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武汉大学《离散数学》课件-第5章

(1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点,
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈.
32
通路与回路(续)
定理在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章图的基本概念第6章特殊的图第7章树
2
第5章图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性

2023年10月02324离散数学自考试题

2023年10月02324离散数学自考试题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023年10月02324离散数学是一门非常重要的数学课程，它涉及数学中的离散结构及其应用。

离散数学在计算机科学、信息技术、通信工程等领域具有重要的应用价值，因此掌握离散数学的知识对于从事相关行业的人来说至关重要。

在2023年10月02324离散数学的考试中，考生将会面对一系列的试题，来考查他们对离散数学的理解和掌握程度。

以下是一份假设的2023年10月02324离散数学自考试题示例：第一部分：选择题（每题1分，共20题）1. 下列哪个不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 集合论C. 实变函数D. 逻辑2. 设A={a,b,c}，B={a,c,d}，则A∩B=？A. {a,b,c}B. {a,c}C. {b}D. {a,c,d}3. 在集合论中，全集的补集被称为？A. 空集B. 补集C. 子集D. 交集4. 下列哪个是图的最短路径算法？A. Kruskal算法B. Prim算法C. Dijkstra算法D. 拓扑排序算法1. 若A={1,2,3,4}，则A的幂集共有多少个子集？2. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的结果。

3. 设二元关系R={(1,1),(2,2),(3,3)}，则R的自反性是？4. 设G={V,E}是一个无向图，若V={a,b,c,d}，E={{a,b},{b,c},{c,d},{d,a}}，求G的度数序列。

5. 设S={a,b,c}，则S的所有排列有多少种？1. 设f(x)=3x+2，g(x)=x^2，求f(g(x))。

2. 求解逻辑表达式P∧¬Q∧R的真值表。

3. 设集合A中元素个数为n，B中元素个数为m，求A×B的元素个数。

1. 证明：对于任意集合A，A与A的补集的交集为∅。

2. 证明：若G为连通图，则G是无向图。

3. 证明：若一个图G中所有顶点的度数均为偶数，则G为欧拉图。

武汉理工大学研究生课程-武汉理工大学研究生院

武汉理工大学研究生课程-武汉理工大学研究生院武汉理工大学2021年博士入学考试《随机过程》考试大纲1．概率空间、随机变量及数字特征考试内容：概率空间的概念、随机变量及其分布函数、随机变量的数字特征、特征函数、母函数、n维正态分布、条件期望。

考试要求：（1）了解概率空间的概念。

（2）理解随机变量的概念，掌握分布函数、密度函数的基本性质。

（3）理解随机变量的期望、方差、协方差、特征函数、母函数概念，掌握其基本性质，会求随机变量的期望、方差、协方差、特征函数、母函数。

（4）掌握n维正态分布的性质。

（5）理解条件概率、条件分布函数、条件密度函数的概念，理解独立随机变量的概念，掌握条件随机变量的期望性质。

2．随机过程的基本概念考试内容：随机过程的概念、随机过程的分布函数族、随机过程的数字特征、正交增量过程、独立增量过程、正态过程、维纳过程、复随机过程。

考试要求：（1）理解随机过程的概念、掌握随机过程的分布函数族，会求随机过程的数字特征。

（2）理解正交增量过程、独立增量过程的概念、了解正态过程、维纳过程。

（3）理解复随机过程的概念。

3．泊松过程考试内容：泊松过程的概念、泊松过程的数字特征、时间间隔与等待时间分布、到达时间的条件分布、非齐次泊松过程及数字特征、复合泊松过程及数字特征。

考试要求：（1）理解泊松过程的概念、掌握两种定义。

（2）掌握泊松过程的基本性质、会求泊松过程的数字特征、时间间隔与等待时间的分布、到达时间的条件分布。

（3）理解非齐次泊松过程的概念、会求其数字特征。

（4）理解复合泊松过程、会求其数字特征。

4．马尔可夫链考试内容：马尔可夫过程的概念、马尔可夫链的概念、马尔可夫链的转移概率、马尔可夫链的状态分类、常返性的判别及其性质、状态空间的分解、状态转移概率的渐近性质与平稳分布。

