两角和与差的正弦、余弦、正切测试题
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 32. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a2 ■ 2 2 ■ 2cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a3. 有关公式的逆用、变形等(1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3.4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2sin(a+ ©，其中 tan一、选择题1.给出如下四个命题②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cossin sin 能成立；③公式tan()tan an成立的条件是k—(k Z)且 k —(k Z)；1 tan tan22④不存在无穷多个 a 和3,使 sin()sin cosco s，sin ；其中假命题是( )A.①②B.②③C. ③④D. ②③④2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是( )A. 1 . 2B. .. 2 1C.、2D. 2①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a1 tan 2a 2(2)cos a=1 + cos 2a2 sin 2a= 1 — COS2a2 -2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2, sin a±cos a= 2sin a±4t .当 x [ — ^]时，函数 f(x) sinx .. 3cosx 的 ( )A •最大值为4,最小值为—1B 最大值为1最小值为土C •最大值为2,最小值为—2D.最大值为2,最小值为—1已知tan( ) 7,ta n tan2则cos()的值( )八1 D、、2c 2D.A.—B.C. -2222已知一3,cos()123,si n( )，则 sin 2( )2413 5A565665 D.65 A.B.———C.—65655656sin15 sin30 sin 75 的值等于( )八＜3c 1 D.1A.DB.C.-4884函数 f (x) tan(x)g (x )1tanx ,h(x) cot( x)其中为相同函数的是 4 丿，g (x)41tanx( )A. f (x)与 g(x)B. g(x)与 h(x)C. h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)1a 、B 、 都是锐角，tan—2 ,tan 1,ta n 贝U等于 ( )小 55A.—B.-C.-D.3 464设 tan 和 tan(— 4 )是方程x 2 px q 0的两个根，则 P 、q 之间的关系是()A. p+q+1=OB. p — q+仁C. p+q —仁0D. p — q —1=0已知 cosa,sin 4sin( ),则 tan( )的值是 ( )13.已知 sin( )4分，共16分，将答案填在横线上)sin( ) m ,则 cos 2cos 2 的值为A1 a 2B. —V 1 2aC.a 4D.1 a 2a 4a 4 1 a 2a 4.在厶 ABC 中, C 90o ，则tan A tanB 与1的关系为( : )A. tanA tanB 1B. tan A tanB 1C. tanA tanB 1D. 不能确定.sin 20 cos70 sin10sin50的值是( : )A.—B.3C. —D.34224、填空题(每小题3.4.5. 6.7.8.9.10111215 .若sin( 24 ) cos(24 ),则tan( 60)= _____________ . ____16. 若sinx si ny -,则cosx cosy的取值范围是2 ---------------------------------------三、解答题（本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分）17. 化简求值：sinq 3x） cosq 3x） cos（石 3x） sin3x）.求tan( 2 )的值.19.求证：tan (x y) tan (x y)18.已知0 90 ,且cos , cos 是方程 x2, 2sin50 x sin250 0的两根,20.已知a,p€( 0,n )且 tan( )1,tan 1弓，求2的值.21.证明：tan|x眄2sin xcosx cos2x22.已知△ ABC的三个内角满足: A+C=2B1cos A1cosC2求cos^cosBsin 2x 2 ~2~cos x sin y11. 1. C 2 B 12 . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 .A 3 . D 4 . D A 参考答案 .C 8 . B 9 . B 10 . D 18. 19. 20. 21. 22. 13. m 14 . - 15 . 32 .3 16 .[ 帀 J i?】17.原式円叫3x)cos(3 3x) si n( 3x) cos(- 3 4 2 3x)t 6 岳i ns 。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
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两角和与差的正弦、余弦、正切练习【同步达纲练习】一、选择题1.cos82.5°cos52.5°+cos7.5°cos37.5°的值等于( )A.21 B.23 C.1 D.22 2.若tan(α+β)=m,tan(α-β)=n,且mn ≠-1,则tan2β等于( ) A.mnnm -+1B.nm mn+-1 C.mnnm +-1D.m-n3.若cos2xcos3x=sin2xsin3x ，则x 的一个值是( )A.36°B.45°C.18°D.30° 4.若α、β均为锐角，P=sin(α+β),Q=sin α+sin β,则( ) A.P ＞Q B.P ＜Q C.P ≥Q D.P ≤Q 5.tan10°tan20°+3 (tan10°+tan20°)等于( )A.23 B.1C. 3D. 66.设a=2sin24°,b=sin85°-3 cos85°,c=2(sin47°sin66°-sin24°sin43°)，则( )A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.c ＞b ＞aD.b ＞a ＞c7.若0＜β＜4π＜α＜43π,cos(4π-α)= 53,sin(43π+β)= 135,则sin(α+β)等于( )A.6516B.6556 C.-6556 D.-6516 8.在△ABC 中，角A 和角B 满足关系式1-cotAcotB ＜0,那么△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况均有可能 9.设tan α=31,tan(β-α)=-2,则tan β等于( ) A.-7B.-1C.-5D.-310.21cos α-23sin α可化为( )A.sin(6π-α) B.sin(3π-α) C.sin(6π+α)D.sin(3π+α)11.在下列各命题中，真命题的为( )(1)不存在无究多组角α、β，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β成立.(2)存在无究多组角α、β，使得：cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立. (3)对任意的α、β，sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β成立. (4)不存在角α和β，使sin(α-β)≠sin αcos β-cos αsin β. A.(1)、(2) B.(3)、(4)C.