高二第一次月考

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湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考语文试题 (解析版)

长沙市第一中学 2024—2025 学年度高二第一学期第一次阶段性检测语文时量：150分钟满分：150分一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：马克思主义者认为人类社会的生产活动，是一步又一步地由低级向高级发展，因此，人们的认识，不论对于自然界方面，还是对于社会方面，也都是一步又一步地由低级向高级发展，即由浅入深，由片面到更多的方面。

在很长的历史时期内，大家对于社会的历史只能限于片面的了解，这一方面是由于剥削阶级经常歪曲社会的历史，另一方面，则是由于生产规模的狭小，限制了人们的眼界。

人们能够对于社会历史的发展作全面的历史的了解，把对于社会的认识变成科学，这只是到了伴随巨大生产力——工业而出现近代无产阶级的时候，这就是马克思主义的科学。

马克思主义者认为，只有人们的社会实践，才是人们对于外界认识的真理性的标准。

实际的情形是这样的，只有在社会实践过程中（物质生产过程中，阶级斗争过程中，科学实验过程中），人们达到了思想中所预想的结果时，人们的认识才被证实了。

人们要想得到工作的胜利即得到预想的结果，一定要使自己的思想合于客观外界的规律性，如果不合，就会在实践中失败。

人们经过失败之后，也就从失败取得教训，改正自己的思想使之适合于外界的规律性，人们就能变失败为胜利，所谓“失败者成功之母”，“吃一堑长一智”，就是这个道理。

辨证唯物论的认识论把实践提到第一的地位，认为人的认识一点也不能离开实践，排斥一切否认实践重要性、使认识离开实践的错误理论。

列宁这样说过：“实践高于（理论的）认识，因为它不但有普遍性的品格，而且还有直接现实性的品格。

”马克思主义的哲学辩证唯物论有两个最显著的特点：一个是它的阶级性，公然申明辩证唯物论是为无产阶级服务的；再一个是它的实践性，强调理论对于实践的依赖关系，理论的基础是实践，又转过来为实践服务。

判定认识或理论校之是否真理，不是依主观上觉得如何而定，而是依客观上社会实践的结果如何而定。

辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知直线(20a x y ++=的倾斜角为30o ，则a =（）A ．BCD ．02．若()1,2,1a =--r，()1,3,2b =-r ，则()()2a b a b +⋅-=r r r r （）A ．22B ．22-C ．29-D ．293．如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 在侧棱PC 上，且12PE EC =，若AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，AP c =u u u r r ，则AE =u u u r （）A ．112333a b c ---r r rB ．112333a b c ++r r rC ．221333a b c ++r r rD ．221333a b c ---r r r5．已知m 为实数，直线()()12:220,:5210l m x y l x m y ++-=+-+=，则“12l l //”是“3m =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知空间中三点()0,0,0A ，()1,1,2B -，()1,2,1C --，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A ．32B C ．3 D ．7．点()2,4A -到直线()():131440l m x m y m -+-++=（m 为任意实数）的距离的取值范围是（）A ．[]0,5B ．⎡⎣C ．[]0,4D ．⎡⎣8．在正三棱锥P ABC -中，4PA AB ==，点,D E 分别是棱,PC AB 的中点，则AD PE ⋅=u u u r u u u r（） A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．直线10x y -+=与直线10x y --=B ．直线240x y --=在两坐标轴上的截距之和为6C ．将直线y x =绕原点逆时针旋转75o ，所得到的直线为y =D ．若直线l 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为23-10．在正方体1111ABCD A B C D -中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）A ．1AA u u u r ，AB u u u r，AC u u u r B ．BA u u u r ，BC u u ur ，BD u u u rC ．1AC uuu r ，1BD u u u u r，1CB u u u rD ．1AD uuu r ，1BA u u u r ，AC u u u r11．如图，在棱长均为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面,60ABCD ABC ∠=o ，,P Q 分别是线段AC 和线段1A B 上的动点，且满足()1,1BQ BA CP CA λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，则下列说法正确的是（）A ．当12λ=时，PQ //1A D B ．当12λ=时，若()1,,PQ xAB yAD z AA x y z =++∈R u u u r u u u r u u u r u u u r ，则0x y z ++=C ．当13λ=时，直线PQ 与直线1CC 所成角的大小为π6D ．当()0,1λ∈时，三棱锥Q BCP -三、填空题12．已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是. 13．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()()()2,2,0,2,1,3,0,2,0A B C -，则三棱锥O ABC -的体积为．14．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱DA ，1BB 的中点，M ，N 分别为线段11D A ，11A B 上的动点（不包括端点），且EN FM ⊥，则线段MN 的长度的最小值为.四、解答题15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.(1)用空间向量方法证明：11//AC 平面1ACD ；(2)求直线BD 与平面1ACD 所成角的正弦值.16．已知点()1,3P ，点()3,1N --，直线1l 过点()2,4-且与直线PN 垂直. (1)求直线1l 的方程；(2)求直线2:250+-=l x y 关于直线1l 的对称直线的方程. 17．平行六面体ABCD A B C D -''''，(1)若4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，求AC '长； (2)若以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC 与BD '所成角的余弦值．18．如图，四边形ABCD 是直角梯形，//,,22,AB CD AB BC AB BC CD E ⊥===为BC 的中点，P 是平面ABCD 外一点，1,,PA PB PE BD M ==⊥是线段PB 上一点，三棱锥M BDE -的体积是19.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角M DE A --的余弦值.19．图，在三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，11124,2AB A B CC ===，侧棱1CC ⊥平面ABC ，点D 是棱AB 的中点，点E 是棱1BB 上的动点（不含端点B ）.(1)证明:平面AA B B 平面11DCC；1(2)求平面ABE与平面ACE的夹角的余弦值的最小值.。

