近世代数 第9讲
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近世代数第9讲
近世代数第9讲置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。
换句话说，置换群就是有限集上的变换群。
由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。
这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。
2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。
就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。
所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都不得找出来。
因为问题太复杂了。
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。
对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。
可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一． 置换群的基本概念定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。
有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。
含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。
通常记为n S .明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。
现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。
近世代数全套教学课件
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。
不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1,a2,,an 的
集合的有限集合表示成：a1,a2,,an . 前五个
正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
A1, A2 ,, An 的交. A1, A2 ,, An 的并和交分别记为：
A1 A2 An 和A1 A2 An . 我们有
(x A1 A2
A) (x至少属于某一Ai ,i 1, 2, , n)
(x A1 A2
A) (x属于每一Ai ,i 1, 2, , n)
差运算：
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数基础课件
37
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
第六章 群论补充
39
第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
53
四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
54
1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
第六章 群论补充
39
第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
53
四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
54
1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
近世代数教学课件
并运算 设 A， B是两个集合 . 由 A的一切元素和 B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B. 如图1所示.
A
A B
( x A B) ( x A或x B) ( x A B) ( x A且x B)
B
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作： A B ，如图2所示.
A A
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : ( A B) C A ( B C ) ; ( A B) C A ( B C) 分配律 : A B C A B A C
A B C A B A C
A是B的子集，记作：
( A B) (x : x A x B)
如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的， 就说A与B 相等，记作：A=B. 即
( A B) (x : x A x B)
以集合A的所有子集为ຫໍສະໝຸດ 素的集合，称为A的幂集， 记为P(A).
如果集合A包含无限多个元素，则记为 A =；如 果A包含ｎ个元素，则记为 A =ｎ，此时 P(A) 2n
近世代数
第一章 基本概念
§1 §2 §3 集 合 映射与变换 代数运算
§4 §5 §6
运算率 同态与同构 等价关系与集合的分类
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的 元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A 的元素，就说a不属于A，记作 a A ； 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A， 而 3 . A
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
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等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
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除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数ppt
8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数课件(全)--近世代数1-0 基本概念
2012-9-19
6. 数字通信的可靠性问题 现代通信中用数字代表信息，用电子设 备进行发送、传递和接收，并用计算机加以 处理。由于信息量大，在通信过程中难免会 出现错误。为了减少错误，除了改进设备 外，还可以从信息的表示方法上想办法。用 数字表示信息的方法称为编码。编码学就是 一 门 研 究 高 效 编 码 方 法 的 学 科 。 下面用两个简单的例子来说明检错码与 纠错码的概念。
2012-9-19
8. 代数方程根式求解问题 我们知道，任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是 否任何次代数方程的根均可用根式表示？许 多努力都失败了，但这些努力促使了近世代 数的产生，并最终解决了这个问题：五次以 上代数方程没有根式解。
2012-9-19
2 3
1 8
4 5
7 6
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2012-9-19
2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题，由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团， 问可能形成多少种不同的化合物？ 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的，则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2012-9-19