(2)、(3)、(4)D.(1)、(3)、(4) 12.已知：cos α=-21,sin β=-23,且α∈(2π，π)β∈(23π，2π)则sin(α+β)的值是( )A.23B.-1C.-23 D.-21 13.若A=22°,B=23°则(1+tanA)(1+tanB)的值是( ) A.3B.2C.1+2D.2(tanA+tanB)14.△ABC 中，已知sinA=53,cosB=135,则sin(A+B)的值为( ) A. 6563或-6533 B.- 6533 C.- 6563 D. 656315.已知sin α=-53,cos β=135,cot(α+β)= 3356,则( )A.α为第三象限角，β为第一象限角B.α为第三象限角，β为第四象限角C.α为第四象限角，β为第一象限角D.α、β均为第四象限角 二、填空题：1.在△ABC 中，若(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B= .2.已知5sin β=sin(2α+β),则tan(α+β)cot α= .3.已知cos(α+β)=54,cos(α-β)=- 54 ,α+β∈(4π，2π)，α-β∈(43π，π)，则cos2α= ,cos2β= .4.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°= .5.已知cos α=71,cos(α+β)=- 1411,α、β为锐角，则cos β= . 6.3 csc20°-sec20°= . 三、解答题： 1.已知：sin α+sin β=21,cos α+cos β=31,求cos(α-β)的值.2.已知cos(α-2β)=-91,sin(2α-β)= 32,2π＜α＜π,0＜β＜2π,求cos(α+β)之值.3.已知：0＜β＜4π,4π ＜α＜43π,且cos(4π-α)= 54,sin(43π+β)= 1312,求cos(α+β)的值.4.已知：tan(α+β)=2tan α,(α,α+β≠k π+2π(k ∈Z)),求证：3sin β=sin(2α+β).5.已知：tan α,tan β都是方程x 2+3x+2=0的两个根,求sin 2(α+β)+6sin(α+β)cos(α+β)+5cos 2(α+β)的值.【素质优化训练】1.求证：csc α+csc2α+……+csc2n-1α=cot2α-cot2nα.2.(1)已知sin α-cos β+sin γ=0,cos α+sin β-cos γ=0,求sin(α-β)的值. (2)已知sinx+siny=32,求cosx+cosy 的取值范围.3.若方程x 2+(2sin2θ)x+2cos θ=0(其中0＜θ＜π＝的两实根为α、β，数列1，α1+β1，(α1+β1)2，……的所有项的和为2-2，试求θ的值.【生活实际运用】某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1米，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示).解：连结OC.设∠BOC=θ,则θ∈(0°，45°) ∴S 长方ABCD =AB ·BC=(1·cos θ-1·sin θ)×(1·sin θ)=sin θcos θ-sin 2θ =21sin2θ-22cos 1θ-=21(sin2θ+cos2θ)- 21 =22sin(2θ+45°)- 21∵0°＜0＜45°⇒0°＜2θ＜90°⇒45°＜2θ+45°＜135°, ∴当2θ+45°=90°⇒θ=22.5°时，S 长方形ABCD 最大为212- (平方米) 所以割出的长方形桌面的最大面积为212-平方米.【知识验证实验】发电厂主控制室的工作人员，主要是根据仪表的数据变化加以操作控制的，若仪表高为m 米，底边距地面n 米，工作人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2米(n ＞1.2),如图所示，问工作人员坐在什么位置看得最清楚?解：欲使仪表盘看得最清楚，也就是人眼A 对盘面的视角φ达到最大. 设AD=x 米，CD=p 米，在Rt △ABD 中，tan α=AD BD =AD CD BC +=xpm +; 在Rt △ACD 中，tan β=AD CD =xp. 于是tan φ=tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-=xp m p x m )(++.上式中，分子为常数，tna φ的值取决于分母中两被加数x 及xp m p )(+的和，由于分母愈小，分数值愈大，故使分母达到最小值时，tan φ最大.因为x ·xp m p )(+ =p(m+p),(定值) 所以当x=x p m p )(+时，x+xp m p )(+ 达到最小值，即当x=)(p m p +时，分母达到最小值.另外，由于0°＜φ＜90°，故当tan φ最大时，φ亦达到最大.由于p=n-1.2,所以工作人员看得最清楚的位置应该为 x=)2.1)(2.1(-+-n m n (米).【知识探究学习】观察：①tan10°·tan20°+tan20°·tan60°+tan60°tan10°=1;②tan5°tan20°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么?并证明你的推广.推广：若α+β+γ=2π,则tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1 (试想一想，能否进一步推广)参考答案：【同步达纲练习】一、1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.A 13.B 14.D 15.C二、1. 4π 2. 23 3.- 257；-1 4. 2 5. 21 6.4三、1.- 7259 2.- 729229 3. 6533 4.略 5. 516【素质优化训练】1.提示cscx=cot2x -cotx ，令x=α,2α,……2n-1α，迭加即可. 2.(1)sin(α-β)=21 (2)cosx+cosy 的取值范围是［-324，324］3.θ=65π。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题之巴公井开创作知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin _αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tan φ＝ba一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立；②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立；③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ） A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则（ ） A ．6556 B ．－6556C ．5665 D ．－5665 6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ） A ．43 B ．83 C ．81D ．417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于（ ）A ．3πB ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是A ．412--a aB ．－412--a a C ．214aa --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不克不及确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ） A ．41B ．23C ．21D ．43 二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） 13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为.14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ=. 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是. 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++． 20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+求2cosC A -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32--16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左 =-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α，C=60°－α，22cos ,223cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A ．。