考试要求：（1）了解马尔可夫过程的概念，理解马尔可夫链的概念。

（2）掌握马尔可夫链的状态转移概率性质、会根据状态转移概率描绘状态转移图、会根据实际问题求状态转移概率。

离散数学第3版习题答案

离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。

离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。

在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。

本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。

第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。

(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。

(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。

1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。

(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。

(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。

1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。

离散数学湖北省考研复习要点总结

离散数学湖北省考研复习要点总结离散数学是湖北省考研数学专业中的一门重要课程，涵盖了离散结构、逻辑推理、图论、集合论等多个领域。

在复习时，我们需要重点掌握以下几个方面的知识点。

一、离散结构离散结构是离散数学的基础，其中包括了集合、排列、组合、关系和函数等概念。

1. 集合在集合的复习中，我们需要了解集合的基本运算，如并、交、差和补运算。

此外，还需要熟悉集合的性质，如幂集、空集和全集等。

2. 排列与组合排列与组合是离散数学中常见的问题类型，需要掌握它们的计算方法和应用。

在排列中，我们需要了解全排列、循环排列和无重排列等概念。

在组合中，我们需要了解组合数的计算方法和二项式定理等。

3. 关系与函数关系与函数是描述元素之间联系的数学工具。

在关系的学习中，我们需要了解关系的定义、性质和表示方法，如关系矩阵和关系图。

在函数的学习中，我们需要了解函数的定义、性质和表示方法，如函数的图像和函数的逆等。

二、逻辑推理逻辑推理是离散数学中的重要内容，它包括了命题逻辑和谓词逻辑两个方面。

1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题之间关系的数学工具。

在命题逻辑的学习中，我们需要了解命题的定义、联结词的运算规则和真值表的应用。

此外，还需要熟悉命题逻辑的推理规则，如析取推理、假言推理和削弱推理等。

2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究变量和谓词之间关系的数学工具。

在谓词逻辑的学习中，我们需要了解谓词的定义、量词的运算规则和约束条件的表示方法。

此外，还需要熟悉谓词逻辑的推理规则，如全称推理、存在推理和否定推理等。

三、图论图论是离散数学中的重点内容，它研究了图的基本概念、遍历算法和最短路径等问题。

1. 图的基本概念在图的学习中，我们需要了解图的定义、图的表示方法和图的性质，如有向图、无向图和完全图等。

此外，还需要熟悉图的基本运算，如图的并、交和差运算。

2. 遍历算法在遍历算法的学习中，我们需要了解深度优先搜索和广度优先搜索两种常见的算法。

此外，还需要熟悉拓扑排序和关键路径算法等。

离散数学-群论-代数系统-深底

布尔代数
• 摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的"推理"，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。
• 但事情的发展似乎突然停了下来.
• 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没有一个人能找出五次方程的求根公式.
• 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了 , 不得不进入较普通的师范学校.
伽罗华
• 1828年，他把自己所写的论文送交法国科学院审查，同年6月该科学院曾举行例会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著名数学家审查，但由于重视不够，原稿被柯西弄丢了。
• 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论的创始人.
Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), France
Died: 31 May 1832 in Paris, France
环论
• 环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。

2024年4月离散数学真题

2024年4月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学(课程代码 02324)注意事项:1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

