【高考总复习】高中数学(理)单元质量评估6(苏教版)

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苏教版高中数学高考总复习(理科)知识梳理函数的图象(基础)

函数的图像【考纲要求】1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。

6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。

【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点． (2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第六章数列第五节数列的综合问题教案文解析版

错误!错误![典例引领]若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且２错误!＝a n＋１（n∈N*）．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）若正项等比数列{b n}，满足b２＝２,２b7＋b8＝b9，求T n＝a１b１＋a２b２＋…＋a n b n；（３）对于（２）中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ（—１）n＜错误!（T n＋２１）恒成立，求实数λ的取值范围．解：（１）因为２错误!＝a n＋１，所以４S n＝（a n＋１）２，且a n＞0，则４a１＝（a１＋１）２，解得a１＝１，又４S n＋１＝（a n＋１＋１）２，所以４a n＋１＝４S n＋１—４S n＝（a n＋１＋１）２—（a n＋１）２，即（a n＋１—a n—２）（a n＋１＋a n）＝0，因为a n＞0，所以a n＋１＋a n≠0，所以a n＋１—a n＝２，所以{a n}是公差为２的等差数列，又a１＝１，所以a n＝２n—１．（２）设数列{b n}的公比为q，因为２b7＋b8＝b9，所以２＋q＝q２，解得q＝—１（舍去）或q＝２，由b２＝２，得b１＝１，故b n＝２n—１.因为T n＝a１b１＋a２b２＋…＋a n b n＝１×１＋３×２＋５×２２＋…＋（２n—１）×２n—１，所以２T n＝１×２＋３×２２＋５×２３＋…＋（２n—１）×２n，两式相减得—T n＝１＋２（２＋２２＋…＋２n—１）—（２n—１）×２n，故T n＝（２n—１）×２n—１—２（２＋２２＋…＋２n—１）＝（２n—１）×２n—１—２（２n—２）＝（２n—３）×２n＋３．（３）不等式λ（—１）n＜错误!（T n＋２１）可化为（—１）nλ＜n—错误!＋错误!.１当n为偶数时，λ＜n—错误!＋错误!，记g（n）＝n—错误!＋错误!，则有λ＜g（n）min.因为g（n＋２）—g（n）＝２＋错误!—错误!＝２—错误!，当n＝２时，g（n＋２）＜g（n），当n≥４时，g（n＋２）＞g（n），即g（４）＜g（２），当n≥４时，g（n）单调递增，g（n）min＝g（４）＝错误!，所以λ＜错误!.２当n为奇数时，λ＞错误!—n—错误!，记h（n）＝错误!—n—错误!，则有λ＞h（n）max.因为h（n＋２）—h（n）＝—２—错误!＋错误!＝—２＋错误!，当n＝１时，h（n＋２）＞h（n），当n≥３时，h（n＋２）＜h（n），即h（３）＞h（１），当n≥３时，h（n）单调递减，h（n）max＝h（３）＝—３，所以λ＞—３．综上所述，实数λ的取值范围为错误!.[由题悟法]１．数列与不等式的综合问题考查类型（１）判断数列中的一些不等关系问题；（２）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；（３）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．２．解决数列与不等式问题的两个注意点（１）利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意n取正整数的限制条件．（２）利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、后放缩，注意放缩的尺度，否则会导致范围扩大或缩小而得不到正确的结果．[即时应用]已知数列{a n}满足a１＝6，a２＝２0，且a n—１·a n＋１＝a错误!—8a n＋１２（n∈N*，n≥２）．（１）证明：数列{a n＋１—a n}为等差数列；（２）令c n＝错误!＋错误!，数列{c n}的前n项和为T n，求证：２n＜T n＜２n＋错误!.证明：（１）当n＝２时，a１·a３＝a错误!—8a２＋１２，所以a３＝４２．当n≥２时，由a n—１·a n＋１＝a错误!—8a n＋１２，得a n·a n＋２＝a错误!—8a n＋１＋１２，两式相减得a n a n＋２—a n—１a n＋１＝a错误!—a错误!—8a n＋１＋8a n，所以a错误!＋a n a n＋２—8a n＝a错误!＋a n—１a n＋１—8a n＋１，即a n（a n＋a n＋２—8）＝a n＋１（a n＋１＋a n—１—8），所以错误!＝错误!＝…＝错误!＝２．所以a n＋２＋a n—8＝２a n＋１，即a n＋２—２a n＋１＋a n＝8，即（a n＋２—a n＋１）—（a n＋１—a n）＝8，当n＝１时，也满足此式．又a２—a１＝１４，所以数列{a n＋１—a n}是以１４为首项，8为公差的等差数列．（２）由（１）知a n＋１—a n＝１４＋8（n—１）＝8n＋6．由a２—a１＝8×１＋6，a３—a２＝8×２＋6，…，a n—a n—１＝8×（n—１）＋6，累加得a n—a１＝8×[１＋２＋３＋…＋（n—１）]＋6（n—１）＝8×错误!＋6（n—１）＝４n２＋２n—6，所以a n＝４n２＋２n.所以c n＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝２＋２错误!，所以T n＝２n＋２错误!＝２n＋２错误!，又错误!＞错误!—错误!＝错误!＝错误!＞0，所以２n＜T n＜２n＋错误!.错误!错误![典例引领]已知数列{a n}中，a１＝１，a２＝a，且a n＋１＝k（a n＋a n＋２）对任意正整数n都成立，数列{a n}的前n项和为S n.（１）若k＝错误!，且S２0１8＝２0１8a，求a的值；（２）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为１的等比数列，且对任意相邻三项a m，a m＋１，a m＋２按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．解：（１）当k＝错误!时，a n＋１＝错误!（a n＋a n＋２），即a n＋２—a n＋１＝a n＋１—a n，所以数列{a n}是等差数列，此时首项a１＝１，公差d＝a２—a１＝a—１，所以数列{a n}的前２0１8项和S２0１8＝２0１8＋错误!×２0１8×（２0１8—１）（a—１）＝２0１8a，解得a＝１．（２）设数列{a n}是等比数列，则它的公比q＝错误!＝a（a≠１），所以a m＝a m—１，a m＋１＝a m，a m＋２＝a m＋１.１若a m＋１为等差中项，则２a m＋１＝a m＋a m＋２，即２a m＝a m—１＋a m＋１，解得a＝１，不合题意；２若a m为等差中项，则２a m＝a m＋１＋a m＋２，即２a m—１＝a m＋a m＋１，化简得a２＋a—２＝0，解得a＝—２（a＝１舍去），所以k＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!；３若a m＋２为等差中项，则２a m＋２＝a m＋１＋a m，即２a m＋１＝a m＋a m—１，化简得２a２—a—１＝0，解得a＝—错误!（a＝１舍去），所以k＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.综上，满足要求的实数k有且仅有一个，且k＝—错误!.[由题悟法]数列中存在性问题的求解策略数列中的探索性问题的主要题型为存在型，解答的一般策略为：先假设所探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到否定的结论，即不存在．若推理不出现矛盾，能求得已知范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果．[即时应用]设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n—１）２＝a n S n.（１）求a１；（３）是否存在正整数m，k，使错误!＝错误!＋１9成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．解：（１）当n＝１时，（a１—１）２＝a错误!，∴a１＝错误!.（２）证明：∵（S n—１）２＝a n S n，∴当n≥２时，（S n—１）２＝（S n—S n—１）S n，∴—２S n＋１＝—S n—１S n，即１—S n＝S n（１—S n—１），∴错误!＝错误!，∴错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝—１为定值，∴错误!为等差数列．（３）∵错误!＝—２，∴错误!＝—２＋（n—１）×（—１）＝—n—１，∴S n＝错误!，∴a n＝错误!＝错误!.假设存在正整数m，k，使错误!＝错误!＋１9成立，则（k＋１）２＝m（m＋１）＋１9，∴４（k＋１）２＝４m（m＋１）＋76，∴[（２k＋２）＋（２m＋１）][（２k＋２）—（２m＋１）]＝7５，∴（２k＋２m＋３）（２k—２m＋１）＝7５＝7５×１＝２５×３＝１５×５，∴错误!或错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!错误!错误![典例引领]若存在非零常数p，对任意的正整数n，a错误!＝a n a n＋２＋p，则称数列{a n}是“T数列”．（１）若数列{a n}的前n项和S n＝n２（n∈N*），求证：{a n}是“T数列”；（２）设{a n}是各项均不为0的“T数列”．２若p＞0，求证：当a１，a２，a３成等差数列时，{a n}是等差数列．证明：（１）当n＝１时，a１＝S１＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝n２—（n—１）２＝２n—１，当n＝１时，符合上式，所以a n＝２n—１．则{a n}是“T数列”⇔存在非零常数p，对任意正整数n，（２n＋１）２＝（２n—１）（２n＋３）＋p，显然p＝４满足题意，所以{a n}是“T数列”．（２）１假设{a n}是等差数列，设a n＝a１＋（n—１）d，则由a错误!＝a n a n＋２＋p，得（a１＋nd）２＝[a１＋（n—１）d]·[a１＋（n＋１）d]＋p，解得p＝d２≥0，这与p＜0矛盾，故假设不成立，从而{a n}不是等差数列．２因为a错误!＝a n a n＋２＋p，所以a错误!＝a n—１a n＋１＋p（n≥２），两式相减得，a错误!—a错误!＝a n a n＋２—a n—１a n＋１.因为{a n}的各项均不为0，所以错误!＝错误!（n≥２），故错误!（n≥２）是常数列，因为a１，a２，a３成等差数列，所以错误!＝２，从而错误!＝２（n≥２），即a n＋１＋a n—１＝２a n（n≥２），所以{a n}是等差数列．[由题悟法]（１）新情境和新定义下的新数列问题，一般命题形式是根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类数列的问题.（２）数列试题的情境，除了常见的等差数列、等比数列和递推数列外，有时还会出现周期数列、分段数列、数表型数列以及子数列问题等新情境．[即时应用]对于数列{a n}，记Δ１a n＝a n＋１—a n，Δk＋１a n＝Δk a n＋１—Δk a n，k，n∈N*，则称数列{Δk a n}为数列{a n}的“k阶差数列”．（１）已知Δ１a n＝错误!n，１若{a n}为等比数列，求a１的值；２证明：当n＞m，n，m∈N*时，|a n—a m|＜错误!.（２）已知数列{b n}为数列{a n}的“２阶差数列”，若b n＝３n—２，a１＝１，且a n≥a３对n∈N*恒成立，求a２的取值范围．解：（１）１因为a２＝a１＋Δ１a１＝a１—错误!，a３＝a２＋Δ１a２＝a１—错误!，且{a n}为等比数列，所以a错误!＝a１·a３，即错误!２＝a１错误!，解得a１＝错误!.２证明：当n＞m时，因为a n—a m＝Δ１a n—１＋…＋Δ１a m＝错误!＝错误!·错误!，所以|a n—a m|＝错误!·错误!≤错误!·错误!＜错误!·错误!m.又错误!·错误!m单调递减，所以错误!·错误!m≤错误!×错误!＝错误!，故当n＞m，n，m∈N*时，|a n—a m|＜错误!.（２）因为数列{b n}为数列{a n}的“２阶差数列”，且b n＝３n—２，所以Δ２a n＝３n—２，所以Δ１a n＝Δ２a n—１＋Δ２a n—２＋…＋Δ２a１＋Δ１a１＝错误!—２（n—１）＋Δ１a１＝错误!—２n＋错误!＋Δ１a１＝错误!—２n＋a２—错误!.由Δ２a n＝３n—２＞0知，{Δ１a n}单调递增，所以要使a n≥a３对n∈N*恒成立，当且仅当错误!即错误!解得—7≤a２≤0．所以a２的取值范围是[—7,0]．１．已知各项都不小于１的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝错误!—２．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设b n＝错误!＋１，从数列{b n}中抽取部分项b１，b9，bn３，bn４，…，bn k，…，按从小到大的顺序构成等比数列．１求{n k}的通项公式；２记c k＝错误!数列{c k}的前k项和是T k，求证：T k＜错误!.解：（１）由a n＝错误!—２，移项并平方得（a n＋２）２＝a错误!＋４a n＋４＝6S n＋３n，则a错误!＋４a n—１＋４＝6S n—１＋３（n—１），n≥２，两式相减得，a错误!—a错误!＋４a n—４a n—１＝6a n＋３，n≥２，即a错误!—２a n＋１＝a错误!＋４a n—１＋４，n≥２，即（a n—１）２＝（a n—１＋２）２，n≥２．又a n≥１，所以a n—１＝a n—１＋２，n≥２，即a n—a n—１＝３，n≥２，又a１＋２＝错误!，所以a错误!—２a１＋１＝0，解得a１＝１，所以数列{a n}是首项为１，公差为３的等差数列，故a n＝１＋３（n—１）＝３n—２．