2006年高考数学模拟试题.kdh

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2006年湖北省重点中学高考数学模拟试题.doc

2006年湖北省重点中学高考数学模拟试题命题人：孝感一中梅建军第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（理）复数Bi A imi+=+-212（m 、A 、B∈R ），且A+B=0，则m 的值是（）A ．2B ．32C ．－32D ．2（文）已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（） A ．{}|34a a <≤ B ．{}|34a a << C ．{}|34a a ≤≤ D ．∅2．函数()f x = ( )A .2πB .πC ．2π D .4π3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-.1,2553,034x y x y x 所表示的平面区域图形是（）A ．第一象限内的三角形B ．四边形C ．第三象限内的三角形D ．以上都不对4．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）A ．49B ．2C ．2D ．135．已知()321233y x bx b x =++++在R 上不是单调增函数，则b 的范围（）A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．21b -<<D ．12b -≤≤6．（理）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用（x 1，x 2，x 3，x 4，…,x n ）表示.设a=(a 1, a 2, a 3, a 4，…, a n )，b=（b 1, b 2,b 3, b 4,…,b n ），规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当a=(1, 1,1,1…,1)，b=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cos θ= （）A ．nn 1- B ．nn 3- C ．nn 2- D ．nn 4- （文）m 、R n ∈，、、是共起点的向量，、不共线，n m +=，则、、的终点共线的充分必要条件是 ( )A ．1-=+n m B ．0=+n m C ．1=-n m D ．1=+n m7．把函数x sin 3x cos )x (f -=的图象向左平移m 个单位, 所得图象关于y 轴对称, 则m 的最小值为 ( ) A.65π B. 32π C. 3π D. 6π8．已知关于x 的方程：a x x =-+242log )3(log 在区间（3，4）内有解，则实数a 的取值范围是（）A ．),47[log 2+∞ B ．+∞,47(log 2） C ．)1,47(log 2 D ．),1(+∞ 9．在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则11931a a -的值为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 10．下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”；其中正确命题的序号是A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④11．（理）已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P为两曲线的一个交点，若e PF PF =||||21，则e 的值为（）A ．33 B ．23 C ．22 D ．36 （文）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点（－3，24）的双曲线方程是（） A ．191622=-x y B ．13822=-x y C ．116322=-y x D ．149422=-y x 12.在数列}{n a 中，21=a ，⎩⎨⎧=+=++)(2)(211为偶数为奇数n a a n a a n n n n 则5a 等于（）A.12B.14C.20D.22第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．若指数函数()()xf x a x R =∈的部分对应值如下表：则不等式1(1)0fx --<的解集为14．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________． 15．若2005200522102005)21(x a x a x a a x ++++=- （R x ∈），则)()()()(20050302010a a a a a a a a ++++++++ ＝（用数字作答）。

2006年高考模拟试卷数学试题(理科)

2006年高考模拟试卷数学试题（理科）考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n（k ）=k n kkn P PC --)1(球的体积公式：334R Vπ=（其中R 表示球的半径）球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案填写在答卷纸上)1. 已知=>==>==B A x y y B x x y y A x 则},1,)21(|{},1,log |{2 ( ）A ．),21(+∞B ．（2,21）C ．)21,0( D ．（0，2）2.命题甲：α是第二象限角；命题乙：sin tan 0αα<，则命题甲是命题乙成立的 ( )A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知直线:4350,()l x y AB m λλ++==为非零实数，如果直线l 与直线AB 平行，则可推算出：与m 共线的一个单位向量是（）A ．34(,)55B ．34(,)55-C ．43(,)55D ．43(,)55- 4．定义运算a c ad bc b d =-，复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模为（）A ．1+B C ．1- D5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（）0.30.1A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图（如右图）. 由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0 之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为 A. 0.27,78 B. 0.27,83 C. 2.7,78D. 2.7,837. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程为 ( )A. 221090x y x +-+=B. 221090x y x +--=C.221090x y x ++-=D.221090x y x +++=8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（） A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+10．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1、k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为 ( )1k 0二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卷上） 11．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________。

2006高考数学模拟试题

2006高考数学模拟试题2006．4．13本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．试题前标有（理工类）的题目，仅供理工类学生使用，试题前标有（文史类）的题目，仅供文史类学生使用，没有标注的题目是文、理学生必作的．题号一二三总分171819202122分数第Ⅰ卷（选择题共60分）1、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）(文)已知函数，它的反函数是，则(理)若则( ).(2)(文)的各项系数之和大于8,小于32,则展开式中系数最大的项是( ).(理)设数列的通项公式为,它们的前项和依次为,则( ).(3)已知，若的充分条件是，，则之间的关系是（）．（A）（B）（C）（D）(4)对于x∈R，恒有成立，则f(x)的表达式可能是( )．（）（）（）（）(5) 我国10月15日发射的”神州5号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为千米，远地点距地面为千米，地球半径为千米，则飞船运行轨道的短轴长为 ( ) ．(6)定义集合的运算,则( ).(7) 设椭圆，双曲线，抛物线，（其中）的离心率分别为，则（）．（A）（B）（C）（D）大小不确定(8)设命题：在直角坐标平面内，点与在直线的异侧；命题：若向量满足，则的夹角为锐角．以下结论正确的是（）．（A）“”为真，“”为真（B）“”为真，“”为假”（C）“”为假，“”为真（D）“”为假，“”为假(9) 是三个平面，是两条直线，有下列三个条件:①；②；③.如果命题“且＿＿＿＿＿＿则”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( ).①或② ②或③ ①或③ 只有②(10)(理)设定义域为R的函数都有反函数，且函数和图象关于直线对称，若，则(4)为（）．（文）设函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则的取值范围是（A）（B）且（C）（D）或（11）( ).（A）（B）（C）（D）（12）已知向量，则与夹角的范围是( ).（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(13)．(文) 一个田径队,有男运动员56人,女运动员42人,比赛后,立即用分层抽样的方法,从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查,其中男运动员应抽_____________人．(理) 设一个凸多面体的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则有欧拉公式E=V+F．现已知一个凸多面体的各个面都是边形，且该多面体的顶点数V与面数F之间满足关系2VF=4，则______________．(14)．某市某种类型的出租车，规定3公里内起步价8元（即行程不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘客乘车里程的范围是．(15)．一个棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样棱锥的体积等于___________________（写出一个可能的值）．(16)已知等式请你写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含了已知的等式(不要求证明)这个等式是___________________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)．（本小题满分12分）已知函数的图象在轴上的截距为1，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（，2）和（，）。

