高等数学课件--D9_10最小二乘法
最小二乘法概述
最小二乘法概述
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法的定义为：一种寻找一条线来近似一组数据的方法，它使预测值和实际值之间的差的平方和最小。
这条直线的形式是$y=b+mx$，其中$m$和$b$是使用给定数据集的$x$和$y$值计算的。
高等数学《最小二乘法》课件
y
y = ax + b
列表计算:
目录
O
上页 下页 返回 结束
t
i 0 M 7 Σ
得法方程组
ti
0
ti2
0
yi
27.0
yiti
0
M
7 28
M
49 140
M
24.8 208.5
M
137.6 717.0
140 a + 28b = 717 28a + 8b = 208.5
y = f (t) = 0.3036t + 27.125
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结束
特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 使 y = ax + b 满足:
M(a, b) = ( yk axk b)2 = min ∑
M = a M M = b
k =0
n
y
O
称为法方程组 (注意其特点)
x
令
+ ( ∑xk )b
得
n
( ∑xk )a
k =0
n
偏差 ri = yi f (xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小i f (xi )]2 = min ∑
i=0
n
y
O
来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理: 最小二乘法原理 设有一列实验数据
x
, 它们大体
分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法 找出的函数关系称为经验公式 . 最小二乘法, 最小二乘法 经验公式
－0.125 －0.018 0.189 －0.003 yi f (ti ) －0.021 0.086 0.093 －0.200
高等数学课件第八章最小二乘法
第八验数据
求它们的近似函数关系 y＝f (x) .
需要解决两个问题:
1. 确定近似函数的类型
根据数据点的分布规律
根据问题的实际背景
2. 确定近似函数的标准
实验数据有误差,
不能要求
最小二乘法
偏差
有正有负,
值都较小且便于计算,
可由偏差平方和最小
为使所有偏差的绝对
物的量.
试根据上述数据定出经验公式
(P70例2)
解:
由化学反应速度的理论知, 经验公式应取
其中k , m 为待定常数.
对其取对数得
(线性函数)
(书中取的是常用对数)
因此 a , b 应满足法方程组:
经计算得
解得:
所求经验公式为
其均方误差为
观测数据:
用最小二乘法确定a, b
通过计算确定某些经验公式类型的方法:
－0.125 －0.018 0.189 －0.003
－0.021 0.086 0.093 －0.200
例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据:
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
作业 (习题8 -10 ) P72 1 , 2
来确定近似函数 f (x) .
最小二乘法原理:
设有一列实验数据
分布在某条曲线上,
通过偏差平方和最小求该曲线的方
法称为最小二乘法,
找出的函数关系称为经验公式 .
, 它们大体
特别, 当数据点分布近似一条直线时,
问题为确定 a, b
令
满足:
使
得
解此线性方程组 即得 a, b
称为法方程组
最小二乘估计PPT课件
1.已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性 回归方程y=a+bx必经过点 ( D )
x
0
1
2
3
y
1Leabharlann 357A.（2，2） C.（1，2）
B.（1.5，0） D.（1.5，4）
第22页/共29页
2.(2014·湖北高考)根据如下样本数据 x3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
yi
1 4 9 16 25 36 49 64 204
x2 i 1 4 9 16 25 36 49 64
204
xi yi
1 8 27 64 125 216 343 512 1 296
第19页/共29页
y=-15+9x.
思考：哪一个对呢？
第20页/共29页
所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散 点图.如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这 个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系,我 们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散 点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的 工具进行拟合.
