【新教材】高中数学新人教B版必修第二册 6.2.1 向量基本定理课件

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2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理课件新人教B版必修第二册

3
反思感悟利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯
一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的
条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的
系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
�� = �� + ��=a+13(b-a)=23a+13b,
�� = �� + ��=a+23(b-a)=13a+23b.
反思感悟用基底来表示向量主要有以下两种类型
(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与
平行四边形法则求解.
(2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采
用方程思想求解.
探究一
探究二
思维辨析当堂检测
课堂篇探究学习
延伸探究例 2 中,用��, ��表示��. 解:�� = �� + �� = �� + �� = ��+(�� − ��)=2�� − ��.
6.2.1 向量基本定理
-1-
课标阐释
1.掌握共线向量基本定理, 并会简单应用. 2.理解平面向量基本定理, 会用基底表示平面内任一向量. 3.能够灵活应用向量定理解决平面几何问题.

第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册

(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)，所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)，则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，

【公开课课件】人B版(2019)数学-必修第二册-第六章向量-§2

6.2.1 向量基本定理
1.数乘向量的定义
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量 a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
（1）当λ≠0 且 a≠0 时，λa 的模为|λ‖a|，而且λa 的方向如下： ①当λ>0 时，λa 与 a 方向相同； ②当λ<0 时，λa 与 a 方向相反.
(2)当λ=0 或 a=0 时λa=0. 上述实数λ与向量 a 相乘的运算简称为数乘向量.
【解题关键】先用平面向量基本定理设出 O→M＝ma＋nb，分别表示出A→M, A→D, C→M, C→B后，再利用共线向量的条件列出方程组，从而确定 m，n 的值．
【解析】设O→M＝ma＋nb(m，n∈R)，则A→M＝O→M－O→A＝ (m－1)a＋nb，A→D＝O→D－O→A＝12b－a＝－a＋12b，
解因为 b 与 a 的方向相同，而且 lbl=2lal，所以 b=2a;
因为
c
与
a
的方向相同，而且
lcl=
1 2
a
，所以
c=
1 2
a
；
因为
d
与
a
的方向相反，而且
d
3 2
a
，所以 d
3 2
a
；
因为 e 与 a 不平行，所以 e 不能写成数与向量 a 相乘.
共线向量基本定理 (1)定义如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)几点说明 ①b＝λa时，通常称为b能用a表示． ②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.
c=xa+yb.
上述实数对(x,y)。可以用如下方式找到:如图所示，将向量 a 与 b 的始点平移到一起，假设OA a, OB b, 将向量 c 的始点也平移到 O 点,以 OA,OB 所在的直线为相邻的边,以 OC 为对角线作平行四边形 ODEC.

第6章 6.2 6.2.1 向量的加法运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

业
返首页
·
17
·
情
课
境
堂
导
小
学
2．设 A1，A2，A3，…，An(n∈N，且 n≥3)是平面内的点，则一结
·
探
提
新知
般情况下，A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An 的运算结果是什么？
素养
合
作探究
课
[提示]
将三角形法则进行推广可知A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An
层作
疑
业
难
返首页
·
13
·
情
课
境导学
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，D→A＋D→C＝________.
堂小结
·
探
提
新
素
知Leabharlann 养合作课
探
时
究释
D→B [由平行四边形法则可知D→A＋D→C＝D→B.]
分层作
疑
业
难
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14
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
4．小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河提
情
课
境导
重力用C→G表示，则C→E＋C→F＝C→G.
堂小
学
结
·
探
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
提
新
素
知
∠FCG＝180°－120°＝60°.
养
合
作探究
∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3，

新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第

新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习（含解析）新人教B 版必修第二册知识点一共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍答案 D解析由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线，所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________．答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案三解析由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线．证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线．又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →，又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →，则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →，又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。

人教B版高中数学必修第二册6.2.1 向量基本定理【课件】

平行四边形所在平面的一组基底的是(
)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
答案：B
解析：①AD与AB不共线；②DA＝－BC，则DA与BC共线；③CA与DC不共线；
④OD＝－OB，则OD与OB共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个
向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
2．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD＝3DC，则AD可表示为
(3)基底Ԧ1，Ԧ2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
(4)本质：就是利用平面内两个不共线的向量通过向量的加法、减法
及数乘向量表示平面内的任意一个向量．
基础自测
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个
由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
3=λ 3−k ，
又因为e1与e2不共线，所以ቊ
2 = −λ 2k + 1 .
9
解得k＝－ .
4
课堂探究·素养提升
题型1 共线基本定理
例1 设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝
Ԧ
，则有λ＝μ．这是因为：
Ԧ
由λ＝μ
Ԧ
可知(λ－μ)
Ԧ
＝0，如果λ－μ≠0，则
Ԧ
＝0，与已知矛盾，所Ԧ来自以λ－μ＝0，即λ＝μ．
(3)定理中的条件“≠0”不能省略，
Ԧ
如果＝0，
Ԧ
≠0，不存在实
Ԧ
数λ，使得＝λ．如果
Ԧ
＝0，＝
Ԧ

