离散数学-2-4 变元的约束
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离散数学课后习题答案(第二章)
(3) 寻求下列各式的真假值。 A） (∀x)( P( x) ∨ Q( x)) ，其中 P( x) : x = 1, Q( x) : x = 2 ，且论域是 {1, 2} B） (∀x)( P → Q( x)) ∨ R( a) ， 其中 P : 2 > 1, Q( x) : x ≤ 3, R( x) : x > 5 而 a : 5 ， 论域是 {−2,3, 6} 解：a) (x)(P(x)∨Q(x))⇔(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但 P(1)为 T，Q(1)为 F，P(2)为 F，Q(2)为 T, 所以(x)(P(x)∨Q(x))⇔(T∨F)∧(F∨T) ⇔T。 b) (x)(P→Q(x))∨R(a)⇔ ((P→Q(−2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为 P 为 T，Q(−2)为 T，Q(3)为 T，Q(6)为 F，R(5)为 F， 所以(x)(P→Q(x))∨R(a)⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F⇔ F (4) 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。 A） ∀x∃y ( P ( x, z ) → Q ( y ) � S ( x, y ) B） (∀xP( x) → ( R( x) ∨ Q( x))) ∧ ∃xR( x)) → ∃zS ( x, z) 解：a)(u)(v)(P(u，z)→Q(v))S(x，y) b)(u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(v)R(v))→(z)S(x,z) (5) 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。 A） (∃yA( x, y ) → ∀xB ( x, z )) ∧ ∃x∀zC ( x, y , z ) B） (∀yP( x, y ) ∧ ∃zQ( x, z )) ∨ ∀xR( x, y) 解：a)((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，t，z) b)((y)P(u，y)∧(z)Q(u，z))∨(x)R(x，t) 习题 2-5 （1）考虑以下赋值，论域：
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q →P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15,7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A B的充要条件是A B且B A。
主要等价式：(1)双否定：A A。
(2)交换律：A∧B B∧A，A∨B B∨A，A B B A。
3)结合律：(A∧B)∧C A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C A∨(B∨C)，(A B)C A(B C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：(A∧B)A∨B，(A∨B)A∧B。
(6) 等幂律：A∧A A，A∨A A。
(7) 同一律：A∧T A，A∨F A。
(8) 零律：A∧F F，A∨T T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)A，A∨(A∧B)A。
(10) 互补律：A ∧A F，(矛盾律)，A∨A T。
(排中律)(11) 条件式转化律：A→B A∨B，A→B B→A。
Chapter2_谓词逻辑2(34谓词公式与变元约束)
离散数学
从上述两个例子可以看出，命题的符号表达式与论域有关。当 论域扩大时，需要添加用来表示客体特性的谓词，称此谓词为 特性谓词。特性谓词往往就是给定命题中量词后边的那个名词 。如上面两个例子中的“所有自然数”、“有些大学生”。 如何添加特性谓词，这是个十分重要的问题，这与前边的量词 有关。 特性谓词的添加方法如下： 如果前边是全称量词，特性谓词后边是蕴含联结词“→”；如 果前边是存在量词，特性谓词后边是合取联结词“∧”。
y的辖域为R(x,y)。
xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
z的辖域
y的辖域
x的辖域
离散数学
一、概念 1、指导变元、作用域、约束变元、自由变元
量 词
约 束 变 元
自 由 变 元
(x) P( x, y)
指 导 变 元
辖 域
通常，一个量词的辖域是公式的子公式。因 此，确定一个量词的辖域即是找出位于该量词之后 的相邻接的子公式，具体地讲： 若量词后有括号，则括号内的子公式就是该 量词的辖域； 若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为 该量词的辖域。 判定给定公式中个体变元是约束变元还是自 由变元，关键是要看它在公式中是约束出现，还是 自由出现。
离散数学
例题2
小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命 题可以表示为D(f(a)).
