三年级第25讲高斯求和
奥数之高斯求和
承上题
解：项数=（995-104）÷11+1 =891÷11+1 =82
总和=（104+）×82÷2 =1099×82÷2 =45059
课堂练习
1、时钟在1点钟时敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下， 依次类推，从1至12点钟共敲了几下？
2、丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天 都比前一天多学会了1个，最后一天学会了26个。丹丹 在这些天中共学会了多少个单词？
例3：求所有加6以后被11整除的三 位数的和。
分析：加“6以后被11整数的三位数，”换一 个说法，也就是“被11除余5的三位数。” 在这些数中最小的三位数是104，最大 的三位数是995，而且相邻两数都相差11， 即这些三位数依次是104、115、 126······995。 显然，它们成等差数列，故可利用等差 数列求和公式求和。
研究目标
若干个数按照一定的顺序规律排列起来就 是一个数列。
如果在这个数列中，任意两个相邻的数 之间的差都相等，我们就把这个数列称为 等差数列。其中第一个数称为首项，最后 一个数称为末项。相邻两个数之间的差称 为公差，这列数中数的个数称为项数。
等差数列求和公式
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差×（项数-1） 首项=末项-公差×（项数+1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1）
2、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？ 3、6个连续偶数的和是1998，这6个数是多少？ 4、计算 （7+9+11+······+25）-（5+7+9+······+23） 19971997+9971997+971997+71997+1997+997+97+9 5、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上
高斯求和问题
高斯求和首先要理解下列公式，能从无到有地推导，并能熟练地默写才能灵活地运用哦！求和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项—首项）÷公差+1末项=首项+公差×（项数—1）首项=末项－公差×（项数一1）一、按规律填数。
1、3，5，7，9，11，13，（），（），（）…2、5，9，13，17，21，25，（），（），（）…3、2，3，4，8，6，13，8，18，10，23，（），（），（）…4、7，13，19，25，31，（），（），（）…5、1，2，3，5，8，13，21，（），（），（）…6、1，4，9，16，25，36，（），（），（）…7、2，6，18，54，162，），（），（）…以上各题，哪些是等差数列？答：等差数列有：（）。
二、求项数。
1、3，5，7，9，11，13，…199。
这列数共有多少项？2、5，9，13，17，21，25，…1177。
这列数共有多少项？3、7，13，19，25，31，…5923。
这列数共有多少项？三、求任意一项是多少。
1、1、3，5，7，9，11，13，…在这列数中，第99项是多少？2、5，9，13，17，21，25，…在这列数中，第294项是多少？3、7，13，19，25，31，…在这列数中，第987项是多少？四、计算。
1、2+4+6+…+96+98+1002、1＋2+3+…+49+503、1+3+5+7+…+97+994、5+8+11+14+…+29+325、1+5+9+…+33+376、5+10+15+…90+95+1007、（2+4+6+...+1992）－（1+3+5+7+ (1991)8、（7+9+11+...+25）－（5+7+9+ (23)9、（1+3+5+...+2001）－（2+4+6+ (2000)10、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+58+59-6011、1+7+13+19+…+1189 12、2000+1995+1990+…+10+5 13、1+2+3+…+2008 14、2+4+6+…+8415、4+8+12+…+600 16、1+7+13+19+…+1201 17、3+7+11+15+…+2003 18、2008+2004+2000+…+8+4 19、1-2+3-4+5-6+…+2003-2004+2005五、 列式计算下列图形的个数。
三年级奥数高斯求和
断题目中的各个加数是否构成等差数列。
大家好
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例2: 1+2+3+4+5+……+99 ＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，99是
等差数列，首项是1，末项是99，共有99个 数。由等差数列求和公式可得
1+2+3+4+5+……+99 =（1＋99）×99÷2
=4950
大家好
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例3: 1+3+5+7+9+11+13+15+17 ＝？ 分析与解：这串加数1，3，5，7，9 ， 11，
（1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3） 是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
大家好
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• 由高斯的巧算方法，得到等差数列的 求和公式：
50+58+66+74+82+90+98 =（50＋98）×7÷2 =148 ×7÷2
=518
大家好
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结束
大家好
