高政祥固体物理讲义

例题 1.3
在六方晶体中，晶面常用四个指数 (hkil) 表示，它们代表一个晶面在六角形平面基矢 a 1, a 2, a 3 (两两夹角为 120°)轴上的截距为 a1/h, a2/k, a 3/i 的整数倍，在六次轴 c 上的截距为 c/l 的整 数倍。证明： h + k + i = 0。 证明：考虑离原点最近的晶面，在六角形平面基矢 a1, a2, a3 (两两夹角为 120°)轴上的截距为 a1/h, a2/k, a3/i。则矢量 a1/h − a2/k 和矢量 a2/k − a3/i 共线，即(a1/h − a2/k)×(a2/k − a3/i) = 0
简单和复式晶体结构
简单晶体结构的基元中只有一个原子。复式晶体结构的基元中包含两个或更多的原子。它们 可以是相同的原子也可以是不同的原子。
布拉伐格子
可以用{l1a1+l2a2+1l3a3}表示一个空间格子，其中 l 为整数，a1，a2，a3 为原胞基矢。这种空 间格子表征了晶格的周期性，称为布拉伐格子，也称为布拉伐点阵。晶体的周期性反映了晶 格的平移对称性。对于简单晶体每个原子的位置坐标(l1, l2, l3)，都可以写成：l1a1+l2a2+l3a3 其 中 l 为整数，a1，a2，a3 为原胞基矢。对于复式晶体，每个原子的位置都可以写成： rα+ l1a1+l2a2+l3a3, α = 1, 2, …,i。rα表示原胞内各种不等价原子之间的相对位移。基元中有 i 种不 等价的原子。
前言
教学大纲
第一讲：晶体结构上 第二讲：晶体结构下 第三讲：倒格子和晶体衍射 第四讲：晶体的宏观对称性 第五讲：晶体的结合上 第六讲：晶体的结合下 第七讲：晶格振动上一维单原子链 第八讲：晶格振动上一维双原子链三维晶格振动 第九讲：晶格热容的量子理论 第十讲：晶格的热膨胀和热传导 第十一讲：例题解析 第十二讲：晶体中的缺陷和扩散上 第十三讲：晶体中的缺陷和扩散下 第十四讲：金属自由电子论 第十五讲：布洛赫定理 第十六讲：近自由电子近似 第十七讲：紧束缚近似 第十八讲：布洛赫电子的准经典运动 第十九讲：在恒定磁场中布洛赫电子的运动 第二十讲：晶体的能带上 第二十一讲：晶体的能带下 第二十二讲：半导体的基本能带结构 第二十三讲：半导体中电子的统计分布 第二十四讲：能带理论例题 第二十五讲：密度泛函理论上 第二十六讲：密度泛函理论下
参考书
1. 黄 昆 韩汝琦 固体物理基础 高等教育出版社，1988 北京 2. 阎守胜 固体物理基础（第二版） 北京大学出版社，2003 北京 3. C. 基泰尔 固体物理导论 科学出版社，1979，北京 4. C. Kittle, Introduction to Solid state Physics, 7th edition, 1996, John Willey & Sons 5. Neii W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart and
3
第二讲：晶体结构下
晶系
如果要具有一定的宏观对称性（32 个点群对称性），晶体单胞轴矢 a, b, c 必须满足怎样的
要求呢？根据晶体宏观对称性对布拉伐格子的要求，布拉伐格子总共分为 7 类，称为 7 个晶
系。
二维点阵有五种布拉伐格子
晶系
单胞轴矢的特征
布拉伐格子
斜方晶系： a ≠ b, γ ≠90º
等效晶面
同样由于晶格的对称性，晶体在某些晶面上的性质完全相同，统称一组等效晶面时，用{ h k l }表示。 例题 1.2 写出并画出立方晶体{100}, {110}, {111}所代表的各等效晶面。 解答 {100}： (100)、(010)、(001)
{110}： (110)、(101)、(011)、( 1 10)、(10 1 )、(01 1 ) {111}： (111)、(1 1 1)、(11 1 )、( 1 11)
Winston, 1976 6. 谢希德 陆 栋 固体能带理论 复旦大学出版社 1998 上海 7. Stefano Baroni et al., “Phonon and related crystal properties from
density-functional perturbation theory”, Review of Modern Physics, 73 (2001) 515
