2020年九年级数学上期末一模试题(及答案)

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2020-2021学年上海市浦东新区九年级(上)期末数学试卷(一模)-解析版

2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.A、B两地的实际距离AB=250米，如果画在地图上的距离A′B′=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为()A. 1：500B. 1：5000C. 500：1D. 5000：12.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，AC=2，那么AB的长等于()A. 2sinαB. 2sinα C. 2cosαD. 2cosα3.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是()A. y=(k−1)x2+3B. y=1x2+1C. y=(x+1)(x−2)−x2D. y=2x2−7x4.已知一个单位向量e⃗，设a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式中正确的是()A. |e⃗|a⃗=a⃗B. |b⃗ |e⃗=b⃗C. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗5.如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DE//BC，EF//CD，下列结论不成立的是()A. AE2=AF⋅ADB. AC2=AD⋅ABC. AF2=AE⋅ACD. AD2=AF⋅AB6.已知点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)，那么抛物线y=ax2+bx+1可以经过的点是()A. 点A、B、CB. 点A、BC. 点A、CD. 点B、C二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果线段a、b满足ab =52，那么a−bb的值等于______ ．8.已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是______ ．9.计算：2sin30°−tan45°=______ ．10.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是______ 度.12. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的分解式为______ ．13. 如果抛物线y =(m +4)x 2+m 经过原点，那么该抛物线的开口方向______ .(填“向上”或“向下”)14. 如果(2,y 1)(3,y 2)是抛物线y =(x +1)2上两点，那么y 1 ______ y 2.(填“>”或“<”)15. 如图，矩形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE =2DG ，那么DG = ______ 厘米．16. 秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，AD ⊥AB ，AD =0.4，过点D 作DE//AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF ⊥CE 交DE 于点F ，那么BF = ______ ．17. 如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C 1：y =(x −1)2−1向右平移得到新抛物线C 2，如果“平衡点”为(3,3)，那么新抛物线C 2的表达式为______ ．18. 如图，△ABC 中，AB =10，BC =12，AC =8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD =2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 已知向量关系式12(a ⃗ −x ⃗ )=b ⃗ +3x ⃗ ，试用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示向量x⃗ ．20.已知抛物线y=x2+2x+m−3的顶点在第二象限，求m的取值范围．21.如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．(1)求DE的值；DF(2)当AD=5，CF=19时，求BE的长．22.如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A.已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC(精确到1毫米).(参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50)23.Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB．(1)求证：CA2=CE⋅CB；(2)联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．24.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(2,4)、B(5,0)和O(0,0)．(1)求二次函数的解析式；(2)联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；(3)在(2)的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP相似时，求点M的坐标．25.四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．(1)如图1，当∠B=90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；(2)如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；(3)如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取米作为共同的长度单位，那么AB=250米，A′B′=5厘米=0.05米，所以A′B′AB =0.05250=15000，所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．故选：B．地图上的距离与实际距离的比就是在地图上的距离A′B′与实际距离250米的比值．本题考查了比例尺．注意求距离的比时，首先要把单位统一．2.【答案】A【解析】解：∵sinB=sinα=ACAB，AC=2，∴AB=ACsinα=2sinα，故选：A．根据锐角三角函数的意义即可得出答案．本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的前提．3.【答案】D【解析】解：A、当k=1时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、化简后y=−x−2，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．利用二次函数定义进行分析即可．此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．4.【答案】A【解析】解：A、|e⃗|a⃗=a⃗计算正确，故本选项符合题意．B、|b⃗ |e⃗与b⃗ 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．C、1|a⃗ |a⃗与e⃗的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、1|a⃗ |a⃗与1|b⃗|b⃗ 的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：A．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，EF//CD，∴∠AEF=∠ACD，∠ADE=∠B，又∵∠ACD=∠B，∴∠AEF=∠ADE，∴△AEF∽△ADE，∴AEAD =AFAE，∴AE2=AF⋅AD，故选项A不合题意；∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴ACAD =ABAC，∴AC2=AB⋅AD，故选项B不合题意；∵DE//BC，EF//CD，∴AEAC =AFAD，AEAC=ADAB，∴AFAD =ADAB，∴AD2=AB⋅AF，故选项D不合题意；由题意无法证明AF2=AE⋅AC，故选项C符合题意，故选：C．由相似三角形的判定和性质依次判断可求解．本题考查了相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线y =ax 2+bx +1只能经过A ，C 两点或A 、B 两点，把A(1,2)，C(2,1)，代入y =ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1．解得，{a =−1b =2；把A(1,2)，B(2,3)，代入y =ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=3．解得，{a =0b =1(不合题意)； ∴抛物线y =ax 2+bx +1可以经过的A ，C 两点，故选：C ．根据图象上点的坐标特征进行判断．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．7.【答案】32【解析】解：∵ab =52， ∴可设a =5k ，则b =2k ， ∴a−b b=5k−2k 2k =32．故答案为：32．由ab =52，可设a =5k ，则b =2k ，代入a−b b，计算即可．本题考查了比例线段，利用设k 法是解题的关键．8.【答案】2√5−2【解析】解：∵线段MN 的长为4，点P 是线段MN 的黄金分割点，MP >NP ， ∴MP =√5−12MN =√5−12×4=2√5−2，故答案为：2√5−2．根据黄金分割的概念得到MP =√5−12MN ，把MN =4代入计算即可．本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√5−12倍．【解析】解：原式=2×12−1=0．根据特殊角的三角函数值计算．本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=12，cos30°=√32，tan30°=√33，cot30°=√3；sin45°=√22，cos45°=√22，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=√32，cos60°=12，tan60°=√3，cot60°=√33． 10.【答案】36【解析】解：如图所示： ∵甲处看乙处为俯角36°，∴乙处看甲处为：仰角为36°，故答案为：36．根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．此题主要考查了仰角与俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．11.【答案】2【解析】解：连接DE ， ∵AD 、BE 是△ABC 的中线， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =12AB ，DE//AB ， ∴△AFB∽△DFE ，∵AD =3， ∴AF =2，故答案为：2．连接DE ，根据三角形中位线定理得到DE =12AB ，DE//AB ，证明△AFB∽△DFE ，根据相似三角形的性质解答即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、三角形的中线的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．12.【答案】b ⃗ −a ⃗【解析】解：如图所示，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ．故答案是：b ⃗ −a ⃗ ．由三角形法则可求得向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的分解式．此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．13.【答案】向上【解析】解：∵抛物线y =(m +4)x 2+m 经过原点， ∴m =0， ∴a =4>0，∴该抛物线的开口方向向上．故答案为：向上．根据抛物线y =(m +4)x 2+m 经过原点，可得m =0，进而可得结论．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．14.【答案】<【解析】解：∵y =(x +1)2， ∴a =1>0， ∴抛物线开口向上，故答案为<．根据二次函数的性质得到抛物线y=(x+1)2的开口向上，对称轴为直线x=−1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15.【答案】15【解析】解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG//BC，AH⊥BC，DG=EF，∴AP⊥DG．设DG=EF=x，则GF=DE=2x，∵DG//BC，∴△ADG∽△ABC，∴APAH =DGBC，∵AH=40厘米，BC=60厘米，∴40−2 x40=x60，解得x=15．∴DG=15厘米，故答案为：15．设DG=EF=x，则GF=DE=2x，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出DG的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．16.【答案】2625【解析】解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，∴BG⊥AB，∵AD⊥AB，∴∠DAB=∠ABG=∠BGD=90°，∴四边形ADGB是矩形，∴BG=AD=0.4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB=√AC2+BC2=√122+52=13，∵S△ABC=12×BC⋅AC=12×AB⋅CH，∴CH=BC⋅ACAB =5×1213=6013，∵DE//AB，∴∠E=∠ABC，∵∠FBE=∠ACB=90°，∴△FBE∽△ACB，∵CH⊥AB，BG⊥DE，∴BFAC =BGCH，∴BF12=0.46013，∴BF=2625．故答案为：2625．作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，根据已知条件证明四边形ADGB是矩形，再根据等面积法求出CH，证明△FBE∽△ACB，利用对应高的比等于相似比即可求出BF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等面积法，解决本题的关键是综合运用以上知识．17.【答案】y=(x−3)2−1或y=(x−7)2−1【解析】解：设将抛物线C1：y=(x−1)2−1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=(x−1−m)2−1，将(3,3)代入，得(3−1−m)2−1=3．整理，得4−m=±2解得m1=2，m2=6．故新抛物线C2的表达式为y=(x−3)2−1或y=(x−7)2−1．故答案是：y=(x−3)2−1或y=(x−7)2−1．设将抛物线C1：y=(x−1)2−1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y= (x−1−m)2−1，然后将(3,3)代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．18.【答案】2【解析】解：如图，∵点D是BC的中点，BC=12，∴BD：CD=2：1，∴BD=8，CD=4，过点M作MH//AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴MHAC =DHCD=DMAD，∴点M是AD的中点，∴AD=2DM，∵AC=8，∴MH8=DH4=12，∴MH=4，DH=2，过点M作MG//AB交BD于G，同理得，BG=DE=4，∵AB=10，BC=12，AC=8，∴△ABC的周长为10+12+8=30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF=15，设BE=x，则CE=12−x，∴CF=15−(12−x)=3+x，EH=CE−CH=CE−(CD−DH)=12−x−2= 10−x，∵MH//AC，∴△EHM∽△ECF，∴MHCF =EHCE，∴43+x =10−x12−x，∴x=2或x=9，当x=9时，CF=12>AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD=x=2，故答案为：2．先求出BD=8，CD=4，再求出MH=4，DH=2，设BE=x，得出CE=12−x，CF= 3+x，EH=10−x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．19.【答案】解：由12(a⃗−x⃗ )=b⃗ +3x⃗ ，得a⃗−x⃗ =2b⃗ +6x⃗ ，所以7x⃗ =a⃗−2b⃗ ．所以x⃗ =17(a⃗−2b⃗ ).【解析】在已知关系式中，求出x即可解决问题．本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：∵y=x2+2x+m−3=(x+1)2+m−4，∴抛物线的顶点坐标为(−1,m−4)，∵抛物线y=x2+2x+m−3顶点在第二象限，∴m−4>0，∴m>4．故m的取值范围为m>4．【解析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(−1,m−4)，再利用第二象限点的坐标特征得到m−4>0，然后解不等式即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a).21.【答案】解：(1)∵AD//BE//CF，∴DEDF =ABAC=66+8=37；(2)过D点作DM//AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD//BN//CM，AC//DM，∴四边形ABND 和四边形ACMD 都是平行四边形，∴BN =AD =5，CM =AD =5，∴MF =CF −CM =19−5=14，∵NF//MF ， ∴NE MF =DE DF =37， ∴NE =37MF =37×14=6，∴BE =BN +NE =5+6=11．【解析】(1)直接根据平行线分线段成比例定理求解；(2)过D 点作DM//AC 交CF 于M ，交BE 于N ，如图，易得四边形ABND 和四边形ACMD 都是平行四边形，所以BN =CM =AD =5，则MF =14，再利用NF//MF ，所以NE MF =DEDF =37，然后利用比例的性质计算出NE ，最后计算BN +NE 即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 22.【答案】解：如图，过点B 作BG ⊥DE 于G ，过点C 作CH ⊥AD 于H ．∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB =DC ，∠BAD =∠CDA ，∴∠BAG =∠CDH ，∵∠BGA =∠CHD =90°，∴△BGA≌△CHD(AAS)，∴AG =DH ，设AG =DH =x 毫米，CH =y 毫米，则有{y180+x =0.50yx =1.40，解得{x =100y =140， ∴BC =GH =AG +AD +DH =100+180+100=380(毫米)．【解析】如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H.证明△BGA≌△CHD(AAS)，推出AG=DH，设AG=DH=x毫米，CH=y毫米，构建方程组求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题．23.【答案】证明：(1)∵DE⊥AB，∴∠EDB=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°=∠B+∠DEB，∴∠A=∠DEB，∵CA=CD，∴∠A=∠CDA，∴∠CDA=∠DEB，∴∠CDB=∠CED，又∵∠DCE=∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DCBC =CECD，∴CD2=CE⋅CB，∴CA2=CE⋅CB；(2)如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM=ME=CM，∴∠MCE=∠MEC，∵∠ACB=∠ADE=90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC=∠ADC，∴∠AEC=∠MCE=∠ADC=∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH=90°，∴∠CAD+∠ACH=90°，∴CH ⊥AB ．【解析】(1)通过证明△DCE∽△BCD ，可得DC BC =CE CD ，可得结论； (2)由直角三角形的性质可得AM =ME =CM ，进而可得∠MCE =∠MEC ，通过证明点A ，点C ，点E ，点D 四点共圆，可得∠AEC =∠ADC ，由余角的性质可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 24.【答案】解：(1)二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过点B(5,0)和O(0,0)， ∴设二次函数的解析式为y =ax(x −5)，将点A(2,4)代入y =ax(x −5)中，得4=a ×2(2−5)，∴a =−23，∴二次函数的解析式为y =−23x(x −5)=−23x 2+103x ；(2)如图1，连接OP ，过点P 作PD ⊥x 轴于D ，∴∠ODP =90°，∵A(2,4)、B(5,0)和O(0,0)，∴OB =5，AB =√(5−2)2+42=5，∴OB =AB ，∵BC ⊥OA ，∴AC =OC ，∠OBC =∠ABC ，∵BP =BP ，∴△OBP≌△ABP(SAS)，∴∠BOP =∠BAP ，∵AC =OC ，A(2,4)，∴点C(1,2)，∴直线BC 的解析式为y =−12x +52①，由(1)知，二次函数的解析式为y =−23x 2+103x②，联立①②解得，{x =5y =0或{x =34y =178， ∴P(34,178)，∴OD =34，PD =178， ∴cot∠BAP =cot∠BOP =PD OD =17834=176；(3)设M(2,m)，∵A(2,4)，B(5,0)，P(34,178)， ∴AM =|m −4|.OA =2√5，AB =5，BP =√(5−34)2+(0−178)2=17√58， ∵BC ⊥OA ，∴∠ACP =∠BCP =90°，∴∠ABP <90°，∠APC <90°，∵∠BOP <90°，∴∠BAP <90°，∴△ABP 是锐角三角形，∵△AMO 与△ABP 相似，∴△AMO 为锐角三角形，∴点M 在点A 的下方，∴AM =4−m ，如图2，AM 与x 轴的交点记作点E ，与BC 的交点记作点F ，∵AM ⊥x 轴，∴∠AEB =90°，∴∠OBP +∠BFE =90°，∵∠AFP =∠BFE ，∴∠OBP +∠AFP =90°，∵BC ⊥OA ，∴∠AFP +∠OAE =90°，∴∠OAE =∠OBP ，由(2)知，∠OBP =∠ABP ，∴∠OAE =∠ABP ，∵△AMO 与△ABP 相似，∴①当△OAM∽△ABP 时，∴OA AB =AM BP ， ∴2√55=17√58， ∴m =−14，∴M(2,−14)， ②当△MAO∽△ABP 时， ∴OA BP =AM AB ， ∴√517√58=4−m 5，∴m =−1217， ∴M(2,−1217)，即满足条件的点M 的坐标为(2,−14)或(2,−1217).【解析】(1)利用待定系数法，即可得出结论；(2)先判断出OB =AB ，进而判断出∠OBP =∠ABP ，进而判断出△OBP≌△ABP ，得出∠BOP =∠BAP ，再求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标，构造直角三角形，即可得出结论；(3)先判断出点M 在点A 的下方，再判断出∠AOM =∠ABP ，再分两种情况，利用相似比建立方程求解，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∠B =90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠C =90°，∵EF ⊥AE ，∴∠AEB +∠CEF =∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠CEF ，∴△ABE≌△CEF ，∴BECF =ABEC ， ∵EC =3CF ，设CF=x，AB=a，则EC=3x，BE=a−3x，∴a−3xx =a3x，解得，a=4.5x，∴S△ABES△ECF =(ABEC)2=(4.5x3x)2=94；(2)过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME=∠CNF=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AB//CD，∴∠B=∠FCN，设CF=x，则CE=3x，∵E是BC的中点，∴BE=CE=3x，AB=BC=2CE=6x，∴BM=AB⋅cosB=6xcosB，AM=AB⋅sinB=6xsinB，CN=CF⋅cos∠FCN=xcosB，FN=CF⋅sin∠FCN=xsinB，∴ME=BE−BM=3x−6xcosB，EN=EC+CN=3x+xcosB，∵∠AEF=90°，∴∠AEM+∠NEF=∠AEM+∠MAE=90°，∴∠MAE=∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴AMEN =MENF，即6xsinB3x+xcosB =3x−6xcosBxsinB，即2sinB3+cosB=1−2cosBsinB，整理得，2sin2B=3−5cosB−2cos2B，∴2=3−5cosB，∴cosB=15；(3)过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME=∠CNF=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AB//CD，∴∠B=∠FCN，∵∠AEF=90°，∴∠AEM+∠NEF=∠AEM+∠MAE=90°，∴∠MAE=∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴AMEN =MENF=AEEF，∵∠AFE=∠B，tanB=AMBM ，tan∠AFE=AEEF，∴AMBM =AEEF，∴AMBM =AMEN，∴BM=EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB=BC=a，∴BM=acosB，CN=CF⋅cos∠FCN=CF⋅cosB，∴acosB=EC+CF⋅cosB，∵CF=2，EC=3CF，∴EC=6，∴acosB=6+2cosB，∴cosB=6a−2，∵AMEN =MENF，AM=AB⋅sinB=asinB，EN=6+2cosB，ME=a−acosB−6，NF=CF⋅sin∠FCN=2sinB，∴asinB6+2cosB =a−acosB−62sinB，化简得，2a(sin2B+cos2B)=6a−4acosB−12cosB−36，2a=6a−4acosB−12cosB−36，a−acosB−3cosB−9=0，∵cosB=6a−2，∴a−6aa−2−18a−2−9=0，解得，a=17，或a=0(舍)，∴菱形的边长为17．【解析】(1)证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△CEF，设CF=x，AB=a，运用相似三角形的相似比求得a与x的关系，进而根据相似三角形的性质求得面积比；(2)过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，证明△AME∽△ENF，设CF=x，用x与∠B的正、余弦值表示AM、ME、EN、NF，进而根据相似三角形的性质列出比例式，整理比例式便可得出结果；(3)过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，由∠B=∠AFE，得AMBM =AEEF，再证明△AME∽△ENF，得出BM=EN，设菱形ABCD的边长为a，由BM=EN，得到用cos B的代数式表示a，再结合△AME∽△ENF的比例线段求得a的值便可．本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，关键是构造相似三角形．难度较大．。

成都市成华区2020-2021学年上学期期末考试九年级数学试卷(一诊)(含答案)

成都市成华区2020~2021学年度上期期末学业水平阶段性监测九年级数学注意事项：1. 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟.2. 考生使用答题卡作答.3. 在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上. 考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回.4.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、字迹清楚.5. 请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.6. 保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等.A卷(共100分)第Ⅰ卷(选择题，共30分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上)1.一元二次方程22x x=的根为(A)0(B)2(C)0或2(D)0或2−2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)平行四边形3.如图所示的几何体，其俯视图是(A) (B) (C) (D)4.下列说法中，错误的是(A)菱形的对角线互相垂直(B)对角线互相垂直的四边形是菱形(C)矩形的四个内角都相等(D)四个内角都相等的四边形是矩形5.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(A)4(B)8(C)16(D)326. 一元二次方程2304y y −−=配方后可化为(A )21()12y +=(B )213()24y +=(C )213()24y −=(D )21()12y −=7. 若点1(1,)A y −，2(2,)B y ，3(3,)C y 在反比例函数6y x=−的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是(A )123y y y ＞＞ (B )231y y y ＞＞ (C )132y y y ＞＞ (D )321y y y ＞＞8. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列各式中正确的是(A )sin c b B =⋅(B )sin b c B =⋅(C )tan a b B =⋅(D )tan b c B =⋅第8题图第9题图第10题图9. 如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AD 上的点，AF ＝2FD ，直线BF 交AC 于点E ，交CD 的延长线于点G ，则BEEG的值为 (A )12(B )13(C )23(D )3410. 二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的对称轴是2x =，图象如图所示，下面四个结论： ①240b ac −＞；②0abc ＜；③40a b +=；④420a b c −+＞. 其中正确结论的个数是(A )4(B )3(C )2(D )1第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上) 11. 关于x 的一元二次方程220x x k +−=无实数根，则k 的取值范围是______.12. 在抛掷正六面体的试验中，正六面体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，在试验次数很大时，数字6朝上的频率的变化趋势接近的值是______.13. 将抛物线21y x =−+向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一般式为______.b14. 如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 为半径作弧，交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 为半径作弧，两弧相交于点G ，射线AG 交BC 于点E . 若BF ＝8，AB ＝5，则AE 的长为______.三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上) 15. (本小题满分12分，每题6分)(1)计算：0115(π2021)2cos60()3−−−−++；(2)解方程：2(3)3(3)x x x −=−.16. (本小题满分6分)先化简，再求值：22224()2442x x x x x x x x +−−−÷−−+−，其中4tan 452sin 60x =+.为了解疫情期间网络学习的效果，某中学随机抽取了部分学生进行调查. 要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不好”四个等次中，选择一项作为评价网络学习的效果. 现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这题活动共抽查了______人；扇形统计图中，学习效果“一般”所对应的圆心角度数为______；请将条形统计图补充完整；(2)张老师在班上抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法，求抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.18. (本小题满分8分)在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践. 如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面CD 的中点B 垂直起飞到达点A 处，测得一号楼顶部E 的俯角为55°，测得二号楼顶部F 的俯角为37°，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高CE 为20米，求二号楼的高DF . (结果精确到米)(参考数据：sin 370.60≈，cos370.80≈，tan370.75≈，sin 550.82≈，cos550.57≈，tan 55 1.43≈.)效果人数(人)优秀良好一般不好如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于(1,2)A ，(,1)B n −两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P 是x 轴上的点，△ABP 的面积是4，求点P 的坐标.20. (本小题满分10分)如图，点E 在菱形ABCD 的边AB 上滑动(不与A ，B 重合)，点F 在边CB 上，CF ＝AE ，DE 的延长线交CB 的延长线于点G ，DF 的延长线交AB 的延长线于点H .(1)求证：DE ＝DF ； (2)求证：2AB AE AH =⋅；(3)若点E 为边AB 的黄金分割点(AE EB ＞)，求证BH ＝AE .CB 卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上) 21. 关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a −−+−=有一个根为0x =，则a ＝______.22. 如图，在44⨯的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，△ABC 的顶点都在小正方形的格点上，则sin ACB ∠=______.第22题图第24题图第25题图23. 从1−，2，3−，4四个数中任取两个不同的数分别作为a ，b 的值，得到反比例函数aby x=，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______. 24. 如图，点B 是反比例函数12y x=(0x ＞)图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A ，C . 反比例函数ky x=(0x ＞)的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别交于点D ，E . 连接DE 并延长交x 轴于点F ，则△BDF 的面积是______.25. 如图，在66⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt △ABC 是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt △ABC 相似且面积最大的格点三角形的面积是____，符合条件的格点三角形共有____个. 二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上) 26. (本小题满分8分)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.(1)当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？(2)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？月利润的最大值是多少？△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝α，过点A 作直线MN ，使MN ∥BC ，点D 在直线MN 上(不与点A 重合)，作射线BD ，将射线BD 绕点B 顺时针旋转α后交直线AC 于点E .(1)如图1，点D 在射线AN 上，α＝60°，求证：AB ＋AD ＝AE ；(2)如图2，点D 在射线AN 上，α＝45°，线段AB ，AD ，AE 之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明；(3)若α＝30°，∠ABE ＝15°，BC＝AD 的长.图1 图2 备用图E如图，抛物线24y ax bx =++(0a ≠)与x 轴交于点(1,0)A −和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E .(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，若35PBC ABC S S =△△，求点P 的坐标；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由.成都市成华区2020—2021学年度上期期末学业水平阶段性监测九年级数学参考答案一．选择题（共10小题）1．C ．2．D ．3．A ．4．B ．5．A ．6．D ．7．C ．8．B ．9．C ．10．B ．二．填空题（共4小题）11．1k <-．12．16．13．222y x x =---．14．6．三．解答题（共5小题）15．解：（1）原式＝151+2+32-⨯＝8；（2）()3(23)0x x --=解得：x 1＝3，x 2＝23．16．17．18．19．20.B卷一．填空题（共5小题）21．1 ．22．4 5．23．2 3．24．9 2．25．10；16．二．解答题（共3小题）26．。