两种颜色 （红、绿） n=2
6面红 5面红、1面绿 4面红、2面绿 3面红、3面绿 2面红、4面绿 1面红、5面绿 6面绿
1 1 2 2 2 1 1
利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。 对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。
6. 数字通信的可靠性问题 现代通信中用数字代表信息，用电子设 备进行发送、传递和接收，并用计算机加以 处理。由于信息量大，在通信过程中难免会 出现错误。为了减少错误，除了改进设备 外，还可以从信息的表示方法上想办法。用 数字表示信息的方法称为编码。编码学就是 一 门 研 究 高 效 编 码 方 法 的 学 科 。 下面用两个简单的例子来说明检错码与 纠错码的概念。
2012-9-19
8. 代数方程根式求解问题 我们知道，任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是 否任何次代数方程的根均可用根式表示？许 多努力都失败了，但这些努力促使了近世代 数的产生，并最终解决了这个问题：五次以 上代数方程没有根式解。
2012-9-19
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例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2012-9-19
2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题，由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团， 问可能形成多少种不同的化合物？ 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的，则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2012-9-19
两种颜色 （红、绿） n=2
6面红 5面红、1面绿 4面红、2面绿 3面红、3面绿 2面红、4面绿 1面红、5面绿 6面绿
1 1 2 2 2 1 1
利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。 对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。
第9讲第2章第6节置换群
不是循环置换，但
1 2 3 4 5 3 4 5 2 1
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 5 4 1 1 4 3 2 5
(135)(24)
例：将S4中的置换写成循环置换乘积的形式。 1-循环 (1) 2-循环 (12),(13),(14),(23),(24),(34) 3-循环 (123), (124 ), (132 ), (134 ), (142 ), (143)
2 3 1
4
1 2 3
3 1 2
5
1 2 3
3 2 1
三次对称群中所有置换都是循环置换
S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
注：并不是每个置换都是循环置换。
1 2 3 4 5
3 4 5 2 1
2 3 1
5
1 2 3
3 2 1
三次对称群为： S3 0 ,1,2,3,4,5
完全类似地可有：
S1
1
1
;
1 2 1 2
S2
1
2
,
2
1
S5 , S6, L L
关于置换的运算
1.置换的乘积：
1
p1
2L p2 L
n pn
,
p1 k1
p2 k2
L L
pn
kn
1
k1
2L k2 L
n
kn
2.单位（恒等）置换：
1
1
2 2
L L
n n
3.置换的逆：
1 2 L
p1
p2 L
n pn
1
p1 1
p2 L 2L
pn
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
近世代数精品课程25页PPT
近世代数精品课程
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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近世代数(抽象代数)课件
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
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CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
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结论1. —循环置换 的阶就是
解释： —循环置换 的一次方则将 变成 ，二次方则将 变成 ， 次方则将 变回到 ，其余文字也是如此。所以，当 时， 而 . ∴ .
问题2.每个置换 都是双射，那么 的逆置换也必是双射 必也是置换，那么 会是什么样子呢？
设
若将 表成循环置
说明：循环置换 的逆置换 就是将每个文字的变动方向反向.
第九讲
§6置换群(pormutation group)
本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：
1、弄清置换与双射的等同关系。
2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
有限集合 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有 个元素的有限群 的全体置换作成的群，叫做 次对称群。通常记为 .
明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而 次对称群 也就是有限集合 的完全变换群。
现以 为例，设 ： 是 的一一变换。即 : , , ,利用本教材中特定的表示方法有： ， ， .
3)求 , 和 的组织置换表达式,并求出 和 , .
4)求 , , .
5)将 , , 和 写成对换之积,并判断其奇偶性.
解:1)
2)
3)
4)
5)
∴ 是奇置换； 是奇置换； 是奇置换； 是偶置换.
例4.
结论4是“因地制宜”——用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中,于是有了
结论5.设 .且
五.置换的奇偶性.
虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对换之积的表示形式不是唯一的.
(比如 )
但对换个数的奇偶性是不会改变的。
结论6.任意一个置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.
③. 的单位(恒等置换) 同上,习惯写成 .
定义2. 中的一个将 变到 ， 变到 变回到 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做 —循环置换（或称 —循环）,记为( )
例3．在 中.
叫作3—循环置换.
叫作5—循环置换.
叫作1—循环置换.
由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证 .故此. : , , .稍做修改: ： = .用 = 来描述 的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为 ， …,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.
定义5.一个置换 叫做偶(奇）置换 可以表成偶(奇)数个对换之积.
利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性.
结论7.一个 —循环置换 是偶(奇)置换 为奇(偶)数.