两角和差正弦余弦正切练习题标准题
3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式ππ11525π11π) ( 1．sincos －cossin的值是661212ππ22 D．C．－sin Asin．－B ．221212B答案：) ）等于( +sin（α－2β）+βsinβ=0，则sin（α+2β）2．若sin（α+β）cosβ－cos （α1D．±01 B．－1 C．A．C 答案：15π??????cos?sin题．）．的值（已知，是第二象限角，求第1??317??83?15答案：．3432?3?3????????????,???cos?2?,??cossin?，求，，第２题．已知，????2243????．）的值（5327?答案：．12）等于（第３题．化简29sin91sinsin119sin181?3311Ｄ．Ｃ．Ａ．Ｂ．??2222 答案：Ｂ）第４题．等于（cos15?tan1534Ｄ．Ｃ．4Ａ．2Ｂ．32?3 答案：Ｃ的结果是（第５题．化简）2cos8??21?sin82Ａ．Ｂ．4cos44?2sin2sin4Ｄ．Ｃ．442sin?2sin4cos4?答案：Ｄ2???π????2?2sin?cos?sin的结果为（）第６题．化简????2242????π?????Ｃ．2Ｄ．Ａ．Ｂ．?2sin?2sin?22sin?2??4??答案：Ｃ7）题．化简值等于（的第tan10·tan?20·tan10tantan60?tan60·201Ｄ．Ｃ．2 Ａ．Ｂ．tan10203tan答案：Ｄ????2222?的取是三角形的最小内角，且题．设，则第8a1?a cos??sin a?cossin a?2222 值范围是（）≤≤Ｄ．Ａ．Ｂ．Ｃ．1a??3??a1a??3a答案：Ｂ?tan32 的值．）=，求sin）6．已知sin（α+β=（α－β，?tan43．分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和答案：．本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化．或差）????costantansin 的值．sinβcosβ、cosα的值，需化切为弦，即，可再求sin欲求α?????sintantancos22 ①β+cosαsinβ=．α解：∵sin（+β）= ，∴sinαcos 3333 =．cosαsin （∵sinα－β）=β，∴sin αcos β－②44?tan（①－②）得②）÷由（①+=－17．?tan，．（第9题．若），则3)35，?(tan25?tan(1)?35，tan25·tan?·abb a答案：3π?????tan3tan?．10 的值（，求题．已知）第??4??2?．答案：12π??????cos??sin的值，是第三象限角，求第11题．已知．??613??12?53．答案：261?tan15．第12题．?tan1651?答案：3第13题．若（填“大于”、是锐角三角形的内角，则的值1．B，AB tan AABC tan“小于”、“等于”）．答案：大于1????的取值范围是题．若第14，则．sincos?sincos211??答案：，???22??3πππ????????????cos?sin?tan??sin，，，是第四象限角，已知第15题．求??????4445??????的值．3????sin是第四象限角，得答案：解：由，5243??2???1?1?sin?cos??，??55??3??3sin5???tan??所以．4?4cos5πππ?????sin??sinsincos?cos于是有??444??2423?????????2525??27?；10πππ?????sinsin???coscoscos ??444??2423?????????2525??27?；10π??tantan??1πtan??4????tan??π?tan1?4???tantan1?43??14??7?．3??1????4??2??的两个不等实根，求题．已知是一元二次方程16第0?3?m2?x2)?m(4?mx2tan，tan2??的值域．函数4?3m tan(?)?5m?)f(m32m?1?2m????解：由已知，有，，?tan·?tantan?tan mm2m?42??．???tan()31??又由，知，)∞，?m??，0(00????2??m42?22．3??(m??5m3?m·1)4?(?fm)31??当时在两个区间上都为单调递增，)∞0(0，?m??，)m(f??2??13??．故所求值域为)(4，?∞4，??4??，x cos x+2已知函数15．y=sin x+cos x+2sin ，求函数的最大值和最小值；）若x∈R（1π，，求函数的最大值和最小值．］（2）若x∈［02π+=sin（x（答案15．解：1）设t=sin x+cos x）∈［－］，，22242．x cos则tx=1+2sin2．－1∴2sin x cos x=t31322］3+）+∈［，t∴y=++t+1=（t24243 =∴y．=3+，y2minmax4π］．，则）若（2x∈［0，t∈［1，］2 2 ，3+∈［3，］y∴2=3+y=3即y．2minmax7．已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsin A－lgsin B－lgcos C=lg2．试判断此三角形的形状特征．答案．分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征．，=lg2C lgcos－B lgsin－A lgsin解：由于可得lgsin A=lg2+lgsin B+lgcos C，即lgsin A=lg2sin B cos C，sin A=2sin B cos C．根据内角和定理，A+B+C=π，∴A=π－（B+C）．∴sin（B+C）=2sin B cos C，即sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C．移项化为sin C cos B－sin B cos C=0，即sin（B－C）=0．∴在△ABC中，C=B．∴△ABC为等腰三角形．。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656．οοο75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3π B ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=010．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >o ，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12．οοοο50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+οο则)60tan(ο+θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知ο0βαβαcos ,cos ,90且ο<<<是方程02150sin 50sin 222=-+-οοx x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A 二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[- 三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222οοοοο±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====o o o o3275tan )2tan(+==-οαβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。
