2+1+2k cos Asin A.㊀㊀当点A 越靠近点B 或点C 时,BD 越小,因此BD >min {a,ka}.故当k +cos A >0且k cos A >-1时,min {a,ka}<AB +kAC ɤa k 2+1+2k cos Asin A.②若øACD =A -D ɪπ2,πéëêê),则k cos A ɤ-1,此时必有k >1,显然a <BD <ka.故当k +cosA >0且k cos A ɤ-1时,a <AB +kAC <ka.图72)当k +cos A ɤ0时,π2ɤD <π,点D 在☉Oᶄ的劣弧BC (上,如图7所示,此时必有0<k <1,显然ka <BD <a.故当k +cos A ɤ0时,ka <AB +kAC <a.综上所述,结论3成立.推论1㊀在әABC 中,已知a ,A 为定值,若A ɪ0,π2(),则AB 的取值范围是0,a sin A (ùûúú;若A ɪπ2,πéëêê),则AB 的取值范围是(0,a ).图8㊀㊀证明㊀由题设,知当A ɪ0,π2()时,点A 在如图8所示的☉O 的优弧BC (上运动,当点A 靠近点B 时,AB 越来越小,接近于0;当AB 为☉O 的直径时,AB 最大,此时AB =asin A.因此AB 的取值范围是0,a sin A (ùûúú.当A ɪπ2,πéëêê)时,点A 在әABC 的外接圆☉O 上,且在劣弧BC (上运动,显然0<AB <a.推论2㊀在әABC 中,已知a ,A 为定值,k >0.1)当k ȡcos A 且k cos A >1时,AB -kAC 的取值范围是-a k 2+1-2k cos Asin A ,a éëêê);2)当k ȡcos A 且k cos A ɤ1时,AB -kAC 的取值范围是(-ka ,a );3)当k <cos A 时,AB -kAC 的取值范围是-ka ,a k 2+1-2k cos A sin A (ùûúú.证明㊀1)当AB ȡkAC 时,在AB 上取点D,使得AD =kAC,则AB -kAC =AB -AD =BD.在әACD 中,AC sinøADC =AD sinøACD =kACsin (A +øADC),得tanøADC =sin Ak -cos A,从而sinøADC =sin Ak 2+1-2k cos A.这说明øADC 为定角,从而øBDC 也是定角,其对边BC 为定边,故点D 在定圆上运动.①当k ȡcos A 时,0<øADC ɤπ2,则π2ɤøBDC <π,点D 在☉Oᶄ的劣弧BC (上,如图9所示,显然0ɤBD <a.图9图10㊀㊀②当k <cos A 时,π2<øADC <π,则0<øBDC <π2,点D 在☉Oᶄ的优弧BC (上,如图10所示,显然当BD 为☉Oᶄ直径时,BD 取到最大值,此时әBCD 为直角三角形,故㊀㊀0ɤBD ɤa sinøBDC =asinøADC=a k 2+1-2k cos Asin A.2)当AB <kAC 时,延长AB 到点D,使得AD =kAC,则kAC -AB =AD -AB =BD.在әACD 中,AC sin D =AD sinøACD =kACsin (A +D),得tan D =sin Ak -cos A,从而sin D =sin Ak 2+1-2k cos A.这说明D 为定角,其对边BC 为定边,故点D 在定圆上运动.①当k >cos A 时,0<D <π2,点D 在☉Oᶄ的优弧BC (上.当A +D ɪ0,π2()时,如图11所示,tan (A +D)=k sin Ak cos A -1>0,即k cos A >1,显然当BD 为☉Oᶄ的直径时取到最大值,此时әBCD 为直角三角形,故0<BD ɤa sinD =a k 2+1-2k cos A sin A.图11图12㊀㊀当A +D ɪπ2,πéëêê)时,k cos A ɤ1,如图12所示,显然点A 越靠近于点B,BD 越大,故0<BD <ka.②当k ɤcos A 时,π2ɤD <π,点D 在☉Oᶄ的劣弧BC (上,如图13所示,显然点A 越靠近于点B,BD 越大,故0<BD <ka.