高中数学_2.3平面向量坐标运算练习课件_新人教A版必修4

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高中数学第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件新人教A版必修4

1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．解：设存在实数 λ，使 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量 a，b 不共线，所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________．答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________．答案：12(a＋b)
探究点一对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，

高中数学人教A版必修4课件：2.3.3 平面向量的坐标运算

解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3) �� − �� = (−1,2) − (2,1) = - ,1 −
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 2 1 , 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点
忽略平行四边形顶点的不同排列顺序致错
【例 4】设平行四边形三个顶点坐标为 A(0,0),B(0,b),C(a,c),求第四个顶点 D 的坐标. 错解 :设第四个顶点的坐标为 D(x,y),如图 ,则 �� = (�� , ��), �� = (�� , �� − ��), 由 �� = �� , 得(a,c)=(x,y-b). �� = ��, �� = ��, ∴ �� = ��-��. ∴ �� = �� + ��, 即点 D 的坐标为(a,b+c)
= - ,
7 2 6 3
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
用已知向量表示其他向量
【例 2】若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),试用 a,b 表示 c. �� + �� = -1, 解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴ ��-�� = 2. 解得 �� = , �� = - .

2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四数学优秀课件)

解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )

b x2 i y 2 j

则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )

( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j

两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标来表示？

a x i y j

a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．

a x1 i y1 j

a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______

高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示

的坐标.
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2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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2.3.3平面向量的坐标运算课件(人教A版必修4)

第二章
平面向量
2．3.3 平面向量的坐标运算
栏目导引
第二章
平面向量
学习导航
预习目标
重点难点
重点：向量的坐标表示．难点：向量的坐标运算法则．
栏目导引
第二章
平面向量
新知初探思维启动
1.平面向量的正交分解
互相垂直把一个向量分解成两个__________的向量，
叫做把向量正交分解．
2.平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标
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第二章
平面向量
(2)向量的坐标表示
x 在向量a的直角坐标中，___叫做a在x轴上的
a＝(x，y) y 坐标，____叫做a在y轴上的坐标,__________
叫做向量的坐标表示．
(3)在向量的直角坐标中，i＝(1，0)，j＝
(0，1) ______________，0 ＝(0，0)．
栏目导引
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第二章
平面向量
1＋3t<0 若点 P 在第二象限，则， 2＋3t>0
2 1 ∴－ <t<－ .6 分 3 3 → → (2)OA＝(1，2)，PB＝(3－3t，3－3t)，若四边形 OABP 为平行四边形，
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第二章
平面向量
3－3t＝1 → → 则OA＝PB，∴ ，该方程组无解， 3－3t＝2
－2，6)＝(1－2，2＋6)＝(－1，8)．
答案：(－1，8)
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第二章
平面向量
典题例证技法归纳
题型探究向量的坐标表示
例1 在直角坐标系xOy中，
向量a，b，c的方向如图所示，
且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4

1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6，即 A 2 3,6 ，所以

OA＝ 2 3,6 .

【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算

人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)

解：设c→=x→a+→yb，即（4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标。（2）位置不同的向量其坐标可能相同。（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。（4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出：向已量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2，吗？y2)，你能
r rrr rr 解： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已知 R ，向量 a (x ， y )，那么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j