1.了解最小二乘法的思想. 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性 回归方程.(重点) 3.会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）
第2页/共29页
思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方
便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一:点到直线的距离公式
y
A xi , yi
第25页/共29页
（1）散点图如图 所示：
y /百万元
解：（1）
0
（2）数据如下表： 可以求得 b=0.5,a=0.4 线性回归方程为：
最小二乘法简介
《最小二乘法简介》
同学们，今天咱们来认识一个新的知识，叫最小二乘法。
那啥是最小二乘法呢？简单来说，它是一种能帮我们找到最佳直线或者曲线的方法。
比如说，咱们想知道身高和体重之间有没有啥关系。
我们就找了一些同学，量了他们的身高和体重。
把这些数据记下来，画在纸上，就会有很多的点。
那怎么找到能最好地表示这些点的规律呢？这时候最小二乘法就派上用场啦。
它能算出一条线，让这些点到这条线的距离的平方和最小。
听起来有点复杂，对吧？咱们再举个例子。
假设我们想知道每天学习的时间和考试成绩之间的关系。
我们找了好多同学，记录下他们每天学习的时间和对应的考试成绩。
然后用最小二乘法，就能找到一条能比较好地反映这个关系的线。
比如说，发现学习时间越长，成绩总体上越高，但是也不是一直直线上升，可能到了一定时间，成绩提高就不那么明显了。
再比如说，我们想知道温度和冰淇淋销量的关系。
收集了不同温度下冰淇淋的销量数据。
用最小二乘法，就能找到一条能大概说明它们关系的线。
可能温度越高，冰淇淋卖得越多。
最小二乘法在很多地方都有用呢。
像科学家研究一些现象，经济学家分析经
济数据，都会用到它。
同学们，虽然最小二乘法听起来有点难，但是多想想这些例子，多琢磨琢磨，咱们就能慢慢明白啦。
以后咱们学习更多知识的时候，说不定还能用上它呢！。
高中数学必修课件最小二乘估计
03
非线性回归模型与最小二乘估计
非线性回归模型概述
1 2
非线性回归模型定义
描述因变量与自变量之间非线性关系的回归模型 。
常见非线性回归模型
指数回归、对数回归、幂回归等。Βιβλιοθήκη 3非线性回归模型特点
模型参数估计复杂，但拟合效果可能更优于线性 回归。
最小二乘估计在非线性回归中应用
01
02
03
最小二乘法原理
参数估计性质与评价标准
参数估计性质
最小二乘估计具有线性性、无偏性、有效性等优良性质，是 实际应用中最常用的参数估计方法之一。
评价标准
评价最小二乘估计效果的标准包括残差图、均方误差、决定 系数等。其中，残差图用于直观判断模型拟合效果，均方误 差用于量化模型预测误差大小，决定系数用于衡量自变量对 因变量的解释程度。
通过介绍非线性回归模型的案例，如指数增长、周期性变化等，引 导学生理解最小二乘法在非线性回归中的推广和应用。
多重共线性问题
通过实际案例，让学生理解多重共线性对最小二乘估计的影响，以 及如何处理多重共线性问题。
实验设计与数据收集
实验设计
指导学生设计实验方案，明确实验目的、实验对象和实验 方法，确保数据的有效性和可靠性。
拓展应用
将最小二乘法应用于金融、生物、医学等领域的实际问题中，如股票价格预测、基因表达数据分析等。同时，可 以探索最小二乘法与其他数据分析方法的结合，如主成分分析、聚类分析等，以提高数据分析的准确性和效率。
THANKS
感谢观看
数据收集
教授学生如何收集和整理实验数据，包括直接观测、问卷 调查、实验测量等方法，强调数据的真实性和完整性。
预处理与探索性分析
引导学生对收集到的数据进行预处理，如数据清洗、缺失 值处理、异常值检测等，并进行探索性分析，初步了解数 据的分布和特征。
最小二乘法
最小二乘法概述最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于拟合一个模型到实际观测数据中。
最小二乘法的目标是最小化观测数据的残差平方和，从而找到最佳拟合曲线或者面。
原理给定一组实际观测数据点(X, Y)，我们的目标是找到一个函数 y=f(x) 使其能够拟合这些数据点。
最小二乘法的基本原理是使模型的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
最小二乘法的基本假设是，观测数据点之间的误差是独立同分布的，并且服从正态分布。
这意味着观测数据点具有相同的误差方差，并且误差服从一个以零为均值的正态分布。
最小二乘法使用了一个常见的线性模型，其中函数 f(x) 是一个线性组合参数向量β 和自变量向量 X 的乘积。
即y = β0 + β1*x1 +β2*x2 + ... + βn*xn。
在拟合过程中，需要找到最佳的参数向量β，使得拟合的模型能够最好地描述数据。
最小二乘法求解过程可以通过多种方法实现，其中最常用的是正规方程法，该方法通过求解一个线性方程组来得到最佳参数向量β。
另外，还可以使用梯度下降法等迭代方法来求解。
应用最小二乘法在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学：最小二乘法可用于拟合经济模型，例如线性需求模型和生产函数模型。
这些模型可以用于预测和解释经济现象。
2. 金融学：最小二乘法可用于拟合股票价格、利率曲线和其他金融数据。
这样的模型可以用于金融风险管理和投资决策。
3. 物理学：最小二乘法在物理学中也有广泛的应用，例如拟合实验数据以确定物理模型的参数，或者拟合传感器数据以估计物理量。
4. 工程学：最小二乘法可用于工程领域的多个应用，例如信号处理、图像处理和控制系统设计。
5. 人工智能：最小二乘法在机器学习和数据挖掘领域也有应用。
例如，在线性回归和支持向量机等算法中，最小二乘法可以用于模型参数的拟合。
优势和局限性最小二乘法的主要优势是简单直观，易于理解和实现。
它提供了一种有效的方法来拟合数据并得到参数的估计。
最小二乘法线性详细说明.ppt
3. 回归方程的精度和相关系数