2006年广东省高考数学压轴题的多种解法.kdh

ｘ１－ｘ２而由题设 ② 有：－１＜－Ｌ ≤
φ（２ｘ１）－ φ（２ｘ２） ≤Ｌ＜１，ｘ１－ｘ２这就与上式矛盾，故存在唯一
的ｘ０∈ （１，２），使得ｘ０＝φ（２ｘ０）水平三：单调性解法．水平二
中的解法与导数只有一步之遥，利
用导数函数可以得到如下较为简练
的单调性解法．
３
"
３
，
最大值为
φ（４）
＝
３
"
５
，
故１＜
３
"
３
≤φ（ｘ）
≤
３
"
５
＜２，
即 φ（ｘ）
∈（１，２）．
点评：本题要证当ｘ∈ ［１，２］
时， φ（２ｘ） ∈ （１，２），但却证明
了 φ（ｘ） ∈ （１，２），由于对概念
任意的正整数ｐ，成立不等式
ｘｋ＋ｐ－ｘｋ
≤ ＬＫ－１１－Ｌ
ｘ２－ｘ１．
１．第（Ｉ）问的两种解答第（Ｉ）问的主要困难是证明 φ （２ｘ）＝ $３１＋２ｘ满足第二个题设条件，亦即找到满足题设要求的常数Ｌ，标准答案使用立方差公式，但是对于估计常数Ｌ则较为困难，这里给出代数与几何两种解法．代数解法：求函数的单调区间．设ｘ１，ｘ２∈ ［１，２］，且ｘ１≤ｘ２，由于 φ （２ｘ）＝ $３１＋２ｘ是增函数，又由题设②可得 φ （２ｘ２）－ φ （２ｘ１） ≤Ｌ（ｘ２－ｘ１）（１）或Ｌｘ１－ φ（２ｘ１） ≤Ｌｘ２－ φ（２ｘ２）（２）设 # （ｘ）＝Ｌｘ－ φ（２ｘ），证明这个函数是增函数．对其求导，得 #′（ｘ）＝Ｌ－ #′（２ｘ）