综上所述,当k ȡcos A 且k cos A >1时,AB -kAC 的取值范围是-a k 2+1-2k cos A sin A ,a éëêê);当k ȡcos A 且k cos A ɤ1时,AB -kAC 的取值范围是(-ka,a);当k <cos A 时,AB -kAC 的取值范围是-ka,a k2+1-2k cos A sin A (ùûúú.图13图14例8㊀已知平面向量α,β(其中αʂ0,αʂβ)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120ʎ,则|α|的取值范围是.(2010年浙江省数学高考理科试题第16题)解㊀如图14所示,记AB ң=β,AC ң=α,则β-α=CB ң,AB =1,C =60ʎ,由推论1知|α|=AC ɪ0,233(ùûúú.例9㊀在әABC 中,已知a 2+b 2-c 2=4S (其中S 为әABC 的面积),若c =2,则a -22b 的取值范围是(㊀㊀)探讨高观点下试题命制㊀提升教师专业素养∗从极点极线视角下两道模考题的演变探究与改编谈起周㊀威(恩施州教育科学研究院,湖北恩施㊀445000)㊀㊀摘㊀要:基于高观点下的试题命制是提升教师数学专业素养的重要途径.数学教师专业素养要求能理解与高中数学关系密切相关的高等数学内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质.因此,数学教师要注重教育理论和高等数学知识学习并举,要注重基于高观点审视高考试题导向教学,要注重探索基于高观点下的试题命制策略与模式.关键词:高观点;试题命制;极点极线;数学专业素养中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)02-0033-041㊀两道模考题引发的思考图1例1㊀如图1,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(其中a >b >0)的焦距等于其长半轴长,M ,N 为椭圆C 的上㊁下顶点,且|MN |=23.1)求椭圆C 的标准方程.㊀㊀2)过点P (0,1)做直线l 交椭圆C 于异于M ,N 的点A ,B ,直线AM ,BN 交于点T ,求证:点T 的纵坐标为定值3.(2019年5月湖北省武汉市数学调研试题第19题)例2㊀已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(其中a >b >0)的离心率为22,长轴长为4.㊀㊀A.(0,2)㊀㊀㊀㊀㊀B.(-1,0)C.(-1,2)D.(-2,2)(2018届湖南省衡阳市高三二模数学理科试题第10题)解㊀由a 2+b 2-c 2=4S,得C =45ʎ,根据推论2,知-1=-22c <a -22b <c =2.故选C .以上阐述的一次结构式AB +kAC (其中k ɪR )的取值范围问题,实际上是求әABC 周长问题(其中k =1)的一般化,因此我们采用了相同的方法进行探究.4㊀结束语本文借助三角形的外接圆,采用几何作图法解决定边定角的有关问题.这种解题方法从形的角度入手,能提升学生的数形结合能力,发展几何直观和空间想象能力,提升直观想象的数学核心素养[2].本文分析了三角形面积㊁周长或AB +kAC 等3类问题,并提炼出3个结论,直入问题核心,旨在帮助学生理解数学,增加对已学知识的理解,发挥数学的内在价值,以数学的方式立德树人.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀朱成万,严兴光,王红权.至精至简的数学思想与方法:核心内容从入门到精通(必修第二册)[M ].杭州:浙江大学出版社,2020:32-33.[2]㊀中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S ].北京:人民教育出版社,2018:4-8.∗收文日期:2020-05-29;修订日期:2020-06-30基金项目:湖北省教育信息技术研究2019年度专项课题(194234307)作者简介:周㊀威(1985 ),男,湖南邵阳人,中学一级教师.研究方向:数学教育.。

