高中数学综合复习学案——椭圆
高中数学椭圆的性质教案
高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。
2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。
三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。
2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。
四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。
五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。
教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。
同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。
高中数学专题椭圆的简单的几何性质学案
2.1。
2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。
椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（ ），（ ），（ ）; 长轴，其长为;短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。
(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。
(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。
（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。
二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。
例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。
当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是 （ )A 。
高中数学新人教版A版精品教案《《椭圆》复习导学案》
《椭圆》导学案一、知识点梳理椭圆的标准方程及其简单几何性质条件 2a>2c,a 2=b 2c 2,a>0,b>0,c>0标准方 程及 图形2222x y a b +=1a>b>02222y x a b +=1a>b>0范围 ||≤a;||≤b ||≤b;||≤a 对称性曲线关于___________________________对称曲线关于___________ ________________对称 顶点长轴顶点________短轴顶点________长轴顶点________ 短轴顶点________焦点 ________________焦距 |F 1F 2|=________离心率e= c a ∈________二、范例讲解例1．（2021年高考大纲全国卷）已知椭圆C ：222210a x y a b b +=>>（）的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线交C 于A 、B 两点，若B AF 1∆的周长为34，则C 的方程为（ ）（A ）12322=+y x （B ）1y 322=+x （C ）181222=+y x （D ）141222=+y x例2已知），（01-1F 、）（0,12F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于轴的直线交C 于A 、B 两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）（A ）1y 222=+x （B ）12322=+y x （C ）13422=+y x （D ）14522=+y x是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 、2F 是焦点，若01230F PF ∠=,则21PF F ∆的面积等于（ ） （A ）3316（B ））（3-24（C ））（3216+（D ）16三、练习巩固1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）（A ）13（B C ）12（D2已知椭圆的焦点为），（01-1F 和）（0,12F ，P 是椭圆上的一点，且1212F F PF PF 是与的等差中项，则该椭圆的方程是（ ）（A ）22y 1169x +=（B ）2211612x y +=（C ）22143x y +=（D ）22134x y +=3已知椭圆的方程为2223(0)x y m m +=>，则此椭圆的离心率为（ ）（A ）13（B （C （D ）12是以1F 、2F 为焦点的椭圆222210a x y a b b+=>>（）上的一点，且120PF PF •=,121tan 2PF F ∠=,则此椭圆的离心率为（ ）（A B （C ）13（D ）12（3，-2）且与椭圆22y 194x +=有相同焦点的椭圆的方程为（ ）（A ）22y 11510x +=（B ）2212520x y +=（C ）2211015x y +=（D ）2212015x y +=是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，4CBA π∠==4,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________。
高考数学椭圆总复习教案-精选教学文档
高考数学椭圆总复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高考数学椭圆总复习教案，希望能给大家带来帮助!高三数学理科复习39-----椭圆【考纲要求】掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质【自学质疑】1.椭圆的长轴位于轴，长轴长等于 ;短轴位于轴，短轴长等于 ;焦点在轴上焦点坐标分别是和 ;离心率 ;左顶点坐标是下顶点坐标是 ;椭圆上点的横坐标的范围是，纵坐标的范围是 ; 的取值范围是。
2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为。
3.若是椭圆的两个焦点，过作直线交椭圆于两点，则的周长等于 .4.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的倍则椭圆的离心率。
(2)若椭圆的长轴长不大于短轴长的倍则椭圆的离心率。
(3)若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形则椭圆的离心率。
【例题精讲】1.设椭圆中心在原点，对称轴在坐标轴，且长轴是短轴的2倍。
又点在椭圆上，求这个椭圆方程。
2.如图，设椭圆的焦点为与，为该椭圆上的点，且。
求证：的面积。
3.若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的范围。
【矫正巩固】1.若椭圆的离心率，则的值是。
2.椭圆上的点到左焦点的距离，到右焦点的距离3.设中心在原点，焦点在轴上的椭圆左顶点为，上顶点为，若左焦点到直线的距离是，则椭圆的离心率。
