正弦与余弦定理练习进步题及规范标准答案14370
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45 求A 、C 及c .《1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ． [2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而AB323π2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
初三正弦余弦练习题及答案
初三正弦余弦练习题及答案正文：在初三数学学习中，正弦和余弦是重要的概念，理解和掌握它们的概念和计算方法对于解决相关题目至关重要。
下面将为大家提供一些关于正弦和余弦的练习题及答案，以帮助大家巩固知识和提高解题能力。
练习题一：已知直角三角形ABC，角A为90°，AC=5cm，BC=4cm，求角B 的正弦值和余弦值。
解答：在直角三角形ABC中，根据正弦的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。
而余弦的定义是邻边与斜边的比值。
首先，我们需要确定直角三角形中的对边和邻边。
根据题目中所给的数据，AC=5cm，BC=4cm，因此，对边为BC，邻边为AC。
根据正弦和余弦的定义可得：正弦值 sinB = 对边/斜边 = BC/AC = 4/5余弦值 cosB = 邻边/斜边 = AC/AC = 5/5 = 1所以，角B的正弦值为4/5，余弦值为1。
练习题二：已知角A的正弦值为1/2，角A为锐角，求角A的余弦值。
解答：根据正弦的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。
而余弦的定义是邻边与斜边的比值。
设角A的对边为a，斜边为h。
已知角A的正弦值为1/2，即a/h=1/2。
根据勾股定理得：a^2 + h^2 = c^2由题意可知，角A是锐角，即a是直角三角形的最短边，h是斜边。
根据这些条件，可以列方程：a^2 + h^2 = c^2a/h = 1/2解方程组，将a代入第一个方程：(1/2h)^2 + h^2 = c^21/4h^2 + h^2 = c^25/4h^2 = c^2h^2 = (4/5)c^2由于角A是锐角，c为斜边，c > a，即c^2 > h^2。
因此，(4/5)c^2 > (4/5)c^2得到c^2 > h^2，即c > h由此，我们可以得出结论：角A的余弦值一定小于1，因为余弦值等于邻边与斜边的比值。
所以，角A的余弦值小于1。
练习题三：计算三角形ABC中角A的正弦值、余弦值和切线值。
正弦与余弦定理练习题目及答案详解
21．已知△ ABC的周长为 2＋1，且 sin A＋sin B＝ 2sin C.(1) 求边 AB的长； 1
(2) 若△ ABC的面积为 6sin C，求角 C的度数．
23．在△ ABC中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1) 求 AB的值；(2) 求 sin(2 A π
实用标准文案
一．选择题
国庆作业（一） 正弦定理和余弦定理练习题
1．在△ ABC中，∠ A＝45°，∠ B＝60°， a＝2，则 b 等于 ( )
A. 6
B. 2
C.
3
D
．2 6
2．在△ ABC中，已知 a＝8， B＝ 60°， C＝ 75°，则 b 等于 ( )
32
A．4 2
B
．4 3
C ．4 6
D.
3
3．在△ ABC中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c，A＝60°， a＝4 3， b＝ 4 2，则角 B 为( )
A． 45°或 135° B ．135° C ． 45° D ．以上答案都不对 4．在△ ABC中， a∶b∶ c＝ 1∶ 5∶ 6，则 sin A∶sin B∶sin C等于 ( )
C.
3
D.
2
二、填空题
9．在△ ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为
a、b、c，若 a＝1，c＝
3，C＝
π 3，
则 A＝________.
43 10．在△ ABC中，已知 a＝ 3 ，b＝4，A＝30°，则 sin B＝________.
11．在△ ABC中，已知∠ A＝30°，∠ B＝ 120°， b＝12，则 a＋c＝________.
