高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结
圆锥曲线常见结论
圆锥曲线的方程与性质1、椭圆中的几个重要结论:(1) 定义及周长:2古=1(a b ■ 0)上的点，F1, F2是椭圆的焦点，/ F PF= 9 ,o o 1.r o距O最近，最近距离为b；b -c < PF1 PF2 <b2设P是椭圆笃-a过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦(通径)为最短，其长度为焦半径公式: PF2 =^ex0.（8）椭圆上的点A1距g的距离最近,最近距离为a-c, A距片的距离最远，最远距为a+c；b2兰PFPF2 <a(9)A、A为椭圆2 2x v2 2=1(a b 0)长轴两端点，P为椭圆上异于A1、A的点,a b则kpq kpf（10）k AB k OMb2~ .a(11)已知椭圆具有性质：若N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM PN的斜率k PM,k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值，k PM・k PN- □屮一尸mx + m x —mb22a2 2 - 2x —m b 宀,+x2- mT-a«定值）•2 2(12)经过椭圆=1(a b 0)上一点M(x0,y0)的切线方程为a bx0x. V0V — a2b22、双曲线中的几个重要结论:(1)定义及周长:2 2⑵ 设P 是双曲线 笃一爲=1上的点，F 1，F 2是双曲线的焦点，/ HP 氐B ,a b则 PF1F2 二 b cot -(3)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦(通径)为最短，其长度为 (4)特征三角形:2 2笃 岭=1右支上的点，F 2到其一条渐近线的距离为 b ; a 2 b 222②过双曲线 冷 2 =1右焦点F 2引其一条渐近线的垂线， 则第一象限内垂足的坐标一 b叵些)c c2 2(8)若M N 为双曲线* —缶=1( a >0, b >0)上关于原点对称的两个点， 点P 是双曲线上任意一点，当直线 PM PN 的斜率k PM ， k PN 都存在时，那么k pM 与k pN 之积是与点P 的位置无关的2b 2；a①设P 是双曲线(5)焦半径公式:PF i =a+ex o ， PF 2⑹设P 是双曲线2告=1右支上的点，贝y PF 2 >c -a , b【例】(重庆高考)已知双曲线2 2 x y 22~ 1(a0, b 0)的左、右焦点分别为a bFj-cQ), F 2(C ,0),若双曲线上存在一点P 使sin PFiF 2=_g ，则该双曲线的离心率的取sin NPF 2R c值范围是(7 )渐近线方程：与双曲线2 x2a2告=1(a0,b 0)共渐近线的双曲线系方程为b2x_ 2 ,2 a b—=■ C --=0)，渐近线的方程为 2x 2a£o •2 2 I 2 2 2 I 2I i y — ny +ny — n bx — m b k pM k pN = • — _2 2 — —2 • 2 2= —2x — mx + mx — m a x — m a3、抛物线中的几个重要结论：（1）定义（转化化归思想）【例1】（1）已知抛物线x 2=4y 的焦点F 和点A （-1，8），P 为抛物线上一点，则|PA|+|PF| 的最小值是（）A.16B.6C.12D.9（2）（辽宁 理10）已知点P 是抛物线y 2 =2x 上的一个动点，则点 P 到点（0, 2）的距 离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A. -17B. 3C.5D. 92 2（3）（潍坊期末）已知点P 是抛物线y 2 =_8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是 d 1,到直线x y -1^0的距离是d 2,则d 1+d 2的最小值是（）【例】过抛物线 y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于 A B 两点，正三角形 ABD 的顶点C 在该抛物线的准线上，则 △ ABC 的边长是 （）A. 8B. 10C. 12D. 14⑷以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切; ⑹ / CFD= 90 °定值， A.、.3 B. 23C.6 .2D.3【例2】 两点，（潍坊一模）如图，已知直线 l : y =k （x +1）（ k >0）与抛物线C ： y 2=4x 相交于 B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M N,若|AM =2| BN | ,则k 的值是 (A)1(B)33(C) .2(D) 232【例3】已知抛物线 y 2=4x 的动弦 AB 的中点的横坐标为 2 ,则| AB 的最大值为（)A. 4B. 6C. 8D.12(2) 焦半径公式：(3) 焦点弦长公式： 2p | AB — X 1+ x 2+ p = . 2 ( B 为 AB 的倾斜角sin o1ITT/uX）；【例】过点M 1,O)作直线与抛物线y 2= 4x 交于A B 两点，贝y ]A M +]；皿2pX 1X 2=—；4，(9)设点A 的坐标为(a ,0), a € R,抛物线y 2=2px 上的点P 到点A 距离的最小值d,则d=f ( a ) 的函数表达式：齐IIl a1I AF1 I BF 12 为定值p ；2(8) y i y 2=- p ,欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
圆锥曲线重要结论
圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b )1．动点P 在椭圆22143x y +=上，12,F F 为椭圆之左右焦点，点G 为△12F PF 内心，试求点G 的轨迹方程.2．动点P 在双曲线22143x y -=上，12,F F 为双曲线之左右焦点，圆G 是△12F PF 的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支时11112||||AF BF ep += AB 在异支时11112||||||AF BF ep-= 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=3.椭圆22143x y +=，F 为椭圆之左焦点，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在 实常数λ，使AB FA FB λ=•恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+ 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 4． 椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值5．椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==试求λμ+的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AB ，AC ，其共线向量比之和为定值．即定值=-+=+==222211112ee C F AF BF AF μλμλ6．方向向量为(1,3)e =的直线l 过点(0,A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==.⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=222EF F T λ=，求12λλ+的值.圆锥曲线中的重要性质经典精讲中性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N 〔t,0〕的一条弦端点与对应点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2t a 的连线所成角被对称轴平分。
高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理
圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
圆锥曲线中几个重要结论
结论1：以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
结论2：以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
结论3：以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
结论4：以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
结论5：双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
结论6：抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
结论7：椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
结论8：椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结
高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。
第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。
两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。
（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。
⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。
方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于N点，则MI/IN的值为多少？⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有⑶在椭圆上任一点P求:·的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点的最短距离为a-c.⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
高考数学圆锥曲线常用8大结论1. 椭圆的性质椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
椭圆具有以下性质：(1) 光滑性：椭圆是一个连续的、光滑的曲线。
(2) 对称轴：椭圆具有两条对称轴，分别与长半轴和短半轴垂直并交于中心点。
(3) 焦点：椭圆有两个焦点F1和F2，且满足F1F2=2a。
(4) 直线：椭圆上的直线方程一般为$Ax+By+C=0$，其中，$A=\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}$，$B=-2\dfrac{a^2y}{b^2}$，$C=\dfrac{a^2y^2}{b^2}-a^2$。
(5) 参数方程：椭圆的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，其中，$0\leq\theta<2\pi$。
2. 双曲线的性质(4) 渐进线：双曲线的渐进线是直线方程为$y=\pm\dfrac{b}{a}x$的两条直线。
$y=ax^2+bx+c$其中，a不等于0。
(2) 对称轴：抛物线的对称轴是$y=-\dfrac{b}{2a}$。