2.应考者必须按试题顺序在答题卡(纸)指定位置上作答，答在试卷上无效。

3.涂写部分、画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

第一部分选择题一、单项选择题:本大题共15小题，每小题2分，共30分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.含有3个命题变元的任一命题公式的指派个数是A.6个B.8个C.9个D.10个2.下列命题公式为矛盾式的是A.P→(P ⋁Q ⋁R)B.¬(Q→P) APC.(P→¬P)→¬PD.(P ⋀¬P)→Q3.含有2个命题变元的命题A是重言式的条件是A的主析取范式含有A.4个小项B.1个小项C.4个大项D.1个大项4.设论域元素为a、b,与∀xR(x) ∧(∋y)S(x) 等价的是A.(R(a) ⋀R(b)) ⋀(S(a) ⋀S(b))B.(R(a) ⋀R(b)) ⋀(S(a) ⋁S(b))C.(R(a) ⋁R(b)) ⋀(S(a) ⋀S(b))D.(R(a) ⋁R(b)) ⋀(S(a) ⋁S(b))5.谓词公式 ∀xF(x) ⋀G(x,y) 中变元x 为A.自由出现B.约束出现C.既不是自由出现也不是约束出现D.既是自由出现也是约束出现6.设论域是正整数,下列谓词公式中值为真的是A.)10(22=+∃∀y x y xB.)10(22=+∃∀y x x yC.)10(22=+∀∀y x y xD.)10(22=+∃∃y x y x7.设A ={a,∅},P(A)是A 的幂集,下列选项中正确的是A.{a}∈ P(A),{a}⊆P(A)B.{{A}}∈P(A),{{a}}⊆P(A)C.{a}∈P(A),{∅}∈P(A)D.{a}∈P(A),{∅}⊆P(A)8.一个8阶简单图的边数最大为A.20B.25C.28D.309.下面关于n 阶树的描述,错误．．的是 A.连通图 B.连通且有n-1条边C.无回路且有n-1条边D.连通且无回路10.R={<0,1>,<1,2>,<2,3>},S={<2,1>,<1,2>,<3,3>},下列正确的是A.ran(R) ⊂ ran(R ∩S)B.ran(S) = ran(R ∪S)C.dom(R) = dom(S)D.dom(R) ∪ dom(S) = ran(R) ∪ ran(S)11.设A={1,2,3},则下列关系中是反自反关系的为A.R={<1,1>,<1,2>}B.R={<1,2>,<3,3>}C.R={<1,2>,<3,2>}D.R={<3,1>,<1,3>,<2,2>}12.设A={a,b,c} ,下列选项中既不是对称也不是反对称的是A.R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c>}B.R={<a,a>，<b,b>}C.R={<a,c>，<a,b>}D.R={<a,c>，<b,b>}13. 设f: R →R,f(x) =⎩⎨⎧<-≥3232x x x ，，;g:R →R,g(x)=x+2,则g ∘f:R →R 是A.单射不满射B.满射不单射C.不单射不满射D.双射14.一个5阶简单图G,保证G 为连通图的最少边数为A.4B.5C.6D.715.下列各集合对于整除关系构成偏序集,不能．．构成格的集合是 A.L 1={1,2,3,4} B.L 2={1,2,3,6}C. L 3={1,3,5,15}D.L 4={1,3,9,81}第二部分非选择题二、填空题:本大题共10小题，每小题2分，共20分。

