专题九 解析几何第二十七讲 抛物线
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
抛物线几何性质优秀课件
2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的 距离为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ‖AB‖=4，则直线AB 的 方程为______. 4.一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m， 求拱形的抛物线方程 .
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线； 它没有中心，也没有渐近线．
再见 再见
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
（2）对称性 以 y 代 y，方程不变，所以抛物线关于 x轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
y
O
F
x
y
F
O
x
y
F
O
x
y
o
F
x
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质 有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸， 但没有渐近线；
2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
4）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定3）抛物线只有一个顶点、 的，为1． 抛物线由P决定开口大小 ， P越大开口越大 而椭圆、双曲线由e决定
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有
抛物线的定义课件
工程技术中的应用
抛物线型弹道
在军事和民用领域，抛物线型弹 道是一种常见的弹道形式。通过 计算和调整弹丸的初速度和发射 角度，可以实现精确打击和有效
射程。
抛物ห้องสมุดไป่ตู้型天线
在通信和广播领域，抛物线型天 线是一种常见的天线形式。它具 有定向性好、增益高等优点，被 广泛应用于卫星通信、微波通信
等领域。
抛物线型喷嘴
对称性表现
抛物线关于其对称轴对称，即对于任意一点P(x,y)在抛物线上，其关于对称轴的 对称点P'也在抛物线上。
顶点位置
1 2
顶点坐标
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其顶点坐标 为(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其顶点为原点(0,0)。
02
抛物线图像特点
开口方向与宽度
开口方向
抛物线开口方向由二次项系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
宽度
抛物线的宽度与二次项系数的绝对值|a|有关。|a|越大，抛物线越窄；|a|越小， 抛物线越宽。
对称性
对称轴
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其对称轴为x=-b/2a。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其对称轴为y轴。
根据题目条件，设定一个 包含待定系数的抛物线方 程。
代入已知条件
将题目中给出的已知条件 代入设定的抛物线方程， 解出待定系数。
求解问题
利用解出的待定系数，进 一步求解与抛物线相关的 问题。
数形结合法
绘制图形
根据题目条件，绘制出抛 物线的图形，标注出关键 点和线。
超详细抛物线知识点归纳总结
超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。
在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。
下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。
准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。
2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。
3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。
通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。
4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。
焦点形式可以直接得到焦点坐标。
5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。
准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。
6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。
焦距是焦点到准线的垂直距离。
7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。
8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
切线的斜率等于该点处的导数。
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。
9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。
直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。
10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。
11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。
即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。
抛物线PPT课件
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程；
（1）焦点是（3，0）； y2=12x
（2）准线方程是x= - ¼； y2=x
（3）焦点到准线的距离是2；y2=4x y2=-4x x2=4y
图形
l
l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
( p ,0) 2
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2Байду номын сангаас
第4页/共18页
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2
第6页/共18页
第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴上。！
第二：一次的系数决定了开口方向
求它的标准方程