(3) 焦点：抛物线具有一个焦点F，满足到该点的距离等于焦距。
(5) 参数方程：抛物线的参数方程为$x=t$，$y=at^2+bt+c$。
5. 双曲线方程的标准形式其中，(h,k)为双曲线的中心点坐标，a为双曲线的半轴长，b为双曲线的半轴短。
7. 拋物線切线式拋物線的方程式為因此，在拋物線上一點$(x_0, y_0)$的斜率為則該點的切線方程為$y-y_0 = k(x-x_0)$8. 判别式公式判別式公式可以判別二次曲線的形状，公式如下：$D = \begin{vmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{vmatrix}$若$D>0$，則方程表示的圖形是双曲线；。
圆锥曲线的一些重要结论
圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。
2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。
5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。
6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。
7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。
8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。
其中)0,(),0,(21c F c F -。
9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
一、圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线的标准方程为：
$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a与b分别是椭圆的两个半径，且ab，a与b是正实数。
二、圆锥曲线的性质
1. 圆锥曲线的概念
圆锥曲线是由两个椭圆及其余部分所构成的四边形的边界线，是圆锥曲线的概念。
2. 圆锥曲线的对称性
由于圆锥曲线是由两个椭圆所构成，因此它具有x轴对称性和y 轴对称性，即曲线的俩边彼此对称。
3. 圆锥曲线的四个焦点
圆锥曲线的四个焦点分别位于椭圆的两个长轴端点，称为四个焦点。
4. 圆锥曲线的两个长轴
圆锥曲线的两个长轴是两个椭圆的长轴，它们的长度分别是a和b，两轴相交处的位置是圆锥曲线的中心点。
5. 圆锥曲线的弧长
圆锥曲线的弧长为：
$$mathcal{L}=2aarcsinfrac{b}{a}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
6. 圆锥曲线的曲率
圆锥曲线的曲率为：
$$K=frac{a}{b}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
圆锥曲线最常见二级结论
圆锥曲线最常见二级结论
圆锥曲线是数学中的重要内容，也是平面解析几何的核心。
以下是圆锥曲线的一些常见二级结论：
1.离心率和焦点与直径的关系：对于椭圆和双曲线，离心率是一个描述曲线扁平程度的参数。
对于椭圆，离心率e的取值范围是0到1之间；而对于双曲线，离心率大于1。
离心率和焦点与直径之间存在紧密的关系。
2.切线与法线的性质：曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线。
切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的。
切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数。
3.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和：过椭圆准线上任意一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
4.圆锥曲线的相关二级结论：例如过圆上任意一点作圆的两条切线，两条切线垂直；过椭圆上任意一点作斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值等。
此外，还有很多其他结论和应用，可以根据具体的数学分支和需求进行深入研究和学习。
这些结论有助于更好地理解和应用圆锥曲线的性质和定理，提高解题能力和数学素养。
1。
【高考数学】圆锥曲线的常用结论-突破满分数学之圆锥曲线
焦点的位置 图形
焦点在 x 轴上
y M
cc
F1 O
F2 x
一、椭圆
焦点在 y 轴上
y
F2 c
M
Oc
x
F1
标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
+ =1(a>b>0)
+ =1(a>b>0)
−a≤x≤a 且−b≤y≤b A1(−a，0)、A2(a，0)、B1(0，−b)、B2(0，b)
−b≤x≤b 且−a≤y≤a A1(0，−a)、A2(0，a)、B1(−b，0)、B2(b，0)
短轴的长=2b F1(−c，0)、F2(c，0)
|F1F2|=2c(c2=a2−b2)
长轴的长=2a F1(0，−c)、F2(0，c)
关于 x 轴、y 轴、原点对称
e= =
(0<e<1) e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁
.
13. 已知 A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0，0)，
则
−
a2
− b2 a
<x0<
a2
− b2 a
.
14.
离心率 e= c =
a
1
−
b a
2
、e2=1−
b a
2
15.
2b2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为
.
a
16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
.
