D8空间解析几何与向量代数习题课
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）第八章空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )；A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D.二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
8.8 向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=，所以选C 。
8.12 向量}3,0,1{=a ，}2,1,1{-=b ，则=?b a ( )；A. 6B. 6-C. }1,1,3{-D. }1,1,3{-- 解：1033112ij k a b i j k ?==+--，所以选C 。
8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ).(A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ(D) cos a b θ解：由定义，选D 。
8.21 已知1,a b ==a 与b的夹角为4π，则a b +=( ). (A)(B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2||||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。
8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ).(A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b解：因为⊥a b ，所以由向量加法和减法平行四边形法则+=-a ba b ，选C 。
空间解析几何与向量代数习题课共48页文档
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
第8章 向量代数与空间解析几何习题解答(开放课程)
第8章向量代数与空间解析几何习题解答1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。
解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体(图略)。
xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；x A P ⊥0轴，垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ；z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。
2．过()0000,,z y x P 分别作平行于z 轴的直线和平行于xoy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解：过0P 且平行于z 轴的直线上的点有相同的横坐标0x 和相同的纵坐标0y ，过0P 且平行于xoy 面的平面π上的点，有相同的立标0z 。
3．在空间直角坐标系下，设点()1,3,2-P 关于x 0轴的对称点为1P ，P 关于xoz 平面的对称点为2P ，关于原点O 的对称点为3P ，求1P 、2P 、3P 。
解：1P 为()1,3,2-，2P 为()1,3,2，3P 为()1,3,2--。
4．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。
解：设所求点为(),,,0z y P 则()()2222213||-+-+=z y PA ，()()2222224||++++=z y PB ，()()22215||-+-=z y PC 。
由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，于是有：。
高等数学向量代数与空间解析几何习题课课件
4
将 代入平面束方, 程 得 3 x y z 1 0 .
所求投影直线方程为 3xx2yyzz100.
例 过点 B(1,2,3)作一直线，使和 z 轴相交，且
和直线
xy3z2 4 3 2
垂直，求其方程
[分析]
求直线方程，或者求出直线所在的平面 得交面式方程，或者求出直线上一点及 方向向量得点向式方程，或者求出直线 上的两点得两点式方程
垂直: n1n20
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0
平行: n1n20
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cosθ n1n2 n1 n2
线与线的关系
直线 L1： xm 1x1y n1y1z p1z1, s1(m 1,n 1,p 1) 直线 L2： xm 2 x2y n2y2z p2 z2, s2 (m 2,n 2,p 2)
解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
n0 1 n 0c n 0 a b
x2 y2 z2 1
2
x
2
y
z
0
2
y
z
0
解得 n 0(2i1 j2k ). 333
例
已知
A B a,A C b, AD B
2
证明①
②
当 B a ,b 的 的 AD 面 夹 |a b 2 || b 积 ||a 2 角 B b |的 A 为 D 面 何
解一 用交面式
直线 L 过点 B 且与 L 垂直 故直线L在过 B 且与 L 垂直的平面 1内
z
L
L B
o
y
x
n 1 4 ,3 , 2
1 : 4 ( x 1 ) 3 ( y 2 ) 2 ( z 3 ) 0
0808习题课2(空间解析几何部分)
习 题 课（二）
思考与练习
P51 题21 画出下列各曲面所围图形: (1) 抛物柱面 2 y 2 x , 平面 z 0 及 x y z 1; 4 2 2 ( 2) 抛物柱面 x 2 1 z , 平面 y 0, z 0 及 x y 1;
化简得:
25x 10 y 14z 23 0.
x 1 y 2 z 2 四. 求 通 过 直 线 且垂直于平面 2 3 2 3 x 2 y z 5 0的 平 面 方 程 .
解: L : s ( 2,3,2), 平面 : n1 ( 3,2,1), 取所求平面: n s n1 ( 1,8,13),
所求平面为 x 20 y 7 z 12 0, 或 x z 4 0.
8(p49)
x4 y3 z 求过点 ( 3,1,2)且 通 过 直 线 的平面方程 . 5 2 1
解法（一）
设已知点 M的坐标为 (3,1,2)，且直线 L过点N (4,3,0).
