2013江苏高考数学填空题 “提升练习”(10)

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江苏省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(10) 圆锥曲线

．
点 P 是椭圆上的任意一点, 则答案： [0, 2 2 2]
| PF1 PF2 | 的取值范围是 PF1
▲
6 、（苏州市 2013 届高三期末）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
E:
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左顶点为 A ，过双曲线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线 a 2 b2
从
而
x1 y2 x2 y1 2 y1 y 2
.
从
而
4 y1 4 y2 x y x2 y1 5 y1 y2 7 y1 y2 7k1 y3 y4 x1 5 x2 5 4k k2 1 2 .故 k1 2 0 ，从 x3 x4 5 x1 9 5 x2 9 4 x1 x2 4 x1 x2 4 7 x1 5 x2 5
4 而存在满足条件的常数， l . 7
x2 y 2 2、（连云港市 2013 届高三期末）已知椭圆 C： 2 2 1 (a>b>0)的上顶点为 A，左， a b 4 b 右焦点分别为 F1， F2,且椭圆 C 过点 P( ， )，以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 3 3 (1)求椭圆 C 的方程；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x12 y12 x2 y 2 1 ①， 2 2 1 ②． 3 2 3 2
( x2 x1 )( x2 x1 ) ( y2 y1 )( y2 y1 ) 0． 3 2
y2 y1 2( x2 x1 ) 4x P 2 ． x2 x1 3( y2 y1 ) 6 yP 3
x2
2
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) ， a 2 b2

da2013年高考数学试卷答案江苏

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）答案一、填空题1、π2、53、34y x =±4、85、46、27、2063 8、1249、1[2,]2-10、1211、(5,0)(5,)-⋃+∞12 13、1,3- 14、12二、解答题15、（1）略（2）5,66ππαβ==16、证：（1）SA BA =，AF SB ⊥，SF BF ∴=，由题SE EA =，//EF AB ∴，EF ⊄平面ABCAB ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ，同理//EG 平面ABC ，EF 与EG 为平面EFG 内的两条相交直线，∴平面//EFG 平面ABC ，（2）平面⊥SAB 平面SBC 于SB ，AF ⊂平面SAB ，AF ∴⊥平面SBC ，AF BC ∴⊥，又BC AB ⊥且AB 与AF 为平面SAB 内的两条相交直线，BC SA ∴⊥。

17、解：（1）由题设点(,24)C a a -，又C 也在直线1-=x y 上，241,3a a a ∴-=-∴= 22:(3)(2)1C x y ∴-+-=，由题，过A 点切线方程可设为3y kx =+，即30kx y -+=，1=，解得：30,4k =-，∴所求切线为3y =或334y x =-+（2）设点(,24)C a a -，00(,)M x y ，2MA MO =，)3,0(A ，(0,0)O ，22220000(3)4()x y x y ∴+-=+，即2200032x y y +=-，又点M 在圆C 上，2200()(24)1x a y a ∴-+-+=，两式相减得2005(23)(89)02a ax a y a +---+=，由题以上两式有公共点，21≤整理得：25|63|2a a -+≤，即222(5126)4(5129)a a a a -+≤-+，令25126t a a =-+，则24(3)t t ≤+，解得：26t -≤≤，2251266a a ∴-≤-+≤，解得：1205a ≤≤． 18、解：（1）在ABC ∆中，1312cos =A ，53cos =C ，5sin 13A ∴=，4sin 5C =， 63sin sin()sin cos cos sin 65B A C A C A C ∴=+=+=，sin sin AB ACC B=，5651260463AB ⨯∴=， 1040AB ∴=．答:索道AB 的长为1040m ．（2）设乙出发min t 到点P ，则甲出发(2)min t +到点Q ，130AP t =，50(2)AQ t =+，在APQ ∆中，222222122cos (130)50(2)213050(2)13PQ AP AQ APAQ A t t t t =+-=++-⨯⨯+⨯， 2222222100[(13)5(2)120(2)]100[16925(2)120(2)]PQ t t t t t t t t ∴=++-+=++-+ 22100(74140100)PQ t t ∴=-+，当且仅当35min 37t =时，PQ 最小．答：乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．（3）甲走完长为m 1260的山路AC ，共需126025.250=分钟，设乙总用时为min t ，乙步行的速度为/min vm ，则22.228.2t ≤≤，由题104021130BCt v=+++，在ABC ∆中，由正弦定理求得500BC =，50011[22.2,28.2]t v ∴=+∈，500[11.2,17.2]v ∴∈，11[,]50017.211.2v ∴∈，500500[,]17.211.2v ∴∈，500500[,]17.211.2v ∴∈，50005000[,]172112v ∴∈，50005000[,]172112v ∴∈，39[29,44]4314v ∴∈答：为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制329/min43m 到944/min 14m 内．19、证明：（1）若0=c ，则n n S b n =，*N n ∈，又由题(1)2n n n dS na -=+，12n n S n b a d n -∴==+，112n n b b d +∴-=，{}n b ∴是等差数列，首项为a ，公差为2d，)0(≠d ，又421b b b ，，成等比数列， 2214b b b ∴=，23()()22d da a a ∴+=+，23()42d d ad a ∴+=，0d ≠，2d a ∴=，2n S n a ∴=，222222(),nk k S nk a n k a n S n k a ∴===，2nk k S n S ∴=（*,N n k ∈）．（2）由题c n nS b n n +=2，*N n ∈，22[2(1)]2()n n a n d b n c +-=+，若}{n b 是等差数列，则可设n b x yn =+，,x y 是常数，22[2(1)]2()n a n d x yn n c +-=++关于*N n ∈恒成立．整理得：32(2)(22)220d y n a d x n cyn cx -+----=关于*N n ∈恒成立．20,220,20,20d y a d x cy cx ∴-=--===，20,22,0,0d y a x d cy cx ∴=≠-===0c ∴=。

2013年普通高等学校招生统一考试数学试题、参考答案(江苏)

