2.5.1《等比数列的前n项和》课件(人教A版必修5)

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人教A版高中数学必修五2.5.1等比数列的前n项和课件

2.5 等比数列的前n项和
新课导入
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说： “请在棋盘的第一个格子上放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的两倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40克，据查目前世界全年小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
即求 1 2 22 23 24 • • • • • • 263 的值 .
问题分析：1 2 22 23 24 • • • • • • 263
是首项 a1 1 公比 q 2 q 1 的等比数列的前 64 项的和，
故有
S64
a1 1 q64 1 q
1• 1 264 1 2
lg x 19.264 , lg1.84 0.63 ,
所以 264 x 是一个20位的实数，有 264 x 1.841019 ，
米的千粒重约为40 克，即 410-2 公斤，410-5 吨，据26查4粒目前1世.8界4全10年19小粒麦产1.8量4约160亿16千吨，粒由1.18242616016 73456107-356吨0 ，，
可264估粒计 7全.3世6界101根121吨据26以年上7小3数6麦0据亿总，吨产判.断量国约王为是73否5能6亿实吨现他. 的诺言？
【公式的应用】
例1、已知等比数列 1 , 1 , 1 , . 248
（1）求前8项之和；
因为
1 a1 2
q 1 2
n8
1
1
1
8
S8
a1(1 q8 ) 1q

《2.5 等比数列的前n项和》课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品

1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q

高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和

数学必修5
第二章数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析：显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1，解得q＝3，
n＝4.
数学必修5
第二章数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮助这个穷人.
数学必修5
第二章数列
(2)由题意知：SS奇奇＋－SS偶偶＝＝－ 802，40， ∴SS奇偶＝＝－－8106， 0. ∴公比q＝SS偶奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学必修5
第二章数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－－－－qqqq36＝＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学必修5
第二章数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q

人教版高中数学必修5课件：2.5.1等比数列前N项和(第一课时)(共18张PPT)

由① – ②得： -S30 = 1 – 230
反思：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？那乘以3？ 22 ？会达到一样的效果吗？
问题：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
【新知探究】
探究：设等比数列错位相减法
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an
即 Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1
①
qSn =
a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn ②
结合等比数列通项公式，
由① – ②得： (1 – q)Sn = a此1 –时aS1qnn可变形为什么？
问题1 : 探讨等比数列前n项和的多种推导方法，并整理成小论文，相互交流问题2 : 求和, Sn 1 2 2 22 3 23 ...... n 2n
【课堂小结】
1. 掌握等比数列的前n项和公式能进行简单应用. ——知三求二方程思想
a1(1 qn )
Sn
1q
或
a1 anq 1q
【新课引入】
不学数学害死猴啊！！！
【新知探究】
探究： S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229 = ？
S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229

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3
四、练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应等比数列{an} 的前n 项和Sn。
( 1 ) a1 3, q 2, n 6 189
(2)
a1
8,
q
1 2
, an
1 2
31 2
2.在等比数列{an} 中，
( 1 ) 已知a1 1.5, a4 96, 求q和S4
(
2
)
已知q
1 2
,
S5
31 8
,
求a1和a5
1 (-2)n
3. 1 2 4 8 16 L (2)n1 ___3___
三、例题
例 2.在等比数列
an 中 ,
S3
7 2
,
S6
63 2
,求 an
.
解
: 若q
1, 则
S6
2S3,这与已知 S3
7 2
,
S6
63 是矛盾 2
的,所以q 1.从而
S3
a1
1 q3 1 q
7 2
a1 a1q a1q2 L a1qn1
qSn
a1q a1q2 L a1qn1 a1qn
上述两式相减得 (1 q)Sn a1 a1qn
故当q≠1时，
Sn
a1(1 qn 1q
)
错位相减法
二、新课
等比数列的前n项和公式：
S由n特San别n=地aa1，q1na(n11-当1a1代(q11q1q入=n1可)时(q得，qqSn（nS1)=n)naq1aa11111aq）nqaq(nqq 1()q 1)
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2.5.1等比数列的前n项和
第一课时

人教版高中数学必修5(A版) 2.5等比数列的前n项和 PPT课件

例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第2年产量为第3年产量为
分析：第1年产量为
……
第n年产量为
n1
5000 1.12台
50001.1 台
则 n 年内的总产量为：
5 5 1.1 5 1.12 5 1.1n1 30000
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
答：约5年可以使总销售量量达到30000台
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q

( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
已知 a1 , an , q 则
Sn
{
na 1,
a1 an q , 1 q
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
, q 1 10% 1.1, Sn 30000 , 其中 a1 5000
n 5000 1 1 . 1 ∴ 30000 . 1 1.1
解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 an ,

即
1.1 1.6.
n
两边取常用 n lg1.1 lg1.6 对数，得 lg1.6 0.20 5 ( 年) ∴ n lg1.1 0.041

2.5等比数列的前n项和(一) 课件(人教A版必修5)

2.5 │ 新课导入
• • • •
注：师生合作分别给出两个和式： S30＝1＋2＋3＋…＋30；① T30＝1＋2＋22＋23＋…＋228＋229.② ①学生会求，对②学生知道是等比数列前 n项和的问题，但却感到不会解！ • 问题4：能不能用等差数列求和方法去求？ (不行)
第1课时
等比数列的前n项和 (一 )
第1课时 │ 自学探究自学探究
► 知识点一等比数列的前 n 项和公式已知等比数列{an}中，公比为 q，则其前 n 项和 Sn＝
na1q＝1 a11－qn q≠ 1 1－q ___________________①或 Sn＝
na1q＝1 a1－anq q≠1 1－q _____________________________ ②.
2.5 │ 教学建议
•
2．通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值．同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能．
2.5 │ 教学建议
•
4．数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用．教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间．
2.5 │ 新课导入新课导入
第1课时 │ 典例类析
解：∵数列{an}是等比数列， ∴a1an＝a2an－1，∴a1an＝128，又 a1＋an＝66， ∴a1，an 是方程 x2－66x＋128＝0 的两根， ∴a1＝2，an＝64 或 a1＝64，an＝2.显然 q≠1， a1－anq 2－64q 若 a1＝2，an＝64，由 Sn＝＝＝126， 1 －q 1－q －得 2－64q＝126－126q，∴q＝2，由 an＝a1qn 1，－得 2n 1＝32，∴n＝6. a1－anq 64－2q 若 a1＝64，an＝2，由 Sn＝＝＝126， 1 －q 1－q 1 －得 64－2q＝126－126q，可得 q＝，由 an＝a1qn 1， 2 1 n－1 1 得＝，∴n＝6. 32 2 1 综上所述，n 的值为 6，公比 q＝2 或 . 2

人教a版高中数学必修5配套课件：2.5.1等比数列的前、n项和

(2)运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比 q＝1 和 q≠1 两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
【变式与拓展】
1．(2013 年新课标Ⅰ)设首项为 1，公比为23的等比数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则( D ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
2．5 等比数列的前 n 项和
2．5.1 等比数列的前 n 项和
【学习目标】 1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式． 2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法．
等比数列{ an}的前 n 项和
等比数列前 n 项和公式为___S_n＝__a_1_1_1－_－_q_q_n___ (q≠1)，
解：由题意，得
若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝2. 若 q≠1，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6. 解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时a3＝8.
综上所述，a3＝2，q＝1或a3＝8，q＝－2.
[方法·规律·小结] 1．用等比数列前 n 项和公式，应注意公比 q 是否等于 1. 2．用错位相减法不仅能推导等比数列求和公式，还可以在其他特定类型的数列求和中应用．
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式是解决问题的关键．
【变式与拓展】 3．已知在等比数列{an}中，a1＝13，q＝13. (1)Sn 为数列{an}前 n 项的和，证明：Sn＝1－2an；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
题型 2}的各项均为正数，其前 n 项中，数值最大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且 Sn＝80， S2n＝6560，求： (1)前 100 项之和 S100； (2)通项公式 an.

高中数学必修五课件：2.5-1《等比数列的前n项和》(人教A版必修5)

a1 (1 q n ) 1 q
Sn
( q 1) { na ) 1 (q 1
a1 an q 1 q
1 例1.求等比数列 2
, , ,
1 4
1 …… 的前8项的和。 8
解 :由
a1
n8
1 2
q
得：
1 4
1 2
1 2
S8
1 1 8 [ 1 ( ) ] 2 2 1 1 2
1 2 2 …… 2 k 1
2

