§6.1根的搜索

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人教版初中数学七年级下册第六章《6.1平方根》同步练习题(含答案)

《平方根》同步练习1 课堂作业1．9的算术平方根是()A．－3B．±3C．3D2．一个数的算术平方根不可能是()A．正数B．负数C．分数D．非负数3的值在()A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间4．144的算术平方根是________；(－5)2的算术平方根是________；181的算术平方根是________．5．求下列各数的算术平方根：(1)0.64；(2)9116；(3)2.56；(4)0．6．求下列各式的值：(2)．课后作业7() A．－3B．3C．－9D．98() A．－2B．±2CD．29．下列说法正确的是() A．7是49的算术平方根B．±4是16的算术平方根C．－6是(－6)2的算术平方根D．0.01是0.1的算术平方根10．下列运算正确的是()A．(5)5=--=B1 12 =C33 2244 =+=D0.5=±11．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是() A．a＋1B．a2＋1CD112．用“＞”或“＜”连接下列各式：(2)(3)4-．13．若172.≈，22.84≈，则217________≈，________≈0.02284≈，则x ＝________．14．邻居张大爷家有一块正方形的花圃，面积为289m 2，张大爷要在花圃的四周围上栅栏，则至少需要栅栏的长度为________．15．求下列各式的值：16．小玉想用一张面积为900cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一张面积为560cm 2的长方形纸片，使它的长、宽之比为2︰1，但不知是否能裁出来．小芳看见了说：“很明显，一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片．”你同意小芳的观点吗？小玉能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？答案[课堂作业]1．C2．B 3．C4．12 5 195．(1)0.8 (2)54 (3)1.6 (4)0 6．(1)147 (2)－3(3)9(4)45[课后作业]7．B8．C9．A10．B11．B12．(1)＞(2)＞(3)＞13．0.2284228.40.000521714．68m15．(1)17(2)0.8(3)216．设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm．由题意，得2x·x＝560，解得x=280＞256，16>．∴2x＞32，即裁出的长方形纸片的长大于32cm．而已知正方形纸片的面积为900cm2，则边长只有30cm，因此，我不同意小芳的观点小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片《平方根》同步练习2课堂作业1．下列各数中，没有平方根的是()A．(－3)2B．0C．1 8D．－632．求449的平方根，下列运算过程正确的是()A4 49 =B．27 =±C2 7 =D．2 7 =3．若x的一个平方根，则另一个平方根是________，x是________．4．2.25的平方根是________；19的平方根是________；1625的平方根是________．5．求下列各数的平方根：(1)196；(2)0.16；(3)25 169；(4)729．6．有一个边长为11cm的正方形和一个长15cm、宽5cm的长方形，要做一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长应为多少？课后作业7．下列各式正确的是()A3=-B．3=-C3=±D3=±8．下列说法正确的是()A．14是0.5的一个平方根B．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C．72的平方根是7D．负数有一个平方根9()A．±3B．3C．±9D．910．若a是(－3)2的平方根，b的一个平方根是2，则a＋b的值为________．11．若一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．12．求下列各式的值：(1)；(2)；(4)13．求下列各式中x的值：(1)3x2＝75；(2)292(1)8x-=；(3)2(x2＋1)＝5.38．14．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值．15．为了促进全民健身活动的开展，改善居民的生活质量，某居民小区决定在一块面积为905m2的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积是420m2，长是宽的2815倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地．请你计算一下，能否按规定在这块空地上建一个篮球场．答案[课堂作业]1．D2．B3 54．±1.513±45±5．(1)±14(2)±0.4(3)513±(4)53±6．设该正方形的边长为xcm．由题意，得x2＝11×11＋15×5＝196．∵x＞0，∴14x==．∴该正方形的边长应为14cm[课后作业]7．B8．B9．A10．1或711．212．(1)±30(2)－1.7(3)7 4(4)±1113．(1)x ＝±5 (2)14x =或74x = (3)x ＝±1.314．由题意，得2a －1＝(±3)2，3a ＋b －1＝42，解得a ＝5，b ＝2．∴a ＋2b ＝5＋2×2＝915．设篮球场的宽为xm ，那么长为28m 15x ．由题意，得2842015x x = ．∴x 2＝225．∵x ＞0，∴15x ==．又∵228(2)90090515x +=<，∴能按规定在这块空地上建一个篮球场《平方根》同步练习3同步练习：一、基础训练1．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．2．下列计算不正确的是（）A ±2B 9C =0.4D 63．下列说法中不正确的是（）A ．9的算术平方根是3B 2C ．27的立方根是±3D ．立方根等于-1的实数是-14 ）A ．±8B ．±4C ．±2 D5．-18的平方的立方根是（） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．146_______；9的立方根是_______．7______________（保留4个有效数字）8．求下列各数的平方根．（1）100；（2）0；（3）925；（4）1；（5）11549；（6）0．09．9．计算：（1）（2（3（4二、能力训练10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（）A．x+1B．x2+1C1D11．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．-3B．1C．-3或1D．-112．已知x，y（y-3）2=0，则xy的值是（）A．4B．-4C．94D．-94参考答案1．13．10，12，14 点拨：23<这个数<42，即8<这个数<16．2．A 2．3．C4．C =4，故4的平方根为±2．5．D 点拨：（-18）2=164，故164的立方根为14．6．±237．6.403，12.61 8．（1）±10 （2）0 （3）±35 （4）±1 （5）±87 （6）±0.3 9．（1）-3 （2）-2 （3）14（4）±0.510．D 点拨：这个自然数是x 2，所以它后面的一个数是x 2+1，则x 2+1．12．B 点拨：3x +4=0且y -3=0．。