武汉理工大学《离散数学》在线练习及考试题目

答案+我名字一、判断(共计50分,每题2.5分)1、连通是图的结点集上的一个等价关系。

.正确.错误2、只由一个孤立结点构成的图称为平凡图。

.正确.错误3、设R是集合上的关系，若对于任意，∈，当(，)∈R时，必有(，)∈R，则称R为对称的。

.正确.错误4、对任意集合，都有∅⊆。

.正确.错误5、半群满足交换律。

.正确.错误6、一个从到的二元关系是有序偶的集合R，在每一个有序偶中，第一个元素取自，第二个元素取自。

.正确.错误7、对应日常生活中的“任意的”，“所有的”，“一切的”等词，用符号“任意”表示。

.正确.错误8、自然数集合N上的加法、乘法是N上的二元运算，但减法、除法不是。

.正确.错误9、若关系R是自反的，则其关系图的每个结点都没有环。

.正确.错误10、简单图不含平行边。

.正确.错误11、设n阶无向连通图G有m条边，则m<n－1。

.正确.错误12、一个代数系统的单位元、零元、逆元如存在，则必唯一。

.正确.错误13、如果是集合中的元素，则称属于，记作∉。

.正确.错误14、对于任何（n，m）—图。

.正确.错误15、两图同构，则每个顶点的度相同。

.正确.错误16、“如果1+1≠3，则2+2≠4”是真命题。

.正确.错误17、若和都是谓词公式，则(∧)、(∨)、(→)、(<->)都是谓词公式。

.正确.错误18、具有条边的连通图最多具有个结点。

.正确.错误19、设，，则.正确.错误20、大于100的整数集合可以表示为{101,102,103，…}。

.正确.错误二、单选(共计50分,每题2.5分)21、下列集合关于所给定的运算成为群的是（）.已给实数的正整数次幂的全体，且{0，1，-1}，关于数的乘法.所有非负整数的集合，关于数的加法.所有正有理数的集合，关于数的乘法.实数集，关于数的除法22、设个体域是整数集，则下列命题的真值为真的是（）.yx(x·y=1).xy(x·y≠0)..23、下列等价式正确的是（）.┐┐..┐┐.24、下列集合对所给的二元运算封闭的是（）.正整数集上的减法运算.在正实数的集R+上规定为=--,∈R+.正整数集Z+上的二元运算为xy=min(x,y)x,y∈Z+.全体n×n实可逆矩阵集合Rn×n上的矩阵加法25、下列集合对所给的运算是封闭的只有（）.非零整数集合Z*上的除法运算.全体n×n实可逆矩阵集合Mn（R）上的矩阵加法和乘法运算.全体n×n实矩阵集合Mn（R）上的矩阵加法和乘法运算.={1，2，…，10}，x*y=LM（x，y），即x，y最小公倍数26、设论域为整数集，下列真值为真的公式是（）....27、若R和S是集合上的两个关系，则下述结论正确的是（）.若R和S是自反的，则R∩S是自反的.若R和S是对称的，则RS是对称的.若R和S是反对称的，则RS是反对称的.若R和S是传递的，则R∪S是传递的28、下列命题正确的是（）.{l，2}{{1，2}，{l，2，3}，1}.{1，2}{1，{l，2}，{l，2，3}，2}.{1，2}{{1}，{2}，{1，2}}.{1，2}∈{1，2，{2}，{l，2，3}}29、设M（x）：x是人；F（x）：x要吃饭。