周练(七) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
周练(七) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：80分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°的值是( )． A.14 B.32 C.12D.34解析 sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°＝sin 20°cos 10°＋sin 10°cos 20°＝sin(10°＋20°)＝sin 30°＝12，故选C. 答案 C2．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )． A ．等腰三角形 B.直角三角形 C ．等腰直角三角形D.等边三角形解析 在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sinB.∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0.即sin(B －A )＝0. ∴A ＝B ，故选A . 答案 A3．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝( )． A ．sin(2α＋β) B.sin β C ．cos(2α＋β)D.cos β解析 原式＝cos [](α＋β)－α＝cos β，故选D. 答案 D4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，则1－sin 2α等于( )．A ．cos α－sin αB.|cos α|－|sin α|C ．－cos α－sin α D.－cos α＋sin α解析 原式＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝(sin α－cos α)2＝|sin α－cos α|，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴cos α>sin α，∴原式＝cos α－sin α. 答案 A5．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为( )． A.12 B.1 C.32D.2解析 (1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)① ∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1， ∴①式＝2，故选D. 答案 D6．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )．A.12 B.－12 C.22D.－22解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍去)．∴sin 2α＝12，故选A. 答案 A7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π的值是( )．A ．－235 B.235 C ．－45D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α ＝32cos α＋32sin α ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos α＋cos π6sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 C8．设sin x ＋sin y ＝22，则cos x ＋cos y 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，142 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－142，0 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－142，142 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，72 解析 设cos x ＋cos y ＝t ， 则由sin x ＋sin y ＝22，得 t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(cos x ＋cos y )2＋(sin x ＋sin y )2 ＝2＋2cos(x －y )，∴t 2＝32＋2cos(x －y )．又∵－1≤cos(x －y )≤1，∴－12≤t 2≤72， ∴0≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142. 答案 C二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________.解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3， ∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， ∴tan α＝1. 答案 110．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.答案 tan 2α11．已知sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3的值为________．解析 ∵sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－125＝－265，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－265×12＋15×32＝3－2610.答案3－261012．(2012·浏阳高一检测)若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为________． 解析 cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2·(cos α＋sin α)＝－22，所以sin α＋cos α＝12. 答案 12三、解答题(每小题10分，共40分)13．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15， ∴sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.14．(2012·天津高一检测)已知cos 2α＝13，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2α23sin α＋cos α的值．