6.1.1算数平方根

1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61
1.4 2 1.5
1.4 2 1.5
1.43
2
x 1.41 x 2 1.9881
2
1.42
1.44
1.45
… „
2.0164 2.0449 2.0736 2.1025
1.41 2 1.42
1.41 2 1.42
1.413
2
x x2
1.411
2
1.412
1.414
1.415
…
1.990921 1.993744 1.996569 1.999396 2.00225 „
1.414 2 1.415
1.414 2 1.415
20
2 有多大?
因为
2 ( ) 1 < 2 < 2 2 2
x
2
a (a 0) ( a ) ______
2
3.任何一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
a
a _____
2
a
4.被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有的正数都成立。
7
例3：求下列各数的算术平方根 (1) 81 1 (2） 5 （3） 2 4
18
折纸游戏
如下图,是一个面积为4的正方形纸片.
(1)你能否利用此折出面积为1的小正方形? (2)你能折出面积为2的小正方形吗? (3)折出面积为2的小正方形的边长为多少?
19
有多大？ 2
1 2 2 1
2 2
22
1.8 1.9
x x2
1.1
1.2

滨城区第九中学七年级数学下册第六章实数 6.1 平方根课时2 用计算器求一个正数的算术平方根教

解:因为 x-y=2,所以 x=y+2. 因为 x>1,所以 y+2>1,所以 y>-1. 又因为 y<0,所以-1<y<0.① 同理,得 1<x<2,② 由①+②,得-1+1<y+x<0+2, 所以 x+y 的取值范围是 0<x+y<2. 【尝试应用】已知 x-y=-3,且 x<-1,y>1,求 x+y 的取值范围.
[教学说明]学生自主探究 , 教师巡视 , 了解学生対本节课知识的掌握情况 , 及时予以指导 , 帮助学生巩固新知.
[答案]1.A 2.A 3.D
本节课应掌握 : 1.读一读本节课学习的主要内容,说出平方根与平方的关系. 2.算术平方根的意义是什么样的? 3.怎样求一个正数的算术平方根? 从教材〞习题 6.1”中选取.
解：(1)m(m+6)个；(2)( 3 m)m 个 2
7.电话费与通话时间的关系如下表
9
（1）试用含 a 的代数式表示 b. （2）计算当 a=100 时，b 的值.
解：（1）b=0.8+0.2a
(2)b=0.8+0.2×100
b=20.8
8.全国统一鞋号成年男鞋共有 14 种尺码，其中最小的尺码是 23 1 厘米，各相邻的两 2
理解算术平方根的概念.
根据算术平方根的概念准确求出非负数的算术平方根.
教师出示以下问题 1,并引导学生分析.问题 1 由学生直接给出结果. 问题 1 求出以下各数的平方. 1,0,(-1),-1/3 , 3 , 1/2. 问题 2 以下各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69. 対学生进行提问,针対学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明准确的考虑方式. 由于 52=25,(-5)2=25 , 故平方为 25 的数为 5 或-5. 02=0,故平方为 0 的数为 0. 22=4,(-2) =4 , 故平方为 4 的数为 2 或-2.