y p
1、由已知确定开口方向及方程形式
2
2、求出p值
(0， p )
解:
2
因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 x2 2 py
且 p 2 p 4 所以抛2物线的标准方程是: x2 2 py 8y
第9页/共18页
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
抛物线的简单几何性质 课件
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
初三数学抛物线知识点
初三数学抛物线知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作报告、工作计划、活动方案、规章制度、演讲致辞、合同协议、条据文书、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work reports, work plans, activity plans, rules and regulations, speeches, contract agreements, documentary evidence, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!初三数学抛物线知识点关于初三数学抛物线知识点同学们!平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
专题九 解析几何第二十七讲 双曲线
11．(2016
全国
II)已知 F1 , F2 是双曲线 E
： x2 a2
−
y2 b2
= 1 的左、右焦点，点 M
在E
上，MF1 与
x 轴垂直， sin MF2F1 = 1 ,则 E 的离心率为
A． 2
B． 3 2
C． 3
D．2
12．（2015 四川）过双曲线 x2 − y2 = 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐 3
D． 5
5．（2019 浙江 2）渐近线方程为 x±y=0 的双曲线的离心率是
A． 2
2
C． 2
B．1 D．2
6. （ 2019 天 津 理 5 ） 已 知 抛 物 线 y2 = 4x 的 焦 点 为 F ， 准 线 为 l ， 若 l 与 双 曲 线
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB |= 4 | OF | （ O 为
离心率为____________．
4.（2019
年全国
II 理 11）设 F 为双曲线
C： x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点，O 为坐标
原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2 + y2 = a2 交于 P，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率
为
A． 2
B． 3
C．2
C． x2 − y2 = 1 D． x2 − y2 = 1
48
84
9．(2016
天津)已知双曲线
x2 4
−
y2 b2
=1(b
专题九解析几何第二十七讲抛物线答案
2t,t 0 ,则 X A t 2* .由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为t 22t2代入y 4x ，得故 2ty B即Y B所以又由于1 32,2 1 ttX A X BX c ,G，Y A Y BY c 及重心G 在x 轴上, 2故 2t 7 Y c 0 ,所以，直线AC 方程为y2t由于Q 在焦点F 的右侧,t 2 2t2 2,0 .3t 2 2t x t 2,得 Q t 21,0 .2.从而1JFG| |YA | 1 2|QG|Y C|t2t 4 2t 2 2 3t 21 |2t|2—2— | |22t|3t 2t2t 4 t 2 t 4 1t 2 2 t 4 1 .专题九解析几何第二十七讲抛物线答案部分2019 年21•解析：由题意可得：3p p —，解得P8•故选D . 22. (I )由题意得 1,即p=2.2所以，抛物线的准线方程为 x=-1.(n )设 A x A ，y A , B X B 』B ,C X c ，y c ,重心 G 沧，y •令 Y A2 2 t 2 1y2tx 1 0.设 B x 2, y 2，同理可得 2tX 2 2 y 2+1=0 . 故直线AB 的方程为2tx 2y 10.1所以直线AB 过定点（0,―）.2（2）由（1）得直线AB 的方程为y tx1tx 2 2，可得X 2 X2(2, 0).1乜2m c 1 c 2 •••24m 33 m — 4m、、3 时, 色取得最小值1&此时G 3•解析 (1)设 D t, A X i ,y i,2X12y i .由于y' X ，所以切线DA 的斜率为X 1，— 2 X 1 t y i X i，整理得 2 tx-i 2 y 1+1=0.于是X）X2 2t, y1 y2 X| x2 1 2t21.设M为线段AB的中点, t,t2由于EM u umr 十AB，而uuuuEMt,t2AB与向量（1, t）平行，所以t t2 2 t 0 .解得t=0或t1.当t=0时,uuuu| EM |=2,所求圆的方程为当t 1时，|尚|，所求圆的方程为X22010-2018 年1. C 【解析】由题意可知，如图 MFx 60o ，又抛物线的定义得 MF MN ，所以 MNFFH为等边三角形，在三角形NFH 中，FH 2 ,cos60°,得NF 4,所以M 到NFNF 的距离为等边三角形 MNF 中NF 边上的高，易知为 3 NF 2. 3 •选C .22.D 【解析】易知抛物线的焦点为 F(1,0)，设P(x p , y p )，由PF x轴得x P 1，代入k抛物线方程得 y 2 ( 2舍去)，把P(1,2)代入曲线y (k 0)的k 2，故选D .xp3.B 【解析】因为抛物线的准线方程为x 2 1，二P 2 ,•••焦点坐标为(1,0). 4. D 【解析】当直线I 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即x 5 r ，所以0 r 5 ；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可•设A(X 1, yj ,BE y 2),M(x °, y °)，贝y为 x 22x 0 .又 2y1 4x-i2y 1 y 22y。
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线答案