4.已知椭圆，为左顶点，为短轴一顶点，为右焦点，且，则此椭圆离心率为 .5.已知是椭圆上一点，与两焦点连线互相垂直，且到两焦点的距离分别为，则椭圆方程为。
6.点是椭圆的一点，与是它的两个焦点，若 ,则的面积为。
7.如图，在中， , ,一个椭圆以为一个焦点，以分别作为长、短轴的一个端点，以原点作为中心，求该椭圆的方程。
【迁移应用】1. 椭圆的右焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是2. 若椭圆的离心率为，则实数。
3. 椭圆上一点到两个焦点的距离之积为，则取最大值时，点的坐标是4. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是，( 是大于0的常数)(1)求椭圆的方程;(2)若椭圆过点，求的值。
高三数学椭圆复习教案
椭圆课题椭圆备注三维目标掌握椭圆的定义和基本性质，能解决常规小题和解答题培养学生数形结合的思想重点椭圆的定义和基本性质，能解决常规小题和解答题难点灵活处理椭圆的定义和基本性质辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )(5)a2y2＋b2x2＝1 (a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )(6)a2x2＋b2y2＝1 (a>b>0)与a2y2＋b2x2＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )考点自测1．椭圆10－mx2＋m－2y2＝1的焦距为4，则m等于( ) A．4 B．8C．4或8 D．122．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于21，则C的方程是( )A.3x2＋4y2＝1B.4x2＋3y2＝1C.4x2＋2y2＝1D.4x2＋3y2＝13．设P 是椭圆25x2＋16y2＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的周长为________．4．已知椭圆a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．知识梳理 1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质 点P (x 0，y 0)和椭圆的关系 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔0＋0<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔0＋0＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔0＋0>1.例题选讲 题型一 椭圆的定义及标准方程例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________． (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(，1)、P 2(－，－)，则椭圆的方程为________．变式训练 (1)过点(，－)，且与椭圆25y2＋9x2＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(2)设F 1， F 2分别是椭圆E ：x 2＋b2y2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x轴，则椭圆E 的方程为______________________．题型二 椭圆的几何性质例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为31，且BF 2＝，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．变式训练 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|→PF1＋→PF2|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2(2)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos∠ABF ＝54，则C 的离心率e ＝________.例 3 已知椭圆a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长．(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．变式训练 设F 1，F 2分别是椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .高考链接 过点M (1,1)作斜率为－21的直线与椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．(2)已知椭圆a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使sin∠PF1F2a ＝sin∠PF2F1c ，则椭圆的离心率的取值范围为______．。
椭圆复习课(第一课时)学案-2025届高三数学一轮复习
椭圆复习课（第一课时）学习目标知识与技能：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握椭圆的简单应用.理解数形结合的思想. 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.教学过程一、知识梳理1、定义：平面内到两个定点21F F ，的距离之 等于常数（ ）的点的 轨迹叫椭圆.2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程22221(0)x y a b a b +=>> )0(12222>>=+b a b x a y 图 像范围 -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b对称性 对称轴：坐标轴; 对称中心：原点顶点坐标()0,1a A - ()0,2a A ()b B -,01 ()b B ,01()a A -,01 ()a A ,02 ()0,1b B - ()0,2b B焦点坐标 ()0,1c F - ()0,2c F()c F -,01 ()c F ,02轴长 长轴长2a ，短轴长2b焦距 c F F 221=a,b,c 关系222b a c +=亲，表格中有数处错误，你能一一找出吗？离心率1>=ac e（1）动点P 到两定点A （–2，0）,B(2，0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆.（ ）（2）若椭圆1ky 4x 22=+的焦距是22，则k=2. ( )三、能力提升考点一 椭圆的定义及其标准方程例1：已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）一个焦点为（2，0），离心率为 ；（2）过 ()23,N 1,6M ，），（-两点.