2
二维正方格子的 W－S 原胞
体心立方的 Wigner-Seitz 原胞
面心立方的 Wigner-Seitz 原胞
单胞和轴矢
有些情况下，原胞不能反映晶格的对称性，例如面心立方晶格的原胞，虽然已经选择得尽可 能对称，但没有反映整个格子的立方对称性。在这种情况下，晶体学选取的单元是面心立方 的一个立方单元。为了反映晶格的对称性，选取了较大的周期性单元，常称晶体学选取的单 元为惯用单胞 (Conventional unit cell)，简称单胞。单胞的三个棱称为晶轴，沿晶轴的三个 矢量通常称为单胞的基矢或轴矢，用 a, b, c 表示。轴矢的长度通常称为晶格常数。
IV 三角晶系 V 四方晶系
a=b=c α = β = γ < 120 º
≠ 90º a=b ≠ c α = β = γ = 90º
布拉伐格子 1.简单三斜
2.简单单斜 3.底心单斜 4.简单正交 5.底心正交 6.体心正交 7.面心正交 8.三角
9. 简单四方 10.体心四方
VI 六角晶系
a=b ≠ c
W
formula
Wolfram
name
Im-3m (229) [cI2]
space group, number, Pearson symbol
3.165 3.165 3.165 90 90 90
unit cell dimensions
W at 0, 0, 0
atom positions for asymmetric unit
晶面
布拉伐格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面，和晶列的 情况相似，同一个布拉伐格子可以有无穷多方向不同的晶面系。
密勒指数
确定某一晶面系的密勒指数的方法如下： (1) 找出这一晶面系中任一晶面在晶格轴线上的截距，这些轴线可以沿轴矢方向，也可以沿 基矢方向。 (2) 取这些截距的倒数，然后化成与之具有同样比例的三个无公因子的整数，写成 (h k l)。
a1
=
a 2
(
i
+
j
−
k)
a2
=
a(
2
j+k −i)
a3
=
a 2
(
k
+
i
−
j)
1
面心立方晶格的原胞和基矢
在面心立方晶格中，通常由一个立方顶点到三个相邻的面心的矢量作为晶格基矢：
a1
=
a 2
(
i
+
j)
a2
=
a(
2
j + k)
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a3
=
a 2
(
k
+
i)
Wigner-Seitz 原胞
作由晶格原点出发的所有晶格矢量的垂直平分面，这些垂直平分面所封闭的包含晶格原点的 最小空间，称为 Wigner-Seitz 原胞。
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第一讲：晶体结构上
晶体、非晶体和准晶体
理想晶体中原子排列是十分规则的，主要体现是原子排列具有周期性，或者称为是长程有序 的。非晶体则不具有长程有序的性质，但是在非晶体中原子排列也不是杂乱无章、完全无序 的，仍然保留有原子排列的短程序。1984 年在实验中发现了一类和晶体、非晶体都不相同 的固体，在这类固体中发现了已经证明在晶体中不可能存在的五重对称轴，使人们想到介于 晶体和非晶体之间的固体，称为准晶体。
11.六角
α = β = 90º, γ = 120º
VII 立方晶系
a=b=c
12.简单立方
α = β = γ = 90º
13.体心立方
14.面心立方
晶向
晶体的一个基本特点是具有方向性，沿晶格的不同方向晶体性质可能不同。布拉伐格子的格
点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。同一个布拉伐格子可
3
a1 × a2 − a1 × a3 + a2 × a3 = 0 。平面上矢量叉乘得到垂直平面的矢量 1 + 1 + 1 = 0 ，
hk
hi
ki
hk hi ki
i+k +h = 0。
常见的简单晶体结构
有相当多的金属如 Li、Na、K、Rb、Cs、Fr、Fe 等都是具有体心立方的简单晶体结构。
Cu、Ag、Au、Al 等都是具有面心立方的简单晶体结构。
晶格基矢
晶格基矢是指原胞的边矢量，一般用 a1, a2, a3 表示。原胞的体积为：Ω＝ a1·a2 × a3