根据正弦与余弦原理练习题及答案
根据正弦与余弦原理练习题及答案
以下是一些根据正弦与余弦原理的练题和答案，希望对你的研
究有所帮助：
1. 问题：已知三角形ABC中，角A的度数为30°，BC边长为6，AC边长为10。
求角B的度数和边AB的长度。
答案：根据正弦定理，我们可以得到正弦B的值：sin B = (AB / AC) = (AB / 10)，因此 AB = 10 * sin B。
又由于三角形ABC是直角三角形，我们知道角A + 角B + 角
C = 180°，所以角C = 180° - 30° - B。
根据余弦定理，我们可以得到：
AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 * BC * AC * cos C
将已知的数值代入计算即可得到答案。
2. 问题：已知三角形DEF中，角D的度数为60°，EF边长为8，DF边长为12。
求角E的度数和边DE的长度。
答案：根据正弦定理，我们可以得到正弦E的值：sin E = (DE / DF) = (DE / 12)，因此 DE = 12 * sin E。
同样地，由于三角形DEF是直角三角形，我们知道角D + 角E + 角F = 180°，所以角F = 180° - 60° - E。
根据余弦定理，我们可以得到：
DE^2 = EF^2 + DF^2 - 2 * EF * DF * cos F
将已知的数值代入计算即可得到答案。
请根据以上原理和计算方法，练习更多的题目，加深对正弦与余弦原理的理解和应用能力。
正弦定理余弦定理练习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共20题，题分合计100分)已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为 1.A.-B.C.-D.λλ则满足此==中，在△ABCa,b,°=45A,2.条件的三角形的个数是D.无数个A.0B. 1 C.2，则三角形为a cos Bb在△ABC中，cos A=3. D.C.锐角三角形等边三角形等腰三角形. A.直角三角形 B22，则最大角为x2x+1(＞1)x已知三角形的三边长分别为+1,+xx和-14.° C.60 D.75°120B A.150° .°在△ABC中，=1，5.，=2．+（（·）+）则=5+2边等于||A.5-2.B．C.D.，b°BABC在△中，已知=30,=50=150c,6.那么这个三角形是等腰三角形或直角等边三角形 B. 直角三角形 C.D. 等腰三角形A.三角形2222C+c，则此三角形为sin B=2bc cos B cos C在△ABC中，若b sin7.等腰直角三角形 C.D.等边三角形A. 直角三角形B.等腰三角形正弦定理适应的范围是8. D.任意△钝角△ A.Rt△B.锐角△ C.==45°，则c°a已知△ABC中，=10,B=60,C9.B. 10 A.10+ C. ）-1（．（+1 ）D.10A sin＜a＜b，则此三角形有ABC在△中，b10.无解 C. 两解 D.不确定.A.一解B5和3，它们夹角的余弦是方程5x-7x-6=0的根，则三角形的另一11.边2三角形的两边分别为长为C.16D.4 A.52B. 2222ABC=b等于+c中，a+bc，则A在△12.° C.120 D.3045 A.60°B.°在△ABC中，，则△ABC是13. D.任意三角形.直角三角形 C.钝角三角形B A.锐角三角形ABC=45,=30，aABC在△中，=2A°C°，则△的面积等于S14.ABC△．A.B.2 +1C.(D.+1)CA sin Ba已知三角形ABC的三边、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、、C，则sin15.等于2222B C.1+cos B B.1-cos B A.cosD.1+sin B是在△ABC中，sin A＞sin BA＞B的16.既不充分也不必要不充分条件 C.D.充要条件 A.充分不必要条件 B.必要条件=在△ABC中，b Cos Aa cos B，则三角形为17.等边三角形等腰三角形 D. A.直角三角形 B. 锐角三角形 C.222ABC为△ABC中，sin A=sin B+sin，则△C18.等腰三角形D. 等边三角形C. 等腰直角三角形B. 直角三角形A.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为19.,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.为k则,中，ABC在△20.为△(R B.R C.4D.R A.2R)ABC外接圆半径)分共18题，题分合计75二、填空题(. ，则此三角形的最小边长为b=45°，AABC在△中，=60C°，=2 1.. = 中，ABC在△2.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶3.∶2，则△ABC的最小角的度数为.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= . 4.△ABC中，，则三角形为 5._________.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________. 6.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.7.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则8.B= .已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.9.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .10.222222，则△ABC为b+c 中，若在△ABCab＞a+c，则△ABC为；若；若=11.222222222，则△ABC为a ＜+b.cbba＜+c且＜a+且c在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.12.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，13.. A=则°BC,B==3,=30，在△ABC中，14.. A=.= °，B=45°，则a= ,b Aa在△ABC中，+b=12,=6015..的范围为2,3,若x为三边组成一个锐角三角形，则x16.. cb在△ABC中，化简cos C+cos B= 17.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.18.)244分共三、解答题(24题，题分合计.B 和b、a°，求=30C°，=45A，=10c中，ABC 已知在△1.