2018年高中数学精品课件 一元二次不等式及其解法
合集下载
一元二次不等式及其解法 课件
研一研·问题探究、课堂更高效
S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用．这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
探究点一 一元二次不等式恒成立问题
问题 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一
解析 当 a＝0 时，－2≥0 解集为 ∅ ；
当 a≠0 时，a 满足条件：aΔ<＝04a2＋4aa＋2<0 ，
解得－1<a<0.
综上可知，－1<a≤0.
例 2 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
解 方法一 设 f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
3．不等式xx－＋23>0 的解集是 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
(C )
4．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m 的取值范
围是
(D )
A．m≥2
B．m≤－2
跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件 与单价 P 元之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本 为 C＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于 1 300 元？ 解 由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300， 化简得 x2－65x＋900≤0
解得 0<k≤31.
小结 解一元二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二
次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等
高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
优质课件 一元二次不等式及其解法
画出函数y=x2+9x-7110的图 象,由图象得不等式的解集为
{x|x <-88.94, 或 x>79.94 } 在这个实际问题中,x>0,所以这辆 汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
探究新知
例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流 水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系: y = -2x2 + 220x.
b 2a
{x|x≠
b
}
2a
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
课堂练习
解不等式: x2－2x≥15
解：∵ 64 0
方程x2－2x－15＝0
y
的两根为:
x＝－3，或x＝5 ∴ 不等式的解集为:
。。
-3 0
5
x
{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
探究新知
例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽 车车速x km/h有如下关系: s 1 x 1 x2.
n N
（2）用一元二次不等式解决数学模型;
（3）返回到实际问题。
优质课件 一元二次不等式及其解法
课堂练习
练习1 某产品的总成本c（万元）与产量x（台）之
间满足关系：c 3000 20x 0.1x2 ，其中x (0, 240)。
若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最 低产量。
课堂练习
解：依题意销售收入25x（万元）不小于总成本c 由题意得：3000 20x 0.1x2 25x, x (0, 240) 即 x2 50x 30000 0 解得：x 200 （舍去）或者 x 150
故生产者不亏本时的最低产量为150台.
{x|x <-88.94, 或 x>79.94 } 在这个实际问题中,x>0,所以这辆 汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
探究新知
例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流 水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系: y = -2x2 + 220x.
b 2a
{x|x≠
b
}
2a
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
课堂练习
解不等式: x2－2x≥15
解：∵ 64 0
方程x2－2x－15＝0
y
的两根为:
x＝－3，或x＝5 ∴ 不等式的解集为:
。。
-3 0
5
x
{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
探究新知
例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽 车车速x km/h有如下关系: s 1 x 1 x2.
n N
（2）用一元二次不等式解决数学模型;
（3）返回到实际问题。
优质课件 一元二次不等式及其解法
课堂练习
练习1 某产品的总成本c（万元）与产量x（台）之
间满足关系：c 3000 20x 0.1x2 ，其中x (0, 240)。
若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最 低产量。
课堂练习
解：依题意销售收入25x（万元）不小于总成本c 由题意得：3000 20x 0.1x2 25x, x (0, 240) 即 x2 50x 30000 0 解得：x 200 （舍去）或者 x 150
故生产者不亏本时的最低产量为150台.
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt
最大/最小值问题
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
高中数学一元二次不等式解法(一)精品ppt课件
2
思考题：
1、若方程x2 +mx+n=0无实数根，则不等式x2 +mx+n>0的 解集是 .
2、已知不等式ax 2 bx 2 0的解是 1 2 则a ; b ．
x1 ， 3
3、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，则实数 a的取值范围是 .
一元二次不等式的解法
y
o
x1
x2
x
引例：解不等式 x x 6 0 和 x x 6 0
① 解方程 x2 – x – 6=0
2
2
x1 2 , x 2 3
y
② 作函数 y= x – 6＞0
-2 o 3 x
x 2或
本课小结
一元二次不等式的解
二次函数零点图象
一元二次方程的根
x
O 没有实根
x
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
例1.解不等式 练习:
2x 3x 2 0
(1) 2 x x 3
x2 – x – 6＜0
④结论
x 3
2 x 3
-6
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图 象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 △>0 y x1 O x2 x
思考题：
1、若方程x2 +mx+n=0无实数根，则不等式x2 +mx+n>0的 解集是 .