解 原式＝sin α－cos α3sin α＋cos α，又∵cos 2α＝13，∴2cos 2α－1＝13， ∴cos 2α＝23，∴3π2<2α<2π，∴3π4<α<π， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－63，sin α＝33，∴ 原式＝5＋427.15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，则sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.16．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x,1)，x ∈R ，且y＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2.(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合． 解 (1)f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin 2x )＋cos 2x ， 由于f (x )图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin π2＋cos π2＝2，∴m ＝1. (2)由(1)得f (x )＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝1－2，此时2x ＋π4＝32π＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝k π＋58π，k ∈Z .即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋58π，k ∈Z .。
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是 （ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）A ．3π B ．4π C ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题之阿布丰王创作知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin _αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tan φ＝ba一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立；②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立；③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ） A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则（ ） A ．6556 B ．－6556C ．5665 D ．－5665 6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ） A ．43 B ．83 C ．81D ．417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与 C．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于（ ）A ．3πB ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是A ．412--a aB ．－412--a a C ．214aa --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不克不及确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ） A ．41B ．23C ．21D ．43 二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） 13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为.14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=. 15．若),24cos()24sin(θθ-=+则)60tan( +θ=.16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是. 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++． 20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+求2cosCA -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32--16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左 =-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α，C=60°－α，22cos ,223cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题（含答案）两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式co()cocoinin恒成立；②存在实数α，β，使等式co()cocoinin能成立；)tanan成立的条件是k(kZ)且③公式tan(k(kZ)；1tantan22④不存在无穷多个α和β，使in()incocoin；其中假命题是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④2．函数y2in某(in某co某)的最大值是（A．12B．21C．2D．23．当某[2,2]时，函数f(某)in某3co某的（）A．最大值为1，最小值为－1B．最大值为1，最小值为12C．最大值为2，最小值为－2D．最大值为2，最小值为－14．已知tan()7,tantan23,则co()的值（）A．12B．2．222C2D．25．已知234,co()1213,in()35,则in2（）A．5665B．－5665C．656556D．－56 6．in15in30in75的值等于（）A．34B．38C．18D．147．函数f(某)tan(某4),g(某)1tan某1tan某,h(某)cot(4某)其中为相同函数的是（）A．f(某)与g(某)B．g(某)与h(某)C．h(某)与f(某)D．f(某)与g(某)及h(某)8．α、β、都是锐角，tan12,tan15,tan18,则等于（）1）A．3B．45C．65D．49．设tan和tan(4A．p+q+1=0)是方程某2p某q0的两个根，则p、q之间的关系是（）B．p－q+1=0C．p+q－1=0D．p－q－1=0（）10．已知coa,in4in(),则tan()的值是2A．1a2B．－1aa4a4C．a41a22D．1aa411．在△ABC中，C90，则tanAtanB与1的关系为A．tanAtanB1C．tanAtanB1B．tanAtanB1D．不能确定2（）12．in20co70in10in50的值是A．14（）34B．32C．1D．二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知in()in()m，则co2co2的值为.14．在△ABC中，tanAtanBtanC33，tan2BtanAtanC则∠B=.15．若in(24)co(24),则tan(60)=.16．若in某iny2,则co某coy 的取值范围是.2三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．化简求值：in(3某)co(3某)co(3某)in(3某)．436418．已知090,且co,co是方程某22in50某in250求tan(2)的值. 10的两根，2219．