∴ Sn
1 ( 2 k 1) 2 1 k
2 1
a1 a2 …… an
(2 1) (2 2 1) …… (2 n 1)
2 2 2 …… 2 n n

2 (1 2 n ) 1 2
1. ① , ④ 2. 3. 6.
3.预习下节课内容。
等比数列的前n项和（一）
（一）知识回顾：
1.等比数列的定义： 2.通项公式：
a n 1 an
（ q 0, n N ） q（常数）
n 1
an a1 q
成等比数列
3.等比数列的主要性质：
① a, G , b
G ab (G,a,b ≠ 0)
2
②在等比数列{ an }中，若
2 4 8 16+ ……
2 2
63
64
②
由②- ①得：
S 64 2 1
64
已知：等比数列{ an }，公比为 q ，S n
……
解：S n
an ，如何用 a1 , n, q 来表示 S n
a1 a2
n1
a1 a1q a1q

人教版高中数学必修5(A版) 等比数列的前n项和 PPT课件

a1 a 2 a 3 a1 a 2 a 3 k kb1 , b 2 , b3 0 b1 b 2 b3 b1 b 2 b3
（西萨）

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？
(1 q)S a a q a qa S 当q≠1时， 1 q
n 1 n
1 n
a1 q(Sn an )
n
返回目录
4、公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 2 4 8
的前8项的和。
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
n
a n 1
q(n 2)或
n 1
an
q(n N*)
（2）等比数列的通项公式
an a1q
n 1
( a 1 ≠0 且 ( n N *)
q ≠0)

（3）数列的前n项和与通项公式的关系
S1 an Sn Sn 1

(n 1) (n 2)
（4）合分比定理
n1
a1q ②
n
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1q
(1 q)Sn a1 a1q
n
a1 - a1q 探讨1：由 (1 - q)sn = a1 - a1q 得 sn比数列中的公比能不能为1？ q=1时是什么数列？此时sn=？

人教版数学必修五：2.5《等比数列的前n项和》ppt课件

注意：(1)等比数列前 n 项和公式及通项公式中共有五个量 a1、q、an、n、Sn，这五个量可“知三求二”． (2)利用等比数列的前 n 项和公式求和时，要特别注意公比 q 的取值，应当按 q＝1 和 q≠1 分别求解，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论．
第二章
2.5
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
第二章
2.5
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项和公式为 Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且 q≠1，n∈N*) 当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1 是 n 的正比例函数．
第二章
2.5
第1课时Βιβλιοθήκη 1 已知 a1＝27，a9＝243，q<0，求这个等比数列前 5 项的和．
[ 分析] 出 S5.
[ 解析]
由 a1， a9 可求出 q，再用等比数列前 n 项和公式求 1 243 1 1 8 ∵a1＝27，a9＝243，∴q ＝ 27 ＝38，
1 又∵q<0，∴q＝－3， 15 a11－q5 27[1－－3 ] 61 ∴S5＝＝ 1 ＝3. 1－q 1－－3
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等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝2×3n＋a，则 a 等于( A．3 C．0 [ 答案] B．1 D．－2
)
D
[ 解析]
数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n
项和公式为 Sn＝－Aqn＋A，由此可知 a＝－2.
第二章
2.5
第1课时
第1课时

高中数学人教A版必修5《2.5等比数列的前n项和1》课件

2 2 2 2 2 2 2 2..
48 49 50 51 52 53
2222 22
56 57 58 59 60 61
2222 22
54 55
2 2..
62 63
2 2..
1+2+4+8+……+263=?
264-1 超过7000亿吨
二、新课讲解：
即 S 1 2 22 23 263， ① 2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
国王奖励国际象棋发明者问题
国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,第64个格子
放2 颗6麦3 粒，请给我足够的麦粒来实现
没问题！！！
12 3 4 5 6 7
1222 222 2 8 9 10 11 12 13 14 15
问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。
解析1：找个具体的等比数列来检验
Sn 1 2 4 8 16 Sn 16 8 4 2 1
2Sn (116) (2 8) (4 4) (8 2) (16 1)
17 10 8 10 17
每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!
Sn a1 q(Sn a1qn1)
移项，得：1 qSn a1 a1qn
当q≠1时，
①
当 q=1 时， Sn na1
(五)方程探究过程小结：
根据等比数列求和式子的特点，对其部分项
提出公因式＿q＿后，可将其用含＿S＿n ＿的式子表示出来，从而建立关于＿S＿n ＿的方程，

人教A版高中数学必修五2.5 等比数列的前n项和课件

共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，麦粒的总数为:
S64 1 2 4 8 262 263
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 ) S64 264 1＝18446744073709551615
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 )
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
(1) a1 3, q 2, n 6;
1
1
(2) a1 2.7,
q , 3
an 90 .
例2. 某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？