直击高考已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，离心率为33，过2F 的直线L 交C 于A ，B 两点，若B AF 1∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A.12y 3x 22=+B. 1y 3x 22=+ C. 18y 12x 22=+ D. 14y 12x 22=+变式提升：设21F F ，分别是椭圆116y 25x 22=+的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，|OM| =3，则P 点到椭圆左焦点的距离为 （ ）A.4B.3C.2D.521=e X YPO xyBOA1F1F2F2FM考点二、椭圆的几何性质例2、已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，P 是椭圆短轴的一个端点，且21PF PF ⊥,则椭圆的离心率为 .变式提升椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为21F F ，，焦距为2c ，若直线y=3（x+c ）与椭圆C 的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 .互动探究已知椭圆C: 1by a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，M 为椭圆上一点，021=•M F M F ,则椭圆离心率的范围是 .XYMO1F2FYOXP1F2F探究思考1)本题中若P 点在椭圆内部，其他条件不变，试求之。
最新椭圆(高三复习课教案)
椭圆（高三复习课）阜阳三中谭含影一、教学内容分析圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。
二、学生学习情况分析本班是普通文科班，此课之前，学生已经学习过相关内容。
此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。
因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练” 、“思”、“究” 的自主学习。
通过学生的“练” 、“ 思”、“究” ，再到教师的“讲” ，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质” 。
三、教学目标1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。
2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。
3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
四、教学重点与难点教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。
2、了解椭圆的简单应用。
教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。
五、教学过程1、知识梳理构建网络问题1平面内与两个定点F「F2的距离之和为常数的点的轨迹是什么常数大于\F1F2 |时，点的轨迹是椭圆常数等于\F1F2 \时，点的轨迹是线段F1F2常数小于\ F1F2 \时，点的轨迹不存在F! F2问题2:平面内到定点 F 与到定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆吗? 常数e(0<e<1)点的轨迹是椭圆2 2 2 2字 卡 T , 合 ¥ 冷，(a >b > 0)分别表示中心在原点，焦点在 问题4:椭圆的几何性质有哪些?问题3:椭圆的标准方程的两种形式是什么?x 轴和y 轴上的椭圆2、要点训练知识再现例1设椭圆的两个焦点分别为F i、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若厶F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
高中数学必修五椭圆教案
高中数学必修五椭圆教案一、椭圆的定义1. 椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 两个给定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的性质1. 椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦距为2c，满足a^2 = b^2 + c^2。
2. 椭圆的离心率e = c/a，0<e<1，e越接近0，椭圆越扁。
3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 椭圆的方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(a>b)。
5. 椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
6. 椭圆的一个重要性质是对称性，椭圆关于x轴、y轴对称，关于原点对称。
三、椭圆的应用1. 椭圆在椭圆运动、工程设计、图像处理等领域有广泛的应用。
2. 椭圆在几何学、物理学、天文学等学科中起着重要作用。
3. 学生可以通过椭圆的性质和方程解决实际问题，提升数学分析和问题解决能力。
四、教学内容安排第一节：椭圆的定义和基本性质1. 理解椭圆的定义和基本性质。
2. 掌握椭圆的方程及其标准形式。
3. 通过例题训练椭圆的相关计算和推理能力。
第二节：椭圆的图形和对称性1. 了解椭圆的图形特点。
2. 掌握椭圆的对称性质。
3. 利用椭圆的对称性解决相关问题。
第三节：椭圆的参数和离心率1. 学习椭圆的参数和离心率的概念。
2. 理解椭圆参数和离心率的计算方法。
3. 通过实例练习掌握椭圆参数和离心率的应用。
五、教学方法和评价方式1. 采用讲解、示范、练习相结合的教学方法，引导学生理解和掌握椭圆的相关知识。
2. 通过课堂练习、作业和考试等方式评价学生对椭圆的掌握程度。
3. 鼓励学生在实际问题中运用椭圆知识进行分析和解决，提高综合应用能力。
六、教学反思和展望1. 针对学生掌握情况和学习反馈，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。
2. 拓展椭圆的应用领域，引导学生深入理解椭圆的物理和几何意义。
高三数学第一轮复习教案第50课时—椭圆(学案)