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三2.角形的最大内角.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，3.解此三角形.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求4.AB的长..，求此三角形三边之比B=2C+A，C=2A最小，且C最大，A中，ABC在△5.ABCRABC的为△中，.证明：在△（其中6.外接圆的半径）在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、7.c的值.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角8.形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.9.根据所给条件，判断△ABC 的形状10.Bcos b=A cos a）1（．(2)2－3x－2=0的一个根，求△是方程2xABC周长的最小值.，而ABC△中，a+b=10cos C11.、、、、C的对边，设a+c=2b,A是分，ABC在△中abc别角BA－12..的值B sin求,=C．已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C13..c和，、=2中，在△ABCca试求=2,B=3,tan A tan14..及此三角形的面积b已知S=10,一个角为60°，这个角的15.ABC△∶.2，求三角形内切圆的半径5两边之比为.的形状ABC，试判断△中，ABC已知△16.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC17.的各边长.求值：18.ABC，解此三角形.的面积已知△19.在△ABC中，20.=2,c=ba=,、、，求+1ABCS及.△．22+2=0是关于）xx已知（a的二次方+bc21.程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.2222.的形状ABC，判断△)B+A)sin(b-a)=(B-A sin(）b+a中，（ABC在△22.在△ABC中，a＞23.、b以及此，试求a=6A，且有,bC=tan·tan B.三角形的面积、、、、cba所对的边分别为CBA的三内角ABC是整数，钝角△k已知：24.1）若方程组有实数解，求k的值.（（k值，若且有关系式）中的）对于（21、、.的度数CBA 试求,．正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)A A CB 5CD A D B B B C C C B C C A C A20.7817910：116121813141915.123416.二、填空题(共18题，合计75分)2（-1） 21. 45 ° 8 等腰三角形5.4.3.钝角三角形：6.a=b sin A或b＜a60°或120°无10.8.7.9钝角三角形直角三角形锐角三角形11.等120 角三腰形°或14.13.12.2 15. 36-12．x＜＜16.、、 2 a3417.18.)题，合计24(三、解答题共244分=a1.°B=105=b°∠C=1202.°=15B°或∠=75B∠3.b=+1，∠C=60°，∠B=75°或－=15°，∠C1b=，∠=120B° AB的长为4.4∶5∶6此三角形三边之比为：5.a=6,b=5,c=47.θS最大时，当=,8.OACB四边形+2最大值为9.ABC 1）△是等腰三角形或直角三角形（10为等边三角形）△ABC（2 ABC周长的最小值为△BCBc=1=90=120°=60,°；°，=2,=30°；13.212121．. 14.15.等边三角形16.17.18. A=60°，B=45°，C=75°，S=20.△°(2)60 没有实数根(1) 21.等腰三角形或直角三角形22.23.（1）k=1，2，324.（2）C=45°,B=15°。
(完整版)正弦定理和余弦定理练习题
【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。
正弦定理和余弦定理习题及答案
正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝() 22226 A．－3 B.3C．－3D.6 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点，则tan ∠ECF ＝()16233A. 27B. 3C.3D.4．△中，若－lg c ＝＝－lg 2且∈ 0，π，则△ABC4ABC lg a lgsin B B2的形状是 ()A．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假如a、b、c 成等差数列，∠ B＝30°，△ ABC的面积为，那么 b 为()A．1＋ 3B．3＋ 3 C.3＋ 3D．2＋ 3 36．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若 sin2－cos2＝1，则 ()A A2A．b＋c＝2a B ．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a7、若ABC的内角A知足sin 2A 2，则 sin A cos A 3A.153 B．153C．5D．5338、假如A1 B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C2的三个内角的正弦值，则A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B．A1B1C1和A2 B2C2都是钝角三角形C．A1 B1C1是钝角三角形，A2 B2C2是锐角三角形D．A1B1C1是锐角三角形，A2 B2C 2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为 a, b, c 设向量ur r ur rp (a c, b) , q (b a, c a) ,若 p // q ,则角C的大小为(A)(B)(C)(D)233 6210、已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．3Ｂ． 3Ｃ．15Ｄ．15 28711、ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则 cosBA ．1B．3C ．24 44D．2312、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=, a= 3 , b=1，3则 c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3二、填空题：13 、在ABC中，若sin A:sin B :sin C5:7:8 ，则B的大小是___________.14、在 ABC中，已知a 3 3，＝，＝°，则＝.b 4 A30sinB415、在△ ABC中，已知 BC＝12，A＝60°， B＝45°，则 AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边 BC上的中线 AD的长为．三、解答题：11 17。