数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2, ,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1x i -x ()-2,其中x -=1n ∑n i =1x i .棱锥的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.(第5题)一㊁填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答㊃题卡相应位置上∙∙∙∙∙∙∙.1.函数y =3sin(2x +π4)的最小正周期为　▲　.2.设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为　▲　.3.双曲线x 216-y 29=1的两条渐近线的方程为　▲　.4.集合{-1,0,1}共有　▲　个子集.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是　▲　.6.抽样统计甲㊁乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　▲　.7.现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为　▲　. (第8题)8.如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点.设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=　▲　.9.抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是　▲　.10.设D ,E 分别是ΔABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC.若→DE =λ1→AB +λ2→AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　▲　.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为　▲　.12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若d 2=6d 1,则椭圆C 的离心率为　▲　.13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数y =1x (x >0)图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为　▲　.14.在正项等比数列{a n }中,a 5=12,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+ +a n >a 1a 2 a n 的最大正整数n 的值为　▲　.二㊁解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若a -b =2,求证:a ⊥b;(第16题)(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥S -ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB ⊥BC ,AS =AB.过A 作AF ⊥SB ,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC ;(2)BC ⊥SA.17.(本小题满分14分)(第17题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C.现有甲㊁乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m/min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min (第18题)后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC 长为1260m,经测量,cos A =1213,cos C =35.(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项的和.记b n =nS n n 2+c ,n ∈N *,其中c 为实数.(1)若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *);(2)若{b n }是等差数列,证明:c =0.20.(本小题满分16分)设函数f (x )=ln x -ax ,g (x )=e x -ax ,其中a 为实数.(1)若f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,且g (x )在(1,+¥)上有最小值,求a 的取值范围;(2)若g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅰ试题参考答案一㊁填空题:本题考查基础知识㊁基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.1.π 2.5 3.y =±34x 4.8 5.3 6.2 7.2063 8.1∶24 9.[-2,12]10.12 11.(-5,0)∪(5,+¥) 12.33 13.-1,10 14.12二㊁解答题15.本小题主要考查平面向量的加法㊁减法㊁数量积㊁三角函数的基本关系式㊁诱导公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.解:(1)由题意得a -b 2=2,即(a -b )2=a 2-2a ㊃b +b 2=2.又因为a 2=b 2=a 2=b 2=1,所以2-2a ㊃b =2,即a ㊃b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cos α+cos β=0,sin α+sin β=1{,由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.16.本小题主要考查直线与直线㊁直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.(第16题)证明:(1)因为AS =AB ,AF ⊥SB ,垂足为F ,所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点,所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG =E ,所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ,且交线为SB ,又AF ⊂平面SAB ,AF ⊥SB ,所以AF ⊥平面SBC ,因为BC ⊂平面SBC ,所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ,AF ∩AB =A ,AF ,AB ⊂平面SAB ,所以BC ⊥平面SAB.因为SA ⊂平面SAB ,所以BC ⊥SA.17.本小题主要考查直线与圆的方程,考查直线与直线㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合㊁待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.满分14分.(第17题)解:(1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在.设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3,由题意,3k +1k 2+1=1,解得k =0或-34,故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为(x -a )2+[y -2(a -2)]2=1.设点M (x ,y ),因为MA =2MO ,所以x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则2-1≤CD ≤2+1,即1≤a 2+(2a -3)2≤3.由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ;由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为0,12éëêêùûúú5.18.本小题主要考查正余弦定理㊁二次函数的最值以及三角函数的基本关系㊁两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.满分16分.解:(1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,所以(第18题)sin A =513,sin C =45.从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365.由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得AB =AC sin B ×sin C =12606365×45=1040(m).所以索道AB 的长为1040m .(2)假设乙出发t 分钟后,甲㊁乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m,乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50),因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,故当t =3537(min)时,甲㊁乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BC sin A =AC sin B ,得BC =AC sin B ×sin A =12606365×513=500(m).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达C.设乙步行的速度为v m /min,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得125043≤v ≤62514,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在125043,625éëêêùûúú14(单位:m /min)范围内.19.本小题主要考查等差㊁等比数列的定义㊁通项㊁求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分.解:由题设,S n =na +n (n -1)2 d.(1)由c =0,得b n =S n n =a +n -12d.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以b 22=b 1b 4,即(a +d 2)2=a (a +32d ),化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a.因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a.从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .(2)设数列b {}n 的公差是d 1,则b n =b 1+(n -1)d 1,即nS n n 2+c =b 1+(n -1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有(d 1-12d )n 3+(b 1-d 1-a +12d )n 2+cd 1n =c (d 1-b 1).令A =d 1-12d ,B =b 1-d 1-a +12d ,D =c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n =D. (*)在(*)式中分别取n =1,2,3,4,得A +B +cd 1=8A +4B +2cd 1=27A +9B +3cd 1=64A +16B +4cd 1,从而有7A +3B +cd 1=0,　①19A +5B +cd 1=0,②21A +5B +cd 1=0,{③由②,③得A =0,cd 1=-5B ,代入方程①,得B =0,从而cd 1=0.即d 1-12d =0,b 1-d 1-a +12d =0,cd 1=0.若d 1=0,则由d 1-12d =0,得d =0,与题设矛盾,所以d 1≠0.又因为cd 1=0,所以c =0.20.本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数㊁方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分16分.解:(1)令f ′(x )=1x -a =1-ax x <0,考虑到f (x )的定义域为(0,+¥),故a >0,进而解得x >a -1,即f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数.同理,f (x )在(0,a -1)上是单调增函数.由于f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,故(1,+¥)⊆(a -1,+¥),从而a -1≤1,即a ≥1.令g′(x )=e x -a =0,得x =ln a.当x <ln a 时,g′(x )<0;当x >ln a 时,g′(x )>0.又g (x )在(1,+¥)上有最小值,所以ln a >1,即a >e .综上,有a ∈(e,+¥).(2)当a ≤0时,g (x )必为单调增函数;当a >0时,令g′(x )=e x -a >0,解得a <e x ,即x >ln a ,因为g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,类似(1)有ln a ≤-1,即0<a ≤e -1.结合上述两种情况,有a ≤e -1.(ⅰ)当a =0时,由f (1)=0以及f ′(x )=1x >0,得f (x )存在唯一的零点;(ⅱ)当a <0时,由于f e ()a =a -a e a =a (1-e a )<0,f ()1=-a >0,且函数f (x )在e a ,[]1上的图象不间断,所以f (x )在(e a ,1)上存在零点.另外,当x >0时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,+¥)上是单调增函数,所以f (x )只有一个零点.(ⅲ)当0<a ≤e -1时,令f ′(x )=1x -a =0,解得x =a -1.当0<x <a -1时,f ′(x )>0,当x >a -1时,f ′(x )<0,所以,x =a -1是f (x )的最大值点,且最大值为f a ()-1=-ln a -1.①当-ln a -1=0,即a =e -1时,f (x )有一个零点x =e .②当-ln a -1>0,即0<a <e -1时,f (x )有两个零点.实际上,对于0<a <e -1,由于f e ()-1=-1-a e -1<0,f a ()-1>0,且函数f (x )在[e -1,a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当x ∈(0,a -1)时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,a -1)上是单调增函数,所以f (x )在(0,a -1)上只有一个零点.下面考虑f (x )在(a -1,+¥)上的情况.先证f (e a -1)=a (a -2-e a -1)<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x -x 2,则h′(x )=e x -2x ,再设l (x )=h′(x )=e x -2x ,则l′(x )=e x -2.当x >1时,l′(x )=e x -2>e-2>0,所以l (x )=h′(x )在(1,+¥)上是单调增函数.故当x >2时,h′(x )=e x -2x >h′(2)=e 2-4>0,从而h (x )在(2,+¥)上是单调增函数,进而当x >e 时,h (x )=e x -x 2>h (e)=e e -e 2>0.即当x >e 时,e x >x 2.当0<a <e -1,即a -1>e 时,f (e a -1)=a -1-a e a -1=a (a -2-e a -1)<0,又f (a -1)>0,且函数f (x )在[a -1,e a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(a -1,e a -1)上存在零点.又当x >a -1时,f ′(x )=1x -a <0,故f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+¥)上只有一个零点.综合(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1,当0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A ㊁B ㊁C ㊁D 四小题,请㊃选定其中两小题∙∙∙∙∙∙∙,并㊃在相应的答题区域内作答∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.(第21-A 题)A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC.求证:AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A =-10éëêùûú02,B =12éëêùûú06,求矩阵A -1B.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),曲线C 的参数方程为x =2tan 2θ,y =2tan {θ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b >0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.【必做题】第22题㊁第23题,每题10分,共计20分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应(第22题)写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, ,(-1)k -1k , ,(-1)k -1ìîíïïïïïïïïk k 个, ,即当(k -1)k 2<n ≤k (k +1)2(k ∈N *)时,a n =(-1)k -1k.记S n =a 1+a 2+ +a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n S n 是a n 的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数;(2)求集合P 2000中元素的个数.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题主要考查圆的切线性质㊁相似三角形判定与性质,考查推理论证能力.满分10分.证明:连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C,(第21-A 题)所以∠ADO =∠ACB =90°.又因为∠A =∠A ,所以Rt ΔADO ∽Rt ΔACB.所以BC OD =AC AD .又BC =2OC =2OD ,故AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题主要考查逆矩阵㊁矩阵的乘法,考查运算求解能力.满分10分.解:设矩阵A 的逆矩阵为a b éëêùûúc d ,则-10éëêùûúa b éëêùûúc d =10éëêùûú,即-a -b éëêùûúd =10éëêùûú,故a =-1,b =0,c =0,d =12,从而A 的逆矩阵为A -1=-100éëêêêùûúúú12,所以A -1B =-100éëêêêùûúúú1212éëêùûú06=-1-2éëêùûú03.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查转化问题的能力.满分10分.解:因为直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l 的普通方程为2x -y -2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x.联立方程组y =2(x -1),y 2=2x {,解得公共点的坐标为(2,2),(12,-1).D.[选修4-5:不等式选讲]本小题主要考查利用比较法证明不等式,考查推理论证能力.满分10分.证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b )=2a (a 2-b 2)+b (a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a +b )=(a -b )(a +b )(2a +b ).因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,a +b >0,2a +b >0,从而(a -b )(a +b )(2a +b )≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.22.【必做题】本小题主要考查异面直线㊁二面角㊁空间向量等基础知识以及基本运算,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.(第22题)解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以A 1→B =(2,0,-4),C 1→D =(1,-1,-4).因为cos〈A 1→B ,C 1→D 〉=A 1→B ㊃C 1→D A 1→B C 1→D =1820×18=31010,所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为→AD =(1,1,0),AC →1=(0,2,4),所以n 1㊃→AD =0,n 1㊃AC →1=0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由cos θ=n 1㊃n 2n 1n 2=29×1=23,得sin θ=53.因此,平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.23.【必做题】本小题主要考查集合㊁数列的概念和运算㊁计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.解:(1)由数列a {}n 的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i +1)=-i (2i +1)(i ∈N *).事实上,①当i =1时,S i (2i +1)=S 3=-3,-i (2i +1)=-3,故原等式成立;。