四川省内江市2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题含解析

内江2022-2023学年（上）高25届第一次月考数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.直线x =）A.0B.30C.60D.90【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果.【详解】直线x =∴直线x =90 .故选：D.2.下列说法错误的是（）A.球体是旋转体B.圆柱的母线平行于轴C.斜棱柱的侧面中没有矩形D.用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【答案】C 【解析】【分析】利用球体的定义判断A ；利用圆柱的结构特征判断B ；举例说明判断C ；利用正棱台的定义判断D ．【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A 正确；由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B 正确；如图，斜平行六面体1111ABCD A B C D -中，若AD ⊥平面11ABB A，因1AA ⊂平面11ABB A ，则1AD AA ⊥，侧面四边形11ADD A 是矩形，C 不正确；由正棱台的定义知，D 正确.故选：C3.如图，ABC 的斜二测直观图为等腰Rt A B C ''' ，其中2A B ''=，则原ABC 的面积为（）A.2B.4C.22D.42【答案】D 【解析】【分析】首先算出直观图面积，再根据平面图形与直观图面积比为22求解即可.【详解】因为等腰Rt A B C ''' 是一平面图形的直观图，直角边2A B ''=，所以直角三角形的面积是12222⨯⨯=.又因为平面图形与直观图面积比为22:1，所以原平面图形的面积是2222⨯=.故选：D4.若m n ，表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m n αα⊥⊂，，则m n ⊥B.若//,//m n αα，则//m nC.若m αββ⊥⊥，，则//m αD.若//,//,,m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ【解析】【分析】根据线面垂直的性质可判断A 正确；由//,//m n αα可得m 与n 平行、相交或异面，可判断B ；由m αββ⊥⊥，可得//m α或m α⊂，可判断C ；由//m n 时α与β不一定平行可判断D.【详解】对于A ，根据线面垂直的性质可得若m n αα⊥⊂，，则m n ⊥，故A 正确；对于B ，若//,//m n αα，则m 与n 平行、相交或异面，故B 错误；对于C ，若m αββ⊥⊥，，则//m α或m α⊂，故C 正确；对于D ，若//,//,,m n m n ααββ⊂⊂，如果m 与n 相交，则//αβ，若//m n ，则α与β不一定平行，故D 错误.故选：A.5.已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线20mx ny ++=上，其中m ，n 均为正数，则12m n+的最小值为（）A.2 B.4C.8D.6【答案】B 【解析】【分析】先将直线方程变形得到定点A 的坐标，根据点A 在直线20mx ny ++=上确定出,m n 所满足的关系，最后根据“1”的妙用求解出12m n+的最小值.【详解】已知直线210kx y k -+-=整理得：()12y k x +=+，直线恒过定点A ，即()2,1A --.点A 也在直线20mx ny ++=上，所以22m n +=，整理得：12nm +=，由于m ，n均为正数，则12122112422n n m m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,取等号时212n m nm =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，【点睛】方法点睛：已知()1,,,0xa yb x y a b +=>，求(),0m nm n a b+>的最小值的方法：将m n a b +变形为()m n xa yb a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，将其展开可得a b xm yn xn ym b a ++⋅+⋅，然后利用基本不等式可求最小值，即a b xm yn xn ym xm yn xm yn b a ++⋅+⋅≥++=++221xa yb xna ymb +=⎧⎨=⎩.6.正四棱台上、下底面边长分别为2cm ，4cm ，侧棱长2cm ，则棱台的侧面积为（）A.26cmB.224cmC.2D.2【答案】D 【解析】【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．【详解】解：设2a cm =，4b cm =，2=l cm ，可得正四棱台的斜高为)h cm '===，所以棱台的侧面积为21(44)2(24))2S a b h cm '=+=⨯+=．故选：D ．7.已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为3，锥体体积为6，则该球的表面积为（）A.32πB.16πC.24πD.20π【答案】B 【解析】【分析】先求得正四棱锥的高，然后利用勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设正四棱锥底面边长为()0a a >，则2136,3a a ⨯⨯==，底面正方形的对角线长为设球的半径为r ，则()22232r r ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2r =，则球的表面积为24π16πr =.故选：B8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q M 分别是11,,DD AB BB 的中点，则异面直线1A M 与PQ 所成角的余弦值为（）A.5B.10C.6D.3【答案】B 【解析】【分析】连接PC 、QC 、1A P 、MC ，即可得到1//A M PC ，从而得到QPC ∠或其补角为异面直线1A M 与PQ 所成的角，利用余弦定理求出cos QPC ∠，即可得解.【详解】令2AB =，连接PC 、QC 、1A P 、MC ，因为M 、P 为1BB 、1DD 的中点，易知1A P CM =且1//A P CM ，所以四边形1A PCM 为平行四边形，所以1//A M PC ，所以QPC ∠或其补角为异面直线1A M 与PQ 所成的角，在PQC △中，PC ==QC ==PQ =，所以30cos10QPC ∠==，所以异面直线1A M 与PQ 所成角的余弦值为10.故选：B二、多选题（每题5分，共20分）9.已知直线12:210,:(1)10l mx y l x m y ++=+++=，则下列结论正确的是（）A.若12l l ∥，则2m =- B.若12l l ∥，则1m =或2m =-C.若12l l ⊥，则23m =- D.若12l l ⊥，则23m =【答案】AC 【解析】【分析】根据两直线平行列出方程，求出1m =或2m =-，经检验，1m =不合要求；再根据两直线垂直列出方程，求出23m =-.【详解】令(1)20m m +-=，解得：1m =或2m =-．当1m =时，1l 与2l 重合；当2m =-时，12l l ∥．A 正确，B 错误．若12l l ⊥，则2(1)0m m ++=，解得23m =-，C 正确，D 错误．故选：AC10.等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）A.B.(1π+ C.D.(2π+【答案】AB 【解析】【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl r πππππ=+=⨯⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积2212S rl ππ=⨯=⨯⨯⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π+.故选：AB【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，点M 是AD 上的动点.将,AED DCF △△分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于P ，连接,DF PB .下列说法正确的是（）A.PD EF⊥B.若把EBF △沿着EF 继续折起，B 与P 恰好重合C.无论M 在哪里，PB 不可能与平面EFM 平行D.三棱锥P DEF -的外接球表面积为6π【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，线面垂直得到线线垂直；B 选项，利用边长相等，得到B 与P 恰好重合；C 选项，找到M 点使得PB ∥平面EFM ，D 选项，求出外接球半径，进而得到三棱锥的外接球表面积.【详解】连接BD ，与EF 相交于G ，连接PG ，因为正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，所以BE =BF ，△ADE ≌△CDF ，故DE =DF ，所以BD 是EF 的垂直平分线，所以G 是EF 的中点，因为PE =PF ，所以PG ⊥EF ，因为PG BG G = ，所以EF ⊥平面PBG ，因为PD ⊂平面PBG ，所以PD EF ⊥，A 正确；因为BE BF PF PE ===，故把EBF △沿着EF 继续折起，B 与P 恰好重合；B 正确；连接AC 交BD 于点O ，则BO =DO ，因为E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，所以EF ∥AC ，且BG GO =，当M 位于靠近P 的三等分点时，23MD DG PD DB ==，可得：MG ∥PB ，因为PB ⊄平面MEF ，MG ⊂平面MEF ，可得：PB ∥平面EFM ，故C 错误；由5DE DF =，2EF =2224cos 25255ED DF EF EDF ED DF +-∠==⋅⋅，所以23sin 1cos 5EDF EDF ∠=-∠=，设△DEF 的外接圆半径为R ，由正弦定理得：25223sin 35EF R EDF ===∠，如图，26QD R ==，过点P 作PH ⊥BD 于点H ，则PH ⊥平面DEF ，又因为PE =PF =1，EF 2，所以PE ⊥PF ，且PG =22，设HG =m ，则HD =322m -，由勾股定理得：2222PG HG PD HD -=-，即2222232222m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：26=m ，所以21142189PH =-=，所以23PH =，设球心为I ，则IQ ⊥底面BFDE ，过I 作IN ⊥PH 于点N ，连接ID ，则2522362IN HQ HD QD ==-=-=，设IQ HN h ==，则23PN PH HN h =-=-，设外接球半径为r ，则ID =IP =r ，即22225222632h h ⎛⎫⎛⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：13h =-，所以221526362r ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三棱锥P DEF -的外接球表面积为234π4π6π2r =⨯=，D 选项正确.故选：ABD【点睛】三棱锥外接球题目，要先找到球心在其中一个平面三角形的投影，然后利用正弦定理或其他知识求出这个三角形的外接圆半径，找到顶点在次三角形上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积或体积.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 、F 分别为线段PB 、CD 的中点，G 为线段PC 上的动点（不含端点P ），则下列说法正确的是（）A.对任意点G ，则有B 、E 、G 、F 四点共面B.存在点G ，使得A 、E 、G 、F 四点共面C.对任意点G ，则有AG ⊥平面PBDD.存在点G ，使得//EG 平面PAF 【答案】BD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2PA AB ==，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设2PA AB ==，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()002P ,,、()1,0,1E 、()1,2,0F ，设()2,2,2PG PC λλλλ==- ，其中01λ<≤，则()2,2,22AG AP PG λλλ=+=-，()1,0,1AE =uu u r，()1,2,0AF = ，设(),2,AG mAE nAF m n n m =+=+ ，则22222m n n m λλλ+=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得23m n λ===，故存在点G ，使得A 、E 、G 、F 四点共面，B 对；()1,0,1BE =-，()1,2,0BF =- ，()22,2,22BG BP PG λλλ=+=-- ，设(),2,BG aBE bBF a b b a =+=-- ，所以，222222a b b a λλλ--=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得200a b λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，不合乎题意，A 错；()2,2,22AG λλλ=- ，()2,0,2BP =-，若AG ⊥平面PBD ，BP ⊂平面PBD ，则444480AG BP λλλ⋅=-+-=-=，解得12λ=，C 错；设平面PAF 的法向量为(),,n x y z = ，()0,0,2AP = ，()1,2,0AF =，则2020n AP z n AF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ，取2x =，则()2,1,0n =- ，()()()1,0,12,2,221,2,12EG EP PG λλλλλλ=+=-+-=--，若//EG 平面PAF ，则422220EG n λλλ⋅=--=-=，解得1λ=，故当点G 与点C 重合时，//EG 平面PAF ，D 对.故选：BD.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.经过(,2),(3,4)A x B -两点的直线的一个方向向量为(1,3)，则x =__________．【答案】5【解析】【分析】根据直线方向向量即可计算．【详解】由条件可知，4233x--=-，解得5x =．故答案为：5．14.如图所示，平面//α平面β，2PA =，6AB =，12BD =，则AC =__________．【答案】3【解析】【分析】利用平面//α平面β，得到//BD AC ，从而得到线段长的比例，即可得解.【详解】平面PBD AC α= ，平面PBD BDβ= 由平面//α平面β，可得//BDAC 由平面几何知识知，PA PC AC PB PD BD==又2PA =，6AB =，12BD =，所以22+612AC =，解得3AC =故答案为：3【点睛】本题考查了面面平行的性质定理，在运用面面平行的性质定理时，一定要先找到与两平行平面都相交的第三个平面，进而得到两交线平行，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.15.经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________．【答案】0x y －＝或20x y ＋－＝【解析】【分析】在坐标轴上截距相同可设直线截距式方程，将点A(1,1)代入直线方程即可.【详解】（1）当直线的截距不为0时即不经过原点，设直线方程是：1x y a a+=因为直线过点A(1,1)所以111a a+=解得a=2即直线方程是20x y ＋－＝（2）当直线经过原点时方程为：0x y －＝综上所述直线方程为：0x y －＝或20x y ＋－＝【点睛】本题考查利用直线截距式方程求解直线问题，利用直线截距式方程求解的关键是:截距式方程没有把平面内的所有制直线都包含在内，将经过原点的直线和平行于坐标轴的直线遗漏了，因此需要将这两类直线单独计算，以防遗漏.16.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则以下四个值中为定值的编号是_________.①点P 到平面QEF 的距离；②三棱锥P QEF -的体积；③直线PQ 与平面PEF 所成的角；④二面角P EF Q --的大小.【答案】①②④【解析】【分析】由Q 为11A B 上任意一点，知平面QEF 是确定，从而判断①，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断②，利用线面角的概念结合条件可判断③，由题可知两个半平面是确定的可判断④．【详解】①中，∵平面QEF 就是平面11A B CD ，是确定的平面，因此点P 到平面QEF 的距离为定值；②中，∵QEF △的面积是定值（∵EF 定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，即底和高都是定值），又P 到平面QEF 的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定，∴三棱锥P QEF -的体积是定值；③中，平面PEF 即平面PCD ，而Q 在直线11A B 上，11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，Q 到平面PEF 的距离为定值，但Q 运动时，PQ 的长度在变化，因此直线PQ 与平面PEF 所成的角也在变化，即直线PQ 与平面PEF 所成的角不是定值；④中，平面QEF 也就是平面11A B CD ，又平面PEF 即为平面PCD ，∴二面角P EF Q --的大小为定值．故答案为：①②④．四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线1l 经过点()2,3B ，倾斜角是45 ，直线2:210l y x -+=．求：（1）直线1l 的一般式方程．（2）直线1l 与直线2l 的交点坐标．【答案】（1）10x y -+=（2）()2,3【解析】【分析】（1）由倾斜角得到直线斜率，先求出直线点斜式方程，再化为一般式方程.（2）两直线方程联立方程组，求交点坐标.【小问1详解】由题意得：直线1l 的斜率1tan451k ==，又直线1l 经过点()2,3B ，所以直线1l 的方程为32y x -=-，化为一般式方程为：10x y -+=；【小问2详解】由题意，两直线联立方程组10210x y x y -+=⎧⎨-++=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与直线2l 的交点坐标为()2,318.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，BC =，AC BC ⊥，D 是线段AB 上的动点.（1）当D 是AB 的中点时，证明：1//AC 平面1B CD ；（2）若CD AB ⊥，证明：平面11ABB A ⊥平面1B CD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理，证明CD ⊥平面11ABB A ，进而可得面面垂直.【详解】（1）证明：如图，连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，则E 是1BC 的中点，∵D 是AB 的中点，∴1//DE AC ，又DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1//AC 平面1B CD .（2）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥，又CD AB ⊥，1AA AB A = ，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A ，又CD ⊂平面1B CD ，∴平面11ABB A ⊥平面1B CD .【点睛】本题主要考查证明线面平行，证明面面垂直，熟记判定定理即可，属于常考题型.19.已知直线l 经过点(2,1)P -，且与直线x ＋y ＝0垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m ，求直线m 的方程.【答案】（1）30x y -+=（2）50x y -+=或10x y -+=.【解析】【分析】(1)根据直线垂直的性质设出直线l 的方程为0x y n -+=，将点(2,1)P -代入即可求解；（2）设直线m 的方程为0x y t -+=，利用点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】设直线l 的方程为0x y n -+=，因为直线l 经过点(2,1)P -，所以210n --+=，解得：3n =，所以直线l 的方程为30x y -+=.【小问2详解】结合（1）设直线m 的方程为0x y t -+=，因为点(2,1)P -到直线m ，由点到直线的距离公式可得：d ==，解得：5t =或1t =，直线m 的方程为：50x y -+=或10x y -+=.故答案为：50x y -+=或10x y -+=.20.长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC AA ==．（1）求证：平面11AB D ∥平面1BC D ；（2）求点C 到平面1BC D 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）43.【解析】【分析】（1）先证明1BC ∥平面11AB D ，BD ∥平面11AB D ，进而通过面面平行的判定定理证明问题；（2）利用“等体积法”即可求得答案.【小问1详解】因为11AB D C ∥，11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11AD BC ∥．因为1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1BC ∥平面11AB D ．连接11B D ，因为11BB DD ∥，11=BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ．又因为BD ⊂平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，1BD BC B = ，所以平面1BC D ∥平面11AB D .【小问2详解】因为1CC ⊥平面BCD ，4AB =，12BC CC ==，15BD C D ==，所以1118224323C BCD V -=⨯⨯⨯⨯=，又112262BC D S =⨯=△，因为11C BCD C BC D V V --=，所以C 到平面1BC D 的距离118334363C BCDBC D V d S -⨯===△，即C 到平面1BC D 的距离为43．21.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B的一动点．（1）证明：PBC 是直角三角形；（2）若PA AB ==，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由圆的性质可得BC AC ⊥，再由PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，然后由面面垂直的判定可得BC ⊥平面PAC ，从而可得BC PC ⊥，进而可证得结论；（2）过A 作AH PC ⊥于H ，可证得ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，在Rt ABH △中求解即可.【小问1详解】证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的一动点，∴BC AC ⊥，∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，∴BC PC ⊥，∴PBC 是直角三角形．【小问2详解】解：过A 作AH PC ⊥于H ，∵BC ⊥平面PAC ，AH ⊂平面PAC ，∴BC AH ⊥，又PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PBC ，∴AH ⊥平面PBC ，∴ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，在Rt PAC △中，2263AH AC PA AC ==+，在Rt ABH △中，633sin 32AC AH ABH AB AC∠===，故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33．22.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE V 折起，使得点A 到点P 的位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）．（1）证明：平面EMN ⊥平面PBC ；（2）是否存在点N ，使得二面角B EN M --5N 点位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在，N 为BC 的中点，【解析】【分析】（1）由已知可得PE ⊥平面EBCD ，则PE BC ⊥，则有BC ⊥平面PEB ，所以BC EM ⊥，而EM PB ⊥，所以EM ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）假设存在点N 满足题意，过M 作MQ EB ⊥于Q ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，可证得MRQ ∠为二面角B EN M --的平面角，不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，则由Rt EBN ∽Rt ERQ △，可得RQ =tan MQ MRQ RQ x∠===可求出x 的值，从而可确定出点N 的位置【小问1详解】证明：因为,,PE ED PE EB EB ED E ⊥⊥= ，所以PE ⊥平面EBCD ，因为BC ⊂平面EBCD ，所以PE BC ⊥，因为,BC EB E E B P E ⊥= ，所以BC ⊥平面PEB ，因为EM ⊂平面PEB ，所以BC EM ⊥，因为,PE EB PM MB ==，所以EM PB ⊥,因为BC PB B = ，所以EM ⊥平面PBC ，因为EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC ，【小问2详解】假设存在点N 满足题意，如图，过M 作MQ EB ⊥于Q ，因为PE EB ⊥，所以PE ∥MQ ，由（1）知PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，因为EN ⊂平面EBCD ，所以MQ EN ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，因为MQ QR Q ⋂=，所以EN ⊥平面MQR ，因为MR ⊂平面MQR ，所以EN MR ⊥，所以MRQ ∠为二面角B EN M --的平面角，不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN 中，设(02)BN x x =<<，因为Rt EBN ∽Rt ERQ △，所以BN EN RQ EQ=，所以1x RQ =，得RQ =所以tan MQ MRQ RQx∠===，解得1(0,2)x =∈，即此时N 为BC 的中点，综上，存在点N ，使得二面角B EN M --N 为BC 的中点，【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是通过过M 作MQ EB ⊥于Q ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，结合已知条件证明出MRQ ∠为二面角B EN M --的平面角，再根据题意求解，考查数形结合的思想，属于较难题。

