中考专题复习全等三角形(含答案)

中考专题复习全等三角形
知识点总结
一、全等图形、全等三角形：
1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。

3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。

同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。

二、全等三角形的判定：
1.一般三角形全等的判定
（1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。

（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。

（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。

2.直角三角形全等的判定
利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)．
注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。

3.性质
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)
三、角平分线的性质及判定：
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：
1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、
高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；
2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；
3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

全等三角形综合复习
切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例 1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。

求证：BP 为MBN ∠的平分线。

例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

同步练习
一、选择题：
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 两直角边对应相等
B. 一锐角对应相等
C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( )
A. 3AB =，4BC =，8CA =
B. 4AB =，3BC =，30A ∠=
C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =
D. 90C ∠=，6AB = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠ B. CE DE =
C. DEA ∆不全等于CBE ∆
D. EAB ∆是等腰三角形
5. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( )
A. 67
B. 46
C. 23
D. 无法确定
二、填空题：
6. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；
7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若100AEB ∠=，30ADB ∠=，则BCF ∠=____________；
8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；
9. 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ∆的周长等于____________；
10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若10BD =，2BF =，则EF =___________；
三、解答题： 11. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

12. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

答案
例1. 思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

解答过程：
AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠=
在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中
AE BF
AC BD =⎧⎨
=⎩
∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠ AE BF =
∴AE EF BF EF -=-，即AF BE = 在ACF ∆与BDE ∆中
AF BE A B AC BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)
解题后的思考：
本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例 2. 思路分析：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。

也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

解答过程：延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中
90
ABD FBD BD BD
ADB FDB ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪
∠=∠=⎩ ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2DFB ∠=∠ 又1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠= 在ABE ∆与CBF ∆中
AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBF ∆≅∆(SAS) ∴AE CF =。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接AC AB //CD ，AD //BC ∴12∠=∠，34∠=∠ 在ABC ∆与CDA ∆中
1243AC CA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ABC CDA ∆≅∆(ASA) ∴AB CD =。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 思路分析：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的
距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。

解答过程：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ∴PD PE =
CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F ∴PE PF =
PD PE =，PE PF = ∴PD PF =
PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ∴BP 为MBN ∠的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例 6. 思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ∆与FDE ∆中
AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE FDE ∆≅∆(SAS) ∴B EDF ∠=∠
ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠ 又ADB BAD ∠=∠
∴ADF ADC ∠=∠
AB DF =，AB CD =
∴DF DC =
在ADF ∆与ADC ∆中
AD AD ADF ADC DF DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADF ADC ∆≅∆(SAS) ∴AF AC =
又
2AF AE =
∴2AC AE =。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 思路分析：欲证AB AC PB PC ->-，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。

由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC -。

而构造AB AC -可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：
在AB 上截取AN AC =，连接PN 在APN ∆与APC ∆中
12AN AC AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴APN APC ∆≅∆(SAS) ∴PN PC =
在BPN ∆中，PB PN BN -<
∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。

法二：
延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM 在ABP ∆与AMP ∆中
12AB AM AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABP AMP ∆≅∆(SAS)
∴PB PM =
在PCM ∆中，CM PM PC >- ∴AB AC PB PC ->-。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。

具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。

我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习的答案
一、选择题：
1. A
2. C
3. B
4. C
5. C
二、填空题：
6. 4
7. 70
8. 90
9. 10 10. 6
三、解答题：
11.
解：ABC ∆为等边三角形
∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=
在ABM ∆与BCN ∆中
AB BC ABC C BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABM BCN ∆≅∆(SAS)
∴NBC BAM ∠=∠
∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

12. 证明：AE CD ⊥，BF CD ⊥
∴90F AEC ∠=∠=
∴90ACE CAE ∠+∠=
90ACB ∠=
∴90ACE BCF ∠+∠=
∴CAE BCF ∠=∠
在ACE ∆与CBF ∆中
F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACE CBF ∆≅∆(AAS) ∴BF CE =。