人教版七年级数学下册6.1.2《用计算器求一个正数的算术平方根》教学设计

人教版七年级数学下册6.1.2《用计算器求一个正数的算术平方根》教学设计一. 教材分析人教版七年级数学下册6.1.2《用计算器求一个正数的算术平方根》是学生在学习了平方根的概念后，进一步学习如何利用计算器求一个正数的算术平方根。

通过这一节的学习，学生能够熟练运用计算器求解正数的算术平方根，加深对平方根的理解，并提高运用计算器解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了平方根的概念，对平方根有一定的认识。

但在实际操作中，可能对如何利用计算器求解算术平方根还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生正确使用计算器，提高操作熟练度。

三. 教学目标1.知识与技能：学生会使用计算器求一个正数的算术平方根，能熟练运用计算器解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过自主探究、合作交流，掌握利用计算器求解算术平方根的方法。

3.情感态度与价值观：学生增强对数学学习的兴趣，培养勇于探究、合作交流的良好学习习惯。

四. 教学重难点1.重点：学生能够熟练使用计算器求一个正数的算术平方根。

2.难点：学生能灵活运用计算器解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生回顾平方根的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.实例演示法：教师通过具体例子，展示如何利用计算器求解算术平方根。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得，互相学习，提高操作熟练度。

六. 教学准备1.教学课件：教师制作课件，展示求解算术平方根的过程。

2.计算器：为学生准备足够数量的计算器，以便课堂练习使用。

3.练习题：教师准备相关练习题，巩固学生对知识点的掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平方根的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用课件展示如何利用计算器求解算术平方根的过程，让学生初步了解利用计算器求解的方法。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，分享学习心得，互相学习，提高操作熟练度。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

延川县一中七年级数学下册第六章实数6.1 平方根第2课时用计算器求一个正数的算术平方根课件新

2
无限不循环小数是指小数位数无限 , 且小数部分不循环的小数. 你以前见过这种数吗？
练习Βιβλιοθήκη 1.实数 3 的值在〔B 〕
A.0 和 1 之间
B.1 和 2 之间
C.2 和 3 之间
D.3 和4 之间
2.与 1 + 5 最接近的整数是〔C 〕
A.1
B.2
C.3
D.4
知识点2 用计算器求一个数的算术平方根
v22 9 .8 6 .4 1 0 6 1 .1 1 0 4 因此 , 第一宇宙速度 v1 大约是 7.9×103 m/s , 第二宇宙速度 v2 大约是 1.1×104 m/s.
练习
1.用计算器计算 0.012345 ，下列按键
顺序正确的是（A ）
A. ON
0.012345＝
B. ON 0.012345 ＝
不能根据 3 的值说出 3 0 的值.
例 3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片 , 沿着边的方向剪出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片 , 使它的长宽之比为 3 : 2．她不知能否裁得出来 , 正在发愁．小明见了说 : 〞别发愁 , 一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能
解：∵36 < 40 < 49， ∴ 3 6 < 4 0 < 4 9 ，即6 < 4 0 < 7， ∴a = 6，b = 7,∴a + b = 6 + 7 = 13.
课堂小结
估算大小
∵1 < 2 < 4
∴1 < 2 < 2
用计算器求值
ON
2
＝
已知 2+ 2 的小数部分为 a , 5 – 2 的小数