重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成[50,60),[)[)60,70,70,80,[80,90),[90,100)五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（）据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．分层抽样主要用于个体数量较多，且个体间具有明显差异的，这时采用分层抽样合适．4．D【分析】分甲得2个和甲得1个磁力片两种情况分类求解，再由分类加法计数原理得解.【详解】若甲分得两个磁力片，共有1232C A 6=种分法，若甲只分得一个磁力片，共有2232C A 6=种分法，由分类加法计数原理，可得共有6612+=种分法.故选：D 5．A【分析】根据递推关系式可知数列{}n a 是以6为周期的周期数列，根据周期性和对数运算法则可求得结果.【详解】由题意知：0n a >，31n n a a +=Q ，361n n a a ++\=，6n n a a +\=，即数列{}n a 是以6为周期的周期数列；()()()1234561425361a a a a a a a a a a a a ==Q ，()()()33712202412202412345612ln ln ln ln ln ln a a a a a a a a a a a a a a \++×××+=×××××=+ln1ln 2ln 2=+=.故选：A.6．C【分析】根据题意找出相应的规律，第37个数为第21行第3个数，从而可求解.【详解】由题意可得每行有2个数且从第3行开始计数，所以第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数，所以20n =，3r =，所以3122020C C 190-==.故C 正确.故选：C.=。

2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考试卷试题解析

2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考试卷试题解析1：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考1）1：已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内邓应点的坐标为(1,1)，则(1i)z -=( ) A ．1B ．2C ．iD ．2i方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：(1i)(1i)(1i)2z -=+-=，故选B ．2：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考2）2：设m 、n 是空间中两条不同的直线α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nC ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥D ．m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβ 方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：由题意，若m α⊥，,n m n β⊥⊥，则可得到αβ⊥，故选A ． 3：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考3）3：直线310ax y a ++-=恒过定点M ，则直线2360x y +-=关于点M 对称的直线方程为( ) A ．23120x y +-= B ．23120x y ++= C ．3260x y --= D ．2360x y ++=方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：(3,1)M -，设(,)P x y 为所求直线上任一点，则点(6,2)Q x y ---在直线2360x y +-=上，所以2(6)3(2)60x y --+--=，化简得23120x y ++=，故选B ．4：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考4）4：方程222220x y kx y k +-++-=表示圆的一个充分不必要条件是（） A ．(,2)(2,)k ∈-∞-+∞ B ．(2,)k ∈+∞ C ．(2,2)k ∈- D ．(0,1]k ∈方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：222220x y kx y k +-++-=，即2223(1)324k x y k ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭，表示圆的充要条件是23304k ->，即(2,2)k ∈-，故是其充分不必要条件的为D 选项，故选D ．5：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考5）5：已知m ，n ，a ，b ∈R ，且满足346m n +=，341a b +=，的最小值为( )A BC ．1D ．12方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：(,)P m n 在1:3460l x y +-=上，(,)Q a b 在直线2:3410l x y +-=上运动，故P ，Q 两点之间的最小距离即为直线1l 与2l 之间的距离，即为1，故选C ．6：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考6）6：关于圆222:()C x a y a -+=，有下列四个命题．甲：圆C 的半径1r =；乙：直线30x ++=与圆C 相切；丙：圆C 经过点(2,0)；丁：直线10x y --=平分圆C ；如果只有一个命题是假命题，则该命题是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：甲1a ⇔=±，乙3a ⇔=或1a =-，丙1a ⇔=，丁1a ⇔=，故选B ． 7：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考7）7：若圆22:680M x y x y +-+=上至少有3个点到直线():13l y k x -=-的距离为52，则k 的取值范围是（）A ．(0,3⎡⎤⎤⎣⎦⎦ B ． []3,3-C ． (),3,⎡-∞+∞⎣D ． (()3,-∞+∞方法提供与解析：浙江金华余黎杰解析：()()22226803425x y x y x y +-+=⇒-++=，所以圆M 圆心为()3,4-，5r =，因为圆M 上有3个点到直线l 的距离为52，所以圆心到直线l的距离小于等于52，即52d ≤，解得23k ≥，所以(),3,⎡-∞+∞⎣，所以选C 8：（2022学年江苏盐城中学高二上第一次月考8）8：数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22:1C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 所谓成的“心形”区域的面积大于3②曲线C 恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C 其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．③D ．①方法提供与解析：浙江金华余黎杰解析：显然曲线关于y 轴对称，且当0x =时，1y =±，当0y =时，1x =±，当1y =时，1x =±。

高二第一次月考语文试卷

高二第一次月考语文试卷第一部分：基础知识（共30分）一、选择题（每小题2分，共10分）1. 下列词语中加点字的读音完全正确的一项是（）A. 峥嵘（zhēng róng）B. 彳亍（chì chù）C. 踯躅（zhí zhú）D. 瞋目（chēng mù）2. 下列句子中没有错别字的一项是（）A. 峥嵘岁月，何惧风流B. 漫江碧透，百舸争流C. 携来百侣曾游，忆往夕峥嵘岁月稠D. 怅寥廓，问苍茫大地3. 下列加点成语使用正确的一项是（）A. 他这个人说话总是夸大其词，令人难以置信。

B. 这部小说情节曲折，扣人心弦，读起来让人爱不释手。

C. 听到这个不幸的消息，小王同学如丧考妣，悲痛欲绝。

D. 小李在学习上遇到一点困难就畏首畏尾，缺乏克服困难的勇气。

4-5. （略，涉及文学常识、文言文实词虚词等）二、填空题（每小题2分，共10分）6. 杜甫，字子美，自号__________，唐代伟大的现实主义诗人，与李白并称“李杜”。

7. 《诗经》是我国第一部诗歌总集，分为《风》、《__________》、《颂》三部分。

8. “落霞与孤鹜齐飞，__________”是王勃《滕王阁序》中的名句。

9-10. （略，涉及古诗文名句默写）三、简答题（共10分）11. 简述《劝学》中荀子关于学习的重要性的观点。

（4分）12. 分析《师说》中韩愈关于择师标准的论述。

（6分）第二部分：阅读理解（共40分）一、现代文阅读（共20分）（提供一篇现代文阅读材料，如散文、小说节选等，设置4-5道小题，涉及内容理解、语言赏析、主旨概括等）二、文言文阅读（共20分）（提供一篇课外文言文短文，设置4-5道小题，包括实词虚词解释、句子翻译、内容理解、人物形象分析等）第三部分：写作（共30分）四、作文题目：以“梦想与坚持”为题，写一篇不少于800字的议论文。

要求：1. 观点明确，论据充分，论证合理。

四川省内江市2023-2024学年高二上学期第一次月考语文试题含解析

内江2023-2024学年度高二上期第一次月考语文试题（答案在最后）考试时间：150分钟满分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成小题。

材料一：先秦诸子百家中，儒、道、墨、法、阴阳、名六家属第一流的大学派。

汉以后，法、阴阳、名三家，其基本思想为儒、道所吸收，不再成为独立学派；墨家中绝；唯有儒、道两家长期共存，互相竞争，互相吸收，形成中国传统文化中一条纵贯始终的基本发展线索。

在中国传统文化的多元成分中，儒家和道家是主要的两极，形成鲜明的对立和有效的互补。

两者由于处处相反，因而能够相辅相成，给予整个中国传统文化以深刻的影响。

儒家的人生观，以成就道德人格和救世事业为价值取向，内以修身，充实仁德，外以济民，治国平天下，这便是内圣外王之道。

其人生态度是积极进取的，对社会现实强烈关切并有着历史使命感，以天下为己任，对同类和他人有不可自已的同情，“己所不欲，勿施于人”“己欲立而立人，己欲达而达人”“达则兼济天下，穷则独善其身”，不与浊俗同流合污，在生命与理想发生不可兼得的矛盾时，宁可杀身成仁，舍生取义，以成就自己的道德人生。

道家的人生观，以超越世俗人际关系网的羁绊，获得个人内心平静自在为价值取向，既反对心为形役，逐外物而不反，又不关心社会事业的奋斗成功，只要各自顺任自然之性而不相扰，必然自为而相因，成就和谐宁静的社会。

其人生态度消极自保，以免祸全生为最低目标，以各安其性命为最高目标。

或隐于山林，或陷于朗市，有明显的出世倾向。

儒家的出类拔萃者为志士仁人，道家的典型人物为清修隐者。

儒道两家的气象不同，大儒的气象似乎可以用“刚健中正”四字表示，就是道德高尚、仁慈亲和、彬彬有礼、忠贞弘毅、情理俱得、从容中道、和而不同、以权行经等等，凡事皆能观研深究，以求合理、合时、合情，可谓为曲践乎仁义，足以代表儒家的态度。

高二年级第一学期语文第一次月考试卷(附答案)