（２）１由b n＝错误!＋１，得b１＝２，b9＝6，故等比数列的首项为２，公比为３，则bn k＝２×３k—１＝错误!＋１．化简得n k＝４×３２k—３—４×３k—２＋１．２证明：由题意可得T１＝错误!＜错误!，T２＝错误!＋错误!＝错误!＜错误!，当k≥３，k∈N*时，c k＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!错误!.则T k＝c１＋c２＋…＋c k＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!—错误!×错误!＜错误!，综上，T k＜错误!.２．设数列{a n}的首项为１，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n＋k—k（k是常数且k ∈N*）成立，则称数列{a n}为“P（k）数列”．（１）若数列{a n}为“P（１）数列”，求数列{a n}的通项公式；（２）是否存在数列{a n}既是“P（k）数列”，也是“P（k＋２）数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；（３）若数列{a n}为“P（２）数列”，a２＝２，设T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，证明：T n ＜３．解：（１）数列{a n}为“P（１）数列”，则S n＝a n＋１—１，所以S n＋１＝a n＋２—１，两式相减得，a n＋２＝２a n＋１，又n＝１时，a１＝a２—１＝１，所以a２＝２，故a n＋１＝２a n对任意的n∈N*恒成立，即错误!＝２，所以数列{a n}为等比数列，其通项公式为a n＝２n—１，n∈N*.（２）假设存在这样的数列{a n}，由{a n}是“P（k）数列”可得，S n＝a n＋k—k，故有S n＋１＝a n＋k＋１—k，两式相减得，a n＋１＝a n＋k＋１—a n＋k，则有a n＋３＝a n＋k＋３—a n＋k＋２.同理，由{a n}是“P（k＋２）数列”可得，a n＋１＝a n＋k＋３—a n＋k＋２，所以a n＋１＝a n＋３对任意的n∈N*恒成立，所以S n＝a n＋k—k＝a n＋k＋２—k＝S n＋２，即S n＝S n＋２. １又S n＝a n＋k＋２—k—２＝S n＋２—２，即S n＋２—S n＝２．２１２两式矛盾，故不存在数列{a n}既是“P（k）数列”，也是“P（k＋２）数列”．（３）证明：因为数列{a n}为“P（２）数列”，所以S n＝a n＋２—２，所以S n＋１＝a n＋３—２，两式相减得，a n＋１＝a n＋３—a n＋２，又n＝１时，a１＝a３—２＝１，故a３＝３，又a２＝２，满足a３＝a２＋a１，所以a n＋２＝a n＋１＋a n对任意的n∈N*恒成立，所以数列{a n}的前几项为１,２,３,５,8，故T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，３当n＝１时，T１＝错误!＝错误!＜３，当n＝２时，T２＝错误!＋错误!＝１＜３，当n≥３时，错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，４由３４得，错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!T n—２—错误!，显然T n—２＜T n，错误!＞0，故错误!T n＜错误!＋错误!T n，即T n＜３．综上，T n＜３．３．已知数列{a n}的前n项和S n满足：（t—１）S n—ta n＋t＝0（t为常数，且t≠0，t≠１，n∈N*）．（１）设b n＝a n（a n＋S n），若数列{b n}为等比数列，求t的值；（２）当t＞１时，记c n＝错误!，T n是数列{c n}的前n项和，求证：T n＜错误!；（３）当t＝５时，是否存在整数对（m，n）（其中m∈Z，n∈N*）满足a错误!—（４＋m）a n＋7m＋１５＝0？若存在，求出所有满足题意的整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．解：（１）当n＝１时，（t—１）S１—ta１＋t＝0，得a１＝t.当n≥２时，由（１—t）S n＝—ta n＋t，１得（１—t）S n—１＝—ta n—１＋t，２１—２，得（１—t）a n＝—ta n＋ta n—１，即a n＝ta n—１，∴错误!＝t（n≥２），∴数列{a n}是等比数列，且公比是t，∴a n＝t n.由b n＝a n（a n＋S n）知，b n＝（t n）２＋错误!·t n＝错误!.若数列{b n}为等比数列，则有b错误!＝b１·b３，而b１＝２t２，b２＝t３（２t＋１），b３＝t４（２t２＋t＋１），故[t３（２t＋１）]２＝２t２·t４（２t２＋t＋１），解得t＝错误!，将t＝错误!代入b n，得b n＝错误!n，满足{b n}为等比数列，∴t＝错误!.（２）证明：由（１）知，a n＝t n，∴c n＝错误!＝错误!＝错误!错误!，则T n＝错误!错误!＝错误!错误!，又t＞１，∴T n＜错误!.（３）当t＝５时，由（１）知a n＝５n，由a错误!—（４＋m）a n＋7m＋１５＝0，得５２n—（４＋m）５n＋7m＋１５＝0，故m＝错误!＝错误!＝５n＋３＋错误!.若存在整数对（m，n），则错误!必须是整数．当n＝１时，m＝—１0；当n＝２时，m＝３0；当n≥３时，５n—7＞３6，不符合．综上，所有满足题意的整数对（m，n）为（—１0,１），（３0,２）．４．定义：如果一个数列从第２项起，每一项与它前一项的差都大于或等于２，则称这个数列为“D 数列”．（１）若数列{a n}为“D数列”，且a１＝a—３，a２＝a，a３＝a２—４，求实数a的取值范围；（２）若首项为１的等差数列{a n}的每一项均为正整数，且数列{a n}为“D数列”，其前n项和S n满足S n＜n２＋２n（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（３）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且数列{a n}为“D数列”，a２—a１＜３，设b n＝错误!（n∈N*），试判断数列{b n}是否为“D数列”，并说明理由．解：（１）由题意得a２—a１＝３＞２，a３—a２＝a２—４—a≥２，即a２—a—6≥0，解得a≥３或a≤—２．所以实数a的取值范围为（—∞，—２]∪[３，＋∞）．（２）设等差数列{a n}的公差为d，则d≥２，由a１＝１，得S n＝n＋错误!d，由题意得，n＋错误!d＜n２＋２n对n∈N*均成立．当n＝１时，上式成立．当n≥２时，d＜错误!＝２＋错误!.又d∈N*，所以d≤２，所以d＝２，所以等差数列{a n}的通项公式a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．（３）设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a１q n—１，因为数列{a n}的每一项均为正整数，且a n＋１—a n＝a n q—a n＝a n（q—１）≥２＞0，所以q＞１，且q为整数，则a n＋１—a n＝q（a n—a n—１）＞a n—a n—１，n≥２，n∈N*，所以在数列{a n—a n—１}中，a２—a１为最小项．由数列{a n}为“D数列”，可知只需a２—a１≥２，即a１（q—１）≥２，又a２—a１＜３，即a１（q—１）＜３，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a１（q—１）＝２，所以a１＝１，q＝３或a１＝２，q＝２．１当a１＝１，q＝３时，a n＝３n—１，则b n＝错误!＝错误!×２n＋１.令c n＝b n＋１—b n（n∈N*），则c n＝错误!×２n＋２—错误!×２n＋１＝３×２n＋１×错误!＝３×２n＋１×错误!，所以c n＋１—c n＝３×２n＋２×错误!—３×２n＋１×错误!＝３×２n＋１×错误!＞0，所以数列{c n}为递增数列，即c n＞c n—１＞c n—２＞…＞c１.又c１＝b２—b１＝２，所以对任意的n∈N*都有b n＋１—b n≥２，所以数列{b n}是“D数列”．２当a１＝２，q＝２时，a n＝２n，则b n＝错误!＝错误!×３n.令d n＝b n＋１—b n（n∈N*），则d n＝错误!×３n＋１—错误!×３n＝２×３n×错误!＝２×３n×错误!，所以d n＋１—d n＝２×３n＋１×错误!—２×３n×错误!＝２×３n×错误!＞0，所以数列{d n}为递增数列，即d n＞d n—１＞d n—２＞…＞d１.又d１＝b２—b１＝３，所以对任意的n∈N*都有b n＋１—b n≥２，所以数列{b n}是“D数列”．综上，数列{b n}是“D数列”．命题点一数列的概念及表示１．（２0１6·上海高考）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和．若对任意n∈N*，S n∈{２,３}，则k的最大值为________．解析：由S n∈{２,３}，得a１＝S１∈{２,３}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：１a１＝２，a２＝0，a３＝１，a４＝—１；２a１＝２，a２＝１，a３＝0，a４＝—１；３a１＝２，a２＝１，a３＝—１，a４＝0；４a１＝３，a２＝0，a３＝—１，a４＝１；５a１＝３，a２＝—１，a３＝0，a４＝１；⑥a１＝３，a２＝—１，a３＝１，a４＝0．最多项均只能写到第４项，即k max＝４．答案：４２．（２0１４·全国卷Ⅱ）数列{a n}满足a n＋１＝错误!，a8＝２，则a１＝________.解析：将a8＝２代入a n＋１＝错误!，可求得a7＝错误!；再将a7＝错误!代入a n＋１＝错误!，可求得a6＝—１；再将a6＝—１代入a n＋１＝错误!，可求得a５＝２；由此可以推出数列{a n}是一个周期数列，且周期为３，所以a１＝a7＝错误!.答案：错误!命题点二等差数列与等比数列１．（２0１8·北京高考）设{a n}是等差数列，且a１＝３，a２＋a５＝３6，则{a n}的通项公式为________．解析：法一：设数列{a n}的公差为d.∵a２＋a５＝３6，∴（a１＋d）＋（a１＋４d）＝２a１＋５d＝３6．∵a１＝３，∴d＝6，∴a n＝6n—３．法二：设数列{a n}的公差为d，∵a２＋a５＝a１＋a6＝３6，a１＝３，∴a6＝３３，∴d＝错误!＝6，∴a n ＝6n—３．答案：a n＝6n—３２．（２0１7·江苏高考）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n.已知S３＝错误!，S6＝错误!，则a8＝________.解析：设等比数列{a n}的公比为q，则由S6≠２S３，得q≠１，则错误!解得错误!则a8＝a１q7＝错误!×２7＝３２．答案：３２３．（２0１8·全国卷Ⅰ）记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝２a n＋１，则S6＝________.解析：∵S n＝２a n＋１，∴当n≥２时，S n—１＝２a n—１＋１，∴a n＝S n—S n—１＝２a n—２a n—１，即a n＝２a n—１.当n＝１时，由a１＝S１＝２a１＋１，得a１＝—１．∴数列{a n}是首项a１为—１，公比q为２的等比数列，∴S n＝错误!＝错误!＝１—２n，∴S6＝１—２6＝—6３．答案：—6３４．（２0１6·江苏高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a １＋a 错误!＝—３，S ５＝１0，则a 9的值是________．解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S ５＝１0，知S ５＝５a １＋错误!d ＝１0，得a １＋２d ＝２，即a １＝２—２d .所以a ２＝a １＋d ＝２—d ，代入a １＋a 错误!＝—３，化简得d ２—6d ＋9＝0，所以d ＝３，a １＝—４．故a 9＝a １＋8d ＝—４＋２４＝２0．法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S ５＝１0，知错误!＝５a ３＝１0，所以a ３＝２．所以由a １＋a ３＝２a ２，得a １＝２a ２—２，代入a １＋a 错误!＝—３，化简得a 错误!＋２a ２＋１＝0，所以a ２＝—１．公差d ＝a ３—a ２＝２＋１＝３，故a 9＝a ３＋6d ＝２＋１8＝２0．答案：２0５．（２0１8·北京高考）设{a n }是等差数列，且a １＝ln ２，a ２＋a ３＝５ln ２．（１）求{a n }的通项公式；（２）求e 1a ＋e 2a ＋…＋e n a .解：（１）设{a n }的公差为d .因为a ２＋a ３＝５ln ２，所以２a １＋３d ＝５ln ２．又a １＝ln ２，所以d ＝ln ２．所以a n ＝a １＋（n —１）d ＝n ln ２．（２）因为e 1a ＝e ln ２＝２，错误!＝e 1n n a a －－＝e ln ２＝２，所以数列{e a n }是首项为２，公比为２的等比数列，所以e 1a ＋e 2a ＋…＋e n a ＝错误!＝２n ＋１—２．6．（２0１7·江苏高考）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n —k ＋a n —k ＋１＋…＋a n —１＋ a n ＋１＋…＋a n ＋k —１＋a n ＋k ＝２ka n ，对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（１）证明：等差数列{a n }是“P （３）数列”；（２）若数列{a n }既是“P （２）数列”，又是“P （３）数列”，证明：{a n }是等差数列．证明：（１）因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n＝a１＋（n—１）d，从而，当n≥４时，a n—k＋a n＋k＝a１＋（n—k—１）d＋a１＋（n＋k—１）d＝２a１＋２（n—１）d＝２a n，k＝１,２,３，所以a n—３＋a n—２＋a n—１＋a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝6a n，因此等差数列{a n}是“P（３）数列”．