2006年高考理科数学摸拟试题解析样本1

2006年高考理科数学摸拟试题解析样本1一、选择题=+-2)i 3(i 31.1i 4341.A + i 4341.B -- i 2321.C + i2321.D --[分析] 本题主要考查复数的四则运算，以及简单的数值计算技能．解答本题必须正确用好复数的四则运算法则，既可用复数的代数形式进行演算，也可用三角形式进行演算．.4341)322(81 )31(813223-1 12i i i i i--=--=-=+=原式解法.i 4341 )i 31(41)i 31(i31 22--=+-=---=原式解法i.4341i)3(4i i3i i)3(i)3i(原式 32--=--=+-=++-=解法[答案]B==⎪⎭⎫⎝⎛π-∈x 2tan ,54x cos ,0,2x .2则已知247.A247.B -724.C724.D -[分析] 本题主要考查三角函数的基础知识和基本三角函数公式的简单应用，以及基本的计算技能．作为常规解法，可先由已知条件求sin x ，推得tan x 的值，再应用倍角正切公式求得答案，如解法1；作为灵活解法，可用估值快速求解，如解法2．,54x cos ,0,2x 1=⎪⎭⎫⎝⎛π-∈因为解法 ,53x cos 1x sin 2-=--=所以,43x tan -=则 . 724xtan 1x tan 2x 2tna 2-=-=由此得 (注：也可用下式得解：,724x sin x cos x cos x sin 2cos2x sin2x tan2x 22-=-==而不需求tanx ．),235422,0x 2 2<<<<π-因为解法 ,6x 454x cos π-<<π-=得则由 .,,32tan 3,22为答案得和、故排除则从而D C B A x x -<⎪⎭⎫⎝⎛--∈ππ[答案] Dx 1,)f (x 0.x ,x ,0 x .12)x (f .30021x 的取值范围是则若设涵数>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）[分析] 本题主要考查分段函数的概念、指数函数与幂函数的性质、不等式组的求解等基础知识，以及简单的推理计算能力．根据函数f(x)的分段表达式，画个草图可快速判断，如解法4；也可将不等式1)x (f 0>化为等价的不等式组求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2；还可以利用单调性，结合解方程求解，如解法3．:1)f (x 10少有一个成立等价于下列不等式组至解法>⎪⎩⎪⎨⎧>>⎩⎨⎧≤>--.0x ,1x ② ;0x ,112①02100x 0解不等式组①得;1x 0-<解不等式组②得.1x 0>综合得0x 的取值范围为(－∞,－1)∪(1，+∞)．解法2 由,1012)0(f 0<=-=排除A 和B ；由f(0.04)=0.2<1，排除C ，得答案D ．0,x ,112 ,1)( 3x -⎩⎨⎧≤=-=由考虑方程解法x f解得x=－1；由0,x ,1x 21⎪⎩⎪⎨⎧>=解得x=1．因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，所以得1)x (f 0>的取值范围为(－∞，1)∪(1，+∞)．[答案] D4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足),,0[,|AC |AC |AB |ABOA OP +∞∈λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ+=→→→→→→则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[分析] 本题主要考查平面向量的线性运算等基本知识和计算技能．解法1 为书写方便与直观起见，宜作图表示(如下图)．图中，有,AP AC AB ,AC |AC |AC ,AB |AB |AB 11111→---→--→--→--→→--→--→--→--=+==则动点P 满足),0[ ,AP OA OP 1+∞∈λλ+=→---→---→---.,1AP A P 出发的射线的轨迹是由点点所以,BAC AP ,P C //AB |,AC |1|AB | 111111∠==→---→---→---→---平分所以因为因此，点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．得答案为B ．解法2 当λ>0时，,0|AC |AC |AB |ABOA OP AP ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ=-=→--→--→--→--→--→--→--因为,|AB ||AC |AB AC 1|AP | |AB ||AP |AB AP AB ,AP cos ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+λ=⋅⋅=〉〈→--→--→--→--→--→--→--→--→--→--→--所以.1|||||| ||||,cos ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅=⋅⋅=〉〈→--→--→--→---→--→--→--→--→--→--→--AC AB ACAB AP AC AP AC AP AC AP λ,,cos ,cos 〉〈=〉〈→--→--→--→--AC AP AB AP 得 ,,, 〉〈=〉〈→--→--→--→--AC AP AB AP 所以因为A ，B ，C 不共线，所以AP 平分∠BAC，得点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．解法3 考虑特殊情形，取△ABC 为等腰直角三角形，即：,|BC ||AB |,BC AB →--→--→--→--=⊥如图．这时，△ABC 的外心为AC 的中点D ，垂心为点B ．而由题设知点P 的轨迹是由点A 出发，方向为→--→--→--→--+|AC |AC|AB |AB 的射线l ，不经过点D ，也不经过点B ，故排除A 、D 两个选项．其次，由于|,AB ||AC |→--→--≠所以射线l 不平分BC ，即不通过△ABC 的重心，排除选项C ．从而得选项B 为答案．[答案]B的反函数为函数),1(,11ln.5+∞∈-+=x x x y),0(x ,1e 1e y .A x x +∞∈+-= ),0(x ,1e 1e y .B x x +∞∈-+= )0,(x ,1e 1e y .C x x -∞∈+-=)0,(x ,1e 1e y .D x x -∞∈-+=[分析] 本题主要考查对数函数、指数函数的性质和求反函数的方法，以及基本的计算技能．根据反函数的概念，求给定函数的反函数，可用解方程的方法，如解法1；作为选择题，还可用特殊值排除法求解，如解法2．解法1 解方程不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+=,1x ,1x 1x ln y,11e 1e x y y >-+=得,01e y >+因为1e 0 y -<所以得y>O ，因此，所求的反函数为).,0(,11+∞∈-+=x e e y x x解法2 因为点(2，ln3)在原函数的图像上，所以点(1n3，2)应在反函数的图像上．因此，由In3>0，可排除选项C 、D ；由,21e 1e 3ln 3ln ≠+-可排除A ，应取B 作答． [答案] B6．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为3a .A 34a .B 3 6a .C 3 12a .D 3[分析] 本题主要考查棱柱、棱锥等多面体的基本知识和体积计算，以及基本的空间想象能力．题设的八面体(记为ABCDEF)如图所示．图中将原正方体略去，以使图线清晰．该八面体的三条轴线AC 、BD 、EF 两两互相垂直，且AC=BD=EF=a ，把这个八面体看作共底(BFDE)的两个四棱锥的组合体，应用棱锥体积计算公式，得所求的八面体的体积为.6a EF BD 21AC 31V 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=对于空间想像力比较好的考生，不作图便可由心算得出答案．心算的方法比较多，例如，与上法共通地把八面体看作共底的两个四棱锥，底面积是正方体的一个面的面积之半，锥高是正方体棱长之半，即可得体积为;6a 3又如，由对称性，将正方体切成相等的八个小正方体，这时题没的八面体也被切成八个相等的三棱锥，每个三棱锥的体积等于小正方体的体积的,61所以八面体的体积是正方体体积的,61即.6a 3[答案] C7．设))x (f ,x (P )x (f y ,c bx ax )x (f ,0a 002在点曲线=++=>处切线的倾斜角的取值范围为,4,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡π，则点P 到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,0.A⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 21,0.B⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 2b ,0.C⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a 21b ,0.D[分析] 本题主要考查导数的几何意义，多项式函数求导数的方法，点到直线的距离，二次函数的性质等基本知识，以及推理和计算技能．解答本题，宜先求出0x 的取值范围，进而根据曲线y=f(x)对称轴的方程，便可求得点P 到对称轴距离的取值范围，如解法1．此外，也可用特殊值排除法求解．