直线的方向向量 s （ 5,2， 1 ） , 平面的法向量 n MN s ,
x 1 4t . y t z 2 3t
六. 在 平 面 x y z 1 0内, 求 作 一 直 线 ,使它通过 y z 1 0 直 线L : 与平面的交点 , 且 与L垂 直. x 2z 0
x y z 1 0 得交点 (0,1,0), 解: 解 y z 1 0 x 2z 0 L : s (0,1,1) (1,0,2) ( 2,1,1), 平面 : n (1,1,1), 取所求直线的方向向量: s1 s n ( 2,3,1),
0807习题课(第8章空间解析几何与向量代数)
2
3
2 2
S (8) (1) 5 3 10 .
习题答案
x 3 t 五. 求直线L : y 1 2t 在三个坐标面上及平面 z 5 8t
: x y 3 z 8 0上的投影方程.
2 x y 5 0 解: L xoy面 : , z 0 4 y z 9 0 L yoz面 : , x 0 8 x z 29 0 L zox 面 : , y 0
解之得 t1 0, t2 2, A(0,0,1), B( 2,2,3),
点 M 0 (1,1,1) 和 B( 2,2,3)同在直线 L 上,
x 1 y 1 z 1 故 L 的方程为 . 1 1 2
2 x y z 1 0 在平面 例4 求直线 L : x y z 1 0 : x 2 y z 0 上的投影直线的方程.
习题答案
二. 已知向量a , b 的夹角等于 , 且 a 2, b 5, 3 求(a 2b ) (a 3b ), | a b | . 解: (a 2b ) (a 3b ) a a a b 6b b 1 4 10 6 25 141. 2 | a b | (a b ) (a b ) a a 2a b b b 2 2 | a | 2 | a || b | cos a , b | b |
2 2 x y 椭圆锥面 ____ . 7. 方程z 2 的图形名称为__________ 3 4
x2 y2 椭圆抛物面 8. 方程 z 的图形名称为__________ ____ . 3 4
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
第八章向量代数与空间解析几何(复习题)
高等数学A(2)复习题第八章 空间解析几何与向量代数一、填空题1、空间坐标系中)1,1,2(),0,1,2(),0,0,0(B A O ，则向量AB 与OB 的夹角为__________.2、平面-2-60x y z +=和2-50x y z ++=的夹角θ= ．3、设1,2,2a =-r （），1,1,4b =-r （），则夹角(,)a b ∧r r =_______.5、向量k j i k j i a ϖϖϖϖϖϖϖϖ22432-+=+-=β与的夹角为_____________．6、设点A 位于第I 卦限，向径OA u u u r 与x 轴，y 轴的夹角依次为π3和π4，且OA 6=u u u r ，则点A 的坐标为 .7、设0,1,2,1,1,3a b ==--r r （）（），则同时垂直于a ρ和b ρ的单位向量为 .8、向量2,3,6a =-r （），则与a ρ同向的单位向量为______________.9、设空间点A(1,-2,3),则与点A 关于原点对称的点的坐标为__________.10、设向量a ρ与2,1,2b =-r （）平行，18-=⋅b a ρρ，则向量a ρ＝ .11、设向量(3,2,1)a =-r ，4(2,,)3b k =r .已知a b ⊥r r ，则k =_____________． 14、设两向量分别为-a =r （1，2，2）和-b =r （1，1，4），则数量积a b ⋅r r =_______.15、设向量 1 , -1, k a =r （）与向量 2 , 4, 2b =r （） 垂直，则k =_______．16、过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 ． 17、设一平面通过z 轴和点(3,1,2)-，则其方程为_____________________.18、直线22112z y x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系为 （填平行、垂直或斜交）.19、将xOz 坐标面上的抛物线2z 20x y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周，所生成的面方程为 . 20、曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 . 21、xOy 坐标面上的曲线20x y -=绕x 轴旋转一周,所得的旋转曲面方程为 .22、点（1,2,1）到平面0253=--+z y x 的距离为 .23、点(1,2,1)到平面1x y z ++=的距离为____________.24、 直线 310x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面 10x y z --+=的夹角为 . 二、解答题1、求平行于x 轴，且过点)2,1,3(-M 及)0,1,0(N 的平面方程.2、求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.3、求通过点P （1，2，3）且垂直于两平面012, 02=++-=-+z y x z y x 的平面方程.4、求平行于xoz 坐标面且经过点(2,-5,3)的平面方程.5、求过点()2,0,3-且与直线-24-7035-210x y z x y z +=⎧⎨++=⎩垂直的平面方程．6、求过点)0,4,2(0M 且与直线 ⎩⎨⎧=--=-+023017:1x y z x l 平行的直线方程． 7、求过点)3,1,0(-且与平面0122:=--+z y x π垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.8、求过点()2,1,3且与直线11321x y z +-==-垂直相交的直线的方程． 9、求过点)2,0,1(0-M 且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213:z y x L =+=- 垂直的直线方程. 三、综合题1、验证两直线12z 25y 1x :L 1-=-=与12z 14y 32x :L 2-=-=-相交，并求出它们所在的平面方程. 2、求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程.。
高等数学向量代数与空间解析几何习题课2019修订
（3）运算律： ① 交换律： a b b a
② 分配律：(a b ) c a c b c ③ 结合律：( a ) b a ( b ) (a b )
（4）向量的夹角： cos(a , b )
a a a ; （5）性质：
2
a b a b
练习. 求直线
与平面
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
练2.求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
垂直相交的直线方程.
