【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件：选修4-1 第一节相似三角形的判定及有关性质

2．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，
AC上的点，DE∥BC，且AD∶DB＝2，那么 △ADE与四边形DBCE的面积比是____． 【解析】∵ AD ＝2，∴ AD ＝ 2 ， AB 3 DB S ADE 4 S ADE 4 故 ∴ ＝ . ＝ ， S四边形DBCE 5 S ABC 9 答案: 4 5
AD . 2 BC BD
2
1 16 ∴ AD . BD （ 5 ） 2 1 9 4 答案:16∶9
1.如图，∠1＝∠B，AD＝5，AB＝10，则AC的长度为____.
【解析】因为∠1＝∠B，∠A＝∠A，
所以△ACD∽△ABC，所以 AD ＝ AC ， AC AB AC2＝AD·AB＝50，即AC＝5 2. 答案: 5 2
(2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC.
DG AD ＝ ， EG EC DF BC AD 又∵AB∥DC，∴ ＝ ＝ . DE EC EC
∵AD∥BC，∴
பைடு நூலகம்
∴ DG ＝ DF ＝ 4 . EG DE 5
答案: 4 5
【互动探究】本例(2)中条件不变，结论改为
【解析】∵AD∥BC, ∴ BF EF DE DF 5 4 1 . AF DF DF 4 4 答案: 1 4
【解析】∵M，N分别是AB，BC的中点，故MN∥AC，MN= 1 AC， 2 2 S MN 1 ∴△MON∽△COA，∴ MON ＝ ＝ . 2 S AOC AC 4 答案:1∶4
考向 3
射影定理及其应用
【典例3】(1)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F.若AE·AB＝5，则AF·AC＝____.
【拓展提升】相似三角形证明方法 证明三角形相似时一般的思考程序是：
(1)先找两对内角对应相等.
(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应
成比例.
(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．
【提醒】在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，
否则容易出错.
【变式训练】(1)(2013·汕头模拟)如图所示的Rt△ABC中有边
(4)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两三角形 相似.( )
【解析】(1)错误，三角形相似具有传递性，即 △ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，则△ABC∽△A2B2C2. (2)错误，可以通过作辅助线将多边形转化为三角形加以证 明．
(3)正确,由相似三角形的定义知，∠BAC=∠B′A′C′，
∠1=∠2，由直角三角形相似的判定方法知，
Rt△ADI∽Rt△A′D′I′,可知结论正确.
(4)错误，如图，∠B=∠B′,当 AB AC 时相似. AB AC 当 AB AC 时不相似. AB AC
答案:(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
考向 1
平行线分线段成比例定理
【典例1】(1)(2013·西安模拟)如图所示，已知DE∥BC， BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝____，AD∶DB＝____.
选修4-1 几何证明选讲
第一节 相似三角形的判定及有关性质
1.平行线等分线段定理 名称 定理 条件 一组平行线在一条直 线上截得的线段相等 结论 在其他直线上截得的线 相等 段也_____ 平分 第三边 _____
推论1
经过三角形一边的中 点与另一边平行的直 线
经过梯形一腰的中点, 且与底边平行的直线
考向 2
相似三角形的判定与性质
【典例2】(1)如图所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交 BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，若
DF 3 则 DB ＝____. ＝ ， AF 4 AD
(2)如图所示,平行四边形ABCD的对角线交于点O，OE交BC于E，
交AB的延长线于F，若AB=a,BC=b,BF=c,则BE=____.
(2)在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝3，过点A作AD⊥BC，垂
足为D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE＝____.
【思路点拨】(1)由垂直条件，联想射影定理，然后进行计 算． (2)首先利用勾股定理求BC，再结合射影定理和三角形面积公 式即可求解.
【规范解答】(1)∵AD⊥BC，
∴△ADB为直角三角形， 又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB. 在Rt△ADC中,同理可得AD2＝AF·AC， 又AE·AB＝5,∴AF·AC＝AE·AB＝5. 答案:5
【变式训练】在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,AE平分∠BAC
交BC于E，CE∶EB=4∶5,CD=24，则AD∶DB=____.