（２）数列{a n}既是“P（２）数列”，又是“P（３）数列”，因此，当n≥３时，a n—２＋a n—１＋a n＋１＋a n＋２＝４a n，１当n≥４时，a n—３＋a n—２＋a n—１＋a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝6a n.２由１知，a n—３＋a n—２＝４a n—１—（a n＋a n＋１），３a n＋２＋a n＋３＝４a n＋１—（a n—１＋a n）．４将３４代入２，得a n—１＋a n＋１＝２a n，其中n≥４，所以a３，a４，a５，…是等差数列，设其公差为d′.在１中，取n＝４，则a２＋a３＋a５＋a6＝４a４，所以a２＝a３—d′，在１中，取n＝３，则a１＋a２＋a４＋a５＝４a３，所以a１＝a３—２d′，所以数列{a n}是等差数列．7．（２0１7·全国卷Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S２＝２，S３＝—6．（１）求{a n}的通项公式；（２）求S n，并判断S n＋１，S n，S n＋２是否成等差数列．解：（１）设{a n}的公比为q.由题设可得错误!解得错误!故{a n}的通项公式为a n＝（—２）n.（２）由（１）可得S n＝错误!＝—错误!＋（—１）n错误!.由于S n＋２＋S n＋１＝—错误!＋（—１）n错误!＝２错误!＝２S n，故S n＋１，S n，S n＋２成等差数列．8．（２0１５·江苏高考）设a１，a２，a３，a４是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（１）证明：２a１，２a２，２a３，２a４依次构成等比数列．（２）是否存在a１，d，使得a１，a错误!，a错误!，a错误!依次构成等比数列？并说明理由．（３）是否存在a１，d及正整数n，k使得a错误!，a错误!，a错误!，a错误!依次构成等比数列？并说明理由．解：（１）证明：因为错误!＝２a n＋１—a n＝２d（n＝１,２,３）是同一个常数，所以２a１，２a２，２a３，２a４依次构成等比数列．（２）不存在，理由如下：令a１＋d＝a，则a１，a２，a３，a４分别为a—d，a，a＋d，a＋２d（a＞d，a＞—２d，d≠0）．假设存在a１，d，使得a１，a错误!，a错误!，a错误!依次构成等比数列，则a４＝（a—d）（a＋d）３，且（a＋d）6＝a２（a＋２d）４.令t＝错误!，则１＝（１—t）（１＋t）３，且（１＋t）6＝（１＋２t）４错误!，化简得t３＋２t２—２＝0（*），且t２＝t＋１．将t２＝t＋１代入（*）式，得t（t＋１）＋２（t＋１）—２＝t２＋３t＝t＋１＋３t＝４t＋１＝0，则t＝—错误!.显然t＝—错误!不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a１，d，使得a１，a错误!，a错误!，a错误!依次构成等比数列．（３）不存在，理由如下：假设存在a１，d及正整数n，k，使得a错误!，a错误!，a错误!，a错误!依次构成等比数列，则a错误!（a１＋２d）n＋２k＝（a１＋d）２（n＋k），且（a１＋d）n＋k（a１＋３d）n＋３k＝（a１＋２d）２（n＋２k），分别在两个等式的两边同除以a错误!及a错误!，并令t＝错误!错误!，则（１＋２t）n＋２k＝（１＋t）２（n＋k），且（１＋t）n＋k（１＋３t）n＋３k＝（１＋２t）２（n＋２k）．将上述两个等式两边取对数，得（n＋２k）ln（１＋２t）＝２（n＋k）ln（１＋t），且（n＋k）ln（１＋t）＋（n＋３k）ln（１＋３t）＝２（n＋２k）·ln（１＋２t）．化简得２k[ln（１＋２t）—ln（１＋t）]＝n[２ln（１＋t）—ln（１＋２t）]，且３k[ln（１＋３t）—ln（１＋t）]＝n[３ln（１＋t）—ln（１＋３t）]．再将这两式相除，化简得ln（１＋３t）ln（１＋２t）＋３ln（１＋２t）ln（１＋t）＝４ln（１＋３t）ln（１＋t）．（**）令g（t）＝４ln（１＋３t）ln（１＋t）—ln（１＋３t）ln（１＋２t）—３ln（１＋２t）ln（１＋t），则g′（t）＝错误!.令φ（t）＝（１＋３t）２ln（１＋３t）—３（１＋２t）２ln（１＋２t）＋３（１＋t）２ln（１＋t），则φ′（t）＝6[（１＋３t）ln（１＋３t）—２（１＋２t）ln（１＋２t）＋（１＋t）ln（１＋t）]．令φ１（t）＝φ′（t），则φ１′（t）＝6[３ln（１＋３t）—４ln（１＋２t）＋ln（１＋t）]．令φ２（t）＝φ１′（t），则φ２′（t）＝错误!＞0．由g（0）＝φ（0）＝φ１（0）＝φ２（0）＝0，φ２′（t）＞0，知φ２（t），φ１（t），φ（t），g（t）在错误!和（0，＋∞）上均单调．故g（t）只有唯一零点t＝0，即方程（**）只有唯一解t＝0，故假设不成立．所以不存在a１，d及正整数n，k，使得a错误!，a错误!，a错误!，a错误!依次构成等比数列．命题点三数列求和１．（２0１8·江苏高考）已知集合A＝{x|x＝２n—１，n∈N*}，B＝{x|x＝２n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}．记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞１２a n＋１成立的n的最小值为________．解析：所有的正奇数和２n（n∈N*）按照从小到大的顺序排列构成{a n}，在数列{a n}中，２５前面有１6个正奇数，即a２１＝２５，a３8＝２6.当n＝１时，S１＝１＜１２a２＝２４，不符合题意；当n＝２时，S２＝３＜１２a３＝３6，不符合题意；当n＝３时，S３＝6＜１２a４＝４8，不符合题意；当n＝４时，S＝１0＜１２a５＝60，不符合题意；…；当n＝２6时，S２6＝错误!＋错误!＝４４１＋6２＝５0３＜１４２a２7＝５１6，不符合题意；当n＝２7时，S２7＝错误!＋错误!＝４8４＋6２＝５４6＞１２a２8＝５４0，符合题意．故使得S n＞１２a n＋１成立的n的最小值为２7．答案：２7２．（２0１7·全国卷Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a３＝３，S４＝１0，则错误!错误!＝________.解析：设等差数列{a n}的首项为a１，公差为d，依题意有错误!解得错误!所以S n＝错误!，错误!＝错误!＝２错误!，因此错误!错误!＝２错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·全国卷Ⅲ）等比数列{a n}中，a１＝１，a５＝４a３.（１）求{a n}的通项公式；（２）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝6３，求m.解：（１）设{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n—１.由已知得q４＝４q２，解得q＝0（舍去）或q＝—２或q＝２．故a n＝（—２）n—１或a n＝２n—１.（２）若a n＝（—２）n—１，则S n＝错误!.由S m＝6３，得（—２）m＝—１88，此方程没有正整数解．若a n＝２n—１，则S n＝错误!＝２n—１．由S m＝6３，得２m＝6４，解得m＝6．综上，m＝6．４．（２0１8·浙江高考）已知等比数列{a n}的公比q＞１，且a３＋a４＋a５＝２8，a４＋２是a３，a５的等差中项．数列{b n}满足b１＝１，数列{（b n＋１—b n）a n}的前n项和为２n２＋n.（１）求q的值；（２）求数列{b n}的通项公式．解：（１）由a４＋２是a３，a５的等差中项，得a３＋a５＝２a４＋４，所以a３＋a４＋a５＝３a４＋４＝２8，解得a４＝8．由a３＋a５＝２0，得8错误!＝２0，解得q＝２或q＝错误!.因为q＞１，所以q＝２．（２）设c n＝（b n＋１—b n）a n，数列{c n}的前n项和为S n.由c n＝错误!解得c n＝４n—１．由（１）可得a n＝２n—１，所以b n＋１—b n＝（４n—１）×错误!n—１，故b n—b n—１＝（４n—５）×错误!n—２，n≥２，b n—b１＝（b n—b n—１）＋（b n—１—b n—２）＋…＋（b３—b２）＋（b２—b１）＝（４n—５）×错误! n—２＋（４n—9）×错误!n—３＋…＋7×错误!＋３．设T n＝３＋7×错误!＋１１×错误!２＋…＋（４n—５）×错误!n—２，n≥２，则错误!T n＝３×错误!＋7×错误!２＋…＋（４n—9）×错误!n—２＋（４n—５）×错误!n—１，两式相减，得错误!T n＝３＋４×错误!＋４×错误!２＋…＋４×错误!n—２—（４n—５）×错误!n—１，所以T n＝１４—（４n＋３）×错误!n—２，n≥２．又b１＝１，所以b n＝１５—（４n＋３）×错误!n—２.命题点四数列的综合应用１．（２0１6·江苏高考）记U＝{１,２，…，１00}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T＝∅，定义S T＝0；若T＝{t１，t２，…，t k}，定义S T＝at１＋at２＋…＋at k.例如：T＝{１,３,66}时，S T＝a１＋a３＋a66.现设{a n}（n∈N*）是公比为３的等比数列，且当T＝{２,４}时，S T＝３0．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）对任意正整数k（１≤k≤１00），若T⊆{１,２，…，k}，求证：S T＜a k＋１；（３）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C＋S C∩D≥２S D.解：（１）由已知得a n＝a１·３n—１，n∈N*.于是当T＝{２,４}时，S T＝a２＋a４＝３a１＋２7a１＝３0a１.又S T＝３0，故３0a１＝３0，即a１＝１．所以数列{a n}的通项公式为a n＝３n—１，n∈N*.（２）证明：因为T⊆{１,２，…，k}，a n＝３n—１＞0，n∈N*，所以S T≤a１＋a２＋…＋a k＝１＋３＋…＋３k—１＝错误!（３k—１）＜３k.因此，S T＜a k＋１.（３）证明：下面分三种情况证明．１若D是C的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S D≥S D＋S D＝２S D.２若C是D的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S C＝２S C≥２S D.３若D不是C的子集，且C不是D的子集．令E＝C∩∁U D，F＝D∩∁U C，则E≠∅，F≠∅，E∩F＝∅.于是S C＝S E＋S C∩D，S D＝S F＋S C∩D，进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥１，l≥１，k≠l.由（２）知，S E＜a k＋１.于是３l—１＝a l≤S F≤S E＜a k＋１＝３k，所以l—１＜k，即l≤k.又k≠l，故l≤k—１．从而S F≤a１＋a２＋…＋a l＝１＋３＋…＋３l—１＝错误!≤错误!＝错误!≤错误!，故S E≥２S F＋１，所以S C—S C∩D≥２（S D—S C∩D）＋１，即S C＋S C∩D≥２S D＋１．综合１２３得，S C＋S C∩D≥２S D.２．（２0１8·天津高考）设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a１＝１，a３＝a２＋２，a４＝b３＋b５，a５＝b４＋２b6.（１）求{a n}和{b n}的通项公式；（２）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），１求T n；２证明错误!错误!＝错误!—２（n∈N*）．解：（１）设等比数列{a n}的公比为q.由a１＝１，a３＝a２＋２，可得q２—q—２＝0．由q＞0，可得q＝２，故a n＝２n—１.设等差数列{b n}的公差为d.由a４＝b３＋b５，可得b１＋３d＝４．１由a５＝b４＋２b6，可得３b１＋１３d＝１6．２联立１２解得b１＝１，d＝１，故b n＝n.所以数列{a n}的通项公式为a n＝２n—１，数列{b n}的通项公式为b n＝n.（２）１由（１），有S n＝错误!＝２n—１，所以T n＝错误!（２k—１）＝错误!k—n＝错误!—n＝２n＋１—n—２．２证明：因为错误!＝错误!＝错误!＝错误!—错误!，所以错误!错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!—２．３．（２0１8·江苏高考）设{a n}是首项为a１，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b１，公比为q的等比数列．（１）设a１＝0，b１＝１，q＝２，若|a n—b n|≤b１对n＝１,２,３,４均成立，求d的取值范围；（２）若a１＝b１＞0，m∈N*，q∈（１，错误!]，证明：存在d∈R，使得|a n—b n|≤b１对n＝２,３，…，m＋１均成立，并求d的取值范围（用b１，m，q表示）．解：（１）由条件知a n＝（n—１）d，b n＝２n—１.因为|a n—b n|≤b１对n＝１,２,３,４均成立，即|（n—１）d—２n—１|≤１对n＝１,２,３,４均成立，所以１≤１,１≤d≤３,３≤２d≤５,7≤３d≤9，解得错误!≤d≤错误!.所以d的取值范围为错误!.（２）由条件知a n＝b１＋（n—１）d，b n＝b１q n—１.若存在d，使得|a n—b n|≤b１（n＝２,３，…，m＋１）成立，即|b１＋（n—１）d—b１q n—１|≤b１（n＝２,３，…，m＋１），即当n＝２,３，…，m＋１时，d满足错误!b１≤d≤错误!b１.因为q∈（１，错误!]，则１＜q n—１≤q m≤２，从而错误!b１≤0，错误!b１＞0，对n＝２,３，…，m＋１均成立．因此，取d＝0时，|a n—b n|≤b１对n＝２,３，…，m＋１均成立．下面讨论数列错误!的最大值和数列错误!的最小值（n＝２,３，…，m＋１）．１当２≤n≤m时，错误!—错误!＝错误!＝错误!.当１＜q≤２错误!时，有q n≤q m≤２，从而n（q n—q n—１）—q n＋２＞0．因此，当２≤n≤m＋１时，数列错误!单调递增，故数列错误!的最大值为错误!.２设f（x）＝２x（１—x），当x＞0时，f′（x）＝（ln ２—１—x ln ２）２x＜0，所以f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）＝１．当２≤n≤m时，错误!＝错误!≤２错误!错误!＝f错误!＜１，因此，当２≤n≤m＋１时，数列错误!单调递减，故数列错误!的最小值为错误!.因此d的取值范围为错误!.。