2020-2021学年上海市金山区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为()A. y=x2+2xB. y=x2−2xC. y=x2−2D. y=x2−4x2.下列各点中，在二次函数y=−x2的图象上的是()A. (1,−1)B. (2,−2)C. (−2,4)D. (2,4)3.已知Rt△ABC中，∠A=90°，则bc是∠B的()A. 正切B. 余切C. 正弦D. 余弦4.已知α是锐角，且满足2sin(α+20°)=√3，则α的度数为()A. 80°B. 60°C. 40°D. 10°5.如果a⃗=2b⃗ (a⃗,b⃗ 均为非零向量)，那么下列结论错误的是()A. a⃗//b⃗B. a⃗−2b⃗ =0C. b⃗ =12a⃗ D. |a⃗|=2|b⃗ |6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是()A. 5≥r≥3B. 3<r<5C. r=3或r=5D. 0<r<3或r>5第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：32a⃗−(a⃗−32b⃗ )=______．8.已知函数f(x)=x−22x，那么f(3)=______．9. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于(3,0)，对称轴是直线x =1，当函数值y >0时，自变量x 的取值范围是____．10. 正五边形的中心角的度数是______ ．11. 已知⊙O 1的半径长为4，⊙O 2的半径长为r ，圆心距O 1O 2=6，当⊙O 1与⊙O 2外切时，r 的长为______．12. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =6，sinA =35，则AB =______． 13. 如图，在△ABC 中，∠B =45°，tanC =12，AB =√2，则AC =______．14. 如图．△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，过点G 作GH//AC 交BC 于点H ，如果GH =2，那么AC =______．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用向量a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示)16.如图，B，C，D，E为⊙A上的点，DE=5，∠BAC+∠DAE=180°，则圆心A到弦BC的距离为______．17.如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为______．18.如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=4，AD=√65，CD=13，则7线段AC的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，tan∠DBC=4，且BC=6，3 AD=4.求cos A的值．20.如图，已知AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB．求证：OC=OD．21.如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A和点B．(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)若点P(m,m)在该函数图象上，求m的值．22.如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB//DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i=1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°(点F、D、C在一直线上)，求铁塔AB的高度．(参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6)23.如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，连接AC，DE.DE分别交BC，AC于点F，G，且CD·AE=AC·AG．求证：(1)△ABC∽△AGE；(2)AB2=DE·DG．<a<0) 24.如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2−2amx+am2+2m−5(其中−14上，AB//x轴，∠ABC=135°，且AB=4．(1)填空：抛物线的顶点坐标为_____(用含m 的代数式表示)； (2)求△ABC 的面积(用含a 的代数式表示)；(3)若△ABC 的面积为2，当2m −5≤x ≤2m −2时，y 的最大值为2，求m 的值．25. 如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交AC 于点D ，过点D 的直线交BC 于点E ，交AB 的延长线于点P ，∠A =∠PDB ． (1)求证：PD 是⊙O 的切线；(2)若AB =4，DA =DP ，试求弧BD 的长；(3)如图②，点M 是AB ⏜的中点，连结DM ，交AB 于点N.若tanA =12，求DNMN的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=x2+2x=(x+1)2−1，∴y=x2+2x的对称轴是直线x=−1，故选项A不符合题意；∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴y=x2−2x的对称轴是直线x=1，故选项B符合题意；y=x2−2的对称轴是直线x=0，故选项C不符合题意，∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴y=x2−4x的对称轴是直线x=2，故选项D不符合题意；故选：B．根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】A【解析】解：当x=1时，y=−x2=−1，当x=−2时，y=−x2=−4，当x=2时，y=−x2=−4，所以点(1,−1)在二次函数y=−x2的图象上．故选：A．分别计算自变量为1和−2、2所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3.【答案】A【解析】解：如图，tanB=b．c故选A．根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义便可直接解答．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4.【答案】C【解析】解：∵2sin(α+20°)=√3，∴sin(α+20°)=√3，2∴α+20°=60°，∴α=40°．故选C．首先利用特殊角的三角函数值求出α+20°的值，进而求出α即可．此题主要考查了特殊角的三角函数值，得出α+20°的值是解题关键．5.【答案】B【解析】解：A、正确．因为a⃗=2b⃗ (a⃗,b⃗ 均为非零向量)，所以a⃗与b⃗ 是方向相同的向量，即a⃗//b⃗ ；B、错误．应该是a⃗−2b⃗ =0⃗；a⃗；C、正确．由a⃗=2b⃗ 可得b⃗ =12D、正确．因为a⃗=2b⃗ 所以|a⃗|=2|b⃗ |；故选B．根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．6.【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心作圆，当圆A的半径0<r<3或r>5时，圆A与线段BC没有公共点；故选：D．根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案．此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案．7.【答案】12a⃗+32b⃗【解析】解：原式=32a⃗−a⃗+32b⃗ =12a⃗+32b⃗ ．故答案是：12a⃗+32b⃗ ．平面向量的加减计算法则与实数的加减计算法则相同．考查了平面向量，解答此类题目时，直接去括号，然后计算加减法即可．8.【答案】16【解析】解：当x=3时，f(3)=3−22×3=16．故答案为：16．【分析】把x=3代入函数关系式，计算求值即可．本题考查求函数值.题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．9.【答案】−1<x<3【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(3,0)，对称轴是直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为：(−1,0)，故当函数值y>0时，自变量x的取值范围是：−1<x<3．故答案为：−1<x<3．直接利用二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点，进而得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．10.【答案】72°【解析】解：正五边形的中心角为：360°5=72°．故答案为：72°．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为360°n，则代入求解即可．此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．11.【答案】2【解析】解：∵⊙O1的半径长为4，⊙O2的半径长为r，圆心距O1O2=6，当⊙O1与⊙O2外切时，∴r+4=6，解得：r=2，故答案为：2；根据两圆的位置关系和数量之间的联系解答即可．本题考查的是圆与圆的位置关系与数量之间的联系，关键是根据两圆外切⇔d=R+r 解答．12.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义．由sinA=BCAB 知AB=BCsinA，代入计算可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinA=BCAB，BC=6，∴AB=BCsinA =635=10，故答案为10．13.【答案】√5【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足是点D，∵AB=√2，∴AD2+BD2=AB2=2，∵∠B=45°，∴∠BAD=∠B=45°，∴AD=BD，∴AD2=BD2=1，∴AD=BD=1，∵tanC=12，∴ADCD =12，∴CD=2，∴AC=√AD2+CD2=√12+22=√5．故答案为：√5．先过点A作AD⊥BC，垂足是点D，得出AD2+BD2=AB2=2，再根据∠B=45°，得出AD=BD=1，然后根据tanC=12，得出ADCD=12，CD=2，最后根据勾股定理即可求出AC．此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、解直角三角形等，关键是作出辅助线，构造直角三角形．14.【答案】6【解析】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点G，∴AGGD=2，∵GH//AC，∴GHAC =GDAD=13，∵GH=2∴AC=6，故答案为：6根据三角形重心的性质和平行线分线段成比例解答即可．本题考查的是平行线分线段成比例和三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15.【答案】13b⃗ −a⃗【解析】解：∵CD =2AD ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ ，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +13b ⃗ ，故答案为：13b⃗ −a ⃗ ．求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求解即可．本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】52【解析】【分析】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系，掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键．延长CA 交⊙A 于F ，连接BF ，作AH ⊥BC 于H ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出BF ，根据垂径定理得到CH =HB ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长CA 交⊙A 于F ，连接BF ，作AH ⊥BC 于H ，∵∠BAC +∠DAE =180°，∠BAC +∠BAF =180°， ∴∠BAF =∠DAE ， ∴BF⏜=DE ⏜， ∴BF =DE =5， ∵AH ⊥BC ，∴CH =HB ，又CA =AF ， ∴AH =12BF =52，故答案为：52．17.【答案】9：16【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC//AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故答案为：9：16．18.【答案】4√13【解析】解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．∵∠C+∠BAD=∠DAC，∴∠CAE=∠ACB，∴AE=EC，∵tan∠BAD=4，7∴设DF=4x，则AF=7x，在Rt△ADF中，AD2=DF2+AF2，即(√65)2=(4x)2+(7x)2，解得x1=−1(不合题意舍去)，x2=1，∴DF=4，AF=7，设EF=y，则CE=7+y，则DE=6−y，在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即(6−y)2=42+y2，，解得y=53∴DE =6−y =133，AE =263，∴设DG =z ，则EG =133−z ，则(√65)2−z 2=(263)2−(133−z)2，解得z =1， ∴CG =12，在Rt △ADG 中，AG =√AD 2−DG 2=8，在Rt △ACG 中，AC =2+CG 2=4√13．故答案为：4√13．作∠DAE =∠BAD 交BC 于E ，作AF ⊥BC 交BC 于F ，作AG ⊥BC 交BC 于G.根据三角函数设DF =4x ，则AF =7x ，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得到DF =4，AF =7，设EF =y ，则CE =7+y ，则DE =6−y ，在Rt △DEF 中，根据勾股定理得到DE =133，AE =263，设DG =z ，则EG =133−z ，则(√65)2−z 2=(263)2−(133−z)2，依此可得CG =12，在Rt △ADG 中，据勾股定理得到AG =8，在Rt △ACG 中，据勾股定理得到AC =4√13．考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG 和CG 的长．19.【答案】解：在Rt △DBC 中，∵∠C =90°，BC =6，∴tan∠DBC =CD BC=43． ∴CD =8．∴AC =AD +CD =12．在Rt △ABC 中，由勾股定理得， AB =√AC 2+BC 2=√122+62=6√5， ∴cosA =ACAB =65=25√5．【解析】先解Rt △DBC ，求出DC 的长，然后根据AC =AD +DC 即可求得AC ，再由勾股定理得到AB ，最后再求cos A 的值即可．本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20.【答案】证明：∵AB//DC ，∴∠A =∠C ，∠B =∠D ， ∵OA =OB ， ∴∠A =∠B ，∴∠C =∠D ， ∴OC =OD ．【解析】利用平行线的性质可求得∠A =∠C ，∠B =∠D ，利用OA =OB ，可求得∠A =∠B ，则可求得∠C =∠D ，则可证得OC =OD ．本题主要考查等腰三角形的判定和性质及平行线的性质，利用平行线的性质及等腰三角形的性质证得∠C =∠D 是解题的关键．21.【答案】解：(1)将A(−1,−1)，B(3,−9)代入，得{a +4+c =−19a −12+c =−9， ∴a =1，c =−6， ∴y =x 2−4x −6；(2)由y =x 2−4x −6=(x −2)2−10，对称轴：直线x =2，顶点坐标：(2,−10)；(3)∵点P(m,m)在函数图象上， ∴m 2−4m −6=m ， ∴m =6或−1．【解析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的对称轴、顶点坐标，掌握二次函数的性质及待定系数法是解题的关键．(1)由条件可知点A 和点B 的坐标，代入解析式可得到关于a 和c 的二元一次方程组，解得a 和c ，可写出二次函数的解析式；(2)利用配方法写出把二次函数写成顶点式，即可得其对称轴与顶点坐标； (3)把点的坐标代入可求得m 的值．22.【答案】解：延长AB 交DC 于G ，过E 作EH ⊥CD 于H ，则四边形EHGB 是矩形，∵斜坡DE 的坡长为13米，坡度i =1：2.4， ∴设EH =5x ，则DH =12x ，∵EH2+DH2=DE2，∴(5x)2+(12x)2=132，∴x=1(负值舍去)，∴EH=5，DH=12，∵EB//DC，∴∠ABE=∠AGH=90°，∵∠AEB=45°，∴AB=BE，∴HG=AB，∴FG=5+12+AB，AG=AB+5，∵∠F=31°，∴tanF=tan31°=AGFG =AB+517+AB=0.6，∴AB=13米，答：铁塔AB的高度是13米．【解析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH=5，DH=12，根据三角函数的定义解直角三角形，然后列方程可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵CD⋅AE=AC⋅AG．∴CDAG =ACAE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，∴ABAG =ACAE，∵∠BAC=∠GAE，∴△ABC∽△AGE；(2)∵△ABC∽△AGE，∴∠ACB=∠E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，BC//AD，∴∠ACB =∠CAD =∠E ， ∵∠ADG =∠ADE ， ∴△ADG∽△EDA ， ∴AD DE=DG AD，∴AD 2=DE ⋅DG ， ∴AB 2=DE ⋅DG ．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)只要证明ABAG =ACAE ，又∠BAC =∠GAE ，即可证明△ABC∽△AGE ； (2)只要证明△ADG∽△EDA ，可得ADDE =DGAD ，推出AD 2=DE ⋅DG 即可证明．24.【答案】(1)(m,2m −5)；(2)S △ABC =−8a+2a；(3)72或10+2√10．【解析】[分析](1)利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；(2)过点C 作直线AB 的垂线，交线段AB 的延长线于点D ，由AB//x 轴且AB =4，可得出点B 的坐标为(m +2,4a +2m −5)，设BD =t ，则点C 的坐标为(m +2+t,4a +2m −5−t)，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t 的一元二次方程，解之取其正值即可得出t 值，再利用三角形的面积公式即可得出S △ABC 的值；(3)由(2)的结论结合S △ABC =2可求出a 值，分三种情况考虑：①当m >2m −2，即m <2时，x =2m −2时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元二次方程，解之可求出m 的值；②当2m −5≤m ≤2m −2，即2≤m ≤5时，x =m 时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值；③当m <2m −5，即m >5时，x =2m −5时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值．综上即可得出结论． [详解]解：(1)∵y =ax 2−2amx +am 2+2m −5=a(x −m)2+2m −5， ∴抛物线的顶点坐标为(m,2m −5)，故答案为：(m,2m −5)；(2)过点C 作直线AB 的垂线，交线段AB 的延长线于点D ，如图所示，∵AB//x轴，且AB=4，∴点B的坐标为(m+2,4a+2m−5)，∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为(m+2+t,4a+2m−5−t)，∵点C在抛物线y=a(x−m)2+2m−5上，∴4a+2m−5−t=a(2+t)2+2m−5，整理，得：at2+(4a+1)t=0，解得：t1=0(舍去)，t2=−4a+1a，∴S△ABC=12AB⋅CD=−8a+2a；(3)∵△ABC的面积为2，∴−8a+2a=2，解得：a=−15，∴抛物线的解析式为y=−15(x−m)2+2m−5．分三种情况考虑：①当m>2m−2，即m<2时，则当x=2m−2时，y取最大值，有−15(2m−2−m)2+2m−5=2，整理，得：m2−14m+39=0，解得：m1=7−√10(舍去)，m2=7+√10(舍去)；②当2m−5≤m≤2m−2，即2≤m≤5时，则当x=m时，y取最大值，有2m−5=2，解得：m=72；③当m<2m−5，即m>5时，则当x=2m−5时，y取最大值，(2m−5−m)2+2m−5=2，有−15整理，得：m2−20m+60=0，解得：m3=10−2√10(舍去)，m4=10+2√10．或10+2√10．综上所述：m的值为72[点睛]本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：(1)利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；(2)利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；(3)分m<2、2≤m≤5及m>5三种情况考虑．25.【答案】证明：(1)连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，又∵OA=OB=OD，∴∠BDO=∠ABD，又∵∠A=∠PDB，∴∠PDB+∠BDO=90°，即∠PDO=90°，且D在圆上，∴PD是⊙O的切线(2)设∠A=x°，∵DA=DP，∴∠A=∠P=x°，∴∠DBA=∠P+∠BDP=x°+x°=2x°，在△ABD中，∠A+∠ABD=90°，∴x°+2x°=90o，即x=30，∴∠DOB=60°，∴弧BD长=60°×π×2180∘=23π(3)连结OM，过D作DF⊥AB于点F，∴点M是的AB⏜的中点，∴OM⊥AB，∵tanA=12=BDAD，∴设BD=x，则AD=2x，AB=√5x=2OM，∴OM=√5x2，在Rt△BDF中，S△ADB=12×AB×DF=12×AD×DB∴DF=2√55x，∵∠MON=∠DFN=90°，∠DNF=∠MNO ∴△OMN∽△FDN∴DNMN =DFOM=2√55x√52x=45．【解析】(1)由圆周角的定理可得∠ADB=90°，可得∠A+∠ABD=90°，可求∠PDB+∠BDO=90°，可得结论；(2)设∠A=x，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠DBA=∠P+∠BDP= x+x=2x，由三角形内角和可求x的值，由弧长公式可求弧BD的长；(3)连结OM，过D作DF⊥AB于点F，设BD=x，则AD=2x，AB=√5x=2OM，可求OM，DF的长，通过证明△OMN∽△FDN，可求DNMN的值．本题是圆的综合题，考查了圆的知识，弧长公式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．。

2020-2021石家庄市一中实验学校九年级数学上期末第一次模拟试卷(带答案)

2020-2021石家庄市一中实验学校九年级数学上期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x += D ．()11980x x -=2．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3π C ．2π-12D ．124．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．二次函数236yx x =-+变形为()2y a x m n =++的形式，正确的是（）A ．()2313y x =--+ B ．()2313y x =--- C ．()2313y x =-++D ．()2313y x =-+-6．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（） A ．400(1)640x +=B ．2400(1)640x +=C ．2400(1)400(1)640x x +++=D ．2400400(1)400(1)640x x ++++=8．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是( ) A ．()3001x 450+= B ．()30012x 450+= C ．2300(1x)450+=D ．2450(1x)300-=9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( ) A ．x(x －1)＝2070 B ．x(x ＋1)＝2070 C ．2x(x ＋1)＝2070D ．(1)2x x -＝2070 10．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A ．确定事件B ．必然事件C ．不可能事件D ．不确定事件11．方程x 2＝4x 的解是（） A ．x ＝0B ．x 1＝4，x 2＝0C ．x ＝4D ．x ＝212．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（） A ．y=1+12x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2二、填空题13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人．14．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___． 15．抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣2与y 轴的交点坐标是_____．16．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.17．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．18．关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．19．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个． 20．若二次函数y ＝x 2﹣3x +3﹣m 的图象经过原点，则m ＝_____．三、解答题21．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．22．在平面直角坐标系中，已知二次函数y =ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＞0）图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ． ①求二次函数解析式；②当t ﹣2≤x ≤t 时，二次函数有最大值5，求t 值；③若直线x =4与此抛物线交于点E ，将抛物线在C ，E 之间的部分记为图象记为图象P （含C ，E 两点），将图象P 沿直线x =4翻折，得到图象Q ，又过点（10，﹣4）的直线y =kx +b 与图象P ，图象Q 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围． 23．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．24．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a 的值和图象的顶点坐标。

上海市金山区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(一模) 解析版

2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于度．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】根据抛物线的顶点式，可求抛物线的对称轴．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）【分析】把x＝2代入抛物线解析式中，求得函数值，即可判断．【解答】解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，故点（2，8）在抛物线上．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，故选：B．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出α+15°，再求出α即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝+3﹣2＝．故答案是：．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝﹣2．【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+3x得f（﹣2）＝（﹣2）2+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．10．正十边形的中心角等于36度．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．【解答】解：正十边形的中心角为：＝36°．故答案为：36°．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于1．【分析】根据两圆内切，圆心距等于半径之差．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，∴圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝12．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝12．故答案为12．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝2．【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．【解答】解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tan B＝＝＝2．故答案是：2．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．【分析】根据三角形中位线定理可得＝，再根据相似三角形的性质可得＝＝＝，设辅助常数，表示AG，AE，最后根据平行线分线段成比例得出答案．【解答】解：连接DE，∵AE、BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，BE＝EC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，∴△DEG∽△BAG，∴＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，又∵DF∥AE，AD＝DC，∴＝，∴DF＝k，∴＝＝，故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，∴AD＝EC．∵＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．【分析】如图，过点O作OH⊥AB于H．直角三角形求出OA即可．【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝9，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OA＝＝6．故答案为：6．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于4．【分析】根据平行四边形的性质证明△ADF∽△CEF，可得对应边成比例，根据CE＝2BE，△ABC的面积等于15，进而可得△FEC的面积．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于2+．【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．想办法证明AK＝AC，推出HK＝CH，推出AK ＝AD＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝2+，故答案为：2+．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴，∴；；；，∴原式＝＝．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT 的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AD垂直HB于D，作AE∥BH交GH于点E，由坡度的定义和锐角三角函数定义分别计算出BD，根据勾股定理求出AD；（2）作AE∥BH交GH于点E，根据题意得到四边形ADHE是平行四边形，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，即∠ADB＝90°，由题意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度为20米；（2）作AE∥BH交GH于点E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四边形ADHE是平行四边形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：铁塔的高度GH为米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△F AB，得，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得，进而证出，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△F AB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，∴，解得：；∴点A的坐标为（4，﹣1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），∴16a+4b﹣1＝﹣1，即b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，∴﹣2＝a﹣4a+1，解得：a＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴P（2，﹣4a﹣1），∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P＝8a+2，又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，∴，解得：a＝，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝BH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E 作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或．。

2020-2021西安市九年级数学上期末第一次模拟试题(附答案)

5．B
解析：B 【解析】【分析】
根据菱形的性质得出△DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出 △ABG≌△DBH，得出四边形 GBHD 的面积等于△ABD 的面积，进而求出即可．【详解】连接 BD，
∵四边形 ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，
半径为______.
17．一个等边三角形边长的数值是方程 x2﹣3x﹣10＝0 的根，那么这个三角形的周长为 _____． 18．一个扇形的半径为 6，弧长为 3π，则此扇形的圆心角为___度．
19．一元二次方程 2x2 2 0 的解是______．
20．如图，在“3×3”网格中，有 3 个涂成黑色的小方格．若再从余下的 6 个小方格中随机选取 1 个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是______．
B．x(x+20)=300
C．60(x+20)=300
D．60(x-20)=300
4．二次函数 y 3x2 6x 变形为 y a x m2 n 的形式，正确的是（）
A． y 3 x 12 3
B． y 3 x 12 3
C． y 3 x 12 3
D． y 3 x 12 3
5．如图，四边形 ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60°，则图中阴影部分的面积是（）
类别
儿童玩具
童车
童装
抽查件数
90
请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题：（1）分别补全上述统计表和统计图；（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童装的合格率分别为 90%、88%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，买到合格品的概率是多少？ 24．如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径作⊙O，点 D 为⊙O 上一点，且 CD=CB、连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E （1）判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若 BE=4，DE=8，求 AC 的长．