高二年级第一学期语文第一次月考试卷（附答案）一、现代文阅读（36 分）（一）论述类文本阅读（本题共 3 小题，9 分）阅读下面的文字，完成 1～3 题。

中国传统文化中的“和” 理念，具有丰富的内涵和深远的影响。

“和” 强调和谐、协调、平衡，既包括人与人之间的和谐相处，也包括人与自然的和谐共生。

在人与人的关系中，“和” 体现为一种包容、宽厚的态度。

孔子提出“君子和而不同”，强调在人际交往中，既要尊重他人的观点和差异，又要保持自己的独立思考和个性。

这种“和而不同” 的理念，有助于促进不同文化、不同思想之间的交流与融合，避免冲突和对抗。

在人与自然的关系中，“和” 则意味着尊重自然、顺应自然。

中国古代的思想家们认为，人类是自然的一部分，应该与自然和谐相处。

老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然。

” 强调人类应该遵循自然的规律，与自然保持一种和谐的关系。

这种理念对于我们今天处理人与自然的关系，具有重要的启示意义。

“和” 的理念还体现在社会治理方面。

中国古代的统治者们往往追求“政通人和” 的理想境界，通过推行仁政、德治等方式，促进社会的和谐稳定。

在现代社会，“和” 的理念也可以为我们构建和谐社会提供有益的借鉴。

我们可以通过加强民主法治建设、促进公平正义、弘扬社会主义核心价值观等方式，营造一个和谐、稳定、有序的社会环境。

1. 下列关于原文内容的理解和分析，正确的一项是（3 分）A.“和” 理念只强调人与人之间的和谐相处，不包括人与自然的和谐共生。

B. 孔子提出的“君子和而不同”，意味着在人际交往中要完全放弃自己的观点。

C. 中国古代思想家认为人类应该遵循自然规律，与自然和谐相处，这体现了“和” 的理念。

D.“和” 的理念在现代社会已经没有任何价值，不能为构建和谐社会提供借鉴。

2. 下列对原文论证的相关分析，不正确的一项是（3 分）A. 文章从人与人的关系、人与自然的关系、社会治理三个方面，论述了“和” 理念的内涵和影响。

重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足()2i 34i z -=+（i 为虚数单位），则z 的值为（）A．1B C D ．2．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（） A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C ．若l α⊥，αβ⊥，则//l βD ．若l α∥，m α⊥，则l m ⊥3．“直线()680ax a y -++=与350x ay a -+-=平行”是“6a =”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．已知两个单位向量1e u r ，2e uu r 的夹角为120o ，则()()12212e e e e +⋅-=u r u u r u u r u r （）A ．32B ．3C ．52D ．55．圆222460x y mx my ++++=关于直线30mx y ++=对称，则实数m =（） A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或36．直线:0l x 与圆22:(2)(1)2C x y ++-=交于A ，B 两点，则直线AC 与直线BC 的倾斜角之和为（） A ．120o B ．145oC ．165oD ．210o7．已知4tan23θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若ππcos cos 44m ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭θθ，则实数m 的值为（） A ．13-B ．12-C ．13D ．128．已知圆22:(2)(1)5C x y -++=及直线()():2180l m x m y m ++---=，下列说法正确的是（）A ．圆C 被x 轴截得的弦长为2B ．直线l 过定点()3,2C ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最大值，此时直线l 的方程为10x y +-=D ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，此时直线l 的方程为50x y --=二、多选题9．在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC ，CD 的中点，则（）A ．2AB AD EF -=u u u r u u u r u u u rB ．4AE AF ⋅=u u u r u u u rC ．()32AE AF AB AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u rD ．AE u u u r 在AD u u u r上的投影向量为12AE u u u r10．如图，直三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为4，D ，E ，F ，G 分别在棱1111,,A B AC AB ，AC 上，（不与端点重合）且11A D A E BF CG ===，H ，P 分别为BC ，1A H 中点，则（）A ．11//BC 平面PFGB ．过D ，F ，G 三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C ．M 在111A B C △内部（含边界），1π6A AM ∠=，则M 到棱11B C D ．若M ，N 分别是平面11A ABB 和11A ACC 内的动点，则MNP △周长的最小值为3 11．已知圆221:1C x y +=和圆222:()(2)4C x m y m -+-=，0m ≥．点Q 是圆2C 上的动点，过点Q 作圆1C 的两条切线，切点分别为G ，H ，则下列说法正确的是（）A ．当m ⎡∈⎢⎣⎭时，圆1C 和圆2C 没有公切线 B ．当圆1C 和圆2C 有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C ．圆1C 与x 轴交于M ，N ，若圆2C 上存在点P ，使得π2MPN >∠，则m ∈⎝⎭D ．圆1C 和2C 外离时，若存在点Q ，使四边形1QGC H 面积为m ∈⎝三、填空题12．将函数πcos 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π 02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数为奇函数，则 φ=．13．已知点()3,0P 在直线l 上，且点P 恰好是直线l 夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间线段的一个三等分点，则直线l 的方程为．（写出一条即可）14．台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市O （如图）的东偏南1cos 7θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭方向350km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北60o 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km ，并以10km/h 的速度不断增大，小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．四、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4a =，2π3C =，D 为AB 边上一点．(1)若D 为AB 的中点，且CD =c ；(2)若CD 平分ACB ∠，且ABC V 的面积为CD 的长．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，6CA =，E 为棱AC 的中点，P 为BC 边上靠近B 的三等分点，且11PB BC ⊥．(1)证明：1//CB 平面1EBA ；(2)求平面11ABB A 与平面1BEC 夹角的余弦值．17．圆心为C 的圆经过A 0,3 ，B 2,1 两点，且圆心C 在直线:320l x y -=上． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点()1,2M 作圆C 的相互重直的两条弦DF ，EG ，求四边形DEFG 的面积的最大值与最小值．18．如图、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，O 为AB 的中点，AC BC ⊥，1OC =，4PA =．(1)证明：面ACP ⊥面BCP ；(2)若点A 到面BCP 的距离为43，证明：OC AB ⊥；(3)求OP 与面PBC 所成角的正弦值的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222120x y x +---=，1M ，2M 是圆C 上的动点，且12M M =12M M 的中点为M ． (1)求点M 的轨迹方程；(2)设点A 是直线0l y -+=上的动点，AP ，AQ 是M 的轨迹的两条切线，P ，Q 为切点，求四边形APCQ 面积的最小值；(3)若垂直于y 轴的直线1l 过点C 且与M 的轨迹交于点D ，E ，点N 为直线3x =-上的动点，直线ND ，NE 与M 的轨迹的另一个交点分别为F ，(G FG 与DE 不重合），求证：直线FG 过定点．。

河北省石家庄二中2023-2024学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题

B．若
l
=
1 2
,
m
=
1 4
，则
C1P
^
平面
EFD1
C．平面 EFD1 截正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得的截面的周长为 5 + 4 2 + 3 5 D．若 l = 1, m = 0 ，则四面体 PEFD1 外接球的表面积为 344π
9
三、填空题
( ) 13．已知圆 C : ( x -1)2 + y2 = 1与圆 E : x2 + y - 3 2 = 1 ，则圆 C 和圆 E 的一条公切线的
理由．
六、解答题 21．在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-2,-3) ,直线 l : y = x - 5 ,设圆 C 的半径为 1 且关于直
线 l 对称.
(1)若圆心 C 在直线 y = 2x - 6 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程；
(2)点 A
关于点
P(-
3 2
,
-1)
的对称点为
CD = 13 ．求弦长 AB 的最大值．
试卷第71 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】依题意， l1 ： 2x - ay +1 = 0 ， l2 ： (a -1) x - y + a = 0 ，
若两直线平行，则 2´ (-1) = (-a) ´(a -1) ，
C 的中心记为点 C，求VCPQ 面积的最大值，并求此时直线 l 的方程． 19．如图 1，在 VABC 中， D 、 E 分别为 AB 、 AC 的中点， O 为 DE 的中点，
AB = AC = 2 5 ， BC = 4 ．将VADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE ^

2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟(提升卷)(范围：空间向量与立体几何+直线方程)解析版