求证：tan(某y)tan(某y)20．已知α，β∈（0，π）且tan()21．证明：tan22．已知△ABC的三个内角满足：A+C=2B，AC112求co的值.2coAcoCcoBin2某．22co某iny11,tan，求2的值.273某2in某某tan.22co某co2某3两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C2．A3．D4．D5．B6．C7．C8．B9．B10．D11．B12．A二、13．m14．15．2316．[14,14]322三、17．原式=in(3某)co(3某)in(3某)co(3某)=4334264．18．某12in50(2in50)24(in250)2in(5045)，2某1in95co5,某2in5co85,tan(2)tan7523．in[(某y)(某y)]2222co(某y)co(某y)co某coyin某inyin2某in2某右．co2某(co2某in2某)in2yco2某in2y3tan(2)1,32.419．证：左in(某y)in(某y)20．tan1,in21．左=3某3某某coco某inin某2in某2222右．3某3某co某co2某co某coco某co222222．由题设B=60°，A+C=120°，设11coAcoAC知A=60°+α，C=60°－α，22故coAC2．22,即co223coC22co44。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题之巴公井开创作知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin _αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cosα)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tan φ＝ba一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立；②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立；③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ） A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ） A ．21B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556 C ．5665 D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43B ．83 C ．81 D ．417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于（ ）A ．3πB ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ） A ．412--a aB ．－412--a a C ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不克不及确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ） A ．41B ．23 C ．21D ．43 二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） 13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为.14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ=.16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是. 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值. 19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++． 20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值. 21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+求2cosC A -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32--16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左 =-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2C A -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A ．。
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α） ＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值． （3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。
6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。
7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。
两角和与差的正弦、余弦和正切专题及答案
两角和与差的正弦、余弦和正切专题一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22 2．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于 ( )．A.54 B ．－54 C.43 D ．－43 3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )．A.π4B.3π4C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )．A.23 B ．－23 C.13 D ．－135．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为 ( )． A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10 6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )． A ．－235 B.236 C ．－45 D.45二、填空题7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.8．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．10．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．13．函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．14．(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．两角和与差的正弦、余弦和正切专题及答案一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22 解析由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0.∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12.∴sin 2α＝12.答案A 2．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于 ( )．