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设 h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为: xy((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))
像上述的g(x)、f(x)、h(x,y)就是客体函数，一般地用小写的 英文字母f,g,h….表示客体函数。
第二章谓词逻辑
30
2-3 谓词公式及命题符号化
而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词 后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号 不是最外层括号，所以不可以省略。 谓词演算公式中使用的符号（共七种）
简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数
15
2-2 命题函数与量词
例如，给定简单命题函数： A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好， 1.复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。 2.复合命题函数B(x)∧C(x)：x学习好，工作也好 3.复合命题函数B(x)→C(x)：若x学习好，则x工作也 好
16
2-2 命题函数与量词
2-2.2个体域 (论域) 例1：设Q(x,y)表示“x比y重” x,y为人或物时，它是一个命题 x,y为实数时,Q(x,y)就不是一个命题。 例2:S(x)表示x是大学生 x范围是某大学学生， S(x)是永真式 x范围是某中学学生，则S(x)是永假式 x范围是某个剧场中的观众，则S(x)对某些观众 是真，对某些观众是假
22
2-2 命题函数与量词
用全总个体域时，对每一个客体变元的变化范 围，用特性谓词加以限制。 全称量词：特性谓词常作为蕴涵的前件 存在量词：特性谓词常作为合取项 例题１.所有的自然数都是整数。 设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。 命题为：x(N(x)→I(x))
23
2-2 命题函数与量词
26
2-3 谓词公式及命题符号化
要注意区分客体函数与谓词间的区别体变元用客体带入后的结果依 然是个客体(3∈N,g(3)=6，所以g(3)∈N)。
2-3 谓词公式及命题符号化
而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词 后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号 不是最外层括号，所以不可以省略。 谓词演算公式中使用的符号（共七种）
简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数
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2-2 命题函数与量词
例如，给定简单命题函数： A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好， 1.复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。 2.复合命题函数B(x)∧C(x)：x学习好，工作也好 3.复合命题函数B(x)→C(x)：若x学习好，则x工作也 好
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2-2 命题函数与量词
2-2.2个体域 (论域) 例1：设Q(x,y)表示“x比y重” x,y为人或物时，它是一个命题 x,y为实数时,Q(x,y)就不是一个命题。 例2:S(x)表示x是大学生 x范围是某大学学生， S(x)是永真式 x范围是某中学学生，则S(x)是永假式 x范围是某个剧场中的观众，则S(x)对某些观众 是真，对某些观众是假
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2-2 命题函数与量词
用全总个体域时，对每一个客体变元的变化范 围，用特性谓词加以限制。 全称量词：特性谓词常作为蕴涵的前件 存在量词：特性谓词常作为合取项 例题１.所有的自然数都是整数。 设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。 命题为：x(N(x)→I(x))
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2-2 命题函数与量词
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2-3 谓词公式及命题符号化
要注意区分客体函数与谓词间的区别体变元用客体带入后的结果依 然是个客体(3∈N,g(3)=6，所以g(3)∈N)。
离散数学第二章谓词逻辑
4
第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
2.1 谓词的概念与表示
在谓词逻辑中，可将原子命题划分为个体和谓 词两部分。 个体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。 例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、
中国、思想、唯物主义等，客体也可称之为 主语。 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系 的词。
第二章 谓 词 逻 辑
命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不
再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结 构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些 简单而又常见的推理过程。
1
第二章 谓 词 逻 辑
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中,如果
31
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
(4) 一 般 来 说 ， 当 多 个 量 词 同 时 出 现 时 ，
它们的顺序不能随意调换。 例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，
则命题“对于任意的x，都存在y使得 x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值 为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
（x）(M(x) F(x))
34
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
2.1 谓词的概念与表示
在谓词逻辑中，可将原子命题划分为个体和谓 词两部分。 个体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。 例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、
中国、思想、唯物主义等，客体也可称之为 主语。 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系 的词。
第二章 谓 词 逻 辑
命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不
再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结 构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些 简单而又常见的推理过程。
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第二章 谓 词 逻 辑
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中,如果
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
(4) 一 般 来 说 ， 当 多 个 量 词 同 时 出 现 时 ，
它们的顺序不能随意调换。 例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，
则命题“对于任意的x，都存在y使得 x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值 为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
（x）(M(x) F(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
离散数学(2.4变元的约束)
4
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.4变元的约束(Bound of variable)
• 说明:
(1)n元谓词公式A(x1，x2...xn) 中有n个自由变 元,若对其中的k(k≤n)个进行约束,则构成了 n-k元谓词;如果一个公式中没有自由变元出 现,则该公式就变成了一个命题 (2)一个公式的约束变元所使用的名称符号是 无关紧要的,如(x)M(x)与(y)M(y)意义相 同.
6
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.4变元的约束(Bound of variable)
• 例1: x( P(x)R(x,y))∧ L(x,y) 换名为t( P(t)R(t,y))∧ L(x,y)
• x( H(x,y)y(W(y) ∧
L(x,y,z))) 换名为x( H(x,y)s(W(s) ∧ L(x,s,z)))
2.4变元的约束(Bound of variable) 2.4.1变元的约束 约束变元的换名与自由变元的代入 2.4.2
3
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.4变元的约束(Bound of variable)
2.4.1变元的约束 (Bound of variable) 定义2.4.1:在谓词公式中,形如(x)P(x)和(x)P(x)的部 分,称为谓词公式的x约束部分. (x)P(x)或(x)P(x)中 的 x 叫做 量词的指导变元或作用变元， P(x) 称为相应 量 词的作用域或辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，相 应的x称为约束变元; P(x)中除约束变元以外出现的变 元称为是自由变元。 例1： 1、x( H(x,y)y(W(y) ∧ L(x,y,z))) 2、 x( H(x)W(y)) y( F(x) ∧L(x,y,z))
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.4变元的约束(Bound of variable)
• 说明:
(1)n元谓词公式A(x1，x2...xn) 中有n个自由变 元,若对其中的k(k≤n)个进行约束,则构成了 n-k元谓词;如果一个公式中没有自由变元出 现,则该公式就变成了一个命题 (2)一个公式的约束变元所使用的名称符号是 无关紧要的,如(x)M(x)与(y)M(y)意义相 同.