《6.1第2课时用计算器求一个正数的算数平方根》同步练习含答案

第2课时数的估计及大小比较关键问答①用计算器计算一个正数的算术平方根的步骤是什么？②估算一个正数的算术平方根的大小时，常需要用到什么知识？③比较两个数的大小的方法有哪些？1．①用计算器计算44.86的值为(精确到0.01)( )A．6.69 B．6.7 C．6.70 D．±6.702．②2017·天津估计38的值在( )A．4和5之间B．5和 6之间C．6和7之间D．7和8之间3．③比较大小：10__________ 11.命题点1 用计算器求正数的算术平方根[热度：86%]4．2017·淄博运用科学计算器(如图 6－1－1 是其面板的部分截图)进行计算，按键顺序如下：（ 3.5 － 4.5 ）×3图6－1－1 x2 ＋4则计算器显示的结果是________．5．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s(单位：km)可用公式s2＝16.88h来估计，其中h(单位：m)是眼睛离海平面的高度．如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.5 m时，能看到多远(精确到0.01km)？如果登上一个观望台，当眼睛离海平面的高度是35m时，能看到多远(精确到0.01km)?命题点2 数的估算[热度：88%]6.④2018·台州估计7＋1的值在( )A．2和3之间B．3和 4之间C．4和5之间D．5和6之间解题突破④7介于哪两个连续整数之间？7．⑤17的整数部分是__________，小数部分是________．模型建立⑤若a(a＞0)的整数部分为n，则其小数部分为a－n.8．规定用符号[＝________．x]表示一个数的整数部分，例如[3.69]＝3，[ 3]＝1，按此规定[ 13－1] 9．⑥如图6－1－2所示，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有________个．图6－1－2解题突破⑥－2与7分别介于哪两个连续整数之间？10.⑦用“逐步逼近”的方法可以求出7的近似值．先阅读，再答题：因为22＜7＜32，所以2＜7＜3.2＋3第一步：取＝2.5，由2.52＝6.25＜7，得2.5＜7＜3.22.5＋3第二步：取＝2.75，由2.752＝7.5625＞7，得2.5＜7＜2.75.2请你继续上面的步骤，写出第三步，并通过第三步的结论对7十分位上的数字作估计．方法点拨⑦本题需先取数，再计算所取数的平方，最后比较大小.命题点3 数的大小比较[热度：92%]11．在数－5，0，3，2中，比3大的数是( )A．－5 B．0 C．3 D. 212.⑧2017·酒泉估计5－1 5－1与0.5的大小关系：________0.5(填“>”“<”或“＝”)．22方法点拨⑧作差法是比较两个数大小的一种常用方法.13．比较5－3与5－2的大小．2命题点4 算术平方根的应用[热度：94%]14．工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为18平方分米的长方形的工件．(1)求正方形工料的边长；(2)若要求裁下来的长方形工件的长和宽的比为3∶2，则能用这块正方形工料裁剪出符合要求的长方形工件吗？15．⑨在地球引力的作用下，物体从某一高度落下，速度会越来越快，即地球引力会使下落的物体加速下落．在物理学中，把地球引力给下落物体带来的加速度称为重力加速度，用g表示，g＝9.8 m/s2，物体自由下落的高度h(m)与物体下落的时间t(s)之间的函数关系是1h＝gt2.某人头顶上空490m处有一杀伤半径为50m的炸弹自由下落，此人发现后，立即以26m/s的速度逃离，那么此人能脱离危险吗？解题突破⑨炸弹落在地面上的时间是多少？在这个时间内，此人跑的路程是多少？16.⑩一个标有高度的圆柱形容器，加入一些水后观察水面高度如图6－1－3①所示，这时将一个直径为2 cm的圆柱形玻璃棒竖直插至容器底部，水面高度如图②所示，求容器的内口直径(圆柱的容积＝底面圆面积×高)．(精确到0.1cm)图6－1－3解题突破⑩玻璃棒在水中部分的体积是多少？容器中插入玻璃棒后，水面以下部分的体积比原来多了多少？17. 用计算器计算：(1)9×9＋19＝__________；(2)99×99＋199＝__________；(3)999×999＋1999＝__________；(4)9999×9999＋19999＝__________．观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：__________．方法点拨利用计算器计算结果，观察9的个数与结果之间存在的规律.典题讲评与答案详析1．C 2.C 3.＜4．－7 [解析] 根据按键顺序可得算式为(3.5－4.5)×32＋4＝(－1)×9＋2＝－9＋2=－7.5．解：把h＝1.5代入s2＝16.88h，得s2＝16.88×1.5＝25.32，所以s≈5.03.即当眼睛离海平面的高度是1.5 m时，能看到的最远距离约为5.03km.把h＝35代入s2＝16.88h，得s2＝16.88×35＝590.8，所以s≈24.31.即当眼睛离海平面的高度是35 m时，能看到的最远距离约为24.31 km.6．B [解析] 由于2＜7＜3，所以7＋1的值在3和4之间．7．4 17－48．2 [解析]∵3< 13<4，∴2< 13－1<3，∴[ 13－1]＝2.9．4 [解析] 由于－2＜－2＜－1，2＜7＜3，所以－2与7之间的整数有－1，0，1，2，所以A，B两点之间的整数点有4个．2.5＋2.7510．解：第三步：取＝2.625，2由2.6252＝6.890625＜7，得2.625＜7＜2.75，所以7十分位上的数字可能是6或7.11．C1 5－1 112．＞[解析]∵0.5＝，又5＞2，∴5－1＞1，即＞ .2 2 213．解：∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴5－3＜0，5－2 5－2 ＞0，∴5－3＜.2 214．解：(1)5分米．(2)设长方形工件的长为3x(x>0)分米，宽为2x(x>0)分米．根据题意，得3x·2x＝18，解得x＝ 3.∴长方形工件的长为33分米，宽为2 3分米．∵33>5，∴不能用这块正方形工料裁剪出符合要求的长方形工件．15．解：能脱离危险．1当h＝490时，即490＝×9.8×t2，解得t＝10，2在这个时间内，此人跑的路程为6×10＝60(m)＞50 m，所以此人能脱离危险． 16．解：圆柱形玻璃棒的底面半径为2÷2＝1(cm)．设圆柱形容器的内口半径为r cm，则有πr2×(8－7)＝π×12×8，πr2＝8π，r2＝8，r＝8，8≈5.7(cm)．所以圆柱形容器的内口直径为2×8＝217．(1)10 (2)100 (3)1000①先按键，再输入这个正数，最后按＝键．②一个正数越大，它的算术平方根越大；另外需记住正整数如2，3，5等的算术平方根．③正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小时，绝对值大的负数反而小．还可以用作差法、作商法等．。