1
(2)焦点三角形的面积：S
∆PF1F2
=c|yP|=b2tan
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
数学圆锥曲线二级结论汇总
数学圆锥曲线二级结论汇总一、离心率公式离心率 e 是描述圆锥曲线形状的重要参数，对于椭圆，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是椭圆长轴的半径。
对于双曲线，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是双曲线实轴的半径。
二、焦点弦长公式焦点弦长是过圆锥曲线焦点的弦的长度，其公式如下：L = 2b^2/a其中，L 是焦点弦长，b 是半短轴长度，a 是半长轴长度。
三、切线长公式切线长是过圆锥曲线上的点作切线的长度，其公式如下：T = a*sqrt(1-k^2)其中，T 是切线长，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
四、中点弦公式中点弦是过圆锥曲线上的中点的弦，其公式如下：x = (1-k^2)x0^2/[(1+k^2)a^2] - 2x0(y0/a)/[1+k^2] + y0^2/[(1+k^2)*a^2]其中，x0 和 y0 是中点的坐标，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
五、渐近线方程渐近线是描述圆锥曲线接近其极限位置的线，其方程如下：y = ±(b/a)*x其中，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于双曲线，b 和 a 分别是实轴和虚轴长度。
六、焦半径公式焦半径是描述圆锥曲线上任意一点到焦点的距离的公式，其公式如下：|PF1| = a - ex, |PF2| = a + ex, |PF1| = |PF2| - 2*ex其中，P 是圆锥曲线上的任意一点，F1 和 F2 分别是左右焦点，e 是离心率。
对于椭圆和双曲线，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于抛物线，p 是焦点到准线的距离。
高中数学圆锥曲线重要结论.总结
圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论高中数学圆锥曲线常用的二级结论在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，而其中有一些常用的二级结论，能够帮助我们更高效地解决相关问题。
首先，我们来谈谈椭圆中的常用二级结论。
对于椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），有这样一个结论：过椭圆焦点的弦长公式。
假设弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛a^2c^2\cos^2\theta}＼）。
这个结论在求解与椭圆弦长相关的问题时非常有用。
再看双曲线，对于双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\），也有一个类似的过焦点弦长公式。
若弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛｜a^2 c^2\cos^2\theta|｝＼）。
接着说抛物线，以抛物线\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））为例。
有这样一个结论：抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
假设点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线上，那么点\（P\）到焦点的距离就是\（x_0 ＋＼frac{p}｛2}＼）。
还有一个与抛物线相关的重要结论：若直线与抛物线相交于两点\（A(x_1, y_1)＼），＼（B(x_2, y_2)＼），且直线的方程为\（y ＝ kx＋ b\），联立抛物线方程可得\（k^2x^2 ＋（2kb 2p)x ＋ b^2 ＝ 0\），则\（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{2p 2kb}｛k^2}＼），＼（x_1x_2 ＝＼frac{b^2}｛k^2}＼）。
接下来，我们深入探讨一下椭圆中与焦点三角形有关的结论。
焦点三角形是指以椭圆的两个焦点\（F_1\），＼（F_2\）以及椭圆上一点\（P\）所构成的三角形。
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 54：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 55：焦点在 轴上的抛物线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m外，过点 M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
y0 ny n px x0 2m．
结论 16：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x
a
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
结论 1：过圆 x 2 y 2 2a 2 上任意点 P 作圆 x 2 y 2 a 2 的两条切线，则两条切线垂直．
结论 2：过圆 x 2
y2
a2
b
2
上任意点
P
作椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的两条切线，
则两条切线垂直．
结论 3：过圆 x 2
结论 47：椭圆的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 48：双曲线的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 49：抛物线的准线上任一点 处的切点弦 过其焦点 ，且 ⊥ ．
结论 50：椭圆上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交椭圆于 ，
则 必与该椭圆相切，且 ⊥ ．
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高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。
第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。
两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。
（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。
⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。
方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI 交长轴于N点，则MI/IN的值为多少？⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有⑶在椭圆上任一点P求:·的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点的最短距离为a-c.⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。
则应连接M与左焦点F'，由|MF'|+|MP|+|PF|≥|PF'|+|PF|=2a,当P,M,F'在同一条直线上时距离最小.最小距离为2a-|MF'|.二、⑴椭圆的标准方程：(略)⑸P（x1，y1）为椭圆上任点则焦半径（椭圆上任一点与焦点之间的线段长）为：|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex2；⑺从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会经过另一个焦点。
(8)离心率的求解可根据具体情况对相关线段整体设置,也可以进行坐标设置.对应小题题例:⑴当m+n<0时,求椭圆离心率的取值范围;⑵求证:直线AB与⊙P不相切.(09新乡一模21题) 解析:设点F,B,C的坐标分别为F(-c,0),B(0,b),C(1,0)⑵证明:假设相切,则点B必为切点,而k AB=b,⒊设F1,F2为椭圆上的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点的连线所成的角为90°,A.1:5B.1:3C.1:2D.1:1⒋已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则离心率的取值范围A. B.2 C. D.3 A此类题的解题思路不外乎是依据第一或第二定义进行整体设置或根据参数方程进行坐标设置,本题就可以进行依据第一定义整体设置:过B作BB'⊥l,则BF:BB'=1:,又BF=AB/2,故BB':AB=1:.∠ABB'=45°,又F到l的距离为1,所以AF=.此为法一;法二:设l交x轴为D,则FD=1,FA=3FB,故点F的横坐标为4/3,则右求出其纵坐标为1/3,并可求出A的纵坐标为1,所以FA=.A.[0,3]B.[2,3)C.[0,2)D.[0,4]⒏已知A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足⒐满足条件+=6的动点轨迹为C,若曲线C上三点到点(0,4)解析:由题中条件知曲线C为一条在(-3,0)到(3,0)的线段,此等比数列的三项的最短与最长分别为4和5,而其比为公比q的平方.A.cB.b C .a D.不确定C(10年湖北八校联考)如图,由已知,Rt△OAM∽Rt△OFB,OA:OB=OM:OF→OB·OM=OA·OF=a2,故ON=a.11.已知F是橢圓C 的一個焦點, B是短軸的一個端點,線段BF 的延長線交C於點D.析:法一,依題意知點D 坐標為,由點D在曲線上,故滿足法二：过点B及点D分别向其准线作垂线，垂足为B'，D'依题意得：例⒈已知椭圆的两个焦点分别为F1（0。
-1），F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线，⑴求椭圆的方程；⑵若点P在椭圆上，设| |-||=m（m≥1），试用m表示·；解：（本题第一问主要是考查椭圆的几个参量之间的关系，第二问主要考查椭圆的基本定义及向量介入的有关运算；第三问主要考查平面几何的有关知识如三角形任意两边之差小于第三边，但在椭圆中若是椭圆上任意一点与两个焦点之间的连线所构成的三角形则是这点与两焦点连线所在的边之差小于等于第三边，同时也考查了相关函数的单调性。
）即m≤2，所以m∈[1，2]过椭圆的右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线炮大圆于第一象限办点A，OA交小圆于点B,设直线BF是小圆的切线。