2020-2021学年上海市闵行区九年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝﹣﹣3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c2．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，AB＝5，那么AC的长为（）A．5cosβB．5sinβC．D．3．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点O（0，0），那么根据图象，下列判断正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．ab＞0D．c＝04．（4分）以下说法错误的是（）A．如果k＝，那么＝B．如果＝﹣2，那么||＝2||C．如果＝（为非零向量），那么∥D．如果是与非零向量同方向的单位向量，那么＝||．5．（4分）已知⊙A与⊙B的半径分别是6和8，圆心距AB＝2，那么⊙A与⊙B的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．（4分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果2a＝3b（b≠0），那么＝．8．（4分）化简：（﹣3+）+＝．9．（4分）抛物线y＝﹣x2﹣3x在对称轴的右侧部分是的（填“上升”或“下降”）．10．（4分）将抛物线y＝x2+2x向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标为．11．（4分）已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为．12．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，如果，那么＝．13．（4分）在直角坐标平面内有一点A（12，5），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么cosθ＝．14．（4分）如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是．15．（4分）正六边形的边心距与半径的比值为．16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝2AC，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，那么＝．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P在边AC上，⊙P 的半径为1．如果⊙P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A 顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB 相交于点F，那么BF＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2cos60°﹣cot30°+．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE并延长，交边CD于点F．设＝，＝．（1）填空：向量＝；（2）填空：向量＝，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：（1）边BC的长；（2）⊙O的半径．22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．23．（12分）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线y＝﹣x2+2x+4是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点F的坐标．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B 不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y．（1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值；（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值．2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2．【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝β，AB＝5，∴sin B＝sinβ＝，∴AC＝AB•sinβ＝5sinβ，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键．3．【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点进行判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，故A错误；∵﹣＞0，a＞0，∴b＜0，故B错误；∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，故C错误；∵图象经过点O（0，0），∴c＝0，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．【分析】根据共线向量的定义，零向量的意义进行判断．【解答】解：A、如果k＝，那么k＝0，故本选项符合题意．B、如果＝﹣2，那么||＝2||，故本选项不符合题意．C、如果＝（为非零向量），那么与方向相同，则∥，故本选项不符合题意．D、如果是与非零向量同方向的单位向量，那么＝||，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．5．【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系；设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：因为8﹣6＝2，圆心距AB＝2，所以d＝R﹣r，所以两圆内切．故选：B．【点评】考查了圆与圆的位置关系，本题利用了两圆内切，则d＝R﹣r．6．【分析】她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到≈0.618，然后解方程即可．【解答】解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，∴她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得≈0.618，解得x≈8.3（cm）．经检验x＝8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了解分式方程．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据比例的性质直接解答即可．【解答】解：∵2a＝3b（b≠0），∴＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．8．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝﹣++＝﹣+．故答案是：﹣+．【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算之中．9．【分析】根据抛物线解析式可求得其开口方向和对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣3x，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴在y轴右侧，y随x增大而减小，∴其图象在y轴右侧部分是下降，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向下的二次函数在对称轴右侧y随x 的增大而减小是解题的关键．10．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后将二次函数解析式转化为方程，通过解解方程求解．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1的图象向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣2，令x＝0，则y＝﹣1．所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．故答案为4：9．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12．【分析】由DE∥BC证△ADE∽△ABC，得＝＝，继而可得答案．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．13．【分析】根据题意，作出合适的平面直角坐标系，然后作AB⊥x轴于点B，再根据点的A的坐标和勾股定理，可以得到OA的长，然后即可得到cosθ的值．【解答】解：作AB⊥x轴于点B，如右图所示，∵点A（12，5），∴OB＝12，AB＝5，∠ABO＝90°，∴OA＝＝13，∴cos∠AOB＝，即cosθ＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：如图，∵∠1＝∠2＝52°，∴从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．故答案为：北偏西52°．【点评】此题主要考查了方向角，正确画出方位角，根据平行线的性质解答是解题关键．15．【分析】设正六边形的半径与外接圆的半径相等，构建直角三角形利用勾股定理即可求出边心距．【解答】解：设正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，则可知正六边形的边心距与半径的比值为．【点评】正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．16．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得结论．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．17．【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当⊙P与AB相切时，设切点为D，如图，连接PD，则PD⊥AB，根据相似三角形的性质可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，当⊙P与AB相切时，设切点为D，如图，连接PD，则PD⊥AB，∴∠C＝∠ADP＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴，∴＝，∴PA＝，∴PC＝AC﹣PA＝，∴线段PC长的取值范围是1＜CP＜，故答案为：1＜CP＜．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．18．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由旋转的性质得出∠B＝∠D，得出tan∠B＝tan∠D＝，由平行线的性质得出∠B＝∠AFG，设AG＝x，则FG＝2x，则，求出AG＝1，则可得出答案．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，∴∠B＝∠D，∴tan∠B＝tan∠D＝，∵∠ACB＝∠FGA＝90°，∴BC∥FG，∴∠B＝∠AFG，∴tan∠B＝tan∠AFG＝，设AG＝x，则FG＝2x，∴，解得x＝1，∴AG＝1，FG＝2，∴AF＝＝＝，∴BF＝AB﹣AF＝3﹣．故答案为：3﹣．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣+＝1﹣+＝1﹣+＝1﹣++1＝2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．【分析】（1）利用三角形法则求出，再证明AE＝AC即可解决问题．（2）利用平行线分线段成比例定理，求出，再利用三角形法则即可解决问题．【解答】解：（1）∵＝+，＝，＝．∴＝﹣，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵OE＝EC，∴AE＝AC，∴＝﹣．故答案为：﹣．（2）∵CF∥AB，∴CF：AB＝EC：AE＝1：3，∴CF＝BA，∴＝，∴＝+＝+．在向量和方向上的分向量分别为和．故答案为：+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平四边形的性质，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】（1）利用垂径定理的推论可判断CD垂直平分AB，所以CB＝CA＝4；（2）连接OB，如图，先证明ABC为等边三角形得到∠A＝60°，利用圆周角定理得到∠BOC＝120°，则∠BOD＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB 即可．【解答】解：（1）∵E点为的中点，CE为直径，∴CE⊥AB，∴AD＝BD，即CD垂直平分AB，∴CB＝CA＝4；（2）连接OB，如图，∵AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，∴OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．22．【分析】（1）根据BQ＝PQ•tan∠BPQ，求解即可．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，设AM＝a米，则BM＝2a米，在Rt△APH中，根据tan∠PAH＝，构建方程求出a，再利用勾股定理求出AB即可．【解答】解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，∵∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝PQ•tan30°＝9×＝3（米）．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，设AM＝a米，则BM＝2a米，∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，∴四边形AHQM是矩形，∴AH＝QM＝（3+2a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，在Rt△APH中，tan∠PAH＝，∴＝，解得a＝2，∴AM＝2（米），BM＝4（米），∴AB＝＝＝2（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，∴，设＝k，∴AF＝kAD，BC＝kCD，∴DF＝＝AD，BD＝＝CD，∴，又∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△CDB，∴∠F＝∠B，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；方法2：∵AF•CD＝BC•AD，∴，又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△FAD∽△BCD，∴∠B＝∠F，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴，∴BC•BC＝AB•BD，∴BC2＝2BD•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．24．【分析】（1）先求出点M坐标，M'的坐标，代入解析式可求解；（2）先求出点C坐标，C'的坐标，利用回归点的定义可求解；（3）通过证明△CEF∽△CDE，可得，可求CF＝10，即可求解．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线，理由如下：∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，∴y＝﹣4+4+4＝4，∴点M（2，4），∴点M关于坐标原点O的对称点M'（﹣2，﹣4），当x＝﹣2时，y＝﹣4﹣4+4＝﹣4，∴点M'在抛物线上，∴抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线；（2）∵点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，∴点C（﹣1，c+1），∴点C关于原点O的对称点C'（1，﹣c﹣1），∵点C是这条抛物线的回归点，∴﹣c﹣1＝﹣1﹣2+c，∴c＝1，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+1；（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+1，∴对称点为x＝﹣1，∴点D（﹣1，0），点C（﹣1，2），∴直线CO解析式为y＝﹣2x，联立方程组，∴，，点E（1，﹣2），在△CEF和△CDE中，∠CFE＝∠CED，∠FCE＝∠ECD，∴△CEF∽△CDE，∴，∴CE2＝CD•CF，∴（﹣1﹣1）2+（2+2）2＝2CF，∴CF＝10，∴F（﹣1，﹣8）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，理解新定义并运用是解题的关键．25．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE ＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答；（3）根据相似三角形的性质分两种情况解答．【解答】解：（1）∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在Rt△EAD与Rt△DCF中，，∴△EAD∽△FCD，∴，∴tan∠EFD＝，（2）由（1）可知FC＝2EA＝2x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△FCH∽△FBE，∴，∴，可得：y＝（0＜x＜2）；（3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE＝，EH＝，∴，∴EG＝，∵∠BEG＝∠DHE，若△BEG与△DHE相似，则有两种情况，第一种：∵∠EGB＝∠HED，∴，∴，即，解得：x＝，第二种：∵∠EGB＝∠HDE，∴，∴，即，解得：x＝1.5．综上所述，x的值为或1.5．【点评】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。

2020年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷(含答案)

东城区2019-2020学年第一学期期末统一检测初三数学试卷1. 一元二次方程122=-bx x 的常数项为( )A. 1-B. 1C. 0D. 1±2. 下列图形中，是中心对称的图形是( )3. 若DEF ABC ∆∆~，1:2:=DE AD 且ABC ∆的周长为16，则DEF ∆的周长为( ) A. 4B. 16C. 8D. 324. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，8=AB ，5=OC ，则MD 的长为( ) A. 4B. 2C. 2D. 15. 若关于x 的方程0222=--ax x 有两个不相等的实数根，则a 的值是( ) A. 2B. 4C. 6D. 86. 抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位7. 某圆与半径为2的圆相切，若两圆的圆心距为5，则此圆的半径为( ) A. 3B. 7C. 3或7D. 5或7M O D CBA-11x=13yxO8. 小明从二次函数c bx ax y ++=2的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0<c ； ②0>abc ；③0>+-c b a ；④032=-b a ；⑤04>-b c ；你认为正确的信息是( ) A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ②③④⑤9. 抛物线152--=x x y 与y 轴的交点坐标是__________ 10. 若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让生活更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率______11. 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，︒=∠30A ，经过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则D ∠的度数为_________ 12. 在等腰梯形ABCD中，BC AD //，AD BC 4=，2=AD ，︒=∠45B 。

2020年新人教版九年级上期末质量检测数学试题及答案

2020-2021学年(上)厦门市九年级质量检测数学(试卷满分:150分考试时间:12020)准考证号姓名座位号注意事项:1．全卷三大题，27小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B 铅笔作图．一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确) 1. 下列事件中，属于必然事件的是A ．任意画一个三角形，其内角和是180°B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．在只装了红球的袋子中摸到白球D ．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3 2. 在下列图形中，属于中心对称图形的是A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 平行四边形 3.二次函数y ＝(x －2)2＋5的最小值是A . 2B . －2C . 5D . －54. 如图1，点A 在⊙O 上，点C 在⊙O 内，点B 在⊙O 外，则图中的圆周角是A . ∠OAB B . ∠OAC C . ∠COAD . ∠B 5. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是 A ．3x ＋1＝0 B ．x 2＋3＝0 C ．3x 2－1＝0 D ．3x 2＋6x ＋1＝0 6. 已知P (m ，2m ＋1)是平面直角坐标系的点，则点P 的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是 A .y ＝x B ．y ＝2x C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝12x －127. 已知点A (1，2)，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90°，点A 旋转后的对应点是A 1，则点A 1的坐标是A . (－2,1)B . (2, －1)C . (－1,2)D .(－1, －2)8.抛物线y ＝(1－2x )2＋3的对称轴是A . x ＝1B . x ＝－1C . x ＝－12D . x ＝129. 青山村种的水稻2020年平均每公顷产72020g ，设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x ，则2020年平均每公顷比2020年增加的产量是A . 72020x ＋1)2 kgB ．72020x 2＋1) kgC ．72020x 2＋x ) kgD ．72020x ＋1) kg10. 如图2，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，若∠AOB 是锐角，且∠AOB ＝2∠BOC .图1则下列结论正确的是A . AB ＝2BC B . AB ＜2BCC . ∠AOB ＝2∠CABD . ∠ACB ＝4∠CAB二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是 . 12. 方程x 2－x ＝0的解是．13. 已知直线y ＝kx ＋b 经过点A (0，3)，B (2，5)，则k ＝，b ＝．14. 抛物线y ＝x 2－2x －3的开口向；当－2≤x ≤0时，y 的取值范围是． 15. 如图3，在⊙O 中， BC 是直径，弦BA ，CD 的延长线相交于点P ，若∠P ＝50°，则∠AOD ＝．16. 一块三角形材料如图4所示，∠A ＝∠B ＝60°，用这块材料剪出一个矩形DEFG ，其中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，点F ，G 在边BC 上．设DE ＝x ，矩形DEFG 的面积s 与x 之间的函数解析式是 s ＝－32x 2＋3x ，则AC 的长是．三、解答题(本大题有11小题，共86分)17.(本题满分7分)如图5，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB ＝35°，求∠ABC 的值．18.(本题满分7分)在平面直角坐标系中，已知点A (－4,2)，B (－4,0)，C (请在图6上画出△ABC ，并画出与△ABC 关于原点O 对称的图形．图5图4GFAD ECB图319.(本题满分7分)甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，求这两个小球的号码都是1的概率．2020本题满分7分)解方程x 2＋2x －2＝0．21.(本题满分7分)画出二次函数y ＝x 2的图象．22.(本题满分7分)如图7，已知△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°，设点A 旋转后的对应点是点A 1，根据题意画出示意图并求AA 1的长．23.(本题满分7分)如图8，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点，若AD ∥OC ，直线BC 与⊙O 相交，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．24.(本题满分7分)已知点P 是直线y ＝3x －1与直线y ＝x ＋b (b ＞0)的交点，直线y ＝3x －1与x 轴交于点A ，直线y ＝x ＋b 与y 轴交于点B ．若△P AB 的面积是23，求b 的值．25.(本题满分7分)若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且满足x 1＋2x 2＝c ＋2，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“T 系二次方程” ．如方程x 2－2x ＝0，x 2＋5x ＋6＝0，x 2－6x －16＝0，x 2＋4x ＋4＝0都是“T 系二次方程” ．是否存在实数b ，使得关于x 的方程x 2＋bx ＋b ＋2＝0是“T 系二次方程”，并说明理由．26.(本题满分11分)在平面直角坐标系中，原点为O ，直线l 经过两点A (2，0)和点B (0，4)，点P (m ，n )(mn ≠0)在直线l 上．(1)若OP ＝2，求点P 的坐标；(2)过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ，设矩形OMPN 周长的一半为t ，面积为s ．当m ＜2时，求s 关于t 的函数解析式．图7A BC图827.(本题满分12分)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．(1)如图9，设⊙O的半径是r，若︵AB l＋︵CD i＝πr，求证:AC⊥BD；(2)如图10，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证:MN＝EF．图10。

2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如果线段a=2cm，b=10cm，那么ab的值为()A. 15B. 5 C. 2 D. 122.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=12，则BC∶AC∶AB等于()A. 1∶2∶5B. 1∶√3∶√5C. 1∶√3∶2D. 1∶2∶√33.如图，AB//CD，AB=6，CD=9，AD=10，则OD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 74.已知|a⃗|=1,|b⃗ |=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，那么下列结论中正确的是()A. a⃗=3b⃗B. a⃗=−3b⃗C. b⃗ =3a⃗D. b⃗ =−3a⃗5.抛物线y=5x2+6向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为()A. y=5(x−3)2+6B. y=5x2C. y=5(x+3)2+6D. y=5x2+96.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是()A. c>0B. 2a+b=0C. b2−4ac>0D. a−b+c>0第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知2x=5y，那么xx+2y=______．8.线段长度为3cm和4cm的比例中项是______ cm．9.已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=______．10.计算：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=______．11.已知等腰梯形的两底分别为4cm和6cm，将它的两腰分别延长6cm后可相交，那么此等腰梯形的腰长是______cm．12.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(不写定义域)．13.抛物线y=−4(x+1)2+1的开口方向向______，对称轴是______，顶点的坐标是______．14.抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为______．15.如图，在△ABC在，DE//BC，ADDB =23，S△ADE=8，则四边形BDEC的面积为______ ．16.如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是______．17.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，背水坡CD的坡度i=1：√3，则背水坡的坡长CD为______米．18. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD =15°，AD =6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点为点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为______cm ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：4cos 230°−cot45°tan60∘+2sin45∘．20. 如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示向量AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若∠B =∠ACE ，AB =6，AC =2√6，BC =9，求EG 的长．21.已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1,0)，(0,32).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G，连接OH．(1)求证：AG⋅GO=HG⋅GD；(2)若AC=8，BD=6，求DG的长．23.如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m.求建筑物EF的高度(精确到1m)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，√2≈1.4)24.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)，C(0,6)三点．(1)求抛物线的解析式．(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P是边BC的中点，点D、E分别是射线AC、射线BA上一个动点，且∠DPE=90°，联结DE，设BE=x，CD=y．(1)如图1，当D、E分别在边AC、边BA上时，试求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．(2)若△BEP为等腰三角形，求出CD的长．(3)若△DEP与△ABC相似，求出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题考查比例线段问题，关键是根据比例线段解答．根据比例线段计算即可．【解答】解：因为线段a=2cm，b=10cm，所以ab 的值=210=15，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数．根据正弦的定义和勾股定理可得比值．【解答】解：∵sinA=BCAB =12，∴设∠A的对边BC=x，则斜边AB=2x，根据勾股定理可得AC=√3x，∴BC:AC:AB=x:√3x:2x=1:√3:2．故选C．3.【答案】C【解析】解：∵AB//CD，∴△AOB∽△DOC，∴ABCD =AOOD，∵AB=6，CD=9，AD=10，∴69=10−ODOD，∴OD=6，故选：C．根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵|a⃗|=1,|b⃗ |=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，∴b⃗ =−3a⃗，故选：D．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先确定抛物线y=5x2+6的顶点坐标为(0,6)，再利用点平移的坐标特征得到点(0,6)平移后对应点的坐标为(3,6)，然后根据顶点式写出平移后的新抛物线的表达式．【解答】解：抛物线y=5x2+6的顶点坐标为(0,6)，点(0,6)向右平移3个单位长度后的对应点的坐标为(3,6)，所以平移后的新抛物线的表达式为y=5(x−3)2+6．故选：A．6.【答案】D【解析】解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c>0，正确；=1，得2a+b=0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=−b2aC、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2−4ac>0，正确；D、直线x=−1与抛物线交于x轴的下方，即当x=−1时，y<0，即y=a−b+c<0，故选：D．本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．7.【答案】59【解析】解：∵2x=5y，∴设x=5a，则y=2a，那么xx+2y =5a5a+4a=59．故答案为：59．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8.【答案】2√3【解析】解：设比例中项是xcm，则：3：x=x：4，x2=12，x=±2√3，∵线段是正值，∴负值舍去，故答案为：2√3．根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键．9.【答案】√5−1【解析】【分析】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．根据黄金分割的概念得到MP=√5−12MN，把MN=2代入计算即可．解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，∴MP=√5−12MN=√5−12×2=√5−1；故答案为：√5−1．10.【答案】a⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于该题．考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．【解答】解：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=3a⃗−3b⃗ −2a⃗+3b⃗=(3−2)a⃗+(−3+3)b⃗=a⃗．故答案是：a⃗．11.【答案】3【解析】解：如图，等腰梯形ABCD中，AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，求AB、CD．∵AD//BC∴△EAD∽△EBC∴EAEB=ADBC∵AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，EB=EA+AB ∴AB=CD=3cm．由AD//BC，可知△EAD∽△EBC，则EAEB =ADBC，根据AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，EB=EA+AB，可求得AB=CD=3cm．根据等腰梯形的性质，结合相似三角形求解．12.【答案】S=−2x2+10x【解析】解：设平行于墙的一边为(10−2x)米，则垂直于墙的一边为x米，根据题意得：S=x(10−2x)=−2x2+10x，故答案为：S=−2x2+10x根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．13.【答案】下直线x=−1(−1,1)【解析】解：抛物线y=−4(x+1)2+1的开口方向、对称轴和顶点坐标是：开口向下，对称轴为直线x=−1，顶点(−1,1)．故答案为：下，直线x=−1，(−1,1)．利用a=−4得出图象的开口方向，再利用顶点式得出抛物线的对称轴和顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用顶点式得出函数顶点坐标是解题关键．14.【答案】y=14x2−x+1【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，∴抛物线的对称轴是直线x=6+(−2)2=2，即顶点坐标为(2,0)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+0，把(−2,4)代入得：4=a(−2−2)2+0，解得：a=14，即y=14(x−2)2+0=14x2−x+1，故答案为：y=14x2−x+1．先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出顶点坐标是解此题的关键．15.【答案】42【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．由于DE//BC ，则可判断△ADE∽△ABC ，根据相似的性质得S △ADES△ABC=(AD AB )2=425，则可计算出S △ABC =50，然后利用四边形BDEC 的面积=S △ABC −S △ADE 求解．【解答】解：∵ADDB =23， ∴AD AB=22+3=25， ∵DE//BC ， ∴△ADE∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC=(AD AB )2，即8S△ABC=425，∴S △ABC =50，∴四边形BDEC 的面积=S △ABC −S △ADE =50−8=42．故答案为42．16.【答案】13【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．根据正方形的性质可得到△AME∽△CDE ，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH ，EF 的长，从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，过点E 作HF ⊥AB ，∵AM//CD，∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA，∴△AME∽△CDE，∴AM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1，∴EH=13，EF=23．∴阴影部分的面积=S正方形ABCD −S△AME−S△CDE−S△MBC=1−112−13−14=13．故答案为13．17.【答案】20【解析】解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，∴AE=10√2×sin45°=10(米)，∵背水坡CD的坡度i=1：√3，∴tan∠C=DFFC =√3=√33，∴∠C=30°，则DC=2DF=2AE=20(米)，故答案为：20．由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i=1：√3得出∠C的度数，即可求解．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．18.【答案】(10−2√6)【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED=∠ADG=45°，∠AFD=60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF=AC−AF=10−2√6．【解答】解：过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°， ∴∠AED =∠ADG =45°， ∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =√2=3√2，在Rt △AFG 中，GF =√3=√6，AF =2FG =2√6，∴CF =AC −AF =10−2√6，故答案为：10−2√6．19.【答案】解：原式=4×(√32)2−13+2×√22=3+2=2√3−2√2．【解析】把30°、45°、60°角的各种三角函数值代入计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12(b ⃗ −a ⃗ )=12a ⃗ +12b ⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +13b ⃗ ．(2)∵∠B =∠ACE ，∠CAE =∠BAC ， ∴△ACE∽△ABC ， ∴AEAC =ACAB ， ∴AE =4，此时AEAB =23=AGAD ，∵∠EAG =∠BAD ， ∴△AEG∽△ABD ，∴EG =23BD =13BC =3．【解析】(1)由点G 是△ABC 的重心，推出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据三角形法则求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题；(2)想办法证明△AEG∽△ABD ，可得EG =23BD =13BC =3；本题考查三角形的重心、平面向量、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)把(1,0)，(0,32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32；(2)抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2，其顶点恰好落在原点．【解析】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． (1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可； (2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB 于H ， ∴∠DHA =∠DOG =90°， ∵∠AGH =∠DGO ， ∴△AGH∽△DGO ， ∴AGDG =HGOG ，∴AG ⋅GO =HG ⋅GD ；(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =8，BD =6，∴AO=CO=4，BO=DO=3，∴AB=AD=√42+32=5，∵S菱形ABCD =12⋅AC⋅BD=AB⋅DH，∴DH=245，∵∠DOG=∠DHB=90°，∠ODG=∠HDB，∴△DOG∽△DHB，∴ODDH =DGBD，∴3245=DG6，∴DG=154．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．(1)根据菱形的性质得到AC⊥BD，由于DH⊥AB于H，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH∽△DGO，根据相似三角形的性质得到AGDG =HGOG，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到AO=CO=4，BO=DO=3，根据勾股定理得到AB=AD=√42+32=5，根据菱形的面积公式得到DH=245，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．23.【答案】解：设AG⊥EF于G，CH⊥EF于H设CH=xm，由题意得，四边形ACHG为矩形，∴AG=CH=x，GH=AC=20−10=10，∵∠ECH=45°，∴EH =CH =x ，在Rt △EAG 中，tan∠EAG =EGAG ，即tan37°=EG x，解得，EG ≈34x ，则x −34x =10，解得，x =40， ∴EF =FH +EH =50，故建筑物EF 的高度约为50m ．【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．设CH =xm ，根据矩形的性质得到AG =CH =x ，根据正切的定义用x 表示出EH 、EG ，结合图形列式计算即可．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)，∴设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −3)，∵抛物线y =a(x −1)(x −3)(a ≠0)的图象经过点C(0,6)， ∴6=a(0−1)(0−3)， ∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −3)=2x 2−8x +6； (2)∵y =2x 2−8x +6=2(x −2)2−2， ∴顶点M 的坐标为(2,−2)，∵抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称， ∴点N(2,2)，设直线AN 解析式为：y =kx +b ，由题意可得：{0=k +b 2=2k +b，解得：{k =2b =−2，∴直线AN 解析式为：y =2x −2，联立：{y =2x −2y =2x 2−8x +6，解得：{x 1=1y 1=0，{x 2=4y 2=6，∴点D(4,6)，∴S △ABD =12×2×6=6，设点E(m,2m −2)，∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分， ∴S △ABE =13S △ABD =2或S △ABE =23S △ABD =4，∴12×2×(2m −2)=2或12×2×(2m −2)=4，∴m =2或m =3， ∴点E(2,2)或(3,4)；(3)若AD 为平行四边形的边，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD =PQ ，∴x D −x A =x P −x Q 或x D −x A =x Q −x P ， ∴x P =4−1+2=5或x P =2−4+1=−1， ∴点P 坐标为(5,16)或(−1,16)；若AD 为平行四边形的对角线，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD 与PQ 互相平分， ∴x A +x D2=x P +x Q2，∴x P =3， ∴点P 坐标为(3,0)，综上所述：当点P 坐标为(5,16)或(−1,16)或(3,0)时，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．【解析】【试题解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，属于较难题．(1)设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −3)，把点C 坐标代入解析式，可求解；(2)分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；(3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．25.【答案】解：(1)如图1中，作EF⊥BC于F．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵EF//AC，∴BEBA =BFBC=EFAC，∴x5=BF4=EF3，∴EF=35x，BF=45x，∵PC=PB=2，∴PF=2−45x，∵∠C=∠EFP=∠DPF=90°，∴∠DPC+∠EPF=90°，∠EPF+∠PEF=90°，∴∠DPC=∠PEF，∴△PDC∽△EPF，∴EFPC =PFCD，∴35x2=2−45xy，∴y=20−8x3x，当y=4时，x=1，当y=0时，x=52，∴1≤x≤52．(2)①如图2−1中，当EP=EB时，作EF⊥PB于F．∵EP=EB，EF⊥PB，∴PF=BF，∴45x=1，∴x=54，∴CD=y=20−8×5 43×54=83．②如图2−2中，当BP=BE时，x=2，CD=y=20−8×23×2=23③如图2−3中，当PE=PB时，点D在AC的延长线上，同法可得y=8x−103x．作PM⊥BE于M，则BM=BE=3×45=85，∴x=165，∴CD =y =8×165−203×165=712．综上所述，满足条件的CD 的值为83或23或712．(3)①如图3−1中，当△DPE∽△BCA 时，则有DP PE =BC AC =43，∵△DCP∽△PFE ，∴PDPE =PCEF=43， ∴EF =32，∴35x =32，∴x =52，此时CD =y =0，∴AD =AC =3．②如图3−2中，当大王E 在BA 的延长线上时，△EPD∽△BCA ，则有EP PD =BC AC =43，同法可得EFPC =43，∴EF=83，∴35x=83，∴x=409，∴CD=y=8×409−203×409=76，∴AD=AC+CD=3+76=256，综上所述，满足条件的AD的值为3或256．【解析】(1)如图1中，作EF⊥BC于F.利用相似三角形的性质构建关系式即可．(2)分三种情形：①如图2−1中，当EP=EB时．②如图2−2中，当BP=BE时．③如图2−3中，当PE=PB时，点D在AC的延长线上，分别求解即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，当△DPE∽△BCA时，则有DPPE =BCAC=43，构建方程即可解决问题．②如图3−2中，当大王E在BA的延长线上时，△EPD∽△BCA，则有EPPD=BC AC =43，构建方程即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