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线答案部分1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=o，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆ 为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=o ，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NFNF =C ．x2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)ky k x=>的2k =，故选D ． 3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为12px =-=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)．4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，121212042AB y y k x x y y y -===-+．设圆心为(5,0)C ，则005CM y k x =-，因为直线l 与圆相切， 所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，于是2204y r =-，2r >，又2004y x <，即2412r -<，所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．5．C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =u u u r u u u r，所以||:||3:4PQ PF =，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ．6．D 【解析】易知抛物线中32p =，焦点3(,0)4F ，直线AB 的斜率33k =，故直线AB 的方程为33()34y x =-，代入抛物线方程23y x =，整理得22190216x x -+=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x +=，由物线的定义可得弦长12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028p d ==o ， 所以OAB ∆的面积19||24S AB d =⋅=． 7．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线22y px =的准线上，∴22p-=-．∴4p =，∴28y x =， 设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与28y x =联立， 得2824160y ky k -++=②，则△=2(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或12k =-（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ，又(2,0)F ，∴43BF k =，故选D ． 8．C 【解析】∵2OF =，由抛物线的定义可得P 点的坐标()32,26±，∴POF ∆的面积为112262322P OF y =⨯⨯=． 9．C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为12xy +=代入x 2=4y 得352y -=， 又|FM |：|MN |=（1-y ）：（1+y ）＝1:．10．C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,3)A -(4,3)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=11．D 【解析】∵双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,所以23.c b a a=⇒=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C 30.x y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p||28p p =⇒=.故选D ．12．C 【解析】设抛物线的方程为22y px =，易知||212AB p ==，即6p =，∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ∆面积为36，故选C ．13．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于24y ax =，当1x =时，y =±l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，所以4=，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标为(1.0)． 14．22y px =的准线方程为2p x =-，又0p >，所以2p x =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(，所以2p-=，p = 15．1由正方形的定义可知BC= CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以||AD p a ==，D (,0)2p (,)2p F b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22pb p b a ab =+=+，变形得22()10b ba a --=，解得1b a =1b a =-，所以1b a=+16．2，1x =-【解析】1,22p p ==；准线12px =-=-．17．62【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），设抛物线的方程为22x py =-，l 与抛物线的交点为A 、B ，根据题意知A （–2，–2），B （2，–2） 则有()222-⨯=-a ，∴21-=a ∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米，则y=–3，此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米．18．4【解析】由题意可得p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B19．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．20．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB ∆的面积32212001||||4)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是]4． 21．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x=，解得32x =，于是(2,1)M ．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 22．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线2019年1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．82.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 1.