2021版高考数学苏教版(新课程版)一轮复习单元评估检测(六)

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单元评估检测(六)(第十、十一章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( )A.167B.137C.123D.93【解析】选B.初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师人数为150×40%=60,则该校女教师的人数为77+60=137.2.若-n的展开式中第四项为常数项,则n= ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.依题意,T4=·-3·,因为其展开式中第四项为常数项,所以-1=0,所以n=5.3.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,则P(1<X<3)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2【解析】选C.由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1<X<3)=P(X<3)-P(X≤1)=0.5-0.2=0.3.4.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,又有X的数学期望为E(X)=3,则a+b= ( )A. B.0 C.- D.【解析】选A.依题意可得X的分布列为X 1 2 3 4P a+b 2a+b 3a+b 4a+b依题意得解得a=,b=0,故a+b=.5.某商场进行购物摸奖活动,规则是:在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球(小球除标号外其他完全相同),每次摸奖需要同时取出两个球,每位顾客最多有两次摸奖机会,并规定:若第一次取出的两球号码连号,则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同,则为中奖.按照这样的规则摸奖,中奖的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.分两种情况,第一种第一次摸到连号,则概率为P(A)==,第二种情况对应概率为P(B)=·=,所以中奖的概率为P(A)+P(B)=+=.6.有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节某同学需选择一套服装参加歌舞演出,则有几种不同的选择方式( ) A.24种 B.14种 C.10种 D.9种【解析】选B.第一类:一件衬衣、一件裙子搭配一套服装有4×3=12(种)方式;第二类:选2套连衣裙中的一套,有2种选法.由分类加法计数原理,得共有12+2=14(种)选择方式.7.如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有世纪金榜导学号( )A.360种B.720种C.780 种D.840种【解析】选B.由题干图可知,区域2,3,5,7不能同色,所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且各区域的颜色均不相同,所以涂色方法有×2=720(种).8.如果{a n}不是等差数列,但若∃k∈N*,使得a k+a k+2=2a k+1,那么称{a n}为“局部等差”数列.已知数列{x n}的项数为4,记事件A:集合⊆,事件B:{x n}为“局部等差”数列,则条件概率P=( ) A. B. C. D.【解析】选C.由题意知,事件A共有·=120个基本事件,事件B:“局部等差”数列共有以下24个基本事件,(1)其中含1,2,3的“局部等差”数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3,共3个, 含3,2,1的“局部等差”数列同理也有3个,共6个.(2)含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.(3)含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1,共 2个,含4,3,2的同理也有2个.(4)含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4,共4个, 含5,3,1的同理也有4个,共24个,所以P(B|A)==.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.若随机变量ξ的分布列为ξ0 1P m n其中m∈(0,1),则下列结果中错误的是( )A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2【解析】选ABD.由分布列可知,随机变量ξ服从两点分布,故E(ξ)=n=1-m,D(ξ)=n(1-n)=(1-m)m=m-m2.故A,B,D错误.10.如图是2019年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述正确的是( )①2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个;②与去年同期相比,2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长;③去年同期的GDP的总量前三位是D省、B省、A省;④2018年同期A省的GDP总量是第三位.A.①B.②C.③D.④【解析】选BCD.①2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个,B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位,故①错误;由图知②正确;由图计算2018年同期五省的GDP总量,可知前三位为D省、B省、A省,故③正确;由③知,2018年同期A省的GDP总量是第三位,故④正确.11.下列结论正确的是( )A.P(B|A)与P(A|B)的含义相同B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立D.抛掷2枚质地均匀的硬币,“第1枚为正面”为事件A,“第2枚为正面”为事件B,则A,B相互独立【解析】选BD.A×.前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.B√.由相互独立事件和条件概率的定义可知.C×.A与B相互独立时,P(AB)=P(A)P(B)成立.D√.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,所以A,B相互独立.12.已知下列四个变量:①某高铁候车室中一天的旅客数量X1;②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2;③某一天中长江的水位X3;④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.其中是离散型随机变量的是( )A.①中的X1B.②中的X2C.③中的X3D.④中的X4【解析】选ABD.①②④中的随机变量可能取的值,我们都可以按一定次序一一列出,因此它们都是离散型随机变量;③中的X3可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故X3不是离散型随机变量. 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.某工厂生产10个产品,其中有2个次品,从中任取3个产品进行检测,则3个产品中至多有1个次品的概率为________.【解析】3个产品中至多有1个次品,拆分为3个产品中没有次品和3个产品中恰有1个次品,所以所求的概率为P=+=+=. 答案:【一题多解】因为3个产品中次品的个数为0,1,2,所以“3个产品中至多有1个次品”的对立事件为“3个产品中恰有2个次品”,所以所求的概率为P=1-=1-=.答案:14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________,仅有一个公共点的概率为________.【解析】若直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,则≤,整理得a2≤b2.依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有6×6=36(种)结果.满足a2≤b2的数组:当a=1时,b=1,2,3,4,5,6,共6种结果;当a=2时,b=2,3,4,5,6,共5种结果;当a=3时,b=3,4,5,6,共4种结果;当a=4时,b=4,5,6,共3种结果;当a=5时,b=5,6,共2种结果;当a=6时,b=6,共1种结果.所以满足a2≤b2的数组共6+5+4+3+2+1=21(种)结果,因此所求的概率P==.若仅有一个公共点,则a2=b2,共6种结果,所求概率为P==.答案:15.小明口袋中有3张10元,3张20元(因纸币有编号,认定每张纸币不同),现从中掏出纸币超过45元的方法有________ 种;若小明每次掏出纸币的概率是等可能的,不放回地掏出4张,刚好是50元的概率为________. 世纪金榜导学号【解析】超过45元即为掏出纸币50元,60元,70元,80元,90元,如果掏出纸币50元,则2张20元,1张10元,或3张10元,1张20元,共有+=12种方法;如果掏出纸币60元,则2张20元,2张10元,或3张20元,共有+=10种方法;如果掏出纸币70元,则3张20元,1张10元,或2张20元,3张10元,共有+=6种方法;如果掏出纸币80元,则3张20元,2张10元,共有=3种方法;如果掏出纸币90元,则3张20元,3张10元,共有1种方法;所以共有32种方法.设“如果不放回地掏出4张,刚好是50元”为事件A,则所有的基本事件的总数为=15,A中含有的基本事件的总数为3,所以P(A)==.答案:3216.投掷一枚图钉,设钉尖向上的概率为p(0<p<1),连续掷一枚图钉3次,若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率,则p的取值范围为________.【解析】设P(B k)(k=0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉3次,出现k次钉尖向上”的概率,由题意,得P(B2)<P(B3),即p2(1-p)<p3,所以3p2(1-p)<p3,因为0<p<1,所以<p<1.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)进入冬天,大气流动性变差,容易形成雾霾天气,从而影响空气质量.某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性,以确定是否对车辆实施限行.为此,环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表:时间周一周二周三周四周五周六周日车流量10 9 9.5 10.5 11 8 8.5(x万辆)空气质量78 76 77 79 80 73 75指数y(1)根据表中周一到周五的数据,求y关于x的线性回归方程.(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2,则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据周六和周日数据,判定所得的线性回归方程是否可靠?注:回归方程=x+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为==,=-.【解析】(1)==10,==78.所以(x i-)(y i-)=(10-10)(78-78)+(9-10)(76-78)+(9.5-10)(77-78)+ (10.5-10)(79-78)+(11-10)(80-78)=5,(x i-)2=(10-10)2+(9-10)2+(9.5-10)2+(10.5-10)2+(11-10)2=2.5,所以===2.所以=-=78-2×10=58,所以y关于x的线性回归方程为=2x+58.(2)当x=8时,=2×8+58=74.满足|74-73|=1<2,当x=8.5时,=2×8.5+58=75.满足|75-75|=0<2,所以所得的线性回归方程是可靠的.18.(12分)某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个80元,二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个200元,二级滤芯每个400元.现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图,表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数 5 6频数60 40以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率.(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数,求X的分布列及数学期望.(3)记m,n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=28,且n∈{5,6},以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据,试确定m,n的值. 【解析】(1)由题意可知,若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30,则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯,二级过滤器需要更换6个滤芯.设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4,二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4,所以P(A)=0.4×0.4×0.4=0.064.(2)由柱状图可知一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4.由题意,X可能的取值为20,21,22,23,24,并且P(X=20)=0.2×0.2=0.04,P(X=21)=0.2×0.4×2=0.16,P(X=22)=0.4×0.4+0.2×0.4×2=0.32,P(X=23)=0.4×0.4×2=0.32,P(X=24)=0.4×0.4=0.16.所以X的分布列为X 20 21 22 23 24P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16E(X)=20×0.04+21×0.16+22×0.32+23×0.32+24×0.16=22.4. (3)方法一:因为m+n=28,n∈{5,6},若m=22,n=6,则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22×80+200×0.32+400×0.16+6×160=2 848;若m=23,n=5,则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23×80+200×0.16+5×160+400×0.4=2 832.故m,n的值分别为23,5.方法二:因为m+n=28,n∈{5,6},若m=22,n=6,设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1(单位:元),则E(Y1)=1 760×0.52+1 960×0.32+2 160×0.16=1 888.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2(单位:元),则Y2=6×160=960,E(Y2)=1×960=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Y1)+E(Y2)=1 888+960=2 848.若m=23,n=5设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1(单位:元),则E(Z1)=1 840×0.84+2 040×0.16=1 872.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2(单位:元),则E(Z2)=800×0.6+1 200×0.4=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Z1)+E(Z2)=1 872+960=2 832.故m,n的值分别为23,5.19.(12分)为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3,其中体重在[50,55]的有5人.(1)求该校报考飞行员的总人数.(2)从该校报考飞行员的体重在[65,75]的学生中任选3人,设X表示体重超过70 kg的学生人数,求X的分布列和数学期望.【解析】(1)设该校报考飞行员的总人数为n,前三个小组的频率分别为k,2k,3k,则k+2k+3k+0.030×5+0.020×5=1,解得k=,即第1组的频率为.又因为k=,故n=40,即该校报考飞行员的总人数是40人.(2)由(1)知:这40人中体重在区间[65,70]的学生有40×0.030×5=6人,体重超过70 kg的有40×0.020×5=4人,现从这10人中任选3人,则P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以期望值为E(X)=0×+1×+2×+3×=.20.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果,设小孩对四种食物排出的序号依次为x A x B x C x D,家长猜测的序号依次为y A y B y C y D,其中x A x B x C x D,y A y B y C y D都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义X=(x A-y A)2+(x B-y B)2+(x C-y C)2+(x D-y D)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(i)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;(ii)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程).(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解,说明理由.【解析】(1)(i)若家长对小孩的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,所以先考虑小孩的排序x A x B x C x D为1234的情况,家长的排序有=24种等可能的结果.其中满足“家长的排序与1234对应位置的数字完全不同”的有2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321共9种结果,所以相应的概率为=.若小孩对四种食物的排序是其他情况,只需要将角标A,B,C,D按照小孩的排序1234的顺序调整即可,所以他们在一轮游戏中,对四种食物排成的序号完全不同的概率为.(ii)根据(i)的结果,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,列出所有情况,分别计算每种情况下的X的值.所以X的分布列为X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20P(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下:假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,则由(1)知,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为=.这个结果发生的可能性很小,所以可以认为这个家长对小孩的饮食习惯比较了解.21.(12分)某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份x i和关注人数y i(单位:百)(i=1,2,3,…,6)数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 世纪金榜导学号(x i-)2(x i-)(y i-)17.5 35 36.5(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明,并建立y关于x的回归方程.(2)经统计,调查材料费用v(单位:百元)与关注人数y满足函数关系v=+,求材料费用的最小值,并预测此时的关注人数.(3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,求关注人数不低于1 600人的月份个数ξ的分布列与数学期望.参考公式:相关系数r=,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程=x+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.【解析】(1)=×(11+13+16+15+20+21)=16,所以=76,又因为(x i-)2=17.5,(x i-)(y i-)=35,所以相关系数r===≈0.96,由于y关于x的相关系数r≈0.96>0.95,这说明y关于x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x 的关系;又===2,且=×(1+2+3+4+5+6)=3.5,所以=-=16-2×3.5=9,所以回归方程为=2x+9.(2)v=+≥2=18,即调查材料最低成本为1 800元,此时=,所以y=207.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)==;P(ξ=1)==;P(ξ=2)==;P(ξ=3)==.所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.5.22.(12分)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为P n. 世纪金榜导学号(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望.(2)证明:P n+1-P n=-(P n-P n-1)(2≤n≤98).(3)求P99,P100的值.【解析】(1)X的值为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,所以X的分布列如下:X 3 4 5 6P所以期望为E(X)=3×+4×+5×+6×=.(2)因为棋子跳到第n站,可以分解为两个情形:第一种是棋子先跳到第n-2站,再掷出反面,其概率为P n-2;第二种是棋子先跳到第n-1站,再掷出正面,其概率为P n-1,所以P n=(P n-1+P n-2),即P n-P n-1=-(P n-1-P n-2),所以P n+1-P n=-(P n-P n-1)(2≤n≤98).(3)由(2)知数列{P n-P n-1}(n≥1)是首项为P1-P0=-1=-,公比为-的等比数列.所以P n-P n-1=(P1-P0)=.由此得到P99=++…++1=.又P99-P98=,则P98=,由于跳到第99站时,自动停止游戏,故有P100=P98=.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