_上海市徐汇区2020——2021学年九年级上学期期末数学试卷(一模) 解析版

2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+22．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是．11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是米．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C ＝，那么DP的长是．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+2【分析】先确定抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点平移的规律得到把点（﹣1，0）平移后得到对应点的坐标为（2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为（2，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2．故选：A．2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝8，∴tan C＝＝＝，cot C＝＝＝，sin C＝＝＝，cos C＝＝＝，因此选项D符合题意，故选：D．3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后计算出自变量为0所对应的函数值，再根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），∴﹣16+16+c＝3，∴c＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+4x+3，当x＝0时，y＝﹣x2+4x+3＝3；所以点（0，3）在抛物线y＝﹣x2+4x+3上．故选：B．4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大【分析】根据题意，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，函数y＝[x]的定义域是一切实数，故选项A错误；函数y＝[x]的图象是分段函数，故选项B错误；点（2，2）在函数y＝[x]图象上，故选项C正确；函数y＝[x]的函数值y随x的增大不一定增大，如x＝1.2时，y＝[1.2]＝1，x＝1.5时，y ＝[1.5]＝1，即x＝1.2和x＝1.5时的函数值相等，故选项D错误；故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．【分析】根据已知条件得出＝，再把要求的式子化成＝﹣1，然后代值计算即可．【解答】解：∵a：b＝2：3，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故答案为：．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，∴，即，解得：BF＝，故答案为：．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是2﹣2．【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．【解答】解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+）2﹣1，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣，∵二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，∴a＞0，故答案为：a＞011．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是2．【分析】先根据题意得到＝，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得＝（）2＝，然后利用比例的性质可求出DE的长．【解答】解：∵△AED和四边形DECB的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，即＝，∴DE＝2．故答案为2．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是2米．【分析】根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过B作BC⊥AD于C，∵山坡AB的坡度为i＝1：3，株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，∴水平距离AC＝6米，铅垂高度BC＝2米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离AB＝＝2（米），故答案为：2．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是（30﹣10）米．【分析】过C作CE⊥AB于E，先由矩形和含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再由等腰直角三角形的性质求出AB的长，即可得出结果．【解答】解：如图，甲楼为CD、乙楼为AB，BD＝30米，∠ADB＝45°，∠CAF＝30°，过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE为矩形，CE∥AF，∴CE＝BD＝30米，CD＝BE，∠ACE＝∠CAF＝30°，∴AE＝CE＝10（米），在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝30米，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（30﹣10）米，即甲楼的高为（30﹣10）米，故答案为：（30﹣10）．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C＝，那么DP的长是．【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，则∠C＝∠APB，由tan∠APB＝，求得BP＝4，PC＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝，得出＝，即可得出结果．【解答】解：∵DP⊥AP，CD⊥DP，∴AP∥CD，∴∠C＝∠APB，∵AB⊥BC，∴tan∠APB＝，∵tan C＝，∴＝，∴BP＝4，∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝＝，∴＝，解得：DP＝或DP＝﹣（不合题意舍去），故答案为：．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是4﹣6．【分析】过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，根据等边三角形的性质得到∠C ＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM ＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，MN＝DG＝x，AN＝﹣x，接着证明△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质得＝，解得x＝4﹣6，然后证明△ADE为等边三角形，从而得到AD＝DE．【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，∴AM＝CM＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，易得四边形DGMN为矩形，∴MN＝DG＝x，∴AN＝AM﹣MN＝﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得x＝4﹣6，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝4﹣6．故答案为4﹣6．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．【分析】小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，则小正方形EFGH 边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，设AE＝BF＝x，利用勾股定理求出x，最后利用熟记函数即可解答．【解答】解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，BE＝3a，∴∠ABE的余切值＝，故答案为：．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是4．【分析】先根据折叠的性质得DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，再根据平行线的性质和等量代换得到∠B＝∠BMD，则DB＝DM，接着利用比例的性质得到FM＝DM，然后证明△FMN∽△FDE，从而利用相似比可计算出MN的长．【解答】解：∵△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，∴DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠FDE＝∠BMD，∴∠B＝∠BMD，∴DB＝DM，∵＝，∴＝2，∴＝2，∴FM＝DM，∵MN∥DE，∴△FMN∽△FDE，∴＝＝，∴MN＝DE＝×8＝4．故答案为4．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是9﹣6．【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴•CD•EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tan C＝＝，∴＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案为：9﹣6．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×1﹣+|2×﹣|＝﹣+﹣＝﹣．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行四边形的性质得DC∥AB，从而△ABF∽△EDF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得BF：DF；（2）先求出BF＝BD，再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1.2，∵BC∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴；（2）∵BF：DF＝2：3，∴DF＝BD，∵＝﹣，∴＝，∴＝﹣．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐标；（2）设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入求得m的值，即可根据平移的原则得到顶点N的坐标，根据勾股定理求得OM2＝ON2＝2，MN2＝4，即可得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1．∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2+2x+2，∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴顶点M（﹣1，1）；（2）∵抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，∴设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入得，0＝1+1﹣m，∴m＝2，∴顶点N为（﹣1，﹣1），∵M（﹣1，1），∴OM2＝（﹣1）2+12＝2，ON2＝（﹣1）2+（﹣1）2＝2，MN2＝22＝4，∴OM＝ON，OM2＝（﹣1）2+ON2＝MN2，∴△MON是等腰直角三角形．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案；（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，∵CD∥AB，∴四边形CDFE是矩形，∴CE＝DF，CD＝EF，∵∠DBA＝45°，∴DF＝BF，设DF＝BF＝CE＝x米，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，∴AF＝DF＝x（米），∴AE＝AF﹣EF＝（x﹣220）米，在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，∵CE＝AE•tan37°，∴x＝（x﹣220）×0.75，解得x＝60（3+4）＝（180+240）米，∴AE＝x﹣220＝（320+240）米，FB＝x＝（180+240）（米），∴AB＝AE+EF+FB＝320+240+220+180+240＝780+420≈1507（米），答：限速道路AB的长约为1507米；（2）∵1分20秒＝小时，∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h，∴该车超速．23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF ＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴＝，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴＝，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．【分析】（1）用配方法配成顶点式，即可得出结论；（2）先判断出△CDH∽△BCO，得出，求出OC＝3，即可得出结论；（3）连接OM，利用三角形的面积的和差，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x2﹣2x+1）+4＝a（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），∵a＜0，∴抛物线的开口向下；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，∴A（1，0），对于y＝ax2﹣2ax+a+4，令x＝0，则y＝a+4，∴C（0，a+4），如图1，过点D作DH⊥y轴于H，∴∠CDH+∠DCH＝90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠DCH+∠OCB＝90°，∴∠CDH＝∠BCO，∵∠BOC＝∠CHD＝90°，∴△CDH∽△BCO，∴，在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，∵D（1，4），∴DH＝1，∴，∴CO＝3，∴a+4＝3，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）如图2，由（2）知，a＝﹣1，∴C（0，3），∴OC＝3，连接OM，设点M的横坐标为t（t＞1），∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3，∵△ACM的面积是，∴S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△AOC＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）﹣×1×3＝，∴t＝，∴M（，）．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠DEF＝90°，∴∠AED＝∠BEF，∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，∴△ADE≌△BFE（ASA），∴AD＝BF，∴AD＝5+CF＝5+CD，∵AC＝CD+AD＝12，∴CD+5+CD＝12，∴CD＝，∴正方形CDEF的面积为．（2）如图2中，∵∠ABG＝∠EBH，∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，∴△CBG∽△CAB，∴CB2＝CG•CA，∴CG＝，∴BG＝＝＝，∴AG＝AC﹣CG＝，过点A作AM⊥BE于M，∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CBG，∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝＝＝，∴AM＝，∵AB＝＝＝13，∴sin∠ABM＝＝．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．∵AE＝AG＝AN，∴∠GEN＝90°，由（1）可知，△NDE≌△BFR，∴ND＝BF，设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，在Rt△ADE中，∵AE2＝AD2+DE2，∴x2+（12﹣x）2＝（2x﹣7）2，∴x＝1+或1﹣（舍弃），∴CD＝1+．。

2020-2021学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（）A．经过坐标原点B．顶点是坐标原点C．有最高点D．对称轴是直线x＝12．（4分）在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．（4分）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（4分）下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝||B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝﹣，那么∥D．如果||＝||，那么＝6．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：3（+2）﹣2（﹣）＝．8．（4分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是．9．（4分）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了米．10．（4分）已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP的长是厘米．11．（4分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于．12．（4分）已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．13．（4分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．14．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC于点O，那么的值为．15．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．16．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cot B＝，正方形DEFG的顶点G、F分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为．17．（4分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1y2．（填“＜”或“＞”）21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N．（1）求的值；（2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：＝；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】先用配方法把二次函数化成顶点式，即可判断B、D，由a的正负判断有最大值和最小值即可判断C，看（0，0）是否满足y＝x2﹣x即可判断A．【解答】解：∵y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标是：（，﹣），对称轴是直线x＝，∵a＝1＞0，∴开口向上，有最小值，∵当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴图象经过坐标原点，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把二次函数化成顶点式是解题的关键．2．【分析】求出∠A，∠B的值即可判断．【解答】解：∵sin A＝，cot B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯角的定义．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：当，则DE∥BC，故选项A不符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项B符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项C不符合题意；由于＝，DE∥BC不一定成立，选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边5．【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断．【解答】解：A、如果为单位向量，且与方向相同时，那么＝||，故本选项不符合题意．B、如果、都是单位向量且方向相同，那么＝，故本选项不符合题意．C、如果＝﹣，则向量与﹣的大小相等、方向相反，那么∥，故本选项符合题意．D、若||＝||，那么与的模相等，但是方向不一定相等，即＝不一定成立，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，注意平面向量既有大小，又有方向，属于易错题．6．【分析】如图，利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△DCB，则S△AOB＝S△DOC，于是可对A选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理得到＝，再利用三角形面积公式得到＝，于是可对B选项进行判断；证明△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可对C选项进行判断；利用两平行线的距离的定义得到点B到AD的距离等于点A 到BC的距离，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．【解答】解：如图，∵AD∥BC，＝S△DCB，∴S△ABC+S△OBC＝S△OBC+S△DOC，即S△AOBS△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确；∵AD∥BC，∴＝，∵＝，∴＝；所以B选项的结论正确；∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2，所以C选项的结论错误；∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，∴＝，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形和三角形面积公式．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】乘法结合律也同样应用于平面向量的计算．【解答】解：原式＝3+6﹣2+2）＝+8．故答案是：+8．【点评】本题主要考查了平面向量，属于基础题，实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．8．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数1﹣a＞0．【解答】解：因为抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，所以1﹣a＞0，即a＜1．故答案为：a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．9．【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角的定义．10．【分析】先根据黄金分割的定义求出BP的长，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，AB＝4厘米，∴BP＝AB＝（2﹣2）厘米，∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（2﹣2）＝（6﹣2）厘米，故答案为：（6﹣2）．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．11．【分析】根据抛物线y＝x2﹣4x+3，可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点，然后即可得到点A、B、C的坐标，从而可以求得△ABC的面积．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），∴当y＝0时，x＝1或x＝3，当x＝0时，y＝3，∴点A、B、C的坐标为分别为（1，0），（3，0），（0，3），∴AB＝2，∴△ABC的面积是：＝3，故答案为：3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．【分析】可设所求的函数解析式为y＝x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（2，2）在抛物线上，∴2＝22+k解得：k＝﹣2，∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．故答案为：y＝x2﹣2．【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．13．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y＝﹣x2+x+＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．14．【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则利用比例的性质和等量代换得到＝，接着证明△AOE∽△COD，然后利用相似比得到的值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵＝，∴＝，∴＝，∵AE∥CD，∴△AOE∽△COD，∴＝＝．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．15．【分析】延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的定义和性质得到DG＝CG＝1，AD＝BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝BD＝AD＝3，所以∠DCB＝∠B，然后在Rt△ACB中利用余弦的定义求出cos B的值，从而得到cos∠GCB的值．【解答】解：延长CG交AB于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG＝CG＝1，AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝2+1＝3，∴AB＝6，∠DCB＝∠B，在Rt△ACB中，cos B＝＝＝，∴cos∠GCB＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了解直角三角形．16．【分析】先利用余切的定义得到cot B＝＝，则可设BC＝t，则AC＝2t，AB＝t，所以t＝10，求出得到BC＝2，AC＝4，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x，利用面积法得到CH＝4，则CM＝4﹣x，然后证明△CGF∽△CAB，则利用相似比得到＝，从而解方程求出x即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴cot B＝＝，设BC＝t，则AC＝2t，∴AB＝＝t，∴t＝10，解得t＝2，∴BC＝2，AC＝4，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x，易得四边形DGMH为矩形，∴MH＝DG＝x，∵CH×AB＝×AC×BC，∴CH＝＝4，∴CM＝CH﹣MH＝4﹣x，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的边长为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了正方形的性质和解直角三角形．17．【分析】如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．解直角三角形求出AE，DE即可解决问题【解答】解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B1AB＝30°，由直角三角形的性质可求DB1＝DE，DB＝DE﹣DE，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB1于E，∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠CAB＝75°，∵BB1∥AC，∴∠CAB＝∠ABB1＝75°，∵将△ABC绕点A旋转，∴AB＝AB1，∠AB1C1＝∠ABC＝45°，∴∠AB1B＝∠ABB1＝75°，∴∠B1AB＝30°，又∵DE⊥AB1，∠AB1C1＝45°，∴AD＝2DE，AE＝DE，DE＝B1E，∴AB1＝DE+DE＝AB，DB1＝DE，∴DB＝AB﹣AD＝DE﹣DE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．【解答】解：原式＝＝＝＝4﹣2．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）可根据二次函数增减性进行解答．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．根据题意，得，解得．∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2，故答案为＜．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．【分析】（1）利用平行线截线段成比例解答；（2）根据已知条件和三角形法则求得，然后利用（1）的结论求向量．【解答】（1）解：∵BM＝BC，∴＝．∵DE∥BC，∴＝，∴＝＝．即：的值是；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∵DE∥BC，＝，∴＝＝．∴DN＝BM．由（1）知，＝，则NE＝2DN．∴＝2＝2×＝﹣．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，难度不大，熟练运用三角形法则解题即可．22．【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD＝AD，AD＝BD，由已知条件得出关于AD的方程，解方程即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴tan C＝＝1，∴CD＝AD，在Rt△ABD中，∵∠B＝64°，∴tan∠B＝＝2.05，∴BD＝BD，∵BC＝BD+CD＝50米，∴AD+AD＝50米，解得：AD≈33.6（米）．答：河的宽度约为33.6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解此题的关键是把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解．23．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到＝，再证明△ADE∽△CBE，则＝，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到＝，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴＝，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴＝；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴＝，∴DC2＝DE•DB，∵＝，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．24．【分析】（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），利用待定系数法求出m，再求出点P的坐标即可解决问题．（2）如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．证明OF＝PF，由此构建方程求出t，再求出直线PF的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．（3）构建不等式组，解决问题即可．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），∴（1﹣m）2＝4，解得m＝3或﹣1（舍弃），∴A（3，4），P（1，0），∴PA＝＝2．（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（0，0），∴m2＝4，解得m＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝1时，n＝3，∴P（1，3），如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．∵P（1，3），∴tan∠POF＝3，∵tan∠OPQ＝3，∴tan∠POF＝tan∠OPQ，∴∠POF＝∠OPQ，∴OF＝PF，∴t2＝32+（t﹣1）2，∴t＝5，∴F（5，0），∴直线PF的解析式为y＝﹣x+，由，解得（即点P）或，∴Q（，）．（3）如图2中，当点B在y轴的正半轴上时，由题意，，解得＜m＜2且m≠1．当点B与原点O重合时，显然不符合题意，当点B在y轴的负半轴上时，4﹣m2＜0，且m＞2，∴m＞2，此时点P在抛物线的对称轴的左侧，不符合题意．综上所述，＜m＜2且m≠1．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，不等式组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式组解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解决问题．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．想办法证明AR＝AT＝8，再证明△ACD∽△TAF，可得＝＝，推出AF＝2CD＝2x，可得结论．（3）利用△CFD与△ADH相似，可得＝或＝，由此构建方程求出CD，当点F在下方时，同法可求CD．【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x≤2）．（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF与△AGE相似，∴△CFD与△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x﹣16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），∴CD＝4﹣4或8﹣4，当点F在下方时，同法可得，CD＝，综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

上海市松江区2020届九年级上学期期末(一模)质量调研数学试卷(word解析版)