高三数学第一轮复习讲义（50）椭 圆一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．二．知识要点：1．椭圆的定义（1）第一定义： ．（2）第二定义： ．2．标准方程： ．3．几何性质： ．4．参数方程 ．三．课前预习：1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -= ()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y += 2．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x()A 有相等的长、短轴 ()B ()C 有相等的离心率 ()D 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3方程是 ．4．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30该椭圆的长轴长 ，短轴长 5．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35针方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是 ；新椭圆方程是 ．四．例题分析：例1．设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF ，求证：离心率2cos 2cos βαβα-+=e ； （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆的面积为2tan b θ⋅．例3．设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q，若22||2||QF PF =-2PF 的方程． 五．课后作业： 班级 学号 姓名1．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于 （ ）()A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 16 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为 （ ）()A ()B ()C 12 ()D 453． 椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x ，关于直线0x y +=对称，则椭圆C 的方程是___________________．4．到两定点12(3,0),(9,0)F F 的距离和等于10的点的轨迹方程是 ．5．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 ． 6．如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程．7．AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：OM AB k k ⋅为定值．8．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．M NP经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。
高三一轮复习椭圆学案 ((复习课))
高三一轮复习椭圆学案-------椭圆的定义、标准方程及性质【学习目标】1、椭圆的定义、性质及标准方程2、椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质3、椭圆的焦点三角形及相关结论【回顾知识、把握基础】（自主梳理）1. 椭圆的定义：在平面内到两定点12F F 、的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫 .这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做 .椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（1）若21PF PF +=2a ＞21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （2）若21PF PF +=2a =21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （3）若21PF PF +=2a ＜21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . 2. 椭圆的方程（中心在原点，坐标轴为对称轴）： （1）椭圆的标准方程焦点在x 轴上时方程为 ： . 焦点在y 轴上时方程为 ： . （2）椭圆的一般方程： . （3）椭圆的参数方程： . 3. 标准方程图形范围 顶点对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点焦距 离心率4. 几个重要结论：设P 是椭圆上)0(12222>>=+b a by a x 的点，12F F 、是椭圆的焦点，θ=∠21PF F ,则(1)=∆21PF F S .(2) 当P 为短轴端点时=∆max )(21PF F S .(3)当P 为短轴端点时，21PF F ∠为 . (4)椭圆上的点 距离1F 最近， 距离2F 最远.c a -≤1PF ≤c a +;],[2221a b PF PF ∈⋅(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短=CD . (6)如图1ABF ∆的周长为 . 5．点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上⇔ .（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部⇔ .（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部⇔ .6．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为： .与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为： .【典例分析】考点一：椭圆的定义及应用 例1、（1）已知12F F 、为两定点，21F F ＝4，动点M 满足421=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 .（2） 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为其上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．oPCxyD1F2F1A 2A考点二：求椭圆的标准方程例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23；(2)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；(3)与椭圆 x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(4)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63例3、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，=∠21PF F 60°，21F PF ∆的面积为3，且离心率为21，求此椭圆的方程。
椭圆(高三复习课教案)
椭 圆（高三复习课）阜阳三中 谭含影一、教学内容分析圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。
二、学生学习情况分析本班是普通文科班，此课之前，学生已经学习过相关内容。
此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。
因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。
通过学生的“练”、“ 思”、“究” ，再到教师的“讲”， 使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。