用最小二乘法确定a, b存在误差。 总结经验公式时，我们初步分析判断所假定
的函数关系是正确，为了解决这些问题，就 需要讨论回归方程的精度和相关性。 为了估计回归方程的精度，进一步计算数据
点 xi,yi 偏离最佳直线y=a+bx的大小，我们 引入概念——剩余标准差 s ，它反映着回
一种可能是各数据点与该线偏差较小，一种可能是各数据 点与该线偏差较大。
当R 1时，s 减小，一般的数据点越靠近最佳值两旁。两
变量间的关系线性相关，可以认为是线性关系，最佳直线 所反应的函数关系也越接近两变量间的客观关系。同时还 说明了测量的精密度高。
当条“R 最佳1时”，直线s 增。大然，而根，据数数据据点点与的“分最布佳，”也直许线能的得偏到差一过
14
根据二元函数求极值法，把③式对a和b分 别求出偏导数。得：
n
v2 i
i1
a n
2yi a bxi
4
v2 i
i1 2
b
yi a bxi xi
15
令④等于零，得：
n
n
yi na b xi 0
i1 n
i1
n
n
5
yixi
i1
a xi i1
b
x2 i
i1
0
解方程，得：
而且: b 1.993 0.006
31
第二节 二元线性回归
已知函数形式(或判断经验公式的函数形式)为 y a b1x1 b2x2
式中，均为独立变量，故是二元线性回归。 若有实验数据：
x1 x11, x12,......... .x1n x2 x21, x22,......... .x2n
最小二乘法PPT课件
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
第6页/共74页
正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
第23页/共74页
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
D9_10最小二乘法 高等数学(同济大学)课件
0123456 7 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
27.125
26.518
25.911
25.303
26.821
26.214 25.607
25.000
yi
f (ti )
－0.125 －0.018 －0.021
0.189 0.086
－0.003 0.093 －0.200
*第十节 最小二乘法
第九章
问题的提出: 已知一组实验数据
求它们的近似函数关系 y＝f (x) .
需要解决两个问题:
1. 确定近似函数的类型
y
• 根据数据点的分布规律
• 根据问题的实际背景
o
x
2. 确定近似函数的标准
•实验数据有误差, 不能要求 yi f (xi )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y axb
列表计算:
o
t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
i ti 00 77
28
ti2
yi
yiti
0 27.0 0
49 24.8 137.6
140 208.5 717.0
得法方程组 140a 28b 717 28a 8b 208.5
解得 a 0.3036, b 27.125, 故所求经验公式为 y f (t) 0.3036t 27.125
例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀
具的厚度, 得实验数据如下:
0 1 2 3 4 5 67
0 1 2 3 4 567 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
最小二乘法
最小二乘法最小二乘法（Least Squares Method）是一种统计学上常用的参数估计方法，通过最小化观测数据与理论模型之间的误差的平方和，来估计模型的参数。
在统计学和数学中，最小二乘法被广泛应用于曲线拟合、回归分析、数据处理以及信号处理等领域。
最小二乘法的基本思想是，通过找到可以使得各观测数据与理论模型预测的数据之间的差异最小的参数估计值，从而得到最佳的拟合结果。
它是一种数学上比较成熟且有效的方法，可以用来解决具有一定误差的线性和非线性函数拟合问题。
在应用最小二乘法时，首先需要建立数学模型来描述观测数据与自变量之间的关系。
这个数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，根据实际问题的特点来确定。
然后，根据观测数据和数学模型，利用最小二乘法的原理来求解模型的参数估计值。
最小二乘法的基本步骤如下：1. 建立数学模型：通过分析问题的背景和要求，确定观测数据与自变量之间的关系，并建立数学模型。
2. 确定误差函数：定义误差函数，它是观测数据与数学模型之间的差异度量。
3. 最小化误差函数：通过最小化误差函数，即求解误差函数的导数为0的参数估计值，来得到最佳的模型拟合结果。
4. 评估拟合结果：通过各种统计指标和图示分析来评估最小二乘拟合的效果，并对结果进行解释和验证。
最小二乘法的优点在于它是一种数学上比较简单和直观的方法，并且在实际应用中得到了广泛的应用。
它能够充分考虑观测数据的误差，通过最小化误差的平方和来估计模型的参数，从而得到较为可靠的拟合结果。
最小二乘法的应用非常广泛，涵盖了许多学科领域，如物理学、经济学、工程学、生物学和地球科学等。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来拟合直线、曲线和曲面等；在回归分析中，最小二乘法可以用来建立回归模型，并进行参数估计和显著性检验；在数据处理中，最小二乘法可以用来进行信号滤波和数据平滑等。
总之，最小二乘法是一种重要的数学和统计方法，在许多实际问题中起着重要的作用。
它不仅可以用来拟合曲线和回归分析，还可以应用于信号处理、数据处理和参数估计等领域。
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y
M
令
a M b
O
x
称为法方程组 (注意其特点)
x k b
k 0
n