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.4变元的约束(Bound of variable)
• 例1: x( P(x)R(x,y))∧ L(x,y) 换名为t( P(t)R(t,y))∧ L(x,y)
• x( H(x,y)y(W(y) ∧
L(x,y,z))) 换名为x( H(x,y)s(W(s) ∧ L(x,s,z)))
2.4变元的约束(Bound of variable) 2.4.1变元的约束 约束变元的换名与自由变元的代入 2.4.2
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.4变元的约束(Bound of variable)
2.4.1变元的约束 (Bound of variable) 定义2.4.1:在谓词公式中,形如(x)P(x)和(x)P(x)的部 分,称为谓词公式的x约束部分. (x)P(x)或(x)P(x)中 的 x 叫做 量词的指导变元或作用变元， P(x) 称为相应 量 词的作用域或辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，相 应的x称为约束变元; P(x)中除约束变元以外出现的变 元称为是自由变元。 例1： 1、x( H(x,y)y(W(y) ∧ L(x,y,z))) 2、 x( H(x)W(y)) y( F(x) ∧L(x,y,z))
离散数学-2-4变元的约束
约束的表示方法
80%
文字描述
通过文字描述来表达约束条件， 例如“变量x必须是偶数”。
100%
数学表达式
使用数学表达式来表示约束条件 ，例如“x mod 2 = 0”。
80%
图形表示
通过图形来表示约束条件，例如 使用集合、区间或网络图来表示 变量的取值范围和它们之间的关 系。
03
2-4变元的约束
2-4变元的定义
随着输入和输出规模的变化，2-4变元应能够适应不 同的数据量和处理需求。
可维护性
对于已经实现的2-4变元，应易于进行修改、调试和 优化。
04
应用场景
组合优化问题
旅行商问题
在给定一组城市和每对城市之间 的距离后，求解访问每个城市一 次并回到原点的最短可能路径。
排班问题
在给定一组员工和每对员工之间 的偏好关系后，求解满足所有人 偏好的排班方案。
2-4变元
在离散数学中，2-4变元通常 指的是具有两个输入和四个输 出的函数或映射。
输入
2-4变元的输入通常为两个元 素，可以是数字、符号或其他 数据类型。
输出
2-4变元的输出为四个元素， 每个输出对应一个特定的输入 。
2-4变元的约束条件
唯一性
对于给定的输入，2-4变元的输出必须是唯一的，即每个输入只能 对应一个特定的输出。
离散数学-2-4变元的约束
目
CONT • 2-4变元的约束 • 应用场景 • 约束满足问题
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学结构、性 质及其相互关系的学科。
特点
离散数学研究对象是离散的、不连续的，与连续数学研究对象不 同。离散数学在计算机科学、工程学等领域有广泛应用。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
天津理工大学《离散数学》教学教案(第二章)
47
《离散数学》教学教案
全称量词和存在量词统称为量词。 可以用个体、谓词和量词将命题符号化，并且可以刻划命题的内在结构以及命题之间 的关系。因此，引进个体、谓词和量词后，用形式符号表示命题的功能得到加强，表达意思 更加全面、确切。 例 2.1.4 符号化下列命题。 （1） 所有的人是要呼吸的。 （2） 任何整数或是正的或是负的。 （3） 有些人是聪明的。 （4） 有的人早饭吃面包。 解 （1） x( M ( x) H ( x)) ， 其中 M ( x) ： x 是人。 H ( x) ： x 要呼吸的。
需要指出的是，在谓词演算的原子公式中不能出现命题联结词和量词。 定义 2.2.1 谓词演算的合式公式定义如下： （1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若 A 是合式公式，则 A 也是合式公式。 （3）若 A 和 B 是合式公式，则 A B ， A B ， A B 与 A B 是合式公式。 （4）若 A 是合式公式， x 是 A 中出现的任何变元，则 xA 和 xA 都是合式公式。 （5）只有经过有限次地应用规则（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）所得到的公式是合式公式。 谓词演算的合式公式，简称为谓词公式(Predicate Formula)。 由定义可知，命题公式也是谓词公式，因此命题逻辑包含在谓词逻辑中。 谓词公式中的某些括号也可以省略，其规定与命题公式相同，但量词后若有括号则不能 省略。
P Q R 并不是永真式，所以借助命题演算的推理理论不能证明其为重言式。
45
《离散数学》教学教案
为了克服命题逻辑的局限性，我们有必要对原子命题的结构作进一步的细分，划分出 个体词、谓词和量词，研究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式和规则，这就是谓 词逻辑的基本内容。
离散数学串讲
第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题语句的形式（陈述句）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）1.2 联结词1. 否定⌝2.合取∧（TT T）3. 析取∨（FF F）4. 条件→(TF F)5. 双条件↔(同T异F)1.3 命题公式与翻译命题公式●所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。
●符号化应该注意下列事项:•①确定给定句子是否为命题。
•②句子中连词是否为命题联结词。
•③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