三、教学目标1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。
2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。
3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
四、教学重点与难点教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。
2、了解椭圆的简单应用。
教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。
五、教学过程 1、知识梳理 构建网络问题1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和为常数的点的轨迹是什么? 常数大于12||F F 时，点的轨迹是椭圆常数等于12||F F 时，点的轨迹是线段F 1F 2 常数小于12||F F 时，点的轨迹不存在问题2：平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆吗？ 常数e (0<e <1)点的轨迹是椭圆问题3：椭圆的标准方程的两种形式是什么？12222=+b y a x ， 12222=+ay b x , (a ＞b ＞0) 分别表示中心在原点，焦点在 x 轴和y 轴上的椭圆问题4：椭圆的几何性质有哪些？2、要点训练 知识再现例1 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
高中数学..椭圆及其标准方程学案
2.1。
1椭圆及其标准方程 学案(一)教学目标1.理解椭圆的定义；2。
理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3。
掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
(二）教学重点与难点 重点:掌握椭圆的标准方程难点：会根据条件求椭圆的标准方程,会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（三）教学过程问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、 曲线与方程的概念？2、求曲线的方程的步骤?引例1:1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后，又将渐渐离去，并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长引例2:手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉近,使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于||21F F ）的点的轨迹叫作 ，这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 即1212|PF |||||PFF F +>；焦点：12,F F ；焦距：12||F F注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： (1）两个定点—-—两点间距离确定（2)绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考:在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段)在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)问题2：你能利用上一节学过的坐标法求出椭圆的方程吗？ 问题3：书本P39页思考? 问题4:书本P40页思考？如果椭圆的焦点在y 轴上(选取方式不同，调换yx ,轴)焦点则变成),0(),,0(21c F c F -，只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bxa y ，也是椭圆的标准方程2、椭圆标准方程：（1）焦点在焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -,中心在坐标原点的椭圆方程12222=+by a x其中222b c a+=（2）焦点在焦点在y 轴上，焦点是),0(),,0(21c F c F -,中心在坐标原点的椭圆方程12222=+bx a y其中222b c a+=（3)方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；由于m n与的大小关系判断焦点在那个坐标轴上。
高考数学复习知识点讲解教案第51讲 椭圆-第1课时 椭圆及其性质
2
36
= 1上一点到焦点1 的距离等于6,那么点到
14
36
另一个焦点2 的距离是____，△
1 2 的周长为____.
[解析] 根据椭圆的定义得 1 + 2 =
所以6 + 2 = 20,故 2 =
2
14.由
=
2
2,由
2
−
2
= 100,得 = 10,
= 100 − 36 = 64,得 = 8，
数：
（1）
>
若_______，则集合为椭圆；
（2）
=
若_______，则集合为线段；
（3）
<
若_______，则集合为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
2
2
+
2
2
=1 >>0
2
2
+
2
2
=1 >>0
图形
性质
范围
− ≤ ≤
______________，
当直线的斜率不存在时,
1 − 2
___________.
1+
2
1+
1
2
[ 1 + 2
2
− 41 2 ]或
[ 1 + 2
2
− 41 2 ].
−
1
2
=___________.当直线的斜率
= 0时，
=
5.直线与椭圆相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
− ≤ ≤
______________，
高中数学椭圆专题教案
高中数学椭圆专题教案
一、教学目标：
1. 了解椭圆的定义和相关概念；
2. 掌握椭圆的方程及性质；
3. 能够解决与椭圆相关的问题；
4. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学重点与难点：
1. 椭圆方程的推导和应用；
2. 椭圆的性质和应用。
三、教学内容与方法：
1. 椭圆的定义和性质；
2. 椭圆方程的推导和应用；
3. 椭圆的焦点和离心率；
4. 椭圆的方向及其应用。
四、教学过程：
1. 椭圆的定义和性质（讲解椭圆的几何定义及其特点）；
2. 椭圆方程的推导和应用（介绍椭圆方程的一般形式及如何根据给定条件求解）；
3. 椭圆的焦点和离心率（讲解椭圆焦点和离心率的概念及其计算方法）；
4. 椭圆的方向及其应用（介绍椭圆的水平方向和垂直方向的特点及应用）；
5. 完成练习题，巩固椭圆相关知识点。
五、教学资源：
1. 教科书、教学课件；
2. 纸质练习题。
六、教学评价：
1. 学生课堂表现；
2. 课后作业考察。
七、教学注意事项：
1. 注意椭圆的定义和相关知识点；
2. 讲解重点难点；
3. 确保学生掌握基本概念。
以上就是本次高中数学椭圆专题教案的范本，希朹对您有所帮助。
高三数学第一轮复习教案第50课时—椭圆(学案)