得
xk a
2012-10-12
n
解此线性方程组 即得 a, b
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k 0
同济版高等数学课件
例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀
具的厚度, 得实验数据如下:
作业
P128 1, 2
2012-10-12
同济版高等数学课件
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
*第十节
第九章
最小二求它们的近似函数关系 y＝f (x) . 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 • 根据数据点的分布规律
y
• 根据问题的实际背景
O
x
2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求 yi f ( xi )
2012-10-12 同济版高等数学课件
法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 .
2012-10-12 同济版高等数学课件
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特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 使 y a x b 满足:
M (a, b) ( y k a xk b) min
2 k 0 n
b
( 2) 若
ln yi ln xi ln yi xi
转化为 ln y b ln x ln a
(3) 若 定值 , 则考虑 y a eb x
用最小二乘 法确定a, b
转化为 ln y b x ln a
2012-10-12 同济版高等数学课件
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偏差平方和为 M [ yi f (ti )]2 0.108165
i 0
7
y
1 n
M 称为均方误差, 对本题均方误差
1 7
M 0.124
O
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它在一定程度上反映了经验函数的好坏.
2012-10-12 同济版高等数学课件
t
例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据: 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 9 12 15 18 21 24 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 其中 表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻 反应
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• 偏差 ri yi f ( xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
[ yi f ( xi )] min
2 i 0
n
y
来确定近似函数 f (x) .
最小二乘法原理:
设有一列实验数据
O
x
, 它们大体
分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.
解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y ax b
y
列表计算:
2012-10-12 同济版高等数学课件
目录
O
t
上页
下页
返回
结束
i
0
7
ti
ti
2
yi
yi t i
0
0
27.0
0
7 28
49 140
24.8 208.5
137.6 717.0
得法方程组
140 a 28b 717 28 a 8b 208.5
y f (t ) 0.3036t 27.125
解得 a 0.3036, b 27.125, 故所求经验公式为 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下:
(线性函数)
同济版高等数学课件
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因此 a , b 应满足法方程组:
k ln yk
k 1
8
ln yk
k 1
8
经计算得
解得: 所求经验公式为
y 78.57 e
0.104
其均方误差为
2012-10-12
1 7
M 0.135
同济版高等数学课件
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2012-10-12 同济版高等数学课件
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0 27.0 27.125
1 26.8
2 26.5 26.518
3 26.3
4 26.1 25.911
5 25.7
6 25.3 25.303
7 24.8
26.821
26.214
25.607
25.000
－0.125 －0.018 0.189 －0.003 yi f (ti ) －0.021 0.086 0.093 －0.200
物的量. 试根据上述数据定出经验公式 y f ( ). m 解: 由化学反应速度的理论知, 经验公式应取y k e 其中k , m 为待定常数. 对其取对数得
ln y m ln k Y a X b
2012-10-12
(书中取的是常用对数)
令 Y ln y , X , a m , b ln k
通过计算确定某些经验公式类型的方法:
观测数据: ( xi , yi ) (i 0 ,1,, n)
令 xi xi 1 xi , yi yi 1 yi (i 1, 2 ,, n)
(1) 若 yi xi 定值 , 则考虑 y a x b 定值 , 则考虑 y a x