提示: 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线
的平面的法向量为 故其方程为 ① 化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点
向量代数与空间解析几何 习题课
2019年3月
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
一种工具，两种运算，三种对象 基本问题： 几何对象的代数(坐标或方程)表示； 角度问题，距离问题
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积 混合积 向量积
Ⅰ 向量代数
一、向量的基本概念
j ay by
k az bx
（3）运算律： ① 反交换律： a b b a
② 分配律： (a b ) c a c b c
( a ) b a ( b ) (a b ) ③ 结合律：
（4）性质：a a 0 , a // b a b 0
转化
其中 s (m, n, p) 为直线的方向向量，M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
第八章向量代数与空间解析几何习题
。 。 ， 。
x 2 + y 2 （０ ≤ z ≤ 1 ）在ＸＯＹ面上的投影为
，在ＹＯＺ面上的投影为 。
在ＸＯＺ面上的投影为 6．曲线 ⎪
⎧x = t + 1
2 ⎨y = t ⎪ z = 2t + 1 ⎩
的一般式方程为
Байду номын сангаас
二、选择题 １．方程
{
4 9 y=z
2 x +y
2
=1
在空间解析几何中表示 （Ｂ） 、椭圆曲线
K
K
四、设 a = {2,−1,1}, b = 1{1,3,−1} ，求与 a 、 b 均垂直的单位向量。
K
K
K
K
五 、 设 向 量 a = {2,3,−1}、b = {1,−2,3}、c = {2,1,2} , 向 量 d 与 a , b 均 垂 直 ， 且 在 向 量
K
K
K
K
K K
K K c 上的投影是14，求向量d .
3．若 ( a b ) =
∧
1．设 (a b ) =
K
π
， a = 5, b = 8, 则 a − b =
K
K
K
K
。 。 。 。 。 。 。 时。 P = λa + 5b 与 Q = 3a − b 共线。
K
5．三向量 a , b , c 的混合积 [a , b , c ] 的几何意义是 6．设 a = {4,−3,4}, b = {2,2,1} ，则 Prj b = 7．设 a = {2,−3,2}, b = {−4,6,−4} ，则 ( a b ) = 8．设 a , b 为不共线向量，则当 λ = 三、选择题
空间解析几何与向量代数习题课12882共40页
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k
a (a x , a y, a z)
(a x ) i (a y ) j (a z ) k
向量模长的坐标表示式 |a |ax2ay2a z2
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax
ax2ay2az2
它们距离为
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
2、曲面
曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S与 三 元 方 程 F(x,y,z)0有 下 述 关 系 ：
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程； ( 2 ) 不 在 曲 面 S 上 的 点 的 坐 标 都 不 满 足 方 程 ；
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
1、空间直角坐标系
z竖轴
空间的点
定点 o•
横轴 x
y纵轴
(x,y,z)
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
a b c a b d
b
a
Hale Waihona Puke a b c a b d (3) 向量与数的乘法：
设 是 一 个 数 ， 向 量 a 与 的 乘 积 a 规 定 为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a | |a |
第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学(最新整理)
B 4、设 a, b 为两个向量，则正确的是
（A） a b a b =0；
（） （B） a b a b =0；
（C） a b 表示以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积；
（D） a b a b = 0 ．
利用数量积和向量积的性质: a b 0 a b ， a b 0 a b ，
2 s
2 n
= 2
|4| 2
3
2 . arc sin 3
2. 3
0910B
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
1、 过 点 (3,0,1) 且 与 平 面 3x 7 y 5z 12 0 垂 直 的 直 线 方 程
为
．
与平面垂直的直线和该平面的法向量平行，
x 3 y z 1 3 7 5
为
.