【优化方案】江苏省高考数学总复习第6章第三节课件理苏教版

【名师点评】
(1)利用基本不等式求最值，必
须满足三条：一正、二定、三相等，即①x、y 都是正数；②积xy或和x＋y为定值；③x与y必
须能够相等．
(2)利用基本定理解决一些较为复杂的问题时需
要同时或连续使用基本定理，这时要注意保证
取等号的一致性．
变式训练 1
解下列问题．
(1)已知 a>0，b>0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； 4 (2)已知 x>2，求 x＋的最小值． x－2
2．基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等．如： a＋ b 2ab ≤ ab≤ ≤ 2 a＋b a2＋b2 (a>0，b>0)． 2
例1 (1)设 0<x<2，求函数 y＝ 3x8－3x的
最大值； 3 (2)求＋a 的取值范围； a－4 8 2 (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求＋的最 x y 小值．
值)．“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时
要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件．
课热身
1．下列函数中，最小值为 4 的函数是 ________．(填序号) 4 ①y＝x＋x； ③y＝ex＋4e
答案：③
－x;
4 ②y＝sinx＋ (0<x<π)； sinx ④y＝log3x＋logx81.
第三节
基本不等式
第三节基本不等式
双基研习·面对高考
考点探究·挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．基本不等式
不等式成立等号成立的基本不等式的条件条件 a＋b ___________ ______ a＝ b a>0，b>0 ab≤ 2

新教材苏教版高中数学必修第二册章末综合测评6统计

章末综合测评(六) 统计(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某次体检5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是( )A ．1.74B ．1.75C ．1.76D ．1.77C [将5位同学的身高按照从小到大的顺序排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，则位于中间的数是1.76，即中位数是1.76.]2．当前，国家正分批修建保障性住房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、1 80户．第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，若采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )A ．30B ．40C ．45D ．50B [从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360360＋270＋180×90＝40.]3．已知一组数据8,9,10，x ，y 的平均数为9，方差为2，则x 2＋y 2＝( ) A ．162 B ．164 C ．168 D ．170D [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧15(8＋9＋10＋x ＋y )＝9，15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(x －9)2＋(y －9)2]＝2，解得x 2＋y 2＝170.]4．如图是2020年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2020年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2019年同期A省的GDP总量也是第三位．A．①②B．②③④C．②④D．①③④B[①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由题图知②正确；由题图计算2019年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2019年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B．] 5．已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法进行抽取，设从三个等级A，B，C中抽取的箱数分别为m，n，t，若2t＝m＋n，则420箱中等级为C级的箱数为()A．120B．140C．160D．180B[由2t＝m＋n，可知等级为C级的腌菜箱数占全部箱数的13，故420箱腌菜中等级为C的腌菜箱数为420×13＝140.]6．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n的值为()A．700 B．800C．850 D．900B[根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n＝800.1＝800.故选B．]7．2016年1月1日我国全面实施二孩政策后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2 400人，30岁至40岁的约3 600人，40岁以上的约6 000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝()A．180B．186C．194D．200D[由题意得3 6002 400＋3 600＋6 000＝60N，解得N＝200.]8．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数B[标准差能反映一组数据的稳定程度．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．)9．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是( )A B ．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C ．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)D ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数ABC [甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，A正确；s 2甲＝191>110＝s 2乙，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B 正确．甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C 正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D 错误．故选ABC ．]10．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )A ．平均数x ≤3B ．平均数x ≤3且标准差s ≤2C ．平均数x ≤3且最大值与最小值的差小于或等于2D ．众数等于1且极差小于或等于4CD [对于A ，举反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均数x －＝2≤3，不符合指标. A 错；对于B, 举反例：0,3,3,3,3,3,6，其平均数x ＝3，且标准差s ＝187≤2，B 错；对于C ，若最大值与最小值的差等于0或1，在x ≤3的条件下，显然符合指标；若最大值与最小值的差等于2且x≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标，C对；对于D，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，D对. 故选CD．]11. AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述正确的是()A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好ABD[由图可知，AQI不大于100天有6日到11日，共6天，所以A对；AQI最小的一天为9日，所以B对；中位为是95＋1042＝99.5，C错．从图中可以4日到9日AQI越来越小，D对．所以选ABD．]12．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是()A．建设后，种植收入减少B．建设后，其他收入增加了一倍以上C．建设后，养殖收入增加了一倍D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD[设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．下列数据的70%分位数为________．20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.28[把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]14．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆，则z的值为________．400[由题意可得50100＋300＋150＋450＋z＋600＝10100＋300，解得z＝400.]15．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如表：其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．36[根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.]16．某班有48名学生，在一次考试后统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却记成了50分，乙得了70分却记成了100分，更正后平均分为__________．方差分别为________．7050[平均数没有变化、方差有变动．登记错了的情况下，s2＝148[…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…]＝75，实际上，s2＝148[…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…]＝50.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元．该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．[解](1)由题中频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，需求量在[100,120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，需求量在[120,140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，需求量在[140,160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，需求量在[160,180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，需求量在[180,200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．(2)因为每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x ＜160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600；当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800. 所以y ＝⎩⎨⎧40x －1 600，100≤x <160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x ＜160时，由40x －1 600≥4 000，解得140≤x ＜160；当160≤x ≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以140≤x ≤200时，利润y 不少于4 000元．故由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.18．(本小题满分12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ [解] (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482000×500＝12(名)．19．(本小题满分12分)2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．下表是两位选手的其中10枪成绩．(2)请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定． [解] (1)x 张＝110×(10.2＋…＋9.2)＝10，x 巴＝110×(10.1＋…＋9.7)＝9.9，可知张梦雪的成绩较好．(2)s 2张＝110×(0.22＋0.32＋(－0.2)2＋0.12＋0＋(－0.7)2＋0.92＋(－0.1)2＋0.32＋(－0.8)2)＝0.222，s 2巴＝110×(0.22＋0.12＋0.52＋0.32＋(－0.7)2＋(－0.7)2＋0.62＋0.32＋(－0.4)2＋(－0.2)2)＝0.202.因为s 2张>s 2巴，所以巴特萨拉斯基纳成绩较稳定．20．(本小题满分12分)根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表： [50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数． [解] (1)根据频率分布直方图可知：x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫31 825＋2365＋71 825＋31 825＋89 125×50÷50＝11918 250. (2)一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是11918 250×50×365＝119(天)；2365×50×365＝100(天)．21．(本小题满分12分)从某高校自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，得到的频率分布表如下：组号分组频数频率第1组 [160,165) 5 0.05 第2组 [165,170) ① 0.35 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 20 0.20 第5组 [180,185] 10 0.10合计1001.00(1)(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中利用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮面试，求从第3、4、5组分别抽取多少人进行第二轮面试．[解] (1)由题意知第2组的频数为100－5－30－20－10＝35；第3组的频率为1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30.(2)第1组和第2组的频数和为40，第4组和第5组的频数和为30，所以这次笔试成绩的中位数落在第3组内．(3)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，从第3组抽取3060×6＝3(人)，从第4组抽取2060×6＝2(人)，从第5组抽取1060×6＝1(人)．所以从第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进行第二轮面试．22．(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面频数直方图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元), n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？[解] (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19，(x ∈N )． (2)由频数直方图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(3 800×70＋4300×20＋4 800×10)＝4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．。