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相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单 快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
大家好
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若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称 为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后 项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项 之差称为公差。 例如：
奥数知识十二——高斯求和（等差数列）
奥数知识十二——高斯求和（等差数列）高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高 斯 求 和 (一)
高斯求和（一）高斯求和公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1末项＝首项＋公差×（项数－1）总和＝（末项＋首项）×项数÷2公差＝（末项－首项）÷（项数－1）首项＝末项－公差×（项数－1）首项＝总和×2÷项数－末项末项＝总和×2÷项数－首项项数＝总和×2÷（首项＋末项）一、计算：1 +2 +3 +4 +5 +……+252 + 4 +6 + 8 +……+4041 +43 +45 + 47 +49 +……+97+99（3＋7＋11＋...＋47）－（2＋6＋10＋ (46)5 +15 +25 +35 +45 +……+953 +6 +9 +12 +15 +18 +……+30（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4940）÷3 （1＋11＋21＋31＋41）＋（9＋19＋29＋39＋49）1 + 3 + 5 +7 +…+59二、列式计算：1、等差数列2，5，8，11，…，问第80项是多少？2、一个等差数列的第2项是6，第3项是11，则这个数列的第10项是多少？3、已知等差数列5，8，11，…，它的第21项是多少？4、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4。
问这串数中第2001个数是多少？5、有一个等差数列3，7，11，15，……这个等差数列的第100项是多少？6、一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10。
这个等差数列的末项是多少？7、有一个数列，4、10、16、22 ……52，这个数列共有多少项？8、等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2。
这个等差数列共有多少项？9、有一个等差数列2，5，8，11，……173，这个等差数列共有多少项？10、已知等差数列11，16，21，26，……1001，问这个等差数列共有多少项？11、求等差数列1，4，7，10……，这个等差数列的第30项是多少？12、求等差数列2，6，10，14……，这个等差数列的第100项？13、有这样的一列数1，2，3，4，……84，85，请你求出这列数各项相加的和？14、小明练习写毛笔字，第一天写了6个，以后每天都比前一天多写相同数量的大字，结果全月（31）天共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写几个大字？。
三年级高斯求和
三年级高斯求和 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】第3讲：高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5，，100；（2）1，3，5，7，9，，99；（3）8，15，22，29，36，，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
（4）由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋＋1999分析：这串加数1，2，3，，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
高斯公式教案
高斯公式教案篇一：高斯公式通量与散度教案高等数学教案篇二：从高斯求和的教学设计想到的从“少年高斯的速算”教学设计想到的周沐海一个偶然的机会，看到了从少年高斯求和的速算教学实录：教师：高斯是19世纪德国伟大的天才数学家，被誉为“数学王子”。
相传高斯在读小学的时候，老师在黑板上写下这样一到题目：1+2+3+4++97+98+99+100=？同学们，你们也试一试，如何计算呢？（稍微给一点时间之后）教师：请同学们首先认真的、静静的回想一下，你的第一想法是什么？（稍微给一点时间之后）教师：一个个相加求和？学生（异口同声）：不是！这太繁琐了！教师：是的。
老师也不是想让我们这样算吧？那有没有简便算法呢？学生（先迟疑，后肯定）：应该一定有简便算法！教师：那我们怎么办？——看这些数字有什么特征！对不对？你们认真观察，好好想一想。
学生甲：这是从1到100这100个连续自然数的和。
教师：是啊！那每一个数之间有什么特征？学生乙（恍然）：后一个数都比前一个数多1！教师：非常好！继续！学生全体（迫不及待）：前一个数都比后一个数少1！教师：太好啦！学生丙（兴奋而自豪）：其实我发现如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。
教师：噢！还可以这样看，大家说是吗？学生全体（恍然、兴奋）：是的。
我知道怎样算了！教师：怎么算？我们还是应该让这个同学说一说吧。
学生丙：如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。
这样，共有50组101，所以，和就应该是101×50=5050。
