电动力学课件 5

{
n ( E2 E1 ) 0, n ( D2 D1 ) 0 ,
0 j0 0 t B H , j0 E,
n ( H 2 H1 ) i 0
0 0
(4.1.3) (4.1.4)
n ( B2 B1 ) 0
{
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u Ae
i k x x i k y y i k z z it
e
e
e
Aei(k r t )
E E0 e i(k r t )

E 0
取实部：
ei(k r t ) i kei(k r t ) i k , 1 k E 0; B i E B kE
1 P Re(V I ) 2
{
P：
(4.1.21) (4.1.22) (4.1.23) 9
1 p Re( j E ) 2
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第四章 电磁波的传播
4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
三 无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波 i 2 2 求解过程 2 E k 2 E 0, k , B E , E 0 用直角坐标下的分离变量法求解，对E 的某个分量u :
第四章 电磁波的传播
1
4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
一 电磁场的波动方程(分区均匀线性各向同性介质) 1. 基本方程 B D E , H j0 t t D 0 , B 0
{
(4.1.1)
(4.1.2)
2. 边值关系
D E,
0 n ( j02 j01 ) t n ( H 2 H1 ) 0 绝缘介质、普通导体界面： i0 = 0 (4.1.5) 绝缘介质界面： 0＝0 n ( D2 D1 ) 0 齐次边值关系直接用于求解，非齐次边值关系事后用来确定界面场源
相对基矢(eE, eB, ek)及其并矢展开（技巧：选择合适坐标系） I e E e E e B e B ek ek , DE DEe E e E , BH BHe B e B 1 1 T DE(e E e E e B e B ek ek ) BH (e E e E e B e B ek ek ) DEe E e E BHe B e B 2 2 瞬时动量流密度： 平均动量流密度：
第四章 电磁波的传播
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4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
理想导体或超导体边界(体内 E = B = 0) 作为电磁场的边界 与边值关系自洽的边界条件 S n ( E2 E1 ) 0 E 0
2
E, H , D, B
n
1（良导体或超导体） 说明：Bn = 0 可由E = 0 导出，即自动满足。
{
E E ( B) 2 t t t E 2E 2 E 2 0 t t B 2B 类似步骤可导出 2 B 2 0 t t
(4.1.7) (4.1.12) 3
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第四章 电磁波的传播
B 0(将证式(4.1.6)第二式自动成立)
(4.1.7) ②
4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
二 时谐电磁场 1. 定义：在空间任一点以稳恒振幅随时间作简谐周期变化的电磁场,
称为时谐电磁场,或称为定态电磁场.
2. 时谐电磁场的复数表述 E (r , t ) E (r )e i t ,
B(r , t ) B(r )e i t
(4.1.13) (4.1.15) (4.1.16) (4.1.17)
3. 定态波动方程 /t i , E 2E 2 E 2 0 t t B E , E 0, B 0
B (4.1.28) (4.1.29) (4.1.30) 11
S w vek , ek k / k
g 1 w S ek v2 v
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第四章 电磁波的传播
4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
5. 平均动量流密度：
动量流密度表达式（瞬时值）：
T wI DE BH ,
事后用于计算边界面上的传导电流密度和自由电荷密度
n ( H 2 H1 ) i 0
i0 n H
n ( D2 D1 ) 0
0 n D
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第四章 电磁波的传播
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4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
5. 复数表示下的乘法运算
乘积的瞬时值：取复数量的实部（瞬时值）之后进行乘法运算
4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
B E E 0, B 0 , B E (4.1.6) t t 初始条件： E |t 0 E0 (r ), B |t 0 B0 (r ); 边界条件： E |S E S
4. 电场波动方程的定解问题 原定解问题
磁场强度切向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续；后者不独立！
关于电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用于求解， 而是事后用来计算导体界面的自由面电荷密度 结论：用于求解时谐场的 n ( H 2 H1 ) 0 n ( E2 E1 ) 0, 独立齐次边值关系如下：
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u X ( x)Y ( y)Z ( z)e i t
d2X dx2
2 k x X ,
d 2Y dy2

2 k y Y ,
d 2Z dz 2
2 k z Z
2 2 2 k x k y k z k 2 2 ,
k k x e x k y e y k z e z （波矢）
n ( B2 B1 ) 0
(4.1.4)
{
(4.1.5)
B dS i E dS i E dl
S S C
1
1
S
C
n B limS 0
电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续;对时谐场，后者不独立！ i 一般结论:切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续： B E
E

新定解问题
E 0,
(a) 基本方程

E 1 新老定解问题之间的等效性 B0 (r ) E0 (r ) E 2 E ① t t 0 ② 2 E ( E ) t ( B) t E 2 t E E B E 0 B E t t t 证毕 2013-10-8 4 第四章 电磁波的传播
乘积的周期平均值：可直接由复数量进行计算
类比交流电的平均功率表达式： 平均功率 V ： 复电压(共轭） I： 复电流 可写下电磁能密度、能流密度和功率密度 1 w ( D E B H ), S E H, p jE 2 1 的周期平均值： w Re( D E B H ) 4 1 S Re( E H ) 2
v

k
2. 横波，E、B、k 满足右手正交关系(见右图) 3. E 和B 同相变化 ，且 | E | v | B | 4. 平均电磁能量密度、能流密度和动量密度： 1 1 w | E 0 |2 | B0 |2 2 2
c , n n
0 0
（n 为折射率）
(4.1.28) E k
证
D D t t i i D dS H dS H dl S S C H j0
D
i

H
S
C
i n D limS 0 S

C
H dl
(b) 普通导体界面： 0 0 ， n ( D2 D1 ) 0
1 i S

C
E dl

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第四章 电磁波的传播
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4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
绝缘介质、普通导体界面(i0 = 0)： n ( H 2 H1 ) 0 (a) 绝缘介质界面： 0＝0 齐次边值关系 n ( D2 D1 ) 0 可由 n ( H 2 H1 ) 0 导出
t E 0 由式(4.1.17)，B = 0 自动满足 幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需 给定边界条件和无限远处的渐近条件 解的唯一性问题：需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其 他外部约束条件解决；例如电磁波的反射和折射将证明解的唯一性
{
2 /t 2 2 2 E k 2 E 0 k 2 2 i
B i E
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第四章 电磁波的传播
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4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
4. 时谐电磁场的边值关系 原边值关系 n ( E E ) 0, 2 1
n ( D2 D1 ) 0 ,
第四章 电磁波的传播
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4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场
3. 电场波动方程
将电磁性能方程(4.1.3)代入麦克斯韦方程(4.1.1)得 B E E , B E (4.1.6) t t E 0, B 0 运用矢量分析手段，从方程中消去B，化作仅含E 的方程： B 2 2 ( E ) ( E ) E E ( B) t t 2
(b) 定解条件： 电场： E |t 0 E0 (r ), E / t |t 0 f 0 (r );① E |S E S 磁场： B |t 0 B0 (r ) （为何不需要标定边条件？）
B E , t
E 2E 2 E 2 0 t t