数学苏教版必修第一册单元素养评价第6章 Word版含解析

单元素养评价(三)(第6章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2019·荆州高一检测)若幂函数f(x)=x a的图像过点(4,2),则f(a2)=( )A.aB.-aC.±aD.|a|【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=,所以f(x)=,所以f(a2)=(a2=|a|.2.设a∈,则使函数y=x a的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是( ) A.1,3 B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.3.函数y=的值域是( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(0,1]D.[1,+∞)【解析】选D.由于≥0,所以函数y=≥30=1,故函数的值域为[1,+∞).4.(2020·龙海高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x ≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)= ( )A.2B.4C.-2D.-4【解析】选C.由题意可得f(6)=log2(6+2)-1=2,由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以,f(-6)=-f(6)=-2.5.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,当x=1时log a(x+c)=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1.6.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-B.-C.-D.-【解析】选A.由于f(a)=-3,①若a≤1,则2a-1-2=-3整理得2a-1=-1,由于2x>0,所以2a-1=-1无解,②若a>1,则-log2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.7.(2020·三明高一检测)已知函数f(x)=的值域为[-8,1],则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-3]B.[-3,0)C.[-3,-1]D.{-3}【解析】选B.当0≤x≤4时f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以-8≤f(x)≤1;当a≤x<0时,f(x)=-,所以-≤f(x)<1,因为f(x)的值域为[-8,1],所以故-3≤a<0.8.(2020·永清高一检测)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数;②存在[m,n]⊆D使f(x)在[m,n]上的值域为,那么就称y=f(x)为“成功函数”,若函数f(x)=log a(a x+t)(a>0,a≠1)是“成功函数”,则t的取值范围是、( ) A. B.C. D.【解析】选A.因为f(x)=log a(a x+t)(a>0,a≠1)是“成功函数”,当a>1时,f(x)在其定义域内为增函数,当0<a<1时,f(x)在其定义域内为增函数,所以f(x)在其定义域内为增函数,由题意得f(x)=log a(a x+t)=,所以a x+t=,a x-+t=0,令m=>0,所以m2-m+t=0有两个不同的正数根,所以,解得t∈.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是( )A.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=x-3B.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f(x)=,则对于任意的x1,x2∈[0,+∞)有≤f【解析】选CD.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=,故A 错误;函数f(x)=是偶函数且在上单调递减,故在上单调递增,B错误;幂函数y=xα(α>0)始终经过点和,C正确;任意的x1,x2∈[0,+∞),要证≤f,即证≤,即证≤,即证(-)2≥0,易知成立,故D正确.10.对于0<a<1,下列四个不等式中成立的是( )A.log a(1+a)<log aB.log a(1+a)>log aC.a1+a<D.a1+a>【解析】选B、D.因为0<a<1,所以a<,从而1+a<1+.所以log a(1+a)>log a.又因为0<a<1,所以a1+a>.11.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是( )A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.>0D.f<【解析】选ACD.·=,所以A成立,×≠,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则>0,若x1<x2则f(x1)<f(x2),则>0,故C正确;f<说明函数是凹函数,而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.12.(2020·滕州高一检测)已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 ( )A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.若0<x1<x2,则<f【解析】选ACD.由题知2=log a4,a=2,故f(x)=log2x.对A,函数为增函数,正确.对B,f(x)=log2x不为偶函数.对C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立.对D,因为f(x)=log2x往上凸,故若0<x1<x2,则<f成立.三、填空题(每小题5分,共20分)13.(2020·沈阳高一检测)若幂函数f(x)的图象过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为.【解析】设f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(2,),所以f(2)=2α=,所以α=,则f(x)=,y=+1-x=-+,故其最大值为.答案:14.(2020·石嘴山高一检测)不等式>1的解集是. 【解析】>1⇔x2-2x-3<0⇔-1<x<3.答案:15.设f(x)=则f(f(2))= .【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.答案:216.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a= ,f= .【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)===-,即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,所以f=,所以f===2-3.答案:1 2-3四、解答题(共70分)17.(10分)(2020·南昌高一检测)已知函数f(x)=2x-4x.(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;(2)解不等式f(x)>16-9×2x;(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范围. 【解析】(1)设t=2x,因为x∈[-1,1],所以t∈,y=t-t2=-+,所以t=时,f(x)max=,t=2时,f(x)min=-2.所以f(x)的值域为.(2)设t=2x,由f(x)>16-9×2x,得t-t2>16-9t,即t2-10t+16<0,所以2<t<8,即2<2x<8,所以1<x<3,所以不等式的解集为{x|1<x<3}.(3)方程有解等价于m在1-f(x)的值域内,所以m的取值范围为.18.(12分)若函数y=f(x)=为奇函数.(1)求a的值;(2)求函数的定义域;(3)求函数的值域.【解析】因为函数y=f(x)==a-,(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,即2a--=0,所以a=-.(2)因为y=--,所以3x-1≠0,即x≠0.所以函数y=--的定义域为{x|x≠0}.(3)因为x≠0,所以3x-1>-1.因为3x-1≠0,所以-1<3x-1<0或3x-1>0.所以-->或--<-.即函数的值域为.19.(12分)已知a>2,函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x).(1)求f(x)的定义域;(2)当a=4时,求不等式f(2x-5)≤f(3)的解集.【解析】(1)由题意得:解得因为a>2,所以2<x<a,故f(x)的定义域为.(2)因为a=4,所以f(2x-5)=log4(2x-7)-log4(9-2x),f(3)=log41-log41=0,因为f(2x-5)≤f(3),所以log4(2x-7)-log4(9-2x)≤0,即log4(2x-7)≤log4(9-2x),从而解得<x≤4,故不等式f(2x-5)≤f(3)的解集为.20.(12分)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P 投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,所以A=5·e0.06n;当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06=2·,令2·>100,可得n>22.7.所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.21.(12分)已知函数f(x)=log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则+a>0恒成立.即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0).故只要a≥0即可.(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.由题设log2(1+a)-log2≥2⇒.故-<a≤-为所求.22.(12分)(2020·南京高一检测)函数f(x)=log2(4x-1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若x∈[1,2],函数g(x)=2f(x)-m·2x+1是否存在实数m使得g(x)的最小值;为,若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意4x-1>0,所以4x>1,则x>0,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞).(2)g(x)=2f(x)-m·2x+1=-m·2x+1=4x-1-m·2x+1=4x-m·2x.令t=2x,因为x∈[1,2],所以t∈[2,4],则h(t)=t2-mt,t∈[2,4],对称轴为t=,①若t=≤2,即m≤4时,h(t)在[2,4]上为增函数,此时当t=2时最小,即h(2)=4-2m=,解得m=成立;②若t=≥4,即m≥8时,h(t)在[2,4]上为减函数,此时当t=4时最小,即h(4)=16-4m=,解得m=(舍去);③若t=∈(2,4),即4<m<8时,h(t)min=h=-≠,即此时不满足条件.综上所述,存在实数m=使得g(x)的最小值为.关闭Word文档返回原板块。

高优指导高三数学(理)二轮复习专题质量评估六.docx

专题质量评估六ZHUANTI ZHILIANGPINGGU LIU课后强化,赢在训练一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国Ⅰ高考,理2)(1+i )3(1-i )2=()A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i 解析:(1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i )(1-i )2=2i (1+i )-2i=-1-i .故选D .答案:D2.一个单位有职工80人,其中业务人员56人,管理人员8人,服务人员16人,为了解职工的某种情况,决定采取分层抽样的方法,抽取一个容量为10的样本,则每个管理人员被抽到的概率为( )A.180B.124C.18D.14 解析:根据题意可知管理人员这一层中每个个体被抽到的概率等于从总体中抽取10个样本每个个体被抽取的概率,即所求概率为1080=18.答案:C3.(2013辽宁高考,理5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( )A.45B.50C.55D.60解析:由频率分布直方图,低于60分的同学所占频率为(0.005+0.01)×20=0.3,故该班的学生人数为150.3=50. 答案:B4.(2014山西四校第二次联考,3)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个,则取出的这两个数字之和为偶数的概率是( )A .16B .13C .12D .15解析:由题意知所有的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个,和为偶数的基本事件为(1,3),(2,4),共2个,故所求概率为26=13.答案:B5.如图,程序结束输出s 的值是( )A.30B.55C.91D.140解析:由程序框图可知输出的s=12+22+…+62=91. 答案:C6.已知复数z=1+a i(a ∈R ,i 是虚数单位),zz =-35+45i,则a=( )A.2B.-2C.±2D.-12解析:由题意可知1-ai 1+ai =(1-ai )2(1+ai )(1-ai )=1-2ai -a 21+a 2=1-a 21+a 2−2a 1+a 2i =-35+45i, 因此1-a 21+a 2=-35,化简得5a 2-5=3a 2+3,a 2=4,则a=±2.由-2a 1+a 2=45,可知a<0,仅有a=-2满足,故选B .答案:B7.(2014贵州六校第一次联考,5)在(1-x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n 中,若2a 2+a n-5=0,则自然数n 的值是( ) A .10 B .9 C .8 D .7解析:由二项式定理可得a 2=C n 2,a n-5=C n n -5(-1)n-5,故2C n 2+C n n -5(-1)n-5=0,把各选项代入验证可得n=8时,等式成立. 答案:C8.(2014辽宁沈阳第二次质检,6)在一次试验中,向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子,落在正方形中的豆子的总数为N ,其中有m (m<N )粒豆子落在该正方形的内切圆内,以此估计圆周率π的值为( )A .m NB .2m NC .3m ND .4m N解析:根据几何概型可知m N =πr 2(2r )2, 从而可知π=4mN.故选D .答案:D9.已知函数f (x )=x 2+bx+c ,其中0≤b ≤4,0≤c ≤4,记函数f (x )满足条件{f (2)≤12,f (-1)≤3的事件为A ,则事件A 发生的概率为( )A.516B.38C.58D.78解析:本题考查线性规划及几何概型.据已知可得事件A 满足{2b +c ≤8,c -b ≤2,故点(b ,c )对应的平面区域如图中阴影部分所示,而整个基本事件空间可用如图所示边长为4的正方形OABC 的面积来度量,根据几何概型可得P (A )=1-S △CDE +S △ADB S 正方形OABC=58.答案:C10.甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学,在一次数学测试中,成绩统计用茎叶图表示如图所示,若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲,x 乙,则下列结论正确的是( )A.x 甲>x 乙,甲比乙成绩稳定B.x 甲>x 乙,乙比甲成绩稳定C.x 甲<x 乙,甲比乙成绩稳定D.x 甲<x 乙,乙比甲成绩稳定解析:依题意得x 甲=15(80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,x 乙=15(80×4+90×1+3+4+8+9+1)=87, 则x 甲>x 乙.s 甲2=15[(88-90)2+(89-90)2+(92-90)2+(91-90)2+(90-90)2]=2, s 乙2=15[(83-87)2+(84-87)2+(88-87)2+(89-87)2+(91-87)2]=9.2, s 甲2<s 乙2,因此甲比乙成绩稳定,选A .答案:A二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014辽宁沈阳第二次质检,14)(2x -1√x)6的二项展开式中的常数项为.解析:T r+1=C 6r (2x )6-r (-1√x)r =C 6r 26-r(-1)r ·x 6-3r 2,由6-3r2=0,得r=4.所以常数项为60. 答案:6012.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为1n(n ≥2),其余每个数是它下一行左右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,…,则第7行第4个数(从左往右数)为 .解析:由第n 行有n 个数且两端的数均为1n 可知,第7行第1个数为17,由其余每个数是它下一行左右相邻两数的和可知,第7行第2个数为16−17=142,同理易知,第7行第3个数为130−142=1105,第7行第4个数为160−1105=1140.答案:114013.执行如图的程序框图,输出S 和n ,则S+n 的值为 .解析:S=0,T=0,n=1;S=3,T=1,n=2;S=6,T=4,n=3;S=9,T=11,n=4,此时S<T ,故S+n=13. 答案:1314.已知下列表格所示数据的回归直线方程为y ^=3.8x+a ,则a 的值为 .x 2 3 4 5 6 y 251 254 257 262 266解析:由已知,得x =4,y =258,因为点(x,y )在回归直线上,所以a=242.8. 答案:242.815.(2014上海闵行二模)复数z=a+b i(a ,b ∈R ,且b ≠0),若z 2-4bz 是实数,则有序实数对(a ,b )可以是 .(写出一个有序实数对即可)解析:z 2-4bz=(a+b i)2-4b (a+b i)=a 2-b 2-4ab+(2ab-4b 2)i 是实数,则2ab-4b 2=0,由于b ≠0,故a=2b.答案:(2,1)或满足a=2b 的任意一对非零实数对三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014山东潍坊一模)某次数学测验共有10道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分.某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项,但这4道题中有2道题能排除两个错误选项,另2道只能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答,且各题作答互不影响. (1)求该考生本次测验选择题得50分的概率;(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.解:(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ,选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ,则P (A )=12,P (B )=13.该考生选择题得50分的概率为P (A )·P (A )·P (B )·P (B )=(12)2×(13)2=136. (2)该考生所得分数X=30,35,40,45,50, P (X=30)=(12)2×(1-13)2=19,P (X=35)=C 21(12)2·(23)2+(12)2·C 21·13×23=13, P (X=40)=(12)2×(23)2+C 21·(12)2·C 21·13×23+(12)2×(13)2=1336, P (X=45)=C 21(12)2·(13)2+(12)2·C 21·13×23=16,P (X=50)=(12)2×(13)2=136.该考生所得分数X 的分布列为X 30 35 40 45 50P 1913 1336 16 136所以E (X )=30×19+35×13+40×1336+45×16+50×136=1153. 17.(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x 和y 的值;(2)计算甲班七名学生成绩的方差;(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式:方差s 2=1n[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x =x 1+x 2+…+x nn. 解:(1)∵甲班学生的平均分是85,∴92+96+80+80+x+85+79+787=85.∴x=5.∵乙班学生成绩的中位数是83, ∴y=3.(2)甲班七名学生成绩的方差为s 2=17[(-6)2+(-7)2+(-5)2+02+02+72+112] =40.(3)甲班成绩在90分以上的学生有两名,分别记为A ,B ,乙班成绩在90分以上的学生有三名,分别记为C ,D ,E. 从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ).其中甲班至少有一名学生共有7种情况:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ).记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事件M ,则P (M )=710. 故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生的概率为710.18.(本小题满分12分)(2014东北三校第二次联考,18)某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第三、四、五组的频率;(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的2个产品均来自第三组的概率.解:(1)第三组的频率是0.150×2=0.3;第四组的频率是0.100×2=0.2;第五组的频率是0.050×2=0.1.(2)设“抽到的2个产品均来自第三组”为事件A , 由题意可知,分别抽取3个、2个、1个.不妨设第三组抽到的是A 1,A 2,A 3;第四组抽到的是B 1,B 2;第五组抽到的是C 1,所含基本事件为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,C 1},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,C 1},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{A 3,C 1},{B 1,B 2},{B 1,C 1},{B 2,C 1},共15个,事件A 有3个.所以P (A )=315=15.19.(本小题满分12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙.(1)假设n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率;(2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的产量(单位:kg)如下表:品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419403 412 418 408 423 400 413求品种甲和品种乙的产量的样本平均数和样本方差,根据试验结果,你认为应该种植哪一品种? 附:样本数据x 1,x 2,…,x n 的样本方差s 2=1n[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 为样本平均数.解:(1)将第一大块地中的2小块地编号为1,2,第二大块地中的2小块地编号为3,4,令事件A 为“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).而事件A 包含1个基本事件(1,2).所以P (A )=16.(2)品种甲的产量的样本平均数和样本方差分别为 x 甲=18(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,s 甲2=18[32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25.品种乙的产量的样本平均数和样本方差分别为 x 乙=18(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,s 乙2=18[72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56. 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该种植品种乙.20.(本小题满分13分)(2014陕西高考,理19)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6(1)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X 的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率. 解:(1)设A 表示事件“作物产量为300kg ”,B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”,由题设知P (A )=0.5,P (B )=0.4, ∵利润=产量×市场价格-成本, ∴X 所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000, 300×10-1000=2000,300×6-1000=800.P (X=4000)=P (A )P (B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P (X=2000)=P (A )P (B )+P (A )P (B )=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P (X=800)=P (A )P (B )=0.5×0.4=0.2, 所以X 的分布列为X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C 1,C 2,C 3相互独立,由(1)知,P (C i )=P (X=4000)+P (X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利润均不少于2000元的概率为 P (C 1C 2C 3)=P (C 1)P (C 2)P (C 3)=0.83=0.512; 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)+P (C 1C 2C 3)+P (C 1C 2C 3)=3×0.82×0.2=0.384.所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.21.(本小题满分14分)(2014江西高考,理21)随机将1,2,…,2n (n ∈N *,n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ,B 两组,每组n 个数,A 组最小数为a 1,最大数为a 2;B 组最小数为b 1,最大数为b 2,记ξ=a 2-a 1,η=b 2-b 1. (1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C 发生的概率P (C );(3)对(2)中的事件C ,C 表示C 的对立事件,判断P (C )和P (C )的大小关系,并说明理由. 解:(1)当n=3时,ξ的所有可能取值为:2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组,不同的分组方法共有C 63=20种,所以ξ的分布列为:ξ2 3 4 5P 15 310 310 15E ξ=2×15+3×310+4×310+5×15=72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为:n-1,n ,n+1,…,2n-2. 又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种; ξ和η恰好相等且等于n 时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n+k (k=1,2,…,n-2)(n ≥3)时,不同的分组方法有2C 2k k 种; 所以当n=2时,P (C )=46=23,当n ≥3时,P (C )=2(2+∑k=1n -2C 2k k )C 2k k .(3)由(2)当n=2时,P (C )=13, 因此P (C )>P (C ).而当n ≥3时,P (C )<P (C ),理由如下:P (C )<P (C )等价于4(2+∑k=1n -2C 2k k )<C 2k k.①用数学归纳法来证明.(ⅰ)当n=3时,①式左边=4(2+C 21)=4(2+2)=16,①式右边=C 63=20,所以①式成立. (ⅱ)假设n=m (m ≥3)时①式成立,即4(2+∑k=1m -2C 2k k )<C 2m m成立,那么,当n=m+1时,左边=4(2+∑k=1m+1-2C 2k k )=4(2+∑k=1m -2C 2k k )+4C 2(m -1)m -1<C 2m m +4C 2(m -1)m -1=(2m )!m !m !+4·(2m -2)!(m -1)!(m -1)!=(m+1)2(2m )(2m -2)!(4m -1)(m+1)!(m+1)!<(m+1)2(2m )(2m -2)!(4m )(m+1)!(m+1)!=C 2(m+1)m+1·2(m+1)m (2m+1)(2m -1)<C 2(m+1)m+1=右边,即当n=m+1时①式也成立.综合(ⅰ)(ⅱ)得:对于n ≥3的所有正整数,都有P (C )<P (C )成立.。