教师：真是太好啦！看来你们也都是“小高斯”啊！不信吗？让我们还原一下高斯的思维历程（板演）。
教师：同学们再想一想，如果让你求1+2+3+48+9+10的和，你们能不能立刻算出来？学生（几乎异口同声）：55。
教师：看来大家真的领悟了！你们课余时间，还可以自己编一些类似的题目，做一做，重要的是看能不能悟出一个规律。
由一些特殊的同类问题，归纳一般规律，这就是做数学的乐趣！【案例解读】或许，没有哪位小学数学教师不向学生讲这个故事，但通常只是让学生自己算一下，看谁算得又快又准；或者，有些教师也会启发引导学生采取巧妙的算法，但没有系统而有条理地设计一个完整的问题解决情境，这样就不能让学生深刻理解其中的数学内涵和教育价值。
高斯求和
巧妙求和一、考点、热点回顾若干个数排成一列，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
列如：3,6,9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。
这一周，我们将学习“等差数列求和”。
为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项+（项数-1）⨯公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）⨯项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这个量中的三个，就可以利用通项公式或项数公式及求和公式求和。
二、典型例题例1. 有一个数列，4、10、16、22、……52，这个数列共有多少项？练一练：（1）等差数列红，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？（2）有一个等差数列：2、5、8、11、……101，这个等差数列共有多少项？（3）已知等差数列11、16、21、26……1001，问这个数列共有多少项？例2.有一等差数列：3、7、11、15……这个等差数列的第100项是多少？练一练：（1）一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？（2） 求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30项？（3）求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100项？例3.有这样 一列数，1、2、3、4……99、100.请你求出这列数各项相加的和？想一想：上面的数列是公差为1的特殊等差数列，于是我们可以用公式计算：总和=（首项+末项）⨯项数÷2。
练一练：计算下列各题：（1） 50494321++++++（2） 759876+++++（3） 60619899100+++++例4.求等差数列2、4、6……48、50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
高斯求和--小升初专项训练 学生版
高斯求和第一关已知首项、末项和项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n =a 1+a n 2×n 1.计算：1+3+5+7+⋯+192.计算：110+111+112+⋯+1263.计算：4+8+12+16+20+⋯+2012+20164.100以内的偶数和是多少？5.计算：1-2+3-4+⋯+97-98+996.计算：(2+4+6+⋯+200)-(1+3+5+⋯+199)7.计算：(1+3+5+⋯+2009+2011)-(2+4+6+⋯+2008+2010)8.计算：1930+1830+⋯+130-39150-38150-⋯-11509.计算(2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015)÷710.下面算式中的★表示相同的数，求★1×★+2×★+3×★+4×★+⋯+11×★+12×★+13×★=200211.计算：(1+1.56)+(2+1.56×2)+(3+1.56×3)+⋯+(99+1.56×99)+(100+1.56×100)12.计算：(100+99×1)+(99+99×2)+(98+99×3)+⋯+(2+99×99)+(1+99×100)13.计算：1 2+23+13+34+24+14+45+35+25+15+⋯+1920+1820+⋯+12014.计算：1 2+13+⋯+12016+23+24+⋯+22016+34+35+⋯+32016+⋯+20142015+2014 2016+ 2015201615.如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是多少？16.加工一架梯子，扶杆长为4米，上下横档的长分别为0.35米、0.62米，中间还有7根横档，横档平行且间距均匀．制这架梯子共需多少米的毛竹？(损耗与接头均不计，结果保留一位小数)17.在通往城堡的笔直的道路上，将军这样安排了100个哨兵，他们从城堡门口开始，依次排在相邻两名哨兵之间的距离均为1米．请问，哨兵中任意两人的距离的总和为多少米？18.周长不超过100(包括100)，且边长为自然数的所有正方形的周长之和是多少？19.观鸟协会组织会员到湖边观鸟，会员们发现在一棵大树上：第1分钟飞来1只鸟，第2分钟飞来2只鸟，第3分钟飞走3只鸟，第4分钟飞来4只鸟，第5分钟飞来5只鸟，第6分钟又飞走6只鸟，⋯，照此规律请你算出第66分钟时树上共有多少只鸟？20.在1-100这100个自然数中，所有不能被6整除的数的和为多少？21.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？22.求：1~999这些连续自然数所有数字之和是多少？23.数1，2，3，4，⋯，10000按下列方式排列：任取其中一数，并划去该数所在的行与列．这样做了100次以后，求所取出的100个数的和？第二关已知首项、公差及项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和．