正弦定理与余弦定理【参考答案】
正弦定理、余弦定理《参考答案》【1】 a = b = c = 2Rsinsin C sin A B【2】 2 2 - 2bc cos Ab + c【3】 b 2 + c 2 - a 22bc【4】 sin C 【5】 -cos C 【6】 - tan C【7】 cosC2【8】 sinC2【9】 60︒ 【10】 tan A ⋅ tan B ⋅ tan C 【11】c【12】 1ab sin C2 【13】 1xv - yu2【14】一解 【15】正弦定理 【16】一解 【17】余弦定理 【18】讨论 【19】正、余弦定理 【20】一解或无解 【21】余弦定理 【22】无解 【23】无解 【24】一解 【25】无解 【26】无解 【27】一解 【28】两解 【29】一解 【30】无解 【31】一解 【32】一解 【33】相等 【34】相反数 【35】边角互换 【第 1 题】【答案】D【解析】5∵tanA ＝－12＜0，A 是△ABC 的内角，π∴2＜A ＜π.∴cosA ＜0.∵sin A ＝tanA ＝－ 5 ，cos A12 且 sin 2A ＋cos 2A ＝1，12∴cosA ＝－13. 【第 2 题】【答案】B【解析】∵C ＞90°，∴A ＋B ＜90°， ∴tan (A ＋B )＞0，tanA ＋tanB ＞0， ∴1－tanAtanB ＞0，即 tanA ·tanB ＜1. 【第 3 题】【答案】B【解析】∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又 c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2.a 2＋c 2－b2∴cosB ＝2aca 2＋4a 2－2a2＝4a23＝4.【第 4 题】【答案】C【解析】若 a 为最大边，则 b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5， ∴a < 5，若 c 为最大边，则 a 2＋b 2－c 2>0，即 a 2>3， ∴a > 3，故3<a < 5.另法：【第 5 题】【答案】C 【解析】由正弦定理得a ＝b ，sin B sin 30° 3∴sinB ＝ 2 ， 又∵B 为锐角， ∴B ＝60°， ∴C ＝90°，即 C >B > A ．【第 6 题】【答案】C 【解析】由 sinB ·sinC ＝cos 2A2，得2sinB ·sinC ＝2cos 2A2＝1＋cosA ，即 2sinB ·sinC ＝1－cos (B ＋C )＝1－cosBcosC ＋sinBsinC ，∴sinB ·sinC ＋cosBcosC ＝1，即 cos (B －C )＝1，又－π<B －C <π. ∴B －C ＝0，即 B ＝C ．∴△ABC 为等腰三角形.【第 7 题】【答案】A【解析】正弦定理sin A sin 750sin(3045 )sin 30 0cos 45 0cos 30 0sin 451 2 3 2 2 2 2 226 .4由a c ，得C A 75 0 .∴ B30 0 ， sin B1 .2又a 6 2 ，由正弦定理得basin Bsin A6212 .26 24故选 A ．另法：余弦定理另法：射影定理b a cos Cc cos A .另法：作高，简单【第 8 题】π【答案】3【解析】由已知得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . b 2＋c 2－a 2 1∴2bc＝2，1 ∴cosA ＝2， π∴A ＝3.【第 9 题】【答案】5 2【解析】1S △ABC ＝2ac ·sinB1·c ·sin 45°＝ 2 c ， ＝2 4又因为 S △ABC ＝2，所以 c ＝4 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB2＝1＋32－2×1×4 2× 2＝25，∴b ＝5，b所以△ABC 外接圆的直径 2R ＝sin B＝5 2.【第 10 题】【答案】1【解析】由 A C 2B 及 A B C 180 ，得 B 60 .由正弦定理，得13 sin A ，即sin 60sin A1 .2由a b ，得 A B ，∴ A30 ， C180 A B180 306090 ，sin Csin 901.【第 11 题】【答案】2【解析】解：(余弦定理) 由b 2 a 2 c 22ac cos B ，得6 a 22 2 2a cos120 ， a 22a4 0 .12 2 1 2∴a 2 .另法：(正弦定理)b c， sin Bsin C sin Cc sin Bb2 sin1206 12∵c b ，∴C B ， ∴C 是锐角， C 30 ， A 30a c2 .【第 12 题】【答案】 2113【解析】 ∵ cos A = 4 ，cos C = 5，且 A , C 为三角形内角，5 13 ∴ sin A = 3 ， sin C = 12， 5 13∴ sin B = sin ( A + C )= sin A cos C + cos A sin C= 6563，由正弦定理得， sin b B = sin aA解得 b 21.13【第 13 题】【答案】【解析】证：a 2b 2c 2 a ∵cos C ， cos C ,2b2aba 2b 2c 2 a∴.2ab 2b化简后得b 2 2.c∴b c .∴△ABC 是等腰三角形.另证：∵a2b cos C，由正弦定理，得2R sin A22R sin B cos C∴ 2 sin B cos C sin Asin B Csin B cos C cos B sin C.∴ sin B cos C cos B sin C 0 ，即sin B C 0 ，∴ B C k k Z.∵ B,C 是三角形的内角，∴ B C ，即三角形为等腰三角形. 另证：根据射影定理，有a b cos C c cos B ，又∵a 2b cos C，∴ 2b cos C b cos C c cos B ，∴b cos C c cos B ，即b cos B .c cos C又∵b sin B，c sin C∴sin B cos B ,即sin C cos Ctan B tan C，∴ B C k k Z .∵ B,C 是三角形的内角，∴ B C ，即三角形为等腰三角形.