2013年江苏省高考数学试卷附送答案

2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype 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n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为3故答案为：36．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差=4．=2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n ≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y 的取值范围是[﹣2，] ．【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求．【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1．令z=x+2y，则．画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2．过点（）时，．故答案为．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f （x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF 的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．【分析】根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率．【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案为：．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．【分析】设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n ＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣co sβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB ⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0．【解答】证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，．当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：，，．故：（k，n∈N*）．（2）==．①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0．经检验，当c=0时{b n}是等差数列．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．故a的取值范围为：a＞e．（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜．结合上述两种情况，有．①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点．另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点．③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=．当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1．（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点．另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点．下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0．为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2．设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2．当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点．又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点．综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2．<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t"o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke 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type="square"></w:wrap></v:shape>[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．<o:p></o:p>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．【解答】证明：连接OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD．所以AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可．【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k ∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．【分析】（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明S i=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j．又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．。

2013年(江苏卷)高考数学

函数的最小正周期是复数满足(为虚数单位则复数的模为双曲线的渐近线方程为某种病毒为.其中正整数可以任意则都取到奇数的概率8.在三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E.F分别为AB.AC.A A1的中点.则=_________9.在平面直角坐标系中.抛物线方程为.在处作曲线的切线与坐标轴围成一个三角形区域(包括边界)D.点P(x.y)为区域D上的任意一点.则的范围为______10.在三角形ABC中.D.E分别为边AB.BC上的点.且.都为实数).则的值为________11.函数为定义在R上的奇函数.当时..则的解集用区间表示为_________12.在平面直角坐标系中.F为椭圆的右焦点.B为短轴的一个顶点.为椭圆的右准线.原点O到直线BF的距离为.F到的距离为.且.则椭圆的离心率为_________·13.设定点.P是为曲线上一个动点.若点P.A之间的最短距离为.则满足条件的的所有值为__________14.已知数列是正项等比数列..则满足的最大正整数的值为__________二.解答题15.已知向量.且满足(1)若.求证：；(2)已知.若.求16.在三棱锥S-ABC中.平面SAB⊥平面ABC.AS=AB.AB⊥BC,D.E分别为SC.SA的中点.过A作AF⊥SB于F·(1)求证：平面EFD∥平面ABC(2)BC⊥SA17.在平面直角坐标系中.已知点A(0.3).直线：.圆C的圆心在直线上.且半径为1·(1)若C在直线上.过A作C的切线.求切线方程·(2)若C上存在点M使MA=2MO.求C的横坐标的取值范围·18.甲乙两人从点A处下山.有两种走法.一点是从点A出发.步行直接回到点C处.另一种方法是由A 坐缆车到B.然后步行到C·现在甲以50m/min的速度沿AC步行.出发2分钟后乙从A坐缆车到B.停留1min后步行到C.已知缆车的速度是130m/min.AC=1260m.经测定·(1)求AB的长；(2)乙出发多少分钟后.在缆车上与甲的距离最短？(3)为使甲乙两人在C处相互等待不超过3min.乙步行的速度应控制在什么范围内？19.已知为首项是.公差为d的等差数列(d≠0).表示数列的前n项和..c为实数·(1)若C=0.且成等比数列.证明：；(2)若成等差数列.证明：C=0·20.已知函数(1)若在区间上单调递减.在上有最小值.求·(2) 在区间单调递增.试求的零点.并证明你的结论·23.设数列.1.-2.-2.3.3.3.-4.-4.-4.-4.………..即当时·记对于.定义集合为的整数倍且}(1)求中元素个数；(2)求集合中元素个数·。