解法1 依题设知点P 的横坐标0x 必须且只须满足.14tan)(00=≤'≤πx f,b ax 2)x (f +='因为.1b ax 20 0≤+≤所以因为抛物线y=f(x)的对称轴为直线l ：,a 2bx -=所以点P 到直线l 的距离为,a 2b x d 0+=0,a >因为,a 21|b ax 2|2a 1d 0≤+=所以.B .a 21，0d .0d 答案为的取值范围为即得且⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥解法2 取特殊值a=1，b=－2，c=0．可知曲线y=f(x))x 2x y (2-=即的对称轴为直线l ：x=1．曲线在点P 处切线的斜率为,2x 2k 0-=由14tna,00tan =π=及tanx 的单调性，依题设知k 的取值范围为[0，1]，所以,12x 200≤-≤,211x 00≤-≤即得点P 到对称轴l 距离的取值范围为.21,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡据此，可排除选项A ，C ，D ，得答案B ．[答案] B 8．已知方程0)n x 2x )(m x 2x(22=+-+-的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=A ．143.B21.C83.D[分析] 本题主要考查二次方程根与系数的关系，等差数列等基本知识，以及数学思维和分析处理问题的能力．注意到题设4次方程的两个2次因式中，只有常数项不同，可知等差数列的4个项中首尾两项应为其中一个因式的两根，而中间两项为另一因式的两根．所以，在此基础上，可用不同的引入方式，采取适当的计算程序，求得|m －n|的值．解法1 因为抛物线n x 2x y m x 2x y 22+-=+-=与有公共的对称轴x=1，又它们与x 轴的4个交点的横坐标(即题设方程的4个根)成等差数列，所以可设为.31 ,1 ,1 ,314321p x p x p x p x +=+=-=-=.x x ,x x ,41x 32411在另一抛物线上、在同一抛物线上、且有=413p 1 =-故 ,.41p 从而得=.218p |)p 1()9p -(1| |x x -x x ||n -m | 2223241==--==0m x 2 x 41, 22=+-=α是方程不妨设依题意解法的一个根，则方程的另一个根为,472 =α-=β .167m =αβ=所以 0n x 2x 2=+-设方程 .2 ),(111111β+α==β+αβ<αβα　则不妨设和的两个根为.,,, :，414、、、1111ββααβαβα其次序必为的等差数列个数成首项为所以,21)(31d =α-β=公差应为.1615)1(21n 11=+α⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=βα=所以 .211615167|n m | =-=-从而解法3 依题意可设原方程的4个根为.d 341,d 241 ,d 41 ,41+++则对任意实数x ，有),n x 2x )(m x 2x (d 341x d 241x d 41x 41x 22+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-),n x 2x ()m x 2x (d 241d 41x d 321x d 34141x d 321x 2222+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即比较系数，得.n d 241d 41,m d 34141,2d 321⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+（注：m 、n 的位置也可对调，不影响结果）．,21d =解得.21|d 2||n m | 2==-所以解法4 从解原方程入手．由,0n x 2x 0m x 2x 22=+-=+-和求得原方程的根为：,n 11m 11 -±-±和由题设，这4个根组成首项为41的等差数列，所以，必有1－m>0，1－n>0，且 .41n 1141m 11=--=--或且等差数列为则若,167,4111==--m m .47 ,11 ,11 ,41 n n -+--,41473141n 11 ⎪⎭⎫⎝⎛-=---所以从而得,1615m =.211615167|n m | =-=- .21|n m |,1615m ,167n ,41n 11=-===--从而同样可得类似的推导可得则若[答案] C9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是14y 3x .A 22=-13y 4x .B 22=- 125.22=-y x C15y 2x .D 22=-[分析] 本题主要考查双曲线的基本知识，以及推理和计算技能．本题要求确定双曲线的方程，而双曲线的已知条件比较复杂，涉及到与已知直线相交的背景．在这种情况下，宜用待定系数法求解．因为双曲线的中心在原点，点)0,7(F 又是双曲线的一个焦点．故双曲线的方程可写为① ,172222=--a y a xa>0为待定系数，可用不同方法求得．解法1 将y=x －1代人方程①，整理得,0)a 8(a x a 2x )a 27(22222=--+-由直线y=x －1与双曲线相交于M 、N 两点，故此二次方程有不等的两个实根,x ,x 21分别为点M 、N的横坐标．从而MN 中点的横坐标为,a 27a 2x x x 22210--=+=,322a 7a ,32x 220-=---=所以由题设.15y 2x ,①.2a 222=-=得所求双曲线方程为代入方程解得解法2 依题设，可记,t 35,t 32N ,t 35,t 32M ⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫⎝⎛+-+- 其中t 为某个常数，且t≠0．由M 、N 在双曲线上，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-.1a 7t 35a t 32.1a 7t 35a t 32 22222222将两式相减，整理得,a 75a 2 22-=得所求双曲线方程为代入式解得,①.2a 2= .15y 2x 22=-上述解法计算量偏大，为了快速解答，可采用定性与定量相结合的方法求解．解法3 由双曲线与直线y=x －1有两个交点M 和N ，且焦点在x 轴上，可知双曲线渐近线的斜率绝对值应大于1，由此排除B 、C ；其次，由MN 的中点的横坐标为,32-可估计双曲线的张口应比较大，D 的可能性比较大．为此，作定量检验，将直线方程代人A 所示的双曲线得,0x 6x 2=-+.D ,A ,323MN 得答案排除中点的横坐标应为可知-≠-[答案] D10．已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)．一质点从AB 的中点0P 沿与AB夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点432P P P 和、（入射角等于反射角)．设4P 的坐标为,2x 1).0,x (44<<若则tan θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛1,31.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,52.C ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,52.D[分析] 本题以运动质点碰壁反射问题为背景，主要考查直线、轴对称和函数等基础知识及其应用，以及分析解决问题的能力．依题意可知点4P 的横坐标4x 是tan θ的函数，试题要求由4x的取值范围确定tan θ的取值范围，也即由函数的值域求定义域．为此，宜从建立函数关系式入手，如解法2．不过，作为选择题，本题可以用特殊值排除法快速求解，如解法1．解法1 取特殊的θ角，当21tan =θ时，根据反射原理，得点4321P P ,P ,P 和依次是BC ，CD ，DA和AB 的中点，即有21,,1x 4因此=不属于所求的tan θ的取值范围．从而，可排除选项A 、B 和D ，应取C 作答．解法2 依题设可作图如下．记各点的坐标如下：).0,x (P ),y ,0(P ),1,x (P ),tan ,2(P ),0,1(P 44332210θ根据反射原理得：,0x y 0x 01y tan 2x tan 143232--=---=θ-=-θ-,tna 13 x 2θ-=所以,tan 32tan x 1y 23θ-=θ-= 3. tna 2tan y x 34-θ=θ=,23tna 21 214<-<<<θ等价于从而x.21tan 52tan <θ<θ的取值范围为即得[答案] C=+++++++∞→)(lim .1111413122242322n nn C C C C n C C C CA ．331.B61.CD ．6[分析] 本题主要考查组合数的性质、数列极限的计算等基本知识，以及基本的计算技能．本题要求考生计算两个和式之比的极限．由于和式的项数随n 的增加而无限增加，因而不能简单应用极限四则运算法则求极限，必须将和式化简成有限的形式．原式中，分子、分母的和式是组合数求和，应充分借助组合数性质，将其化简．例如，应用公式1m ,1n 1m n m n C C C +++=+可顺利化简原式．此外，也可采用数列求和的方法求解．3123n 2243422423332242322 C 1+=+==+++=+++=+++n n nn n C C C C C C C C C C C C C因为解法21121141323114131222114131211 1 1 C ++-=++-==+++++-=++++++-=+++n n n nn nC C C C C C C C C C C C C C C又.31)2(3)1()1(lim)1n(C C lim 221n 31n =-+-+=-=∞→++∞→n n n n n n n n 原式所以.31)2)(1(3)1)(1(limn =+--+=∞→n n n n n n 原式所以[答案] B12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A ．