⑴证明：c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；解：⑴由题设条件知：Rt△OFA∽Rt△OBF∴直线BF与y轴的交点.∴直线BF与y轴交点为（0，a）点为M（0,a）→（b2+a2k2）x2 +2a3kx+a4-a2b2=0 ④由③消去x整理得：（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0 ⑤注意到：a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2例⒊已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1,且过右焦点F交椭圆于A,B两点，+ 与=（3，-1)共线。
⑴求椭圆的离心率：⑵设M为椭圆上任意一点，且=λ +μ（λ，μ∈R）由+=（x1+x2，y1+y2）,=（3，1）且+与共线得：3（y1+y2-2c）+（x1+x2）=0，又y1=x1-c，y2=x2-c。
⑵由⑴知a2=3b2∴椭圆方程为：x2+3y2=3b2，设=（x，y）由已知（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）又x21+3y21=3b2x22+3y22=3b2代入①得λ2+μ2=1故所求为定值。
双曲线:一、概念：第一定义：到两定点F1（-c，0）、F2（c，0）的距离差为定值2a（小于两定点的距离）的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的焦点，两点间的距离叫做焦距。
引申定义：⒈与两个相离的非等定圆均外切的圆的圆心的轨迹为以这两定型圆圆心连线为实轴的双曲线的一支;⒉过两定点且相交的两条直线的斜率之积为正常数的点的轨迹（两定点除外）为双曲线。
⒊圆外一定点与圆上任意一点连线的垂直平分线和圆心与圆上动点连线的交点的轨迹为双曲线。
圆半径为双曲线的实轴长，圆心与定点(为焦点)间的距离为焦距长。
二、⒈标准方程：(略)三、相关运算：注意直线是交在双曲线的同一支上还是交在两支上，特别是焦点弦交在同一支上，最短弦是垂直于过焦点⒉焦半径公式：P（x0，y0）为双曲线右支上一点，与左右焦点之间的线段为焦半径。
|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a若点P在左支上时,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a.A.内切B.外切C.内切或外切D.外切或相交⒋在证明或解答相关双曲线的问题时，要注意运用设而不求的点差法。
如直线y=kx+m，若焦点在x轴上的⒌如果在进行直线与双曲线的相关求解时，若直线斜率需要考虑不存在时，可设直线为x=my+c的形式，只不过这样求出的直线的斜率与所求的直线的斜率呈负倒数关系，若是求的范围，a<m<b，则所求的直线的斜率为1/b<k<1/a，这一点务必注意。
⒎在焦点三角形中,过F1作∠F1PF2的平分线的垂线,则垂足H的轨迹为圆,其方程为x2+y2=a2,(本题证明可延长F1H交PF2于M点）,依题意知PF1=PM故PM-PF2=F2M=2a,即点M是以F2为圆心2a为半径的的圆即：(x-c)2+y2=4a。
⒏相关点与双曲线只有一个交点的直线条数:在双曲线外部与双曲线只有一个交点的直线条数有2条;在双曲线上时,与双曲线只有一个交点的直线条数为3条;在双曲线外部:在直线与双曲线之间(如渐近线与双曲线一支之间且位于x由上方)由于过该点平行于渐近线的与双曲线只有一个交点,但要与双曲线相切只有让该直线的斜率大于正斜率的渐近线故只有与右支相切,同理与双曲线相切的直线也只有与右支相切,所以共有四条.⒐已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左右顶点分别是A,B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,试确定三个角之间的关系.⒑双曲线上任一点到焦点的距离大于等于焦点到对应顶点的距离.即d≥c-a.⒒若在双曲线外部有一点P,要在双曲线上求作一点M,使该点到P点与到对应焦点的距离之和最小.其主要方法:过点P作准线的垂线与双曲线的交点就是所求作的点.小题题例:⒈A,F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,P是双曲线右支上任一点,若∠PFA=λ∠PAF,则λ= 2 .(特值检验通径)A. B.2 C.D. C⒍设e1,e2分别为有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,p为两曲线的一个公共点且右准线l:x=1/2,|AF|=3,过F作直线交双曲线右支于P,Q两点,延长PB交右准线l于M点。
⑴求双曲线的方程；⑵若·=-17，求△PBQ的面积S；⑶若=λ，（λ≠0,λ≠-1),问是否存在实数μ=f（λ）的左右焦点，使得=μ,若存在，求出μ=f（λ）表达式，否则说明理由。
（北京海淀区06）⑶（题中=λ及所求μ=f（λ）其实都是两点P，Q之间的关系，故首当其冲就是求出两点的坐标之间的关系）注：在求解与证明与圆锥曲线相关的问题时，如果是直线与圆锥曲线相交的问题时一定要注意该直线斜率是否存在的问题，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当然有时也将该直线设成x=my+n的形式，但要注意求解后对相关斜率的对应处理，即式中的m与所求的斜率为负倒数关系；同时也要注意对图中相关面积的处理，尽量用较简化的方式处理，如利用题中相关线段的互相垂直关系，这时常常要利用某个三角形是由两个三角形组成的公共底来处理以简化运算。
对相关点的处理：主要有两种，利用向量的关系；利用点差法处理。
例⒉（成都市07第二次毕业诊断性测试22）如图,与抛物线x2=-4y相切于A（-4,-4）的（理）求⑴中切点T到直线PQ的距离的最小值；抛物线一、概念：平面内与定点F的距离和一定直线的距离相等的点的轨迹。