2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

普通高等学校统一考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为．【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为．【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是．【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为．【答案】12xAB C1ADE F1B1C【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+= AC AB AC AB 213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

江苏高考数学填空题“提升练习(前10卷)”

江苏高考数学填空题“提升练习(前10卷)”20XX年江苏高考数学填空题“提升练习”和“培优练习”（提升练习---共50卷）制作：小雨（lixiaofenga）20XX年10月15日20XX年江苏高考数学填空题“提升练习”（1）1．若sin,sin , , 都为锐角,则=__________．5102．已知a、b、c都是单位向量，且a b c，则a c的值为__________．f2(x)3．若一次函数f(x)满足f[f(x)] x 1，则g(x) (x 0)的值域为__________．xx2 4x 6x ,0f(x) 4．设若存在互异的三个实数x1,x2,x3,使2x 4 x 0f(x1) f(x2) f(x3)，则x1 x2 x3的取值范围是__________．5．已知ABC是边长为4的正三角形，D、P是ABC内部两点，且满足1 1AD (AB AC),AP AD BC，则APD的面积为__________．48*****C1) BC 0且，6、在△ABC中，已知向量AB与AC满足(|AB||AC||AB||AC|4若△ABC的面积是BC边的长是．7、已知关于x的方程x ax 1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是__________．8、抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数f(x) sin有5个零点”的概率是__________．9、对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：aπx，则“ y f(x)在[0，4]上至少3①若f(x)是奇函数，则f(x 1)的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f(x 1)的图象关于直线x 1对称，则f(x)为偶函数；③若对x R，有f(x 1) f(x),则f(x)的周期为2；④函数y f(x 1)与y f(1 x)的图象关于直线x 0对称. 其中正确命题的序号是__________．10.设a R，函数f(x) ex a e x的导函数y f'(x)是奇函数，若曲线y f(x)的一条切线斜率为3，则切点的横坐标为__________．211．已知函数f(x) sin2x 2cos2x 1，将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y g(x)的图象，则函数4y g(x)的解析式为__________．12.已知实数x,y满足xy1，则z 2x y的最小值是__________．5313.数列an 满足下列条件：a1 1，且对于任意的正整数n，恒有a2n nan，则a2100的值为__________．x2y214．以原点为圆心且过2 1(a 0,b 0)左右焦点的圆，被双曲线的两条渐近线分ab成面积相等的四个部分，则双曲线的离心率为__________．简明参考答案（1）：【淮阴中学期初考试】1、3 1；2、；3、[2, )；4、(3,4)；5、424【华冲中学学情分析】6、7、a≥1；8、2；9、答案：① ② ③ 3【东海中学第一次学情调研】10、ln2；11、y3x )；12、10；13、*****；14420XX年江苏高考数学填空题“提升练习”（2）x21．设平面区域D是由双曲线y 1的两条渐近线和抛物线y2 8x的准线所围成的42三角形（含边界与内部）．若点(x,y) D，则目标函数z x y的最大值为__________．2．圆心在y轴上，且与直线y x相切于点(1,1)的圆的方程为__________．3．对一切实数x，不等式x a|x| 1 0恒成立，则实数a的取值范围是__________．4．已知圆O：x y 9，过圆外一点P作圆的切线PA,PB（A,B 为切点），当点P在直线2x y 10 0上运动时，则四边形PAOB的面积的最小值为__________．5．已知x是实数且x 2,3．若S 2 2211,}，那么Smax=______，此时|x 2||x 3|x=_____.6．在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则MA MB MC 0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果aMA bM，则内角A的大小为__________．cM 0C12 48 16 32（第12题）7．将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如右表，其中第i行第j个数表示为aij(i,j N*)，例如a32 16．若aij 220XX 年，则i j __________．8．记数列{an}的前n项和为Sn，若{的值为__________．9．已知函数f(x) |1 为__________．Sn}是公差为d的等差数列，则{an}为等差数列时dan1|,若0 a b，且f(a) f(b)，则2a b的最小值x110．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则| a1|＋| a2|＋…＋| a6|＝211．已知a，b均为单位向量．若Oa＋2bO＝7，则向量a，b的夹角等于12．如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是▲ ．13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．过点F（第12题图）作倾斜角为60 的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作l的垂线，垂足为A1，则△AA1F的面积是1114．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝kx＋1与曲线y ＝Ox＋x－O有四个公xx共点，则实数k的取值范围是▲ ．简明参考答案（2）：【赣马中学期初摸底】1x21、双曲线y 1的两条渐近线为y x，242抛物线y 8x的准线为x 2，当直线y x z过点A(1,2)时，zmax 3， .2、设圆的方程为x (y b) r，则圆心为(0,b),2222b 11 b2 22依题意有0 1，得2，所以圆的方程为x (y 2) 2。

2013江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)