考察下面的例子: .而 中全部偶置换共有12个:
那么 就是 中的一切偶置换组成的集合,对于置换的乘法,能发现:
中乘法封闭
中乘法满足结合律
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一．置换群的基本概念
定义1.任一集合 到自身的映射都叫做 的一个变换，如果 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为 的一个置换。
【证明】.设 是 中任一个 元置换，下面对 中改变文字的个数用数学归纳法。
如果 使 中每个文字都不发生改变，则 是恒等置换.即 ，定理2成立.
假设 最多变动 个文字时，定理成立。现考察 变动了 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 ，从 出发找到 在 下的象 ,再找 的象 ,…,直到找到 ，其中： .于是
因为 只变动了 个文字，故 .如果 ，则 本身就是一个 —循环置换: 定理证毕。如果 ，模仿 的做法。
由于 中只变动了 个文字， 中只能变动 个文字.由归纳假设， 必可以写成若干个不相连的循环置换之积:
还需特别说明: 中的所有循环置换 中不可能再出现 ,否则,
当
因为 是互不相连, 只在 中出现.
将 ，但前面已有
中有单位元
中每个置换有逆元, 逆元也在 中(由结论2)所以 是一个群,这个特殊的置换群习惯是上称为4次交换群.
定义6. 次对称群 中全部偶置换组成的集合 构成一个群.叫做 次交错群.其中: .
利用Cayley定理:每个有限群 都与某个置换群同构.
课堂训练:给出下列6元置换.
1)求 , , ;
2)求 ,
.其中
, ,
, ,
所以 .其中 是恒等变换.即 是 的单位元.
定理1. 次对称群 的阶是 .
由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.
譬如,不可交换性:
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换)
前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.设有8元置换 , 的变换过程为 ,即其他元素都不改变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形式:
即 将使 保持不动，这样就导出了矛盾.这恰说明：
是互不相连的循环置换之积.
明示：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.
四．循环置换的性质
问题1. 是一个3阶群
,则 ,
.
这里 是3-循环置换，恰好 的阶是3.这不是巧合,我们有：
结论2: —循环置换 的逆置换也是循环置换且
问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的,所以,两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.
设
结论3.两个不相连的 —循环置换是可以交换的。
结论4.任一个 —循环置换
定义4.每个 —循环置换都叫做一个对换.
利用结论4,我们有:
定理3.每个 元置换都能表示成若干个对换的乘积。
（2）循环置换分解
很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置换 不可能是循环置换，但我们会发现
可见， 虽不是循环置换，但它是循环置换之积。
定义3.设 和 都是循环置换.
如果 与 不含相同的文字，那么称 与 是不相连的.
定理2.每一个 元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.（循环置换分解定理）
3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换 ”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.
这是因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
二.置换的乘积.
设 的任二个置换
, ,那么由于 和 都是一一变换,于是 也是 的一一变换.且有 : , , .
用本教材的记法为: , , .
换句话说:
例1.计算下列置换的乘积:
(1) , (2) , (3) .
解:
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.
例2.设 ,那么 的全部一一变换构成的三次对称群为
解释： —循环置换 的一次方则将 变成 ，二次方则将 变成 ， 次方则将 变回到 ，其余文字也是如此。所以，当 时， 而 . ∴ .
问题2.每个置换 都是双射，那么 的逆置换也必是双射 必也是置换，那么 会是什么样子呢？
设
若将 表成循环置
说明：循环置换 的逆置换 就是将每个文字的变动方向反向.
第九讲
§6置换群(pormutation group)
本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：
1、弄清置换与双射的等同关系。
2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
有限集合 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有 个元素的有限群 的全体置换作成的群，叫做 次对称群。通常记为 .
明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而 次对称群 也就是有限集合 的完全变换群。
现以 为例，设 ： 是 的一一变换。即 : , , ,利用本教材中特定的表示方法有： ， ， .
3)求 , 和 的组织置换表达式,并求出 和 , .
4)求 , , .
5)将 , , 和 写成对换之积,并判断其奇偶性.
解:1)
2)
3)
4)
5)
∴ 是奇置换； 是奇置换； 是奇置换； 是偶置换.