初中数学复习专题 —几何隐圆模型之定边对定角

初中数学复习专题—几何隐圆模型之定边对定角班级姓名有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系.解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐藏的圆(简称隐圆)，再利用和圆有关的一些知识进行求解. 常见的隐圆模型有以下三种：①定弦对定角；②动点到定点的距离为定长；③四点共圆等. 我们今天要讲的是定弦对定角问题，如右图：∠P 保持不变，∠P 所对的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹为圆弧.（简称：定边对定角）例1.在正方形ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边DC，CB 上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE 和DF 交于点P，则线段CP 的最小值为.例 2.如图，在边长为2 的等边△ABC中，点 E 为AC 上一点，AE=CD，连接 BE、AD 相交于点 P，则CP 的最小值为。

例3.如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（）A．1 B．2 C．D． 4322 【巩固训练】1. 如图 1，O 的半径为 2，弦 AB =2，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC的最大面积是.图1图2图32. 如图 2，半径为 2cm ，圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H ，设△OPH 的内心为 I ，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为.3. 如图 3,以 G (0,1)为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于 C 、D 两点,点 E 为 OG 上一动点,CF ⊥AE 于 F ,当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 .4. 如图 4,以正方形 ABCD 的边 BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，CE =CB ，过 E 做 EH ⊥BC ，点 P是△BEC 的内心，连接 AP ，若 AB =2，则 AP 的最小值为.图 4 图 5 图 6 5. 如图 5,Rt △ABC 中,AB ⊥BC ,AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ,则线段 CP 长的最小值为 .6. 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点 D 为线段 BC 上一动点.以 CD 为⊙O 直径，作 AD 交⊙O 于点 E ，连 BE ，则 BE 的最小值为 .7. 如图 7,在等腰 Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,BC = 4 ,点 D 是 AC 边上一动点,连接 BD ，以 AD为直径的圆交 BD 于点 E ,则线段 CE 长度的最小值为 .图 78.等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 为线段AC 上一动点，连接BD，过点C 作CH⊥BD 于H，连接AH，则AH 的最小值为.图8 图9 图109.如图9，直线y=x+4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N,边长为2 的正方形OABC 一个顶点O,在坐标系的原点,直线AN 与MC 相交与点P,若正方形绕着点O 旋转一周,则点P 到点（0,2）长度的最小值是.10.如图10，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7,3），点E在边AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H，在点P 从点F（0, 25）运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为. 411.如图11，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD，则CD 的最小值为图11 图 1212.如图12，已知△ABC是边长为4 的等边三角形，取AC 的中点Ｅ，△ABC绕E 点旋转任意角度得到△GMN，直线BN、GC 相交于点Ｈ．求△GMN绕点E 旋转时过程中，线段AH 的最大值是．13.如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.(1)使∠APB=30°的点P有个.(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标.(3)当点P在y轴上移动时,∠APB何时有最大值?请说明理由.14.[2019衢州]如图F10-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结BM并延长分别交DE,AC于点F,G.(1)求CD的长.的值.(2)若点M是线段AD的中点,求EFDF(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°?15.如图,正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E,F 运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF,BE相交于点P,则线段DP的最小值为.8.如图，矩形ABCD中,AB=2,AD=3，点E，F分别为ADDC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点,点P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为.5 ⎨ ⎩参考答案例 1【解析】解：如图，在△ADE 和△DCF 中，⎧ AD = DC ⎪∠ADE = ∠DCF ⎪DE = CF ∴△ADE 2△DCF （SAS ） ∴∠DAE ＝∠CDF∵∠DAE ＋∠AED ＝90°∴∠CDF ＋∠AED ＝90°，∴∠DPE ＝∠APD ＝90° .∠APD ＝90°保持不变∴点 P 的轨迹为以 AD 为直径的一段弧上∴取 AD 中点 Q ，连接 CQ ，与该圆弧交点即为点 P ，此时 CP 值最小在 Rt △CQD 中，CQ ＝∴CP ＝CQ －PQ ＝－1例 2.解析：可证△AEB ≅△CDA ∴∠ABE=∠CAD ∵∠CAD+∠BAD=60° ∴∠ABE+∠BAD=60°即∠BPB=60° ∵ AB 为定边，∠APB=120°为定角∴P 在以 AB 为弦且圆心角为 120°的圆弧上运动。

北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件课件(共28张PPT)

判断：
1、经过三点一定可以作圆。（× ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（√ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。（×）
1、某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，
书P125 练习
小结：
课后日记：今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 有不明白的地方吗？_______ 它是:_________________
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条边的垂
直平分线的交点，它到三角
形的三个顶点的距离相等。
如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
巩固新知应用新知
2、如图,
一根 5m 长的绳
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.