2013江苏一、填空题1．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为．【解】利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π．2．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为．【解】z ＝3－4i ，|z |＝53．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为．【解】y ＝±34x4．集合{－1，0，1}共有个子集．【解】23＝8(个)5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲【解】经过了两次循环，n 值变为36．抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ ．【解】易知均值都是90，乙方差较小，2222222111()[(8990)(9090)(9190)(8890)(9290)]25n i i s x x n ==-=-+-+-+-+-=∑7．现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ ．【解】m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，故总共有7×9＝63种可能，符合题意的m 可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n 可以取1，3，5，7，9共5个，故总共有4×5＝20种可能符合题意，故符合题意的概率为2063． 8．如图，在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝．【解】设三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ ．【解】易知切线方程为：y ＝2x －1，故与两坐标轴围成的三角形区域三个点为(0,0)A ，(0.5,0)B ，(0,1)C -，易知过C 点时有最小值－2，过B 点时有最大值0．510．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．【解】DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12． 11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ▲ ．【解】由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎨⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎨⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ ．【解】由题意知2212,bc a b d d c a c c ==-=，故有2b c =，两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=，两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即e =ABC1ADE F1B1C13．平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ ．【解】由题意设0001(,)(0)P x x x >，则有22220002000111()()2(+)PA x a a x a x x x x =-+-=+-+2220000112(+)2(+)22a x a x a x x =-+-，令001(2)x t t x +=≥，则222()222(2)PA f t t at a t ==-+-≥，对称轴t a =，1．2a ≤时，222min (2)242,2428PA f a a a a ==-+∴-+=，1a =-，3a =(舍去) 2．2a >时，222min()2,28PAf a a a ==-∴-=，a =，a =(舍去)综上1a =-或a =14．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3．则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n的值为．【解】a 5＝12，a 6＋a 7＝3，故a 5q ＋a 5q 2＝3，q 2＋q －6＝0，q ＞0，故q ＝2，故a n ＝2n －6，因a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，故2n －5－2－5＞2n 2－11n2，2n －5－2n 2－11n2＞2－5＞0，n －5＞12(n 2－11n )，故13－1292＜n ＜13＋1292，因n ∈N *，故1≤n ≤12，n ∈N *，又n ＝12时符合题意，故n 的最大值为12．设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由已知得，12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)，a n ＝a 5q n －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝2n 2－11n 2，由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5＞2n 2－11n2，由2n －5－2－5＞2n 2－11n2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，故n 的最大值为12．二、解答题15．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π． ⑴．若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；⑵．设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】⑴．由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b ；⑵．因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β).由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，可得sin β＝12.∴sin α＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6．16．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：⑴．平面EFG //平面ABC ； ⑵．BC SA ⊥．【解】⑴．,E G Q 分别是侧棱,SA SC 的中点，EG AC ∴∥，AC Q 在平面ABC 中，EG 在平面外，EG ∴∥平面ABC ，,AS AB AF SB =Q ⊥，F ∴为SB 中点，EF AB ∴∥，Q AB 在平面ABC 中，EF 在平面外，EF ∴∥平面ABC ，Q EF 与EG 相交于E ，,EF EG 在平面EFG 中，∴平面EFG //平面ABC⑵．Q 平面SAB ⊥平面SBC ，SB 为交线，Q AF 在SAB 中，AF SB ⊥，AF ∴⊥平面SBC ，AF BC ∴⊥，BC AB Q ⊥，AF 与AB 相交于A ，,AF AB 在平面SAB 中，BC ∴⊥平面SAB ，BC SA ∴⊥17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．⑴．若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； ⑵．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解】⑴．由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0．⑵．因为圆心在直线y ＝2x －4上，故圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1．设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，故x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，故点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，故圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3．整理得－8≤5a 2－12a ≤0．由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125．故点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125． 18．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ．在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．⑴．求索道AB 的长；⑵．问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶．为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，故sin A ＝513，sin C ＝45．从而sin B ＝sin[π－(A＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365．由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．故索道AB 的长为1 040 m ． (2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，故由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．19．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．⑴．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； ⑵．若{b n }是等差数列，证明：c ＝0．【解】⑴．由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d ．(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d ．又b 1，b 2，b 4成等比数列，故b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0．因为d ≠0，故d ＝2a ．因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a ．从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k ．⑵．设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d )n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0．即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0．若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，故d 1≠0．又cd 1＝0，故c ＝0．20．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．⑴．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； ⑵．若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．【解】⑴．令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(1a ，＋∞)，从而1a ≤1，即a ≥1．令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0．又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，故ln a ＞1，即a ＞e ．综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)．⑵．当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤1e．综合上述两种情况，有a ≤1e．(ⅰ)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点．(ⅱ)当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，故f (x )在(e a ，1)上存在零点．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，故f (x )只有一个零点．(ⅲ)当0＜a ≤1e 时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ．当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，故，x ＝1a 是f (x )的最大值点，且最大值为f (1a)＝－1－ln a ．①．当－1－ln a ＝0，即a ＝1e 时，f (x )有一个零点x ＝e ．②．当－1－ln a ＞0，即0＜a ＜1e时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜1e ，由于f (1e )＝－1－a e ＜0，f (1a )＞0，且函数f (x )在[1e ，1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1e ，1a )上存在零点．另外，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，1a )上是单调增函数，故f (x )在(0，1a)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(1a ，＋∞)上的情况．先证f (e 1a )＝a (1a2－e 1a )＜0．为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2．设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2．当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，故l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时，h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0，即当x ＞e 时，ex＞x 2．当0＜a ＜1e ，即1a ＞e 时，f (e 1a )＝a (1a 2－e 1a )＜0，又f (1a)＞0，且函数f (x )在[1a ，e 1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1a ，e 1a )上存在零点．又当x ＞1a 时，f ′(x )＝1x －a ＜0，故f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数，故f (x )在(1a，＋∞)上只有一个零点．综合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)，当a ≤0或a ＝1e 时，f (x )的零点个数为1，当0＜a ＜1e 时，f (x )的零点个数为2．B ．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B ．【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，故A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3．C ．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，由1x t =+得，1t x =-，代入2y t =得，直线l 的普通方程为220x y --=，同理得曲线C 的普通方程为22y x =，联立方程组22(1),2y x y x =-⎧⎨=⎩，解得公共点的坐标为(2,2)，1(,1)2-．22．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． ⑴．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； ⑵．求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：⑴．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B ―→＝(2，0，－4)，C 1D ―→＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B ―→，C 1D ―→〉＝A 1B ―→·C 1D ―→| A 1B ―→||C 1D ―→|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010； ⑵．设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ―→＝(1，1，0)，AC 1―→＝(0，2，4)，所以n 1·AD ―→＝0，n 1·AC 1―→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ．由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53．因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53． 23．设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，11(1)(1)k k k k k 644474448－－－，，－，，个……即当(k －1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2000中元素的个数．解 (1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5．(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i＝m时成立，即S m(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝S m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋1)(2i＋1)＋j2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j．又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2000中元素的个数为312＋47＝1008．。

2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013 江苏省高考数学真题(含答案)
2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数 y 3sin(2x ) 的最小正周期为 4
．开
2
．
设
z
(2 i)2
（
i
为
虚
数
单
位
），
则
复始数 n 1，a
y
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)A，直l线
． l : y 2x 4
O
x
设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
（1）若圆心C 也在直线 y x 1上，过点 A 作圆C 的
切线，
求切线的方程；
（2）若圆C 上存在点 M ，使 MA 2MO，求圆心C 的
横坐
标a 的取值范围．
18．（本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C 处
16．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面 SBC ，
AB BC ，AS AB，过 A 作 AF SB ，垂足为SF ，点 E，G 分
E
G
别是棱 SA，SC 的中点．求证：
F
C
（1）平面 EFG// 平面 ABC；
A
（2） BC SA．
B
17．（本小题满分 14 分）
2、【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝
＝5．
3、【答案】 y 3 x 4
【解析】令： x2 y2 0 ，得 y 9x2 3 x ．
16 9
16 4
4、【答案】8 【解析】23＝8．

2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为．【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为．【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是．【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为．【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1ADE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

数学_2013年江苏省高考数学模拟试卷(十)(含答案)