3πB ．4ππ33.CD ．6π[分析] 本题主要考查正多面体和球的基本知识，以及空间想象能力和几何计算能力．本题给出棱长为2的正四面体，要求推断外接球的表面积．为此，必须先求该球的半径，宜作图进行推算或估算．为了图像清晰，可只作正四面体进行讨论，不画出球的图线．如附图，四面体ABCD 各棱长都为.2．解法1 如图，点O 为球心，OA 、OB 、OC 、OD 都是球的半径，因为ABCD 是正四面体，所以这四条半径的两两夹角彼此相等，设其大小为θ．由空间中的一点O ，引四条射线，两两的夹角都等于θ，则有.322π<θ<π ,3sin 2sin 4sin ,2AB ,2sin2ABOA r π<θ<π=θ==且因为球半径,232sin 22<θ<即,1r 32<<所以得,4S 38r 4S ,2<<ππ=满足球的表面积因此据此，可排除选项B 、C 和D ，应取A 作答．解法2 如图，过A 作AE⊥面BCD ，E 是垂足．连结EB ，则EB 是正△BCD 外接圆的半径．应用正弦定理，由正三角形的边长为,2得.3260sin 22EB =︒=因为 AE⊥EB.31AB EB BAE sin ==∠所以过AB 的中点F ，在平面AEB 中，作AB 的垂线交AE 于O ，则O 是四面体ABCD 外接球的球心，球的半径为,2331122 BAE cos AFAO r =-=∠==所以，所求的球之表面积为.3r 4S 2π=π=上述估计和精算的方法，计算量仍嫌偏大．若充分发挥空间想像力，可获快速判断．解法3 联想棱长为1的正方体,D C B A ABCD 1111-则四面体11D ACB 的棱长都为,2它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长3的一半，即有,23r =故所求球面积为S=3π．[答案] A 二、填空题.________x x 21x .13992的系数是展开式中⎪⎭⎫ ⎝⎛-[分析] 本题主要考查二项式定理的应用，以及基本的计算技能．直接利用二项展开式的通项公式，便可求得9x 的系数，如解法1．由于二项式中的两个项都含有x ，因此将其适当变形，有利于简化计算，如解法2．试题的这种设计，体现了对计算灵活性和准确性的要求．解法1 设所求系数为a ，则由二项展开式的通项公式，知存在非负整数r ，使,ax x 21)x (C 9rr 92r9=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.ax x 2C 9r 318rr9=⎪⎭⎫⎝⎛1⋅-即⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.C 21)1(a 9,3r 18 ,r9r r 得所以解得r=3，所求系数为.221C 81a 39-=-=解法2 因为,)21x (x x 21x 93992-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 的系数为该式展开式中所以9x ,.221C 81 2C a 396969-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1-=-221 ][-答案14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取____________，_______________，____________辆．[分析] 本题主要考查分层抽样方法在产品质量检验中的应用，以及简单的数值计算技能．设三种型号的轿车抽取数依次为x ，y ，z 辆．根据分层抽样方法的原理，知20.:60:12z :y :x 46,z y x ⎩⎨⎧==++这个方程组可用不同方法求解．解法1 由比例式知存在常数k 满足.k 20z 60y 12x ===46,20k 60k 12k =++则 10.20k z 30,60k y 6,12k x ,21k =======从而解得解法2 由此例式得60x=12y ， 20x=12z ，x 320z y =+所以46x 320x ,=+从而6, x =解得 10.x 1220z ,30x 1260y ====则[答案] 6，30，1015．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花．不同的栽种方法有_____种．(以数字作答)[分析] 本题以花圃设计为应用背景，主要考查排列、组合的基础知识，侧重考查乘法原理和加法原理的应用，以及逻辑思维能力和计数能力．为了正确解答本题，首先必须准确理解题意：抓住花圃布局的要求，看清图形中6个部分的关系；明确每个部分只种同一种颜色的花，相邻部分应种不同颜色的花；而且4种颜色的花都要种上，缺一不可．对这些条件要求，稍有疏忽、遗漏或曲解，都会引致解答出错．其次，应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序，关键是推算过程中分步、分类的安排要合理且严密；此外，在每一分步或分类中，计数不出错；最后，乘法原理和加法原理的运用，以及数值计算还得无误，方能得出正确的答数．采用不同的计数模式和计数程序，伴随出现不同的解法，列举解法供参考．解法1 将6个区域分4组，不同组栽种不同颜色的花，同一组栽种同一颜色的花．因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以为了栽种方案合乎题意，分在同一组的区域至多只能有2个．因而，由图形可知,不同分组法有且只有5类，如下表(表中数字为区域号)：每一类分组法，都有44P 种不同的栽种方法．应用加法原理，得到所有符合题意的不同栽种方法的种数为.12012345P 5N 44=⨯⨯⨯⨯==解法2 按区域的顺序，依次安排各区域所栽种的花的颜色：第1区，可种4色花中的任一种，有4种不同的栽种法；接着，第2区，因与第1区相邻，两区花色必须不同，所以，第2区只能从3色花中任选一种栽种，有3种不同种法；跟着，第3区，因与第1、2区都有边界，所以，只有2种不同栽种法；随后，第4区，与2区无边界，与1、3区都有边界．因此，可分两类情形：第一类：在第4区中栽种与第2区同一色的花，有1种栽法；至此，只栽种了3种不同颜色的花，因此，第5、6区域，应有一个区域栽种第4种颜色的花，而另一区域可选的花色只有1种(这是因为与之相邻的三个区域，已种上不同颜色的3种花)．从而，在第5、6区域栽花的不同方式有2种；第二类：在第4区域中栽种与第2区域不同颜色的花，有1种栽法；不过，与第一类不同的是：至此，4种不同颜色的花都被栽种了．往后，第5区域栽花有两种选择：一种是栽与第2区域同色花，紧接着，第6区域有2种栽种方法；第五区域另一种栽花法，是栽种与第2区域不同颜色的花，只有1种选择(因为它不能与1、4区域同色)，紧接着，由于1、2、5三个区域已栽种3种不同颜色的花，故第6区域只有1种栽花的选择．综合起来，应用乘法原理和加法原理，得合乎题意的不同栽花的方法种数为 N=4×3×2×（1×2+1×2+1×1） =120解法3 因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以当区域1栽种一种颜色的花之后，该颜色的花就不能栽于其它区域．因而可分两步走，考虑如下：第一步，在区域1中，栽上一种颜色的花，有4种栽法；第二步，在剩下的五个区域中，栽种其它三种颜色的花．为此，可将2至6号五个区域分成3组，使同一组中的不同区域没有公共边．这样的分组法有且只有5类，如下表(表中数字为区域号)：对每一类分得的3个组，将3种颜色的花分别栽于各组，共有33P 种栽法．应用乘法原理和加法原理，得合乎题意要求的不同栽种方法的种数为.120P 54N 33=⨯=解法4 由于第1、2、3区两两都有边界，所以这3个区所栽的花，彼此必须不同颜色．因而，第一步可从4种颜色的花任取3种分别栽在这3个区域上，共有3334P C 种栽法．其次将另一颜色的花栽于4、5、6三个区中的一个区或两个区，即分为两类情形：第一类：栽在4、5、6的一个区域中，有3种情形：情形1：栽于4区，则6区只有一种颜色的花可栽(因为必须不同于4、1、2区的颜色)，进而，5区周边三个区域已栽上3种不同颜色的花，故5区也只有一种颜色的花可栽；情形2：栽于6区，则与情形1同理，4、5区域分别只有1种颜色可栽；情形3：栽于5区，由于5、1、2三个区已栽上不同颜色的花，6区只有1种栽法；同理，4区也只有1种栽法．第二类：栽于4、5、6中的两个区，只有栽于4、6两个区域的一种情形，这时5区有2种栽法(因为5区的周边只有两色花)．综合起来，应用乘法原理与加法原理，得不同栽种方法的种数为.1205P C)2111111(P C N 33143334=⨯=⨯⨯+⨯+⨯=解法5 分两类情况考虑：第1类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的4种花，共有44P 种栽法．对于每一种栽法，第4、6区分别都只有1种颜色的花可栽．第2类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的3种花，共有3334P C 2种栽法．对于每一种栽法，要么2、5区栽同色花，要么3、5区栽同色花．对于前者，第6区有2种颜色的花可供选栽，第4区只能栽第4种颜色的花；对于后者，第4区有2种颜色的花可供选栽，第6区只能栽第4种颜色的花．即无论何种情形，第4、6区的栽法都是2种．综合上述情形，应用加法原理与乘法原理，得不同栽种方法的种数为.120P C 22P N 333444=⨯+=[答案] 12016．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是_______．(写出所有符合要求的图形序号)[分析] 本题以正方体为依托，主要考查直线与平面垂直的判定，比较深刻地考查了空间想象能力．