人教版初1数学7年级下册第6章(实数)6.1平方根的定义及性质课件 (共41张PPT)

Fra bibliotek 填表x2
4a 1 9 16 36 25 (a > 0)
x
±1 ±3
±4 ±6
2 5
平方根的定义
一般地,如果一个数的平方等于 a ,那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.这就是说,如果 x2 = a,那么 x 叫做 a 的平方根.
求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方.
例如：32 = 9，(-3)2 = 9, 3 和 -3 是 9 的平方根, 简记为 ±3 是 9 的平方根.
数的平方根: (1) 1 24 ;
解： 25
(2) 81 ; (3) 0 ; (4) -16 .
(2)因为(±9)2 = 81,
所以81有平方根，81的平方根是±9；
巩固练习下列各数是否有平方根,如果有,请你求出这个数的平方根: (1) 1 24 ; (2) 81 ; (3) 0 ; (4) -16 . 解： 25
巩固练习
下列各数是否有平方根,如果有,请你求出这个
数的平方根:
(1) 1 24 ; (2) 81 ; (3) 0 ; (4) -16 .
解： 25
(1)因为(±
7)2=
49 = 1 24,
5 25 25
所以1 24 有平方根,1 24 的平方根是± 7;
25
25
5
巩固练习
下列各数是否有平方根,如果有,请你求出这个
(3)因为 02 = 0,
所以0有平方根, 0 的平方根是 0 ;
巩固练习下列各数是否有平方根,如果有,请你求出这个数的平方根: (1) 1 24 ; (2) 81 ; (3) 0 ; (4) -16 . 解： 25 (4)因为 x2 0 ,

常用一维搜索算法

无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。

这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。

（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。

间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。

首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。

）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。

根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。

一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。

一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。

由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。

在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k设Φ(a)=f(x k+ad k)这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。

其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。

一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。

如果求得a k使目标函数沿方向d k达到极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子;如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。

6.1.2算术平方根的估算

通过对 2 的认识，你能知道如何比较两个算术平方根的大小吗？
两算个术算平术方平根方的根性大质小3 比较大小方式:
被开方数（非负）越大，其算术平方根越大
符号语言：若a>b,则 a b
反之，仍成立
典例精析例1：估算 19 -2的值 ( B ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间
2
本节掌握要点：
1.利用夹逼法知道 2，3，5...这些数是无限不循环小数（无理数）。 2.算术平方根的性质 3：被开方数（非负）越大，其算术平方根越大。
3.算术平方根的性质（4 规律）：被开方数小数点移动两位，其算术平方根小数点相应方向移动一位。
左（右）移动一位，即可确定出所求．
【解答】解：∵
≈44.91，
∴
≈4.491．
故选：D．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
2．若 10.12＝102.01，则
＝（ B ）
A．0.101
B．1.01
C．±0.101
D．±1.01
【分析】依据被开放数向左或向右移动 2n 位，则对应的算术平方根向左或向右移动 n 位
(2)因为6>4，所以
6 > 2，所以
> 6 1 2 1 =1.5.
2
2
归纳比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽出她能用这块纸片裁出符合要求的
C. 4～5之间 D. 5～6之间

七年级数学人教版下册配套课件：6.1.2 用计算器求一个正数的算术平方根

基础课堂·精讲精练
精练
1
估算
1．（2015·嘉兴改编）与 31 最接近的整数是（ C ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（中考·滨州）估计 5 在（ C ）
A．0～1之间
B．1～2之间
C．2～3之间
D．3～4之间
3．（中考·安徽）设n为正整数，且n< 65 <n＋1，则n
的值为（ D ）
A．5
B．6
C．7
14．填空找规律．（1）利用计算器分别求：
0.5 ≈ 0.707 1 ， 5 ≈ 2.236 ， 50 ≈ 7.071 ， 500≈ 22.36 ．
（2）由（1）的结果，我们发现所得的结果与被开方数间的规律是_一__个__正__数__的__小__数__点__向__右__(_或__向__左__)_移__动__两__位__， _则__这__个__正__数__的__算__术__平__方__根__的__小__数__点__向__右__(_或__向__左__)_移__ _动__一__位___.
第2课时
用计算器求一个正数的算术平方根
基础课堂·精讲精练课堂小结·名师点金提升拓展·考向导练精炼方法·教你一招资源素材包
基础课堂·精讲精练
1
估算
精讲
求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法． “夹”就是从两边确定__取___值__范__围___；“逼”就是一点一
点加强限制，使其所处范围_越__来__越__小__，从而达到理想的
精确程度．要点精析：会用完全平方数的算术平方根估计非完全平方数的算术平方根的大小是本章的基本要求，它利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个数的