2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟（提升卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（23-24高二上·湖北武汉·月考）设直线l 的方程为()cos 30R x y θθ++=∈，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（） A ．[)0,π B ．ππ,42C ．π3π,44D ．πππ3,,422π4 ∪【答案】C【解析】当cos 0θ=时，方程变为30x +=，其倾斜角为π2，当cos 0θ≠时，由直线方程可得斜率1cos k θ=−，[]cos 1,1θ∈− 且cos 0θ≠， ][(),11,k ∴∈−∞−∪+∞，即][()tan ,11,α∈−∞−∪+∞，又[)0,πα∈，πππ3π,,4224α∴∈∪，综上所述，倾斜角的范围是π3π,44.故选：C.2．（23-24高二上·广东深圳·月考）已知平面{}00P n P P α=⋅=∣ ，其中点0(1,2,3)P ，法向量(1,1,1)n =，则下列各点中不在平面α内的是（） A ．(3,2,1) B ．(2,5,4)−C ．(3,5,4)−D ．(2,4,8)−【答案】B【解析】对于A ，()02,0,2P P −= ，012101(2)0P P n ⋅=×+×+×−=，故选项A 在平面α内；对于B ，0(3,3,1)P P − ，01(3)131110P n P ⋅=×−+×+×=≠，故选项B 不在平面α内；对于C ，0(4,2,2)P P − ，01(4)12120P n P ⋅=×−+×+×=，故选项C 在平面α内；对于D ，0(1,6,5)P P =− ，0111(6)150P P n ⋅=×+×−+×=，故选项D 在平面α内.故选：B. 3．（23-24高二上·浙江·月考）已知直线1:210l x ay +−=和直线()2:3110l a x ay −−−=，则“16a =”是“12l l ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题设12l l ∥，可得()231a a a −=−，解得0a =或16a =. 当0a =时，1l ：1x =，2l ：=1x −，此时12l l ∥，当16a =时，1l ：330x y +−=，2l ：360x y ++=，此时12l l ∥，所以“16a =”是“12l l ∥”的充分不必要条件.故选：A. 4．（23-24高二上·湖南常德·月考）已知向量()()2,1,3,4,2,a b t =−=−的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为（）A ．10,3−∞B ．()10,66,3∞−−∪−C ．10,3+∞D ．()10,66,3+∞【答案】B【解析】由()()241231030a b t t ⋅=×−+−×+=−+<，解得103t < 当, a b 共线时，由b a λ= ，即(42)(213),,,,t λ−=−解得6t =−，所以当, a b夹角为钝角时()10,66,3t ∞ ∈−−−，故选：B5．（23-24高二上·陕西西安·月考）已知直线l 过点()0,440y −+=及x 轴围成等腰三角形，则l 的方程为（）A40y +−=3120y −+= B3120y −+=40y −+= C30y −+= D30y +−=【答案】A【解析】设()0,4A40y −+=过()0,4A和B，当:0l x =时，直线l40y −+=与x 轴为成的三角形是AOB 不是等腰三角形. 所以直线l 的斜率存在.设B 关于y轴的对称点为C，当直线l 过,A C 两点时，AB AC =，三角形ABC 是等腰三角形，同时由于直线ABπ3，所以三角形ABC 是等边三角形，所以AC BC =，此时直线l404yy =+−=设直线l 与x 轴相交于点D ，如图所示，若AB BD =，则π6ADB ∠=，所以直线AD ，也即直线l对应方程为3120y x y =+−+=.故选：A 6．（23-24高二下·江苏徐州·月考）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（） ABCD【答案】D【解析】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =−，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ= ．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z，则12020n ED x z n EF y ⋅=−+= ⋅== ，取1x =，得()1,0,2n = ，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ，故选：D ． 7．（23-24高二上·河南信阳·月考）已知点()2,3A −，()5,2B −−，若直线l ：10mx y m ++−=与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（） A ．43,34−B ．43,,34−∞−∪+∞C ．34,43 −D ．34,,43−∞−∪+∞【答案】D【解析】由10mx y m ++−=，得()()11y m x −=−⋅+，所以直线l 的方程恒过定点()1,1P −.因为()2,3A −，()5,2B −−，所以314213PA k −−==−+，213514PB k −−==−+.由题意可知，作出图形如图所示由图象可知，34m −≥或43m −≤−，解得34m ≤−或43m ≥，所以实数m 的取值范围为34,,43−∞−∪+∞.故选：D.8．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知一对不共线的向量a ，b 的夹角为θ，定义a b × 为一个向量，其模长为sin a b a b θ×=⋅ ，其方向同时与向量a ，b 垂直（如图1所示）．在平行六面体OACB O A C B ′−′′′中（如图2所示），下列结论错误的是（）A ．12OABS OA OB =×B ．当π0,2AOB∠∈时，tan OA OB OA OB AOB ×=⋅∠C ．若2OA OB == ，2OA OB ⋅= ，则OA OB ×= D ．平行六面体OACB O A C B ′−′′′的体积()V OO OA OB =×′⋅【答案】C【解析】对于A ，1||||sin 2ABO S OA OB AOB =∠△，而||||||sin OA OB OA OB AOB ×=∠ ，故1||2ABOS OA OB =×△，正确；对于B ，||||cos OA OB OA OB AOB ⋅=∠ ，当π0,2AOB∠∈时，tan AOB ∠有意义，则tan sin OA OB AOB OA OB AOB OA OB ⋅∠=∠=×，正确；对于C ，因为||||2OA OB == ，2OA OB ⋅= ，所以1cos 2AOB ∠=，sin AOB ∠所以||OA OB ×对于D ，OA OB ×的模长即为平行六面体底面OACB 的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， |()|OO OA OB ′⋅× 就是OO ′在垂直于底面OACB 的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确．故选：C二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二上·广东佛山·月考）给出下列命题，其中不正确的为（）A ．若AB CD =，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段B ．若0a b ⋅< ，则,a b 是钝角C ．若0AB CD += ，则AB与CD 一定共线D ．非零向量,,a b c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则,,a b c必共面【答案】ABD【解析】对于A ，考虑平行四边形ABDC 中，满足AB CD =，但不满足A 与C 重合，与D 重合，AB 与CD 为同一线段，即A 错误；对于B ，当两个非零向量,a b 的夹角为π时，满足0a b ⋅<，但,a b 不是钝角，即B 错误；对于C ，当0AB CD += 时，可得AB CD =− ，则AB与CD 一定共线，可知C 正确；对于D ，考虑三棱柱111ABC A B C −，令1,,AB a AC b AA c === ，满足a与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，但,,a b c 不共面，可得D 错误.故选：ABD10．（23-24高二上·安徽·月考）已知a ∈R ，点()(),1,21,2A a B a −+及直线:40l x y −+=，则（） A ．直线AB 恒过的定点在直线l 上B ．若直线AB 在两坐标轴上的截距相等，则4a =−C ．若直线AB 过第二、四象限，则1a <−D ．若直线AB 及l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则4a =− 【答案】CD【解析】对于A ，直线AB 斜率不存在时，21a a =+，得1a =−，直线AB 方程为=1x −，直线AB 斜率存在时，其方程为()311y x a a +=−+，得其过定点()1,4−−，综上，直线AB 过点()1,4−−，其不在直线l 上，A 错误；对于B ，直线AB 在两坐标轴上的截距相等，则直线AB 过原点或直线AB 不过原点且斜率为-1，当直线AB 过原点时2121a a−=+，解得14a =−，直线AB 不过原点且斜率为-1时()21121a a−−=−+−，解得4a =−，B 错误；对于C ，直线AB 过第二、四象限，则直线AB 斜率()21021a a−−<+−，解得1a <−，C 正确；对于D ，若直线AB 及l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补，又直线AB 过定点()1,4−−，经分析知只有AB l ⊥时满足题意，此时直线AB 的斜率为1,4a −=−，D 正确.故选：CD.11．（24-25高二上·河北邯郸·1111ABCD A B C D −，11AB AA AD===，则下列说法中正确的是（）A ．长方体外接球的表面积等于7πB ．P 是线段BD 上的一动点，则1PA PB +的最小值等于3C ．点1A 到平面1C BD 点D ．二面角1A BD A −−的正切值等于2 【答案】ABD【解析】对于A ，长方体外接球的直径12R AC ==故外接球的表面积为24π7πS R ==，故选项A 正确；对于D ，把矩形11BDD B 和Rt ABD △放置在同一平面内，如图所示，其中AB =1AD =，1BB 2BD =，连接BD 交1AB 于点P ，当点A ，P ，1B 三点共线时，1PA PB +最小，则1sin 2AD ABD BD ∠==，故30ABD ∠= ，所以1120ABB ∠=，由余弦定理可得，22211112cos12033292AB AB B B AB B B=+−⋅⋅=+−−=，所以13AB =，即1PA PB +的最小值为3，故B 正确；以点D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()(()(110,0,0,,,,D A B C所以()()((1111,,,,A C DB DC DA − 设平面1C BD 点的一个法向量为(),,n x y z =，则100DC n DB n ⋅= ⋅=，则00x ==，令y =3,xz==(3,n =，所以点1A 到平面1C BD 点，故C 错误；作AO BD ⊥，交BD 于点O ，由于1AA BD ⊥，11,,AA AO A AA AO =⊂ 平面1A AO ，1AO ⊂平面1A AO ，所以1AO BD ⊥，则1A OA ∠为二面角1A BD A −−的平面角，在Rt ABD △中，AB AD BD AO ⋅=⋅，所以AO =在1Rt A AO △中，11tan 2AA A OA AO ∠==，D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高三上·山东菏泽·月考）已知点(2,1,1)A ，若点(1,0,0)B 和点(1,1,1)C 在直线l 上，则点A 到直线l 的距离为．【答案】1【解析】由题意知，点(2,1,1)A ，(1,0,0)B ，(1,1,1)C ，可得(1,1,1)BA = ，(0,1,1)BC =，则BA =2BA BC ⋅=，所以cos ,BA BC BABC BA BC⋅==sin ,BA BC = 所以点A 到直线l 的距离为sin ,1BA BA BC =．13．（23-24高二上·天津·月考）如图，三棱柱111ABC A B C −中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA °∠=∠=，求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【解析】设1AA a = ，AB b = ，AC c =，则111,,222a b a c b c ⋅=⋅=⋅= ，则1111AB AA A B a b =+=+ ， 1111111111BC BB B C BB AC A B AA AC AB a c b =+=+−=+−=+− ，，=因为2211()()AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅+⋅+−+⋅−⋅+⋅+⋅− 11111112222=+−++−=，所以111111cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅==所以异面直线1AB 与1BC 14．（23-24高二上·内蒙古·月考）已知(),m n 为直线10x y +−=小值为．(),P m n 到原点O 和到点()2,0A −的距离之和，即PO PA +．设()0,0O 关于直线10x y +−=对称的点为(),B a b ，则10,221,a bb a+−= = 解之得1,1,a b = = 即()1,1B ．易得PO PB =，当,,A P B 三点共线时，PO PA +取到最小值，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高二上·福建建瓯·月考）已知空间三点()4,0,4A −，()2,2,4B −，()3,2,3C −，设a AB = ，bBC =.(1)求a ，b ;(2)求a 与b的夹角.【答案】(1)a =；b = (2)2π3【解析】（1）由题意，()2,2,0a AB == ，()1,0,1b BC ==−− ，所以a =，b =；（2）由（1）可知1cos ,2a ba b a b ⋅===−⋅，又[],0,πa b ∈，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3.16．（23-24高二上·安徽·月考）已知ABC 的三个顶点是()2,3A ，()1,2B ，()4,4C −. (1)求BC 边上的高所在直线1l 的方程；(2)若直线2l 过点C ，且点A ，B 到直线2l 的距离相等，求直线2l 的方程. 【答案】(1)240x y −+=；(2)80x y −−=或135320x y +−= 【解析】（1）因为4642213BC k −=−−==−−，所以BC 边上的高所在直线1l 的斜率为12k =，所以BC 边上的高所在直线1l 的方程13(2)2y x −=−，即240x y −+=. （2）因为点A ，B 到直线l 的距离相等，所以直线2l 与AB 平行或通过AB 的中点， ①当直线2l 与AB 平行，因为232121AB l k k −===−，且2l 过点C ，所以2l 方程为44y x +=−，即80x y −−=. ②当直线2l 通过AB 的中点35(,)22D ，所以541323542CDk −−==−−，所以2l 的方程为134(4)5y x +=−−，即135320x y +−=. 综上：直线2l 的方程为80x y −−=或135320x y +−=.17．（23-24高二上·浙江湖州·月考）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==. 设1,,AB a AC b AA c === .(1)试用,,a b c表示向量MN ；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=°∠=∠=°===，求MN 的长.【答案】(1)122333MN a b c =−++ ；【解析】（1）1111MN MA AC C N =++ 12133BA AC CB =++ ()1221333AB AA AC AB AC =−+++−1122333AB AA AC =−++ 又AB a=，AC b = ，1AA c = ，∴122=333MN a b c −++ ．（2）因为11AB AC AA ===，1a b c === ． 90BAC ∠=° ，0a b ∴⋅=．1160BAA CAA ∠=∠=° ， 12a cbc ∴⋅=⋅= ，(221229MN a b c ∴=−++ ()2221114444899a b c a b a c b c ++−⋅−⋅+⋅= ，MN ∴= ．18．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）设直线l 的方程为()()1520R a x y a a ++−−=∈． (1)求证：不论a 为何值，直线l 必过一定点P ；(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(,0)A A x ，(0,)B B y ，当AOB 面积最小时，求此时的直线方程；(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析；(2)32120x y +−=；(3)390x y +−=．【解析】（1）由()1520a x y a ++−−=得()250a x x y −++−=，则2050x x y −=+−= ，解得23x y = = ， ∴不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；（2）由()1520a x y a ++−−=，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A ax a +=+，又由5205201B A y a ax a =+>+ => + ，得1>−a ， ()()152191524112121221212AOB a S a a a a+ ∴=⋅+⋅=+++≥= ++，当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号．()4,0A ∴，()0,6B ，∴直线方程为32120x y +−=．（3）直线l 在两坐标轴上的截距均为正整数，即52a +，521aa ++均为正整数，而a 也为正整数， 523211a a a +=+++，2a ∴=， ∴直线l 的方程为390x y +−=．19．（23-24高二上·四川成都·月考）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 、F 分别是棱AB ，AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点．(1)是否存在一点G ，使得1//BC 面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由； (2)若直线EG 与平面11DCC D 所成的角为60°，求三棱锥C EFG −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值．【答案】(1)存在点G 为1DD的中点，证明见解析；(3)4 【解析】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1//BC 面EFG ，连接1AD ，如图所示：∵点,F G 分别是1,AD DD 的中点，1//FG AD ∴，又11//AB D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ∴，1//FG BC ∴，又∵1BC ⊄平面EFG ，且FG ⊂平面EFG ，∴1//BC 平面EFG ．（2）取CD 的中点O ，连接OE ，OG ，由题意可知，OE ⊥平面11DCC D ，且2OEAD ==， OGE ∴∠是直线EF 与平面11DCC D 所成的角，即60OGE ∠=°，在Rt OEG △中，2tan tan 60OE OG OGE ===∠°∴在Rt ODG △中，DG =又CEF ABCD AEF BEC CDF S S S S S =−−−2113211212222=−××−×××=，113332C EFG G CEF CEF V V S DG −−∴==⋅=×=（3）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2)A B C B D ，所以1(0,2,2),(2,2,0)AB AC −，1(2,2,2)BD =−− ，因为11440AB BD ⋅=−+=，1440AC BD ⋅=−=，所以111,AB BD AC BD ⊥⊥，即111,AB BD AC BD ⊥⊥，因为1AB ⊂平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1BA BB BC ==，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上，设外接球球心为1O ，设11(2,2,2)BO BD λλλλ==−−，[0,1]λ∈，则1O 的坐标为(22,22,2)λλλ−−，设(0,0,)([0,2])G m m ∈，则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设84[8,16]m t +=∈，则84t −，则228()41664648411616t t t t t t tλ−+−+++−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t=，即t = 因为[8,16]t ∈，所以11,]2λ∈，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ==因为11,]2λ∈，所以21812()[4833λ−+∈−，所以r ∈，三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4．。

广东省部分学校2024—2025学年高二上学期第一次月考联考数学试卷

2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷本试卷共5页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥− ，则实数λ的值为（）A ．2−B ．143−C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅ 的取值范围是（）A ．11,4 −−B ．1,02 −C ．1,04 −D ．11,42 −−3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b = ，则a 在向量b 上的投影向量为（） A ．333,,22 B ．333,,244 C ．333,,422 D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）AB C D 5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++ C ．1132a b c −+ D ．1162a b c −−+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC 共面，则λ=（） A ．12 B ．13 C ．512 D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−= ，则b a − 的最小值为（） AB C D 8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A B C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈ ，则下列说法正确的是（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 .14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16.（本小题15分）如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由． 18.（本小题17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM ⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．。

南阳市第一中学校2023-2024学年高二上学期第一次月考英语试卷(不含音频)

河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二上学期第一次月考英语试题第一部分听力(共两节，20小题；每题1.5分，满分30分)第一节(共5小题)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What will the man do on Friday?A.Give a lecture.B.Attend a lecture.C.Work on his novel.2.Why has the man bought the coats?A.It'll be a cold winter.B.He'll have an interview.C.His arm and leg hurt.3.How does the man advise the woman to travel?A.By car.B.By underground.C.By plane.4.Who is in charge of the Europe department?A.Mr Brown.B.The man.C.The woman.5.Where are the speakers most probably?A. At the visitors' center.B.In a school.C.On the school bus.第二节(共15小题)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听下面一段较长对话，回答以下小题。

6.What does the woman think of traveling by plane?A.It's inconvenient.B.It's too expensive.C. It saves money.7. How are the speakers going to New York?A.By air.B.By water.C.By land.听下面一段较长对话，回答以下小题。

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期第一次月考英语试题含答案

2023级高二上学期模块测试英语（答案在最后）时量：120分钟满分：150分第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A.£19.15.B.£9.18.C.£9.15.答案是C。

1.Why is this phone more expensive than the other one?A.It just came out.B.It has a unique color.C.It has a larger screen.2.Who is the man talking to?A.A travel agent.B.A taxi service clerk.C.A bus driver.3.What is the woman probably most concerned about?A.Getting clean.B.Getting to the beach on time.C.Getting herself ready for swimming.4.When can the woman talk to the man?A.In one hour.B.In two hours.C.In three hours.5.Where does the conversation probably take place?A.In the lift.B.In the emergency room.C.At the crossroad.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期第一次月考物理试卷

湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期第一次月考物理试卷一、单选题1．关于物体的动量，下列说法中正确的是（）A ．同一物体，动量越大，速度越大B ．(8kg m/s)-⋅的动量小于(6kg m/s)+⋅的动量C ．物体的动量发生变化，其动能一定发生变化D ．做匀速圆周运动的物体，其动量不变2．做简谐运动的物体经过A 点时，加速度大小为21m/s ，方向指向B 点；当它经过B 点时，加速度大小为22m/s ，方向指向A 点。