2013年江苏省高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1. 已知U =R ，A ={x|−1≤x <0}，则∁U A =________．2. “x 2=x +2”是“|x|=√x +2”的________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）．3. 若z 1=a +2i ，z 2=3−4i ，且z1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．4. 如图，给出一个算法的伪代码，则f(−3)+f(2)=________．5. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a1d =________．6. 等腰Rt △ABC 中，斜边BC =4√2，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的离心率是________．7. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________． 8. 设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA =1，PB =√6，PC =3，则球O 的体积为________． 9. 已知函数f(x)=2x −m−12x +1是奇函数，且f(a 2−2a)>f(3)，则实数a 的取值范围是________．10. 已知sin(x +π6)=14，则sin(5π6−x)+sin 2(π3−x)=________．11. 在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠B =60∘，设O 是△ABC 的内心，若AO →=pAB →+qAC →，则pq =________．12. f(x)=x 2−2mx +m ，g(x)=−13(2x −1x)．若对任意x 1∈[12,2]，总存在x 2∈[12,2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则m 的取值范围是________．13. x ，y 是两个不相等的正数，且满足x 3−y 3=x 2−y 2，则[9xy]的最大值为________．（其中[x]表示不超过x 的最大整数）． 14. 已知各项均为正数的两个数列由表下给出：n n ab 1255ab 则y 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15. 在锐角三角形ABC 中，sinA =35，tan(A −B)=−13，（1）求tanB 的值；（2）若AC →⋅AB →=mBA →⋅BC →，求实数m 的值．16.如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点D 在棱BC 上，AD ⊥C 1D ．（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）设点E 是B 1C 1的中点，求证：A 1E // 平面ADC 1．（3）设点M 在棱BB 1上，试确定点M 的位置，使得平面AMC 1⊥平面AA 1C 1C ．17. 第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦召开，某百货公司预计从2012年1月起前x 个月市场对某种奥运商品的需求总量p(x)=12x(x +1)(39−2x)，(x ∈N ∗，且x ≤12)．该商品的进价q(x)与月份x 的近似关系为q(x)=150+2x(x ∈N ∗, x ≤12)．（1）求2012年第x 个月的需求量f(x)；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则该百货公司2012年仅销售该商品可获月利润预计最大是多少？ 18. 已知数列{a n }满足a n+1+a n −1a n+1−a n+1=n(n ∈N ∗)，且a 2=6．（1）设b n =a n n(n−1)(n ≥2)，b 1=3，求数列{b n }的通项公式；（2）设u n =ann+c (n ∈N ∗)，c 为非零常数，若数列{u n }是等差数列，记c n =u n 2n，S n =c 1+c 2+...+c n ，求S n ．19. 已知圆C ：(x −2)2+(y −2)2=m ，点A(4, 6)，B(s, t)．（1）若3s −4t =−12，且直线AB 被圆C 截得的弦长为4，求m 的值；（2）若s ，t 为正整数，且圆C 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值λ(λ>1)，求m 的值．20. 设f(x)=e x −a(x +1)．（1）若a >0，f(x)≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；（2）设g(x)=f(x)+ae x ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1≠x 2)是曲线y =g(x)上任意两点，若对任意的a ≤−1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；（3）是否存在正整数a ．使得1n +3n +⋯+(2n −1)n <√ee−1(an)n 对一切正整数n 都成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．三、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．21. 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD // AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF⋅EC．(I)求证：∠P=∠EDF；(II)求证：CE⋅EB=EF⋅EP．22. （选修4−2：矩阵与变换）设M=[1002]，N=[1201]，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．23. 已知圆的极坐标方程为：ρ2−4√2ρcos(θ−π4)+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P(x, y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值．24. 已知关于x的不等式|2x−m|≤1的整数解有且仅有2．（1）求整数m的值．（2）解不等式|x−1|+|x−3|≥m．四、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.25. 如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．（1）求异面直线PC与BD所成的角；（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．26. 甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有x个红球、y个白球、z个(x, y, z≥1, x+y+z=10)黄球的箱子中任取一球，乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球．规定：当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜．（1）用x，y，z表示甲胜的概率；（2）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数ξ的概率分布，并求E(ξ)最小时的x，y，z的值．2013年江苏省高考数学模拟试卷（十）答案1. (−∞, −1)∪[0, +∞)2. 充要3. 83 4. −8 5. 2 6. √6−√3 7. 20 8.32π39. (−∞, −1)∪(3, +∞) 10. 191611. √3 12. (−∞, 3118]13. 3 14. 315. 解：（1）因为锐角三角形ABC 中，sinA =35，所以cosA =45，tanA =34， tan(A −B)=tanA−tanB 1+tanAtanB =−13，即34−tanB 1+34tanB =−13解得：tanB =139；（2）因为AC →⋅AB →=mBA →⋅BC →，所以bccosA =maccosB ，由正弦定理得：sinBcosA =msinAcosB ，即tanB =mtanA ，即139=m ⋅34，解得m =522716. （1）证明：因为该几何体为正三棱柱，所以AC 12=AC 2+CC 12，又AD ⊥C 1D ，所以AC 12=AD 2+DC 12=AD 2+DC 2+CC 12，所以AC 2+CC 12=AD 2+DC 2+CC 12，即AC 2=AD 2+DC 2，所以AD ⊥DC ，又AD ⊥DC 1，DC ∩DC 1=D ，DC ⊂面BCC 1B 1，DC 1⊂面BCC 1B 1；所以AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）证明：由（1）知，AD ⊥BC ，∴ D 为BC 中点，又E 是B 1C 1的中点，所以DE // AA 1，DE =AA 1，所以四边形ADEA 1为平行四边形，所以A 1E // AD ，且A 1E ⊄面ADC 1，AD ⊂面ADC 1，所以A 1E // 面ADC 1．