解析（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：24y x =的焦点F ，的直线交C 于点M (M在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 AB． C． D．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =A ．12 B ．1 C ．32D ．23．（2015陕西）已知抛物线22y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)4．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，5．（2014新课标1）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = A ．72 B ．52C ．3D ．2 6．（2014新课标2）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为A B C ．6332 D ．947．（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 A ．12 B ．23 C ．34 D ．438．（2013新课标1）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为A ．2B ．C ．D ．49．（2013江西）已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|F M|：|MN |=A ．B ．1:2C ．1:D ．1:310．（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为 A ．2B ．22C ．4D ．811．（2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y = 12．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48 二、填空题13．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．14．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =15．（2014湖南）如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则．16．（2013北京）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 17．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．18．（2010浙江）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题19．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 21．（2017新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．22．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．23．（2016年全国I 卷）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ． （I ）求||||OH ON ； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．24．（2016年全国III 卷）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．25．（2016年浙江）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -． （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．26．（2015浙江）如图，已知抛物线1C ：214y x =，圆2C ：22(1)1x y +-=，过点(,0)(>0)P t t 作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，,A B 为切点．（Ⅰ）求点,A B 的坐标； （Ⅱ）求PAB ∆的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．27．（2015福建）已知点F 为抛物线:E 22y px =（0p >）的焦点，点()2,m A 在抛物线E 上，且3ΑF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点()1,0G -，延长ΑF 交抛物线E 于点Β，证明：以点F 为圆心且与直线G Α相切的圆，必与直线G Β相切．28．（2014山东）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。
解析几何第二十七讲 抛物线答案
专题九解析几何第二十七讲抛物线答案部分2019 年2p pp 1.解析：由题意可得：32 ，解得p 8 ．故选D．p ，即p=2.2.（I）由题意得 12所以，抛物线的准线方程为x=−1.（Ⅱ）设A x , y , B x , y ,C x , y ，重心,G x y .令y 2t,t 0，则x t2 . AA B B c c G G A A由于直线AB过F，故直线AB方程为t2 1x y 1，代入y 2 4x ，得2t2 2 1t2y y 4 0 ，t故2 4 y ，所以ty ，即 2B Bt1 2B ,t t2.又由于x 1 x x x y 1 y y y 及重心G在x轴上，故2 2 0G A B c G A B c c3 3t2 4 21 1 2t 2t 2得.C ttG,2,,0t t 3t2所以，直线AC方程为yt t x t ，得2 2 Q t2 1,0 .2t 2 2 .从而由于Q在焦点F的右侧，故.2t 2t 24 21 | | 1 |2 |tFG y t2 4 2 2S 3 2t t t 2 A2 211 | | | 1 2t 2t2 | | 2 2 | 1 14 44 2S QG y t t t t22c2 3t t2令m t2 2 ，则m>0，1Sm1 131….222 1Sm4m 3 m 42 m34 2223mmS 当 m 3 时，1S23 取得最小值1，此时G （2，0）.2D t A x y, , , 13.解析（1）设，则112x 1 2y 1 .2由于 y' x ，所以切线DA 的斜率为1 2 y x ，故 11x t1x 1 ，整理得 2 tx 1 2 y 1+1=0. 设B x 2 , y 2 ，同理可得2tx 2 y +1=0 .22故直线AB 的方程为 2tx 2y1 0.1 所以直线AB 过定点(0, )2.（2）由（1）得直线AB 的方程为1y tx .2y txx2y 212 由，可得 x 2 2tx1 0 .于是xx t y y t xxt .21 2 2 , 1 2 1 2 1 2 1M t t 2 1设M为线段AB的中点，则,2.由于EM AB ，而EM t t ，AB 与向量(1, t) 平行，所以, 22t t2 2t 0 .