若A 、B 之间的距离是6cm ，则关于它的平衡位置，说法正确的是（）A ．平衡位置在AB 连线左侧B ．平衡位置在AB 连线右侧C ．平衡位置在AB 连线之间，但不能确定具体位置D ．平衡位置在AB 连线之间，且距离A 点为2cm 处3．如图所示为实验室中一单摆的共振曲线，由共振曲线可知（）A ．则该单摆的摆长约为2mB ．若增大摆长，共振曲线的峰值向右偏移C ．若增大摆球的质量，共振曲线的峰值向右偏移D ．若在月球上做实验，共振曲线的峰值向左偏移4．如图所示，小车静止在光滑水平面上，小车AB 段是半径为R 的四分之一光滑圆弧轨道，从B 到小车右端挡板平滑连接一段光滑水平轨道，在右端固定一轻弹簧，弹簧处于自然状态，自由端在C 点。

一质量为m 、可视为质点的滑块从圆弧轨道的最高点A 由静止滑下，而后滑入水平轨道，小车（含挡板）质量为2m，重力加速度为g。

下列说法正确的是（）A．滑块到达BB．当弹簧压缩到最短时，滑块和小车具有向右的共同速度C．弹簧获得的最大弹性势能为mgRD．滑块从A点运动到B点的过程中，小车运动的位移大小为2 3 R5．如图甲，某同学手持电吹风垂直向电子秤的托盘吹风，圆形出风口与托盘距离较近且风速恒定，吹在托盘上的风会从平行于托盘方向向四周散开，简化图如图乙。

当电吹风设置在某挡位垂直向托盘吹风时，电子秤示数与放上一质量为m的砝码时一致，出风口半径为r，空气密度为ρ，重力加速度大小为g。

高二上学期第一次月考试题(范围：空间向量、直线与圆)(解析版)高二数学讲义(人教A版2019

高二第一次月考试题（空间向量、直线与圆）第I 卷（选择题）一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC uuur 的表达中错误的一个是（）A ．11111AA AB A D ++ B ．111AB DD D C ++ C ．111AD CC D C ++ D ．()111112AB CD A C ++ 111111AB DD D C AB DC DC DC AC ++=+=+≠ AD CC D C AD AA D C AD D C ++=++=+ 2．（2022·全国·高二课时练习）在正三棱柱111-ABC A B C 中，122AA AB ==，E 为棱AB 的中点，F 为线段1BB 上的一点，且1AC EF ⊥，则1B F FB =（）A ．10B ．12C ．15D ．20故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）若直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，则可能使//l α的是（）A ．()1,0,0m = ，()2,0,0n =-B ．()1,3,5m = ，()1,0,1n =C ．()0,2,1m = ，()1,0,1n =--D ．()1,1,3m =- ，()0,3,1n = 【答案】D【分析】根据题意可得0m n ⋅=r r ，再逐个选项代入判断即可.【详解】要使//l α成立，需使0m n ⋅=r r ，将选项一一代入验证，只有D 满足1013310m n ⋅=⨯-⨯+⨯=r r .故选：D.4．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）直线l 经过点()1,1P -和以()()3,1,3,2M N -为端点的线段相交，直线l 斜率的取值范围是（）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭5．（2021·陕西汉中·高二期末（理））正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，1BB 的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为（）A ．515B ．4515C ．2515-D ．215【答案】D【分析】建立空间直接坐标系，利用空间向量求解.【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，因为E ，F 分别为11D C ，1BB 的中点，易知，C (0，2，0)，F (2，2，1)，所以所以cos <,AE CF>==||||AE CF AE CF ⋅⋅ 因为异面直线AE 与FC 所成角为锐角所以异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为故选：D.6．（2020·北京十五中高二期中）经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．()()22312x y -++=B ．(()2212x y +-=C ．()()22314x y -++=D ．(()2214x y +-=【答案】C【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出为BC 的一半，圆心坐标为BC 【详解】由已知得，00()A B ,,∴AB AC ⊥，∴经过三点圆的半径为12r BC =圆心坐标为BC 的中点232⎛+ ⎝∴圆的标准方程为()23x -+故选：C.7．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1AN NA = ，11A M MD = ，11B E B C λ= ，当直线1DD 与平面MNE 所成的角最大时，λ=（）A ．12B ．13C ．14D ．15则()(111,0,1,1,0,,0,1,0,1,1,122M N C B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()111,0,1B E B C λλ==-- ，(1E -设平面MNE 的法向量为(),,m x y z =，则∴11022102x z x y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令1x =，可得又()10,0,1DD = ，设直线1DD 与平面MNE 所成的角为α。

陕西省咸阳市杨凌区2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

陕西省咸阳市杨凌区2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系O xyz −中，点()1,2,3A 关于平面xOy 的对称点A '的坐标是（） A ．()1,2,3−B ．()1,2,3−C ．()1,2,3−D ．()1,2,3−−2．已知()2,1,3a =−，()4,,2b y =−，且()a ab ⊥+，则y 的值为（） A ．6B ．10C ．12D ．143．已知空间向量()2, 2 1,a =−，()1 ,1 2,b =−，则向量b 在向量a 上的投影向量是（）A ．4243,3,3⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．（2，﹣1，2）C ．2423,3,3⎛⎫− ⎪⎝⎭D ．（1，﹣2，1）4．三棱锥O ABC −中，点P ∈面ABC ，且12OP OA kOB OC =+−，则实数k =（）A ．12−B ．12C ．1D ．325．已知平面内的两个向量(2,3,1)a =，(5,6,4)b =，则该平面的一个法向量为（） A ．(1,1,1)− B ．(2,1,1)− C ．(2,1,1)−D ．(1,1,1)−−6．过点()2,1−且与直线2390x y −+=平行的直线的方程是（） A ．2370x y −−= B ．2310x y +-=C ．3240x y +−=D ．2370x y −+=7．如图，三棱锥O ABC −中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 为BC 中点，点N 满足2ON NA =，则MN =（）A ．112233a b c −−B ．112233a b c −+C ．211322a b c −−D ．121232a b c −−+r r r8．已知平行六面体1111ABCD A B C D −的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =（）ABC D 19．已知直线1l 的方程是y ax b =+，2l 的方程是()0,y bx a ab a b =−+≠≠，则下列各图中，可能正确的（）A ．B ．C ．D ．二、多选题10．已知()1,2A ，()3,4B −，()2,0C −，则（）A ．直线0x y +=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC V 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y −+=D ．ABC V 的边BC 上的中垂线所在直线的方程为480x y ++=11．空间直角坐标系O xyz −中，已知()1,2,2A −，()0,1,1B ，下列结论正确的有（）.A ．()1,1,3AB =−−B ．若()2,1,1m =，则m AB ⊥C ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2−D ．5AB =三、填空题12．设(1,3,2)a =−，(2,+1,1)b m n =−，且//a b ，则实数m n −= ．13．已知点M，(N ，则直线MN 的倾斜角为 .14．已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2), c =(7,7,λ),若a ,b ,c 共面,则实数λ= .四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点是()1,2A ，()2,1B −−，()3,2C −.求： (1)边AC 上的中线BD 所在直线方程； (2)边AC 上的高BE 所在直线方程.16．如图，四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点.(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)求二面角B DE C −−的平面角的余弦值.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，190,2ACB AC BC CC ∠==︒==．(1)求证：11AB BC ⊥； (2)求点1C 到直线1AB 的距离． 18．求符合下列条件的直线l 的方程： (1)过点A (﹣1，﹣3)，且斜率为14−；(2)A (1，3)，B (2，1))求直线AB 的方程； (3)经过点P (3，2)且在两坐标轴上的截距相等.19．已知△ABC 中，顶点A (3,7)，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是4370x y −−=，边AC 上的高BE 所在直线的方程是512130x y +−=. （1）求点A 关于直线CD 的对称点的坐标；（2）求顶点B 、C 的坐标；（3）过A 作直线L ，使B,C 两点到L 的距离相等，求直线L 的方程.。

吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案

2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷（答案在最后）考试时间：90分钟满分：120分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（）A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则事件{}1,2P =是随机事件，故A 正确；事件{}0,1,2Q =是必然事件，故B 正确；事件{}1,2M =--是不可能事件，故C 正确；事件{}1,0-是不可能事件，故D 错误.故选：D2.已知点()1,0A ，(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--，()0,πα∈，故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选：B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ，由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======，则3人中至少有2人投中的概率为：()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选：A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ，然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =，3()5P B =，所以()251,()2P A P B ==，又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=，所以()25P AB =，所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选：D.5.若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =-，再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =- ，则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=．故选：A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则概率为22133231441⨯⨯⨯=；故选：C.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：51,42,33,24,15+++++，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况；第一类：51+，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：42+，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：33+，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：24+，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：15+，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为81=162，故选：B.8.正三棱柱111ABC A B C -中，12,3,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -，因为M 是棱11B C上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，所以(()0OM OA a ⋅=⋅=，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得：~OMN AMO 即222MO MN MA===，于是令tt =∈，2233tt t t-==-，t ∈，又符合函数3=-y t t 为增增符合，所以在t ∈上为增函数，所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN 长度的最小值为62，当t =时，max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN长度的最大值为7，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到~OMN AMO ，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点(M a ，利用空间向量法求出ON AM ⊥，再结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11ACC A ；C.对于空间三个非零向量,,a b c，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25．【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ，利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ，由数量积的性质即可判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，而当两向量方向和长度相等时，这两个向量相等；故A 正确；在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形，因为BD AC ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11ACC A ；故B 正确；对于空间三个非零向量,,a b c ，有()a b c c λ⋅⋅= ，()a b c a μ⋅⋅=，所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立，故C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,2M ，()2,1,0N ，()0,2,0C ，所以()1,0,2DM = ，()2,1,0NC =-，所以2cos ,5DM NC ==-，所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25，故D 正确.故选：ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B =“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6个；事件C =“()*21Nxy k k =-∈”，包含的样本点有：()1,1，()3,3，()5,5，()1,3，()1,5，()3,1，()3,5，()5,1，()5,3共9个，事件B =“3x ≤”，包含的样本点有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6共18个，对于A ，()91364P C ==，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的样本点有()1,6，()2,5，()3,4共3个，所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故B 正确；对于C ，A C U 包含的样本点个数满足691536+=<，所以A 与C 不为对立事件，故C 错误；对于D ，事件BC 包含的样本点有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，共6个，而()14P C =，()12P B =，()61366P BC ==，从而()()()1816P P P BC B C ≠==，所以B 与C 不相互独立，故D 错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，证得平面//DEF 平面1A PD ，进而得到1//D Q 平面1A PD ，可判定A 正确；以1D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-，根据1D Q m λ= ，得出矛盾，可判定B 不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =，结合体积公式，可判定C 正确；根据题意，求得点点Q 的轨迹，结合线面角的公式，求得11(,1,)22Q 时，取得最大值，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，分别在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，可得1//EF B C ，因为11//A D B C ，所以1//EF A D ，因为1A D ⊂平面1A PD ，EF ⊄平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，又由11//D F A P ，且1A P ⊂平面1A PD ，1D F ⊄平面1A PD ，所以1//D F 平面1A PD ，又因为1EF D F F ⋂=，且1,EF D F ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面1A PD ，且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹为线段EF ，且223EF =，所以A 正确；对于B 中，以1D 为原点，以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ，则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ，设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤，可得1(,1,)D Q x z =，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3c =，可得3,2z b ==-，所以(3,2,3)m =-，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，则3[0,1]2x z ==-∉，所以不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，所以B 错误；对于C 中，由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=，可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=，则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ，所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大，只需点Q 到平面1A PD 的距离最大，由1(1,1,)AQ x z =- ，可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-，因为01,01x z ≤≤≤≤，所以当0x z +=时，即点Q 与点1C重合时，可得max d =，所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=，所以C 正确；对于D 中，在正方体中，可得11D C ⊥平面11BCC B ，且1C Q ⊂平面11BCC B ，所以111D C C Q ⊥，则12C Q ==，所以点Q 的轨迹是以1C为圆心，以2为半径的圆弧，其圆心角为π2，则1(,0,)C Q x z =，所以12C Q == ，即2212x z +=，又由1(,1,)D Q x z =，设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ，所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===，因为2212x z +=，可得222()2()x z x z +≤+，当且仅当x z =时，等号成立，所以1x z +≤，即12x z ==时，1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值，sin θ=D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥- 时，实数k 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值，然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-，()2,1,2b = ，所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=，因为()()2ka b a b +⊥-，所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=，解得6k =.故答案为：6.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是____________．【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋，222,,a b c 表示三只右鞋，则从中有放回取出2只的所有可能为：()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ，共计36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，()121363P M ∴==.故答案为：13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为______；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为______．【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空：将正四面体ABCD 放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径；第二空：由不等式可知，()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空：连接,AD EF ，设交点为M ，则M 是AD 中点，如图所示，将正四面体ABCD 放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心，设正方体棱长为2a ，则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ，设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ，所以11r a ==，正方体棱长为2，AD =，而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r，则由等体积法可知，1833⨯=，解得33r =；第二空：取任意一点T ，使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++，所以点T 在面OCD 内（其中O 是AB 中点），所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+，而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+，等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ，综上所述，2x y z ++的最大值为26+.故答案为：33，2626+.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==．设1,,AB a AC b AA c ===．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．【答案】（1）122333a b c-++（2）11【解析】【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ，然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅，然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由（1）可知122333MN a b c =-++ ，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ，所以113MN = ，AC b = ，1AC =，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC的中点．（1）证明：1A F ∥平面CDE ；（2）求三棱锥1A CDE -的体积；（3）求直线1A E 与平面CDE 所成的角．【答案】（1）证明过程见解析（2）16（3）π6【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后，借助空间向量计算即可得；（2）求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.（3）由（2）可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两垂直，且122AA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,2A.因为E ，F 分别为11,BB CC 的中点，所以()1,0,1E ，()1,1,1F ，则()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =- ，()11,1,1A F =-，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则有0x =，1z =，即()0,1,1m =，因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以1A F m ⊥ ，又1⊄A F 平面CDE ，所以1//A F 平面CDE ；【小问2详解】由（1）可知，()11,0,1A E =-，1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-，所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=，而()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =-，从而0CD CE =⋅，1,CD CE == 所以CD CE ⊥，三角形CDE的面积为1122⨯=，所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=；【小问3详解】由（2）可知，1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12，所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个，白球2个（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）13，49（2）m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”，B 表示“游戏二获胜”，C 表示“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=，则()1Ω6n =，()2n A =，()2163P A ∴==，所以游戏一获胜的概率为13．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈，则()2Ω36n =，而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈，所以()16n B =，()164369P B ∴==，所以游戏二获胜的概率为49．【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二，获得书券”，N 表示“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，,,A B C 相互独立，()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+，则N AC B ACB ACB =⋃⋃，且,AC B ACB ACB 互斥，,,A B C 相互独立，()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则()()P N P M >，即()()1748272727P C P C >+，解得()49P C >，设游戏三中两次取球的编号和为X ，则()26113C 15P X ===，()26114C 15P X ===，()26225C 15P X ===，()26226C 15P X ===，()26337C 15P X ===，()26228C 15P X ===，()26229C 15P X ===，()261110C 15P X ===，()261111C 15P X ===，所以当3m =时，()()143159P C P X ===<，不合题意；当4m =时，()()()2434159P C P X P X ==+==<，不合题意；当5m =时，()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<，不合题意；当6m =时，()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<，不合题意；当7m =时，()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>，符合题意；所以当7m ≥时，都有()49P C >，所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=．①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点．设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②cos 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ，可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ5=，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x yz=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册第一次月考数学试题一、单选题1．直线10x y -+=的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°【正确答案】B【分析】由直线的一般式方程，明确其斜率，令斜率与倾斜角的关系，可得答案.【详解】由直线10x y -+=，则该直线的斜率1k =，设直线10x y -+=的倾斜角为θ，则tan 1θ=，解得45θ= .故选：B.2．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则m =（）A ．12B ．12-C ．12或12-D ．不存在【正确答案】B【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，可得:241126m m ⎧=⎨≠⎩，解得12m =-．故选:B.3．已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()//22()a b a b +- ，则（）A ．113x y ==，B ．142x y ==-C ．124x y ==，D ．x =1，y =-1【正确答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答.【详解】向量()()1,2,,,1,2a y b x =-=，则2(12,4,4)a b x y +=+- ，2(2,3,22)a b x y -=--- ，因()//22()a b a b +- ，于是得12442322x y x y +-==---，解得1,42x y ==-，所以1,42x y ==-.故选：B4．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为（）A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．3x －2y －6＝0D ．2x ＋3y ＋6＝0【正确答案】B【分析】先求出定点M 的坐标，再设出与直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax ＋y ＋3a －1＝0得()()310x a y ++-=，由3010x y +=⎧⎨-=⎩，得31x y =-⎧⎨=⎩，∴M （－3，1）．设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为()2306x y C C ++=≠-，=:C ＝12或C ＝－6（舍去），∴直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋12＝0．故选：B ．5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（）A ．1B ．12C ．14D 【正确答案】C【分析】先得到该空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，再根据空间向量的基本定理得到1122AE AB AC =+ ，利用空间向量的数量积运算法则计算出答案.【详解】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，因为点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，所以1122AE AB AC =+，所以11112222AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭111111111cos 60cos 60222222224AB AF AC AF =⋅︒+⋅︒=⨯⨯+⨯⨯= .故选：C6．已知直线l 过点()2,3P ，且与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．若AOB 的面积为12（O 为坐标原点），则直线l 的截距式方程为（）A ．146x y+=B ．1812x y +=C ．1131323x y +=D ．164x y +=【正确答案】A【分析】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．【详解】解：设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b +=>>，则AOB 的面积为1122ab =①．因为直线l 过点(2,3)P ，所以231a b+=②．联立①②，解得4a =，6b =，故直线l 的方程为146x y+=，故选：A ．7．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(2,3)(-1,2),A B 的线段总有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[)(]2--3⋃+∞∞，，B ．[]-32，C ．[)2+∞，D ．(]--3∞，【正确答案】A【分析】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围.【详解】如图所示，()()31212,32010PA PB k k ----====----，故直线l 的斜率的取值范围是[)(]2--3⋃+∞∞，，.故选：A8．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．21123⎛⎤⎥ ⎝⎦，D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【正确答案】B【分析】先求得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba -，0），由b a -≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b 13=；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13＜b 12＜；③若点M 在点A 的左侧，求得13＞b ＞122-．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为11b a -+1a ba ++．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N1212，把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标ba--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为11b a --1a b a --，此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即12•（1﹣b ）•|xN ﹣xP |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2．两边开方可得（1﹣b ）=1，∴1﹣bb ＞12-，故有12-b 13＜．综上可得b 的取值范围应是112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，故选B ．本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．点斜式()11y y k x x -=-可以表示任何直线B ．已知直线l 过点()2,3P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为50x y +-=．C ．直线240x y --=与直线210x y ++=相互垂直．D ．直线42y x =-在y 轴上的截距为2-【正确答案】CD【分析】根据直线点斜式方程适用的条件即可判断A ；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断B ；根据两直线垂直的公式即可判断C ；根据直线的斜截式方程即可判断D.【详解】对于A ，点斜式()11y y k x x -=-表示斜率存在的直线，故A 错误；对于B ，若直线过原点，则32l k =，所以直线方程为32y x =，若直线不过原点，设直线方程为()11x ya a a+=≠，将点()2,3P 代入解得5a =，所以直线方程为50x y +-=，综上，直线l 的方程为50x y +-=或32y x =，故B 错误；对于C ，因为()12210⨯+-⨯=，所以直线240x y --=与直线210x y ++=相互垂直，故C 正确；对于D ，直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，故D 正确.故选：CD.10．下面四个结论正确的是（）A ．空间向量()112a ,,=-关于x 轴对称的向量为()1,1,2-B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量,,a b c ，满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ 【正确答案】ABC【分析】根据对称性即可判断A ；根据空间向量共面定理即可判断B ；根据基底的定义即可判断C ；根据数量积的定义即可判断D.【详解】对于A ，空间向量()112a ,,=-关于x 轴对称的向量为()1,1,2-，故A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++ ，因为1111632++=，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ，{},,a b c 是空间的一组基底，则,,a b c不共面，若m a c =+ ，所以,,a c m 共面，所以,,a b m不共面，故{},,a b m也是空间的一组基底，故C 正确；对于D ，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，而,a c的方向不确定，所以不能得出上述结论，故D 错误.故选：ABC.11．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABC A B C -展开得到平面图如图所示，90ABC ∠=︒，1AA AB =，P 为1AB 的中点，Q 为1AC 的中点，则在原直三棱柱111ABC A B C -中，下列说法正确的是（）A ．P ，Q ，C ，B 四点共面B ．11A C AB ⊥C ．几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为38D ．当2BC 时，1AC 与平面1ABB 所成的角为45︒【正确答案】ABD【分析】根据线面位置关系可判断A ，B 选项，根据几何体的体积计算方法即可判断C 选项，利用定义法可判断线面角，即可判断D 选项【详解】如图，将展开的平面图还原成立体图形，对A 选项，连接1A B ，P 为1AB 的中点，P ∴也为1A B 的中点，又Q 为1AC 的中点，//PQ BC ∴，P ∴，Q ，C ，B 四点共面，故A 选项正确；对B 选项，90ABC ∠=︒ ，棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴易得BC ⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，∴1AB BC ⊥，又1AA AB =，∴四边形11ABB A 为正方形，11AB A B ∴⊥，又1BC A B B ⋂=，1AB ∴⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1A BC ，11A C AB ∴⊥，∴B 选项正确；对C 选项，P ，Q 分别为1A B ，1AC 的中点，134A BC PQCB S S ∴=四边形，111111113331144434A PQCB A A BC A ABC ABC A B C ABC A B C V V V V V -----∴===⨯=∴几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为14，故C 选项错误；对D 选项，当2BC 时，又1AA AB =，且1AA AB ⊥，12A B ∴，1BC A B ∴=，1A B BC ⊥145BAC ∴∠=︒，又由B 选项的分析知BC ⊥平面11ABB A ，1BAC ∴∠即为1AC 与平面1ABB 所成的角，又145BAC ∠=︒，1A C ∴与平面1ABB 所成的角为45︒，故D 选项正确．故选：ABD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的梭长为2，P 为正方形底面ABCD 内的一动点，则下列结论正确的有（）A ．三棱雉111B A D P -的体积为定值B ．存在点P ，使得11D P AD ⊥C ．若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD ．若点P 是AD 的中点，点Q 是1BB 的中点，过P Q ，作平面α⊥平面11ACC A ，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为2【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用111111B A D P P A B D V V --=可得，A 正确；对于B ，建立空间直角坐标系，根据11D P AD ⊥，计算得满足条件的点P 不在平面ABCD 内，故B 错误；对于C ，建立空间直角坐标系，根据11D P B D ⊥，可得方程2x y +=，判断C 正确；对于D ，关键找到直线BD ，使//BD 平面α，且PQ ⊂平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，得到截面图形，计算得答案，D 正确.【详解】对于A ，P 为正方形底面ABCD 内一点时，由111111B A D P P A B D V V --=，三棱锥111P A B D -的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,0P x y ，则()()()()()11110,0,2,2,0,0,2,2,2,,,2,2,0,2D A B D P x y AD =-=-，若11D P AD ⊥，则110D P AD ⋅=，所以240x --=即2x =-，此时P 点不在底面ABCD 内，与题意矛盾，故B 错误；对于C ，因为()12,2,2B D =--- ，若11D P B D ⊥，110D P BD =⋅，所以22+40x y --=即2x y +=，所以P 的轨迹就是线段AC ，故C 正确；对于D ，因为BD AC ⊥，1BD AA ⊥，又AC ⊂平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，1AC AA A =∩，所以BD ⊥平面11AAC C ，因为面α⊥平面11ACC A ，,BD PQ 异面，BD ⊄平面α，所以//BD 平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半，由于正方体的梭长为2，故面对角线长为所以截面周长为6，故D 正确．故选：ACD.三、填空题13．直线1:3230l x y +-=与26410l x y +-=：平行，则它们的距离是_____【正确答案】26【分析】根据两个平行线之间的距离计算公式，计算得答案.【详解】直线1:3230l x y +-=可化为直线1:6460l x y +-=，又26410l x y +-=：，且12//l l ，所以它们的距离d =故答案为14．过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________.【正确答案】45y x =设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053a a b a b b ⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为45y x =.故45y x =本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.15．已知在ABC ∆中，顶点()4,2A ，点B 在直线l ：20x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值______.【正确答案】【分析】设点A 关于直线l ：20x y -+=的对称点111(,)A x y ，点A 关于x 轴的对称点为222(,)A x y ，连接12A A 交l 于B ，交x 轴于C ，则此时ABC ∆的周长取最小值，且最小值为12A A ，利用对称知识求出1A 和2A ，再利用两点间距离公式即可求解.【详解】如图：设点A 关于直线l ：20x y -+=的对称点111(,)A x y ，点A 关于x 轴的对称点为222(,)A x y ，连接12A A 交l 于B ，交x 轴于C ，则此时ABC ∆的周长取最小值，且最小值为12A A ，1A 与A 关于直线l ：20x y -+=对称，∴11112114422022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得：1106x y =⎧⎨=⎩，∴1(0,6)A ，易求得：2(4,2)A -，∴ABC ∆的周长的最小值12A A ==故答案为.本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则AC BP ⋅ 的取值范围是______．【正确答案】[]4,4-【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得AC BP ⋅ 的表达式，进而根据线性规划求得AC BP ⋅ 的取值范围.【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A C B ，()2,2,0AC =- ，设(),,P x y z （且P 只在正方体的12条棱上运动），则()2,2,BP x y z =-- ，()42242AC BP x y y x ⋅=-+-=- ，因为0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，设z y x =-，根据线性规划，作出可行域如图，当2,0x y ==时，y x -取得最小值2-，即AC BP ⋅ 取最小值4-；当0,2x y ==时，y x -取得最大值2，即AC BP ⋅ 取最大值4.故[]4,4-四、解答题17．已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【正确答案】(1)360x y --=(2)24【分析】（1）先求出直线BC 的斜率，进而得BC 边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；（2）先求出BC 及直线BC 方程，再由点到直线距离公式求得A 到BC 的距离，即可求得面积.【详解】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）()2227(21)310BC =++--=BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC 2233341013+⨯++，则ABC 的面积为131024210⨯=.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2BM A M C N B N ==．设AB a =，AC b = ，1AA c = ．(1)试用a ，b ，c 表示向量MN ；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长．【正确答案】(1)111333MN a c =++【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】（1）解：1111MN MA A C C N=++ 11233BA AC =++ 1112()333AB AA AC AB AC =-+++- 1111333AB AA AC =++ ，∴111333MN a c =++ ；（2）解：11,||||||1AB AC AA a b c ===∴=== ，1190,0,60BAC a b BAA CAA ∠=∴⋅=∠=∠=︒︒ ，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()221||9MN a b c ∴=++ ()2221522299a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅= ，||MN ∴=即MN 19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB E ==，为1CC 的中点.(1)求证:1//AC 平面BDE .(2)若F 为1BB 中点，求直线1A F 与平面BDE 所成角的正弦值，【正确答案】(1)详见解析.63【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，根据E ，O 为中点，得到1//AC OE ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得1A F 的坐标和平面BDE 的一个法向量(),,n x y z = ，再由11sin A F n A F nθ⋅=⋅ .【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，因为E ，O 为中点，所以1//AC OE ，又1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以1//AC 平面BDE ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()11,0,2,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1A F B D E ，所以()()()10,1,1,1,1,0,1,0,1A F BD BE =-=--=- ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y x y --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1,1y z =-=，则()1,1,1n =- ，设直线1A F 与平面BDE 所成的角为θ，则11sin A F n A F nθ⋅==⋅ .20．已知直线:(21)(3)70l m x m y m +-++-=．(1)m 为何值时，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大?并求出最大值；(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程．【正确答案】(1)2219m =-；(2)面积的最小值为12，直线l 的方程为3x +2y +12=0.【分析】（1）由题设求得直线l 过定点(2,3)P --，则Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及75PQ k =求参数m ；（2）设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <并求出A ，B 坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.【详解】（1）已知直线:(21)(3)70l m x m y m +-++-=，整理得(21)370x y m x y -++--=，由21023703x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩，故直线l 过定点(2,3)P --，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大，即Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，=∵437325PQ k +==+，∴(21)(3)70m x m y m +-++-=的斜率为57-，得52173m m +-=+，解得2219m =-；（2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，则设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <，则32,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,23)B k -，1313192232(32)12(4)12222AOB S k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=--=+-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（当且仅当32k =-时，取“=”），故AOB 面积的最小值为12，此时直线l 的方程为3x +2y +12=0.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，1AB =，3SC =，三棱锥S BCD -是正三棱锥，E ，F 分别为SA ，SC 的中点.(1)求证：直线BD ⊥平面SAC ；(2)求二面角E BF D --的余弦值；(3)判断直线SA 与平面BDF 的位置关系.如果平行，求出直线SA 与平面BDF 的距离；如果不平行，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析7(3)平行，距离为14【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，只需证BD AC ⊥，BD SO ⊥，即可.(2)建立适当的直角坐标系，再利用平面的法向量，即可求解.(3)利用向量OA 在平面BDF 的法向量上的投影，即可求解.【详解】（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接SO ，因为四边形ABCD 是菱形，所以O 为AC ，BD 的中点，且BD AC ⊥，因为三棱锥S BCD -是正三棱锥，SB SD =，O 为BD 的中点，所以BD SO ⊥，又SO AC O = ，所以BD ⊥平面SAC .（2）作SH ⊥平面BCD 于H ，则H 为正三角形BCD 的中点，H 在线段OC 上，且2OC =，113326OH OC ==，233CH OC ==，1SH ==.如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，HS 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D .1,0,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,6S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,62E ⎛⎫- ⎝⎭，12F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1122BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BD =- ，设()1111,,n x y z = 是平面EBF 的法向量，则1111111111026211022n BE x y z n BF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，则()11,0,1n = ，设()2222,,n x y z = 是平面DBF 的法向量，则2222220110232n BD x n BF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取()22n =- ，所以121212cos ,7n n n n n n ⋅==- ，又因为二面角E BF D --是锐二面角，所以二面角E BF D --的余弦值为7.（3）直线SA 与平面BDF 平行.理由如下：连接OF ，由（1）知O 为AC 的中点，又F 为SC 的中点，所以OF SA ∥，又因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以直线SA ∥平面BDF .（或者用向量法证明直线SA 与平面BDF 平行：由（2）知()23,2n =- 是平面BDF 的一个法向量，又30,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,6S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以30,,13SA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以()()2230032103SA n ⎛⋅=⨯+-⨯-= ⎝⎭，所以2SA n ⊥ ，又因为SA ⊄平面BDF ，所以直线SA ∥平面BDF .设点A 与平面BDF 的距离为h ，则h 即为直线SA 与平面BDF 的距离，因为30,2OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()23,2n =- 是平面DBF 的一个法向量，所以()22300302237147OA n n ⎛⎫⨯+⨯-+⨯- ⎪⋅⎝⎭== ，所以点A 与平面BDF 3714所以直线SA 与平面BDF 的距离为3714.22．如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面,ABC PAC 为正三角形，E ，F 分别是,PC PB 上的动点.(1)求证：BC AE ⊥；(2)若E ，F 分别是,PC PB 的中点且异面直线AF 与BC 32记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC ，即可证明BC AE ⊥.（2）由已知结合线面平行的判定定理知//BC 平面AEF ，结合线面平行的性质定理知//BC l ，建立空间直角坐标系，设(2,,0)Q t ，求出平面AEF 的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.【详解】（1）证明：因为C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以BC AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面,ABC AC BC =⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面,PAC AE ⊂平面PAC .所以BC AE⊥（2）由E ，F 分别是,PC PB 的中点，连结,AE EF ，所以BC EF ∥，由（1）知BC AE ⊥，所以EF AE ⊥，所以在Rt AFE 中，AFE ∠就是异面直线AF 与BC 所成的角.因为异面直线AF 与BC 32所以3tan 2∠=AFE ，即32AE EF =又EF ⊂平面,⊄AEF BC 平面AEF ，所以//BC 平面AEF ，又BC ⊂平面ABC ，平面⋂EFA 平面=ABC l ，所以BC l∥所以在平面ABC 中，过点A 作BC 的平行线即为直线l .以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC =.因为PAC △为正三角形所以3AE =2EF =由已知E ，F 分别是,PC PB 的中点，所以24BC EF ==则(2,0,0),(0,4,0),3)A B P ，所以1313,2222⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭E F ，所以33,(0,2,0)22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭E AF E ，因为BC l ∥，所以可设(2,,0)Q t ，平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则3302220x z AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩，取3z =3)m = ，又(1,,3)=- PQ t ，则21|cos ,|0,2||||4⋅⎛⎤〈〉== ⎥⋅⎝⎦+ PQ m PQ m PQ m t .设直线PQ 与平面AEF 所成角为θ，则21sin 0,24⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+t θ.所以直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