2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4

a与b 7 __同__向______ a与b 8 __垂__直______，记作 9 _a_⊥__b______
a与b 10 ___反__向_____
‖小试身手‖
3．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案：B 4．在等腰
Rt△ABC
题型二向量的夹角
【例 2】已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为 α，a－b 与 a 的夹角是 β，求 α＋β.
[解] 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，
以O→A，O→B为邻边作▱OACB，则O→C＝a＋b，B→A＝O→A－O→B＝a－b， B→C＝O→A＝a.
解：解法一：∵A→B＝e2，DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝ke2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， ∴B→C＝－A→B－C→D－D→A ＝－A→B＋D→C＋A→D＝e1＋(k－1)e2. 又M→N＋N→B＋B→A＋A→M＝0，
且N→B＝－12B→C，A→M＝12A→D， ∴M→N＝－A→M－B→A－N→B ＝－12A→D＋A→B＋12B→C＝k＋2 1e2. 解法二：同解法一得，D→C＝ke2， B→C＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，由M→N＝12(M→B＋M→C)得，M→N＝12(M→A＋A→B＋M→D＋D→C)＝12(A→B ＋D→C)＝k＋2 1e2.
A．a－12b
B．12a－b
C．a＋12b
D．12a＋b
解析：选 D 连接 CD，OD，如图所示．∵ 点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，∴ AC＝CD，∠CAD＝∠DAO＝30°.∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥DO.由 AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠ DAO，∴CD∥AO，∴四边形 ACDO 为平行四边形， ∴A→D＝A→O ＋A→C＝12A→B＋A→C＝12a＋b.故选 D.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义习题课件新人教A版必修4

思考题 2 已知 λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λ a|＝λ|a| C．|λ a|＝|λ|·|a|
B．|λ a|＝|λ|·a D．|λ a|>0
【答案】 C
题型二向量共线定理的应用例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线： (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 与 a＋kb 共线．
要点 2 向量数乘的运算律设 a，b 为任意向量，λ 、μ 为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb．要点 3 共线向量定理向量 b 与非零向量 a 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa．
1．向量与实数可以求积，能求加、减运算吗？答：不能，如 λ＋a，λ－a 无意义．
－λ，y＝λ，即 x＋y＝1. 【答案】 1
例 5 如图所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量C→D ＝( )
A.B→C－12B→A B．－B→C＋12B→A C．－B→C－12B→A D.B→C－12B→A
【解析】解法一 ∵D 是 AB 的中点，∴B→D＝12B→A， ∴C→D＝C→B＋B→D＝－B→C＋12B→A. 解法二由C→D＝12(C→B＋C→A)＝12[C→B＋(C→B＋B→A)]＝C→B＋12 B→A＝－B→C＋12B→A. 【答案】 B
【解析】 (1)真命题，∵ 2>0，∴ 2a 与 a 同向．又| 2a|＝ 2|a|，∴ 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)真命题．∵－3<0， ∴－3a 与 a 方向相反且|－3a|＝3|a|. 又∵6>0，∴6a 与 a 方向相同且|6a|＝6|a|. ∴－3a 与 6a 方向相反且模是 6a 的模的12；

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习（含解析）新人教A版必修4A级基础巩固一、选择题1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a －c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为( )A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a －4b＋4c＝(－2，－6)．答案：D3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35解析：AB→＝(3，－4)，则与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析：因为4a ，3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．答案：D5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q ＝( )A ．(－3，2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)解析：设向量q ＝(x ，y )，根据题意可得x ＝－3，2y ＝－4，解得x ＝－3，y ＝－2，即向量q ＝(－3，－2)．答案：D二、填空题6．设向量a ，b 满足a ＝(1，－1)，|b |＝|a |，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为________．解析：因为向量a 与b 的方向相反，且|b |＝|a |，所以b ＝－a ＝－(1，－1)＝(－1，1)．答案：(－1，1)7．作用于原点的两个力F 1＝(1，1)，F 2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F 3＝________．解析：因为F 1＋F 2＋F 3＝0，所以F 3＝－F 1－F 2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)8．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝ 2. a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 所以a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R)，求λ与y 的值．解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1.所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R)，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.B 级能力提升1．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y .解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45. 答案：A2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ ＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)，所以MN →＝(9，－18)．。