2022版高考数学一轮复习核心素养测评六指数与指数函数苏教版

核心素养测评六指数与指数函数(30分钟60分)一、选择题(每题5分,共25分)1.函数f(x)=的值域是( )A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选B.令u=2x-1,那么u>-1,且u≠0,y=,那么y<-2或y>0.2.(2022·文昌模拟)a=0.24,b=0.32,c=0.43,那么( )A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c【解析】选B.因为a=0.24=0.001 6,b=0.32=0.09,c=0.43=0.064,所以b>c>a.3.(2022·太原模拟)函数f(x)=a x-b的图象如下图,其中a,b为常数,那么以下结论正确的选项是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【解析】选D.由题干图象知f(x)是减函数,所以0<a<1,又由图象在y轴上的截距小于1可知a-b<1,即-b>0,所以b<0.4.(2022·北京模拟)假设e a+πb≥e-b+π-a,那么有( )A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0【解析】选D.令f(x)=e x-π-x,那么f(x)在R上单调递增,又e a+πb≥e-b+π-a,所以e a-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.5.(2022·十堰模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,那么不等式f(x)>0的解集为 ( )A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7,因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].二、填空题(每题5分,共15分)6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),那么f(0)+f(-m)=________.【解析】设f(x)=a x(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=a m=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.答案:7.假设f(x)=是R上的奇函数,那么实数a的值为________,f(x)的值域为________.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)==1-.因为2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,所以f(x)的值域为(-1,1).答案:1 (-1,1)8.给出以下结论:①当a<0时,(a2=a3;②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;④假设2x=16,3y=,那么x+y=7.其中正确结论的序号有________.【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解, 得x≥2且x≠,所以③正确;因为2x=16,所以x=4,因为3y==3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.故②③正确.答案:②③三、解答题(每题10分,共20分)9.函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值.【解析】①当a>1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.②当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.10.定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)假设f(x)=,求x的值.(2)假设2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)当x<0时,f(x)=0,无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-,因为2x>0,所以x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数m的取值范围是[-5,+∞).(15分钟35分)1.(5分) (2022·淮安模拟)a=,b=,c=,那么以下关系式中正确的选项是( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c【解析】选B.把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又>>,所以<<,即b<a<c.2.(5分)函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),那么以下结论中,一定成立的是( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0,b<1,所以0<2a<1,2-a>1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1,所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,又因为f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.【变式备选】(2022·西安模拟)假设函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,那么f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.3.(5分)(2022·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为____________mg/L;假设该物质的浓度小于24.001 mg/L,那么最小的整数的值为________.【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;所以M(4)=100+24=26.56;由100+24<24.001得:<(0.1)5;所以lg<lg(0.1)5;所以tlg<-5;所以t[lg 2-(1-lg 2)]<-5;所以t(2lg 2-1)<-5,代入lg 2≈0.301得:-0.398t<-5;解得t>12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.56 13【变式备选】a-=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因为a-=3,所以a2+=+2·a·=9+2=11,而=a2++2=13,所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.4.(10分)函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并画出图象.(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【解析】(1)因为函数y=a+b的图象过原点,所以0=a+b,即a+b=0,所以b=-a.函数y=a-a=a.又0<≤1,-1<-1≤0.且y=a+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以a<0且0≤a<-a,所以-a=2,函数y=-2+2.用描点法画出函数的图象,如图.(2)显然函数的定义域为R.令y=f(x),那么f(-x)=-2+2=-2+2=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x<0时,y=-2+2=-2+2为单调减函数.所以y=-2+2在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.5.(10分)函数f(x)=.(1)假设a=-1,求f(x)的单调区间.(2)假设f(x)有最大值3,求a的值.(3)假设f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].(2)令g(x)=ax2-4x+3,那么f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,那么f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为假设a≠0,那么g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.。

江苏省南京市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则集合B的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．8第(2)题已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（）A．B．C．D．第(3)题已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．第(4)题已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题在中，，，，则外接圆的半径为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5第(7)题已知双曲线的一条渐近线上存在关于原点对称的两点和，若双曲线的左、右焦点与组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……在2015年世乒赛期间，苏州某景点就用乒乓球堆成“三角垛”型的装饰品，假设一个“三角垛”装饰品共有n层，记使用的乒乓球数量为，则（）（参考公式：）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．的最小值为D．第(2)题已知向量，，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则与的夹角为第(3)题已知（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．的最小正周期为C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度变为偶函数，则的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式______．①；②；③的导数为且．第(2)题已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是_______________ ．第(3)题已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数的最大值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若正实数，满足，求的最大值．第(2)题鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数（赋分后学生的分数全部介于30至100之间）．某校为做好本次考试的评价工作，从本校学生中随机抽取了50名学生的化学等级分数，经统计，将分数按照，，，，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生分数的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望．第(3)题定义：已知数列满足．(1)若，，求，的值；(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；(3)若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．第(4)题已知数列满足：.（1）求的通项公式；（2）若，求.第(5)题首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？。

江苏省淮安市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

江苏省淮安市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，关于曲线的法线有下列4种说法：①存在一类曲线，其法线恒过定点；②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；③存在唯一一条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数为1.其中说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4第(2)题已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（）A．24B．44C．D．第(3)题已知数列等比数列，且则的值为（）A．B．2C．3D．4第(4)题某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（）A．B．C．D．第(6)题斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列满足，，设，则（）A．2022B．2023C．2024D．2025第(7)题执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（）A．7B．6C．5D．4第(8)题中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（）A．15千里B．14千里C．13千里D．12千里二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数在处取得最大值，的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A．B．在上的单调递减区间是C ．将图象上的所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象D ．将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到的图象第(3)题等比数列的公比为，且成等差数列，则下列说法正确的是（）A．B．若，则C．若，则D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.第(2)题在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在外作等边，再作的外接圆，则外接圆与线段的交点即为费马点.若，则___________.第(3)题已知为虚数单位，复数，，那么__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知无穷数列中，，记，，．(1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值；(2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；(3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列．第(2)题选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线的参数方程，若直线与曲线有公共点，求的取值范围;（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．第(3)题点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．(1)求数列、的通项公式；(2)记点到直线（即直线）的距离为，求证：；第(4)题已知函数，曲线在点处的切线方程为(1)求a，b的值；(2)求在上的最大值和最小值.第(5)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线与曲线的极坐标方程；(2)曲线与曲线交于，两点．求的值．。

广东省东莞市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

广东省东莞市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b第(3)题集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A．2B．C．1D．第(6)题为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入(万元)12支出(万元)但是统计员不小心丢失了一个数据(用代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（）A．B．C．D．第(7)题命题“”的否定是（）A．B．C．D．第(8)题2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于两点，交轴于点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D ．若存在点，使得，且，则双曲线的离心率为2或第(2)题甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动．活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮活动中，甲、乙答对的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则（）．A．每轮活动中，甲获胜的概率为B．每轮活动中，平局的概率为C．甲胜一轮乙胜两轮的概率为D．甲至少获胜两轮的概率为第(3)题设，是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于点.若弦AB过焦点F，则（）A．B．若PA的方程为，则C．点P始终满足D．面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图平面直角坐标系中，椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．第(2)题已知函数满足，若函数与图像的交点为，则________；第(3)题雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由.第(2)题已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．第(3)题已知，函数.（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：）第(4)题已知椭圆的短轴长为2，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由．第(5)题设函数（）.（1）设，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求整数的最大值.。

澳门(新版)2024高考数学苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

澳门（新版）2024高考数学苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知在复平面内，复数对应点，复数对应点，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(2)题已知三棱锥所有的顶点都在球的表面上，若，，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A．B．C．D．第(3)题已知等腰的腰为底的2倍,则顶角的正切值为A．B．C．D．第(4)题若a，b，c是常数，则“ a>0，且b2-4ac<0 ”是“对任意，有ax2+bx+c>0 ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过t天后，用户人数，其中k和m均为常数．已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2万名至少经过的天数为（）（天数按整数算，取）.A．20B．21C．22D．23第(7)题为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相切或相离第(8)题的虚部为（）A．3B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出下列结论正确的是（）A．曲线C只有两条对称轴B．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D．曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2第(2)题画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（）A．的蒙日圆的方程为B．对直线上任意点，C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为第(3)题过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（）A．周长的最小值为18B．四边形可能为矩形C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是D．的最小值为-1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，则__________.第(2)题若对任意恒成立，则实数a的取值范围为______．第(3)题曲线在点处的切线方程为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知命题实数x满足,命题实数x满足（1）当时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分条件,求实数m的取值范围．第(2)题已知椭圆C：经过点，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）不过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：上，求直线的斜率的取值范围．第(3)题如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥PC．第(4)题如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动．(1)当平面DAF时，求线段的长度；(2)设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值．第(5)题2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．。