为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN 、NP 、MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP ．解法1 作正方体1111D C B A ABCD -如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面111D CB EFGHKR D BA 和、都是对角线l )AC (1即的垂面．对比图①，由,BA //MN 1MP∥BD,D BA //MNP 1面知面，故得l ⊥面MNP ．对比图②，由MN 与面11D CB 相交，而过交点且与l 垂直的直线都应在面11D CB 内，所以MN 不垂直于l ，从而l 不垂直于面MNP ．对比图③，由MP 与面D BA 1相交，知l 不垂直于MN ，故l 不垂直于面MNP ．对比图④，由MN∥BD，,D BA //MNP ,BA //MP 11面知面故l ⊥面MNP ．对比图⑤，面MNP 与面EFGHKR 重合，故l ⊥面MNP ．综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l 所在的对角截面为α．各图可讨论如下：在图①中，MN ，NP 在平面α上的射影为同一直线，且与l 垂直，故l ⊥面MNP ．事实上，还可这样考虑：l 在上底面的射影是MP 的垂线，故l ⊥MP；l 在左侧面的射影是MN 的垂线，故l ⊥MN，从而l ⊥面MNP ．在图②中，由MP⊥面α，可证明MN 在平面α上的射影不是l 的垂线，故l 不垂直于MN ．从而l 不垂直于面MNP ．在图③中，点M 在α上的射影是l 的中点．点P 在α上的射影是上底面的内点，知MP 在α上的射影不是l 的垂线，得l 不垂直于面MNP ．在图④中，平面α垂直平分线段MN ，故l ⊥MN．又l 在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP 垂直，从而l ⊥MP，故l ⊥面MNP ．在图⑤中，点N 在平面α上的射影是对角线l 的中点，点M 、P 在平面α上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l 与这一直线垂直．从而l ⊥面MNP ．至此，得①④⑤为本题答案．解法3 如图建立空间直角坐标系O －xyz ，设正方体的棱长为2，则对角线l 的方向向量可取为).2,2,2(-=→l对图①，有),1,0,1()0,0,1()1,0,0(MN ),0,1,1()0,0,1()0,1,0(MP --=--=-=-=→--→--.0,0MNP l MN l MP l 面得由⊥=⋅=⋅→--→→--→对图②，有),1,2,1()2,0,1()1,2,2(MN =---=→--.0不垂直与面知由MNP l N M l ≠⋅→---→对图③，有),1,1,2()1,0,2()0,1,0(MP -=--=→--.l l 不垂直与面知由MNP 0MP ≠→--→对图④，有),0,2,2()1,0,2()1,2,0(MN ),1,0,1()1,0,2()2,0,1(MP -=---=--=---=→--→--.0,0MNP l MN l MP l 面得由⊥=⋅=⋅→--→→--→对图⑤，有),1,2,1()2,0,1()1,2,0(MN ),2,1,1()2,0,1(),0,1,2(MP -=---==--=→--→--.MNP 0MN ,0MP 面得由⊥=⋅=⋅→--→→--→l l l综合得本题答案为①④⑤．从解法3可以看到；应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便，操作也比较简单，无须多动脑筋，只需要计算正确即可．[答案] ①④⑤ 三、解答题17．已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)． (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-2,2上的图象．[命题意图] 本小题主要考查三角函数的性质和恒等变形的基础知识，同时考查动手画图的技能．作为三角函数的解答题，力求较全面地覆盖三角函数的基础知识，因此，试题的设计给出一个三角函数的解析式，通过运用和角与倍角的三角函数公式，变形为单个三角函数的表达式，从而求出它的周期和最值．恒等变形过程强调通性通法，以适应文科考生的实际．在这个基础上要求作出这个函数的图像，强化了作图技能的考查，倡导考生重视实践，学会动手操作．[解题思路] 首先把给出的函数解析式变形为单个三角函数的表达式，再按问题的要求答题．,42x sin 21 4sin 2cos 4cos 2sin 21 2sin 2cos 1 cos sin 2sin 2f(x) 12⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=πππx x xx x x x 解法.21,)x (f +π最大值为的最小正周期为所以函数.42sin 21 4sin 42sin 2 4x cos 22sinx )cos (sin sin 2)( 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+=ππππx x x x x x f 解法.21,)x (f +π最大值为的最小正周期为所以函数（Ⅱ）解由（Ⅰ）知上的图像是在区间故函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-=2，2)x (f y18．如图，在直三棱柱,C B A ABC 111中-底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°．侧棱B A CC ED ,2AA 111与分别是、=的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ．(Ⅰ)求B A 1与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；.)Ⅱ(1的距离到平面求点AED A[命题意图] 本小题主要考查线面关系和直三棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．新课程的立体几何教材分为(A)、(B)两个版本，即传统的逻辑推理体系和向量运算方法．为了．适应不同地区的选用情况，前几年高考的立体几何试题是命制出(甲)、(乙)两道平行题目由考生选作．今年试验改变这种做法，原课程与新课程统一命制一道通用的试题，基本要求是用传统方法或向量方法，解题难度相当．于是，试题的知识载体定位于直棱柱．理科用直三棱柱，文科用正四棱柱．理科试题中的图形实际上是半个正方体，它的原型是正方体的一个性质：“若点M 是正方体ABCD D C B A 1111-的棱D D 1的中点，则正方体的中心O 在截面AMC 上的射影恰好是△AMC 的重心”．试题基本上是采用其逆命题，且只给出半个正方体，把问题提为“正方体的一条对角线与截面所成的角”，隐蔽了上述性质，提高了对考生空间想像力和推理能力的要求，以期更好地考查考生的数学能力．[解题思路] 本题(Ⅰ)的基本解法是先求出三棱柱的底面边长，可以在直三棱柱中求解，也可以补形成正四棱柱或直平行六面体求解，思维层次高者可以发现EB=DF 避开计算，通过线段比求角的三角函数值．(Ⅱ)问的解法用等积法最为简便．运用向量方法则(Ⅰ)问较易，(Ⅱ)问较难，总体难度相当．(Ⅰ)解法1 如图，连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是B A 1与平面ABD 所成的角．设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，因为D 、E 分别是B 、A CC 11的中点，又DC⊥平面ABC ，所以CDEF 为矩形．连结DF ，G 是△ADB 的重心，故G∈DF．在直角三角形EFD 中，.3FD 1EF ,FD 31FD FG EF 22===⋅=知由.36321,2=⨯==EG ED 于是.3EB ,32B A ,22AB ,2ED FC 1=====则因为.323136EB EG EBG sin =⋅==∠所以.32arcsinABD B A 1所成的角是平面即解法2 同解法1图．AEB ，D ADB E V V --=因为所以 AB·DF·EG=AB·EF·DE，其中EF=1．,x 22FB CF DE x,BC ====则设.1x 21FB DB DF ,x 1DB 222222+=-=+=所以.DF 32EG ,DF 92DF 32DF 31EG 22==⋅=即又,DE DF 322=所以x 221x 21322=⎪⎭⎫⎝⎛+即,02x 3x 2=+-整理得),,12(x x 舍去与题设矛盾解得==.36142132EG =+⨯⋅=则,31x 22BE 2=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=而.323/36BE EG EBG sin ===∠所以,ABCH H C B A , 31111-行六面体将直三棱柱补形成直平如图解法H H 1取的中点P,连结PD,PA,PB,则ABDP 是平行四边形,PB 必过△ADB 的重心．.PB Q A ,EG //Q A ,Q A ,PA ,PB 31PQ 1111⊥=故则连结截取 ,QB B A PQ P A 221221-=-所以.PB 31PB 31PB 32PQ QB P A B A 222222121=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-即,x 2PD AB ,1x PA DA BD ,x BC 2222222==+====则设 ,BD 2AB 2AD PB ,ABDP 2222+=+中在平行四边行。