命题符号化的重要性●命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。
1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价公式等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R1.5 重言式与蕴含式●定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。
离散数学第三章 谓词演算基础 自由变元和约束变元
WRITE(Shakespeare，y)
WRITE(son(Shakespeare)，Hamlet)
函数！
变量符号
谓词演算公式的原子公式
——谓词填式A(x1，x2，…，xn) 其中x1，…，xn是项(实体、变量符号、函数)。
原子公式是公式的最小单位，是最小的句子单位。 项不是公式。 函数f(t1,...，tm)不是句子，仅是词，因而不是公式
仅是项。项的结果仍是个体名称集合中的名词，而 公式的结果(真值)是成立或不成立(是1或0)。
合式公式的定义
定义1：谓词演算的合式公式(简称公式)是由 ◆ 原子命题、 ◆ 谓词填式（原子公式）、 ◆ 或由它们利用联结词和量词
构成的式子。
合式公式的形式定义
(1) 原子命题P是合式公式； (2) 谓词填式A(x1，x2，x3，…，xn)是合式公式； (3) 若A是公式，则A是合式公式； (4) 若A和B是合式公式，则
(AB)，(AB)，(AB)，(AB)为公式； (5) 若A是合式公式，x是A中出现的任何个体变元，则
xA(x)，xA(x)为合式公式。 (6)只有有限次使用(1)、(2)、(3)、(4)、(5)所得到的式
子才是合式公式。
自由出现和约束出现
定义2：设为任何一个谓词演算公式，并设 xA(x)，xA(x)为公式的子公式， 此时紧跟在、之后的x称为量词的指导变元 或作用变元， A(x)称为相应量词的作用域或辖域， 在作用域中x 的一切出现均称为约束出现， 在中除了约束出现外的一切出现x均称为自由 出现。
变元名称。
例： x(A(x，y)y(B(x，y))) 解： 可把公式改名为：
x(A(x，y)z(B(x，z)))
例 对下面公式实施改名
离散数学第二章
种
相当于 “任意”,“凡是”,“所有”...
存在量词(Existential Quantifier):
表示个体域中部分个体的词， 记作
相当于 “存在”,“至少有一个”,“有些”...
若个体域中所有个体x,均使A(x)为真,记作(x)A(x) 若个体域中存在某些个体x,使A(x)为真,记作(x)A(x)
4.特性谓词: 若在全总个体域讨论问题,还需在命题表达中
增加特性谓词,以说明命题中个体的取值范围.
5.命题符号化
“每个计算机系的学生都学离散数学“
“存在着偶素数”
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谓词逻辑 >谓词公式
课堂练习
在谓词逻辑中符号化： 1. 北京是中国的首都 2. 甲是乙的父亲 3. 3介于2与4之间 4. 3大于2仅当3大于4。 5. 张三和李四是同班同学 6. 天下乌鸦一般黑 7. 火车都比汽车跑得快 8. 有的火车比所有汽车快。
例题 用谓词逻辑处理苏格拉底三段论：
人总是要死的, (x) (M(x) P(x)),
苏格拉底是人, M(a),
所以,苏格拉底是要死的。 P(a).
令 P(x): x是要死的,
M(x): x是人, a: 苏格拉底
推理形式为: (x) (M(x) P(x)), M(a) P(a).
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谓词逻辑
２-1 谓词的概念与表示 ２-2 量词 ２-3 谓词公式
２-4 谓词公式的解释 ２-5 等价式与蕴含式 2－6 前束范式 ２-7 谓词演算的推理理论
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离散数学答案第二章习题解答
离散数学答案第二章习题解答第二章谓词逻辑习题与解答1、将下列命题符号化:(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业就是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(就是火车, x x C :)(就是汽车, x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(就是金属, x x L :)(就是液体, x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y xD y L y x M x ∧?→?。
(3) 论域与谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(就是人, x x J :)(就是职业, x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→?(5)论域与谓词与(4)同。
“有些职业就是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。
2、取论域为正整数集,用函数+(加法),?(乘法)与谓词<,=将下列命题符号化:(1) 没有既就是奇数,又就是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不就是偶数。
解先引进一些谓词如下:x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =??。
离散数学第2章 谓词逻辑
2-2 命题函数与量词
这里有一些人，Exist x,用反写 — 存在变量词， 用于表示个体域中的某些客体 （1）（x）（N（x） P（x））
