2007.7.27第一讲不等式和绝对值不等式(三)

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不等式和绝对值不等式复习课件 PPT

二分类讨论的思想方法【例 2】函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f(0)＝f(1)，当 x1、x2 ∈[0,1]，x1≠x2 时都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，求证：|f(x2)－f(x1)|<12.
【证明】不妨设 0≤x1<x2≤1，以下分两种情形讨论． ①若 x2－x1≤12，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤12， ∴|f(x2)－f(x1)|<12. ②若 x2－x1>12，∵f(0)＝f(1)， ∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|
(3)各种类型绝对值不等式的解法． ①|x|<a(a>0)⇔－a<x<a. ②|x|>a(a>0)⇔x>a 或 x<－a. ③|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. ④|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. ⑤|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 有三种方法选择：
熟悉以上三个基本不等式及它的变形应用，如 a＋b≥2 ab， abc≤a＋3b＋c3.在应用等号求最值时，要满足“一正、二定、三相等”的条件，否则等号不一定成立．
还有由基本不等式推出的常用不等式： a2＋b2≥2|ab|≥2ab；(a＋b)2≥4ab； a2＋b2≥12(a＋b)2；a2＋2 b2≥a＋2 b2； ba＋ab≥2(ab>0)；ba＋ab≤－2(ab<0)．
【解】 (1)∵a＝1，∴lg(|x＋5|＋|x－5|)<1＝lg10.∴|x＋5|＋|x －5|<10.
由实数绝对值的几何意义知，不等式的解就是数轴上表示到－ 5 与 5 两点距离之和小于 10 个单位的点的集合．如图所示．

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式

B．3
C.523 5
D．4
3 2
解析：y＝3x＋
1 2x2
＝
3x 2
＋
3x 2
＋
1 2x2
≥3
3
33 1 2x·2x·2x2
＝
3 3
98＝323 9.
当且仅当32x＝21x2，即x＝ 3 13时，等号成立．答案：A
3．设x＞0，则y＝x＋x42的最小值为(
)
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A．2
B．2 2
C．3 2
D．3
解析：y＝x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3· 3 x2·x2·x42＝3，当且仅当x2＝x42时取“＝”号．答案：D
(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤
a＋b＋c 3
3
，当且
仅当a＝b＝c时，等号成立．( )
(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，
第一讲不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模型，会解决简单的应用问题(重点)．
解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14 （a－2x）＋（3 a－2x）＋4x3＝22a73，当因且此仅V取当最a－大2值x＝22a473x，，即x＝a6时，等号成立．故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16 时，盒子的容积最大．

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第1课时不等式的基本性质课件新人教A版选修4_527

得 a·a1b＞b·a1b，得1b＞1a.
解答
(2)若 c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b；解正确. 因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b，所以c－1 a＞c－1 b＞0. 又 a＞b＞0，所以c－a a＞c－b b.
解答
(3)若ac＞bd，则 ad＞bc；解不正确.
因为ac＞bd，所以ac－bd＞0， ad－bc
梳理 (1)两个实数a，b的大小关系
(2)不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔ b＜a . ②传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c . ③可加性： a＞b ⇔a＋c＞b＋c. ④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ；如果a＞b，c＜0，那么 ac＜bc .
⑤乘方：如果a＞b＞0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2).
本课结束
12345
解析答案
4.已知 12＜a＜60,10＜b＜20，则ba的取值范围是__16_＜__ba_＜__53___. 解析由 12＜a＜60，得610＜1a＜112，又10＜b＜20，所以根据不等式的性质可得16＜ba＜53.
12345
解析答案
5.设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是
12345
解析答案
3.下列说法中，正确的个数是__4__. ①若a＞b，则ac2＞bc2；②若a≥b，则ac2≥bc2； ③若ac＞bc，则 ac＞bc； ④若ac≥bc，则 ac≥bc； ⑤若aa＞c＞bb，c，则 c＞0；⑥若aa≥c≥bb，c，则 c≥0.
解析当c2＝0时，①不正确；②正确；③正确；④正确；⑤正确；当a＝b时，⑥不正确.
解答
反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技能 ①要判断一个命题为真命题，必须严格证明； ②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中，举反例在解选择题时用处很大. (2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 ①倒数法则要求两数同号； ②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定； ③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减.