解得t=0或t 1.当t =0时，| EM |=2，所求圆的方程为2x y22 54；当t 1时，| EM | 2 ，所求圆的方程为2x 2 y 522. 22010-2018 年1．C 【解析】由题意可知，如图 MFx 60o ，又抛物线的定义得 MF MN ，所以 MNF为等边三角形，在三角形 NFH 中，FH 2 ，FHcos60o，得 NF 4 ，所以 M 到NFNF 的距离为等边三角形 MNF 中 NF 边上的高，易知为 3 2 3NF．选 C ．2 y MNxH O F2．D 【解析】易知抛物线的焦点为 F (1, 0) ，设 P (x , y ) ，由 PF x 轴得 x1，代入PPP抛物线方程得2的 k 2，故选 D ．y (2 舍去)，把 P (1, 2) 代入曲线 y k (k 0)Pxp3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为 x1，∴ p 2 ，∴焦点坐标为(1, 0) ．24．D 【解析】当直线 l 的斜率不存在时，这样的直线 l 恰好有 2 条，即 x 5 r ，所以0 r 5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有 2 条即可．设A (x , y ) ，11B (x , y )，22x x 2xM (x , y )，则12y y2yy 4x 2 2y 4x，1 2 0 1 1．又y 4x22 2．y y 4 2 (y y )(y y ) 4(x x )，k 1 2两式相减得1 2 1 2 1 2ABx x y y y1 2 1 2 0y，因为直线l 与圆相切，设圆心为C(5, 0) ，则k 0CMx0 532y所以1，解得y x 5x 0 = 3，于是 y 0 2 r24 ， r > 2，又 y 2 x ，0 4 0即 r 2 4 12，所以 0 < r < 4，又0 < r <5， r > 2所以 2 r 4 ，选 D ．5．C 【解析】过点Q 作QQ l 交l 于点Q ，因为 PF 4FQ ，所以| PQ |:| PF | 3: 4 ，又焦点 F 到准线l 的距离为 4，所以| QF || QQ | 3．故选 C ．6．D 【解析】易知抛物线中p ，焦点 (3 ,0)33F，直线 AB 的斜率 k，故直线 AB 的24 3方程为y 3 x 3 ，代入抛物线方程 y 2 3x ，整理得 2 21 9 0 ( ) x x ．y3 x 3 ，代入抛物线方程 y 2 3x ，整理得 221 9 03 4 2 1621设A (x , y ),B (x , y ) ，则 xx，由物线的定义可得弦长1122122| AB | xx p 12 ，结合图象可得O 到直线 AB 的距离sin 303 pdo， 1 228所以 OAB 的面积1 | | 9S ABd ．2 4p7．D 【解析】∵ A (2,3)在抛物线 y 22px 的准线上，∴2．∴ p 4 ，∴ y 2 8x ，2设直线 AB 的方程为 x k (y 3) 2 ①，将①与 y 2 8x 联立， 得 y 2 8ky 24k 16 0②，则△=(8k )2 4(24k 16) 0 ， 即 2k 2 3k 2 0 ，解得 k 2 或1k （舍去），2将 k 2 代入①②解得 x 8, y 8 ，即 B (8, 8) ，又 F (2,0)，∴4k ，故选 D ．BF38．C 【解析】∵OF 2 ，由抛物线的定义可得 P 点的坐标3 2, 2 6，∴ POF 的面积为 112 2 6 23 OFy．P2 2x 代入x2=4y 得 3 59．C【解析】依题意可得AF 所在直线方程为y 1 y ，2 2又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1: ．10．C【解析】设: ( 0)C x2 y2 a2 a 交y2 16x 的准线l : x 4于A(4,2 3) B(4,2 3)4得： a 2 (4)2 (2 3) 2 4a 22 a 411．D 【解析】∵双曲线C ： 122cxy的离心率为 2,所以2 3 . a b b a221( 0, 0)a ba又渐近线方程为bx ay 0, 所以双曲线C 的渐近线方程为 3x y 0.1p而抛物C 2 : x 2 2py (p 0) 的焦点坐标为 (0, ),2所以有p | | 228 p .( 3) 122故选 D ．12．C 【解析】设抛物线的方程为y 2 2px ，易知| AB | 2p 12 ，即 p 6，∵点 P 在准线上，∴ P 到 AB 的距离为 p 6，所以 ABP 面积为 36，故选 C ． 13． (1, 0) 【解析】由题意知 a 0 ，对于 y 2 4ax ，当 x 1时，y 2 a ，由于l 被抛物线 y 2 4ax 截得的线段长为 4，所以 4 a 4，所以 a 1，所以抛物线的焦点坐标 为 (1.0) ．pp14． 2 2 【解析】 y 2 2px 的准线方程为x，又 p >0，所以 x必经过双曲22p线 x2y21的左焦点 ( 2,0)，所以2 ， p 2 2 ．215．1 2 【解析】由正方形的定义可知 BC= CD ，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的p p焦点，所以| AD | p a ，D ( ,0) F ( b ,b ) ，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得2 2b pba ab ，变形得(b )2 2b 1 0 p22 ()22，2 aab或 b 1 2 （舍去），所以 b 12 解得12．aaa p p 16．2，x 1【解析】 1, p 2；准线 x1． 2217．2 6 【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），设抛物线的方程为x2 2py ，l 与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（–2，–2），B（2，–2）则有2 a 2 ，∴a21251∴抛物线的解析式为y x22水位下降1 米，则y=–3，此时有x 6 或x 6∴此时水面宽为2 6 米．18．3 242【解析】由题意可得p 的值为 2 ，B 点坐标为（，1）所以点B 到抛物线准4线的距离为342 ．19．【解析】(1)由题意得F(1, 0) ，l 的方程为y k(x 1)(k 0) ．设A(x , y ), B(x , y ) ，1 12 2由y k x( 1),得k2 x2 (2k 2 4)x k 2 0 ．y 4x216k 16 0 ，故22k 42x x ．1 22k4k 42所以| AB || AF | | BF |(x 1) (x1) ．1 22k由题设知4k 42k28，解得k 1（舍去），k 1．因此l 的方程为y x 1．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3, 2) ，所以AB 的垂直平分线方程为y 2 (x 3) ，即y x 5 ．设所求圆的圆心坐标为(x , y ) ，则0 0y x5,0 0 x 3,x 11,或2解得(yx 1)(x 1) 216.y22y 6.因此所求圆的方程为 (x 3) 2 (y 2) 2 16或 (x 11) 2 (y 6) 2144 ．P (x , y )，20．