2017-2018年广东省清远市高三上学期期末数学试卷(文科)和答案

2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1B．1C．2D．32．（5分）已知集合A={x|（x﹣6）（x+1）≤0}，集合B={x|x≥2}，R为实数集，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（2，6]D．[2，3]3．（5分）已知向量=（1，﹣1），向量=（3，x），且（）⊥，则实数x=（）A．﹣1B．0C．1D．24．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．2505．（5分）已知命题p：∃x∈（0，+∞），使得x2+2x+1＞0成立，命题q：∀x ∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题6．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x 7．（5分）在△ABC中，在线段AB上任取一点P，恰好△满足的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里10．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m⊥n B．若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥βC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α11．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x12．（5分）定义域在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则方程f（x）﹣=0的所有根之和为（）A．0B．1﹣C．D．1+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6=．14．（5分）在三角形ABC中，BC边上一点D，且BD=2DC，若，则x+y=．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽米．16．（5分）实数x，y满足，若直线y=kx﹣k将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．（12分）如图，在△ABC中，BC=5，AB=7，BD是∠ABC的平分线，cos∠ABC=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．18．（12分）某地级市2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（Ⅰ）在给定的网格中，建立以年份代号t为解析变量，以人均纯收入y为预报变量的坐标系，画出的散点图，并根据散点图判断在下列三种函数模型：①y=at2+bt+c，②y=bt+a，③y=md中用哪个模型来拟合求y关于t的之间的相关关系比较理想；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的有关结论和下面所附的数据求出回归拟合的函数模型的具体解析式．（参考数据：=140，=134.4）19．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD底面是直角梯形，点E是棱PC的中点，BA⊥AD，CD ⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2．（Ⅰ）判断BE与平面PAD是否平行，证明你的结论；（Ⅱ）证明：BE⊥平面PDC；（Ⅲ）求三棱锥A﹣PDC的体积V．20．（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=lnx，g（x）=mx2﹣．（Ⅰ）若f（x）在（e，f（e））处的切线也与g（x）相切，求m的值；（Ⅱ）若xf（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．[选修4—4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．[选修4—5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1B．1C．2D．3【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选：B．2．（5分）已知集合A={x|（x﹣6）（x+1）≤0}，集合B={x|x≥2}，R为实数集，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（2，6]D．[2，3]【解答】解：A=[﹣1，6]，∁R B=（﹣∞，2）；∴A∩（∁R B）=[﹣1，2）．故选：B．3．（5分）已知向量=（1，﹣1），向量=（3，x），且（）⊥，则实数x=（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵（）⊥，∴（）•⊥=0，即（﹣1，﹣2﹣x）•（1，﹣1）=﹣1+2+x=0，求得x=﹣1，故选：A．4．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．250【解答】解：产量在75件以上（含75件）的工人包括第4组和第5组的工人，∵f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15．∴该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为：1000×0.15=150．故选：C．5．（5分）已知命题p：∃x∈（0，+∞），使得x2+2x+1＞0成立，命题q：∀x ∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：∃x∈（0，+∞），使得x2+2x+1＞0成立，是真命题，如x=1时，x2+2x+1＞0成立；命题q：∀x∈R，e x＞1，是假命题，如x=0时e x＞1不成立；∴￢q是真命题，p∧（￢q）是真命题．故选：D．6．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x【解答】A解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得=，∴+1=，可得=，双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．7．（5分）在△ABC中，在线段AB上任取一点P，恰好△满足的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵△PBC与△ABC同底边，∴，由，得．故满足的概率是．故选：D．8．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】A解：由题意可知几何体的直观图如图：P﹣ABCD，可知几何体的体积为：=．故选：A．9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里【解答】解：每天走的路形成等比数列{a n}，q=，S6=378．∴S6=378=，解得a1=192．∴该人最后一天走的路程=a1q5==6．故选：C．10．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m⊥n B．若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥βC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n平行或异面，故C错误；在D中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：B．11．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x 【解答】解：由程序框图知，f0（x）=xe x，f1（x）=f0′（x）=e x+xe x，∴f2（x）=f1′（x）=e x+e x+xe x=2e x+xe x；…；∴输出f2017（x）=f2016′（x）=2017e x+xe x．故选：D．12．（5分）定义域在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则方程f（x）﹣=0的所有根之和为（）A．0B．