（2）（x）（M（x） R（x）） （3）（x）（M（x） E（x）） 全称量词与存在量词统称为量词，每个由量词确定的表达式， 都与个体域有关，如： （x）（M（x） H（x）） M（x）是用于限定H（x）中的个体域， M (x）称为特性谓词，限定客体变元变化范围的谓词 当限定范围为M（x）中时，可简写为：（x）（H（x）） 此命题对于论域为人类时，是正确的，而对于自然数则是FALSE， 因为我们是讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域，把 特性谓词写出来。并且，为了方便，我们将所有命题函数的个体域 全都统一，使用全总个体域。对变化范围用特性谓词加以限制。 一般地，对全称量词，将特性谓词作为前提条件，命题通常写成 条件式，对存在量词，常将之作为合取项。
定义：H是n元谓词，a1,a2,a3……an是n个客体，H(a1,a2……an)所代 表的式子是一个命题，称为谓词填式。（当ai是客体时，A(a1…an) 才是命题。）
3 除了谓词，我们今后还要用到函数这一概念 例：老张是小张的父亲。 小张的父亲=老张
f:….的父亲； a:小张； b:老张； 则b=f(a)
所以 (x)(M (x) F(x))也就是(x)(M (x) F(x))
(5)肖阳的爸爸到北京去了。 “…到…去了”是谓词。F(x,y): x到y去了。a:肖阳, f(x):x的爸爸， b:北京 所以F(f(a),b) (6)谢世平和他的父亲及祖父三人一起去看演出。
F(x,y,z): x,y和z一起去看演出
H(1,c) H(c,1) :张三、李四一样高
例3：P(x): x是大学生 x的个体域：某大学中某班 P(x)永真 x的个体域：某中学中某班 P(x)永假 x的个体域：某剧场中观众 P(x)有真有假
离散数学课件-第九讲 变元的约束
解释
定义 所谓解释就是抽象符号与个体域上的 具体性质、关系、运算间的映射，常用I表 示一种解释。
解释包括： 定义个体域 说明谓词符号和运算符号的具体含义 注：同样的谓词公式在不同的解释下，所具
有的意义是不同的。
赋值
定义 在给定谓词公式的一种解释后，对公 式中的个体变元用其个体域中确定的个体 代入，命题变元用确定的命题代入，就称 为对谓词公式的赋值。
公式在解释I下为真
定义 给定谓词公式A的解释I，x1, x2, …, xn 是A中出现的个体变元，如果x1, x2, …, xn赋 值t1, t2, …, tn为时A为真，则称A在t1, t2, …, tn处真；当x1, x2, …, xn在解释I中的每个赋 值下，A均为真，则称A在解释I下为真。
编号
蕴涵式
I22 ∀x∀y A(x, y) ∃y∀x A(x, y)
I23 ∀y∀x A(x, y) ∃x∀y A(x, y)
I24 ∃y∀x A(x, y) ∀x∃y A(x, y)
I25 ∃x∀y A(x, y) ∀y∃x A(x, y)
I26 ∀x∃y A(x, y) ∃y∃x A(x, y)
谓词演算定律：蕴涵式
编号
蕴涵式
I18 ∀xA(x)∨∀xB(x) ∀x(A(x)∨B(x))
I19 ∃x(A(x)∧B(x)) ∃xA(x)∧∃xB(x)
I20 ∀x(A(x)→B(x)) ∀xA(x)→∀xB(x)
I21 ∃xA(x)→∀xB(x) ∀x(A(x)→B(x))
谓词演算定律：蕴涵式
约束变元换名
对一个谓词公式中的约束变元更改名称符号， 并遵循一定的规则，称为约束变元换名，规 则如下：
(1)对于约束变元的换名，其换名范围是量词辖 域中的某个约束出现的个体变元及相应的指 导变元，谓词公式的其他部分不变。
离散数学课件变元的约束
2-4 变元的约束
定义4：自由变元 定义 ：自由变元(free variable)： ： 在谓词公式中， 在谓词公式中 ， 除去约束变元以外所出 现的变元，称作自由变元。 现的变元，称作自由变元。 自由变元可以在作用域外出现， 自由变元可以在作用域外出现 ， 也可以 在作用域中出现， 在作用域中出现，但它不受相应量词中的指 导变元的约束， 导变元的约束，故我们可把自由变元看作是 公式中的参数。 公式中的参数。 例如: ∀ 例如 (∀y) (G(y)→H(x, y)) → 举例说明：P63 例1
(∀x)A(x)∧B(x) ⇔ (∀x)A(x)∧B(y) ∀ ∧ ∀ ∧ H(x,y)∨(∃x)F(x)∨(∀y)(G(y)→H(x,y)) ∨∃ ∨∀ → ⇔ H(s,t)∨(∃x)F(x)∨(∀y)(G(y)→H(s,y)) ∨∃ ∨∀ →
Байду номын сангаас
2-4.4 消去量词
需要指出，量词作用域中的约束变元， 需要指出，量词作用域中的约束变元， 当论域的元素是有限时， 当论域的元素是有限时 ， 客体变元的所有 可能的取代是可枚举的。 可能的取代是可枚举的。 设论域元素为a 设论域元素为 1 ， a2 ， … ， an 。 为有 限个体域。 限个体域。 则 (∀x)A(x) ⇔ A(a1)∧A(a2 ) ∧ … ∧ A(an) ∀ ∧ (∃x)A(x) ⇔ A(a1)∨A(a2 ) ∨ … ∨ A(an) ∃ ∨
2-4.5量词的次序：
命题中的多个量词，约定从左到右的次序读出。 命题中的多个量词 ， 约定从左到右的次序读出 。 量词对变元的约束，量词的次序不能更改，否则与原 量词对变元的约束，量词的次序不能更改， 命题意义不符。 命题意义不符。 比如：对任意的x， 存在y， 使得x+y=5。 取个体 比如 ： 对任意的 ， 存在 ， 使得 。 域为实数集。 域为实数集。 设：H(x,y)：x+y=5 ： 则有： ∀ 则有：(∀x) (∃y)H(x,y)。这是一个真命题。 ∃ 。这是一个真命题。 但是如果将量词顺序颠倒， 但是如果将量词顺序颠倒，得 (∃y) (∀x) H(x,y) ∃ ∀ 此式的含义为“存在着y，对于任意的x，都有 此式的含义为“ 存在着 ， 对于任意的 ， x+y =5”，这就成了假命题。 ，这就成了假命题。
离散数学-2-4 变元的约束
7
三、代入规则
对公式中的自由变元也允许更改，这种更 改叫做代入。 代入规则：对于某自由出现的个体变元用 代入规则 与原公式中所有个体变元符号不同的变元 符号去代替，且处处代替。 例3：对∃x(P（y）∧ R（x, y）)进行代替。
解：对y施行代替后公式为：
∃x(P（z）∧ R（x, z）)