【解析】(1)设y2 A ( 1, y ) ， 14y2 B ( 2, y ) ．246因为 PA ， PB 的中点在抛物线上，所以 y ， 1y 为方程21yyyx24(1)4 y 1 2y 0 y 1 8x 0 y0 0 的两个不同的实数根．2即2222所以 y 1 y 2 2y 0 ． 因此， PM 垂直于 y 轴．(2)由(1)可知2 y yy12y y 8x y21 213所以PM y 2 y 2x y 2 x ，| y y | 2 2(y 2 4x ) ．| | ( ) 3121284因此， PAB 的面积13 23S| PM || y y | (y 24x )2 ．PAB1224因为y2x 214(x 0) ，所以 y 2x x 2x ． 04 0 4 0 4 0 4 [4, 5]因此， PAB 面积的取值范围是[6 2,15 10 ]．421．【解析】（1）设A (x , y ) ， 11B (x , y )，则 22x x ，12x2 y1 ， 14 x2 y2，x 1+x 2=4，24y yx x 于是直线 AB 的斜率k12121．x x412（2）由x2y ，得 4x y' ．2设x ，解得 M (x , y ) ，由题设知 3 1 33x ，于是 M (2,1)． 3 22设直线AB 的方程为y x m ，故线段AB 的中点为N(2, 2 m) ，| MN || m 1|．将y x m 代入x2y 得x2 4x 4m 0 ．4当16(m 1) 0 ，即m 1时，x m ．1,2 2 2 1 从而|AB|= 2 | x x |4 2(m 1) ．1 2由题设知| AB | 2 | MN | ，即4 2(m 1) 2(m 1) ，解得m 7 ．所以直线AB 的方程为y x 7 ．22．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，721x 14kx 1 2x 2，13 因为x，所以直线 AP 斜率的取值范围是 (1, 1) 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
21专题九 解析几何第二十七讲 抛物线2019 年x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆+ y =1的一个焦点，则 3 p pp = A ．2 B ．3 C ．4D ．82.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S（2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标.S 23.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切2线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点：5（2）若以 E (0， 2)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.1.解析（1）设 D ⎛ t , - 1 ⎫,A (x , y )，则 x 2 = 2 y .2 ⎪ 1 1 1 1 ⎝ ⎭22 5 y2 1由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1+ 1 2= x，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.设B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1所以直线AB 过定点(0, ) .2x 1 - t（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1.2⎧y = tx + 1⎪⎪ 由⎨ 2 ⎪ y = x⎪⎩ 2 2 ，可得 x 2- 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2+1 .121212设M 为线段AB 的中点，则M ⎛ t , t 2 + 1 ⎫. 2 ⎪ ⎝ ⎭由于 EM ⊥ AB ，而 EM = (t , t 2- 2)， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (t 2- 2)t = 0 .解得 t =0或t = ±1.当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭⎛= 4 ；5 ⎫2当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ⎪ ⎝ ⎭= 2 .2010-2018 年一、选择题1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2= 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为A ．B ． 2C ． 2D ． 3 3 2 3 323 3 9 3 2 2．（2016 年全国 II 卷）设 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，曲线 y = k（k >0）与 C 交于点 P ，xPF ⊥x 轴，则 k =A ． 12B ．1C ． 32D ．23．（2015 陕西）已知抛物线 y 2= 2 px ( p > 0 )的准线经过点(-1,1) ，则该抛物线的焦点坐标为 A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)4．（2015 四川）设直线l 与抛物线 y 2= 4x 相交于 A , B 两点，与圆(x - 5)2+ y 2= r 2(r > 0)相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线l 恰有 4 条，则r 的取值范围是 A ． (1，3) B ． (1，4) C ． (2，3) D ． (2，4)5．（2014 新课标 1）已知抛物线C ： y 2= 8x 的焦点为 F ，准线为l ， P 是l 上一点， Q 是直线 PF 与C 的一个焦点，若 FP = 4FQ ，则| QF | =A ． 72B ． 52C ．3D ．26．（2014 新课标 2）设 F 为抛物线 C ：y 2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交C 于A ,B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为A ． 4B ． 8C ．63 32D ．9 47．（2014 辽宁）已知点 A (-2, 3) 在抛物线 C ： y 2= 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为 A ． 12B ． 23 C ． 34 D ． 438．（2013 新课标 1） O 为坐标原点， F 为抛物线C : y 2= 4 2x 的焦点， P 为C 上一点，若| PF |= 4 ，则∆POF 的面积为A ． 2B ． 2C ． 2D ． 49．（2013 江西）已知点 A (2, 0) ，抛物线C : x 2 = 4 y 的焦点为 F ，射线 F A 与抛物线 C 相交于点 M ，与其准线相交于点 N ，则|F M|：|MN |=2322A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:310．