1﹣C．D．1+【解答】B解：由题意，作函数y=f（x）与y=的图象如下，结合图象，设函数F（x）=f（x）﹣（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=，x3=1﹣，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣=1﹣，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6=12．【解答】解：∵S3=12，∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．解得d=2，则a6=a1+5d=2+2×5=12，故答案为：1214．（5分）在三角形ABC中，BC边上一点D，且BD=2DC，若，则x+y=1．【解答】解：三角形ABC中，BC边上一点D，且BD=2DC，所以：B、D、C三点共线，由于：，所以：x+y=1．故答案为：115．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽2米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2，∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣1）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．16．（5分）实数x，y满足，若直线y=kx﹣k将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为﹣3．【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分）：∵直线y=k（x﹣1）过定点C（1，0），∴C点也在平面区域ABC内，要使直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则直线y=k（x﹣1）必过线段AB的中点D．由，解得B（1，4），由，解得A（﹣1，2），∴AB的中点D（0，3），将D的坐标代入直线y=k（x﹣1）得3=﹣k，解得k=﹣3，故答案为：﹣3．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．（12分）如图，在△ABC中，BC=5，AB=7，BD是∠ABC的平分线，cos∠ABC=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，BC=5，AB=7，BD是∠ABC的平分线，cos∠ABC=．利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accos∠CBA，解得：b2=64，则：AC=8．（Ⅱ）由于∠ABC∈（0，π）所以：=．==．即：，①由于：，②由①②得：所以：．18．（12分）某地级市2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：（Ⅰ）在给定的网格中，建立以年份代号t 为解析变量，以人均纯收入y 为预报变量的坐标系，画出的散点图，并根据散点图判断在下列三种函数模型：①y=at 2+bt +c ，②y=bt +a ，③y=md 中用哪个模型来拟合求y 关于t 的之间的相关关系比较理想；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的有关结论和下面所附的数据求出回归拟合的函数模型的具体解析式．（参考数据：=140，=134.4）【解答】解：（Ⅰ）散点图如下图所示：由图可得：两个变量存在线性相关关系，故选用y=bt +a 来拟合求y 关于t 的之间的相关关系比较理想； （Ⅱ）由题，=4，=4.3，=140，=134.4，故==0.5，=4.3﹣0.5×4=2.3，所求回归方程为：=0.5x +2.3．19．（12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 底面是直角梯形，点E 是棱PC 的中点，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2．（Ⅰ）判断BE与平面PAD是否平行，证明你的结论；（Ⅱ）证明：BE⊥平面PDC；（Ⅲ）求三棱锥A﹣PDC的体积V．【解答】（Ⅰ）证明：取PD中点Q，连EQ，AQ，则QE=CD=AB…（1分）⇒QE∥AB且QE=AB…（2分）⇒四边形ABEQ是平行四边形⇒BE∥AQ…（3分）⇒BE∥平面PAD…（5分）（Ⅱ）证明：⇒PA⊥CD，又∵CD⊥AD，PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD又∵AQ⊂平面PAD∴AQ⊥CD，又∵PA=AD，Q为PD的中点∴AQ⊥PD，又∵PD∩CD=D∴AQ⊥平面PCD又∵BE∥AQ⇒BE⊥平面PCD．…（10分）（Ⅲ）解：S=AD•DC=×2×4=4…（11分）△ADCV A﹣PDC=V P﹣ADC=PA•S△ADC=．…（13分）20．（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设F（c，0），则得，…（1分）解得．…（3分）所以椭圆E的方程为，…（4分）由题意得，所以p=4．故抛物线G的方程为y2=8x．…（5分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），由消去y，整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，…（6分）．…（7分）．…（8分）由消去y，整理得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，…（9分），则，由抛物线定义得，…（10分）所以，…（11分）要使为常数，则须有，解得．…（12分）所以存在，使为常数．…（13分）21．（12分）设函数f（x）=lnx，g（x）=mx2﹣．（Ⅰ）若f（x）在（e，f（e））处的切线也与g（x）相切，求m的值；（Ⅱ）若xf（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）=，g′（x）=2mx．∴f′（e）=，f（e）=1．∴f（x）在（e，f（e））处的切线为：y﹣1=（x﹣e），即y=x．设直线与g（x）相切于点P（x0，y0）．则g′（x0）=2mx0=，y0==﹣，解得x0=﹣e，m=﹣．（II）xf（x）≤g（x）化为：m≥=h（x）．x∈[1，+∞），∴xf（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立⇔m≥h（x）max，x∈[1，+∞），h′（x）=，令u（x）=x﹣xlnx﹣1．x∈[1，+∞），u′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx≤0．∴函数h（x）在x∈[1，+∞）上单调递减，∴u（x）≤u（1）=0．∴h′（x）≤0，∴函数h（x）在x∈[1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（1）=．∴．∴m的取值范围时．[选修4—4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程（θ是参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．转换为直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（2）设曲线C1上的点P（），则：点P到直线x+y﹣1=0的距离d==．故：d的最大值为．[选修4—5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，必须f （x ）﹣8≥0，当x ≤﹣1时，﹣（2x +2）﹣（3x ﹣3）﹣8≥0，解得x；当﹣1＜x ≤1时，（2x +2）﹣（3x ﹣3）﹣8≥0，解得x ∈∅； 当x ＞1时，（2x +2）+（3x ﹣3）﹣8≥0，解得x ．综上所述，函数的定义域是（﹣）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵f （x ）=∴f （x ）≥f （1）=4又∵g （x ）=|x +2m |+|x ﹣m |≥|（x +2m ）﹣（x ﹣m ）|=3|m | ∴若∀x ∈R ，∃x 0∈R ，使得f （x ）=g （x 0），都有3|m |≤4， ∴m 的取值范围为[﹣，]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。