（3）解：点M 为BB 1的中点，证明如下：取AC 中点G ，AC 1中点N ，连接MN ，BG ，则GN // CC1，且GN=12CC1，又BM // CC1，BM=12CC1，∴ GN // BM，GN=BM，所以四边形BMNG为平行四边形，∴ MN // BG；∵ △ABC为正三角形，∴ BG⊥AC，又CC1⊥面ABC，∴ CC1⊥BG，∴ BG⊥面ACC1A1，又MN // BG，所以MN⊥面ACC1A1，且MN⊂面AMC1中，所以平面AMC1⊥面ACC1A1．17. 解：（1）当x=1时，f(1)=p(1)=37．当2≤x≤12时，f(x)=p(x)−p(x−1)=12x(x+1)(39−2x)−12(x−1)x(41−2x)=−3x2+40x，(x∈N∗且x≤12)验证x=1符合f(x)=−3x2+40x，∴ f(x)=−3x2+40x(x∈N∗且x≤12)．（2）该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(−3x2+40x)(185−150−2x)=6x3−185x2+1400x，(x∈N∗且x≤12)，令ℎ(x)=6x3−185x2+1400x(1≤x≤12)，ℎ′(x)=18x2−370x+1400，令ℎ′(x)=0，解得x=5，x=1409（舍去）．当1≤x<5时，ℎ′(x)>0；当5<x≤12时，ℎ′(x)<0．∴ 当x=5时，ℎ(x)取最大值ℎ(5)=3125．∴ 当x=5时，g(x)max=g(5)=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元．18. 解：（1）∵ a n+1+a n−1a n+1−a n+1=n(n∈N∗)，∴ (n−1)a n+1=(n+1)a n−(n+1)当n≥2时，a n+1(n+1)n −a nn(n−1)=−1n(n−1)而b n=a nn(n−1)(n≥2)∴ b n+1−b n=1n −1n−1(n≥2)∵ a2=6∴ b2=a22=62=3∵ b3−b2=12−1b4−b3=13−12…b n−b n−1=1n−1−1n−2(n≥3)将这些式子相加得b n −b 2=1n−1−1∴ b n =1n−1+2(n ≥3)b 2=3也满足上式，b 1=3不满上式∴ b n ={3,n =12+1n−1，n >1（2）a n+1+a n −1a n+1−a n+1=n(n ∈N ∗)，令n =1得a 1=1∵ b n =a n n(n−1)(n ≥2)∴ a n =2n 2−n(n ≥2) 而a 1=1也满足上式 ∴ a n =2n 2−n ∵ u n =a n n+c (n ∈N ∗)，数列{u n }是等差数列∴ u n =ann+c =n(2n−1)n+c是关于n 的一次函数，而c 为非零常数∴ c =−12，u n =2n∴ c n =u n 2n =2n2n ，S n =c 1+c 2+...+c n =2×12+4×(12)2+...+2n ×(12)n12S n =2×(12)2+4×(12)3+...+2n ×(12)n+1 两式作差得12S n =2×(12)2+2×(12)3+...+2×(12)n −2n ×(12)n+1∴ S n =4−n+22n−119. 解：（1）因为A(4, 6)，B(s, t)．由3s −4t =−12，说明点B(s, t)适合直线3x −4y =−12，由把A(4, 6)代入直线3x −4y =−12成立，所以A ，B 共线3x −4y =−12，则圆心(2, 2)到直线3x −4y =−12的距离为d =√32+(−4)2=2，又直线AB 被圆C 截得的弦长为4，根据垂径定理知：m =22+22=8；（2）设P(x, y)为圆C ：(x −2)2+(y −2)2=m 上任意一点，则(x−4)2+(y−6)2(x−s)2+(y−t)2=λ2，整理得：(1−λ2)x 2+(1−λ2)y 2−(8−2λ2s)x −(12−2λ2t)y +52−λ2s 2−λ2t 2=0，则该圆的方程即为(x −2)2+(y −2)2=m ，所以{4=8−2λ2s 4=12−2λ2t ①，整理得：λ2(t −s)=2，因为s，t为正整数，且λ>1，所以t−s=2λ2≤1，若t−s为小于1的整数，则t−s小于等于零，λ2(t−s)=2不成立，所以，t−s=1．则λ2=2．代入①得：s=3，t=4．把λ2=2，s=3，t=4代入方程(1−λ2)x2+(1−λ2)y2−(8−2λ2s)x−(12−2λ2t)y+ 52−λ2s2−λ2t2=0，得：(x−2)2+(y−2)2=10．所以m=10．20. 解：（1）∵ f(x)=e x−a(x+1)，∴ f′(x)=e x−a，∵ a>0，f′(x)=e x−a=0的解为x=lna．∴ f(x)min=f(lna)=a−a(lna+1)=−alna，∵ f(x)≥0对一切x∈R恒成立，∴ −alna≥0，∴ alna≤0，∴ a max=1．（2）∵ f(x)=e x−a(x+1)，∴ g(x)=f(x)+ae x =e x+ae x−ax−a．∵ a≤−1，直线AB的斜率恒大于常数m，∴ g′(x)=e x−ae x −a≥2√e x⋅(−ae x)−a=−a+2√−a=m，(a≤−1)，解得m≤3，∴ 实数m的取值范围是(−∞, 3]．（3）设t(x)=e x−x−1，则t′(x)=e x−1，令t′(x)=0得：x=0．在x<0时t′(x)<0，f(x)递减；在x>0时t′(x)>0，f(x)递增．∴ t(x)最小值为t(0)=0，故e x≥x+1，取x=−i2n，i=1，3，…，2n−1，得1−i2n ≤e−i2n，即(2n−i2n)n≤e−i2，累加得(12n )n+(32n)n+⋯+(2n−12n)n<e−2n−12+e−2n−32+⋯+e−12=e−12(1−e−n)1−e−1<√ee−1．∴ 1n+3n+...+(2n−1)n<√ee−1⋅(2n)n，故存在正整数a=2．使得1n+3n+...+(2n−1)n<√ee−1⋅(an)n．21. 证明：(1)∵ DE2=EF⋅EC，∴ DE:CE=EF:ED．∵ ∠DEF是公共角，∴ △DEF∽△CED．∴ ∠EDF=∠C．∵ CD // AP，∴ ∠C=∠P．∴ ∠P=∠EDF．(2)∵ ∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，∴ △DEF∽△PEA．∴ DE:PE=EF:EA．即EF⋅EP=DE⋅EA．∵ 弦AD、BC相交于点E，∴ DE⋅EA=CE⋅EB．∴ CE⋅EB=EF⋅EP．22. 解：∵ M=[1002]，N=[1201]，MN=[1002][1201]=[1202]，设p(x, y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0(x0, y0)在矩阵MN变换下的对应点，则[x′y′]=[1202][x0′y0′]，∴ {x=12x0y=2y0，即{x0=2xy0=12y，又点p0(x0, y0)在曲线y=sinx上，故y0=sinx0，从而12y=sin2x，所求曲线的方程为y=2sin2x．…23. 解：(1)ρ2−4√2ρcos(θ−π4)+6=0即ρ2−4√2（√22ρcosθ+√22ρsinθ），即x2+y2−4x−4y+6=0．（2）圆的参数方程为{x=2+√2cosαy=2+√2sinα，∴ x+y=4+√2(sinα+cosα)=4+2sin(α+π4)．由于−1≤sin(α+π4)≤1，∴ 2≤x+y≤6，故x+y的最大值为6，最小值等于2．24. 解：（1）由|2x−m|≤1，得m−12≤x≤m+12∵ 不等式的整数解为2，∴ m−12≤2≤m+12⇒3≤m≤5又不等式仅有一个整数解2，∴ m=4（2）即解不等式|x−1|+|x−3|≥4，．当x≤1时，不等式⇔1−x+3−x≥4⇒x≤0，不等式解集为{x|x≤0}当1<x≤3时，不等式为x−1+3−x≥4⇒x∈⌀，不等式解为⌀当x>3时，x−1+x−3≥4⇒x≥4，不等式解集为{x|x≥4}综上，不等式解为(−∞, 0]∪[4, +∞)．25. 解：（1）如图所示，分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)， ∴ PC →=(0,2,−2)，DB →=(2,2,0)， ∴ cos <DB →，PC →>=|DB →||PC →|˙=4√22+22√22+(−2)2=12， ∵ <DB →，PC →>∈[0,π]， ∴ <DB →，PC →>=60∘，因此异面直线DB 与PC 所成的角为60∘．（2）在线段PB 上存在一点E 为线段PB 的中点，使PC ⊥平面ADE ．下面给出证明：假设在线段PB 上存在一点E ，使PC ⊥平面ADE ．如图所示的坐标系中，A(2, 0, 0)， ∵ P 、E 、B 三点共线，∴ 可设PE →=λPB →，则OE →=OP →+λPB →=(0, 0, 2)+λ(2, 2, −2)=(2λ, 2λ, 2−2λ)，即E(2λ, 2λ, 2−2λ)． ∵ PC →⋅AD →=0，∴ PC →⊥AD →，又PC ⊥DE ，∴ PC →⋅DE →=0，即0+2×2λ−2×(2−2λ)=0，解得λ=12，∴ E(1, 1, 1)．即点E 为线段PB 的中点．26. 解：（1）甲取红球、白球、黄球的概率分别为x10，y10，z10，乙取红球、白球、黄球的概率分别为510，310，210，故甲胜的概率P =5x 100+3y 100+2z 100=1100(5x +3y +2z)．（2）由题设知ξ=0，1，2，3，从而ξ的分布列为：由x +y +z =10，得Eξ=1100(5x +6y +6z)=1100(60−x)，由x，y，z≥1，知1≤x≤8，．故当x=8，y=z=1时，E(ξ)min=1325。