M1M 2 (2 1,3 2,1 (1)) (1,1, 2) ， n (1, 1,1)
i j k
所求平面的法向量 n1 1 1 2 3i j 2k.
1 1 1
所求平面方程为: 3(x 1) ( y 2) 2(z 1) 0 或 3x y 2z 7 0
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
y2 z2 2x 0
2、
曲
线
z
3
在 xOy 面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 是
（）
y2 2x
（A）
z
0
；
y2 2x 9
（B）
z
0
；
（C） y 2 2x 9 ；
y2 2x 9
（D）
z3
．
在 xOy 面上的投影曲线，消去曲线中的变量 z，然后联立 z=0.
y
z
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3
17
于是
p ( 1 5 1 7 ,2 5 1 7 ,0 )
【例8】已知向量 a (4 , 3 ,2 )，u轴与三坐标轴正向构成
相等锐角，求 a 在 u轴上的投影。
分析：先求出 u轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u轴的方向余弦分别为 c o,cso ,cso ， s
由已知条件 及 c2 o c s2 o c s2 o 1 s
2，
且 a b。问：
（1） k为何值时，pq （2）k为何值时，以 p 与 q 为邻边的平行四边形面积为6。 分析：（1）用向量垂直的充分必要条件；
（2）用向量积的模的几何意义。
解：（1） 当 p q ( 2 a b ) ( k a b ) 0 时 即 2 k a 2 b 2 (2 k )a b 0 ， 亦即 2 k 1 2 2 0 0 ，k2时 pq0
得 3co 2s1
所以 coscoscos 1
3
即 u轴上的正向单位向量为 u0 (
1, 3
1, 3
1 )，
3
于是 P r j u a a c o s ( a , u ) a u 0 u 0 a u 0 1 3 ( 4 3 2 ) 3
【例9】设向量
p2ab，qkab，其中
a
1，b
解：由已知条件,可设 p(a,b,0), q 5 2 ( 3 ) 2 4 2 52
由已知条件有 p q ( a , b , 0 ) ( 5 , 3 , 4 ) 5 a 3 b 0 ，则 b 5 a
3
p a2b20a2 5a 221a 7q5 2
3 3
则
a15 , b5a25
17
☆
1// 2 n 1//n 2 A A 1 2B B 1 2C C 1 2
☆ ☆ ☆
L 1//L 2 s1//s2 m m 1 2n n 1 2p p1 2
L / / s n A m B n C p 0 1 2 n 1 n 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0
y, z) 0 y, z) 0
在 xoy面上的投影曲线：zH(x0, y) 0
（2）
F(x, G(x,
y, z) 0 y, z) 0
在 yoz
面上的投影曲线：
R x
( y,z 0
)
0
（3）
F(x, G(x,
y, z) 0 y, z) 0
在
xoz
面上的投影曲线：Ty
(x
,z 0
)
0
向量代数典型例题
( 3 ) i ( ) j 3 k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1 , 4 , 1 时两向量相等。 此时向量为
ai 3j3 k
模为
a 19 ,
方向余弦为 1 , 3 , 3 。 19 19 19
☆ L 1 L 2 s 1 s 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
☆ L s//nABC
mn p
二、空间曲面
1．一般方程： F (x,y,z)0
2．旋转面：曲线
f ( y,z) 0
x
0
绕 z轴旋转所得旋转曲面
y 方程为 f( x2y2,z)0;绕 轴旋转所成的旋转曲面
a 1 (3,2,2) a 17
平行四边形面积 S M 1 M 2 M 2 M 3 6 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) 2 2 1 7
【例7】 在 xOy 坐标平面上求向量 p ，它垂直于向量 q (5 , 3 ,4 ),并与向量 q 有相等的模。
分析： 先设出向量 p ，再用两个条件确定其系数。
③ 结合律：( a ) b a ( b ) ( a b )
（4）性质：a a 0 ,a / / b a b 0
Ⅱ 平面与直线、空间曲面与曲线
一、平面与直线的方程
1．平面方程 : （1）点法式方程：A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
则 k23，于是 k5或 k1
当 k5或 k1时，以 p 与 q 为邻边的平行四边形面积为6。