【解析】∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,∴ AC
而AC2+BC2=AB2,
AD AC2 1 , ∴ 2 2 BD AB AC （ AB ） 2 1 AC 又AE平分∠BAC,∴ AB BE 5 , AC CE 4
3.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6， DB＝5，则AD的长为_____．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB.
设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6，
∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0，
解得x＝4或x＝－9(舍去)，
②预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的
相交 ，所构成的三角形与原三角形_____. 相似 延长线)_____
③判定： 相等 ，两三角形相似. 定理1：两角对应_____ 成比例 且夹角_____ 相等 ，两三角形相似. 定理2：两边对应_______ 成比例 ，两三角形相似. 定理3：三边对应_______
推论2
平分 另一腰 _____
2.平行线分线段成比例定理 对应线段 成比例. (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的_________
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
成比例 线)所得的对应线段_______.
3.相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定. 成比例 的两个三角形叫做相似 相等 ，对应边_______ ①定义:对应角_____ 三角形.
长分别为a，b，c的三个正方形，若ac=4，则b＝____.
【解析】由三角形相似知 a－b ＝ b ， b－c c ∴ac－bc＝b2－bc，∴b2＝ac.∴b＝ ac ＝2. 答案:2
(2)如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于 点O，那么△MON与△AOC面积的比是____．
【思路点拨】(1)通过∠BDF=∠EDC＝∠BAD，证明 △DBF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得结果 . (2)过O作OG∥BC，交AB于G，构造△BEF∽△GOF求解.
【规范解答】(1)∵E为Rt△ADC斜边AC的中点， ∴DE＝EC，则∠C＝∠EDC. 又AD⊥BC，且∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠C， 从而∠BDF＝∠EDC＝∠BAD. 又∠F=∠F， 因此△DBF∽△ADF，
4 9 BC BA 即 ＝ 解得B′A′＝27. ， ＝ ， 12 BA BC BA 答案:27
5.如图,∠CAB=∠BCD,AD=2,BD=4,
则BC=____. 【解析】∵∠CAB=∠BCD, ∠B=∠B,∴△CAB∽△DCB,
BC AB , BD BC ∴BC2=BD·AB=4×(2+4)=24,
∴ ∴BC= 2 6. 答案: 2 6
6.如图，已知在梯形ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，
对角线AC和BD相交于点P. (1)若AP的长为4，则PC ＝____. (2)△ABP和△CDP高的比为____．
【解析】(1)∵AB∥CD，∴△ABP∽△CDP，
BF =____. AF
【拓展提升】平行线分线段成比例定理及其推论的应用
(1)平行线等分线段定理及其推论是证明两条线段相等的重要
依据,特别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角
形的一边,是否过一边的中点.
(2)利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平
行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有
∴AD＝4.
答案:4
4．(2013·茂名模拟)△ABC中，AC＝6，BC＝4，BA＝9， △ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的最短边的长度为12， 则它的最长边的长度为____．
【解析】由△ABC∽△A′B′C′及AC＝6，BC＝4，BA＝9可
知，△A′B′C′的最短边为B′C′，最长边为B′A′.又
时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果 .
【变式备选】(2013·广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝
2，BC＝5，点E,F分别在AB,CD上，且EF∥AD，若 AE ＝ 3 ， 则EF EB 4 的长为____．
【解析】如图所示，延长BA,CD交于点P， ∵AD∥BC，∴ PA ＝ AD ＝ 2 ， PB BC 5 ∴ PA ＝ 2 ， 又∵ AE ＝ 3 ， EB 4 AB 3 ∴ AE ＝ 3 ， ∴ PA ＝14 ， AE 9 AB 7 ∴ PA ＝14 . ∵AD∥EF，∴ AD ＝ PA ＝14 ， EF PE 23 PE 23 又AD＝2，∴EF＝ 23 . 7 答案: 23 7
④直角三角形相似的判定：
(2)相似三角形的性质.
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 相似比 都等于_______. 相似比 ②相似三角形周长的比等于_______.
平方 ③相似三角形面积的比等于相似比的_____.
相似比 外接圆的 ④相似三角形外接圆的直径比、周长比等于_______, 平方 面积比等于相似比的_____.