2.计算：2+4+6+8+⋯前198项的和3.计算：17+22+27+32+⋯前100项的和4.计算：131+140+149+158+⋯前98项的和5.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完．这本书共有多少页？6.一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是25排．这个剧院共有多少个座位？7.同学们做广播操，一共排了8排，第一排有4人，以后每排比前一排多1人，一共有多少人做广播操？8.一堆木料，最上面一层有4根，最下面一层有20根，每相邻两层之间相差2根，这堆木料共有多少根？9.果果从小学三年级开始每年的植树节时都植树，三年级时植了2棵，以后每年都比前一年多植树2棵．那么，果果高中毕业时一共植树多少棵？10.有一串数：1,12,22,13,23,33,14,24,34,44,15,25,35,45,55，⋯它前2004个数的和是多少？11.1995003这个数，最多可以拆成多少个不同的非零自然数相加的和？第三关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.计算：1+2+⋯+8+9+10+9+8+⋯+2+12.一个时钟只有在整点时才敲出响声，凌晨1时敲1下，凌晨2时敲2下⋯中午12时敲12下，下午1时敲1下，下午2时敲2下⋯夜里12时敲12下，那么一昼夜该时钟共要敲多少下？3.1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+99+100+99+98+⋯+4+3+2+14.在一根绳子上串了价格不同的一些珠子共31个，其中正中间那一个最贵，从某一端算起，后一个珠子比前一个贵3元．直至到中间那个为止；若从另一端算起，后一个珠子比前一个贵4元，直至到中间那个为止．这串珠子总价值为2260元，那么中间的那一颗珠子价值多少元？5.张教授连续做实验若干小时．开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合．已知这个挂钟只在整点报时(几点就报几下，如下午1点敲1下)，整个实验过程中挂钟共敲了39下．问：(1)张教授的实验一共做了多少小时？(2)他做完实验时，挂钟敲了多少下？第四关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？2.小明读一本书．第一天读了8页，第二天读了11页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天他读了32页，正好读完．这本书有多少页？3.一个堆放铅笔的V形架的最下层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支．这个V形架上共放了多少支铅笔？4.一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了1个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依此类推，后面的小猴都比他前面的小猴多摘了1个野果，最后，每只小猴分得8个野果，这群小猴一共有多少只？5.小明往一个大池里扔石子，第一次扔1个石子，第二次扔2个石子，第三次扔3个石子，第四次扔4个石子⋯，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔多少次？第五关【知识点】1.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，多加的那个数是多少？2.王涛将连续的自然数1，2，3，⋯逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是多少？3.小强练习加法计算，他从1加到某个数时，和是1993，但他发现计算时少加了一个数，小强少加了的那个数是多少？4.从15开始的若干个连续自然数，如果去掉其中一个，剩下的数的平均数是311217，则去掉的自然数是多少？第六关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.蜗牛每小时都比前1小时多爬0.1米，第10个小时蜗牛爬了1.9米，第1小时蜗牛爬了多少米？2.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是多少？。
高斯求和(一)
练习题： 1、3个连续整数的和是120，求这3个数。 2、4个连续整数的和是94，求这4个数。 3、在6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的 和是78，求这6个连续偶数各是多少？ 4、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每 天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16 个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？ 5、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配 上自己的钥匙，至多要试多少次？ 6、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同 学握一次手，那么这个班共握了多少次手？
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一.专题归纳 二.点拨突破 精讲一 精练一 精讲二 精练二 精讲三 三.课内突破
专题归纳