离散数学必备知识点总结汇总

离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。

2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。

3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。

4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。

5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。

6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。

7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。

8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。

9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。

10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。

11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。

12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。

离散数学磁感应

离散数学磁感应
磁感应是指一个磁场在空间中的强度分布情况，也可以称为磁场强度，通常用字母B表示。

在离散数学中，磁场的强度是经过抽象和数学模型化而来，而磁场的介质影响通常被忽略。

离散数学中的磁感应的计算基于电荷和电流的相互作用，是一个关键的概念，被广泛应用于电子工程、物理学等领域。

磁场的作用，是在磁性物质周围产生吸引力或排斥力，它的强度取决于磁性物质周围的磁通量。

离散数学中，磁感应的计算涉及到许多概念和公式，其中一个重要的公式是安培环路定理，它描述了电流和磁场的相互作用。

根据安培环路定理，一个闭合回路中的电流，会在其周围产生一个磁场，其磁感应力的大小取决于回路中电流的强度和回路大小。

在电子工程中，磁感应被广泛用于诸如变压器、电机等设备的设计和优化。

比如，变压器中，通过合理设计电流和铁芯结构，可以提高磁场强度、降低磁通损耗、提高效率。

在航天工程中，磁感应的变化也被用于实时导航系统的设计，磁信号可用于识别行星或星球的磁场，从而帮助导航员确定航向和位置。

除了上述应用，磁感应还被广泛用于测量磁场大小和分布。

通常使用磁信号检测器来测量磁场强度，这些检测器通过测量非常微小的磁场变化来精确测量磁场大小和方向。

离散数学中，磁场的大小和方
向可以用向量表示，该向量的大小代表磁感应力大小，方向是该向量在空间中的方向。

总的来说，磁感应是离散数学中非常重要的一个概念，具有广泛的应用。

在工程、物理、导航和探测等领域中，磁感应能够为我们提供必要的信息，并帮助我们更好地设计和优化相关设备和系统。

离散数学(专科)——武汉理工大学

一、单选( 每题参考分值2.5分 )1、下列函数中为双射的是（）A. f：Z→Z,f(j)=j(mod)B. f：N→N,f(j)=C. f：Z→N,f(j)=|2j|+1D. f：R→R,f(r)=2r-15正确答案：【D】2、下面联结词运算不可交换的是（）A. ∧B. →C. ∨D.正确答案：【B】3、关于谓词公式（x）(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧(x)p(x,y),下面的描述中错误的是（）A. （x）的辖域是（y）（P（x,y）∧Q(y,z)）B. z是该谓词公式的约束变元C. （x）的辖域是P（x,y）D. x是该谓词公式的约束变元正确答案：【B】4、下列等价式正确的是（）A. ┐┐AB.C. ┐┐AD.正确答案：【C】5、下面关于关系R的传递闭包t(R)的描述最确切的是（）A. t(R)是包含R的二元关系B. t(R)是包含R的最小传递关系C. t(R)是包含R的一个传递关系D. t(R)是任何包含R的传递关系正确答案：【B】6、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（）A. 1∈AB. {1，2，3} AC. {{4，5}} AD. ∈A正确答案：【C】7、下列命题公式为重言式的是（）A. p→ (p∨q)B. (p∨┐p)→qC. q∧┐qD. p→┐q正确答案：【A】8、设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（）A. PQB. PQC. QPD. Q=P正确答案：【C】9、下列命题正确的是（）A. {l，2}{{1，2}，{l，2，3}，1}B. {1，2}{1，{l，2}，{l，2，3}，2}C. {1，2}{{1}，{2}，{1，2}}D. {1，2}∈{1，2，{2}，{l，2，3}}正确答案：【B】10、下列命题公式不是重言式的是（）A. Q→（P∨Q）B. （P∧Q）→PC. ┐（P∧┐Q）∧（┐P∨Q）D. （P→Q）（┐P∨Q）正确答案：【C】11、设D的结点数大于1，D=<V,E>是强连通图，当且仅当（）A. D中至少有一条通路B. D中至少有一条回路C. D中有通过每个结点至少一次的通路D. D中有通过每个结点至少一次的回路正确答案：【D】12、设G为有n个结点的简单图，则有（）A. Δ(G)＜nB. Δ(G)≤nC. Δ(G)＞nD. Δ(G)≥n正确答案：【A】13、设集合A={a,b, c}上的关系如下，具有传递性的是（）A. R={<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>}B. R={<a,c>,<c,a>}C. R={<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>}D. R={<a,a>}正确答案：【D】14、在自然数集N上，下列运算是可结合的是（）A. a b=a-2bB. a b=min{a，b}C. a b=-a-bD. a b=|a-b|正确答案：【B】15、在代数系统中，整环和域的关系是（）A. 整环一定是域B. 域不一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环正确答案：【C】16、设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9，10}，以下关系是从A 到B的入射函数的是（）A. f ={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,7>}B. f ={<1,7>,<2,6>,<4,8>,<1,9>,<5,10>}C. f ={<1,6>,<2,7>,<4,9>,<3,8>}D. f ={<1,10>,<5,9>,<3,6>,<4,6>,<2,8>}正确答案：【A】17、下列集合关于所给定的运算成为群的是（）A. 已给实数a的正整数次幂的全体，且a {0，1，-1}，关于数的乘法B. 所有非负整数的集合，关于数的加法C. 所有正有理数的集合，关于数的乘法D. 实数集，关于数的除法正确答案：【C】18、下列为两个命题变元P，Q的小项是（）A. P∧Q∧┐PB. ┐P∨QC. ┐P∧QD. ┐P∨P∨Q正确答案：【C】19、设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0}，则方程f1(x)·f2(x)=0的解为（）A. M∩NB. M∪NC. MND. M-N正确答案：【B】20、下列公式是前束范式的是（）A.B.C.D.正确答案：【A】21、下列语句中是真命题的是（）A. 我正在说谎B. 严禁吸烟C. 如果1+2=3，那么雪是黑的D. 如果1+2=5，那么雪是黑的正确答案：【D】22、下列等价式不正确的是（）A.B.C.D.正确答案：【A】23、在公式中变元y是（）A. 自由变元B. 约束变元C. 既是自由变元，又是约束变元D. 既不是自由变元，又不是约束变元正确答案：【B】24、欧拉回路是（）A. 路径B. 迹C. 既是初级回路也是迹D. 既非初级回路也非迹正确答案：【B】25、下列不一定是树的是（）A. 无回路的连通图B. 有n个结点，n-1条边的连通图C. 每对结点之间都有通路的图D. 连通但删去一条边则不连通的图正确答案：【C】26、下列表达式中不成立的是（）A. A∪(BC)=(A∪B) (A∪C)B. A∩(BC)=(A∩B) (A∩C)C. (AB)×C=(A×C) (B×C)D. (A-B) ×C=(A×C)-(B×C)正确答案：【A】27、A，B是集合，P（A），P（B）为其幂集，且，则P(A)∩P(B)为（）A.B.C.D.正确答案：【B】28、设集合A={1，2，3}，下列关系R中不是等价关系的是（）A. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}D. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,< 3,2>}正确答案：【C】29、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足D. 公式p∧q正确答案：【B】30、命题公式┐（P∧Q）→R的成真指派是（）A. 000，001，110B. 001，011，101，110，111C. 全体指派D. 无正确答案：【B】31、下列语句中不是命题的只有（）A. 鸡毛也能飞上天？B. 或重于泰山，或轻于鸿毛。