不等式和绝对值不等式课件

3 025
≥5 000+16×2 ·
= 6 760,

3 025
当且仅当 x= , 即x=55 时,S 取得最小值.
4 840
55
5
此时高
= 88, = = < 1.
55
88
8
故当画面的高为 88 cm,宽为 55 cm 时,才能使所用纸张面积最
小.
专题四含有绝对值的不等式的证明
证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基
解(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)>1,
⇔|x+3|+|x-7|>10,
≥ 7,
≤ -3,
-3
<

<
7,
⇔
或
或
2-4 > 10
10 > 10
4-2 > 10
⇔x>7或x<-3.
所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>7}.
(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10.故lg(|x+3|+|x-7|)≥1.
证明：|(x+y)-(a+b)|
=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|.

2

2
∵|x-a|< , | − | < ,

2

2
∴|x-a|+|y-b|< + = . ②

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.1 不等式无

无理不等式的解法一、引入：1．无理不等式的类型： ①⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f xg x g x f x f x g x g x f 或型 ③⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型二、典型例题：例1 解不等式0343>---x x解：∵根式有意义 ∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x xx又有 ∵ 原不等式可化为343->-x x 两边平方得：343->-x x 解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x例2 解不等式x x x 34232->-+-解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623562134x x x x 解Ⅱ：234≤<x ∴原不等式的解集为}256|{≤<x x例3 解不等式24622+<+-x x x解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x}10102|{100212≤<<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<->≤≥⇒x x x x x x x 或或特别提醒注意：取等号的情况例4 解不等式1112-+>+x x解：要使不等式有意义必须：2112101012-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇒⎩⎨⎧≥+≥+x x x x x原不等式可变形为 1112+>++x x 因为两边均为非负 ∴22)1()112(+>++x x 即)1(122+->+x x ∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 21-≥x例5 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6 解不等式1123>-+-x x解：定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为：3211->--x x 两边立方并整理得：)1(41)2(->-+x x x在此条件下两边再平方, 整理得：0)10)(2)(1(>---x x x 解之并联系定义域得原不等式的解为}1021|{><<x x x 或。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.3 绝对值不等式的解法教案新人教B版选修4-5(20

辽宁省本溪满族自治县高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.3 绝对值不等式的解法教案新人教B 版选修4-5不等式的解法辽宁省本溪满族自治县高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.3 绝对值不等式的解法教案新人教B 版选修您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可教学过程设计教材处理师生活动（2）014x 4x 2>++（3）06x 3x -2<-+变式2：（1）解不等式：42x x 02<--<（2)解不等式:为常数其中m ,01m x x )1m (22<-++。

(3)3x 23x 2+<+-（4）)1a ,0a (a a 33x 2x12x 3x22≠>>+-+-（5）)1a 0(),22x (log )65x x (log a 2a <<-<+-（6）若不等式,3x 206bx ax 2<<>--的解是求不等式的解03b ax x 2<+++集）>()g x）()g x、-2x、x+3：2-+x教学过程设计教材处理师生活动三、题型三：含绝对值不等式的解法例3：（1）1->+2x12x≤（2）53-例:4.(1）解不等式: 5x>-1+x-2（2)解不等式：4-x<+1-x2变式4: 解下列不等式（1）42x---x>3+3+ (2)65xx≤+（3）.解不等式5<-x3≤2（4）.已知不等式{}1-<+的解集为，求a的ax<<xx123值（5）.对于实数x，不等式2+恒成立,求实数m的≥x+m7范围辽宁省本溪满族自治县高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.3 绝对值不等式的解法教案新人教B版选修4-5教学目标1。