1.把若干个数按一定次序排成一列称为数列 2.数列中的每一个数叫这个数列的项.其中在第一个位置上的 数叫数列的第一项(即首项),最后一项叫数列的末项(或尾 项),数列中数的个数叫项数. 3.一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个 常数,这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列公 差（用字母d表示）. 4.求等差数列前n项和的公式:一般地,设有等差数列:a１，a２， a３… …an，数列和＝（首项＋末项）×项数÷２ 字母表示：Ｓn＝（a１＋an） ×n ÷２ 5.求数列项数的方法: 项数＝（末项－首项） ÷ 公差＋１，用字母表示：n=(ana1) ÷ d ＋１ 6.求数列中第n项数（即数列的通项公式）： 第n项数＝首项＋（项数－１） ×公差，用字母表示：an＝ a１ ＋（n－１）d
1、有一个数列，4、10、16、22 …… 52，这个数列有多少 项？ 2、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末 项是多少？ 3、求等差数列1、4、7、10 …… ，这个等差数列的第30项 是多少？ 4、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（ ） 5、2＋6＋10＋14＋ …… ＋122＋126＝（ ）
高斯求和、还原问题、平均数问题(复习课) (1)
个性化一对一教学辅导教案学科： 奥数 学生姓名 年级 四 任课老师 授课时间一、教学内容：高斯求和、还原问题、平均数问题（复习课）二、教学重、难点：求和公式、还原问题中问题的倒退三、教学过程：高斯求和：若干个数按照一定的顺序规律排列起来就是一个数列。
例如：：1，1, 2，3，5，8，13，21，34，……2、如果在一个数列中，任意两个相邻的数之间的差都相等，我们把这个数列称为等差数列。
其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
相邻两个数之间的差称为公差（通常用d 表示），这列数中数的个数称为项数。
3. 等差数列的计算公式：前n 项和： 2n a a S n 1÷+=）（ 项数： 1d a -a n 1n +÷=）（ ）（n 1a a 2S n +÷=第n 项： d 1-n a a 1n ）（+= 公差： ）（）（1-n a -a d 1n ÷=例题1、 计算 1＋2＋3＋……＋99＋100 （等差数列求和公式的推导）你会怎么求？高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。
200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050例题2、 2＋4＋6＋8＋……＋48＋50 5＋10＋15＋20＋……＋45＋50练习：○1 计算 1＋2＋3＋……＋49＋50○2 计算 1＋3＋5＋7＋……＋97＋99○3时钟在1点钟时敲一下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，以此类推，从1～12点钟共敲了几下？例2、求 5＋8＋11＋14＋……＋29＋32 （如何求项数）练习：○1 1＋5＋9＋6＋……＋33＋37○2 5＋10＋15＋……＋90＋95＋100○3丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了26个。
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 + 2+ 3+ 4+-+ 99+ 100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：文档来自于网络搜索1 + 100=2 + 99= 3+ 98 = ••• = 49+ 52= 50+ 51。
1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为(1+100)X 100-2= 5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：文档来自于网络搜索(1)1, 2, 3, 4, 5, (100)(2)1, 3, 5, 7, 9, (99)(3)8, 15, 22, 29, 36, (71)其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
文档来自于网络搜索由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和二(首项+末项)X项数+ 2。
例 1 1 + 2+ 3 + -+ 1999=?分析与解：这串加数1, 2, 3,…，1999是等差数列，首项是1,末项是1999, 共有1999个数。
由等差数列求和公式可得文档来自于网络搜索原式二（1+ 1999）X 1999-2= 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11 + 12 + 13 + •••+ 31 = ?分析与解：这串加数11, 12, 13,…，31是等差数列，首项是11,末项是31 , 共有31-11 + 1 = 21 （项）。
高斯求和讲解
高斯求和讲解The document was prepared on January 2, 2021第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等.于是,小高斯把这道题巧算为1+100×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差.例如：11,2,3,4,5, (100)21,3,5,7,9, (99)38,15,22,29,36, (71)其中1是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；2是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；3是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式：和=首项+末项×项数÷2.