2020年上海市松江区中考数学一模试卷答案解析版一、选择题1.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列判断正确的A. 0a >，0b >，0c >B. 0a <，0b <，0c <C. 0a <，0b >，0c >D. 0a <，0b <，0c >【答案】C 【解析】【分析】利用抛物线开口方向、对称轴的位置、抛物线与y 轴的交点位置进行判断．【详解】解：抛物线开口向下a ＜0；对称轴在y 轴右侧，b ＞0（与a 异号）；图像交y 正半轴，c ＞0，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．2.如果点A （1，3）、B （m ，3）是抛物线()22y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的对称性，抛物线上的点，纵坐标相同，则关于对称轴对称，由顶点式可知对称轴是x=2，则可求出.【详解】解：∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线()22y a x h=-+上两个不同的点，∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴由顶点式可知对称轴是2x=，对称轴位于A点的右侧，∴2m<，∴122m+=，解之得：3m=，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象的对称性等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．3.在以O为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A（3，4），射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为A. 35B.43C.45D.34【答案】A【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【详解】解：∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（3，4）∴5OA==，∴35 cosα=故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识．4.下列两个三角形不一定相似的是A. 两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形B. 腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形C. 有一个内角为50︒的两个直角三角形D. 有一个内角为50︒的两个等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．【详解】解：A. 两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意； B. 腰与底比都是2:3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C. 有一个内角为50︒的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D. 有一个内角为50︒的两个等腰三角形，内角是50︒的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似. 故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．5.如果a b c +=r r r ，3a b c -=rr r ，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A. =a b r rB. 20a b +=r rC. a r与b r方向相同 D. a r与b r方向相反【答案】D 【解析】【分析】根据向量的性质进行计算判断即可.【详解】解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ，计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.6.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部的分（阴影部分）的面积是1.5，那么sin α的值为A.34B.12C.23D.32【答案】C 【解析】【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE ，再根据面积求出sin α．【详解】解：如图示：作BC CD ⊥交CD 于C 点，AD CD ⊥交CD 于D 点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有AB AE =，1AD =， ∴1sin AB AE α==∴1=1 1.5sin S AB AD α=⨯=g 阴影解之得：2sin 3α=，故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．二、填空题7.已知：23x y =，那么2x yx y -=+ ．【答案】15【解析】【分析】设2x k =，3y k =，代入求解即可. 【详解】解：∵23x y = ∴设2x k =，则3y k =，代入2x yx y-+ 得：22312355k k k k k k ⨯-==+，故答案为：15【点睛】本题考查了比例性质，根据题意利用参数设2x k =，3y k =是解题的关键. 8.已知线段a 是线段b 、c 比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ．【答案】43【解析】【分析】根据比例中项的定义可得a bc =2，从而易求c ．【详解】解：∵线段a 是线段b 、c 的比例中项， ∴a bc =2，即223c =⨯， ∴43c =，故答案是：43【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 9.若两个相似三角形面积比为3:4，则它们的相似比为．的【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为3:4，∴它们的相似比=【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 10.已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，AP PB >，且2AP =，那么PB =________.1；【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP AB ，代入数据即可得出AP 的长，于是得到结论．【详解】由于P 为线段AB 的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP ＝＝2，∴AB 1∴PB ＝AB−PA 11，1.【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．11.已知Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，则∠A 的余切值为．【答案】32【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出CcotA ACB =即可得出答案．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，3cot 2AC A BC ∠==，故答案为：32.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．12.已知二次函数()212f x x bx c =++图像的对称轴为直线4x =，则()1f ()3f ．（填“＞”或“＜”）【答案】> 【解析】【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．【详解】解：∵二次函数()212f x x bx c =++的图象开口向上，对称轴为直线4x =， ∴当x 的取值越靠近4函数值就越小，反之越大， ∴()1f >()3f ，故答案为：＞．【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性． 13.在直角坐标平面中，将抛物线()221y x =+先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是．【答案】221y x =+ 【解析】【分析】根据二次函数图像平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”求解即可. 【详解】解：根据二次函数图像平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”则抛物线()221y x =+平移后为：()22211121y x x =-++=+⎡⎤⎣⎦故答案为：221y x =+【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．14.如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且AD ＝2DC ．如果AB a =u u u rr，AC b =u u u r r，那么向量BD u u u r 关于a r 、b r的分解式是．【答案】23b a -r r【解析】【分析】根据向量的运算法则计算即可. 【详解】解：∵AD ＝2DC ，∴23AD AC =u u u r u u u r ，根据题意，可得：2233DB AB a AC a b AD -=-=-=u u u r u u u r u u u r r u u u r r r∴23B b a D =-u u u r r r ，故答案为：23b a -r r【点睛】本题考查的是向量的运算法则，熟悉向量的计算遵循三角形法则是解题的关键. 15.如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么tan ∠BAC 的值为．【答案】2 【解析】【分析】在正方形网格中构造一个∠BAC 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义求解．【详解】解：如图示：连接BC ，根据题意可得： 2223110AC =+= 222112AB =+=222228BC =+=∴222AB BC AC += ∴90ABC ∠=o ，∴在Rt △ABC 中，2BC tan BAC AB ∠== 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．16.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为．【答案】23【解析】【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【详解】解：斜面AB 的坡度为：202303=，故答案为：23．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键．17.以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”.如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距” ．【解析】【分析】延长DF 交边BC 于点F ，根据等腰直角三角形的腰长为2，DBA V 和EAC V 是等边三角形，可以求得12G M G N =并且可证MN ∥12G G ，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解.【详解】解：如图示：等腰直角三角形的腰长为2，即：2AB AC == ，∵DBA V 和EAC V 是等边三角形，ABC V 等腰直角三角形 ∴，延长DF 交边BC 于点F∵12G G 、分别是等边△ABD 和等边△ACE 的重心 ∴DM 垂直且平分AB ，EN 垂直且平分AC，12G M G N == 又∵∠BAC=90° ∴AC ∥DF∴点F 是BC 的中点同理可得EN 的延长线也交BC 于点F∴111MF AC 1FN AB 1MN BC 222======，，∵2FN NG1FM MG =∴21FN FMNG MG = ∴MN ∥12G G∴121MN FM G G FG =12=，解得12G G = 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，熟悉相关性质定理，灵活运用是解题的关键.18.如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A BC D '''．联结AD '，分别交边CD ，AB '于E 、F ．如果AEF '，那么k＝．【答案】1k =【解析】【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD=A'D'=1，AB=A'B=k ，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC ，通过证明△ADE ∽△FA'D'，可得AD DE AEA F A D D F''=''=，可求DE ，A'F 的长，通过证明△A'D'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′， ∴AD=A'D'=1，AB=A'B=k ，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC ， ∴A'D'∥BA ∥CD∴∠A'D'F=∠FEC=∠DEA ，且∠D=∠A'=90°， ∴△ADE ∽△FA'D'， ∴AD DE AEA F A D D F''=''=，且AEF '，∴''DE D =='A F AD ==， ∵∠A'=∠DCF=90°，∠A'FD'=∠EFC ， ∴△A'D'F ∽△CEF ， ∴EC FCA D A F='''，1k -=∴1k =1【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE ，A'F 的长是本题的关键．三、解答题19.计算：()2232cos 453tan 302sin 60cos60cot 30-︒+︒︒-︒-︒【答案】2-【解析】【分析】利用特殊锐角三角函数值计算求解即可.【详解】解：原式=223232122⎛-+ ⎝⎭=-⨯--⎝⎭【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的计算，熟知特殊锐角三角函数值是解题的关键. 20.已知二次函数241y x x =--.（1）将函数241y x x =--的解析式化为()2y a x m k =++的形式，并指出该函数图像顶点B 坐标；（2）在平面直角坐标系中xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A .求四边形OABC 的面积. 【答案】（1）()225y x =--，B （2，－5）；（2）6.【解析】【分析】（1）利用配方法把将二次函数y=x 2-4x-1的解析式化为y=a （x+m ）2+k 的形式，利用二次函数的性质即可得出答案；（2）求出C 点，A 点坐标，则四边形OABC 的面积可求出．【详解】解：（1）()224125y x x x =--=--，该函数图象顶点B 坐标为（2，-5）；（2）如图，令y=0，x=-1， ∴C （0，-1）， ∵B （2，-5）， ∴A （2，0）， ∴四边形OABC 的面积()6126122AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯= ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．21.如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，AD ＝AB ＝13，BD ＝24.求边DC 的长.【答案】12013CD = 【解析】【分析】由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，从而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，可证△ABE∽△DCB，可得AB AEBD CD=，即可求DC的长．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠ABD=∠DBC，∵AE⊥BD，AB=AD，∴∠AEB=∠C=90°，BE=DE=12，∴221691445AE AB BE=-=-=，∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90°，∴△ABE∽△DCB，∴AB AE BD CD=即：13524CD=∴12013 CD=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．22.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上.小岛A离港口P有多少海里？【答案】AP=【解析】【分析】作AD⊥PB于D，设BD=x海里，，则AD=，根据45∠=o可得AD=PD，列出方APD程，求出x的值，根据勾股定理计算即可．【详解】解：过点A作AD⊥PB于点D，PB=⨯=（海里）根据题意得：12 1.518设BD=x，则AD=，∴18x+=,解得：9x=+∴27AD=+∵45∠=o，APD∴2AD AP =解得，AP =【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，2CD CF CA =⋅.（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC CF BC CE ⋅=⋅，求证：2BD DE BA =⋅.【答案】详见解析【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CD CE CA CB =，由2•CD CF CA =，可得CD CFCA CD=，可证EF ∥BD ；（2）根据AC·CF=BC·CE 可得△CEF ∽△CAB ，并可证得∠EDB ＝∠DBA ，则可证明△BAD ∽△DBE ，可得BD ABDE BD=，即可得结论．详解】证明（1）∵DE ∥AB ∴CD CECA CB= ∵2•CD CF CA = ∴CD CFCA CD = ∴CE CFCB CD=∴EF∥BD（2）∵AC·CF=BC·CE∴AC BCCE CF=，又∠C=∠C，∴△CEF∽△CAB∴∠CEF＝∠A∵EF∥BD∴∠CEF＝∠EBD∴∠EBD＝∠A∵ED∥AB∴∠EDB＝∠DBA，且∠EBD＝∠A，∴△ABD∽△BDE∴BD AB DE BD=∴2•BD BA DE=.【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．24.如图，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．【答案】(1) y ＝-x 2＋2x ＋3；(2) 5425PQ =；(3) m 的值为2、3或1. 【解析】【分析】（1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y ＝-x 2＋bx ＋c ，化简求出b ，c 的值即可；（2）根据∠BOP ＝∠PBQ 且MQ ∥OB ，可证△OBP ∽△BPQ ，可设Q （x ，-x 2＋2x ＋3），求出直线AB 的解析式，则可得P 的坐标为(x ，3－x)，可得BP x ，OB ＝3，PQ ＝-x 2＋3x ，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解；（3）分三种情况讨论：①当BQ ＝PQ 时，②当BP ＝PQ 时，③当BP ＝BQ 时，然后分别求解即可.【详解】（1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y ＝-x 2＋bx ＋c 得9303b c c -++=⎧⎨=⎩ ，解之得：32c b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝-x 2＋2x ＋3 （2）∵∠BOP ＝∠PBQ 且MQ ∥OB ∴∠OBP ＝∠BPQ ∴△OBP ∽△BPQ 设Q （x ，-x 2＋2x ＋3）∵P 点在直线AB 上，并A (3, 0)、B (0, 3)，则直线AB 的解析式为：3y x =-+ ∴ P (x ，3－x)∴BP x ，OB ＝3，PQ ＝-x 2＋3x∴OB BPBP PQ = 23x x=-+ ∴905x =或（0舍去）∴5425PQ =（3）∵M （m ，0），P （m ，3－m ），Q （m ，-m 2＋2m ＋3）∴BP m ，PQ ＝-m 2＋3m 且∠BPQ ＝45° ∴当△BPQ 为等腰三角形时，存在如下情况： ①如图1，当BQ ＝PQ 时，即∠PBQ ＝∠BPQ ＝45° ∴△BPQ 为等腰直角三角形 ∴-m 2＋2m ＋3＝3 ∴m ＝2②当BP ＝PQ 时,m ＝-m 2＋3m ，即30m =或（0舍去） ③如图2，当BP ＝BQ 时，∠BQP ＝∠BPQ ＝45°根据3PM m =-，OM m =，可得2PQ m =则有2233-++=+，m m m∴m＝1综上所述，m的值为2、3或1.【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合，三角形的相似，特殊角使用，以及等线段的关系转化问题，懂得综合讨论是解题的关键．25.已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F.（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E. 当m=2时，求线段EF的长度；图（1）（2）如图（2），联结OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；图（2）（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.图（3）【答案】（1）EF （2）3sin 5COF ∠=；（3）1或2或1+. 【解析】【分析】（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，证∠BCG=∠MON ，在Rt △AOE 中，设OE=a ，可求得OA ，OG ，OF 的长，则EF OF OE =-=；（2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得CG =CO CG ==Rt △COB 中，由勾股定理求出a 的值，得出OF 的长，可求出cos ∠COF 的值，进一步推出sin ∠COF 的值；（3）需分情况讨论：当D 在∠MON 内部时，△FDA ∽△FDC 时，此时CD=AD=2，m=2；当△FDA ∽△CDF 时，延长CD 交ON 于点Q ，过F 作FP ⊥CQ 于P ，可利用三角函数求出m 的值；当D 在∠MON 外部时，可利用相似的性质等求出m 的值．【详解】解：解：（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，90BCG CGB ∠+∠=︒Q ，90MON CGB ∠+∠=︒， BCG MON ∴∠=∠，则tan tan 2BCG MON ∠=∠=，24BG BC ∴==，CG ==在Rt AOE ∆中，设OE a =，由tan 2MON ∠=，可得OA ，则6OG =+，OF a ==+，EF OF OE ∴=-=（2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得CG =CD Q 平分FCO ∠，FCD DCO ∴∠=∠， //CD OM Q ，FCD CGO ∴∠=∠，DCO COG ∠=∠， CGO COG ∴∠=∠，CO CG ∴==，在Rt COB ∆中，由222BC BO OC +=，得22222)++=，解得1a =（舍去），2a =，OF a ∴=+=， 4cos 5OF COF OC ∠==， 3sin 5COF ∴∠=；（3）当D 在MON ∠内部时， ①如图31-，FDA FDC ∆∆∽时，此时2CD AD ==，2m ∴=；②当FDA CDF ∆∆∽时，如图32-，延长CD 交ON 于点Q ，过F 作FP CQ ⊥于P ，则135FDC FDA ∠=∠=︒，45FDP ∴∠=︒，tan tan 22PC FP PFC FP MON FP DP CD DP =∠=∠===+Q g g ， FP PD CD m ∴===，FD ∴=，FDA CDF ∆∆Q ∽，∴FD CDDA FD=，FD ∴==∴，1m ∴=；当D 在MON ∠外部时，90ADF ∠>︒，90DFC ∠>︒，ADF DFC ∴∠=∠， DFI FDI ∴∠=∠，ID IF =，如图33-，FDA DFC ∆∆∽时，此时FDA DFC ∆≅∆， 2CF AD ∴==，DAF FCD FHD ∠=∠=∠Q ，A ∴、O 重合，延长BC 交ON 于R ，24FR CF ∴==，CR =2BR =+ 112m CD AB BR ∴====+如图34-，FDA CFD ∆∆∽时，设(0)CF t =>，延长BC 交ON 于R ，过F 作FS CD ⊥于S ，DFC FDH ∆≅∆Q ， DH FC ∴=，12ID IF CF ∴==，IS t ∴=，2FS t =，4CS t =，1)DS t =，DH FC ==， FDA CFD ∆∆Q ∽，∴AD DFDF FC=，22DF AD FC DH ∴===g ，222DF DS FS =+Q ，22241)t t ∴=+，解得，112t =，20t =（舍去），52DH AD ∴===，矛盾，综上所述：1m =或2m =，或1m =+【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．。

2020-2021学年上海市闵行区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数中，y是x二次函数的是()A. y=x+2B. y=2x2+1x−10C. y=x2+5xD. y2=x−12.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为()A. 7sin35°B. 7cos35°C. 7tan35°D. 7cos35∘3.二次函数y=ax2+bx−2(a≠0)的图象的顶点在第三象限，且过点(1,0)，设t=a−b−2，则t值的变化范围是()A. −2<t<0B. −3<t<0C. −4<t<−2D. −4<t<04.已知e⃗是单位向量，且a⃗=−2e⃗，b⃗ =4e⃗，那么下列说法错误的是()A. a⃗//b⃗B. |a⃗|=2C. |b⃗ |=−2|a⃗|D. a⃗=−12b⃗5.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是()A. 2<O1O2<4B. 2<O1O2<6C. 4<O1O2<8D. 4<O1O2<106.美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618，越给人一种美感，某女士身高165厘米，下半身长X与身高I的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应该穿的高跟鞋的高度大约为A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果x2=y3≠0，那么xy=______．8.计算：32(a⃗−2b⃗ )−4b⃗ =______．9.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是______的(填“上升”或“下降”)10.将抛物线y=(x+2)2−3向右平移3个单位长度，得到的抛物线与y轴的交点坐标是()A.(0,−2)B.(0,−1)C.(0.2)D.(0,3)11.已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之比是______ ．12.如图所示，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，，则BC=______若AE=3，EC=1，且知DE=7213.在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是______ ．14.若B地在A地的南偏东50∘方向5km处，则A地在B地的方向处.15.已知正六边形的半径为4cm，则它的边长等于________cm．16.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE//AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．17.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径画圆．(1)若⊙C与线段AB没有公共点，则r满足的条件是____________；(2)若⊙C 与线段AB 只有一个公共点，则r 满足的条件是___________； (3)若⊙C 与线段AB 有两个公共点，则r 满足的条件是___________． 18. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sinB =35，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ，点A 、B 分别与点A 1、B 1对应，边A 1B 1分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边A 1B 1的中点，那么BDB1C=______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：cos30°+sin60°−(tan45°−1)201820. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上的两点，且BE =DF ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示下列向量：向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______； (2)求作：b ⃗ +c ⃗ ．21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．22.某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米(即AD=BE=1米)，两台测角仪相距100米(即AB=100米).在某一时刻无人机位于点C(点C与点A、B在同一平面内)，A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°.求该时刻无人机的离地高度；(单位：米，结果保留整数)；(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)23.已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE=∠B，求证：AD2=AE⋅AB．24.已知：抛物线y=ax2+bx−3经过点A(7,−3)，与x轴正半轴交于点B(m,0)、C(6m、0)两点，与y轴交于点D．(1)求m的值；(2)求这条抛物线的表达式；(3)点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．25.已知锐角∠MBN的余弦值为3，点C在射线BN上，BC=25，点A在∠MBN的内部，5且∠BAC=90°，∠BCA=∠MBN.过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E.点F在线段BE上(点F不与点B重合)，且∠EAF=∠MBN．(1)如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；(2)如图2，当点E在线段BC上时，设BF=x，BD=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数．根据二次函数的定义，可得答案．【解答】A. y=x+2，是一次函数，不合题意；−10，不是二次函数，不合题意；B.y=2x2+1xC.y=x2+5x，是二次函数，符合题意；D.y2=x−1，y不是x的二次函数，不合题意．故选C．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，cosB=BC，AB∴BC=AB⋅cosB=7cos35°，故选：B．根据余弦的定义列出算式，计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：y=ax2+bx−2，当x=0时，y=−2，即抛物线与y轴的交点是(0,−2)，过点(1,0)和点(0,−2)的直线的解析式是y=2x−2，当x=−1时，y=2x−2=−4，而x=−1时，y=ax2+bx+c=a−b+c，∵t=a−b−2，∴−4<a−b+c<0，即−4<t<0，故选：D．先利用待定系数法求出经过点(1,0)和(0,−2)的直线解析式为y=2x−2，则当x=−1时，y=2x−2=−4，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以x=−1时，对应的二次函数值为负数，从而得到所以−4<a−b+c<0，再根据抛物线的顶点坐标得出即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．4.【答案】C【解析】解：∵a⃗=−2e⃗，b⃗ =4e⃗，b⃗ ，∴a⃗//b⃗ ，|a⃗|=2，a⃗=−12∴A、B、D正确，故选：C．根据平面向量的性质即可一一判断．本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．5.【答案】C【解析】解：两圆半径差为4，半径和为8，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，4<O1O2<8．故选C．本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R−r<P<R+r.(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径)．本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法，属于基础题，比较简单．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．7.【答案】23【解析】【试题解析】解：∵x2=y3≠0，∴xy =23．故答案为：23．直接利用已知将比例式变形得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．8.【答案】32a⃗−7b⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．【解答】解：：32(a⃗−2b⃗ )−4b⃗ =32a⃗−32×2b⃗ −4b⃗ =32a⃗−7b⃗ ．a⃗−7b⃗ ．故答案是：329.【答案】下降【解析】解：∵在y=3x2+2x中，a=3>0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．10.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．直接利用二次函数的平移规律进而得出函数关系式，进而求出答案．【解答】解：将抛物线y=(x+2)2−3向右平移3个单位长度，得抛物线y=(x−1)2−3，当x=0时，y=−2，∴得到的抛物线与y轴的交点坐标是(0,−2)．故选A．11.【答案】1：2【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴这两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的周长比是1：2．故答案为：1：2．由两个相似三角形的面积比是1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用．12.【答案】143【解析】解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，可知：AEAC =DEBC将AE=3，AC=3+1=4DE=7 2代入得：34=72BC∴BC=143故答案为：143根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．13.【答案】(1,√3)【解析】解：作PM⊥x轴于点M，如图所示：∵OP=2，∴sin60°=PMOP =√32，cos60°=OMOP=12，∴PM=√3，OM=1．故P点坐标为：(1,√3).故答案为：(1,√3).作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．本题考查了解直角三角形和坐标与图形性质的知识，难度不大，注意掌握一个角的余弦和正弦的计算方法．14.【答案】北偏西50°，5km【解析】【分析】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：从图中发现∠CAB=50°，故A地在B地的北偏西50°方向5km．故答案为北偏西50°，5km．15.【答案】【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键.根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4cm，则正六边形的边长是4cm．故答案为4．16.【答案】7【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，关键是根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．【解答】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB//DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF:AB=9:12=3:4，∴△CEF和△CBA的面积比=9:16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF:EF=7k:9k=7:9，∵EF=9，∴DF=7．故答案为：7．17.【答案】(1)0<r<2.4或r>4(2)3<r≤4或r=2.4(3)2.4<r≤3．【解析】【分析】(1)要使圆和斜边没有公共点，则有两种情况：①直线和圆相离；②直线和圆相交，但交点不在斜边上，根据题意，求出直角三角形斜边上的高，便可直观得出半径的取值范围；(2)两种情况：①圆与AB相切时；②点A在园内部，点B在圆上或圆外时；(3)要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC即可．【解答】(1)如图，根据勾股定理求得AB=5．∵BC>AC，r=CD=3×4÷5=2.4，若⊙C与线段AB没有公共点，0<r<2.4，或r>4．(2)以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，分两种情况：①圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4;②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC<r≤BC，即3<r≤4，∴r=2.4或3≤4;(3)以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，即r的取值范围是2.4<r≤3．故答案为(1)0<r<2.4或r>4；(2)3<r≤4或r=2.4；(3)2.4<r≤3．18.【答案】35【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB1∽△DEB 是本题的关键．设AC=3x，AB=5x，可求BC=4x，由旋转的性质可得CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，由题意可证△CEB1∽△DEB，可得BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，即可求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，sinB=ACAB =35，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC=√AB2−AC2=4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=12A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC−CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED∴△CEB1∽△DEB∴BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，故答案为：35．19.【答案】解：原式=√32+√32−(1−1)2018=√3．【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 20.【答案】(1)−c ⃗ a ⃗ −b ⃗ a⃗ −c ⃗ (2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ， ∴∠ADF =∠CBE ， ∵DF =BE ， ∴△ADF≌△CBE ，∴∠AFD =∠CEB ，AF =CE ， ∴∠AFB =∠CED ， ∴AF//CE ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ，故答案为−c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ ，a ⃗ −c ⃗ ．(2)见答案．【分析】(1)根据平面向量的加法法则计算即可；(2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：∵∠A 和∠D 所对的弧都是弧BC ，∴∠D =∠A =45°， ∵BD 是直径，∴∠D=∠DBC=45°，∴CB=CD=2，由勾股定理得：BD=√BC2+CD2=2√2．【解析】根据圆周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直径，根据勾股定理计算即可．本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．22.【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA=45°，∴BH=CH，设CH=x，则BH=x．∵在Rt△ACH中，∠CAB=30°，AH=√3CH=√3x∴.√3x+x=100解得：x=√3+1=36.6≈37∴37+1=38m.答：无人机的离地的高约为38m.【解析】本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.过点C作点CH⊥AB于H.设AH=CH=x，根据AB= 100，构建方程即可解决问题．23.【答案】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAE，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△ADE，∴ABAD =ADAE，【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．证明△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明．24.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，∴D(0,−3)．设抛物线的解析式为y=a(x−m)(x−6m)．把点D和点A的坐标代入得：6am2=−3①，a(7−m)(7−6m)=−3②，∴a(7−m)(7−6m)=6am2．∵a≠0，∴(7−m)(7−6m)=m2．解得：m=1．(2)∵6am2=−3，∴a=−36m2=−12．将a=−12，m=1代入得：y=−12x2+72x−3．∴抛物线的表达式为y=−12x2+72x−3．(3)如图所示：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为(a,0)则OQ=−a−∵∠DQP=90°，∴∠PQO+∠OQD=90°．又∵∠ODQ+∠DQO=90°，∴∠PQE=∠ODQ．又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，∴△ODQ∽△EQP．∴QOPE =ODQE=QDQP=12，即−a3=PE6=12，∴QE=6，PE=−2a．∴P的坐标为(a+6,−2a)将点P的坐标代入抛物线的解析式得：−12(a+6)2+72(a+6)−3=−2a，整理得：a2+a=0，解得a=−1或a=0．当a=−1时，Q(−1,0)，P(5,2)；当a=0时，Q(0,0)，P(6,0)．综上所述，Q(−1,0)，P(5,2)或者Q(0,0)，P(6,0)．【解析】(1)先求得点D的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a(x−m)(x−6m)，把点D和点A的坐标代入可求得m的值；(2)由6am2=−3，m=1可求得a的值，然后代入抛物线的解析式即可；(3)过点P作PE⊥x轴，垂足为E.设点Q的坐标为(a,0)则OQ=−a，然后证明△ODQ∽△EQP，依据相似三角形的性质可求得QE=6，PE=−2a.，则P的坐标为(a+6,−2a)，将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，用含a的式子表示出点P的坐标是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴cos∠BCA=cos∠MBN=ACBC =35=，∴AC=3∴AC=15∴AB=√BC2−AC2=20∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF=cos∠MBN=35=AFAE∴AE=20∴EF=√AE2−AF2=16(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H，由(1)可知：AB=20，AH=12，AC=15，∴BH=√AB2−AH2=16，∵BF=x，∴FH=16−x，CF=25−x，∴AF2=AH2+FH2=144+(16−x)2=x2−32x+400，∵∠EAF=∠MBN，∠BCA=∠MBN∴∠EAF=∠BCA，且∠AFC=∠AFC，∴△FAE∽△FCA∴AFFC =EFAF，∠AEF=∠FAC，∴AF2=FC×EF∴x2−32x+400=(25−x)×EF，∴EF=x2−32x+40025−x∴BE=BF+EF=400−7x 25−x∵∠MBN=∠ACB，∠AEF=∠FAC，∴△BDE∽△CFA∴BDFC=BEAC∴y=400−7x25−x∴y=400−7x15(0<x≤252)(3)如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF=∠AEC，∵∠EAF=∠MBN，∠EAF+∠DAF=180°，∴∠DAF+∠MBN=180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠AEC=∠ABF，∴AB=AE，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，且∠ABF=∠AEC，∠ACB=∠MBN=∠EAF，∴∠AEC+∠EAF=90°，∠AEC+∠MBN=90°，∴∠BDE=90°=∠AFC，∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∴BF=√AB2−AF2=16，∵AB=AE，∠AFC=90°，∴BE=2BF=32，∴cos∠MBN=BDBE =35，∴BE=965，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE ，∴∠ADF =∠CAE ，∠AFD =∠AEC ，∴AC//DF∴∠DFB =∠ACB ，且∠ACB =∠MBN ，∴∠MBN =∠DFB ，∴DF =BD ，∵∠EAF =∠MBN ，∠EAF +∠DAF =180°，∴∠DAF +∠MBN =180°，∴点A ，点F ，点B ，点D 四点共圆，∴∠ADF =∠ABF ，∴∠CAE =∠ABF ，且∠AEC =∠AEC ，∴△ABE∽△CAE∴AB AC =AE CE =BE AE =2015=43设CE =3k ，AE =4k ，(k ≠0)∴BE =163k ，∵BC =BE −CE =25∴k =757∴AE =3007，CE =2257，BE =4007∵∠ACB =∠FAE ，∠AFC =∠AFE ，∴△AFC∽△EFA ，∴AF EF =CF AF =AC AE =153007=720，设AF =7a ，EF =20a ，∴CF =4920a ，∵CE =EF −CF =35120a =2257，∴a =15007×117，∴EF =30000117×7， ∵AC//DF ，∴AC DF =CE EF ，∴15DF =2257300007×117， ∴DF =2000117，综上所述：当BD 为965或2000117时，△ADF 与△ACE 相似【解析】(1)由锐角三角函数可求AC =15，根据勾股定理和三角形面积公式可求AB ，AF 的长，即可求EF 的长；(2)通过证△FAE∽△FCA 和△BDE∽△CFA ，可得y 关于x 的函数解析式；(3)分△ADF∽△CEA ，△ADF∽△CAE 两种情况讨论，通过等腰三角形的性质和相似三角形性质可求BD 的长．本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