人教版九年级下册数学：27.3-在平面直角坐标系中画位似图形-课件(共19张PPT)

o
x
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
Do
x
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
A′(2,1),B′(2,0) y
A〞(-2,-1),B(-2,0)
A
A'
B〞
x
o
B'
B
A〞
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2,画它的位似图形.
平移、轴对称、旋转、位似变换的点坐标变化规律
1、平移变换：对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度
2、轴对称变换：关于x轴对称（x，y）---（x，-y）关于y轴对称（x，y）---（-x，y）
3、旋转变换：一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标互为相反数
你还有其他办法吗?试试看.
练一练:
1.如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比 y
A
C
o
D
B
x
练一练:
2.如图△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍.

人教版九年级数学上册：探解圆中最值问题的三种基本思路

探解圆中最值问题的三种基本思路圆中探求最值是近几年中考的一个凸显亮点，背景丰富有创意，解法灵活有创新，可谓八仙过海，各显其能，是一个值得深思和探究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家推荐这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴.一、直径是圆中最长的弦为依据求最值1.探求三角形中位线的最大值例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是．解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=21AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大值为最大MN =225．所以应该填．点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.2.探求圆上动点到定弦的最大值例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是．解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝23×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值.2.探求圆上动点与线段上动点构成线段的最大值与最小值的和例3（2019•玉林）如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（）A ．5B ．6C ．7D ．8解析：如图3，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，因为AC=4，BC=3，所以AB=5.因为点O 是AB 的三等分点，所以OB=32×5=310，因为∠OPB=90°，所以OP ∥AC ，所以32==AB OB AC OP , 所以OP=38.因为⊙O 与AC 相切于点D ，所以OD ⊥AC ，所以OD ∥BC ，所以31==AB OA BC OD , 所以OD=1，所以MN 最小值为OP ﹣OF=38﹣1=35；如图3，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，所以MN 最大值=310+1=313，所以MN 长的最大值与最小值的和是35+313=6．所以选B ．点评：单边切圆动点线段的最值问题，求解时，需要分开，一是动线段的最小值，依据圆心这个定点到定线段的垂线段最短，在此基础上，确定动点线段的最小值；二是动点线段的最大值，依据直径是圆中最大的弦确定求解.解答后，要熟记问题的背景特点，继而灵活准确计算最值的和.二、定弦的弦心距最短，探求线段的最大值例4 （2019•嘉兴）如图4，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为．解析：如图4，连接OD ，在直角三角形OCD 中，222OC OD CD -=,因为圆的半径是定值，要想使得CD 长最大，只需满足OC 的长度最小，因为AB 是圆的弦，所以O 到弦AB 的最短距离是弦AB 的弦心距，所以当OC ⊥AB 时，OC 最短，此时点D 恰好与点B 重合，所以4142222==-=AB OC OD CD ,所以CD 的最大值为21. 点评：此类最值的特点有五：一是有圆的定弦；二是动点之一必须在定弦上；三是能构造出直角三角形；四是等式有特点：动线段的平方和时定值即222-动线段半径动线段=；五是运用点到直线的距离中以垂线段为最短，构造最长值.三、三角形的三点一线时第三边最大，探求最大值1.探求直角三角形斜边长的最大值例5（2019年湖北鄂州）如图5，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA=OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB=90°，则AB 长度的最大值为．解析：如图5，连接OC,OP,PC ，当点O,P,C 三点不共线时，则OC+PC ＞OP ；当点O,P,C 三点共线时，OC+PC=OP ，综上所述OP ≤OC+PC ，且当点O,P,C 三点共线时，PO 取得最大值，所以连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，因为C （3，4），所以OC=5，因为以点C 为圆心的圆与y 轴相切，所以⊙C 的半径为3，所以OP=OC+PC=5+3=8，因为∠APB=90°，AO=OB ，所以PO 是直角三角形PAB 斜边上的中线，所以AB 长度的最大值为16，所以应该填16．点评：准确构造含有动点，且有一条定线段的动态三角形是解题的关键，利用动态三角形的存在性和三点一线型，综合确定线段的最值是解题的核心，这种确定最值的思想非常重要，应用也非常广泛，务必熟练驾驭，做到准确找动态三角形，准确定共线线段，确实把最值准确定出.2.探求动态三角形中位线长的最大值例6(2019年乐山）如图6，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A,B 两点，P 是以点C(0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是（） ()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4解析：如图6，连接BC,PC,PB ，当点B,P,C 三点不共线时，则BC+PC ＞PB ；当点B,P,C 三点共线时，且点P 与点B 位于圆心点C 的两侧，此时BC+PC=PB ，综上所述PB ≤BC+PC ，所以当点B,P,C 三点共线时，PB 取得最大值，所以连接BC 并延长，交⊙C 上一点P ，此时PB 的值最大.因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A,B 两点，所以点A(-4,0)，点B(4,0),所以OA=OB=4,因为点C （0,3）,所以OC=3,PC=2,BC=5,所以PB 的最大值为：PB=PC+CB=2+5=7,因为点O 是AB 的中点，点Q 是PA 的中点，所以OQ 是三角形PAB 的中位线，所以OQ=21PB, OQ 的最大值为27，所以选C. 点评：构造动态三角形时，以PB 为核心是解题的关键，确定了PB 的最大值，问题就顺利得解.解答时，要注意，当动点位于两定点之间时，线段取最小值；当动点位于两定点之外时，线段取得最大值.一定要熟记！感兴趣的读者，不妨计算一下OQ 的最小值.。