人教A版数学必修四《平面向量的坐标运算》配套课件

所以b=（5，-12）
人教 A 版数学必修四第二章 2.3.3 《平面向量的坐标运算》配套课件 (共21张 PPT)
人教 A 版数学必修四第二章 2.3.3 《平面向量的坐标运算》配套课件 (共21张 PPT)
口答练1. 已知向量a，b的坐标，求a+b，a-b的坐标. ⑴a=（3，7），b=（-2，1） ⑵ a=（-3，-4），b=（4，3）解：a+b=（3，7）+（-2，1）=(3+(-2),7+1)=(1,8)
结论3：
一个向量的坐标等于表示此向量的
有向线段的终点的坐标减去始点的坐
标。
y
例1：如图，已知A(x1,y1)，
B(x2,y2), 则
A(x1,y1)
AB= OB - OA
B(x2,y2)
= (x2,y2) - (x1,y1)
O
x
= (x2-x1,y2-y1)
人教 A 版数学必修四第二章 2.3.3 《平面向量的坐标运算》配套课件 (共21张 PPT)
什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
平面的基底有多少组? 无数组
a=xi+yj
我们把（x,y)叫做向量a 的
y
（直角）坐标，记作
yj
a a =(x,y),
j O
i
xi
x 其中x叫做a 在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标，（x,y）
叫做向量的坐标表示。
人教 A 版数学必修四第二章 2.3.3 《平面向量的坐标运算》配套课件 (共21张 PPT)
你能在图中标出坐标为 (x2-x1,y2-y1) 的P点吗？

高中数学(福建)人教A版必修4课件：2.3.3 平面向量的坐标运算

明目标、知重点
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
平面向量坐标运算规律剖析:(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行. 若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.另外解题过程中要注意方程思想的运用. (2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解. (3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出待定系数. (4)向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化明目标、知重点 ,将数与形紧密结合起来,就可以使很多
用已知向量表示其他向量
【例 2】若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),试用 a,b 表示 c. 解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴
1 , 2 解得 3 �� = - . 2 1 3 ∴c= 2 �� − 2 ��.
1 �� 2
−
1 �� 3
=
1 (−1,2) 2
−
1 (2,1) 3
=
-
1 ,1 2
−
2 1 , 3 3
=
-
7 2 , 6 3
.
明目标、知重点
M 目标导航
题型一题型二题型三题型四
题型二
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析

高中数学新课标人教A版必修4：平面向量基本定理及坐标表示课件

D．―O→A ＋2―O→B ＝―O→C
解析：点 A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，选项 A 中，―A→B ＝ (－2,1)，―C→A ＝(4,0)，―B→C ＝(－2，－1)，所以―A→B －―C→A ≠―B→C ，故错误；选项 B 中，―O→A ＝(2,1)，―O→C ＝(－2,1)，―O→B ＝(0,2)，所以―O→A ＋―O→C ＝―O→B 成立，故正确；选项 C 中，―A→C ＝(－4,0)， ―O→B ＝(0,2)，―O→A ＝(2,1)，所以―A→C ＝―O→B －2―O→A 成立，故正确；选项 D 中，―O→A ＝(2,1)，―O→B ＝(0,2)，―O→C ＝(－2,1)，所以―O→A ＋2―O→B ≠―O→C ，故错误．故选 B、C.
B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)
C．e1＝(－3,4)，e2＝35，－45
D．e1＝(2,6)，e2＝(1,3)
解析：A，C，D 中向量 e1 与 e2 共线，不能作为基底；B 中 e1， e2 不共线，所以可作为一组基底．
答案：ACD
2．(必修 4 第 92 页 12 题改编)在平行四边形 ABCD 中，―A→B ＝a，
2x－y＝0，所以x＋2y＝52，
解得x＝12， y＝1，
则 c＝12a＋b.
答案：A
4．(多选)在平面上的点 A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，下面
结论正确的是
()
A．―A→B －―C→A ＝―B→C
B．―O→A ＋―O→C ＝―O→B
C．―A→C ＝―O→B －2―O→A
―A→D ＝b，―A→N ＝3―N→C ，M 为 BC 的中点，则―M→N ＝
(用