2、已知不等式ax 2 bx 2 0的解是 1 2 则a ; b ．
x1 ， 3
3、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，则实数 a的取值范围是 .
一元二次不等式的解法
y
o
x1
x2
x
引例：解不等式 x x 6 0 和 x x 6 0
① 解方程 x2 – x – 6=0
2
2
x1 2 , x 2 3
y
② 作函数 y= x – 6＞0
-2 o 3 x
x 2或
本课小结
一元二次不等式的解
二次函数零点图象
一元二次方程的根
x
O 没有实根
x
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
例1.解不等式 练习:
2x 3x 2 0
(1) 2 x x 3
x2 – x – 6＜0
④结论
x 3
2 x 3
-6
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图 象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 △>0 y x1 O x2 x
高中数学课件：3.2-2《一元二次不等式及其解法》
(2)若 a2－1≠0，即 a≠±1 时，原不等式解集为 R 的条件 是 a2－1<0 Δ＝a－12＋4a2－1<0 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式解集为全体实数．
[点评] (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
②logaf(x)>logaφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)； 或0<f(x)<φ(x)(0<a<1)．
2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解
集为
()
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3,4)
解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式等 价于x2－7x＋12>0，∴x<3或x>4.故选B.
答案：B
3．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－ 4<0的 解 为 一 切 实 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 ()
即 k>23或k<－4， k>2或k<－4，
解得 k<－4 或 k>2. 故所求的实数 k 的取值范围是 k<－4 或 k>2.
[点评] 解决这类一元二次方程两实根正负 性的讨论问题，只需抓住判别式和韦达定 理，由它们构建关于参数的一元二次不等 式组，解之即可．
迁移变式3 m为何值时，关于x的方程(m ＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异 号的实根．
[分析] 由A∩B＝A⇒A⊆B，又因为B是可解 集合，因此可以求出B集合．对于A集合， 要明确不等式的解集，需判断对应方程两 根的大小，故要就两根的大小对参数a加以 讨论，再借助数轴由A，B两集合的关系， 求出a的具体取值范围．
2018春高中数学必修五课件：3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法3 精品
2.解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【解题探究】1.典例1中关于x的不等式x2+ax-6a2<0对 应的方程的根分别是多少？能否比较大小？ 提示：对应方程的根分别是-3a和2a，由于a<0， 故-3a>2a. 2.典例2中解此不等式应注意什么？ 提示：在因式分解之后需对方程的两根(含有参数a)进 行大小比较，所以要进行讨论.
(2)从方程的角度看
设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)
的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，
则有
x1 x1x 2
x2
c， a
b a
，
即不等式的解集的端点值是相应方程
的根.
【题型探究】
类型一 解一元二次不等式
(3)当Δ<0时，此时方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等 式①的解集为R，不等式②的解集为∅.
2.从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集，即二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)满足y>0时的自变量x组成的集合，亦 即二次函数y=ax2+bx+c>0(a>0)的图象在x轴上方时点 的横坐标x的集合，一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的 根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
当0<a<1时，a2<a，x<a2或x>a； 当a=1时，a2=a，x≠1； 当a>1时，a<a2，x<a或x>a2. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为 {x|x<a2或x>a}； 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a>1时，原不等式的解集为{x|x>a2或x<a}.
一元二次不等式及其解法优秀课件
Δ>0
Δ=0
Δ>0
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y
y
y
(a>0)的图像
x1
x2 x
x x1=x2
x
有两相 有两相
异实根 等实根
ax2+bx+c=0 x1,x2x1<x2
x1
x2
=
-b 2a
ax2+bx+c>0 { x | x < x 1 {x|xb/2a}
（2）当a<0时，一元一次不等式ax+b>0的解 集是{x | x<x。}，一元一次不等式ax+b<0的解集 是 {x | x>x。}.