A.54 B ．－54 C.43 D ．－43 解析 1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 答案 D3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4 B.3π4 C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.答案 A4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin 2θ＝－23. 答案 B5．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为 ( )．A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10 解析 tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 答案 C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )． A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 C 二、填空题7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223.故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26. 答案4＋268．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案172509．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－2. 答案 1－ 210．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.解析 由题意知tan A ＋tan B ＝－3a <－6，tan A ·tan B ＝3a ＋1>7，∴tan A <0，tan B <0， tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－(3a ＋1)＝1.∵A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴A ＋B ∈(－π，0)，∴A ＋B ＝－3π4. 答案 －3π4三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525. 13．函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域； (2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4， 所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835， 由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.14．(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解(1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－ α＋β ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋ －β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13， ∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式训练题
两角和与差的正弦、余弦和正切公式训练题一、题点全面练11．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝()38A.97C ．－97B.98D ．－91⎛1⎫272解析：选B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin α＝1－2× ⎪＝.故选B.3⎝3⎭911⎛tan α⎫2＝()2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log ⎪5⎝tan β⎭23A ．5C ．3B ．4D ．211解析：选B ∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，2311∴sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，2351tan α∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，∴＝5，1212tan β∴log⎛tan α⎫2＝log 52＝4. ⎪5⎝tan β⎭53．下列式子的运算结果为3的是()①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°；1－tan 15°πtan6π1－tan 62④.A ．①②④C ．①②③B ．③④D ．②③④解析：选C 对于①，tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝3；对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝3；1＋tan 15°tan 45°＋tan 15°对于③，＝＝tan 60°＝3；1－tan 15°1－tan 45°tan 15°π2tan611π3对于④，＝×＝×tan ＝.22322π2π1－tan 1－tan 66综上，式子的运算结果为3的是①②③.故选C.π⎫2⎛π⎫⎛4．(2018·福州模拟)已知α∈ 0，⎪，cos α＋⎪＝－，则cos α＝()2⎭3⎭3⎝⎝A.C.5＋235－23B.D.15－2615＋26πtan6π⎛π5π⎫⎛π⎫解析：选B 因为α∈ 0，⎪，所以α＋∈ ，⎪，2⎭6⎭3⎝3⎝π⎫⎛所以sin α＋⎪＝3⎭⎝π⎫2⎛1－cos α＋⎪＝3⎭⎝451－＝，93π⎫π⎤π⎫π⎫ππ21⎡⎛⎛⎛α＋－⎥＝cos α＋⎪cos ＋sin α＋⎪sin ＝－×＋所以cos α＝cos ⎢ ⎪3⎭3⎦3⎭3⎭3332⎝⎝⎣⎝5315－2×＝.326π⎫22⎛5．已知sin 2θ＝，则tan θ－⎪＝()4⎭3⎝1A.5C ．55B.6D ．6π⎫π⎫⎤2π⎫2⎛⎡⎛2⎛解析：选A ∵sin 2θ＝cos 2θ－⎪＝cos ⎢2 θ－⎪⎥＝，∴2cos θ－⎪－1＝，2⎭4⎭⎦34⎭3⎝⎣⎝⎝π⎫52⎛即cos θ－⎪＝，4⎭6⎝π⎫12⎛sin θ－⎪＝，4⎭6⎝π⎫2⎛sin θ－⎪4⎭1π⎫⎝2⎛∴tan θ－⎪＝＝.4⎭π⎫5⎝2⎛cos θ－⎪4⎭⎝6.3cos 15°－4sin 15°cos 15°＝________.2解析：3cos 15°－4sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°·cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2.答案：27．sin 10°sin 50°sin 70°＝________.解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°1sin 80°sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°81＝＝＝.cos 10°cos 10°81答案：83⎛π⎫8．