第一讲不等式和绝对值不等式小结课件人教新课标

二分类讨论的思想方法【例 2】函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f(0)＝f(1)，当 x1、x2 ∈[0,1]，x1≠x2 时都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，求证：|f(x2)－f(x1)|<12.
【证明】不妨设 0≤x1<x2≤1，以下分两种情形讨论． ①若 x2－x1≤12，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤12， ∴|f(x2)－f(x1)|<12. ②若 x2－x1>12，∵f(0)＝f(1)， ∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|
规律技巧利用几个代数式的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)”这种转化往往不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，有可能扩大代数式的取值范围，尤其当不等式中含有多个“≤(或≥)”时，其中的“＝”不一定同时取得．解这类问题可利用待定系数法先建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的等量关系，最后通过一次线性不等关系的运算，求得待求的范围；或转化为线性规划问题，用线性规划的方法求解.
【解】 (1)∵a＝1，∴lg(|x＋5|＋|x－5|)<1＝lg10.∴|x＋5|＋|x －5|<10.
由实数绝对值的几何意义知，不等式的解就是数轴上表示到－ 5 与 5 两点距离之和小于 10 个单位的点的集合．如图所示．
设 x 对应点为 C，当 C 在线段 AB 上时，|AC|＋|BC|＝10，当点 C 在线段 AB 的外端时|AC|＋|BC|>10，因此，适合题意的点 C 不存在，即当 a＝1 时，不等式无解，故原不等式无解．
(3)各种类型绝对值不等式的解法． ①|x|<a(a>0)⇔－a<x<a. ②|x|>a(a>0)⇔x>a 或 x<－a. ③|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. ④|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. ⑤|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 有三种方法选择：

不等式和绝对值不等式章末总结课件

2 2 2
即 + + ≥a+b+c.

2
2
2
故 + + ≥1(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).

变式训练 1 已知 a,b,c 均为正数,求证:a +b +c +
2
1 2

2
2
1

1
+ +

≥6 3,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立.
1
1
1

证明：因为 a,b,c 均为正数,所以 a2>0,b2>0,c 2>0, >0, >0, >0.
证明：|f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)|
=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a|·|x+a-1|,
又|x-a|<1,∴|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|
=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|
≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).
故原不等式的解集为 -∞,
1
2
∪
3
,+∞
2
.
(2)∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|,
即|ax-1|+|ax-a|的最小值为|a-1|,
∴原不等式解集为R,等价于|a-1|≥1,∴a≥2或a≤0.
又a>0,∴a≥2,故实数a的取值范围为[2,+∞).

不等式和绝对值不等式归纳总结课件

专题五 ⇨放缩法
● 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以方便化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证的不等式成立，这种证明的方法称为放缩法. 它是证明不等式的特殊方法.
典例试做 5 已知 a、b、c 为三角形的三边，求证：
1＋a a，1＋b b，1＋c c也可以构成一个三角形. [解析] 设f(x)＝1＋x x，x∈(0，＋∞)，0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝1＋x2x2－1＋x1x1＝1＋xx22－1x＋1 x1>0，f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数.
②
又ax＋ay≥2a18 .
③
由于①、②等号不能同时成立，
所以③式等号不成立，即ax＋ay>2a1<18＋loga2成立.
专题四 ⇨反证法
● 运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤：①作出与所证不等式相反的假设；②从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.
典例试做 3
＋loga2.
设实数 x、y 满足 y＋x2＝0，且 0<a<1，求证：loga(ax＋ay)<18
1
[分析] 1.根据对数函数的单调性，将要证不等式转化为证明：ax＋ay>2a8 .
2. 利用综合法及基本不等式证明该不等式.
[解析] 由于0<a<1，则t＝logax(x>0)为减函数.
典例试做 2 已知 a、b、c 为△ABC 的三条边，求证：a2＋b2＋c2<2(ab
＋bc＋ca).
● [提示] 应用余弦定理解决.
[解析] 设a、b两边的夹角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝a2＋2ba2b－c2. ∵0<θ<π，∴cosθ<1，∴a2＋2ba2b－c2<1，即a2＋b2－c2<2ab. 同理可证：b2＋c2－a2<2bc，c2＋a2－b2<2ac，将上面三个同向不等式相加，即得 a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca).