新课导入
问题：某同学想上网查资料，现有两家网 吧可供选择。A网吧每小时收费1.5元（不足1 小时的按1小时计算）; B网吧的收费原则为， 在用户上网的第1个小时内（含恰好1个小时） 收费1.7元，第2个小时内收费1.6元，以后每小 时减少0.1元（每天上网最多17小时）.
情感态度与价值观
1.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神， 勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩 证思想；
2.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精 神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同 一事物思想.
教学重难点
重点
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 一元二次不等式的解法.
难点
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不 等式解集的关系.
o 5x
观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时， 函数图象位于x轴上方，此时，y>0,
一元二次不等式及其解法 课件
[解析] (1)由已知得， ax2＋bx＋2＝0 的解为－12，13，且 a<0.
∴2a－＝ba＝ －－1212×＋1313，， ∴a＋b＝－14. [答案] D
解得ab＝ ＝－ －12，2，
(2)解：因为 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13
，所以
x1
＝－12与 x2＝13是方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根，
一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式 我们把只含有 一个未知数，并且未知数的 最高次数是2的不 等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 ，叫做这个一元二次不等 式的 解 ，其解的 集合 ，称为这个一元二次不等式的 解集 ．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的 解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的 解集
有两相异实
根x1，x2(x1 ＜x2) x|x<x1 或x>x2}
由根与系数的关系得1313×－12－＝12－＝p，q，
解得p＝16， q＝－16 .
所以不等式 qx2＋px＋1＞0 即为－16x2＋16x＋1＞0，整理得 x2 －x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集为{x|－2＜x＜3}．
一元二次不等式及其解法ppt课件
∵f(x)图象的对称轴为直线 x=2,∴f(x) 在(0,1)上单调递减，
∴当x=1 时 ，f(x)取到最小值，为一3,∴实数m 的取值范围
是[一0, — 3],故选A.
答案： A
2.若不等式 x²+mx—1<0对于任意x∈[m,m+1] 都成立，则 实数m 的取值范围是 解析：由题意，得函数f(x)=x²+mx—1在[m,m+1] 上的 最大值小于0,又抛物线f(x)=x²+mx—1开口向上，
(3)若a 可以为0,需要分类讨论， 一般优先考虑a=0 的 情形.
三、典型例题分析 考点一一元二次不等式的解法
考法(一)不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)—3x²—2x+8≥0;
(2)0<x²—x—2≤4; [解]( 1)原不等式可化为3x²+2x—8≤0,
即(3x—4)(x+2)≤0, 解 得
考法(二)含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax²—(a+1)x+1<0(a>0). [解] 原不等式变为(ax—1)(x—1)<0,
因 为a>0, 所 以
所以当a>1,
时，解
当 a=1 时，解集为o; 当 0<a<1, 艮 时，解为
综上，当0<a<1 时，不等式的解集 当a=1 时，不等式的解集为o; 当a>1 时，不等式的解集为
[解题技法] 1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于 0 , 还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
一元二次不等式及其解法-PPT课件
例
{
x|
1
x
1 0} 3
x o
应 例3：求不等式 x2 2x 3 0的解集
解：不等式可化为2x 2x 3 0
y
用
Δ 4 12 8 0
方程x2 2x 3 0无实数根
举
o
由图像知y x2 2x 3 x 的图像开口向上
原不等式的解集为Φ
例
应 例4：自变量x在什么范围取值时，函数
y x2 6x10的值等于0？大于0？小于0呢？
1 2
,0
）
2
举
函数y 4x2 4x1的图像为
由 图 像 知 原 不 等 式
例
的
解
集
为
{
x|x
1} 2
应
例2：求不等式32x 7x 10的解集
解：原不等式可化为
用
3x2 7x10 0
y
Δ 493410 169 0
方 程 3x2 7x 10 0的 解 是:
举
x1
10 3
,x2
1
原不等式的解集是：
一元二次不等式的解法
定义：
我们把只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的不等式，称为一元 二次不等式 形如：ax2+bx+c>0(a≠0)等
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
⊿>0 x1 x2
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两不等实根 x1 x2
练习
小结
请同学们说一说今天学会了些什么？
1.一元二次不等式与其对应 的二次函数以及一元二次方程 的关系 2.一元二次不等式的解法
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 5 a 2 5 a 24 5 a 2 5 a 24 解集为： x x 或x 2 2 ;
2.当⊿=25a2－24=0 ， 即 a 2 6 时 5 5 解集为： x x R且x a
2 ;
第三章 不等式
一元二次不等式
定义：只含有一个未知数，未 知数的最高次数是2的不等式， 叫一元二次不等式.