河南省漯河市第五高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

河南省漯河市第五高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题 1．复数5i 2-的共轭复数是（其中i 是虚数单位）（） A ．i+2 B ．i 2- C ．2i -- D ．2i -2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（）A B C D3．已知实数x ，y 满足1355y x =-，且23x -≤≤，则31y x -+的取值范围（）A ．[)1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][3,4,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．][(),13,-∞⋃+∞4．已知()()3,,,R μa b a b a b =+-∈r 是直线l 的方向向量，()1,2,3n =r是平面α的法向量，若l α⊥，则（）A ．1,8a b ==B ．1,2a b =-=-C ． 32a =，152b =- D ．152a =，32b =- 5．直线3210x y +-=的一个方向向量是（） A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,26．已知直线()()()12:321480,:52(4)70l a x a y l a x a y ++-+=-++-=，且12l l ⊥，则实数a =（） A ．1B ．0或1C ．0D ．1±7．设直线l 的直线方程为()sin 20x y θθ++=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（） A ．[]0,π B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ,,π422⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8．如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，,M N 分别为棱,BC AD 的中点，则直线AM 和CN夹角的余弦值为（）A B C ．13D ．23二、多选题9．已知平面α⊥平面β，且l αβ=I ，则下列命题不正确的是（） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β10．画出直线1:230l x y -+=，并在直线l 1外取若干点，将这些点的坐标代入23x y -+，求它的值，观察有什么规律，同理，画出直线2:210l x y +-=，观察规律，则下列点的坐标满足()()23210x y x y -+⋅+-<的有（）A ．()1,0-B ．72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,611．设k ∈R ，过定点A 的动直线1l ：0x ky +=与过定点B 的动直线2l ：30kx y k -+-=交于点P ，则下列说法正确的有（）A ．2216PA PB +=B ．PAB V 面积的最大值为52C ．11PA PB +≥D ．PA 的最大值为三、填空题12．已知ABC V 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5,7,8a b c ===，则A C +=. 13．三条直线280ax y ++=，4310x y +=与210x y -=不能围成一个三角形，则a =. 14．已知,P Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,6A -，()5,1B -，则AP PQ QB ++的最小值为四、解答题15．已知函数()222cos f x x x m =++，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()f x 的最大值为6.(1)求常数m 的值；(2)求()f x 的最小值以及相应x 的值.16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,,AED BEF DCF V V V 分别沿,,DE EF DF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A '(1)求证A D EF '⊥(2)求三棱锥A EFD '-的体积17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD =(1)求证：PD ⊥平面PAB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.18．设直线l 的方程为()()1520a x y a a ++--=∈R (1)求证：无论a 为何值，直线l 必过一定点P ；(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A ，B ，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长；(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l 的方程. 19．已知直线l 1，l 2的方程分别是12:0,:340l x l x y =-=，点A 的坐标为()1,a （34a >）.过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）. (1)若1k =-，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及AON V 的面积； (2)是否存在实数a ，使得11||||OM ON +的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由.。