压轴题必备中考数学“动点坐标”问题，这个万能解法人人都能学会！

压轴题必备中考数学“动点坐标”问题，这个万能解法人人都能学会！中考数学压轴题考什么？“存在性问题”一定榜上有名。

而再深入研究，你就会发现：这些试题中，有近四分之一都是在考查“平行四边形的存在性问题（包括矩形和菱形）”。

滑动查看更多“平行四边形存在性”中考题所以，今天这篇文章，洋葱君就为你重点讲解这种特殊四边形的存在性问题（含平行四边形、矩形和菱形），该如何用一个“通法”来解决。

▲存在性问题专题第二讲之“特殊四边形”要想找到解题“通法”，就要找出这类特殊四边形存在性问题的共同点，进而归纳相应解题策略。

那么，这类问题有什么共同点呢？经过大量对比分析后，洋葱君终于发现：大多数这类问题，都是题目中已知四边形中两个固定的顶点坐标，求另外两个移动的顶点坐标。

那如果几何直观能力比较差，有什么其他的方法解答呢？别担心，今天洋葱君为你带来一个非常实用的解题“通法”——对角线平分求解法。

（其中，菱形和矩形需要以等腰三角形和直角三角形的方法为基础，建议先点击这里回顾“两圆一线”和“两线一圆”模型。

）对角线平分求解法首先，你需要了解的是，解决存在性问题的根本在于“将判定定理代数化”，即：先分析图形运动方式，然后用含未知数的式子表示出点和线，最后代入判定定理的代数表达，列方程求解。

那么问题来了，对于平行四边形来说，有五种判定定理呢，我们该选择哪种来作为“通法”呢？•两组对边分别平行？•两组对边分别相等？•一组对边平行且相等？•两组对角分别相等？•对角线互相平分？如果你想不出该用哪种，就看一下这个洋葱解题课视频的分析过程吧，相信看过之后，很快你就能得到答案了。