跃跃欲试提供技术支持
2
函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac △>0 y
y>0
>0
y=ax2+bx+c
的图象
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
所以,原不等式的解集是
1 x | x , 或x 2. 2
跃跃欲试提供技术支持
注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根
5
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0
图象为: 注:开口向上,小于0 解集是大于小根且 小于大根
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解， (2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
Φ
求解一元二次 不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图:
△≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
跃跃欲试提供技术支持
4
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0
先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
然后想像图象形状
1 x1 , x2 2. 2
x2
a 0 2 b 4ac 0
跃跃欲试提供技术支持
a 2 0 a 2 即 2 ( a 2) 4( a 2) 0 (a 2)(a 6) 0 a 2 即 所以2 a 6 2 a 6 综上： 2 a 6
3.当⊿=25a2－24<0, 解集为：R.
2 2 即 6 a 6时 5 5
跃跃欲试提供技术支持
x2 + 5ax + 6a2 > 0
解：因式分解，得:（x+3a)(x+2a) > 0， 方程（x+3a)(x+2a) ＝0 的两根为 －3a、－2a. ①当－3a >－2a 即a <0 时， 解集为：{x︱x>－3a 或 x<－2a}; 原不等式为 x2>0 ②当－3a =－2a 即a =0 时， 解集为：{x︱x∈R 且x≠0}； ③当－3a <－2a 即a >0 时， 解集为：{x︱x> －2a 或 x< －3a}.
综上： 当a <0 时，解集为：{x︱x> －3a 或x< －2a } ;
当a =0 时，解集为： {x︱x∈R 且 x≠0}; 当a >0 时，解集为：{x︱x> －2a 或 x< －3a}.
跃跃欲试提供技术支持
14
ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
一、当a=0时， 解集为x | x 6 二、当a≠0时，
因式分解，得 ：ax 1x 6 0
x1 O
x2 x
y<0
O x1
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (y<0)的解集
有两相等实根 x 1 = x2 = b 2a
b {x|x≠ } 2a
R Φ
3
{x|x1< x <x2 }
11
例5 若关于x的不等式ax2+2x+2>0 对于 一切x都成立，求实数a 的取值范围. 练习： 不等式kx2-kx+2>0 对于一切x都
成立，求实数k 的取值范围.
跃跃欲试提供技术支持
12
含参不等式的解法 例1. x2 + 5ax + 6 > 0 解：由题意，得：⊿=25a2－24 1.当⊿=25a2－24>0 ， 即a 2 6 或 a 2 6 时 5 5
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
跃跃欲试提供技术支持
9
例3： 不等式 x bx c 0的解集为
2
{x x 3或x 1}, 求b与c.
例4： 不等式ax bx c 0的解集为
跃跃欲试提供技术支持
8
练习：求函数
f ( x) 2 x 2 x 3 log 3 (3 2 x x 2 )
的定义域
解：由函数f (x) 的解析式有意义得
2 x 2 x 3 ≥ 0 2 3 2 x x 0
(2 x 3)( x 1) ≥ 0 即 ( x 3)( x 1) 0
跃跃欲试提供技术支持
6
练习：解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
略解: －x2 ＋2x－3 > 0
x2 -2x+3 < 0
无 解
注:x2 -2x+3 >0
跃跃欲试提供技术支持
xR
7
例2.解不等式
x2 0 x 1
x | x 2 或 x 1
x 2 变式：解不等式 0 x 1 x | x 2 或 x 1
例题：已知关于x的不等式：
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
（3）二次不等式a +bx +c ≥ 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0 （4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
2
{x x 3或x 1},
求cx2 bx a 0 的解集
跃跃欲试提供技术支持
10
含参不等式恒成立的问题
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0 2 b 4ac 0 （2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0
2.当⊿=25a2－24=0 ， 即 a 2 6 时 5 5 解集为： x x R且x a
2 ;
第三章 不等式
一元二次不等式
定义：只含有一个未知数，未 知数的最高次数是2的不等式， 叫一元二次不等式.