离散数学——精选推荐

离散数学第一章命题逻辑定义1。

设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。

若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。

联结词“¬”表示命题的否定。

否定联结词有时亦可记作“¯”。

（P3）定义2。

两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。

当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。

（P4）定义3。

两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。

当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。

（P5）定义4。

给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。

当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。

我们称P为前件，Q为后件。

（P6）定义5。

给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。

（P7）定义6。

命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。

（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。

（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。

（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。

（P9）定义7。

在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

（P12）定义8。

给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。

记作A⇔B。

（P15）定义9。

如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。

（P16）定理1。

设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。

离散数学2023年10月真题

2023年10月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学试题(课程代码02324)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

2.应考者必须按试题顺序在答题卡(纸)指定位置上作答，答在试卷上无效。

3.涂写部分、画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

第一部分选择题一、单项选择题：本大题共15小题，每小题1分，共15分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.令p:今天我上班，q:今天我休息。

命题“今天我要么上班要么休息”的符号化形式为A.p V qB.q→pC.¬ p∧qD.(¬ q∧p)V(q∧¬ p)2.设令F(x):x是火车，G(x):x是汽车，L(x,y):x比y快。

命题“有的火车比有的汽车快”的符号化形式为A.∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y)))B.∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))C.¬∃y(G(y)∧∀x(F(x)→L(y,x)))D.¬∀y(G(y)→∀x(F(x)→L(x,y)))3.下列关于小项和大项的性质表述正确的是A.任意两个不同小项的合取式必为真B.任意两个不同大项的析取式必为假C.任意两个不同小项的析取式必为假D.大项的否定是小项下图中是欧拉图的为4.B. C. D.A.5.设有非空集合A上的全域关系S，则关系S不是A.自反关系B.对称关系C.传递关系D.反对称关系6.简单无向图G有9条边，每个结点都是3度结点，则G的结点数为A.5B.6C.7D.87.下列谓词恒等式，不正确的是A.∀x(P(x)V Q(x))⇔∀xP(x)V∀xQ(x)B.∃x(P(x)V Q(x))⇔∃xP(x)V∃xQ(x)C.∀x(P→Q(x))⇔P→∀xQ(x)D.∃x(P→Q(x))⇔P→∃xQ(x)8.下列度数序列中，不能构成简单无向图的是A.{1,1,1,2,3}B.{1,2,2,3}C.{6,2,2,2,4}D.{3,3,3,3}9.设A={3z|z∈Z),运算为实数加法+和乘法*,则<A,+,*>构成的代数系统是A.环B.整环C.域D.格10.集合A上的自反关系R的关系矩阵为M,则M的元素必定A.对角线上全是0B.关于反对角线对称C.关于对角线对称D.对角线上全是111.已知A、B、C、D是任意集合，则下列各式成立的是A.(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)B.(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)C.(A⊕B)×(C⊕D)=(A×C)⊕(B×D)D.(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)12.要从完全图K4中得到一棵生成树，需要删除的边数为A.1B.2C.3D.413.设有集合A上的关系R1和R2,下列命题为真的是A.若关系R1和R2是自反的，则R₁⁰ R2也是自反的B.若关系R1和R2是对称的，则R₁⁰ R2也是对称的C.若关系R1和R2是传递的，则R₁⁰ R2也是传递的D.若关系R1和R2是反自反的，则R₁⁰ R2也是反自反的14.下图中4个偏序集的图形，能构成格的是d e e g a afb c b d b fc db c c ea ea dA. B. C. D.15.设有穷集合A的元素个数为m，则A到A的不同单射函数的个数为A.m！B.m mC.m2D.2m第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