▲完整视频请在洋葱APP中观看，视频位置：初中数学人教版-中考二轮-存在性-平行四边形存在性问题-构成平行四边形没错，就是选择“对角线互相平分”来作为常用“通法”，根据视频可以看出这种判定方法有两个优点：（1）具有稳定性由于“对角线互相平分”是利用“中点坐标公式”来列方程，列出的方程是整式方程，次数不超过二次，所以它的计算量不依赖于题目条件。

圆周角定理(公开课)说课.ppt

圆相交的角叫做圆周角．
.精品课件.
3
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
.精品课件.
4
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？并证明你的结论？
C ACB 1 AOB
2 O
A
.精品课件.
B 5
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
C
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
D A
O·
E
B
推论
C1
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦 A
是直径．
.精品课件.
C2
C3
·O
B
11
三、应用新知
例、如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
A
E
O
B
50°
D
.精品课件.
15
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？（2）判断△FAB的形状，并说明理由．
( (
.精品课件.
16
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 1 BOC． 2
B
C
.精品课件.
8
二、探究知识证明猜想
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它

中考数学专题聚焦一最值问题课件

[对应训练] 1．在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， D是BC边的中点， E是AB上的一个动点，则EC＋ED的最小值是__3__5____.
点拨：以 AC 为边作正方形 ACBP，如图，连接 CP，则 AB 与 CP 互相垂直平分，连接 DP 交 AB 于点 E, 连接 CE，∵AC＝BC＝6，D 是 BC 的中点，∴DB＝3，又∵∠CBP＝90°，PB＝6，在 Rt△DBP 中，由勾股定理有，DP＝ 32＋62＝ 45＝3 5，又∵EC＝EP，∴EC＋ED＝EP ＋ED＝DP＝3 5，即：EC＋ED 的最小值是 3 5
专题一最值问题
美国著名数学家哈尔莫斯曾经说过：“数学的真正部分是问题的解” ．毋庸置疑，学习数学就意味着解题．解题，联想是基础，转化是手段，问题解决是目的．如果说：解题它是表达一个命题从题设到结论的演变过程，那么联想与转化它可以迅速沟通这一演变过程的作用．联想是基础，转化是手段，灵活应用是关键，问题解决是目的，把握好这一解题策略，对于我们学习数学，提高解题质量，提高学习成绩，可以起到事半功倍的作用．
为(－43，0)，PQ′＝（－2－0）2＋（2＋4）2＝2 10
【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．
[对应训练] 1．在平面直角坐标系中，设P(－1，1)，Q(2，3)，x轴上有一点R，则PR＋RQ的最小值为__5__．
2．(2016·创新题)若一次函数y＝kx＋b的图象与x，y轴分别交于点 A(4，0)，B(0，6)． (1)求该一次函数的解析式； (2)O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C，D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值．
解：设 t 秒后 PQ＋QC 最小，取点 P 关于 AD 的对称点 P′，连接 CP′与 AD 相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使 PQ＋QC 最小的点 Q 的位置，∵AB＝6 cm，AD＝12 cm，∴AP＝AP′＝6－t，AQ＝2t， QD＝12－2t，∵AB∥CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴ACPD′＝AQQD，

初中数学解题模型专题讲解34---定弦定角

初中数学解题模型专题讲解专题34 定弦定角解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。

定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60°、45°）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径例题讲解例题讲解：：例1、（2016深圳）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC °∠=，AB ﹦AC ，BC =D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为．例2、如图，⊙O的半径为1，弦AB﹦1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积为．例3、（2013呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C 是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．例4、（2016黄冈）如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，当D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最大值为．巩固练习巩固练习：：1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为．2、直线4y x =+分别与x 轴、y 轴相交于点M ，N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交于点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是．3、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．4、如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为．5、如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．241−46、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．34−27、如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．312+6B．36+3C．312+3D．346+8、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于P点，则CP的最小值为_________9、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________10、如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD，则CD的最小值为__________11．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC 于点D，BE⊥AC 于点E，连接DE．当点C 在运动过程中，始终有22=AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________12．如图，已知以BC 为直径的⊙O，A 为 BC 中点，P 为 AC 上任意一点，AD⊥AP 交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD 的最小值为___________AC。