2006年高考模拟测试数学1

2006年高考模拟测试数学1 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 且≠B φ，若A B A =⋃则（）A ．43≤≤-mB ．43<<-mC ．42<<mD ．42≤<m 2．函数)2(542≤+-=x x x y 的反函数的图象是（）3．若R b a ∈,，则31a 31b >成立的一个充分不必要的条件是（）A.0>abB.a b >C.0<<b aD.0)(<-b a ab4．实数x 满足θsin 1log 3+=x ,则|9||1|-+-x x 的值为（）A ．8B ．－8C ．8或－8D ．与θ有关5．如图，正三棱锥A —BCD 中，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，并使λ==FDCFEB AE ，其中+∞<<λ0，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则α+β的值为（）A ．6π B ．4πC ．2πD ．与λ有关的变量6．已知点F 1，F 2分别双曲线12222=-by a x 的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的范围是（）A ．（1，+≦）B ．（1，1+2）C ．（1，3）D ．（1－21,2+）7．函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且对定义域中任何x ，有1)()(,0)()(=-=+-x g x g x f x f ，若g (x )=1的解集是{x|x =0}，则函数F （x ）=)(1)()(2x f x g x f +-是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数8．在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个体积最大的内接圆柱，则内接圆柱的体积与圆锥的体积的比值是（）A ．83B ．94 C ．73 D ．21 9．当n ∈N 且n ≥2时，1+2+22+…+24n -1=5p+q ，其中p,q 为非负整数，且0≤q ＜5，则q 的值为（） A.0 B.2 C.2 D.与n 有关10．过曲线C ：x 2+ay 2=a 外一点M 作直线l 1交曲线C 于不同两点P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，直线l 2过P 点和坐标原点O ，若l 1⊥l 2，则a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．无法确定 11．在△ABC 中，如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=33,则∠C 的大小是（）A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°12．若函数ax xy +=2的图象如图，则a 的取值范围是（A ．（－≦,－1）B ．（－1，0）C ．（0，1）D ．（1，+≦）第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

广东06年高考模拟卷

广东06年高考模拟卷数学考试时刻：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上.1．圆04822=-++y x y x 与圆2022=+y x 关于直线b kx y +=对称，则k 与b 的值分别等于( )A ．2-=k ，5=bB ．2=k ，5=bC ．2=k ，5-=bD ．2-=k ，5-=b2．等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为 ( ) A ．75 B ．70 C ．120 D ．1003．先将)(x f y =的图象沿x 轴向右平移3π个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原先的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与x y cos =的图象相同，则)(x f y =是（）A ．)62cos(π+=x yB ． )32cos(π+=x yC ．)322cos(π+=x y D ．)322cos(π-=x y4．已知直线m 、n 和平面α，则n m //的一个必要不充分条件是（） A ． α//m ，α//n B ．α⊥m ，α⊥n C ． α//m ，α⊂n D ．m 、n 与α成等角5．函数23log )(x x f =在其定义域上单调递减，且值域为]4,2[，则它的反函数的值域是（） A ．]9,3[- B ．]3,9[- C ．]3,9[-- D ．]9,3[6．函数)(x f 满足：)()()2(R x x f x f ∈-=+，则下列结论正确的是（）A ．)(x f 的图象关于直线1=x 对称B ．)(x f 的图象关于点（1，0）对称C ．函数)1(+=x f y 是奇函数D ．函数)(x f 周期函数7．无穷数列{}n a 中，21=a ，其前n 项和为n S ．当2≥n ，*N n ∈时，n n a S 31=，则n n S ∞→lim 等于( ) A ．0 B ．34C ．2-D ．3 8．已知0>>b a ，全集U=R ，集合M=}2|{ba xb x +<<，N=}|{a x ab x <<，P=}|{ab x b x ≤<，则P 与M 、N 的关系为（）A ．P= (C U M) NB ．P=M (C U N) C ．P=M ND ．P=M N 9．A 为三角形的一个内角，且22cos sin =+A A ，则A 2sin 与A 2cos 的值依次为 ( ) A ．23,21 B ．23,21- C ．23,21-- D ．23,21- 10．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c ．若c 是a 与m 的等比中项，2n 是2m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率等于（）A ．31 B ．33 C ．21 D ．22第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11．不等式022≥-at t 对所有]1,1[-∈a 都成立，则t 的取值范畴是．12．右图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头说明下一步是到哪一个框图。