武汉大学2015–2016 学年第一学期期末考试《离散数学》试题

6 2 7
v2 11
1
1 v3
9
v1
3
8
v4 10
v6
4
5
v5
9. (9 分) 设 4 个城市 v1, v2, v3, v4 有航班如下图所示. 问从一个城市起飞, 可否达到其余 3 个城市? 试给出下图的邻接矩阵, 并用 Warshall 算法求可达性矩阵来证明你的答案.
v2
v3
v4
v1
四、数理逻辑 (本题满分 25 分)
3. (1) 这 100 个数分为 50 组互质的数: {1, 2}, {3, 4}, · · · , {99, 100}.
在选出的 51 个数中, 必有 2 个数属于同一组, 故它们是互质的. (2) 这 100 个数分为 50 组差为 50 的数:
{1, 51}, {2, 52}, · · · , {50, 100}. 在选出的 51 个数中, 必有 2 个数属于同一组, 故它们的差为 50.
1.
(9
分)
设
N
是自然数集,
定义
N
上的二元关系
R
=
{ ⟨x, y⟩
|
x, y
∈
N∧x+y
是偶数}.
(1) 证明 R 是一个等价关系;
(2) 求商集 N/R.
2. (10 分) 设 A = {a, b, c, d}, A 上的二元关系 R1 和 R2 定义如下:
{
}
R1 = ⟨a, b⟩, ⟨b, c⟩, ⟨c, d⟩, ⟨d, a⟩ ,
0 1
.
0011
自反性反自反性对称性反对称性传递性
R1
否
是
否

《离散数学》试卷及答案精选全文完整版

解设谓词Q(x)：x是勤奋的；
H(x)：x是身体健康的；
S(x)：x是科学家
C(x)：x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101，S ,且|S|为奇数，则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项，则mi的对偶式不一定是（填“是”/“不是”/“不一定是” ） G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}； (2) a=3； (3) 函数f(x)为f(2)=2，f(3)=3； (4) 谓词：F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时，G(i,j):=1；当i≠j时，G(i,j):=0；其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有（a+bi）R（u+vi）
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人。”（15分）
2.设A={1,2,3…10}，定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10}，试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由（5分）
解答：R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}

每位博士研究生都是希望获得博士学位的离散数学

每位博士研究生都是希望获得博士学位的离散数学离散数学（Discretemathematics）是研究离散对象数学结构及其性质的有关数学分支的总称。

相对于实数理论、数学分析、微分方程这些研究连续对象的数学分支而言，离散数学以处理离散对象为特征，研究内容通常包括(但不限于)图论、集合论、组合数学、数理逻辑，以及各种代数结构等可以离散化或者枚举计数的数学对象。

离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。

通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

离散数学的发展在很大程度上受到计算机科学的影响，因此离散数学主要的应用领域也是计算机科学。

其中的概念和理论已经成为计算机科学的基础内容，如图论应用于网络、操作系统和编译程序，集合论应用于软件工程和数据库，组合学应用于算法和复杂性分析，逻辑学运用于软件工程和人工智能，代数结构则用于计算机体系设计、程序语言理论和网络规范描述。

反过来，计算机科学的发展也推进了离散数学的深入发展，并且延拓着其研究领域。

[1]离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学可以看成是构筑在数学和计算机科学之间的桥梁，因为离散数学既离不开集合论、图论等数学知识，又和计算机科学中的数据库理论、数据结构等相关，它可以引导人们进入计算机科学的思维领域，促进了计算机科学的发展。

离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。

武汉理工大学考博2014数值分析真题

一、一个4*4的矩阵利用直接三角分解求解方程组
二、一个2*2矩阵，，证明迭代法解线性方程组收敛的充分必要条件是122
112112<a a a a 三、已知三个点，写出其二次插值多项式
四、已知五个点，写出其牛顿前插多项式
五、判断一个方程在[0,1]范围内有根，利用二分法求其根，确定二分次数以满足误差小于
0.5*10-4。

六、求2)(x x f =在[-1,1]内对},1{x =Φ的最佳平方逼近。

七、为使某求积公式具有最好的代数精度，求参数值（2121,,,A A x x ）
八、就初值问题0)0(,'=+=y b ax y ，利用欧拉公式求近似解，并与准确解比较求其误差。

这些题目都是非常基础的题目，我之前还在背那些很复杂的公式，看来没必要，不过不能保证以后不出哦。

之前在网上找不到考博数学的真题，完全不知道会是什么难度，所以想着自己考完了把这些题目回忆一下，供大家参考。