（2012 新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 = 16 x 的准线交于 A 、 B 两点， | AB |= 4 ，则C 的实轴长为A ．B ． 2C ．4D ．8x2-y2=>>11 ．（ 2012 ft 东） 已知双曲线 C 1 ： a 2b 21(a 0,b 0) 的离心率为 2 ． 若抛物线 C : x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则抛物线C 的方程为21 2A ． x 2 = 8 3 y 3B ． x 2 = 16 3yC ． x 2 = 8 yD ．x 2 = 16 y 312．（2011 新课标）已知直线l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ，B 两点， | AB |= 12 ， P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48二、填空题13．(2018 北京)已知直线l 过点(1, 0) 且垂直于 x 轴，若l 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．14．（2015 陕西）若抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2- y 2= 1的一个焦点，则p =15．（2014 湖南）如图，正方形 ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a , b (a < b ) ，原点O为 AD 的中点，抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 经过C , F 两点，则b=．a16．（2013 北京）若抛物线 y 2= 2 px 的焦点坐标为(1, 0) ，则 p =，准线方程为 ．17．（2012 陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽米．55 3x18．（2010 浙江）设抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，点 A (0, 2) ．若线段 FA 的中点 B在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为．三、解答题19．（2018 全国卷Ⅱ）设抛物线C ：y 2= 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 与C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．(1)求l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．（2018 浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线C ： y 2= 4x 上存在不同的两点 A ， B 满足 PA ， PB 的中点均在C 上．(1)设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；2y 2 (2)若 P 是半椭圆 x += 1( x < 0 )上的动点，求∆PAB 面积的取值范围．4221．（2017 新课标Ⅰ）设 A ， B 为曲线C ： y = 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4． 4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥ BM ，求直线AB 的方程．22．（2017 浙江）如图，已知抛物线 x 2= y ．点 A (- 1 , 1) 2 4 3 9 ， B ( , ) 2 4，抛物线上的点yAPMxOB1 2P (x , y ) (- 1 < x < 3) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q ．2 2x（Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求| PA | ⋅ | PQ | 的最大值．23．（2016 年全国 I 卷）在直角坐标系 xOy 中，直线l ： y = t (t ≠ 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线C ：y 2= 2 px ( p > 0) 于点 P ，M 关于点 P 的对称点为 N ，连结ON 并延长交C 于点 H ．| OH | （I ）求；| ON |（II ）除 H 以外，直线 MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．24．（2016 年全国 III 卷）已知抛物线C ：y 2= 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线l , l分别交C 于 A ，B 两点，交C 的准线于 P ，Q 两点．（I ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR P FQ ； （II ）若∆PQF 的面积是∆ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．25．（2016 年浙江）如图，设抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于| AF | -1 ． （I ）求 p 的值；（II ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ，AN 与 x 轴交于点 M .求 M 的横坐标的取值范围．26．（2015 浙江）如图，已知抛物线C ：y = 1x 2，圆C ：x 2+ ( y -1)2= 1，过点 P (t ,0) (t >0)142作不过原点O 的直线 PA ， PB 分别与抛物线C 1 和圆C 2 相切， A , B 为切点．（Ⅰ）求点 A , B 的坐标；（Ⅱ）求∆PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．27．（2015 福建）已知点 F 为抛物线E : y 2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点，点 A (2, m ) 在抛物线E 上，且 ΑF = 3 ．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点G (-1, 0)，延长 ΑF 交抛物线E 于点 Β ，证明：以点 F 为圆心且与直线GΑ 相切的圆，必与直线GΒ 相切．28．（2014 ft 东）已知抛物线C : y 2 = 2 px ( p ＞0）的焦点为 F ， A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA =当点A 的横坐标为3 时，∆ADF 为正三角形。