例4.
结论4是“因地制宜”——用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中,于是有了
结论5.设 .且
五.置换的奇偶性.
虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对换之积的表示形式不是唯一的.
(比如 )
但对换个数的奇偶性是不会改变的。
结论6.任意一个置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.
③. 的单位(恒等置换) 同上,习惯写成 .
定义2. 中的一个将 变到 ， 变到 变回到 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做 —循环置换（或称 —循环）,记为( )
例3．在 中.
叫作3—循环置换.
叫作5—循环置换.
叫作1—循环置换.
由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证 .故此. : , , .稍做修改: ： = .用 = 来描述 的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为 ， …,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.
定义5.一个置换 叫做偶(奇）置换 可以表成偶(奇)数个对换之积.
利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性.
结论7.一个 —循环置换 是偶(奇)置换 为奇(偶)数.
考察下面的例子: .而 中全部偶置换共有12个:
那么 就是 中的一切偶置换组成的集合,对于置换的乘法,能发现:
中乘法封闭
中乘法满足结合律
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一．置换群的基本概念
定义1.任一集合 到自身的映射都叫做 的一个变换，如果 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为 的一个置换。
【证明】.设 是 中任一个 元置换，下面对 中改变文字的个数用数学归纳法。
如果 使 中每个文字都不发生改变，则 是恒等置换.即 ，定理2成立.
假设 最多变动 个文字时，定理成立。现考察 变动了 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 ，从 出发找到 在 下的象 ,再找 的象 ,…,直到找到 ，其中： .于是
因为 只变动了 个文字，故 .如果 ，则 本身就是一个 —循环置换: 定理证毕。如果 ，模仿 的做法。
由于 中只变动了 个文字， 中只能变动 个文字.由归纳假设， 必可以写成若干个不相连的循环置换之积:
还需特别说明: 中的所有循环置换 中不可能再出现 ,否则,
当
因为 是互不相连, 只在 中出现.
将 ，但前面已有
中有单位元
中每个置换有逆元, 逆元也在 中(由结论2)所以 是一个群,这个特殊的置换群习惯是上称为4次交换群.
定义6. 次对称群 中全部偶置换组成的集合 构成一个群.叫做 次交错群.其中: .
利用Cayley定理:每个有限群 都与某个置换群同构.
课堂训练:给出下列6元置换.
1)求 , , ;
2)求 ,
.其中
, ,
, ,
所以 .其中 是恒等变换.即 是 的单位元.
定理1. 次对称群 的阶是 .
由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.
譬如,不可交换性:
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换)
前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.设有8元置换 , 的变换过程为 ,即其他元素都不改变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形式:
即 将使 保持不动，这样就导出了矛盾.这恰说明：
是互不相连的循环置换之积.
明示：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.
四．循环置换的性质
问题1. 是一个3阶群
,则 ,
.
这里 是3-循环置换，恰好 的阶是3.这不是巧合,我们有：
结论2: —循环置换 的逆置换也是循环置换且
问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的,所以,两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.
设
结论3.两个不相连的 —循环置换是可以交换的。
结论4.任一个 —循环置换
定义4.每个 —循环置换都叫做一个对换.
利用结论4,我们有:
定理3.每个 元置换都能表示成若干个对换的乘积。
（2）循环置换分解
很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置换 不可能是循环置换，但我们会发现
可见， 虽不是循环置换，但它是循环置换之积。
定义3.设 和 都是循环置换.
如果 与 不含相同的文字，那么称 与 是不相连的.
定理2.每一个 元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.（循环置换分解定理）
3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换 ”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.
这是因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
二.置换的乘积.
设 的任二个置换
, ,那么由于 和 都是一一变换,于是 也是 的一一变换.且有 : , , .
用本教材的记法为: , , .
换句话说:
例1.计算下列置换的乘积:
(1) , (2) , (3) .
解:
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.
例2.设 ,那么 的全部一一变换构成的三次对称群为