高三数学第一轮复习讲义（50） 2004.11.4椭 圆一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．二．知识要点：1．椭圆的定义（1）第一定义： ．（2）第二定义： ．2．标准方程： ．3．几何性质： ．4．参数方程 ．三．课前预习：1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -= ()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y += 2．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x ()A 有相等的长、短轴 ()B ()C 有相等的离心率 ()D 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3方程是 ．4．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30o该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为5．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35针方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是 ；新椭圆方程是 ．四．例题分析：例1．设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF ，求证：离心率2cos 2cos βαβα-+=e ；（2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆的面积为2tan b θ⋅．例3．设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q，若22||2||QF PF =-2PF 的方程． 五．课后作业： 班级 学号 姓名1．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=o ，则12F PF ∆的面积等于 （ ）()A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 16 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为 （ ）()A 77- ()B 77+ ()C 12 ()D 453． 椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x ，关于直线0x y +=对称，则椭圆C 的方程是___________________．4．到两定点12(3,0),(9,0)F F 的距离和等于10的点的轨迹方程是 ．5．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 ． 6．如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程．7．AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：OM AB k k ⋅为定值．8．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左M NP,F F距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找准线的距离为它到两焦点12到，请说明理由．。
椭 圆-高中数学复习
−3
（3，4）∪
（4，5） .
5 − > 0，
解析：由已知得ቐ − 3 > 0，
解得3＜ k ＜5且 k ≠4.
5 − ≠ − 3，
高中总复习·数学
1. 若点 P 在椭圆上， F 为椭圆的一个焦点， O 为椭圆中心，则（1） b
≤｜ OP ｜≤ a ；
（2） a － c ≤｜ PF ｜≤ a ＋ c .
）
2
1
16
＋
2
1
4
＝
1
1
3
3
1，所以 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则长轴长2 a ＝1，焦距2 c ＝ ，
2
4
4
2
1
3
短轴长2 b ＝ ，离心率 e ＝ ＝ ，故选D.
2
2
高中总复习·数学
4.
1
已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F （1，0），离心率等于 ，
3
则椭圆 C 的方程是（
圆.
（
√
）
2
2
2
2
（4） 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）与 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的焦距相
同.
（
√
）
高中总复习·数学
2.
2
2
椭圆 ＋ ＝1上点 P 到上焦点的距离为4，则点 P 到下焦点的距离
16
25
为（
）
A. 6
B. 3
C. 4
D. 2
解析：
2
2
由椭圆方程 ＋ ＝1，得 a 2＝25，即 a ＝5，设下焦点
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a 2 �b 2 a 2 �b 2 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 � � x0 � . a a x2 y 2 9. 设P 点是椭圆 2 � 2 �1 （ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、F2 为其焦点记 a b
�F1 PF2 �8，则(1) | PF1 || PF2 |�
10. 设A、B 是椭圆
例 1. 已知椭圆
内有一点 A（2，1） ，F 是椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C 上
的动点，求
的最小值。
分析：注意到式中的数值“
”恰为
，则可由椭圆的第二定义知
等于椭圆上的点 P
到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过， 这
里不再重复，答案为 二、 的最值
。
若 A 为椭圆 C 内一定点 （异于焦点） ， P 为 C 上的一个动点， F 是 C 的一个焦点， 求 的最值。
2. 若P 为椭圆
x2 y 2 a＞b＞0） 上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, �PF1 F2 ��, � �1 （ a 2 b2 a �c � � � tan co t . a �c 2 2
�PF2 F1 � �，则
3. 设椭圆
x2 y 2 � �1（a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点 ）为椭圆上任意一点 ， a 2 b2
7. 已知椭圆
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x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 � 2 �1 内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 2 � 2 � 2 � 2 a b a b a b x2 y 2 椭圆 2 � 2 �1 （a＞b＞o）的两个顶点为 A1 (�a, 0) , A2 ( a, 0) ，与y 轴平行的直线交椭 a b