上海市杨浦区2020届九年级上学期期末(一模)质量调研数学试卷(word原卷版)

2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷2019.12一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 把抛物线y =x2向左平移1个单位后得到的抛物线是（）A.y=(x+1)2B.y=(x-1)2C. y =x2 +1D. y =x2 -12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cos A = 34，那么AB的长是（）A.52B.83C.103D.23√73. 已知a⃗，b⃗⃗和 c⃗都是非零向量，下列结论中不能判定a⃗// b⃗⃗的是（）A.a⃗// c⃗，b⃗⃗// c⃗B.a⃗=12c⃗，b⃗⃗=2c⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. |a⃗|=|b⃗⃗|4. 如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A. 3 ：5 ：4B. 3 ：6 ：5C. 1 ：3 ：2D. 1 ：4 ：25. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y = -23x2+ 6 x（0 ≤ x ≤ 4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A. 1 米B. 2 米C. 5 米D. 6 米6. 如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A. AE = 2DEB. △CFP∼△APHC. △CFP∼△APCD. CP2 = PH · PB二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 如果cot α =√3，那么锐角α=__________度8. 如果抛物线y =-x2 + 3x -1+m经过原点，那么m =__________9. 二次函数y =x2 + 5x -1的图像与y轴的交点坐标为__________10. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y=(x-2)2上的两点，如果x1 < x2 < 2，那么y 1__________y 2（填“>”、“<”或“=”）11. 在比例尺为1：8000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为__________千米12. 已知点P是线段AB上的一点，且BP2 = AP · AB，如果AB=10cm，那么BP=__________cm13. 已知点G是△ABC 的重心，过点G作MN//BC分别交边AB、AC于点M、N，那么S△AMN：S△ABC=__________14. 如图，某小区门口的栏杆从水平位AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为__________米15. 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡角为31°，AB的长为12米，那么大厅两层之间BC的高度为__________米（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.867，tan31°=0.601】16. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D = 90°，AB = 3，BC = 2，tan A = 43，那么CD=__________17. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=_____度18. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4，AB=α，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么α=__________三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y =x2 +bx +c中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如下表：x … -3 -2 -1 0 1 … y … -4 -1 0 -1 -4 …（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是____________________________________________________________。

上海市长宁区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷(中考一模) 含详解

2020-2021学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°2．下列命题中，说法正确的是（）A．四条边对应成比例的两个四边形相似B．四个内角对应相等的两个四边形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似3．已知、是两个单位向量，向量＝3，＝﹣3，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝﹣C．||＝||D．||＝﹣||4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜05．已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）6．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．已知＝，那么的值为．8．计算：（2﹣）+＝．9．计算：cos45°+sin260°＝．10．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为．11．将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是．12．一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了米．13．已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1 y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．14．如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于．15．已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝．x﹣2﹣1012345y50﹣3﹣4﹣3051216．如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于．17．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．18．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F 分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x 的变化而变化的情况．20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．（1）求证：DF∥BE；（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．22．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，≈1.73．）23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B （6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．25．（14分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G 为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）2020-2021学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°【分析】根据直角三角形的边角关系可得结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∵cos B＝，∠B＝50°，AB＝10，∴BC＝AB•cos B＝10•cos50°，故选：A．2．下列命题中，说法正确的是（）A．四条边对应成比例的两个四边形相似B．四个内角对应相等的两个四边形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【解答】解：A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D．3．已知、是两个单位向量，向量＝3，＝﹣3，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝﹣C．||＝||D．||＝﹣||【分析】根据题意可以得到：与方向相同，与方向相同．【解答】解：根据题意知，与方向相同，与方向相同．A、当向量与方向相反时，＝，故本选项不符合题意．B、当、是两个单位向量方向相同时，＝﹣，故本选项不符合题意．C、由向量＝3，＝﹣3知，||＝||，故本选项符合题意．D、由向量＝3，＝﹣3知，||＝||，故本选项不符合题意．故选：C．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0【分析】根据抛物线开口方向以及与y轴的交点情况即可进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，故选项A、B、D错误，选项C正确．故选：C．5．已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．6．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD【分析】根据相似三角形的性质，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，则可对A 选项进行判断；由△ABE∽△CBA得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，则证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质得CD：AC＝AD：AB，则可对B选项进行判断；证明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，则可对C选项进行判断；利用△CBA∽△ABE得到AB•AC＝AE•CB，由于AE2＝CD•BE，AE≠CB，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵△ABE∽△CBA，∴AB：BC＝BE：AB，∴AB2＝BE•BC，所以A选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，∴∠ADE＝∠BAC，∵∠ADC＝∠BAC，∴△CAD∽△CBA，∴CD：AC＝AD：AB，即CD•AB＝AD•AC，所以B选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，∴△CAD∽△ABE，∴AD：BE＝CD：AE，即AD•AE＝CD•BE，∵AD＝AE，∴AE2＝CD•BE，所以C选项的结论正确；∵△CBA∽△ABE，∴AC：AE＝CB：AB，∴AB•AC＝AE•CB，∵AE2＝CD•BE，AE≠CB，∴AB•AC≠BE•CD，所以D选项的结论不正确．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．已知＝，那么的值为﹣3．【分析】利用比例性质得到y＝2x，把y＝2x代入，然后进行分式的化简．【解答】解：∵＝，∴y＝2x，∴原式＝＝﹣＝﹣3．故答案为﹣3．8．计算：（2﹣）+＝+．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝﹣+＝+．故答案是：+．9．计算：cos45°+sin260°＝．【分析】将cos45°＝，sin60°＝代入求解．【解答】解：原式＝×+（）2＝1+＝．故答案为：．10．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为5：4．【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，∴其相似比为5：4，∴这两个相似三角形的周长的比为5：4，故答案为：5：4．11．将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是y＝2x2﹣4．【分析】先确定抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，﹣4），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的表达式．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）向下平移3个单位后所得对应点的坐标为（0，﹣4），所以平移后的抛物线的表达式是y＝2x2﹣4．故答案为y＝2x2﹣4．12．一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了25米．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵坡度i＝1：，∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2＝502．解得x＝25（负值舍去），即它距离地面的垂直高度下降了25米．故答案为：25．13．已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1＞y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y1与y2的值，然后比较它们的大小．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），∴y1＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝3+c，y2＝22﹣2×2+c＝c，∵y1﹣y2＝3＞0，∴y1＞y2，故答案是：＞．14．如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于15．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，这样可求出FD的长，然后计算CF+FD即可．【解答】解：∵AC∥EF∥BD，∴＝＝，∴FD＝CF＝×6＝9，∴CD＝CF+FD＝6+9＝15．故答案为15．15．已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝12．x﹣2﹣1012345y50﹣3﹣4﹣30512【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝﹣3时的函数值与x＝5时的函数值相同．【解答】解：由图可知，f（﹣3）＝f（5）＝12．故答案为：12．16．如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于．【分析】根据题意画出图形，延长BG交AC于点H，由等腰三角形的性质可得出BH⊥AC，由重心的性质可得GH的长，最后由勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：如图所示：延长BG交AC于点H，∵G是△ABC的重心，AC＝4，∴AH＝CH＝2，∵AG＝CG，∴BH⊥AH，∴∠AHB＝90°，∵BG＝2，∴GH＝1，由勾股定理得：AB＝＝＝．故答案为：．17．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．【分析】首先根据题意得到EG＝CG，CE⊥BD，证明△CDF∽△BCD和△CDG∽△BDC，可计算CD和CG的长，再证明△EFD∽△AED，可得AE的长．【解答】解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DFG，∵∠CDF＝∠BCD＝90°，∴△CDF∽△BCD，∴，∵AB＝4，DF＝1，∴，∴CD＝2，由勾股定理得：CF＝＝，BD＝＝2，同理得：△CDG∽△BDC，∴＝，∴＝，∴CG＝，∴CE＝2CG＝，∴EF＝CE﹣CF＝﹣＝，∵＝，＝＝，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴，即，∴AE＝．故答案为：．18．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F 分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC＝，AD＝，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠F AE＝∠AFC＝90°，∵AC＝，∴AF＝，∵AD＝，E为AD中点，∴AE＝，∴EF＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x 的变化而变化的情况．【分析】（1）直接利用配方法进而将二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）根据二次函数的二次项系数判断该函数图象的开口方向，由二次函数的顶点式关系式找出其顶点坐标、对称轴，由二次函数的单调性来判断y随自变量x的变化而变化的情况．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣x+．＝﹣（x2+2x+1）++，＝﹣（x+1）2+4；（2）∵a＝﹣＜0，∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1，图象在直线x＝﹣1左侧，y随x的增大而增大，在直线x＝﹣1右侧，y随x的增大而减小．20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【分析】（1）首先证明BO＝BE，求出即可解决问题．（2）证明OC＝AC，求出即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝EC，∴＝＝，∴BP＝BE，∴＝＝（+）＝（﹣）＝﹣．（2）∵AE∥BC，∴＝＝，∴＝＝（+）＝（+）＝+．如图，在、上的分向量分别为和．21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．（1）求证：DF∥BE；（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．【分析】（1）先由平行线分线段成比例定理得＝，再证＝，即可得出结论；（2）先证＝，再证△ADE∽△AEB，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴DF∥BE；（2）解：∵AF＝2，EF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，＝＝，∴＝，∴AD＝AB＝2，BD＝2AD＝4，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEB，∴＝＝．22．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，≈1.73．）【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，设AE＝x米．通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC＝BE﹣CE得到1.73x﹣0.75x＝0.98，解得即可求得AE进而即可求得．【解答】解：延长BC交AD于点E，设AE＝x米．∵，∴CE＝≈0.75x，BE＝≈1.73x，∴BC＝BE﹣CE＝1.73x﹣0.75x＝0.98．解得x＝1，∴AE＝1，∴AD＝AE+ED＝1+1.6＝2.6（米）．答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，进而得到∠AEC＝∠ADB，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，根据相似三角形的性质得到＝，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH＝∠CBH，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ACE∽△ABD；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，∴∠CAD＝∠G，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠G，∴AB＝BG，∵BG∥AC，∴△ADC∽△GDB，∴＝，∴＝，∴＝，∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B （6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组，即可得出结论；（2）①先求出点D坐标，进而求出BC，CD，DB，判断出△BDC是直角三角形，即可得出结论；②构造出等腰三角形，利用对称性求出点F的坐标，进而求出直线CF的解析式，进而联立抛物线解析式，解方程组，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），∴，∴，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）①如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），当x＝2时，y＝﹣×4+×2+2＝4，∴D（2，4），∵B（6，0），∴CD2＝（2﹣0）2+（4﹣2）2＝8，BC2＝（6﹣0）2+（0﹣2）2＝40，DB2＝（6﹣2）2+（0﹣4）2＝32，∴CD2+BC2＝DB2，∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，CD＝2，BD＝4，∴cot∠DCB＝＝＝；②如图2，过点C作CE∥x轴，则∠BCE＝∠CBO，∵∠DCB＝2∠CBO，∴∠DCE＝∠BCE，过点B作BE⊥CE，并延长交CD的延长线于F，∵C（0，2），B（6，0），∴F（6，4），设直线CF的解析式为y＝kx+2，∴6k+2＝4，∴k＝，∴直线CF的解析式为y＝x+2①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，联立①②，解得或，∴D（4，）．25．（14分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G 为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）【分析】（1）由“AAS”可证△AGM≌△DGF，可得AM＝DF＝4，AG＝GD＝AD＝2，由勾股定理可求GF的长，由锐角三角函数可求MC的长，即可求解；（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，通过证明△FHM∽△MHC，可得，可求FH＝，PH＝，DP＝2﹣，GP＝x，由勾股定理可求解；（3）分两种情况讨论，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵点G为线段MF的中点，∴GF＝MG，又∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AGM＝∠FGD，∴△AGM≌△DGF（AAS），∴AM＝DF＝4，AG＝GD＝AD＝2，∴GF＝＝＝2，∴FM＝2GF＝4，∵tan F＝，∴，∴MC＝2，∴S△MFC＝×FM×MC＝×4×2＝20；（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，∴GP∥MH，MH＝AD＝x，∴＝，∴GP＝MH＝x，FP＝FH＝FH，∵∠CMF＝90°＝∠FHM＝∠CHM，∴∠F+∠FCM＝90°＝∠F+∠FMH＝∠FCM+∠CMH，∴∠F＝∠CMH，∠FCM＝∠CMH，∴△FHM∽△MHC，∴，∴MH2＝FH•HC，∴FH＝，∴PH＝，∴DP＝2﹣，GP＝x，∵DG2＝DP2+GP2，∴y＝+4（2＜x＜4）；（3）如图3，当点G在矩形的外部时，延长DG交AB于J，连接AG，AF，∵∠FMC＝90°，∴∠AME+∠CMB＝90°＝∠CMB+∠BCM，∴∠AME＝∠MCB，∵∠EDG＝∠EFD＝∠AME＝∠MCB，AD＝BC，∠DAJ＝∠B＝90°，∴△ADJ≌△BCM（ASA），∴AJ＝BM＝2，∴JM＝4，∵AB∥CD，∴，∴MJ＝FD＝4，GJ＝DG，∴AG＝DG＝GJ，∴∠GAD＝∠GDA＝∠GFD，又∵∠AEG＝∠FED，∴∠AGE＝∠FDE＝90°，又∵FG＝GM，∴AF＝AM＝6，∴AD＝＝＝2，当点G在矩形的外部时，延长DG交BA的延长线于L，连接DM，同理可求AD＝2，综上所述：AD＝2或2．。

2020-2021学年上海市奉贤区九年级(上)期末数学试卷(一模)(附解析)

2020-2021学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.将抛物线y=2x2向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是()A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2(x+1)2D. y=2(x−1)22.下列两个图形一定相似的是()A. 两个菱形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个梯形3.已知a⃗、b⃗ 和c⃗都是非零向量，下列结论中不能确定a⃗//b⃗ 的是()A. |a⃗|=|b⃗ |B. 2a⃗=3b⃗C. a⃗//c⃗，c⃗//b⃗D. a⃗=12c⃗，b⃗ =3c⃗4.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=3，cosA=34，那么AB的长为()A. 94B. 4 C. 5 D. 2545.如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是()A. 0<r<2B. 2<r<4C. r>10D. 0<r<2或r>106.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为()A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果2a=5b，那么ab=______ ．8.如果4是a与8的比例中项，那么a的值为______ ．9.如果二次函数y=mx2+2x+m−1的图象经过点P(1,2)，那么m的值为______ ．10.如果二次函数y=(x−1)2的图象上有两点(2,y1)和(4,y2)，那么y1______ y2(填“>”、“=”或“<”)．11.如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为______ ．12.如果两个相似三角形的周长之比为1：4.那么这两个三角形对应边上的高之比为______ ．13.已知点P是线段AB上的点，且BP2=AP⋅AB，如果AB=2cm，那么BP=______cm．14.已知某斜坡的坡度i=1：3，当铅垂高度为3米时，水平宽度为______ 米.15.如果点G是△ABC的重心，且AG=6，那么BC边上的中线长为______ ．16.如图，已知点D在△ABC的边BC上，联结AD，P为AD上一点，过点P分别作AB、AC的平行线交BC于点E、F，如=______ ．果BC=3EF，那么APPD17.当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线.如果抛物线C1：y=x2−2x与抛物线C2是关于直线x=−1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为______ ．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.已知a：b=2：3，b：c=3：4，且2a+b−c=6，求a、b、c的值．20. 如图，已知抛物线y =−x 2+ax +3与y 轴交于点A ，且对称轴是直线x =1．(1)求a 的值与该抛物线顶点P 的坐标；(2)已知点B 的坐标为(1,−2)，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在△ABC 中，AB =AC =√5，BC =2.过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ．(1)求cos∠ACB 的值；(2)点E 是BD 延长线上一点，联结CE ，当∠E =∠A 时，求线段CE 的长．22.如图1是一个手机的支架，由底座、连杆AD、BC、CD和托架组成(连杆AB、BC、CD始终在同一平面内)，连杆AB垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆BC的长度为10厘米，连杆CD的长度可以进行伸缩调整．(1)如图2，当连杆AB、BC在一条直线上，且连杆CD的长度为9.2厘米，∠BCD=143°时，求点D到底座的高度(计算结果保留一位小数)．(2)如图3，如果∠BCD=143°保持不变，转动连杆BC，使得∠ABC=150°，假如AD//BC时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆CD的长度(计算结果保留一位小数)．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75)23.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE=∠CAD，DE与AC交于点F，CE⋅CB=AB⋅CD．(1)求证：AD//BC；(2)当AD=DE时，求证：AF2=CF⋅CA．x2+bx+c与x轴正半轴交于点24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12A(4,0)，与y轴交于点B(0,2)，点C在该抛物线上且在第一象限．(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD=3BD时，求m的值；(3)联结BC，当∠CBA=2∠BAO时，求点C的坐标．25.已知⊙O的直径AB=4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点(点C不与点A、P重合)，联结BC交PA、PO于点D、E．(1)如图，当cos∠CBO=7时，求BC的长；8(2)当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；(3)当AD=2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=2x2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2(x+1)2，故选：C．根据“左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2.【答案】B【解析】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；C、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；D、两个梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：B．根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：A、由|a⃗|=|b⃗ |只能推知a⃗与b⃗ 的模相等，无法推知这两个向量的方向，无法确定a⃗//b⃗ ，故本选项符合题意．B、由2a⃗=3b⃗ 可以确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．C、由a⃗//c⃗，c⃗//b⃗ 可以确定a⃗、b⃗ 和c⃗的方向相同，则确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．c⃗，b⃗ =3c⃗可以确定a⃗、b⃗ 和c⃗的方向相同，则确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确D、由a⃗=12定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．故选：A．根据平行向量的定义判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=34，则ACAB =34，即3AB=34，解得，AB=4，故选：B．根据余弦的定义列式计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意两圆内含，故知r−6>4或者6−r>4，解得0<r<2或r>10．故选：D．首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d<R−r，分两种情况进行讨论．本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P>R+r；外切，则P=R+r；相交，则R−r<P<R+r；内切，则P=R−r；内含，则P<R−r．6.【答案】C【解析】解：∵AD//BC，EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=12(AD+BC)，EF//AD=BC，∵BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x，∵EF//AD，且E，F为AB，DC的中点，∴EG=12AD=12x，FH=12AD=12x，∴GH=x，∵GH//BC，∴△OGH∽△OBC，∴S△OGHS△OBC =(GHBC)2=x2(3x)2=19，∵△OGH的面积为1，∴S△OBC=9，同理，△OAD∽△OBC，∴S△OADS△OBC =19，∴S△OAD=1，∵OB=3OD，∴S△AOB=3S△AOD=3，∵OC=3OA，∴S△COD=3S△AOD=3，∴梯形ABCD的面积为：9+1+3+3=16．故选：C．根据梯形中位线定理可得EF=12(AD+BC)，EF//AD=BC，根据BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△OBC=9，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得△AOB和△DOC的面积，进而可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.【答案】52【解析】解：∵2a=5b，∴ab =52．故答案为：52．根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”即可变形得出a与b的比．此题考查了比例的基本性质的应用，是基础题，比较简单．8.【答案】2【解析】解：∵4是a与8的比例中项，∴a：4=4：8，∴8a=16，解得a=2．故答案为：2．先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．本题主要考查了比例线段，关键是学生对比例中项这一知识点的理解和掌握，属于基础题，难度适中．9.【答案】12【解析】解：∵二次函数y=mx2+2x+m−1的图象经过点P(1,2)，∴m+2+m−1=2，，解得m=12．故答案为：12将点P(1,2)代入二次函数解析式，列方程求m即可．此题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，点的坐标适合解析式是解题的关键．10.【答案】<【解析】解：∵二次函数的解析式为y=(x−1)2，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵2<4，∴y1<y2．故选：<．根据二次函数的性质即可判断y1、y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键．11.【答案】x(17−3x)=24【解析】解：设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(17−3x)米，根据题意，得x(17−3x)=24．故答案是：x(17−3x)=24．设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(17−3x)米，根据长方形的面积公式列出方程即可．本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．12.【答案】1：4【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，∴这两个三角形的相似比为1：4，∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；故答案为：1：4．根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．13.【答案】√5−1【解析】【分析】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．根AB，代入数据即可得出BP的长度．据黄金分割点的定义，可得BP=√5−12【解答】解：∵点P在线段AB上，BP2=AP⋅AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB=2cm，=(√5−1)cm．∴BP=2×√5−12故答案为：(√5−1)．14.【答案】9=1：3，铅垂高度=3米【解析】解：∵斜坡的坡度i=铅直高度水平宽度∴水平宽度=3×铅垂高度=3×3=9(米)，故答案为：9．直接利用坡度的定义进行解答即可．本题考查了解直角三角形的应用−坡度问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．15.【答案】9【解析】解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG=12AG=12×6=3，AD为BC边上的中线，∵AD=AG+DG=6+3=9，∴BC边上的中线长为9．故答案为9．延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得DG=12AG=3，AD为BC边上的中线，然后AG+DG即可．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．16.【答案】2【解析】解：∵PE//AB，PF//AC，∴PDAD =DEBD=DFCD=DE+DFBD+CD=EFBC=13，∴AD=3PD，∴APPD=2，故答案为：2．利用平行得出比例，进而利用比例性质解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．17.【答案】y=(x+3)2−1【解析】解：抛物线C1：y=x2−2x=(x−1)2−1，其顶点坐标是(1,−1)．∴点(1,−1)关于直线x=−1对称的点的坐标为(−3,−1)．∵抛物线C1：y=x2−2x与抛物线C2是关于直线x=−1对称，∴抛物线C2的顶点坐标是(−3,−1)，其开口方向与大小均与抛物线C1一致，∴抛物线C2的表达式为y=(x+3)2−1．故答案是：y=(x+3)2−1．根据题意知，抛物线C1与抛物线C2的开口方向、大小均一致，且顶点坐标关于直线x=−1对称，据此解答．本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．解题的关键是根据题意得到抛物线C2的顶点坐标是(−3,−1)．18.【答案】37【解析】解：如图，设点C落在射线CD上的点C′处，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√9+16=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠DCB=45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD=∠AC′C=45°=∠DCB，∠EAB=∠CAC′，∴∠CAC′=90°=∠EAB，∴AC′//BC，∴ADDB =AC′BC=34，∴AD=157，∴tan∠AED=ADAE =37，故答案为：37．设点C落在射线CD上的点C′处，由勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得∠ACD=∠AC′C=45°=∠DCB，∠EAB=∠CAC′，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．19.【答案】解：∵a：b=2：3，b：c=3：4，∴设a=2k，b=3k，c=4k(k≠0)，∵2a+b−c=6，∴4k+3k−4k=6，∴k=2，∴a =2k =2×2=4，b =3k =3×2=6，c =4k =4×2=8．【解析】根据已知条件设a =2k ，b =3k ，c =4k(k ≠0)，再根据2a +b −c =6，求出k 的值，从而得出a 、b 、c 的值．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+ax +3的对称轴是直线x =1．∴−a 2×(−1)=1， ∴a =2，∴抛物线为y =−x 2+2x +3，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴顶点P 的坐标为(1,4)；(2)∵抛物线y =−x 2+ax +3与y 轴交于点A ，∴A(0,3)，∵P(1,4)，B(1,−2)，∴PB//OA ，PB =2OA ，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +b ⃗ ．【解析】(1)利用对称轴公式即可求得a 的值，然后把解析式化成顶点式，即可求得P 的坐标；(2)有P 、B 的坐标可知PB//OA ，PB =2OA ，即可得出PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，从而得到OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +b ⃗ ．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，向量的加、减法的运算法则，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键． 21.【答案】解：(1)过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∵AB =AC =√5，BC =2．∴BF =FC =12BC =1，在Rt △ACF 中，cos∠ACB =CFAC =√5=√55；(2)∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，在Rt△BDC中，∴cos∠ACB=CDBC，∴CD=BC⋅cos∠ACB=2×√55=2√55，BD=√BC2−CD2=√4−45=4√55，又∵∠A=∠E，∠ADB=∠EDC=90°，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC =BDCD=21，∴EC=12AB=√52，答：EC的长为√52．【解析】(1)通过作高，构造直角三角形，利用锐角三角函数可求出答案；(2)在Rt△BDC中，由锐角三角函数求出CD，由勾股定理求出BD，再利用三角形相似即可求出答案．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及相似三角形等知识，构造直角三角形是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，如图2，∵∠BCD=143°，∴∠ECD=37°，∴∠EDC=53°，∴EC=CD×45=7.36(cm)，∴AE=AB+BC+CE=8.8+10+7.36=26.16≈26.2(cm)，∴D到底座高度为26.2cm；(2)作BE⊥AD于点E，CF⊥CD于点F，如图3，∵∠ABC=150°，BC//AD，∴∠BAE=30°，∴BE=12AB=4.4(cm)，∴CF=BE=4.4cm，∴CD=CF×53≈7.3(cm)，∴CD的长度为7.3cm．【解析】(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，解直角三角形求出EC即可解决问题；(2)作BE⊥AD于点E，CF⊥CD于点F，解直角三角形求出CF、CD即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23.【答案】证明：(1)∵CE⋅CB=AB⋅CD，∴ABEC =BCDC，又∵∠B=∠DCB，∴△ABC∽△ECD，∴∠CDE=∠ACB，∵∠CDE=∠CAD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD//BC；(2)∵AD//BC，∴∠ADF=∠DEC，在△ADF和△DEC中，{∠DAC=∠CDE AD=DE∠ADF=∠DEC，∴△ADF≌△DEC(ASA)，∴AF =CD ，∵∠CDE =∠DAC ，∠DCA =∠DCF ，∴△ADC∽△DFC ，∴CD AC =CF CD ，∴CD 2=CF ⋅CA ，∴AF 2=CF ⋅CA ．【解析】(1)通过证明△ABC∽△ECD ，可得∠CDE =∠ACB =∠CAD ，可得结论；(2)由“ASA ”可证△ADF≌△DEC ，可得AF =CD ，通过证明△ADC∽△DFC ，可得CD AC =CF CD ，可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF =CD 是本题的关键．24.【答案】解：(1)把点A(4,0)和点B(0,2)代入抛物线y =−12x 2+bx +c 中得： {−12×16+4b +c =0c =2，解得：{b =32c =2， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+32x +2；(2)如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴DG//OB ，∴△ADG∽△ABO ，∴AD AB =DG OB =AGOA ，∵AD =3BD ，∴OG =3AG ，∵A(4,0)，B(0,2)，∴OA =4，OB =2，∴OG =3，DG =12， ∵D(3,12)，由平移得：点C 的横坐标为3，当x =3时，y =−12×9+32×3+2=2，∴m =2−12=32；(3)∵∠CBA =2∠BAO ，点C 在该抛物线上且在第一象限，∴点C 在AB 的上方，如图2，过A 作AF ⊥x 轴于A ，交BC 的延长线于点F ，过B 作BE ⊥AF 于点E ，∴BE//OA ，∴∠BAO =∠ABE ，∵∠CBA =2∠BAO =∠ABE +∠EBF ，∴∠FBE =∠ABE ，∵∠BEF =∠AEB =90°，∴∠F =∠BAF ，∴AB =BF ，∴AE =EF =OB =2，∴F(4,4)，设BF 的解析式为：y =kx +n ，则{4k +n =4n =2，解得：{k =12n =2， ∴BF 的解析式为：y =12x +2，∴{y =12x +2y =−12x 2+32x +2，解得{x =0y =2或{x =2y =3， ∴C(2,3)．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；(2)如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，利用平行证明△ADG∽△ABO ，列比例式可以计算OG 和DG 的长，从而得D(3,12)，最后由平移的性质可得m 的值； (3)如图2，作辅助线，构建等腰△ABF ，确定点F 的坐标，计算BF 的解析式，联立抛物线和BF 的解析式，方程组的一个解就是点C 的坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题． 25.【答案】解：(1)解法一：如图1，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，∴BG =12BC ，∵AB =4，∴OB =2，∵cos∠CBO =78=BG OB ，∴BG =74，∴BC =2BG =72；解法二：如图2，连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴cos∠ABC =BC AB =78，∴BC4=78，∴BC=72；(2)如图3，连接OC，∵∠P=∠P，△EDP与△AOP相似，∴△DPE∽△OPA，∴∠DPE=∠PAO，∵C是AP⏜的中点，∴∠AOC=∠COP，设∠ABC=α，则∠AOC=∠COP=2α，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=α，∵C是AP⏜的中点，∴OC⊥AP，∴∠PAO=90°−2α，∴∠DEP=∠OEB=90°−2α，在△OEB中，∠AOP=∠OEB+∠ABC，∴4α=90°−2α+α，∴α=18°，∴∠ABC=18°；(3)分两种情况：①如图4，当∠EOB=90°时，过D作DH⊥AB于H，∴DH//PO，第21页，共22页 ∴AD PD =AH OH ，∵AD =2PD ，∴AH =2HO ，∵AB =4，∴AH =43，OH =23，BH =83，∵AO =OP ，∠AOP =90°，∴∠A =45°，∴AH =DH =43，∵OE//DH ，∴OE DH =OB BH ，即OE 43=283， ∴OE =1，∴S 四边形AOED =S △ABD −S △OEB=12×4×43−12×2×1 =8−1 =53；②如图5，当∠OEB =90°时，连接AC ，∵∠C =∠OEB =90°，∴AC//OE ，CE =BE ，∵AD =2DP ，同理得AC =2PE ，∵AO =BO ，∴AC =2OE ，∴OE =PE =12OP ，∴AC =12AB ，第22页，共22页 ∴∠ABC =30°，∵AB =4，∴OB =2=AC ，OE =1，BE =√3，BC =√42−22=2√3，∴CE =√3，∵AC//PE ，∴CD DE =AD DP =2，∵CD +DE =√3，∴CD =2√33， ∴S 四边形AOED =S △ABC −S △OEB −S △ACD=12×2×2√3−12×1×√3−12×2×2√33 =5√36．综上，四边形AOED 的面积是53或5√36．【解析】(1)解法一：如图1，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，根据垂径定理和余弦的定义可得BC 的长；解法二：如图2，连接AC ，根据圆周角定理可得∠ACB =90°，根据cos∠CBO =78可得BC 的长；(2)如图3，如图3，连接OC ，根据题意可知：△EDP 与△AOP 相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA ，得∠DPE =∠PAO ，设∠ABC =α，则∠AOC =∠COP =2α，在△OEB 中根据三角形外角的性质列方程可得结论；(3)当△BEO 为直角三角形时，∠OBE 不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB =90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH ，OH ，BH 的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB =90°时，连接AC ，证明∠ABC =30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．本题是圆的综合题，考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，勾股定理，三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，所以中考压轴题．。