§6.因子分解与多项式的根6.1根与一次因子6.2重根

这样下去，得到 f x x a1x a2 L x ak fk x
证完
推论2 若 f x的次数是n，那么 f x 的I 里至少有n个根：
6.2 重根
根据定理2，我们下
定义2 I 的元 a 叫做 f x 的一个重根，假如 f x 能被 x ak 整
除，k是大于1的整数。
关于重根我们有一个类似定理1的定理，不过在这里我们需要导数这一概念……
推论1 a 是 f x 的一个根，当而且只当 f x 能被 x a整除
的时候。
证明可以表达为
……
f x qxx a r, r I
定理 2 I的 k 个不同的元 a1, a2,L , ak 都是 f x 的根，当而且只当 f x能被x a1x a2 L x ak 整除的时候。
证明 f x若是能够被 x a1x a2 L x ak 整除，显然 a1, a2,L , ak
假定 a 不是 f x的重根，那么 f x x a g x, x a | g x
f x x agx gx f a ga 0
f x不能被 x a 整除。证完。
例2. 定理2中, 条件“a 是f x 的一个根”不可少.
推论3 假定 I x是一个唯一分解环。 I 的元 a 是 f x的一个重
f
x
t
tf
xt1
f
x
定理 3 a 是 f x的一个根. a 是 f x重根，当且仅当 f x 能被 x a 整除的时候(或曰: a是f x 的根)。
证明假定 a 是 f x的重根，那么 f x x ak g x k 1
f x x ak g x k x a k1 g x x a k1 x a g x kg x f x能够被 x a整除。

七年级数学(下)第六章《实数》§6.1平方根(整理)

七年级数学（下）第六章《实数》§6.1平方根一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9开平方即9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，它们是一对相反数，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（负数的平方根没有意义）（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2⇔ a x ±=a 是x 的平方（ x 是a 的平方根） x 的平方是a （a 的平方根是x ）2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有理数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数（无理数）。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2(x≥0) ⇔ a x =a 是x 的平方（x 是a 的算术平方根） x 的平方是a （ a 的算术平方根是x ）（6）正数和零的算术平方根都只有一个，负数没有算术平方根。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0熟记一些基本的平方数例题：1、判断下列说法正确的个数为（）（1）-5是-25的算术平方根；（2）6是()26-的算术平方根；（3）0的算术平方根是0；（4）0.01是0.1的算术平方根；（5）一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、36的平方根是（）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6± 3、下列各式中，有意义的是（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-4、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=05、（1）已知x 、y 都是实数，且4y =，求x y 的平方根。

七年级数学下册第六章实数 6.1 算术平方根用计算器求一个正数的算术平方根

纸片裁出符合要求的纸片吗？
2021/12/11
第十五页，共十七页。
活动(huó dòng)5
归纳小结深本节课你有哪些(nǎxiē)收获？化新知
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：（1）利用逼近法来求算术平方根的近似值的依据是什么？（2）利用计算器可以求出任意正数的算术平方根或近似值吗？（3）被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律是？（4）怎样的数是无限(wúxiàn)不循环小数？
规定：0的算术平方根是0，即 0 0.
根号
(ɡēn hào)
a
被Hale Waihona Puke 方数2021/12/11a的算术平方根第二页，共十七页。
活动1
梳理(shūlǐ) 旧知
铺垫新知
请用算术(suànshù)平方根定义填表格
a
4
(a˃0） 2 5
1
1.9 2.2 65
4
9
16
a
2
5 1 1.4 1.5 2 3 4
若 ab0 ab0.
体验估算 (tǐyàn)
1.（2016年天津中考）估计 19 的值在（ C ）
A. 2和3之间
B. 3和4之间
C. 4和5之间
D.5和6之间
2.(2012天津中考）估计 61 的值在（B ）
A. 2到3之间
B. 3到4之间
C. 4到5之间
D. 5到6之间
2021/12/11
第十页，共十七页。
活动4 初步应用巩固新知
2021/12/11
第七页，共十七页。
活动3 问题探究学
习(xuéxí)新知用计算器求下列(xiàliè)各式的值：

与或树搜索1与或树

或节点
或
变换问题n为 n1 …. nk个新问题。只要解决某个问题就可解决其父辈问题的节点集合。
A
B
E
F
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G
I
Q
Q1
Q2
Q11
Q12
Q13
Q11’
Q12’
Q13’
Q21
Q22
Q23
Q21’
Q22’
Q23’
思考：问题Q解决方案：？