例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=1＋1999×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11＋1＝21项.原式=11+31×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数.根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=末项-首项÷公差+1,末项=首项+公差×项数-1.例3 3＋7＋11＋ (99)分析与解：3,7,11,…,99是公差为4的等差数列,项数=99－3÷4＋1＝25,原式=3＋99×25÷2＝1275.例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×40-1＝142,和=25＋142×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍.问：1最大三角形的面积是多少平方厘米2整个图形由多少根火柴棍摆成分析：最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列.解：1最大三角形面积为1＋3＋5＋…＋15×12＝［1＋15×8÷2］×12＝768厘米2.2火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝3＋24×8÷2=108根.答：最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成.例6 盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球分析与解：一只球变成3只球,实际上多了2只球.第一次多了2只球,第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后,多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×1＋2＋…＋10＝2×55＝110只.加上原有的3只球,盒子里共有球110＋3＝113只.综合列式为：3-1×1＋2＋…＋10＋3＝2×［1＋10×10÷2］＋3＝113只.。
三年级数学《高斯算法》教案
1 创新妙解300练 高斯算法（2）用“高斯算法”计算的问题，有一个明显的特征：每前后两个数之间的“差”都相等，这就叫“公差”。
有些难度较大的题目，没告诉我们最后一个数（即尾数）是多少，因此必须先求出数列的末尾一个数是多少才能计算它们的和。
先来观察这一组等差数列：2、5、8、11、14、17、20 ……，公差是“3”。
第二个数是“5”，比第一个数多1个3；第三个数是“8”，比第一个数多2个3；第七个数是“20”，比第一个数多6个3 ……明白了这一道理，推算数列中的任何一个数都毫不困难了。
仍以上面的数列例如，求第20个数：2＋3×（20－1）= 59；求第301个数：2＋3×（301－1）= 902 ……掌握了推算“末尾数”的方法，就可以下面的问题了:[例题] 有一列数：8、11、14、17、20 …… ，是从“8”开始的，一共有60个数，这60个数的总和是多少？分析:这个数列的第一个数是8 ，同时看出它们的“公差”是3，求这个数列的总和必须先求出它“末尾”那个数（即第60个数）是多少。
解法如下：①.它们的“末尾”那个数是:8 + 3 ×（60 -1）= 185 ；②.这60个数的总和是:（8 + 185）×60 ÷ 2= 193 ×3 0= 5790答: 这连续的60个数的总和是5790 。
练习设计．．．．①、有一列数，11、15、19、23、27、 …… ， 它们的第51个数是： 。
②、右边是一组等差数列：111 、 116 、 121 、 126 …… ，它们的第100个数是多少？把这100个数相加起来，它们总和是多？求末尾数的公式 头＋公差×（个数－1）= 尾数 答案: ①、211； ②、606；35850 。
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考高斯求和公式是小学奥数非常重要也是应用非常多的一个公式，要求学生们必须掌握。
记住公式的同时，还应该了解公式背后的原理，深刻的理解并能够灵活是我们追求的目标，从小就打下坚实的基础。
引言我们先计算一道简单的数学题：1+2+3+4+5=先不要说答案，告诉我你是怎么做的？一个数字一个数字相加吗？没关系，'不管黑猫白猫，能捉老鼠的就是好猫。
'实用最重要！问题升级：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=题目依然简单，可如果还是一个数字一个数字相加就需要有点耐心。
有的人可能会打点其他的注意，比如开始找点捷径。
不管用的什么方法，总之你做出来了，这题目还难不倒你。
问题再再升级：1+2+3+4+5+ (100)这下，似乎有点麻烦了，必须打点其他的注意，我们需要专门为这类题目打造专用工具——高斯求和公式（也叫等差数列求和公式）。
一、高斯求和公式（等差数列求和公式）(1).什么是等差数列？像前面的3组数，都是连续的自然数，他们排列整齐，依次增加或者依次减少，有一种和谐且治愈的美感。
又如：3，6，9，12，15，18；40，38，36，34，32，30，28，26。
第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，数列中数的个数也叫数列的项数。
(2).等差数列求和回头想想引言中的3道等差数列的题目，你们是怎么求和的呢？用的分别是什么思路呢？思路1：简单粗暴的相加，这似乎不叫思路，叫本能。
思路2：找平均数（中间数），选个代表出来，最能代表这组数大小的就是他们的平均数，它往往藏在队伍的最中间。
找到平均数，又知道项数，和=平均数×项数：3×5=15(中间数还有其它的一些妙用，例如日历表中横竖或者3×3正方形中间的数都为这些数的平均数。
)有的细心的同学会问，偶数个数没有中间数怎么办？比如：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=没有代表，我们也要造出一个代表来。