【新教材】高中数学新人教B版必修第二册 6.1.1向量的概念课件

核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
知识点一
位移与向量
(1)概念：位移被“方向”和“距离”唯一确定，其中“距离”也称为位移
的大小，像位移这样既有 □01 大小又有 □02 方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的 □03 模 (或长度)，只有大小的量称为标量，长度、
头的端点称为向量的 □07 始点
(或起点)，带箭头的端点称为向量
的 □08 终点．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
②向量的几何表示有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为 A，终
点为 B 的有向线段表示的向量，可以用符号简记为 □09 A→B ，此时向量的模用 □10 |A→B| 表示．
6.1通过对力、速度、位移的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 教学重点：1.结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中的这些相关概念. 教学难点：1.对向量概念的理解.2.共线向量的理解和应用.
A.A→D＝C→B B.O→A＝O→C C.A→C＝D→B D.D→O＝O→B
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
(3)零向量的方向是________，零向量的模等于________，零向量记作 ________．

6.向量的线性运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册课件

证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分．
[跟进训练] 2．已知非零向量 e1，e2 不共线．如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2， C→D＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三点共线． [证明] 因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝ 5(e1＋e2)＝5A→B.所以A→B，B→D共线，且有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线．
(1)－a＋5b－2c (2)0 [(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a ＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.
(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以 2x－a－b＝x－a－b，即 x＝0.]
向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
3．能利用向量的线性运算解提升直观想象和逻辑推理素养.
决简单问题．(难点)
情境
导
学
探新
知
如图，M 为△ABC 的边 AB 的中点．问题 1：能用C→A，C→B表示C→M吗？若能，请表示出C→M. [提示] C→M＝12(C→A＋C→B)＝12C→A＋21C→B.
问题 2：若 O 为任意一点，M 为 AB 的中点，是否有类似的结论？ [提示] O→M＝12(O→A＋O→B)＝21O→A＋21O→B. 问题 3：λ(a＋b)＝λa＋λb 是否一定成立？ [提示] 一定成立．

6.向量基本定理-【新】人教B版高中数学必修第二册PPT全文课件

4．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ
＝________.
1 2
[因为向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以 λa＋b＝k(a＋2b)，则
λ＝k， 1＝2k，
所以 λ＝12.]
6.向量基本定理-【新】人教B版高中数学必修第二册PPT全文课件【完美课件】
条件一平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2 且 a＝λ2e1＋μ2e2
结论
λμ11＝＝λμ22，
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2.在具体求 λ1，λ2 时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求解．
2．平面向量基本定理的实质是什么？ [提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解．
【例 3】平面内有一个△ABC 和一点 O(如图)，线段 OA，OB，OC 的中点分别为 E，F，G，BC， CA，AB 的中点分别为 L，M，N，设O→A＝a，O→B＝ b，O→C＝c.
(1)试用 a，b，c 表示向量E→L，F→M，G→N； (2)求证：线段 EL，FM，GN 交于一点且互相平分．
6.向量基本定理-【新】人教B版高中数学必修第二册PPT全文课件【完美课件】
[跟进训练] 1．已知 e1，e2 是两个不共线的向量，而 a＝k2e1＋1－52ke2 与 b ＝2e1＋3e2 是两个共线向量，则实数 k＝________. －2 或13 [由题设知k22＝1－352k，所以 3k2＋5k－2＝0，解得 k＝－2 或31.]

6.1.1向量的概念课件-高中数学人教B版必修第二册

或来表示.
新知探索知识点一：位移与向量
始点和终点相同的向量称为零向量.零向量在印刷时,通常用加粗的阿拉伯数字零表示,即 0;书写时,通常用带箭头的阿拉伯数字零表示,即 .不难看出,零向量的模为 0,即
零向量本质上是一个点,因此可以认为零向量的方向是不确定的.模不为 0 的向量通常称为非零向量.
即时训练知识点二：向量的相等与平行
【典例】如图，在矩形 ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ) A.和 B.和 C.和 D.和
【解析】易知选 B.
教材例题
【典例 1】指出图中,哪些是单位向量.
【解析】不难看出且其余向量的模均为 1,因此单位向量有、、、
教材例题
【典例 2】如图,已知四边形边形”的什么条件?
第六章平面向量初步
6.1.1 向量的概念
学习目标
1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法.（重点） 2.了解零向量及单位向量. 3.掌握向量的相等与平行.（难点）
新知导入
情景一：我们在物理学中已经学过位移的有关知识,知道位移是表示物体位置变
化的物理量.如图所示,当物体从运动到时,不管沿着什么轨迹,它的位移都
作业布置
教材课后练习
课堂练习
【训练 5】已知 A，B，C 是不共线的三点，向量 m 与向量是平行向量，与是共线向量，则 m＝________.
【解析】因为 A，B，C 三点不共线，所以与不共线，又因为 m∥且 m∥，所以 m＝0.
课堂总结
向量及向量的模：一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度). 向量及其模的表示法、记法、写法：我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.始点为 A 终点为 B 的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示. 通常用加粗的斜体小写字母如 a，b，c 等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，等来表示向量.此时，向量 a 的模也用|a|或||来表示.