欲证△ABC 为等腰三角形，可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只含角的三角函数.【第 14 题】【答案】【解析】解：∵ cos A3，50 A 180 ，∴ sin A4.5∵ sin B5 4sin A ，13 5A, B 为三角形的内角，∴ B A ，∴ B 为锐角，∴ cos B12.13∴ cos A Bcos A cos B sin A sin B3 124 55 13 5 131665.又 cos C cos 180 A B∴cos C cos A B16.65点评：此题要求在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值确定角的范围，以便对正负进行取舍.【第 15 题】【答案】【解析】解：(1)∵cos C cos 180 A B∴ cos C cos A B 1 . 2∴C 120 .(2)由题设，得a b 2 3 ab 2∴c 2 a 2 b 2 2ab cos 120a 2b 2 ab(a2ab b )(222 3)10 ，即AB 10 .(3)S1ab sin C ABC 221ab sin 1201 322 23.2【第 16 题】【答案】【解析】解：(1)由题设及 A+B+C=π得sin B= 8 sin 2B2= 8 ⋅1 - cos B= 4(1 - cos B) .2上式两边平方，得16(1 - cos B )2 2B= sin2 2B =1 ，又 sin B +cos∴16(1 - cos B )2 2B =1 ，+ cos∴(17 cos B- 15)(cos B- 1) = 0 ，∴cos B= 15 ，或 cos B=1(舍去)． 17(2)由(1)可知sin B=8.17∵S△ABC=2，∴1 ac sin B =2，2∴1 ac ⋅ 8 = 2，2 17∴ac =17，2∵cos B=15 ，17∴a 2+ c 2- b2 = 15，2 ac 17∴a 2+ c 2- b2=15，∴( a+c ) 2- 2 ac-b2=15 ，又a + c =6，∴36 - 17 -b2=15 ，∴b =2.。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。
正弦定理余弦定理习题及答案
正弦定理余弦定理习题及答案Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正 余 弦 定 理1．在ABC∆中，A B >是sin sin A B >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c .AB323π1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60AB <=，所以30A =，180C A B =--90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-AB323πcos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。
高中数学正、余弦定理练习题(含答案)
高中数学正、余弦定理练习题(含答案)高中数学正弦、余弦定理练题（含答案）知识点、方法：正弦、余弦定理及其应用、三角形形状判定、三角形的面积、正弦、余弦定理的实际应用。
一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2014南阳高二期末）在△ABC中，A=60°，BC=3，则△ABC的周长为（D）A) 4sin(B)+3B) 4cos(B)+3C) 6sin(B)+3D) 6cos(B)+3解析：由正弦定理得a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC，代入A=60°，BC=3，得b+c=2sinB，即b+c=6cosB。
故选D。
2.（2014宁德质检）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足c=2bsinC，a²=b²+c²-bc，则角C为（D）A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°解析：cosA=(b²+c²-a²)/2bc=cosC，代入c=2bsinC得sinC=2sinBsinC，代入sin²B+sin²C=1得sinB=√3/2，B=60°，C=π-A-B=90°。
故选D。
3.（2014珠海高二期末）在△ABC中，若c·cosB=a，则△ABC是（C）A) 等腰三角形B) 等腰三角形或直角三角形C) 直角三角形D) 等边三角形解析：c²=a²+b²-2abcosC，代入c·cosB=a得a²+b²=c²，即△ABC为直角三角形。
故选C。
4.（2014菏泽高二期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=60°，b=4，若0<a≤4或a=6，则a的取值为（C）A) 0<a<4B) a=6C) a≥4或a=6D) 0<a≤4或a=6解析：由正弦定理得a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC，代入A=60°，b=4，得a/√3=c/2，即a≥4sin60°=2√3.又∵a²=b²+c²-2bccosA，代入A=60°，b=4，得c²-4c+4=0，即c=2或c=2b=8.故a≥4或a=6.故选C。
(2021年整理)正弦与余弦定理练习题及答案(2)
正弦与余弦定理练习题及答案(2)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（正弦与余弦定理练习题及答案(2)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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正弦定理练习题1．在△ABC中,∠A＝45°,∠B＝60°，a＝2,则b等于( )A.错误!B.错误!C.错误! D．2错误!2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°,C＝75°,则b等于（）A．4错误! B．4错误! C．4错误! D。
错误! 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A＝60°，a＝43，b ＝4错误!，则角B为（)A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ）A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定5．在△ABC中，a，b，c分别是角A,B，C所对的边，若A＝105°,B＝45°，b＝错误!，则c＝（）A．1 B.错误! C．2 D。
错误!6．在△ABC中，若错误!＝错误!，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为（）A。
错误! B.错误! C。
错误!或错误! D.错误!或错误!8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
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正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A.6B.2 C.3D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．42B ．43 C ．46D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C. 3 D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.14．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b＝________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．36D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A.3B.2C.5D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB→·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 7．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A.3 B ．23 C.3或2 3D ．28．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．10．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.12．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A.6 B.2 C.3 D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．42 B ．43 C ．46 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝46.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝csin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.∵b a ＝sin Bsin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝ACsin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°. 再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a等于( )A. 6 B ．2 C.3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ， 由asin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6. 答案：12 614．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3.答案：2315．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sinB sinC ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理asin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝asin Bsin A＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝5.16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°. 又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．36D ．46解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B.2 C.5D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2， ∴c ＝2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc2bc＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B.显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝2c 22c＝c .6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.7．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3C.3或23D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或23.8．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝3.答案：39．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6110．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝2k 2＋4k 2－3k22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4) 11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3. 答案：2312．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1， ∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝25.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.。