概念与术语
本原问题：直接可解的简单问题（不能再分解或变换）。
节点：对应问题
子节点：对应子问题（由节点分解或变换）与或树的节点代表问题，其中既有与关系又有或关系，整个树表示问题空间。
与节点与
分解问题n为n1 …. nk个子问题。只有解决所有子问题，才能解决其父辈问题的子问题集合。问题分解过程用图表示：图中节点代表问题。与关系集合中，各个结点之间用一段小圆弧连接标记。
问题求解过程就是在一个与或树中寻找一个从初始节点（原始问题）到目标节点（可解的简单问题）的路径问题。
例1: t 是终止节点,1 可解性？
1 3 5 B t1 2 3 5 B t1 1 2 4
4
t4
t3
t4
t3
t2
A
t2
A
例2：
Q作为初始节点，把子问题Q11，Q12，Q13· · · · · · 作为目标节点，则对问题Q的求解就是在与或树中寻找从Q到Q11，Q12，Q13· · · · · · 的路径问题。
Q
Q1
Q2
Q11
Q12
Q13
Q11’
Q12’
Q13’

6.1 算数平方根的比较-人教版数学七年级下册教学课件

(2)用计算器计算 3 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你能根据 3 的值说出30 是多少吗?
3 ≈1.732
3．利用规律计算 2 ≈1.414， 20 ≈ 4.472，则 0.2 ≈ 0.4472.
10
再探新知：
小组交流课本43页“探究”内容，你得到的规律是什么？
被开方数的小数点每向右(或左)移动_两__ 位,则它的算术平方根的小数点向右(或左)移动 _一_位__
被开放数扩大（或缩小）100 倍，算术平方
根扩大（缩小） 10 倍
自我检测：
1.若 12.5 3.535，1.25 1.118 那么 125 11 .8； 0.125 0 .35 35 . 2.若已知 7.45 2.729， y 272.9；那么y 74 50 0 .
7.国际比赛的足球场的长在12m到14m之间，宽在 9m到11m之间，现有一个长方形的足球场其长是宽的1.5倍，面积为150m2，问：这个足球0 6 2.5 7.906 25 79.06 250
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 1__位.
9
知识点三：用计算器求算术平方根
新知探究
课本第43页探究:
小丽想用一块面积为400cm²的正方形纸片沿着边的方向裁出一块面积为 300cm²的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2,不知能否裁出来,正在发愁,小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”,你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?

讨论了一些简单搜索的基本原理

9
(6)把母式化为合取范式任何母式都可写成由一些谓词公式和(或)谓词公式的否定的析取的有限集组成的合取。这种母式叫做合取范式。我们可以反复应用分配律。把任一母式化成合取范式。例如，我们把 A∨{B∧C}化为{A∨B}∧{到了这一步，所有余下的量词均被全称量词量化了。同时，全称量词的次序也不重要了。因此，我们可以消去前缀，即消去明显出现的全称量词。 (8)消去连词符号∧ 用{(A∨B), (A∨C)}代替(A∨B)∧(A∨C)，以消去明显的符号∧。反复代替的结果，最后得到一个有限集，其中每个公式是文字的析取。任一个只由文字的析取构成的合适公式叫做一个子句。
(3) 反演求解的举例下面举个例子来说明消解反演过程：前提：每个储蓄钱的人都获得利息。结论：如果没有利息，那么就没有人去储蓄钱。证明：令S(x,y)表示"x储蓄y" M(x)表示"x是钱" I(x)表示"x是利息" E(x，y)表示"x获得y" 于是上述命题写成下列形式：
结论:
25
用化为子句集的九步法，可把前提和结论化为下列的子句集： S’={～S(x,y)∨～ M(y)∨I(f(x)),～S(x,y)∨～ M(y)∨E(x,f(x))} 其中，y=f(x)为Skolem函数。而,～L＝＝{～I(z),S(a,b),M(b)}
13
(a)假言推理
(b) 合并
父辈子句消解式
14
(c) 重言式
父辈子句
消解式
15
(d) 链式(三段论)
(e) 空子句(矛盾)
父辈子句
消解式
上各例可见，消解可以合并几个运算为一简单的推理规则 16
4.4.3 含有变量的消解式