已知sin β＝，β∈ ，π⎪，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝5⎝2⎭__________.34⎛π⎫解析：因为sin β＝，β∈ ，π⎪，所以cos β＝－.55⎝2⎭由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin 43β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，5524得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.55答案：－29．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它4⎫⎛3的终边过点P －，－⎪.5⎭⎝5(1)求sin(α＋π)的值；5(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．134⎫⎛3解：(1)由角α的终边过点P －，－⎪，5⎭⎝54得sin α＝－.54所以sin(α＋π)＝－sin α＝.54⎫3⎛3(2)由角α的终边过点P －，－⎪，得cos α＝－.5⎭5⎝5512由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.13132由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，5616所以cos β＝－或cos β＝.65654510．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.35(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．4sin α解：(1)因为tan α＝，tan α＝，3cos α4所以sin α＝cos α .3因为sin α＋cos α＝1，9722所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos α－1＝－.2525(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β )＝－5，5222所以sin(α＋β )＝1－cos 所以tan(α＋β )＝－2.4因为tan α＝，3α＋β＝25，52tan α24所以 tan 2α＝＝－.21－tan α7所以tan(α－β )＝tan[2α－(α＋β) ]＝tan 2α－1＋tan 2αα＋β2＝－.α＋β11二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分cos θπ1．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|＜，则sin 2θ＝()sin θ2A.C.829429B.D.223229cos θcos θ解析：选C 因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.sin θsin θπ122又|θ|＜，故sin θ＝，cos θ＝，23312242所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C.339πtan αcos β2．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x ＝()2x ＋sin βA ．1C.3B ．2D.2ππ解析：选A ∵2α－β＝，∴β＝2α－，22π⎫⎛tan αcos 2α－⎪2⎭tan αsin 2α⎝∴＝1，即＝1，π⎫x －cos 2α⎛x ＋sin 2α－⎪2⎭⎝∴x ＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin α＝1，故选A.π⎫π⎫⎛⎛3．若α为第一象限角，且sin 2α＝sin α－⎪cos(π＋α)，则2cos 2α－⎪的2⎭4⎭⎝⎝值为()7A ．－51C.37B.57D ．－32π⎫⎛解析：选B 由sin 2α＝sin α－⎪cos(π＋α)，2⎭⎝得2sin αcos α＝cos α.1∵α为第一象限角，∴cos α≠0，∴tan α＝，2π⎫ππ⎫⎛⎛∴2cos 2α－⎪＝2 cos 2αcos ＋sin 2αsin ⎪4⎭44⎭⎝⎝＝cos 2α＋sin 2α＝cos α－sin α＋2sin αcos α1－tan α＋2tan α＝21＋tan α111－＋2×427＝＝.故选B.151＋44．已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝__________.解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得，2222m ＝＝2cos 140°－sin 10°－2cos 40°－sin 10°＝cos 10°cos 10°－2cos 30°＋10°－sin 10°－3cos 10°＝＝－ 3.cos 10°cos 10°答案：－3(二)素养专练——学会更学通5．[逻辑推理]设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，π又α，β∈[0，π]，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝，20≤α≤π，⎧⎪∴⎨π0≤β＝α－≤π，⎪2⎩π即≤α≤π，2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)π⎫⎛＝sin 2α－α＋⎪＋sin(α－2α＋π)2⎭⎝π⎫⎛＝cos α＋sin α＝2sin α＋⎪.4⎭⎝π3ππ5π∵≤α≤π，∴≤α＋≤，2444π⎫⎛∴－1≤2sin α＋⎪≤1，4⎭⎝即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]1⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫6．[数学运算]已知cos ＋α⎪cos －α⎪＝－，α∈ ，⎪.4⎝6⎭⎝3⎭⎝32⎭(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－解：(1)cos 1的值．tan α⎛π＋α⎫cos ⎛π－α⎫＝cos ⎛π＋α⎫sin ⎛π＋α⎫＝1sin ⎛2α＋π⎫＝－1，⎪ 3⎪ 6⎪ 6⎪2 3⎪4⎝6⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π⎫1⎛即sin 2α＋⎪＝－.3⎭2⎝∵α∈ ⎛π，π⎫，∴2α＋π∈⎛π，4π⎫，⎪ 3⎪3⎝⎝32⎭⎭π⎫3⎛∴cos 2α＋⎪＝－，3⎭2⎝π⎫π⎤⎡⎛∴ sin 2α＝sin ⎢ 2α＋⎪－⎥3⎭3⎦⎣⎝π⎫ππ⎫π⎛⎛＝sin 2α＋⎪cos －cos 2α＋⎪sin3⎭3⎭33⎝⎝11⎛313⎫＝－×－ －⎪×＝.22⎝2⎭22⎛ππ⎫⎛2π⎫(2)∵α∈ ，⎪，∴2α∈ ，π⎪，⎝32⎭⎝3⎭1又由(1)知sin 2α＝，2∴cos 2α＝－∴tan α－23.21sin αcos α＝－tan αcos αsin α2sin α－cos α－2cos 2α＝＝sin αcos αsin 2α3－2＝－2×＝2 3.127．[数学建模、数学运算]如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意，OA ＝OM ＝1，因为S △OAM ＝52，点B 的纵坐标是.5105255和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.5552272，所以sin β＝，cos β＝－，1010105⎛72⎫25210× －＋×＝－.⎪5⎝10⎭51010又点B 的纵坐标是所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(2)因为cos 2α＝2cos α－1＝2× 23⎛5⎫2⎪－1＝－5，⎝5⎭2554⎛π⎫sin 2α＝2sinαcosα＝2××＝，所以2α∈ ，π⎪.555⎝2⎭⎛π⎫⎛ππ⎫因为β∈ ，π⎪，所以2α－β∈ －，⎪.⎝2⎭⎝22⎭因为sin(2α－β)＝sin 2αcosβ－cos 2αsinβ＝－π所以2α－β＝－.42，2。