8
三、代入规则
3
一、基本概念
例：指出下列各公式中指导变元、量词辖域、自由 变元和约束变元。 1）∀x (F(x)→ ∃yH（x, y）)； 2）∃x F(x) ∧ G（x,y）； 3）∀x ∀y（R(x, y) ∨ L(y, z)）∧ ∃x H(x, y)。
解： （1）∃yH（x, y）中，y为约束变元，辖域为H(x, y)，其中y为约 束出现， x是自由出现。在整个公式中，x为指导变元，∀x的辖域为（F(x) → ∃y H（x, y）），x, y都是约束出现。 （2）在∃x F(x)中，∃x辖域为F(x)，x为约束出现 G（x, y）中，x, y都是自由出现。在整个公式中，x约束出现一次， 自由出现一次，y自由出现。 （3）可以类似分析，x为约束出现，y既约束出现，又自由出现。z是 自由出现。
12
四、练习
1.说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自 由变元。 ⑴ (∀x)P(x)→Q(y) ⑵ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(x,y)) ⑶ (∀x) P(x)∧(∃y)Q(x,y) (∀x)的辖域为 的辖域为P(x)，(∃y)的辖域为 的辖域为Q(x,y)，P(x)中的 中的x ∀ 的辖域为 ， ∃ 的辖域为 ， 中的 中的y是约束变元 是约束变元， 中的x是自由变 和Q(x,y) 中的 是约束变元，Q(x,y)中的 是自由变 中的 元。 ⑷ (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (∀x) R(x,y) ⑸ (∃x) P(x)∨R(x,y)
离散数学 第二章 谓词逻辑-4-6节
重点：谓词公式的等价和永真。 难点：多个量词的使用。
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一、对谓词公式赋值
定义：对公式中的变量制定具体的常量去替代。 将命题变元，用确定的命题代替， 对公式中的客体变元用个体域中的客体代替， 这个过程就称之为对谓词公式作指派，或者 称之为对谓词公式赋值或解释。 命题变元 客体变元 确定的命题 个体域中的客体
量词的辖域、约束变元、自由变元。 变元的改名（重点掌握） 约束变元的换名。 自由变元的代入。 作业 65页
(4)
b)
(5)
a)
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2-5 谓词演算的等价式和蕴含式
要求：理解谓词公式赋值、等价、有效（永真）、 不可满足、可满足等概念，掌握一些谓词演算的 等价式和蕴含式。
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四、谓词公式的蕴含式定义
定义2-5.5：在个体域E上公式A蕴含B。 给定谓词公式A、B，E是它们的个体域，如果不 论对公式A、B作任何赋值，都使得A→B为重言式， 则称在个体域E上公式A蕴含B。 定义：公式A蕴含B。 如果不论对什么个体域E，都使得公式A→B为重 言式，则称A蕴含B，记作AB。 例如，G(x)：表示x大于5，N(x)：表示x是自然数，个 体域E={-1,-2,6,7,8,9,....}， 在E上公式G(x)→N(x)是重言式。 而公式(G(x)∧N(x))→N(x)就是与个体域无关的重言 式，所以(G(x)∧N(x))N(x)。
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五、对偶定理
定义： 设在公式A中没有联结词和 ，
∨与∧，、，命题常量F和T互换，得到的公式 A*称为A的对偶式。
定理2-5.1（对偶定理）设有等价式AB，并在 A,B中没有联结词和 ，则必有A* B*
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一、对谓词公式赋值
定义：对公式中的变量制定具体的常量去替代。 将命题变元，用确定的命题代替， 对公式中的客体变元用个体域中的客体代替， 这个过程就称之为对谓词公式作指派，或者 称之为对谓词公式赋值或解释。 命题变元 客体变元 确定的命题 个体域中的客体
量词的辖域、约束变元、自由变元。 变元的改名（重点掌握） 约束变元的换名。 自由变元的代入。 作业 65页
(4)
b)
(5)
a)
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2-5 谓词演算的等价式和蕴含式
要求：理解谓词公式赋值、等价、有效（永真）、 不可满足、可满足等概念，掌握一些谓词演算的 等价式和蕴含式。
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四、谓词公式的蕴含式定义
定义2-5.5：在个体域E上公式A蕴含B。 给定谓词公式A、B，E是它们的个体域，如果不 论对公式A、B作任何赋值，都使得A→B为重言式， 则称在个体域E上公式A蕴含B。 定义：公式A蕴含B。 如果不论对什么个体域E，都使得公式A→B为重 言式，则称A蕴含B，记作AB。 例如，G(x)：表示x大于5，N(x)：表示x是自然数，个 体域E={-1,-2,6,7,8,9,....}， 在E上公式G(x)→N(x)是重言式。 而公式(G(x)∧N(x))→N(x)就是与个体域无关的重言 式，所以(G(x)∧N(x))N(x)。
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五、对偶定理
定义： 设在公式A中没有联结词和 ，
∨与∧，、，命题常量F和T互换，得到的公式 A*称为A的对偶式。
定理2-5.1（对偶定理）设有等价式AB，并在 A,B中没有联结词和 ，则必有A* B*
相关主题
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四、练习