高中数学 2.3.23平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4

第十六页，共21页。
解：设 C(x，y)，则由A→C＝32A→B得， (x－2，y－4)＝32(－6,2)，解得 x＝－7，y＝7，即点 C 的坐标为 C(－7,7)．又设 D(m，n)，则由B→D＝43B→A得， (m＋4，n－6)＝43(6，－2)，解得 m＝4，n＝130，即 D 点的坐标为4，130. 故C→D＝4，130－(－7,7)＝11，－131.
第十四页，共21页。
方法点评：向量的坐标含有两个量，横坐标和纵坐标，如果纵或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的习题，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．
第十五页，共21页。
3．已知 A(2,4)，B(－4,6)，如果A→C＝32A→B，B→D＝43B→A，求 C， D，C→D的坐标．
第十页，共21页。
知识点 2 方程思想的应用【例 2】已知向量集合 P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q ＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}，则 P∩Q＝( ) A．{(2，－1)} B．{(－13，－23)} C．{(1，－2)} D．{(－23，－13)}
思路点拨：P＝{a|a＝(m－1,2m＋1)}，Q＝{b|b＝(2n＋1,3n－ 2)}，解关于 m，n 的方程组m2m－＋1＝ 1＝2n3＋ n－1， 2 即可求出 P∩Q.
第十七页，共21页。
误区解密考虑问题不全面而出错【例题】已知 A(3,2)，B(5,4)，C(6,7)，求以 A、B、C 为顶点的平行四边形的另一个顶点 D 的坐标．错解：设 D 点的坐标为 D(x，y)，则由A→B＝D→C，可得(5－3,4－2)＝(6－x,7－y)，解得 x＝4，y＝5. 故所求顶点 D 的坐标为 D(4,5)．错因分析：只考虑了一种情况，还有另外两种情况没有考虑．

人教A版数学必修四第二章2.3.3《平面向量的坐标运算》教学课件(共24张PPT)

a(x1i y1 j)x1i y1 j a(x1, y1)
实数与向量的积等的于坐用标这个实数乘原来向量的相应坐标
【例1】已知 ar =（2, 1），br =（-3,4），
求 a r b r， a r b r， 3 a r 4 b r的坐标.
跟踪练习：
1.已知向量
其中x叫做
r a
在x轴上的
ya
坐标，y叫做 ar 在y轴上
的坐标, 上式叫做向量 j
x
的坐标表示.
Oi
x
【课前练习】如图，分别用基
底 i , j表示向量 a，b， c，d，并求出它们的坐标 .
二、新知探究
思考：已知 a(x1, y1),b(x2, y2),你能得出
ab, ab, a的坐标吗？
ab(x1 x2, y1 y2)
ab(x1 x2, y1 y2) 两个向量(差和)的坐标分别等于这向两量个相应坐标的 (差和 ).
ab(x1 x2, y1 y2) ab(x1 x2, y1 y2) 两个向量(差和)的坐标分别等于这向两量个相应坐标的 (差和 ).
uuur A B = （x2 - x1 , y2 - y1）
(5)
ar
r //b
rr (b0) 的等价条件是：
x1y2x2y10
四、课堂作业：
课本101页习题2.3A组1、2、3题
谢谢
【例 2 】如图，已知 A (x1,y1),B (x2,y2),求
u u u r
A B 的坐标 .
y
A(x1, y1)

2016-2017年数学·人教A版必修4课件：2.3.3平面向量的坐标运算

第二章平面向量
第一页，编辑于星期五：十七点四十七分。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
第二页，编辑于星期五：十七点四十七分。
[学习目标] 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系(重点、难点)． 2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算(重点)．
第三页，编辑于星期五：十七点四十七分。
[知识提炼·梳理] 1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．
第四页，编辑于星期五：十七点四十七分。
(2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yi，则有序实数对(x，y)叫做向量 a 的坐标．
第二十页，编辑于星期五：十七点四十七分。
[变式训练] 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， |O→A|＝4 3，∠xOA＝60°，则向量O→A的坐标为________．
解析：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)．答案：(2 3，6)
已知 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1)
温馨提示向量既有几何表示下图形的几何运算，又有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．
第八页，编辑于星期五：十七点四十七分。