专题九 解析几何第二十七讲 抛物线

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专题九 解析几何

第二十七讲 抛物线

2019 年

x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆

+ y =

1的一个焦点，则 3 p p

p = A ．2 B ．3 C ．4

D ．8

2.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2

= 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S

（2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标.

S 2

3.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2

，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切

2

线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点：

5

（2）若以 E (0， 2

)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.

1.解析（1）设 D ⎛ t , - 1 ⎫

,

A (x , y )，则 x 2 = 2 y .

2 ⎪ 1 1 1 1 ⎝ ⎭

2

2 5 y

2 1

由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1

+ 1 2

= x

，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.

设

B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1

所以直线AB 过定点(0, ) .

2

x 1 - t

（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1

.

2

⎧

y = tx + 1

⎪⎪ 由⎨ 2 ⎪ y = x

⎪⎩ 2 2 ，可得 x 2

- 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2

+1 .

1

2

1

2

1

2

设M 为线段AB 的中点，则

M ⎛ t , t 2 + 1 ⎫

. 2 ⎪ ⎝ ⎭

由于 EM ⊥ AB ，而 EM = (

t , t 2

- 2)

， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (

t 2

- 2)

t = 0 .解得 t =0或t = ±1.

当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2

+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2

⎪ ⎭

⎛

= 4 ；

5 ⎫2

当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ⎪ ⎝ ⎭

= 2 .

2010-2018 年

一、选择题

1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2

= 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M

在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为

A ．

B ． 2

C ． 2

D ． 3 3 2 3 3

2

3 3 9 3 2 2．（2016 年全国 II 卷）设 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，曲线 y = k

（k >0）与 C 交于点 P ，

x

PF ⊥x 轴，则 k =

A ． 1

2

B ．1

C ． 3

2

D ．2

3．（2015 陕西）已知抛物线 y 2

= 2 px ( p > 0 )的准线经过点(-1,1) ，则该抛物线的焦点坐

标为 A ．(－1，0)

B ．(1，0)

C ．(0，－1)

D ．(0，1)

4．（2015 四川）设直线l 与抛物线 y 2

= 4x 相交于 A , B 两点，与圆(x - 5)2

+ y 2

= r 2

(r > 0)

相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线l 恰有 4 条，则r 的取值范围是 A ． (1，

3) B ． (1，4) C ． (2，

3) D ． (2，

4)

5．（2014 新课标 1）已知抛物线C ： y 2

= 8x 的焦点为 F ，准线为l ， P 是l 上一点， Q 是

直线 PF 与C 的一个焦点，若 FP = 4FQ ，则| QF | =

A ． 7

2

B ． 5

2

C ．3

D ．2

6．（2014 新课标 2）设 F 为抛物线 C ：y 2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交C 于

A ,

B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为

A ． 4

B ． 8

C ．

63 32

D ．

9 4

7．（2014 辽宁）已知点 A (-2, 3) 在抛物线 C ： y 2

= 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第

一象限相切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为 A ． 1

2

B ． 2

3 C ． 3

4 D ． 4

3

8．（2013 新课标 1） O 为坐标原点， F 为抛物线C : y 2

= 4 2x 的焦点， P 为C 上一点，

若| PF |= 4 ，则∆POF 的面积为

A ． 2

B ． 2

C ． 2

D ． 4

9．（2013 江西）已知点 A (2, 0) ，抛物线C : x 2 = 4 y 的焦点为 F ，射线 F A 与抛物线 C 相交

于点 M ，与其准线相交于点 N ，则|F M|：|MN |=

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