1.说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自 由变元。 ⑴ (∀x)P(x)→Q(y) ⑵ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(x,y)) ⑶ (∀x) P(x)∧(∃y)Q(x,y) (∀x)的辖域为 的辖域为P(x)，(∃y)的辖域为 的辖域为Q(x,y)，P(x)中的 中的x ∀ 的辖域为 ， ∃ 的辖域为 ， 中的 中的y是约束变元 是约束变元， 中的x是自由变 和Q(x,y) 中的 是约束变元，Q(x,y)中的 是自由变 中的 元。 ⑷ (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (∀x) R(x,y) ⑸ (∃x) P(x)∨R(x,y)
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四、练习
1.说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自 由变元。 ⑴ (∀x)P(x)→Q(y) ⑵ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(x,y)) ⑶ (∀x) P(x)∧(∃y)Q(x,y) ⑷ (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (∀x) R(x,y) ⑸ (∃x) P(x)∨R(x,y) (∃x)的辖域为 ∃ 的辖域为P(x)，y是自由变元，P(x)中x是约束变 ， 是自由变元， 中 是约束变 的辖域为 是自由变元 是自由变元。 元，R(x,y)中x是自由变元。 中 是自由变元
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四、练习
2. 对下面公式中的约束变元y换名。 (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔(∀x) R(x,y)
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四、练习
2. 对下面公式中的约束变元y换名。 (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔(∀x) R(x,y) 解：用u置换约束变元y。换名后为： (∃x)(∀u)(P(x,u) Q(u,z))↔(∀x) (∃x)(∀u)(P(x,u)∧Q(u,z))↔(∀x) R(x,y) 注：不能换成： (∃x)(∀u)(P(x,u)∧Q(y,z))↔(∀x) R(x, y) (部分替换) 也不能换成： (∃x)(∀z)(P(x, z)∧Q(z,z))↔(∀x) R(x,y) (与自由变元同名)
20
本课小结
基本概念:指导变元或作用变元、辖域或作 用域 约束变元、自由变元。
21
作业
P65 （3）
22
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四、练习
1.说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自 由变元。 ⑴ (∀x)P(x)→Q(y) ⑵ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(x,y)) ⑶ (∀x) P(x)∧(∃y)Q(x,y) ⑷ (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (∀x) R(x,y) ( ∃ x) 的 辖 域 为 ( ∀ y)(P(x,y)∧Q(y,z))，(∀y) 的 辖 域 为 ∧ ，∀ P(x,y)∧Q(y,z)，(∀x)的辖域为 的辖域为R(x,y)，x是约束变 ∧ ， ∀ 的辖域为 ， 是约束变 是自由变元， 中的y是约束变 元，z是自由变元，(P(x,y)∧Q(y,z))中的 是约束变 是自由变元 ∧ 中的 中的y是自由变元 元，R(x,y)中的 是自由变元。 中的 是自由变元。 ⑸ (∃x) P(x)∨R(x,y)
4
一、基本概念
从约束变元的概念可见，若P（x1, …, xn）是有n 个独立自由变元的n元谓词，若对其中k个变元进 行约束，则变为n-k元谓词。例如：
∀x P（x, y, z）是二元谓词。 ∃y∀x P（x,y,z）是一元谓词。
为了避免由于变元的约束与自由同时出现，引起 概念上的混乱，可对约束变元进行换名，使得一 个变元在一个公式中仅以一种形式出现。为避免 混乱，采用下面二条规则。
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四、练习
3.对以下公式中的自由变元y进行代入。
(∃x)(P(y)∧R(x,y))→(∀y)Q(y)
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四、练习
3.对以下公式中的自由变元y进行代入。
(∃x)(P(y)∧R(x,y))→(∀y)Q(y) 解：用z代换y，代入后为： (∃x)(P(z)∧R(x,z))→(∀y)Q(y) 注：不能换成: (∃x)(P(x)∧R(x,x))→(∀y)Q(y) (与约束变元x同名) 或 (∃x)(P(z)∧R(x,y))→(∀y)Q(y) (部分替换) 需要指出：P65
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四、练习
1.说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自 由变元。 ⑴ (∀x)P(x)→Q(y) (∀x)的辖域为 的辖域为P(x)，x是约束变元，y是自由变元 是约束变元， ∀ 的辖域为 ， 是约束变元 是自由变元 ⑵ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(x,y)) ⑶ (∀x) P(x)∧(∃y)Q(x,y) ⑷ (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (∀x) R(x,y) ⑸ (∃x) P(x)∨R(x,y)