搜索题目选讲

2)^2*(Hi-2)+......(Ri-(m-i))^2*(Hi-(m-i))) • 因此,剪枝条件为 • if Vr>V'' retrun
例6、生日蛋糕
• 知道余下的蛋糕体积,因此可以估算一下余下侧面积,这样可以加入如下剪枝条件:
• if 当前的表面积+余下的側面积>当前最优值 return • 设已经做了i层蛋糕,则还需做m-i层, • Si’：为第i层蛋糕的侧面积, • FSi：余下的侧面积,怎么求FSi? • 因为: • 2Vi= 2Ri+1*Ri+1*Hi+1 + ...+ 2Rm*Rm*Hm • = Ri+1 * Si+1’+ ...+ Rm*Sm’ • ≤ Ri+1 * (Si+1’+ ...+ Sm’) • = Ri+1 * FSi • 所以，FSi≥2Vi / Ri+1 • 因此剪枝条件为：if Si-1+ 2*Vi-1/Ri>当前最优值 return
对于每次都要选取最小估价的节点，应该用到最小优先级队列（也叫最小二叉堆）。在C++的STL里有现成的数据结构priority_queue，可以直接使用。
A*搜索
• A*需要满足两个条件： • 1.h(n)<=h'(n),h'(n)为从当前节点到目标点的实际的最优
代价值。
• 2.每次扩展的节点的f值大于等于父节点的f值。
i)^3) • 设剩余的体积大小为Vr • 因此,剪枝条件为 • if Vr<V' return
例6、生日蛋糕
• 类似的，如果剩下的蛋糕材料太多，以最大的方式做完 m层, 仍有材料剩余,那么没有必要继续往下做了.

符号二分法

符号二分法一、定义与概述符号二分法，也称为符号分割或二分搜索，是一种在有序列表中查找某一特定元素的算法。

该算法的基本思想是将列表分为两部分，其中一部分的元素都小于目标值，另一部分都大于目标值，然后根据目标值与中间元素的比较结果，排除一部分元素，从而缩小搜索范围。

二、实施步骤1.定义搜索区间：将整个有序列表作为搜索区间。

2.确定中间元素：在搜索区间中取中间元素。

3.比较中间元素与目标值：如果目标值等于中间元素，则查找成功；如果目标值小于中间元素，则在左半部分列表中继续查找；如果目标值大于中间元素，则在右半部分列表中继续查找。

4.重复步骤2和3，直到查找成功或搜索区间为空。

三、应用领域符号二分法广泛应用于各种领域，如数据结构、数据库、计算机图形学等。

例如，在排序算法中，符号二分法可以用于查找排序后数组中的元素；在数据库中，符号二分法可以用于实现高效的数据检索；在计算机图形学中，符号二分法可以用于实现碰撞检测等。

四、优缺点分析优点：1.算法时间复杂度为O(log n)，查找效率高。

2.适用于有序列表的查找，且对列表的大小和顺序没有限制。

缺点：1.如果列表未排序，则需要先对列表进行排序，会增加额外的计算量。

2.如果列表中有多个重复元素，且目标值与中间元素相等，则算法可能会陷入死循环。

五、案例分析以一个有序数组为例，采用符号二分法查找其中的一个目标值。

首先定义搜索区间为整个数组，然后取中间元素为5，比较目标值与中间元素的大小关系，如果目标值等于5，则查找成功；如果目标值小于5，则在左半部分数组中继续查找；如果目标值大于5，则在右半部分数组中继续查找。

重复以上步骤直到查找成功或搜索区间为空。

六、总结与展望符号二分法是一种高效的有序列表查找算法，具有广泛的应用领域。

在实践中，需要针对具体问题对算法进行改进和优化，如处理重复元素、改进终止条件等。

未来随着计算机技术的不断发展，符号二分法将在更多领域得到应用和推广。

线搜索及牛顿算法

2
−1
幻灯片 17
d k = −(∇ 2 f ( x k )) −1 ∇f ( x k )
若 d k ≤ ε ，则停止
步2
设x
k +1
← xk + σ k , k = k +1
幻灯片 18
转向步 1 6.3 评论 z z z 该方法假定 ∇ f ( x ) 在每次迭代时都是非奇异的
2 k
不一定保证 f ( x
h' (λ ) = ∇f ( x + λd )' d
4.1.2 步0 算法
ˆ 设 k = 0 ，设 λ L = 0, λU = λ
设λ =
幻灯片 6
步k
~
λU + λ L
2
~ , 计算 h' (λ )
ˆ ，设 k ← k + 1 若 h' (λ ) > 0 ，重新设置 λU = λ ˆ ，设 k ← k + 1 若 h' (λ ) < 0 ，重新设置 λU = λ
0
幻灯片 14
步 k ：若 h(λ ) ≤ h (λ ) ，选择 λ k ，停止。若 h(λ ) > h (λ ) ，让 λ k +1 =
k k k k
1
（例如， σ = 2 ）
σ
λk
5
牛顿算法
5.1 历史幻灯片 15 最速下降是很简单的但较慢牛顿算法交付砸但是很快根源不详 Raphson 因他的书“Analysis Aequationum Universalis”在 1691 成为皇室社会的一员，该书中用到牛顿算法 Raphson 出版该书比牛顿早了 50 年。
1 2