2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式:V Sh =，其中S 是柱体的底面积,h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。

1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。

2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ 。

3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。

4、集合｛-1，0，1｝共有 ▲ 个子集。

5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。

6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。

7、现有某类病毒记作为m n X Y ,其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取,则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。

8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙899091889210、设D 、E 分别是△ABC 12DE AB AC λλ=+（1λ、11、已知()f x 是定义在R 上的奇函数。

解集用区间表示为 ▲ 12、在平面直角坐标系xoy 12n n a a a a ++>的二、解答题：本大题共6小题,共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。

2013年江苏省高考数学试卷 (真题与答案解析)-推荐下载

3．(2013 江苏，3)双曲线 x2 y2 =1 的两条渐近线的方程为__________． 16 9
4．(2013 江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．
5．(2013 江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是__________．
6．(2013 江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，
9．(2013 江苏，9)抛物线 y＝x2 在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部和边界)．若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x＋2y 的取值范围是__________．
1
2
10．(2013 江苏，10)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点， AD= AB ， BE= BC .若
12．(2013
江苏，12)在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的标准方程为
x2 a2

y2 b2
=1 (a＞0，b＞0)，右
焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2.若
d2 6d1 ，则椭圆 C 的离心率为__________．
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2013年江苏省高考数学试卷答案与解析

2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．2x+T=||=||=2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．=53．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．的而双曲线的渐近线方程为±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．6．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．都取到奇数的概率为故答案为8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= 1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，]．所以当直线）时，故答案为10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．=，=12，===1+2，，，所以故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d 2，若d2=，则椭圆C的离心率为．=的关系，可求得x==，则，整理得a，得（）﹣，解得=．故答案为：13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．，利用两点间的距离公式可得=，∴，解得．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．由题意可得，解之可得：===，=＞，，即，即最大为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于由向量坐标的加法运算求出+，+列式整理得到）由==．即）由得：，得：．所以16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x ﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．）联立得：，=1﹣x+3=2，≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？cosA=cosC=，所以sinA=，，=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理=×=200），即t=min）由正弦定理BC=≤解得[19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．代入中整理得到的形式，说明，成等比数列时，则，得：，，即，而20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．）上是单调减函数，转化为﹣﹣，．结合上述两种情况，有=﹣≤﹣．当时，时，x=（时，＜＜（＜（[）在（＜=）上时单调增函数，所）上只有一个零点．）在（（（＜，即）（[，）在（，＞﹣）在（，，时，时，评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．，可得B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．1=，即，C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．的参数方程为，解得，，D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．}}=＞=所成角的余弦值为的法向量为的法向量为|=|，=．所成二面角的正弦值为26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．21。

2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)

2013年普通高等学校招生全国统一测试（江苏卷）参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。

1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。

2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。

3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。

4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。

5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。

6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。

7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。

8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V =运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙8990918892▲ 。

9、抛物线2y x =在1x =处的切线和坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)。

若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ 。

10、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且12,23AD AB BE BC ==。

若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值为 ▲ 。

2013江苏高考数学试题

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ▲2、设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲3、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ 45 678911、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲ 13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ 14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ▲17、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 。

设圆C 的半径为1，圆心在l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

18、（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。

现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，C 。

2013年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析)试题

2013年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学试题1、【题文】函数的最小正周期为2、【题文】设为虚数单位），则复数的模为3、【题文】双曲线的两条渐近线的方程为4、【题文】集合共有个子集.5、【题文】下图是一个算法的流程图，则输出的的值是6、【题文】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为7、【题文】现有某病毒记作其中正整数、（）可以任意选取，则、都取到奇数的概率为8、【题文】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则9、【题文】抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是10、【题文】设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是11、【题文】已知是定义在上的奇函数. 当时，，则不等式的解集用区间表示为12、【题文】在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点. 设原点到直线的距离为，点到的距离为. 若，则椭圆的离心率为13、【题文】在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点. 若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为14、【题文】在正项等比数列中，，. 则满足的最大正整数的值为15、【题文】已知，.（1）若，求证：；（2）设，若，求，的值.16、【题文】如图，在三棱锥中，平面平面，，. 过点作，垂足为，点，分别为棱，的中点.求证：（1）平面平面；（2）.17、【题文】如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.18、【题文】如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.（1）求索道的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、【题文】设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数.（1）若，且，，成等比数列，证明：；（2）若是等差数列，证明.20、【题文】设函数，，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.21、【题文】、分别与圆相切于、，经过圆心，且，求证：.22、【题文】已知矩阵，，求矩阵.23、【题文】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.24、【题文】已知，求证：.25、【题文】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.26、【题文】设数列：，即当时，记.记. 对于，定义集合是的整数倍，，且.（1）求集合中元素的个数；（2）求集合中元素的个数.。

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