新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第六章 6.2.1 向量基本定理

= =
3
2 1
2
, .
故当t＝12时，三向量的终点在同一直线上.
三点共线的线性表示 1.设A，B，C是平面内三个点，且三点互不重合，点P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，使得�� ＝ λ�� + μ�� ，且λ+μ＝1，则A，B，C 三点共线，这就是三点共线的线性表示. 2.设A，B，C是平面内三个点，且三点互不重合，点P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，且存在实数λ，μ，使得�� ＝ λ�� + μ�� ，则未必有λ+μ＝1.
常考题型
一共线向量基本定理 <1>判定向量共线例1 判断下列各小题中的向量a，b是否共线（其中e1，e2不共线）.
（1）a＝5e1，b＝-10e1；（2）a＝12e1-13e2，b＝3e1-2e2；（3）a＝e1+e2，b＝3e1-3e2.
【解题提示】关键看向量a，b是否存在倍数关系.
【解】（1）因为b＝-2a，所以a与b共线；
1 ＝3 . （2）已知e1和e2不共线，a＝λe1+e2，b＝4e1+2e2，并且a，b共线，则 λ的值是 2 .
2.［2019·江苏海安高一检测］在△ABC中，点P是AB上一点，且��+13
��，又��
第六章平面向量初步
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
学习目标
1.理解共线向量基本定理及其应用. 2.了解平面向量基本定理及其含义.
重点：1.共线向量基本定理；2.平面向量基本定理. 难点：平面向量基本定理的应用.

2021新教材高中数学6.2.1向量基本定理课件人教B版必修二.ppt

【思考】 (1)定理中的条件“a≠0”能否省略,为什么? 提示:不能.如果a=0,b≠0,不存在实数λ,使得b=λa.如果a=0,b=0,则对任意实数 λ,都有b=λa. (2)这里的“唯一”的含义是什么? 提示:如果还有b=μa,则有λ=μ.
2.平面向量基本定理 (1)
定理内容基底定义注意事项
2
()
3.(教材二次开发:例题改编)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数 λ=________.
关键能力·合作学习
类型一共线向量基本定理的应用(数学抽象、逻辑推理)
【典例】设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)
共线时,λ的值为 ( )
内所有向量.
()
(3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d. (4)基底向量可以是零向量.
() ()
2.已知AD是△ABC的BC边上的中线,若 AB=a，AC=b，则 AD =
A. 1 (a-b)
2
C.- 1 (a+b)
2
B.- 1 (a-b)
2
D. 1 (a+b)
量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立
方程,从而解方程求得λ的值.同时利用此定理也可以证明点共线或线共面问
题.
【跟踪训练】已知两个非零向量a、b不共线, OA =a+b,OB =a+2b,OC =a+3b. (1)证明:A,B,C三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
【拓展延伸】平面向量基本定理的关注点 (1)a,b是同一平面内的两个不共线向量; (2)该平面内的任意向量c都可用a,b线性表示,且这种表示是唯一的; (3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.

6.2.1向量基本定理教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

一、教材内容分析6.2.1平面向量基本定理本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 2 第六章第 2 节向量基本定理与向量的坐标的第一课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”。

平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。

定理实际上又是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，为学生后续学习向量坐标表示及空间向量基本定理打下基础。

定理的学习也提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标1、知识和能力：1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。

2、掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式3、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2、过程和方法：通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3、情感态度价值观目标：经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

三、学习者特征分析（1）本节课的授课对象是高一学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（2）学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运算有了初步的认知。

同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。

（3）学生有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.（4）让学生通过对课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高，所以这部分将作为本节课的重点内容四、教学重点、难点教学重点：（1）掌握判断基底的方法和用基底表示向量的方法；（2）掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式；教学难点：平面向量的基本定理探究以及理解；五、教学方法探究式，小组合作学习六、教学过程1共线向量基本定理【设计意图】知识的复习回顾不但巩固了上几节课所学，也给学生留下了思维空间，为本节课知识的学习和应用做好充分的铺垫，探究：小组讨论下列问题，然后交流分享成果。