新疆克拉玛依市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

新疆克拉玛依市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )．A．[2－，2＋]B．(2－，2＋)C．[1,3]D．(1,3)第(2)题已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（）A．B．C．D．第(3)题f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题已知集合，，则（）．A．B．C．D．第(5)题若复数满足，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数在上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（）A．0B．C．D．4第(7)题已知，，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若与异面，则至多有一条与，都垂直C．若，，，则一定平行于和D．若，，，则存在同时垂直，第(8)题记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（）A．若满足，则B．若满足，则对任意正整数C．若满足，则对任意正整数D．若满足，且，则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（）A．B．当天下午3：00温度最高C．温度为是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于第(2)题已知奇函数与偶函数满足：(其中为自然对数的底数)，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D ．当，时，恒有成立第(3)题已知函数，则（）A．为周期函数B．的图象关于轴对称C．的值域为D．在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知单位向量的夹角为，若，则实数___________.第(2)题在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则______.第(3)题飞车走壁技艺利用圆周运动特点和惯性原理，表演者驾驶飞车在球形大棚的内壁上行走，飞车忽高忽低，斜走横行，甚至直贯球顶，该技艺目前已成为中国国宝级杂技节目．已知球形飞车大棚内有辆飞车、、、，分别飞行于上下平行两个的等圆周上，飞车飞行在上圆周，飞车、、飞行在下圆周，且满足，，则的最大值为______；若三棱锥的最大体积为，则球形飞车大棚的直径约为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000000剥0000011比0000102观0000113…………(1)成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，试分别写出这两个卦所表示的十进制数；(2)若某卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；(3)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记5分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻均不相邻，则记1分．设任取一卦后的得分为随机变量X，求X的概率分布和数学期望．第(2)题某工厂为了检验一批产品的质量，从这批产品中随机抽取100件，检测某一质量指标（单位：厘米）．根据检查结果．将其分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这批产品该质量指标的中位数；(2)已知质量指标在内的产品为一等品，若这批产品中有1080件一等品，估计这批产品的总数量．第(3)题如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．第(4)题如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．(1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围；(2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值．第(5)题的内角的对边分别为．(1)求；(2)若，求．。

安徽省淮北市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

安徽省淮北市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件价格37元32元30元27元25元张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（）A．116件B．110件C．107件D．106件第(2)题全集，能表示集合和关系的Venn图是（）A．B．C．D．第(3)题探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（）A．B．C．D．第(4)题已知平面向量，，若与垂直，则实数（）A．B．C．D．第(5)题过点作斜率不为的直线与圆：交于，两点，若，则直线的斜率（）A．B．C．D．第(6)题函数的部分图象大致形状是（）A．B．C．D．第(7)题如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高（）A．1B．C．D．第(8)题已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为（）A．B．5C．D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题定义在上的函数的导函数满足，当且仅当时，等号成立，则必有（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，数列按照如下方式取定：，曲线在点处的切线与经过点与点的直线平行，则（）A．B．恒成立C．D．数列为单调数列第(3)题关于函数，，下列说法正确的是（）A．若过点可以作曲线的两条切线，则B．若在上恒成立，则实数的取值范围为C．若在上恒成立，则D．若函数有且只有一个零点，则实数的范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题四棱锥的底面ABCD是平行四边形，点E、F分别为PC、AD的中点，平面BEF将四棱锥分成两部分的体积分别为且满足，则________．第(2)题若，则的值为___________.第(3)题中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，D为边AB上一点，CD平分，，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C．当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4．(1)求p的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率．第(2)题如图，三棱柱中，侧面底面，，.（1）证明：；（2）若与平面所成角的正弦值为，求四面体的体积.第(3)题在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)设点的直角坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值．第(4)题已知数列的前n项和为，且6，，成等差数列．（1）求；（2）是否存在，使得对任意成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．第(5)题某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，且每次抽奖的结果相互独立．(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X元，求X的分布列与期望．(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人．有列联表：有蛀牙无蛀牙合计爱吃甜食不爱吃甜食合计完成上面的列联表，根据独立性检验，能否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关？附：，．0.050.010.0053.841 6.6357.879。

安徽省六安市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

安徽省六安市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心第(2)题已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF 1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（）A．B．C．D．第(3)题在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，则（）A．{—1，0，1}B．{0，1}C．{1}D．（—2，2）第(6)题设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(7)题命题：“若与满足：，则”．已知命题是真命题，则的值不可以是（）A．1B．2C．D．第(8)题已知复数，那么的虚部为（）A．B．C．4D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列说法正确的有（）A．的极大值为B．的单调递减区间为C．曲线在处的切线方程为D．方程有两个不同的解第(2)题已知点圆：，圆：上，则（）A．圆与圆相交B．圆与圆有三条公切线C．若为定值，点P的轨迹为一条直线D．点P为圆上一点，点Q为圆一点，则为定值第(3)题如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（）A．小球运动的最高点与最低点的距离为B．小球经过往复运动一次C．时小球是自下往上运动D．当时，小球到达最低点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，，与的夹角为，则___________.第(2)题已知，分别为椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若，则该椭圆的离心率为________.第(3)题设圆锥的轴截面是一个边长为的正三角形，则该圆锥的体积为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)点是线段上靠近点的三等分点，且，求的周长.第(2)题如图，直三棱柱中，，，分别是，的中点．(1)证明：；(2)若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．第(3)题某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关.性别公益劳动时间合计长短男110女120合计(2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望；(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值.0.1000.0500.0250.0102.7063.841 5.024 6.635第(4)题已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围第(5)题“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。

湖南省长沙市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

湖南省长沙市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，.则（）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知圆关于直线对称，过点作圆的两条切线和，切点分别为，则（）A．B ．C ．D ．第(3)题哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（）A ．11B ．13C ．15D ．17第(4)题有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有种（）A ．2520B ．2025C ．1260D ．5040第(5)题已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（）A ．函数的一个对称中心为B ．C ．函数为周期函数，且一个周期为4D ．第(6)题已知函数.则下列说法中错误的是（）A ．当时，在上单调递增B ．当时，的最小值是一个与无关的常数C ．可能有三个不同的零点D ．当时，有且仅有一个零点第(7)题如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的．已知圆台的上、下底面直径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（）A．B ．C ．D ．第(8)题若函数同时满足：①；②函数与函数的单调性一致，则称函数为“鲁西西函数”．例如：函数在上单调递减，在上单调递增．同样在上单调递减，在上单调递增．若函数为“鲁西西函数”，则在上的最大值为（）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（　　）A．B．C．的最大值为D．的最大值为第(2)题在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（）A．1B．C．D．3第(3)题已知函数，则（）A．曲线在处的切线斜率为B．方程有无数个实数根C．曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于D ．在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图所示，一个正四棱锥和一个正三棱锥所有棱长都相等，F为棱的中点，将和，和，和分别对应重合为P，B，C得到一个组合体．关于该组合体有如下三个结论：①AD⊥SP；②直线AD与直线SF所成角为60°；③．其中正确结论的个数是________．第(2)题已知函数，则______.第(3)题，则等于________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)若A，B为直线l上距离为2的两动点，点P为曲线C上的动点，求面积的最大值.第(2)题如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小．第(3)题已知等差数列和正项等比数列满足，，.（1）求数列，的通项公式.（2）设数列中，求和：.第(4)题若数列满足，数列为数列，记.（1）写出一个满足，且的数列；（2）若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.第(5)题已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．。

江苏省泰州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(评估卷)完整试卷

江苏省泰州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（）A．B．1C．D．3第(2)题当时，曲线与的交点个数为（）A．3B．4C．6D．8第(3)题数据24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位数是（）A．34.5B．46C．49D．52第(4)题在的二项展开式中，若各项系数的和为2187，则的系数为（）A．160B．180C．228D．280第(5)题椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（）A．2B．4C．D．第(6)题下列有关复数，的等式中错误的是（）A．B．C．D．第(7)题已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（）A．B．C．牛奶的温度降至还需D．牛奶的温度降至还需第(8)题若，为锐角，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（）A．的最大值为B．的面积最小值为2C．当取到最大值时，直线AP与C相切D．当取到最大值时，第(2)题下列说法错误的是（）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充分必要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．若圆与圆有且只有一个公共点，则D．若直线与曲线有公共点，则实数b的取值范围是第(3)题已知，，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形的边长为，且，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的分点处，记第1个正方形的面积为，第个正方形的面积为，则___________.第(2)题掷一颗骰子，令事件，，则_______（结果用数值表示）．第(3)题如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，.D为的中点，M，N分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当M，N运动时，下列结论中正确的是___________（填写序号）.①平面平面②在内总存在与平面ABC平行的线段③三棱锥的体积为定值④可能为直角三角形四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数和有相同的极值点，求实数a的值．第(2)题在①，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知，，分别为的内角，，的对边，若，______，求面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第(3)题设函数.(1)若，求函数在上的最小值；(2)若对任意的，有，求的取值范围.第(4)题如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且.(1)若平面，求实数的值；(2)若平面，求直线和平面所成角的正弦值.第(5)题设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且．(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，求的值域．。

黑龙江哈尔滨市(新版)2024高考数学苏教版能力评测(评估卷)完整试卷

黑龙江哈尔滨市（新版）2024高考数学苏教版能力评测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设复数（i为虚数单位），则（）A．B．3C．D．第(2)题已知变量的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下．由上表可得线性回归方程，则（）x12345z2451014 A．B．C．D．第(3)题的展开式中的系数为（）A．B．C．15D．40第(4)题在长方体中，，，其外接球体积为，则其外接球被平面截得图形面积为（）A．B．C．D．第(5)题关于函数，下列结论正确的为（）A ．的最小正周期为B．是的对称中心C ．当时，的最小值为0D．当时，单调递增第(6)题已知，且终边上有点，则（）A．B．C．D．第(7)题设全集为，集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知向量，向量在上的投影向量为，则（）A．-2B．-1C．1D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于点，以下四个命题中正确的是（）A．四边形一定为菱形B．四棱锥体积为C．平面平面D．四边形的周长最小值为4第(2)题设定义在R上的可导函数和满足，，为奇函数，且. 则下列选项中正确的有（）A．为偶函数B．为周期函数C．存在最大值且最大值为D．第(3)题已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A．为奇函数B．为周期函数C．为奇函数D．为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数满足其导函数为偶函数，，，在如下三个函数：①；②；③中，共有6个参数a，b，c，d，k，m．请在集合中，取出合适的数赋予上面6个参数．使其满足题目要求，则a，b，c，d，k，m的值分别是__________（按对应的参数顺序写）；此时，在函数③中，的极小值是__________．第(2)题对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则______.第(3)题“若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 _____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：表1：序号数学物理114495213090312479412085511069610782710380810262910067109875119868129577139459149265159057168858178570188555198052207554(1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.（i）完成如下列联表；数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀不优秀合计（ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？(2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：表2：数学成绩1301101008575物理成绩9069677054如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i）求样本相关系数；（ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数.（2）经验回归方程；.（3），其中.临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828第(2)题已知抛物线的焦点为为上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积.第(3)题已知函数.(1)当时，求的零点个数；(2)已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.第(4)题某中学一名数学老师对全班名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分分），其中分（含分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（Ⅰ）根据以上两个直方图完成下面的列联表：（Ⅱ）根据（Ⅰ）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（Ⅲ）若从成绩在的学生中任取人，求取到的人中至少有名女生的概率．第(5)题在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数).(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线向左平移一个单位,再经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标.。

安徽省滁州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(自测卷)完整试卷

安徽省滁州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知，求该屋顶的体积（）A．B．C．D．第(2)题云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.72 2.43 3.64由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的图象过原点，且关于点对称，若函数在上单调，则图象的相邻两条对称轴之间的距离为（）A．B．C．D．第(4)题已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．第(5)题已知且，函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(6)题如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（）A．B．9C．D．第(7)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(8)题物种多样性是指一定区域内动物、植物、微生物等生物种类的丰富程度，关系着人类福祉，是人类赖以生存和发展的重要基础.通常用香农-维纳指数来衡量一个群落的物种多样性.，其中为群落中物种总数，为第个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例.已知某地区一群落初始指数为，群落中所有物种个体数量为，在引人数量为的一个新物种后，指数（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是椭圆在轴上两个不同的焦点，点在上，则（）A．B．的离心率为C．的最大值小于D．面积的最大值为第(2)题已知平面向量，，，若，是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．第(3)题已知抛物线：与抛物线：在第一象限交于点，过点的直线分别与，交于，两点，且为线段的中点，为坐标原点，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题直线的参数方程为（为参数，为定值），则的一个法向量为___________.第(2)题已知向量在向量方向上的投影为，且，则的取值范围为________（结果用数值表示）第(3)题设，向量，若∥，则_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线，其左、右顶点分别为，其离心率为，且虚轴长为.(1)求双曲线的标准方程；(2)一动点与的连线分别与双曲线的右支交于，两点，且恒过双曲线的右焦点，求证：点在定直线上.第(2)题如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以表示.（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为, 求及乙组同学投篮命中次数的方差;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名, 记事件A：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A发生的概率.第(3)题已知函数，(1)证明：函数f（x）在内有且仅有一个零点；(2)假设存在常数λ>1，且满足f（λ）=0，试讨论函数的零点个数.第(4)题如图，在直三棱柱中，，点F是的中点，点E满足.(1)求证：；(2)若，，直线与平面所成的角为，求的值.第(5)题已知函数，，其中是自然对数的底数．（1）若函数有两个不同的极值点、，求实数的取值范围；（2）当时，求使不等式对一切实数恒成立的最大正整数．。