中考数学圆中的重要模型四点共圆模型

圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。

相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。

本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。

例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在R t A B C中，90∠A C B∠=︒，O为A B的中点，O D平分A O COF例4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形A B C D 中，D A D B D C==，72BD C ∠=︒，则B A C∠的度数为______．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90A B DA C D ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。

初三数学圆周角定理及其运用PPT课件

271abac为o的两条弦延长ca到d使adab如果adb352如图在o中bc2deboc84284在o中一条弧所对的圆心角和圆周角分别为2x100和5x30则x如图在直径为ab的半圆中o为圆心cd为半圆上的两点cod50则cad
3.3.2圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
A
B E
O DC
• 思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（）
2.相等的圆周角所对的弧相等（）
3.90°角所对的弦是直径（）
4.直径所对的角等于90°（
）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（）
例题
例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
A
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A ED
O
C
C
O
课本练习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形.
C
A
·
B
O
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？

中考复习之解圆十七招优课课件

十四、阴影部分的面积
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是6m，其中水面高 3m。求截面上有水部分的面积？
弓形的面积 = S扇- S△
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。（精确到 0.01cm）。
弓形的面积 = S扇+ S△
则这弓形所在的圆的半径
为 13 cm 4
.
C
A
D
B
O
第一招
半径、弦心距、弦长的一半构建直角三角形中： 1、知二求一，勾股定理直接求； 2、知一求一，勾股定理列方程。
二、四组量定理
圆心角、弧、弦、弦心距的关系
A
D
B
●O
┏
A B D 1 1
1
⑴ AB = A1B1
⑵ ∠AOB = A1OB1
知一
展示练习
第十一招
外心
角平分线
圆心角与圆心角
内心垂直平分线
三角形内角和
十二、切线长定理
从圆外一点向圆所
引的两条切线长相
等;并且这一点和圆
心的连线平分两条切线的夹角.
P
1 2
∵PA,PB切⊙O于A,B ∴PA=PB ， ∠1=∠2
A
●O
B
展示练习
PP与如AAA图P有周=、分、A8，D长P析=㎝BBA从=P两：，，=BP⊙点D切CD，根OC为重+点而据，外DA合分D切EC一B）EC别+上线切点=，C为的长E⊙引E过BA+一定O圆，点、P个理于的E从BC=动可C作两，而P，点知A⊙条若△所（+，PO切DP以不的线BE又的
十三、弧长和扇形面积

中考数学几何模型专题11四点共圆模型(学生版) 知识点+例题

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ．F DDD运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于4√5cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(①O)上；①是否存在这样的t值，使得问题①中的①O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；①请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则①AOB+①COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.①如图①，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）①如图①，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=12∠BAC=60°，于是BCAB=2BDAB=√3；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；①请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM 的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；①若AE=5,CE=2，求BF的长．【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．（1）求美角∠A的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．一、解答题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E，①AED＝60°，点F在直线CD 上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作GH⊥AB 于点H．(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF =13，求∠ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF=√22AB，求n的值．3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．。

初中数学几何最值专题42：定边定角之非直角隐圆(最全修正版)

隐圆----定边定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．思考总结：【例题精讲】例1、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B在x轴上、点C在y轴上，点A、B、C的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为。

解析提示：总结：例2、已知A（0，4），B（6，0），P为平面内一点．若∠APO＝135°，则PB的最小值和最大值为。

解析提示：总结：例3、如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为。

解析提示：总结：例4、正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最大值是。

解析提示：总结：例5、如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为。

解析提示：总结：例6、如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O 到顶点A 的距离最大值为；点O 到AB 的距离的最大值为。