跃跃欲试提供技术支持
2
函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac △>0 y
y>0
>0
y=ax2+bx+c
的图象
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
所以,原不等式的解集是
1 x | x , 或x 2. 2
跃跃欲试提供技术支持
注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根
5
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0
图象为: 注:开口向上,小于0 解集是大于小根且 小于大根
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解， (2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
Φ
求解一元二次 不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图:
△≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
跃跃欲试提供技术支持
4
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0
先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
然后想像图象形状
1 x1 , x2 2. 2
x2
a 0 2 b 4ac 0
跃跃欲试提供技术支持
a 2 0 a 2 即 2 ( a 2) 4( a 2) 0 (a 2)(a 6) 0 a 2 即 所以2 a 6 2 a 6 综上： 2 a 6
3.当⊿=25a2－24<0, 解集为：R.
2 2 即 6 a 6时 5 5
跃跃欲试提供技术支持
x2 + 5ax + 6a2 > 0
解：因式分解，得:（x+3a)(x+2a) > 0， 方程（x+3a)(x+2a) ＝0 的两根为 －3a、－2a. ①当－3a >－2a 即a <0 时， 解集为：{x︱x>－3a 或 x<－2a}; 原不等式为 x2>0 ②当－3a =－2a 即a =0 时， 解集为：{x︱x∈R 且x≠0}； ③当－3a <－2a 即a >0 时， 解集为：{x︱x> －2a 或 x< －3a}.
综上： 当a <0 时，解集为：{x︱x> －3a 或x< －2a } ;
当a =0 时，解集为： {x︱x∈R 且 x≠0}; 当a >0 时，解集为：{x︱x> －2a 或 x< －3a}.
跃跃欲试提供技术支持
14
ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
一、当a=0时， 解集为x | x 6 二、当a≠0时，
因式分解，得 ：ax 1x 6 0
x1 O
x2 x
y<0
O x1
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (y<0)的解集
有两相等实根 x 1 = x2 = b 2a
b {x|x≠ } 2a
R Φ
3
{x|x1< x <x2 }
11
例5 若关于x的不等式ax2+2x+2>0 对于 一切x都成立，求实数a 的取值范围. 练习： 不等式kx2-kx+2>0 对于一切x都
成立，求实数k 的取值范围.
跃跃欲试提供技术支持
12
含参不等式的解法 例1. x2 + 5ax + 6 > 0 解：由题意，得：⊿=25a2－24 1.当⊿=25a2－24>0 ， 即a 2 6 或 a 2 6 时 5 5
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
跃跃欲试提供技术支持
9
例3： 不等式 x bx c 0的解集为
2
{x x 3或x 1}, 求b与c.
例4： 不等式ax bx c 0的解集为
跃跃欲试提供技术支持
8
练习：求函数
f ( x) 2 x 2 x 3 log 3 (3 2 x x 2 )
的定义域
解：由函数f (x) 的解析式有意义得
2 x 2 x 3 ≥ 0 2 3 2 x x 0
(2 x 3)( x 1) ≥ 0 即 ( x 3)( x 1) 0
跃跃欲试提供技术支持
6
练习：解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
略解: －x2 ＋2x－3 > 0
x2 -2x+3 < 0
无 解
注:x2 -2x+3 >0
跃跃欲试提供技术支持
xR
7
例2.解不等式
x2 0 x 1
x | x 2 或 x 1
x 2 变式：解不等式 0 x 1 x | x 2 或 x 1
例题：已知关于x的不等式：
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
（3）二次不等式a +bx +c ≥ 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0 （4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
2
{x x 3或x 1},
求cx2 bx a 0 的解集
跃跃欲试提供技术支持
10
含参不等式恒成立的问题
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0 2 b 4ac 0 （2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0