3
一、基本概念
例：指出下列各公式中指导变元、量词辖域、自由 变元和约束变元。 1）∀x (F(x)→ ∃yH（x, y）)； 2）∃x F(x) ∧ G（x,y）； 3）∀x ∀y（R(x, y) ∨ L(y, z)）∧ ∃x H(x, y)。
解： （1）∃yH（x, y）中，y为约束变元，辖域为H(x, y)，其中y为约 束出现， x是自由出现。在整个公式中，x为指导变元，∀x的辖域为（F(x) → ∃y H（x, y）），x, y都是约束出现。 （2）在∃x F(x)中，∃x辖域为F(x)，x为约束出现 G（x, y）中，x, y都是自由出现。在整个公式中，x约束出现一次， 自由出现一次，y自由出现。 （3）可以类似分析，x为约束出现，y既约束出现，又自由出现。z是 自由出现。
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二、换名规则 换名规则
一个公式中的约束变元所使用的名称符号 是无关紧要的。 ∀x P(x)与∀y P(y)具有相 同的意义。 换名规则：将量词辖域中出现的某个约束 换名规则 出现的个体变元及其指导变元，改换成另 一个辖域中未曾出现过的个体符号，公式 中其余部分符号不变。
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二、换名规则 换名规则
例2：对 ∀x P(（x）→ R（x, y））∧ Q（x, y）换 名。 可换为：∀z（P(z) → R(z, y)）∧ Q(x, y)。
注：
（1）对于约束变元可以换名，其更改的变元名 称范围是量词中的指导变元，以及该量词作用 域中所出现的该变元，在公式的其余部分不变。 （2）换名时一定要为作用域中没有出现过的 变元名称。*最好是公式中没有的变元名。
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四、练习
由1. 可知在一个公式中，同一个变元既可以是约
束的，又可以是自由的，容易混淆。 因为(∀x)P(x)与(∀y)P(y)，(∃x)P(x)与(∃y)P(y)都具 有相同意义，所以约束变元与表示该变元的符号 无关。 根据这个特点，可以对约束变元换名。
可应用换名规则使换名后的公式中出现的变元要么是 约束的，要么是自由的 也可应用代入规则,对自由变量换名。
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三、代入规则
对公式中的自由变元也允许更改，这种更 改叫做代入。 代入规则：对于某自由出现的个体变元用 代入规则 与原公式中所有个体变元符号不同的变元 符号去代替，且处处代替。 例3：对∃x(P（y）∧ R（x, y）)进行代替。
解：对y施行代替后公式为：
∃x(P（z）∧ R（x, z）)
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三、代入规则
注：
（1）对于自由变元可以代入，代入时需对公 式中出现该自由变元的每一处进行代入。 （2）用以代入的变元与原公式中的所有变元 的名称不能相同。
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四、练习
1.说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自 由变元。 ⑴ (∀x)P(x)→Q(y) ⑵ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(x,y)) ⑶ (∀x) P(x)∧(∃y)Q(x,y) ⑷ (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (∀x) R(x,y) ⑸ (∃x) P(x)∨R(x,y)
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四、练习
1.说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自 由变元。 ⑴ (∀x)P(x)→Q(y) ⑵ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(x,y)) (∀x)的辖域为 的辖域为P(x)∧(∃y)Q(x,y)，(∃y)的辖域为 的辖域为Q(x,y)， ∀ 的辖域为 ∧∃ ， ∃ 的辖域为 ， x和y都是约束变元，无自由变元。 都是约束变元， 和 都是约束变元 无自由变元。 ⑶ (∀x) P(x)∧(∃y)Q(x,y) ⑷ (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (∀x) R(x,y) ⑸ (∃x) P(x)∨R(x,y)
自由变元有时也在量词的作用域中出现，但它 不受相应量词中指导变元的约束，故可把自由 可把自由 变元看成公式中的参数。 变元看成公式中的参数
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一、基本概念
例：指出下列各公式中指导变元、量词辖域、自由 变元和约束变元。 1）∀x (F(x)→ ∃yH（x, y）)； 2）∃x F(x) ∧ G（x,y）； 3）∀x ∀y（R(x, y) ∨ L(y, z)）∧ ∃x H(x, y)。
第二章谓词逻辑
2-4 变元的约束 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
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一、基本概念
在给定的一个合式公式∀x (A)源自∃x(A)中 称x为指导变元或作用变元 指导变元或作用变元。 指导变元或作用变元 称A为相应量词的辖域或作用域 为相应量词的辖域或作用域，在辖域 为相应量词的辖域或作用域 辖域 的所有出现称为约束的。 中x的所有出现称为约束的 的所有出现称为约束的 A中不是约束出现的变元称自由变元 自由变元。 自由变元