例 2. 已知椭圆
内有一点 A（2，1） ，F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求
的最大值与最小值。 解：如图 1，设椭圆的右焦点为 ，可知其坐标为（3，0）
图1 由椭圆的第一定义得：
可知，当 P 为 P为 故 三、
的延长线与椭圆的交点时，
最大，最大值为 最小，最小值为 。 。
， 当
的延长线与椭圆的交点时， 的最大值为 的最值 ，最小值为
x2 y2 圆于P1、 P2 时A1P1 与A2P2 交点的轨迹方程是 2 � 2 �1 . a b 2 2 x y 1. 过椭圆 2 � 2 �1 (a＞0, b＞0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭 a b b2x 圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且 k BC � 2 0 （常数）. a y0
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x2 y 2 b2 的不平行于对称轴的弦 ，M 为AB 的中点，则 ， � � 1 ( x , y ) k � k � � 0 0 OM AB a 2 b2 a2 b2 x �� 2 0 。 a y0
12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y 2 � �1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 � 2 � 2 � 2 . a2 b a b
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若 A 为椭圆 C 外一定点， 为 C 的一条准线，P 为 C 上的一个动点，P 到 的距离为 d，求 的最小值。
例 3. 已知椭圆
外一点 A（5，6） ， 为椭圆的左准线， P 为椭圆上动点，点 P
到 的距离为 d，求
的最小值。
解：如图 2，设 F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为
在△PF1F2 中，记 �F1 PF2 ��, �PF1 F2 � �, �F1 F2 P � � ，则有
sin � c � �e. sin ��sin � a
4. 若椭圆
x2 y 2 � �1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤ 2 �1 a 2 b2
时，可在椭圆上求一点 P，使得PF1 是P 到对应准线距离 d 与PF2 的比例中项. 5. P 为椭圆
设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点 ，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于 M、N 两点，则MF⊥NF.
9.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点， A1P 和A2Q 交于点M， A2P 和A1Q 交于点N，则MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB
一、
的最值
若 A 为椭圆内一定点（异于焦点） ，P 是 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，e 是 C 的离
心率，求
的最小值。
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高中数学综合复习结论学案——椭圆
1. 2. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2 在点P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆 ，除去 长轴的两个端点 . 3. 4. 5. 6. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .
(1) | PA |�
11. 已知椭圆
x2 y 2 � �1 （ a＞b＞0）的右准线 l 与x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直 a 2 b2
线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC � x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中 点. 12. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线 ，与以长轴为直径的圆相交 ，则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直 . 13. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点 ， 则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直. 14. 椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .） 15. 椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 16. 椭圆焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 .
x2 y 2 � �1 （a＞b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 a 2 b2
2a �| AF2 |� | PA | �| PF1 |�2a �| AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .
6. 椭圆
( x � x0 )2 ( y � y0 )2 � �1 与直线 Ax �By �C � 0 有公共点的充要条件是 a2 b2 A2 a 2 �B 2 b2 � ( Ax0 �By0 �C ) 2 .
x2 y 2 ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点 ，且 OP � OQ . � �1（a＞b＞0） a 2 b2 1 1 1 1 4 a 2b 2 2 2 （1） ;（2）|OP| +|OQ| 的最大值为 ;（3） S � � � � OPQ 的 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 a 2 �b 2 a 2b 2 x2 y 2 最小值是 2 .过椭圆 � �1 （a＞b＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于 M,N a � b2 a 2 b2 | PF | e 两点，弦MN 的垂直平分线交 x 轴于P，则 � . | MN | 2 x2 y 2 8. 已知椭圆 2 � 2 �1 （ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点 ，线段AB 的垂直平分线与 x a b