简单立方晶格的原胞和基矢
简单立方晶格的立方单元就是最小的周期性单元，通常就选取它作为原胞。它的三个基矢为：
a1 a2
= =
a a
i j
a3 = a k
体心立方晶格的原胞和基矢
在体心立方晶格中，通常由一个立方顶点到最近的三个体心得到三个晶格基矢：
原胞和基矢
所有晶格的共同特点是具有周期性，通常用原胞和基矢来描述晶格的周期性，晶格的原胞 (Primitive cell) 是指一个晶格最小的周期性单元，对三维晶格来说可以是一个平行六面体， 对二维晶格可以是一个平行四边形。
原胞的选取不是唯一的
原胞中只包含一个格点
原胞的选取是不唯一的。原则上讲只要是最小周期性单元都可以。判断最小周期性单元的标 准只要考察这个重复单元中是否只包含一个格点。
成绩评定
计分：期中：40 分，作业：10 分，期终+专题研究 50 分。及时交作业。 期中考试内容：1-13 讲；考试时间：2005. 4. 18（星期一）。 期终考试内容：全部。以 14 讲以后的内容为主，涉及 1-13 讲的内容，1-13 讲不单独出 题。
学习方法
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重点是物理思想、物理模型、物理图象。 提高分析问题、解决问题的基础能力，培养发现问题、提出问题的创新思维。 例题、习题的举一反三。 阅读参考书，扩大知识面。 利用网络资源获取固体物理研究前沿和最新进展。
以形成方向不同的晶列，按照晶列定义方向，称为晶向。
晶向指数
如果从一个格点沿晶向到最近格点的位移矢量为：l1a1 + l2a2 + l3a3 则晶向就用 [l1 l2 l3 ] 来标志， 称为晶向指数。 [l1 l2 l3 ] 和 l1 l2 l3 表示两个不同的晶向。
等效晶向
由于晶格的对称性，晶体在某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称为等效晶向， 统称一组等效晶向时用< l1 l2 l3>表示。
例题 1.1 写出并画出立方晶体 <100>、<110>、<111>所代表的各等效晶向。
解：
<100>： [100]、[ 1 00]、[010]、[0 1 0]、[001]、[00 1 ]
<110>： [110]、[ 1 1 0]、[1 1 0]、[ 1 10]
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[101]、[ 1 01]、[ 1 0 1 ]、[10 1 ] [011]、[0 1 1 ]、[01 1 ]、[0 1 1] <111>：[111]、[ 1 1 1 ]、[1 1 1]、[ 1 1 1 ] [ 1 11]、[1 1 1 ]、[11 1 ]、[ 1 1 1]
简单斜形
长方晶系： a ≠ b, γ =90º
简单长方
有心长方
正方晶系： a = b, γ =90º
简单正方
六角晶系： a = b, γ =120º
简单六角
三维点阵的 14 种布拉伐格子
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晶系 I. 三斜晶系：
II. 单斜晶系：
III 正交晶系
单胞轴矢的特征 a ≠ b ≠c α ≠ β ≠ γ ≠90º a ≠ b ≠c α = γ = 90º, β ≠90º a ≠ b ≠c α = β = γ = 90º
http://jcrystal.com/steffenweber/gallery/StructureTypes/st1.html
http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/index.html
Li、Na、K、Rb、Cs、Fr、Fe、W 等都是体心立方晶体结构
http://jcrystal.com/steffenweber/gallery/StructureTypes/st1.html
晶格+基元=晶体结构
所有晶体的结构用晶格来描述，晶格是一种数学上的抽象，它是由数学上的几何点在空间有 规律地作周期性的无限重复分布构成的。这种晶格的每一个格点上附有一群完全相同的原 子，这样一个完全相同的原子群称为基元。当原子基元以相同的方式安置在每一个格点上， 就构成了晶体结构。简单地说晶格加基元就形成晶体结构。