2020-2021学年上海市普陀区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数中，y关于x的二次函数是()A. y=ax2+bx+cB. y=1x2+1C. y=x(x+1)D. y=(x+2)2−x22.如果点A(3,m)在x轴上，那么点B(m+2,m−3)所在的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，那么tan B的值等于()A. 23B. √53C. √52D. 2√554.在下列对抛物线y=−(x−1)2的描述中，正确的是()A. 开口向上B. 顶点在x轴上C. 对称轴是直线x=−1D. 与y轴的交点是(0,1)5.已知a⃗是非零向量，b⃗ =−2a⃗，下列说法中错误的是()A. b⃗ 与a⃗平行B. b⃗ 与a⃗互为相反向量C. |b⃗ |=2|a⃗|D. a⃗=−12b⃗6.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OAOB =ODOC，由此推得的正确结论是()A. OAOD =ABCDB. OAOC =ADBCC. OBOD =ABCDD. ABCD =ADBC二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知xy =52，那么x+yx−y=______ ．8.如果正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，那么y的值随着x的值增大而______ .(填“增大”或“减小”)9. 沿着x 轴正方向看，如果抛物线y =(a −2)x 2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是______ ．10. 二次函数y =2x 2+4x 图象的顶点坐标为______ ．11. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A(1,0)，那么f(−1) ______0.(填“>”、“<”或“=”)12. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．13. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠AED =∠B.如果AB =12，AE =6，EC =2，那么AD 的长等于______ ．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，CD =BD ，CE =12AB ，AD 与CE交于点F ，如果AB =6，那么CF 的长等于______ ．15. 如图，小明在教学楼AB 的楼顶A 测得：对面实验大楼CD 的顶端C 的仰角为α，底部D 的俯角为β.如果教学楼AB 的高度为m 米，那么两栋教学楼的高度差CH 为______ 米.16. 如图，△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE =60°，如果BD ：DC =1：2，AD =2，那么DE 的长等于______ ．17. 勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙(如图)，利用面积证明了勾股定理.如果小正方形EFGH 的面积是4，sin∠GBC =√1010，那么大正方形ABCD 的面积等于______ ．18. 如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，将△ABE 沿着直线AE 翻折得到△AFE ，点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上，线段AF 的延长线交边CD 于点G ，如果BE ：EC =3：2，那么AF ：FG 的值等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：cos30°−2sin 245°+22sin60∘+tan45∘．20. 如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB//DE ，AC//DF ，AC 与DE 相交于点G ，AGGC =DGGE =12，BE =2． (1)求BF 的长；(2)设EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ (用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示)．21.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=6的图象与一次函数y=kx−1的图象相交于横坐标为3的x点A．(1)求这个一次函数的解析式；(2)如图，已知点B在这个一次函数图象上，点C在反比例函数y=6的图象上，直线BC//x轴，且在点xA上方，并与y轴相交于点D.如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标．22.如图，在△ABC中，BC上的一点D在边AB的垂直平分线上，AB2=BD⋅BC．(1)求证：∠B=∠C；(2)如果AB=2√10，BC=10，求cos∠ADC的值．23.已知：如图，AD//BC，∠ABD=∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．(1)求证：AEDF =BDBC；(2)联结EF，如果∠ADB=∠BDF，求证：DF⋅DC=EF⋅BC．24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为(2,−1)．(1)直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式；(2)设点C在x轴上，且∠CAB=90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D．①求点C、D的坐标；②将抛物线y=ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P.设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标．25.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3，点E是边BC上一个动点(不与点B、C重合)，AE的垂线AF交CD的延长线于点F.点G在线段EF上，满足FG：GE=1：2.设BE=x．(1)求证：ADAB =DFBE；(2)当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；(3)当∠FGD=∠AFE时，求线段BE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、当a=0时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、y=x(x+1)=x2+x，是二次函数，故此选项符合题意；D、y=(x+2)2−x2=4x+4，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．利用二次函数定义进行分析即可．此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】D【解析】解：∵A(3,m)在x轴上，∴m=0，∴m+2=2，m−3=−3，∴B(m+2,m−3)所在的象限是第四象限．故选：D．根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解．本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：如图，由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=√32−22=√5，∴tanB=ACBC =√52，故选：C．画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=−(x−1)2中a=−1<0，∴抛物线开口向下，故A错误；∵抛物线的解析式为：y=−(x−1)2，∴抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为(1,0)，故B正确，C错误；令x=0，则y=−1，∴与y轴的交点是(0,−1)，故D错误．故选：B．根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征进行解答即可．本题考查了二次函数的性质，要会用顶点式确定抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴；会求与y轴交点坐标．5.【答案】B【解析】解：A、由b⃗ =−2a⃗知，a⃗与b⃗ 方向相反，所以b⃗ 与a⃗平行，故本选项说法正确．B、由b⃗ =−2a⃗知，|a⃗|≠|b⃗ |，所以b⃗ 与a⃗不互为相反向量，故本选项说法不正确．C、由b⃗ =−2a⃗知，|b⃗ |=2|a⃗|，故本选项说法正确．D、由b⃗ =−2a⃗知，a⃗=−12b⃗ ，故本选项说法正确．故选：B．根据共线向量的判定与性质进行解答．本题主要考查了平面向量的知识，属于基础题，注意：平面向量既有大小，又有方向．6.【答案】A【解析】解：∵OAOB =ODOC，∴OAOD =OBOC，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴OAOD =ABCD，所以A选项的结论正确；OB OC =ABCD，所以C选项的结论错误；∵OAOB =ODOC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴OAOB =ADBC，所以B选项的结论错误；∵OAOD =ABCD，OAOB=ADBC，∴ABCD =ADBC不一定成立，所以D选项的结论错误．故选：A．由OAOB =ODOC得到OAOD=OBOC，加上∠AOB=∠DOC，则可判断△AOB∽△DOC，利用相似比可对A、C选项进行判断；证明△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可B选项进行判断；利用OAOD =ABCD，OAOB=ADBC可对D选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．7.【答案】73【解析】解：∵xy=52，∴x=52y，∴x+yx−y =52y+y52y−y=73．故答案为：73．利用比例的性质计算即可得到答案．本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．8.【答案】增大【解析】解：函数y=kx(k≠0)的图象经过第一、三象限，那么y的值随x的值增大而增大，故答案为：增大．根据正比例函数的性质进行解答即可．此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k<0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．9.【答案】a>2【解析】解：∵抛物线y=(a−2)x2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a−2>0，解得a>2．故答案为a>2．利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则a−2>0，然后解不等式即可．本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．10.【答案】(−1,−2)【解析】解：y=2x2+4x=2(x2+2x)=2(x+1)2−2，则二次函数图象的顶点坐标为：(−1,−2)．故答案为：(−1,−2)．直接利用配方法将原式变形，进而求出顶点坐标．此题主要考查了配方法求二次函数的顶点坐标，正确进行配方是解题关键．11.【答案】>【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)，对称轴在y轴的左侧，∴当x=−1，y>0，∴f(−1)>0，故答案为>．根据图象可知当x=−1，y>0．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．12.【答案】0⃗【解析】解：如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．故答案是：0⃗ ．利用三角形法则解答．本题主要考查了平面向量，熟记三角形法则解题即可，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：∵∠AED =∠B.∠EAD =∠BAC ， ∴△ADE∽△ACB ， ∴AD AC=AEAB，即AD 6+2=612， ∴AD =4．故答案为4．先证明∴△ADE∽△ACB ，然后利用相似比计算AD 的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．14.【答案】2【解析】解：以E 为圆心，CE 为半径画圆， ∵∠ACB =90°， ∴AB 是⊙E 的直径， ∵CE =12AB ， ∴点E 是AB 的中点，连接DE ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CE =12AB ， ∴AE =BE ，∵CD =BD ， ∴DE 是Rt △ABC 的中位线， ∴DE =12AC ，DE//AC ， ∴△ACF∽△DEF ，∴EF CF=DE AC=12， ∵AB =6， ∴CE =12AB =3，∴CF =23CE =2，故答案为：2．连接DE ，根据已知条件得到DE 是Rt △ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质得到DE =12AC ，DE//AC ，由相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，正确的识别图形是解题的关键．15.【答案】m⋅tanαtanβ【解析】解：连接AD ，过点A 作AH ⊥CD 于点H ，则四边形ABDH 是矩形，∴AB =DH =m 米，在Rt △ADH 中，∠DAH =β， ∴tanβ=DHAH ， ∴AH =m tanβ，在Rt △ACH 中，∠CAH =α， ∴CH =AH ⋅tanα=m tanβ⋅tanα=m⋅tanαtanβ(米)，答：两栋教学楼的高度差CH 为m⋅tanαtanβ米．故答案为：m⋅tanαtanβ．根据正切的定义分别求出DH 、CH ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.【答案】43【解析】解∵△ABC为等边三角形，∴AB=DC，∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=180°−60°=120°，∠ADE=60°，∵∠CDE+∠ADB=180°−60°=120°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴ABDC =ADDE，∵BD：DC=1：2，∴BCCD =32，∴ABCD =32，∴32=2DE，∴DE=43．故答案为：43．由等边三角形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出ABDC =ADDE，则可求出答案．本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】10【解析】解：在Rt△CBG中，sin∠GBC=√1010，∴设BC=√10x，CG=x，∴BG=√BC2−CG2=√10x2−x2=3x，∵小正方形EFGH的面积是4，∴FG=2，∴x+2=3x，∴x=1，∴BC=√10，∴大正方形ABCD的面积等于10，故答案为：10．设BC=√10x，CG=x，根据勾股定理得到BG=√BC2−CG2=√10x2−x2=3x，根据正方形的面积公式即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．18.【答案】21：4【解析】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC=3：2，∴设BE=3x，EC=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5x，AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=5x，∴DF=2x，∵AD//BC，∴△ADF∽△HEF，∴ADEH =DFEF=AFFH，∴5xEH =23=AFFH，∴EH=15x2，AF=23FH，∴CH=EH−EC=112x，∵AD//BC，∴△ADG∽△HCG，∴ADCH =AGGH，∴5x112x=AGGH=1011，∴设AG=10y，GH=11y，∴AH=21y，∴AF=21y5×2=425y，∴FG=AG−AF=8y5，∴AF：FG=21：4，故答案为21：4．延长BC，AG交于点H，设BE=3x，EC=2x，由平行四边形的性质可得AD=BC=5x，AD//BC，由折叠的性质可得∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF=425y，FG=AG−AF=8y5，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．19.【答案】解：原式=√32−2×(√22)2+2×√32+1=√32−2×12+√3+1=√32−1+√3−1=3√32−2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20.【答案】4b ⃗ −32a ⃗ +3b ⃗【解析】解：(1)∵AB//DE ， ∴AGGC =BEEC =12， ∵BE =2， ∴EC =4， ∵AC//DF ， ∴DG GE =CF EC=12，∴CF =2，∴BF =BE +EC +CF =2+4+2=8．(2)∵AB//DE ， ∴AGGC =BEEC =12， ∵AC//DF ， ∴DGGE =CFEC =12， ∴EC =2BE =2CF ， ∴BF =4BE ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4b ⃗ ，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ， ∵CG//DF ，∴CG ：DF =EG ：ED =2：3， ∴DF =32GC ，∵GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +2b ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32a ⃗ +3b ⃗ ．故答案为：4b ⃗ ，−32a ⃗ +3b ⃗ ． (1)利用平行线分线段成比例定理求出EC ，CF 即可．(2)证明BF =4BE ，DF =32GC ，利用三角形法则求出GC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可解决问题．本题考查相似三角形的性质，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)∵横坐标为3的点A在反比例函数y=6x的图象上，∴y=63=2，∴点A的坐标为(3,2)，∴2=3k−1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x−1；(2)设点B(m,m−1)，则点C(12m,m−1)，∵点C在反比例函数y=6x的图象上，∴12m(m−1)=6，解得m1=4，m2=−3，∵点B在第一象限∴点B的坐标为(4,3)．【解析】(1)把点A的横坐标代入直线解析式y=6x，可求得点A的纵坐标，把点A的横纵坐标代入y=kx−1，即可求得所求的一次函数解析式；(2)设点B(m,m−1)，则点C(12m,m−1)，代入y=6x即可求得m的值，从而求得B的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵AB2=BD⋅BC，∴ABBD =BCAB，又∵∠ABD=∠ABC，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD=∠C，∵D在边AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∴∠B=∠C；(2)解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=2√10，BC=10，AB2=BD⋅BC，∴(2√10)2=BD×10，∴BD=4，∴AD=4，DC=6，∵∠B=∠C，∴AC=AB=2√10，设DE=x，则CE=6−x，∵AD2−DE2=AE2，AC2−CE2=AE2，∴42−x2=(2√10)2−(6−x)2，解得x=1，∴DE=1，∴cos∠ADC=DEAD =14．【解析】(1)证明△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质得出∠BAD=∠C，由中垂线的性质得出BD=AD，可得出∠BAD=∠B，则可得出结论；(2)过点A作AE⊥BC于点E，求出BD=4，设DE=x，则CE=6−x，由勾股定理得出42−x2=(2√10)2−(6−x)2，解方程求出DE=1，则可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，中垂线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵∠ABD=∠C，∴AEDF =ABDC，∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△ABD∽△DCB，∴ABDC =BDBC，∴AEDF =BDBC；(2)证明：∵∠ADB=∠DBF，∠ADB=∠BDF，∠BFD=90°，∴∠DBF=∠BDF，∴∠DBF=ADE=45°，∴△AED和△BFD都是等腰直角三角形，∴ADDE =BDDF=√2，又∵∠ADE=∠BDF，∴△ADB∽△EDF，∴∠ABD=∠EFD，∵∠ABD=∠C，∴∠EFD=∠C，∵∠EDF=∠DBC，∴△EDF∽△DBC，∴DFBC =EFDC，∴DF⋅DC=EF⋅BC．【解析】(1)证明△ABD∽△DCB，由相似三角形的性质得出ABDC =BDBC，证明△ABD∽△DCB，由相似三角形的性质得出ABDC =BDBC，则可得出结论；(2)证明△ADB∽△EDF，由相似三角形的性质得出∠ABD=∠EFD，证明△EDF∽△DBC，得出DFBC =EFDC，则可得出结论．本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)当x =0时，y =1，∴A(0,1)，设抛物线的解析式为：y =a(x −2)2−1，把A(0,1)代入得：1=a(0−2)2−1，∴a =12，∴抛物线的表达式为：y =12(x −2)2−1；(2)①如图1，∵A(0,1)，B(2,−1)，∴∠BAO =45°，∵∠CAB =90°，∴∠CAO =45°，∴OC =OA =1，∴C(−1,0)，设AC 的解析式为：y =kx +b ，则{−k +b =0b =1，解得：{k =1b =1， ∴AC 的解析式为：y =x +1，则{y =x +1y =12(x −2)2−1，解得：{x 1=0y 1=1或{x 2=6y 2=7， ∴D(6,7)；②∵A(0,1)，B(2,−1)，同理得AB的解析式为：y=−x+1，∴Q(1,0)，∴CQ=2，BC=√32+12=√10，∵D(6,7)，A(0,1)，∴AD=√62+(7−1)2=6√2，如图2，同理得：BD的解析式为：y=2x−5，由平移得：AP//BD，则AP的解析式为：y=2x+1，∴∠PAD=∠ADB，∵tan∠BCQ=13=ABAD=tan∠ADB，∴∠PAD=∠BCQ，设抛物线平移后的顶点为B′，P(m,2m+1)，则AP=√5m，B′(m+2,2m−1)，∵抛物线y=ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上，∴0≤m≤4，如果△ADP与△CBQ相似，有以下两种情况：i)当APCQ =ADBC时，即√5m2=√210，解得：m=2.4，∴P(2.4,5.8)；ii)当APBC =ADCQ时，即√5m10=6√22，解得：m =6(不符合题意，舍去)，综上，P(2.4,5.8)．【解析】(1)先令x =0可得y =1，得点A 的坐标，根据抛物线的顶点B(2,−1)，利用待定系数法可得抛物线的表达式；(2)①根据点A 和B 的坐标得∠BAO =45°，所以∠CAO =45°，可知△ACO 是等腰直角三角形，可得C 的坐标，从而得AC 的解析式，联立方程组可得直线AC 与抛物线的交点D 的坐标；②先证明∠PAD =∠ADB =∠BCQ ，设P(m,2m +1)，根据平移后B 的对称点B′在线段BD 上可知0≤m ≤4，如果△ADP 与△CBQ 相似，存在两种情况：AP CQ =AD BC 或AP BC =ADCQ ，列方程可得结论．本题是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，两点的距离公式，相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度． 25.【答案】(1)证明：如图1中，∵AE ⊥AF ，∴∠EAF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAD =∠ADC =∠ADF =90°，∵∠BAD =∠EAF =90°，∴∠BAE =∠DAF ，∵∠B =∠ADF ，∴△ABE∽△ADF ，∴AD AB =DF BE ．(2)解：如图1中，过点G 作GN ⊥BC 于N 交AD 于M ，则四边形MNCD 是矩形．∵AD AB =DF BE ，∴31=DFx ，∴DF =3x ，CF =3x +1，∵GN//CF ，∴△ENG∽△ECF ， ∴EN EC =GN CF =EG EF =23， ∴EN =23(3−x)，GN =23(1+3x)，∴GM =GN −MN =23(1+3x)−1=2x −13，DM =CN =EC −EN =3−x −23(3−x)=13(3−x)，∴cot∠ADG =DM GM =13(3−x)2x−13=3−x 6x−1．(3)如图2中，过点G 作GH ⊥CD 于H ．∵∠AFE =∠DGF ，∴AF//DG ，∴∠FAD =∠ADG ，∵AD//GH ，∴∠ADG =∠DGH ，∴∠FAD =∠DGH ，∵GH//EC ，∴△FGH∽△FEC ，∴GHEC =FHFC=FG FE =13， ∴GH =13(3−x)，FH =13(3x +1)，∴DH =FH −DF =13(3x +1)−3x =13−2x ，∵tan∠FAD =tan∠DGH ，∴3x3=13−2x 13(3−x)，整理得，x 2−9x +1=0，解得x =9−√772或9+√772(舍弃)，经检验x =9−√772是分式方程的解， ∴BE =9−√772．【解析】(1)证明△ABE∽△ADF，可得结论．(2)如图1中，过点G作GN⊥BC于N交AD于M，则四边形MNCD是矩形．用x表示出GM，DM即可解决问题．(3)如图2中，过点G作GH⊥CD于H.证明∠FAD=∠DGH，可得tan∠FAD=tan∠DGH，由此构建方程求解即可．本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