直线与平面典型例题
【例1】求平行于 x轴且经过两点 (4 ,0 , 2 )(5 ,,1 ,7 )的平面方程。
分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知
知两点确定的向量与向量 i 的向量积求平面的法向量；
【例1】已知两点 M1(4, 2,1)和 M2(3,0,2),求向量 M1M2 的模、方向余弦和方向角。
解：M 1 M 2 ( 1 ,2 ,1 ) |M1M2|2
方向余弦为
cos
1 2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 ,, 的值，使向量 i 3 j ( 1 )k 与向量
n (A ,B ,C ),则它们的交角：
sin
A m B n Cp
A 2B 2C 2 m 2n2p2
（4）线、面之间的平行与垂直
设直线 L 1与L 2 的方向向量分别为 s1(m 1,n 1,p 1)，s2 (m 2,n 2,p 2)
平面 1与 2 的法向量分别为n 1 (A 1 ,B 1 ,C 1 ),n 2 (A 2 ,B 2 ,C 2 ),
a0
a |a|
(ax,ay,az) ax2a2y az2
5．向量的投影：Prjab|b|cos(a,b)
二、向量的运算
1．线性运算
（1） a b ( a x b x ,a y b y ,a z b z )
（2） a (a x ,a y ,a z)
2．数量积
（1）定义：ababcos(a,b)
x1, x2, x3的联立方程组，解之便得结果。
解：依题意有 x 3 ,x 5 ,x 4
即
解得 则
x x
1 2
x2 x3
3 5
x 1 x 3 4
x 1 1 ,x 2 2 ,x 3 3，
x(1,2,3)
x 14
与x
同向的单位向量为
x x0x(
1, 14
2, 14
3) 14
【例6】已知 M 1 ( 1 , 1 ,2 )M ,2 ( 3 ,3 ,1 )和 M3(3,1,3)。求与 M 1M 2, M 2M 3同时垂直的单位向量，并且求以 M 1M 2, M 2M 3为两邻边的平行四边形面积。
2．向量积
（1）定义：
模： cab sin(a,b) cab
方向：c 垂直 a 与 b b a x a y a z
bx by bx
（3）运算律：① 反交换律： a b b a ② 分配律： ( a b ) c a c b c
方程为 f(y,x2z2)0;
同理可得 zox面上的曲线绕 z轴旋转所得旋转面的方程及
绕 x 轴旋转所得旋转面的方程。
三、空间曲线
1．一般方程 2．参数方程
F(x, y,z)0 G(x, y,z)0
x x(t)
y
y(t)
z z(t )
3．空间曲线在坐标面上的投影曲线：
（1）
F(x, G(x,
3．方向角：向量 a 与三个坐标轴正向的夹角,,
方向余弦为:
c o s a x ,c o s a y ,c o s a z
a x 2 a 2 y a z 2
a x 2 a 2 y a z 2
a x 2 a 2 y a z 2
c2 o c s2 o c s2 o 1 s
4．单位向量：
A2 B2 C2
3．直线方程：
（1）一般方程： A A 2 1x x B B2 1y y C C1 2zz D D 1 2 0 0
（2）对称式方程： xx0 yy0 zz0
mn
p
其中 s (m ,n ,p )为直线的方向向量，M0(x0,y0,z0)
为直线的一定点。
x x0 mt
（3）参数方程： y y0 nt
于是 abbcca3 2
【例4】已知向量
p,q,r 两两互相垂直，且
p 1 ,q 2 ,r 3 ,
求 p q r。
分析：由于向量 p,q,r 没给出坐标，只给出了模，注意
a 2 aa ，并利用条件 p q p q 0 ，便可求出
pqr ；或可不妨置 Spqr于坐标系中
计算向量的模。
解法1： p q r 2 ( p q r ) ( p q r )
设 1 与 2 平面的法向量分别为n 1 (A 1 ,B 1 ,C 1)与n 2 (A 2,B 2,C 2)
则
co s A 1A 2B 1B 2C 1C 2
A 1 2B 1 2C 1 2 A 2 2B 2 2C 2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L的方向向量为 s (m ,n ,p ), 平面 的法向量为
其中 n (A ,B ,C )为平面的法向量，M0(x0,y0,z0) 为平面的 一定点。 （2）一般方程：A B x C y D z 0
（3）截距式方程：x y z 1，其中 a, b, c 分别为平面在
a bc
三坐标轴 x, y,z上的截距。
2．点到平面的距离： dA0xB0yC0zD
p p p q p r q p q q q r r p r q r r
所以
p 2 q 2 r 2 0 1 2 2 2 3 2 1 4
p q r 14
解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设
p i,q 2 j,r 3 k