绝对值不等式课件

注重实践
在学习的过程中，要注重实践，通过实际问题的解决来加深对知
识点的理解。
THANKS
感谢观看
在物理学中，绝对值不等式可以用来描述物理量的范围和限制，如速度、加速度等。
工程中的应用
在工程中，绝对值不等式可以用来描述误差范围和控制精度，如测量误差、加工精度等。
05
练习与巩固
基础练习题
绝对值不等式的定义和性质
通过简单的题目，让学生理解绝对值不等式的定义和性质，包括绝对值不等式的性质、绝对值不等式的几何意义等。
04
绝对值不等式的扩展知识
绝对值的几何意义
绝对值的定义
对于任意实数x，其绝对值|x|表示 x到0的距离。
绝对值的几何意义
|x|表示数轴上点x到原点的距离，即数轴上点x与原点的距离。
绝对值的性质
|x|≥0，当且仅当x=0时取等号； |x|=|−x|；|x+y|≤|x|+|y|。
绝对值不等式的推广形式
是实数。
绝对值不等式描述了两个数之间的绝对值大小关系。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式具有非负性，即对于任意实数 a 和 b，有 |a| ≥ 0 和 |b| ≥ 0。
绝对值不等式具有三角不等式性质，即 |a + b| ≤ |a| + |b|。
绝对值不等式具有对称性，即 |a| > |b| 等价于 |b| < |a|。
绝对值不等式的解法
通过一些简单的题目，让学生掌握绝对值不等式的解法，包括绝对值不等式的转化、分类讨论等。
进阶练习题
绝对值不等式的综合应用
通过一些稍微复杂的题目，让学生学会如何将绝对值不等式与其他知识点结合，如函数、数列等，提高解题的综合能力。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质讲义(含解析)新人教A版选修4_5

1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．数、式大小的比较[例1] 已知p q p q px qy 2px 2qy 2[思路点拨] 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件． [解] (px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋2pqxy ＋q 2y 2－px 2－qy 2＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0. 所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小．解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0， (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 与n 的大小．解：m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0，即m ≥n ，当且仅当x ＝y 时取等号．不等式的证明[例2] 已知a >b c d e 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即ea －c >eb －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0， ∴原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0. 故左边>0，右边>0.∴左边右边＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立．4．已知a >b >0，d >c >0，求证：a c >b d. 证明：因为d >c >0，所以1c >1d>0.又因为a >b >0，所以a ·1c >b ·1d ，即a c >bd.利用不等式的性质求范围[例3] 已知30<x <42,16<y <24，求x ＋y ，x －2y ，xy的取值范围． [思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解． [解] ∵30<x <42,16<y <24， ∴46<x ＋y <66. ∵16<y <24， ∴－48<－2y <－32， ∴－18<x －2y <10. ∵16<y <24， ∴124<1y <116. ∴54<x y <218.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知－π2≤α＜β≤π2，求α－β的取值范围．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2，且α＜β.∴－π≤α－β＜π，且α－β＜0.∴－π≤α－β＜0.即α－β的取值范围为[－π，0)．6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，∴－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.1．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：选B ∵x <y <0，∴|x |>|y |>0. 故P 在Q 的右边．2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab >0，则下面推理中正确的是( ) A ．a >b ⇒am 2>bm 2B.a c >b c⇒a >bC ．a 3>b 3⇒1a <1bD ．a 2>b 2⇒a >b解析：选C 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c <0，则不成立；对于C ，a 3－b 3>0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0恒成立，∴a －b >0，∴a >b .又∵ab >0，∴1a <1b.∴C 成立；对于D ，a 2>b 2⇒(a －b )(a ＋b )>0，不能说a >b .3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：选 A 由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得c a ＋b＋1＜a b ＋c＋1＜b c ＋a＋1，即a ＋b ＋ca ＋b＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .4．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件，即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件．5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )．解析：∵f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1>0，∴f (x )>g (x )．答案：> 6．下列命题： ①c －a <c －b ⇔a >b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③c a <c b ，且c >0⇒a >b ；④ na <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . 其中真命题是________．(填序号) 解析：①c －a <c －b ⇒－a <－b ⇒a >b . ②a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b.③c a －c b ＝c (b －a )ab<0，∵c >0，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ b －a >0，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧b －a <0，ab >0即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab >0.∴③不正确，④中无论n 为奇数或偶数，均可由n a <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . ∴①②④正确．答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________．解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，令f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]． 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，a m ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a >0，a ≠1， ∴①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a . ②a 3＋1－(a 2＋a ) ＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0， ∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2) ＝a 3(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 2－1)(a 3－1)．当a >1时，a 3>1，a 2>1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 即a 5＋1>a 3＋a 2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。