(汇总3份试卷)2020年上海市徐汇区九年级上学期期末统考数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，过反比例函数的图像上一点A 作AB ⊥轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】试题分析：观察图象可得，k ＞0，已知S △AOB =2，根据反比例函数k 的几何意义可得k=4，故答案选C.考点：反比例函数k 的几何意义.2．如图，在平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，BC 为A 的直径，点C 在函数()0,0k y k x x =>>的图象上，若OAB ∆的面积为52，则k 的值为（）A ．5B ．152C ．10D ．15 【答案】C【分析】首先设点C 坐标为(),x y ，根据反比例函数的性质得出=k xy ，然后利用圆的切线性质和三角形OAB 面积构建等式，即可得解.【详解】设点C 坐标为(),x y ，则=k xy∵A 与x 轴相切于点B ，∴CB ⊥OB∵OAB ∆的面积为52 ∴1522OB AB ⋅=，即5OB AB ⋅= ∵BC 为A 的直径∴BC=2AB ∴210k xy OB AB ==⋅=故选：C.【点睛】此题主要考查圆的切线性质以及反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.3．如图，四边形ABCD 是正方形，以BC 为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE ，连接AE ，分别交BD ，BC 于点F ，G ，则下列结论：①△AFB ∽△ABE ；②△ADF ∽△GCE ；③CG=3BG ；④AF=EF ，其中正确的有（）.A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④【答案】B 【解析】连接AC ，交BD 于O ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质可得∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，可得∠ABE=135°，根据外角性质可得∠AFD=∠FAB+∠ABF>45°，利用平角定义可得∠AFB<135°，即可证明∠AFB≠∠ABE ，可对①进行判断；由EH ⊥BC 可证明EH//AB ，根据平行线的性质可得∠HEG=∠FAB ，根据角的和差关系可证明∠DAF=∠CEG ，即可证明△ADF ∽△GCE ；可对②进行判断，由EH//AB 可得△HEG ∽△BAG ，根据相似三角形的性质即可得出BG=2HG ，根据等腰直角三角形性质可得CH=BH ，进而可得CG=2BG ，可对③进行判断；根据正方形的性质可得OA=BE ，∠AOF=∠FBE=90°，利用AAS 可证明△AOF ≌△EBF ，可得AF=EF ，可对④进行判断；综上即可得答案.【详解】如图，连接AC ，交BD 于O ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，∵ABCD 是正方形，△BCE 是等腰直角三角形，∴∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，∴∠ABE=135°，∵∠AFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+45°>45°，∴∠AFB=180°-∠AFD<135°，∴∠AFB≠∠ABE ，∴△AFB 与△ABE 不相似，故①错误，∵EH⊥BC，∠ABC=90°，∴EH//AB，∴∠HEG=∠FAB，∴∠AFD=∠FAB+∠ABD=45°+∠HEG=∠CEG，又∵∠ADB=∠GCE=45°，∴△ADF∽△GCE，故②正确，∵EH//AB，∴△HEG∽△BAG，∴EH HG AB BG=,∵△BCE是等腰直角三角形，∴EH=CH=BH=12BC=12AB，∴HGBG=12，即BG=2HG，∴CH=BH=3HG，∴CG=CH+HG=4HG，∴CG=2BG，故③错误，∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，∴∠AOF=90°，∠FBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，OA=22AB，BE=22BC，∴∠AOF=∠FBE，OA=BE，在△AOF和△EBF中，AFO BFEAOF FBEOA BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF≌△EBF，∴AF=EF，故④正确，综上所述：正确的结论有②④，故选：B.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键.4．某药品原价为100元，连续两次降价%a 后，售价为64元，则a 的值为（）A ．10B ．20C ．23D ．36 【答案】B【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-%a ）²=64，即可解出此题.【详解】依题意列出方程100（1-%a ）²=64，解得a=20，（a=180100>,舍去）故选B.【点睛】此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.5．抛物线23123y x x =-+-的顶点坐标是（）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）【答案】A【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案．【详解】∵223123=3(2)9y x x x =-+---+，∴顶点坐标为（2，9）．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．6．已知二次函数y=2ax bx c ++（a≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（）（1）abc ＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c ＜0（4）b 2-4ac ＜0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】由图像可知，抛物线开口向下，a ＜0，图像与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴为直线x=-1＜0，即-2b a＜0，因为a ＜0，所以b ＜0，所以abc ＞0，故（1）正确；由-2b a =-1得，b=2a ，即2a-b=0，故（2）错误；由图像可知当x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0 ，故（3）正确；该图像与x 轴有两个交点，即b 2-4ac ＞0，故（4）错误，本题正确的有两个，故选B ．7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED 的是（）A ．∠AED=∠BB ．∠ADE=∠C C ．AD AC AE AB = D ．AD AE AB AC= 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB ，A 、当∠AED=∠B 时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意；B 、当∠ADE=∠C 时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意；C 、当AD AE =AC AB时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意； D 、当AD AB =AE AC 时，不能推断△ABC ∽△AED ，故本选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．8．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（）A ．11B ．12C ．9D ．10 【答案】D【解析】利用平均数的求法求解即可．【详解】这组数据10，9，10，12，9的平均数是1(10910129)105++++=故选：D．【点睛】本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．9．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A【解析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得a cb d=，又由b=3cm，c=8cm，d=12cm，即可求得a的值．【详解】∵四条线段a、b、c、d成比例，∴a cb d =∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，∴8 312 a=解得：a=2cm．故答案为A．【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念．10．如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和5【答案】B【解析】先求出二次函数的对称轴为直线x=-1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【详解】∵二次函数y=（x+1）2-4，对称轴是：x=-1∵a=-1＞0，∴x＞-1时，y随x的增大而增大，x＜-1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值，y=（2+1）2-4=5，x=-1时y 有最小值，是-4，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 11．已知二次函数22y x x m =-+（m 为常数），当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为3-，则m 的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】B【分析】函数配方后得2(-1)1y x m =+-，抛物线开口向上，在=1x 时，取最小值为-3，列方程求解可得．【详解】∵22-2=(-1)+-1y x x m x m =+，∴ 抛物线开口向上，且对称轴为=1x ，∴在=1x 时，有最小值-3，即：-1-3m =，解得2m =-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．12．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（）A ．B ．2C ．D ．【答案】D【解析】由m≤x≤n 和mn ＜0知m ＜0，n ＞0，据此得最小值为1m 为负数，最大值为1n 为正数．将最大值为1n 分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m 时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n 求出，最小值只能由x=m 求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x ﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5，解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，1m=-（n-1）1+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+52=12．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝kx（k＞0）的图像在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.【答案】9yx=或16yx=【解析】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），则根据A在y=x上得m=n，由AC长的最大值为7，可知AC过圆心B交⊙B于C，进而可知AB=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，根据勾股定理列方程即可求出m的值，进而可得A点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.【详解】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），∵A在直线y=x上，∴m=n，∵AC长的最大值为7，∴AC过圆心B交⊙B于C，∴AB=7-2=5，在Rt △ADB 中，AD=m ，BD=7-m ，AB=5，∴m 2+(7-m)2=52，解得：m=3或m=4，∵A 点在反比例函数y ＝k x （k ＞0）的图像上， ∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16，∴该反比例函数的表达式为：9y x = 或16y x= ，故答案为9y x =或16y x= 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC 的最长值是通过圆心的直线是解题关键. 14．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1，1, 1．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程20x px q ++=有实数根的概率是_________．【答案】12【分析】由题意通过列表求出p 、q 的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.【详解】解：由题意，列表为：∵通过列表可以得出共有6种情况，其中能使关于x 的方程20x px q ++=有实数根的有3种情况， ∴P 满足关于x 的方程20x px q ++=有实数根为3162=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键． 153-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=________________．【答案】-1【分析】根据实数的性质即可化简求解．【详解】3-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=3-1-2×3=3-1-3=-1故答案为：-1．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值的求解．16．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=6，AP=4，则CE的长为_____．【答案】2【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD﹣AP=1．∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴DF DPAP AB=，即246DF=，∴DF=43，∴CF=143．∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴CE DP=CFDF，即143423CE=，∴CE=2．故答案为：2．【点睛】此题考查相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．17．化简：()122a b a b⎛⎫+--=⎪⎝⎭______．【答案】2a b+【分析】根据向量的加减法法则计算即可.【详解】解：()1222a b a b a b⎛⎫+--=+⎪⎝⎭-a b+=2a b+.【点睛】本题考查了向量的加减法，掌握运算法则是关键.18．如图，在正方形ABCD中，1AD=，将ABD∆绕点B顺时针旋转45︒得到A BD''∆，此时A D''与CD 交于点E，则DE的长度为___________.【答案】22-【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【详解】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A ′B=1，∴，∴A ′1，∴在Rt △DA ′E 中，DE='2sin 45DA =︒故答案为：2-【点睛】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A ′D 的长是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．一件商品进价100元，标价160元时，每天可售出200件，根据市场调研，每降价1元，每天可多售出10件，反之，价格每提高1元，每天少售出10件．以160元为基准，标价提高m 元后，对应的利润为w 元．（1）求w 与m 之间的关系式；（2）要想获得利润7000元，标价应为多少元？【答案】（1）w ＝﹣1m 2﹣400m+12000（0≤m≤20）；（2）标价应为11元或170元．【分析】（1）表示出价格变动后的利润和销售件数，然后根据利润＝售价×件数列式整理即可得解；（2）代入w ＝7000得到一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）w ＝（160+m ﹣10）（200﹣1m ）＝﹣1m 2﹣400m+12000（0≤m≤20）（2）当利润7000元时，即w ＝7000，即﹣1m 2﹣400m+12000＝7000，整理得m 2+40m ﹣500＝0，解得m 1＝﹣50，m 2＝1．当m ＝﹣50时，标价为160+（﹣50）＝11元，当m ＝1时，标价为160+1＝170元．∴要想获得利润7000元，标价应为11元或170元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握计算法则列出之前的方程.20．某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上A 、B 、C （每个字母分别代表一位同学，其中A 、B 分别代表两位女生，C 代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。

鲁教版2020年数学九年级上册期末试题及答案

鲁教版2020年数学九年级上册期末试题及答案一、选择题1．二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（） A ．（3，0） B ．（﹣3，﹣9）C ．（3，﹣9）D ．（0，﹣6）2．已知3sin α=，则α∠的度数是（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知抛物线221y ax x =+-与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°5．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A ．三条边垂直平分线B ．三条中线C ．三条角平分线D ．三条高6．已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°8．方程x 2﹣3x ＝0的根是（）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =9．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（） A ．45B ．60C ．90D ．18010．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（） A ．19B ．13C ．12D ．2311．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC 为（）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100° 12．二次函数y ＝3（x +4）2﹣5的图象的顶点坐标为（）A ．（4，5）B ．（﹣4，5）C ．（4，﹣5）D ．（﹣4，﹣5） 13．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（） A ．6B ．7C ．8D ．914．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A ．2B ．3C ．32D ．215．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（）A ．(2，3)B ．(﹣2，3)C ．(2，﹣3)D ．(﹣2，﹣3)二、填空题16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ．17．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵坐标y 的对应值如下表x … －1 0 1 2 3 … y…－3 －3 －1 39…关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．19．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽为________cm ．(结果保留根号) 20．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，则tanA 等于． 21．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．22．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.23．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 24．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为35，则袋中共有小球_____只． 25．关于x 的方程220kx x --=的一个根为2，则k =______.26．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.27．已知正方形ABCD 边长为4，点P 为其所在平面内一点，PD 5，∠BPD ＝90°，则点A 到BP 的距离等于_____．28．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．29．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____． 30．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．三、解答题31．已知二次函数22y =x mx --.（1）求证：不论m 取何值，该函数图像与x 轴一定有两个交点；（2）若该函数图像与x 轴的两个交点为A 、B ，与y 轴交于点C ，且点A 坐标（2,0），求△ABC 面积.32．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：数量/条平均每条鱼的质量/kg 第1次捕捞 20 1.6 第2次捕捞 15 2.0 第3次捕捞151.8（1）求样本中平均每条鱼的质量；（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y （元）与出售该种鱼的质量x （kg ）之间的函数关系，并估计自变量x 的取值范围． 33．解方程：（1）2620x x ++= （2）2(3)3(3)x x x -=-34．如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线238y x bx c =-++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.（1）求抛物线的表达式；（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒53个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）.①当t 为何值时，DPQ ∆得面积最小？②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.35．如图，E 是正方形ABCD 的CD 边上的一点，BF ⊥AE 于F ， (1)求证：△ADE ∽△BFA ；(2)若正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，求△BFA 的面积，四、压轴题36．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．37．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．38．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）39．如图，抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =-经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是t ．①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．40．如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角为90°，点B 是上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）当点B 移动到使AB ：OA=：3时，求的长；（2）当点B 移动到使四边形EPGQ 为矩形时，求AM 的长．（3）连接PQ ，试说明3PQ 2+OA 2是定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．【详解】解：∵y ＝x 2﹣6x ＝x 2﹣6x +9﹣9＝（x ﹣3）2﹣9， ∴二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（3，﹣9）．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.2．C解析：C 【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由sin α=，得α=60°，故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．3．D解析：D 【解析】【分析】根据题目信息可知当y=0时，20a 21x x =+-，此时0<，可以求出a 的取值范围，从而可以确定抛物线顶点坐标的符号，继而可以确定顶点所在的象限. 【详解】解：∵抛物线2y a 21x x =+-与x 轴没有交点，∴2a 210x x +-=时无实数根；即，24440b ac a =-=+<，解得，a 1<-，又∵2y a 21x x =+-的顶点的横坐标为：2102a a-=->；纵坐标为：()414104a a aa⨯----=<；故抛物线的顶点在第四象限.故答案为：D. 【点睛】本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据抛物线与x 轴无交点得出2a 210x x +-=时无实数根，再利用根的判别式求解a 的取值范围.4．C解析：C 【解析】【分析】【详解】试题分析：设AC 和OB 交于点D ，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C ．5．A解析：A 【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.6．B解析：B 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm ， ∴直线和圆相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．7．D解析：D【解析】【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．D解析：D【解析】【分析】先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．【详解】x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．9．C解析：C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，∴4 2180nππ⨯=解得：90n=，即其圆心角度数是90︒故选C．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是31 93 =．故选：B．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．11．A解析：A【解析】试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．解：连结BC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∴∠ADC=∠B=40°．故选A．考点：圆周角定理．12．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．【详解】∵二次函数()2345y x +=-∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）． 13．B解析：B【解析】【分析】先把这组数据按顺序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是6，8的平均数．【详解】∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，∴这组数据的中位数是()6821427+÷÷==，故选：B ．【点睛】本题考查中位数的计算，解题的关键是熟练掌握中位数的求解方法：先将数据按大小顺序排列，当数据个数为奇数时，最中间的那个数据是中位数，当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数．14．D解析：D【解析】【分析】先证明△ABD 为等腰直角三角形得到∠ABD ＝45°，BD AB ，再证明△CBD 为等边三角形得到BC ＝BD AB ，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，从而得到下面圆锥的侧面积．【详解】∵∠A ＝90°，AB ＝AD ，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，BD AB ，∵∠ABC ＝105°，∴∠CBD ＝60°，而CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形，∴BC ＝BD ＝2AB ，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，∴下面圆锥的侧面积＝2×1＝2．故选D ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．15．A解析：A【解析】【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y ＝（x ﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x=h ，难度不大.二、填空题16．6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：=5π，解得：x=6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．解析：6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：150180x π =5π，解得：x =6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =180n R π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 17．∠P=∠B （答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．【详解】解：这个条件解析：∠P=∠B（答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【详解】解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，∴∠PAQ=∠BAC∵∠B=∠P，∴△APQ∽△ABC，故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3解析：－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得313c a b c a b c -=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y=x²+x-3,∵△=b 2-4ac=12-4×1×（-3）=13，∴==−1±2， ∵1x <0,∴1x =−1-2＜0， ∵-4≤-3，∴3222-≤-≤-， ∴-≤ 2.5-， ∵整数k 满足k ＜x 1＜k+1，∴k=-3，故答案为:-3．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.19．()【解析】设它的宽为xcm ．由题意得.∴ .点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约解析：(10)【解析】设它的宽为x cm ．由题意得1:202x =.∴10x = .点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之，近似值约为0.618.20．.【解析】试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：43. 【解析】试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.21．【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴ 解析：72【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,整理得，22410k k ，∴21+22k k 2221k k k 224k k 224k k当21+22k k 时， 224k k142=-+ 72= 故答案为：72. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.22．【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x解析：15x -<<【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.故答案为15x -<<【点睛】要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.23．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．24．【解析】【分析】直接利用概率公式计算．【详解】解：设袋中共有小球只，根据题意得，解得x＝10，经检验，x=10是原方程的解，所以袋中共有小球10只．故答案为10．【点睛】此题主解析：【解析】【分析】直接利用概率公式计算．【详解】解：设袋中共有小球只，根据题意得635x=，解得x＝10，经检验，x=10是原方程的解，所以袋中共有小球10只．故答案为10．【点睛】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知概率公式的运用. 25．1【解析】【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．【详解】把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1故解析：1【解析】【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．【详解】把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1故答案为:1．【点睛】本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．26．（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．解析：（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）．27．或【解析】【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．【详解】【解析】【分析】由题意可得点P在以D P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP 的距离．【详解】∵点P满足PD＝5，∴点P在以D为圆心，5为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，∴BD＝2∵∠BPD＝90°，∴BP22BD PD-3，∵∠BPD＝90°＝∠BAD，∴点A，点B，点D，点P四点共圆，∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴AH＝HP，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴16＝AH2+（3AH）2，∴AH＝3352（不合题意），或AH＝3352，若点P在CD的右侧，同理可得AH 335+，综上所述：AH 335+335-．【点睛】本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D5BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．28．【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求解析：25【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD的长，从而求出CE，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．【详解】过点C作CF⊥AE，垂足为F，在Rt△ACD中，CD＝221310+=，由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC•sin45°＝22，由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，∴13 CE ACDE BD==，∴CE＝14CD＝10，在Rt△ECF中，sin∠AEC＝2252510CFCE=⨯=，故答案为：25．【点睛】考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．29．4π【解析】【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝＝4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝（n 是弧所对应的圆心角度数）解析：4π【解析】【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝6012180π⨯＝4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝180n r π（n 是弧所对应的圆心角度数） 30．或【解析】【分析】如图1，当⊙F 与Rt△ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC ＝4，AB ＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE ＝AB ＝5 解析：209或145【解析】【分析】如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF ⊥AC ，解直角三角形得到AC ＝4，AB ＝5，根据旋转的性质得到∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，根据相似三角形的性质得到DF ＝209；如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，推出点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF ⊥AC ，∴DF ＝HF ，∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝BC AC ＝34， ∴AC ＝4，AB ＝5，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴FH ∥CD ，∴△EFH ∽△EDC ，∴FH CD ＝EF DE ， ∴4DF ＝55DF ，解得：DF ＝209；如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，∵∠A ＝∠D ，∠AEH ＝∠DEC∴∠AHE ＝90°，∴点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，∴△DEC ∽△DBH ，∴DE BD ＝CD DH ， ∴57＝4DH，∴DH ＝285， ∴DF ＝145，综上所述，当FD ＝209或145时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切，故答案为：209或145．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题31．（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）令y ＝0得到关于x 的二元一次方程，然后证明△＝b 2−4ac ＞0即可；（2）令y=0求出抛物线与x 轴的交点坐标,根据坐标的特点即可解题.【详解】（1）因为224()4(4)b ac m -=--⨯-=216m +，且20m ≥，所以2160m +>.所以该函数的图像与x 轴一定有两个交点.（2）将A （-1,0）代入函数关系式，得，2(1)40m -+-=，解得m=3，求得点B 、C 坐标分别为（4,0）、（0，-4）.所以△ABC 面积=[4-（-1）]×4×0.5=10【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题（1）的关键，求出抛物线与x 轴的交点坐标是解答问题（2）的关键．32．（1）1.78kg ；（2）8900kg ；（3）y ＝14x ，0≤x ≤8900．【解析】【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为20 1.615 2.015 1.8 1.78201515⨯+⨯+⨯=++（kg ）．（2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg ，∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝8900（kg ）．（3）∵每千克的售价为14元，∴所求函数表达式为y ＝14x ，∵该种鱼的总质量约为8900kg ，∴估计自变量x 的取值范围为0≤x≤8900．【点睛】本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．33．（1）1233x x =-=-；（2）122,33x x == 【解析】【分析】(1)根据配方法即可求解;(2)根据因式分解法即可求解.【详解】（1）2620x x ++= 2697x x ++=2(3)7x +=3x +=1233x x =-=-.（2）2(3)3(3)x x x -=-2(3)3(3)0x x x ---=(23x)(x 3)0--=，2-3x=0或x-3=0 ∴122,33x x == 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法.34．（1）233384y x x =-++；（2）① 32t =；②1234531724,3,,,2617t t t t t ===== 【解析】【分析】（1）根据点B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，代入抛物线解析式即可求出b ，c 的值，求得抛物线的解析式；（2）①过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，推出△QFA ∽△CBA ，△CGP ∽△CBA ，用含t 的式子表示OF ，PG ，将三角形的面积用含t 的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）由题意知：A (0,3),C (4,0)，∵抛物线经过A 、B 两点， ∴3316408c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得，343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为：233384y x x =-++． (2)① ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =90O ， ∴AC 2=AB 2+BC 2=5；由2333384x x -++=，可得120,2x x ==，∴D （2,3）．过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，∵∠FAQ =∠BAC ， ∠QFA =∠CBA ，∴△QFA ∽△CBA ． ∴AQ QF AC BC=， ∴5335AQ QF BC t t AC =⋅=⋅=．同理：△CGP ∽△CBA ， ∴PG CP AB AB =∴CP PG AB AB =⋅，∴45PG t =， 1154162(5)2(3)22352DPQ ABC QAD PQC PBD S S S S S t t t t ∆∆∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-222229323323(3)3()3342322t t t t t =-+=-+-+=-+ 当32t =时，△DPQ 的面积最小.最小值为32． ② 由图像可知点D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC 的解析式为：3y 34x =-+．三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：当DPG 90∠=︒时，根据勾股定理可得出：()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理，解方程即可得解；当DGP 90∠=︒时，可知点G 运动到点B 的位置，点P 运动到C 的位置，所需时间为t=3；当PDG 90∠=︒时,同理用勾股定理得出：()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；整理求解可得t的值．由此可得出t 的值为：132t =,23t =,3176t =,42417t =,517145t -=．【点睛】本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．35．（1）见详解；（2）45 【解析】【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似，即可证明△ADE ∽△BFA ；（2）利用三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答．【详解】（1）证明：∵BF ⊥AE 于点F ，四边形ABCD 为正方形，∴△ADE 和△BFA 均为直角三角形，∵DC ∥AB ，∴∠DEA=∠FAB ，∴△ADE ∽△BFA ；（2）解：∵AD=2，E 为CD 的中点，∴DE=1， ∴2212=5+， ∴52AE AB =， ∵△ADE ∽△BFA ， ∴2455BFA ADE S S ∆∆==， ∵S △ADE =12×1×2=1， ∴S △BFA =45S △ADE =45．【点睛】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟记相似三角形的判定是解决第（1）小题的关键；第（2）小题中，利用相似三角形的面积比是相似比的平方是解决此题的关键．四、压轴题 36．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=12∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解；（3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解.【详解】（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F∴BE EF =，80BEF ∠=∴180502BEF EBF BFE -∠∠=∠== ，即50BFD ∠= ∵AB=AC=4，D 是BC 的中点∴BD DC =,AD BC ⊥∴BF CF =，ABD ACD △≌△∴FBD FCD △≌△，1005022BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠=∴50CFD BAD ∠=∠=∴//CF AB（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF由（1）可知：EB=EF=EC∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心∴∠BCF=12∠BEF=40°。