第一讲不等式和绝对值不等式(3)

第一讲不等式和绝对值不等式
五: 绝对值不等式
绝对值的几何意义
|a|
0
o
a
A
x
表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a 的点A 的点A到原点的距离
A B 表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a、b 的两点A 的两点A、B之间的距离
a
|a-b|
b
x
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
综合1 知定理成立. 综合10,20知定理成立.
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
uuuur a+b r a r b
r a
uuuur a+b
r b
如果a 是向量, |a+b|≤ 定理如果a、b是向量,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当当且仅当a 同向时, ------当且仅当a、b 同向时,等号成立
定理2 如果a 是实数, 定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b那么|a -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b当且仅当(a ≥0时等号成立. -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立. 定理3 如果a 是实数, 定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤ 那么||a| -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. 等号成立. -

第一讲：不等式与绝对值不等式

3
最大值为内接圆柱的体积V取得最大，
.
15. 已知求证： h

a 0 , b 0 , 且 h m in { a ,
2 2 .
b a b
2 2
},
证明： a 2 b 2 2 a b ,
ab a b
2 2

1 2
,
即 a
b
2
b a b
2
2
2

1 2
,
由于
0 h m in { a , 0 h m in { a ,
a b 时取“ ”号） . ab 基本不等式2：如果 a ， R ， b 那么 ab 2 （当且仅当 a b 时取“ ”号） . （当且仅当
注意：两个基本不等式的不同点和相同点: ① 两个不等式的适用范围不同； ② 等号成立的条件相同. ③ 基本不等式2可推广到有限个，如
又 ab
a b
2
2

d
2
2
最大值为故当矩形是正方形时,面积取得最大值，
, 当且仅当 a＝b时，等号成立. 2 d
2
.
2
14. 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？解：圆柱 r h , r ( ) 2 R 2 , 4 r 2 h 2 4 R 2 , V
y r ( 4 R 4 r ) 4 ( R r r ),
2 4 2 2 2 2 4 6
由 y ' 4 ( 4 R r 6 r ) 0 得
2 2 3 5
O
h 2
R r
r
6 3

不等式和绝对值不等式 (共43张PPT)

ac<bc
(5)乘方:a>b>0⇒_a_n_>_b_n,n∈N*,且n≥2. (6)开方:a>b>0⇒_________,n∈N*,且n≥2.
na nb
2.基本不等式
(1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥____(当且仅当a=b 2ab
时,等号成立).
(2)定理2:如果a,b>0,那么 ≥____(当且仅当a=b
【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≤g(x), 即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,
等价于
x
1 2
,
①
4x x 2
或
1 2Βιβλιοθήκη x1 2,
②
2 x 2
或
x
1 2
,
③
4x x 2
解①求得x无解,解②求得0≤x< 1 , 2
解③求得 1 x 2 , 综上,不等式2的解集3 为
1,
x
1 2
,
3x
1,
1 2
x
0,
故xh(1x,)xmin0，=
,故可得到实数a的范围为
h( 1) 1 22
[ 1， ). 2
第一课不等式和绝对值不等式
【网络体系】
【核心速填】
1.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b⇔____. b<a
(2)传递性:a>b,b>c⇒____. (3)加(减):a>b⇒_____a_>_c_. (4)乘(除):a>b,c>a0+⇒c>_b_+_c___;a>b,c<0⇒______.

绝对值不等式讲义(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】解绝对值不等式1、解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等。

变形一右边的常数变代数式2、解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1变形二含两个绝对值的不等式 4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

5、解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)6．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为。

7．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集.变形三解含参绝对值不等式8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。

2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。

选修不等式ppt

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