2006高考数学预测 .doc

2006高考数学预测1．已知（2x －3)6＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋……＋a 6(x －1)6，求a 1＋a 3＋a 5＝_____．命题理由：在多项式系数上，略作一点变化，既能考查对系数特征、组合原理的把握，又可看到学生的能力．略解：令x －1＝t ，则有 (2t －1)6＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋……＋a 6t 6， ∴ a 1＋a 3＋a 5＝1－362＝－364．或a 1＋a 3＋a 5＝C61·2·(－1)5＋C63·23·(－1)3＋C65·25·(－1)＝－364．2．（满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，BD ＝2，∠ABD ＝90°，将它们沿对角线BD 折起，折后的C 变为C 1，且A 、C 1间的距离为2（如图乙所示）．（Ⅰ）求证：平面A C 1D ⊥平面ABD ；（Ⅱ）求二面角B －AC 1－D 的大小．（Ⅲ）E 为线段A C 1上的一个动点，当线段EC 1的长为多少时？DE 与平面BC 1D 所成的角为30°．命题理由：该题根据新教材B 版本中B 组某复习题改编，考察了学生简单的线面垂直、平面角、线面角，既可用向量方法求解，也注意到了几何方法的简单、快捷，以折叠方式引入，特别是线面角的探索，有很强的新颖性．解法一：（Ⅰ）∵ABCD 是平行四边形，故知∠BDC 1＝∠ABD ＝90°，即AB ⊥BD ，C 1D ⊥BD ， ∴ AD ＝BC 1＝ 3 ， 1分由C 1D ＝1，AC 1＝2可得，AC 12＝C 1D 2＋AD 2，∴C 1D⊥AD ．∴C 1D ⊥平面ABD ， 2分又C 1D ⊂平面AC 1D ，故平面AC 1D ⊥平面ABD ． 3分（Ⅱ）由AB ⊥BD ，AB ⊥C 1D 可知，AB ⊥平面BC 1D ，故可以B 为原点，平行于C 1D 的直线为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 4分则A(0,0,1)，D(0, 2,0)，C 1(1, 2,0)图乙 ⇒ B C 1D A ·E B CD A图甲BA →＝(0,0,1)，EC1→＝(1, 2,0)，AD →＝(0, 2,－1) ，DC1→＝(1,0,0) 5分设平面ABC 1的法向量为n1→ ＝(x 1,y 1,z 1)，则 n1→ ·BA →＝0，n1→ ·EC1→＝0，即⎩⎨⎧0·x1＋0·y1＋1·z1＝01·x1＋2·y1＋0·z1＝0，解得⎩⎨⎧z1＝0x1＝－2·y1，故得平面ABC 1的一个法向量 n1→ ＝(－2,1,0) 6分设平面ADC 1的法向量为n2→ ＝(x 2,y 2,z 2)，则 n2→ ·DC1→＝0，n2→ ·AD→＝0，即 ⎩⎨⎧1·x2＋0·y2＋0·z2＝00·x2＋2·y2－1·z2＝0，解得⎩⎨⎧x2＝0z2＝2·y2，故得平面ABC 1的一个法向量 n2→ ＝(0, 1, 2) 7分 ∵ cos < n1→, n2→ >＝n1→·n2→|n1→|·|n2→| ＝2·0＋1·1＋0·23·3＝13 8分显然，二面角B －AC 1－D 所成的平面角为锐角，故大小为arccos 13 . 9分（Ⅲ）设C1E → ＝λC1A →，则DE →＝DC1→＋C1E → ＝DC1→＋λC1A →＝(1,0,0)＋λ(－1,－2,1)＝(1－λ,－2λ, λ)， 10分由ABC ⊥平面BCD 可知，BA→＝(0,0,1)是平面BCD 的一个法向量，若DE 与平面BC 1D 所成的角为30°，则不难看出<DE→,BA →>＝60°，∴cos <DE →,BA →>＝12 11分又 cos <DE →,BA →>＝DE →·BA →|DE →|·|BA →|＝λ(1－λ)2＋2λ2＋λ2 12分故λ(1－λ)2＋2λ2＋λ2＝12，整理，得4λ2＝1－2λ＋4λ2，解得λ＝12．13分故知E 为AB 的中点，即|C 1E|＝1时．DE 与平面BC 1D 所成的角为30°． 14分解法二：（Ⅰ）同上． 3分（Ⅱ）作DF ⊥BC 1于F ，则DF ⊥平面ABC1，又作DG ⊥AC 1，连FG ，由三垂线定理可知，则FG ⊥AC 1，故∠FGD 就是二面角B －AC 1－D 的平面角． 5分∵ 12·B C 1·DF ＝12·BD ·D C 1，故 DF ＝1·23＝63， 6分同理，DG ＝AD·D C1A C1 ＝1·32＝32 7分∴ sin ∠FGD ＝DF DG ＝223， 8分故二面角B －AC 1－D 的大小为arcsin 223． 9分（Ⅲ）过E 作EH ⊥BC 1于H ，则EH ∥AB ，故EH ⊥平面BC 1D ，连DH ，则∠EDH 就是DE 与平面BC 1D 所成的角． 10分设|C 1E|＝x ，∵AB ＝1，AC 1＝2，故知∠AC 1B ＝30°，则EH ＝12x ， 11分同理可知，∠DC 1E ＝60°，在△DC 1E 中，由余弦定理得DE 2＝12＋x 2－2·1·x ·cos60°＝x 2－x ＋1． 12分若∠EDH ＝30°，则DE ＝2EH ＝x ，故有x 2＝x 2－x ＋1，解得x ＝1，即|C 1E|＝1时，DE 与平面BC 1D 所成的角为30°． 14分 3．（满分14分）已知f(x)＝ln(x 2＋1)－(ax －2)（Ⅰ）若函数f(x)是R 上的增函数，求a 的取值取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，求f(x)的单调增区间；命题理由：将导数与不等式结合在一起，很常规，也是高考命题的一种趋势，该题既注意到了导数与函数的密切关系，将问题转化为不等式恒成立与最值之间的关系，同时注意到不等式的解法，通过参数的讨论来提升学生的能力．解：（Ⅰ）f ’ (x)＝2xx2＋1－a ， 1分∵f(x)是R 上的增函数，故f ’ (x)＝2xx2＋1－a ＞0在R 上恒成立，即a ＜2xx2＋1在R 上恒成立， 2分令g(x)＝2xx2＋1g ' (x)＝＝2(x2＋1)－2x·2x (x2＋1)2＝－2(x2－1)(x2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x2＋1)23分由 g ' (x)＝0，得 x ＝－1或x ＝1g ' (x)＞0，得－1＜x ＜1g ' (x)＜0，得 x ＜－1或x ＞1 4分故函数g(x)在(－∞,1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减．5分BC 1DAEF GH∴ 当x ＝－1时，g(x)有极小值g(－1)＝－1，当x ＝1时，g(x)有极大值g(1)＝1．又lim x→∞2xx2＋1＝0，故知g(－1)＝－1为函数g(x)的最小值． 6分 ∴ a ＜－1．但当a ＝－1时，f(x)亦是R 上的增函数，故知a 的取值范围是(－∞,－1]． 7分（Ⅱ）f ' (x)＝2xx2＋1－a ＝－ax2－2x ＋a x2＋1 8分由f ' (x)＞0，得ax 2－2x ＋a ＜0，由判别式△＝4－4a 2＝－4(a ＋1)(a －1) 可知① 当a ＝0时，f ' (x)＞0⇒x ＞0，即函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增； 10分 ② 当0＜a ＜1时，有△＞0，f ' (x)＞0 ==>1－1－a2a ＜x ＜1＋1－a2a ，即函数f(x)在（1－1－a2a ，1＋1－a2a）上单调递增； 12分③ 当－1＜a ＜0时，有△＞0，f ' (x)＞0 ==> x ＜1＋1－a2a 或x ＞1－1－a2a，即函数f(x)在（－∞，1＋1－a2a ）、（1－1－a2a ,＋∞）上单调递增． 14分 .4．（满分14分）设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)是抛物线C ：y 2＝2px 上相异两点，且OP →·OQ →＝0，直线QP 与x 轴相交于E ．（1）若Q 、P 到x 轴的距离的积为4，求p 的值；（2）若视p 为已知常数，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F ，直线PF 与抛物线的另一交点为R ，而直线RQ 与x 轴相交于T ，且有TR →＝3TQ →，若存在，求出F 点的坐标（用p 表示），若不存在，说明理由．命题理由：将向量与解析几何综合在一起，结合根与系数的关系的应用，是近年来高考命题的一个热点，本题既注意到了这些方面的综合应用，同时也注意到考察学生分析、探索的能力．解：（1）∵ OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0， 1分又P 、Q 在抛物线上，故y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，故得y122p ·y222p＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－4p 2⇒ |y 1y 2|＝4p 2 3又|y 1y 2|＝4，故得4p 2＝4，p=1． 4（2）设E(a,0），直线PQ 方程为x ＝my ＋a联立方程组 ⎩⎨⎧x ＝my ＋a y2＝2px5分消去x 得y 2－2pmy －2pa ＝0 6分 ∴ y 1y 2＝－2pa ① 7分设F(b,0)，R(x 3,y 3)，同理可知，y 1y 3＝－2pb ② 8分由①、②可得y3y2＝ba③ 9分若 TR →＝3TQ →，设T(c,0)，则有(x 3－c,y 3－0)＝3(x 2－c,y 2－0)∴ y 3＝3y 2 即 y3y2＝3 ④ 10分将④代入③，得 b ＝3a ． 11分又由（Ⅰ）知，OP →·OQ →＝0 ⇒ y 1y 2＝－4p 2，代入①，可得－2pa ＝－4 p 2 ⇒ a ＝2p ． 13分故b ＝6p ．故知，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F(6p,0)，使得 TR →＝3TQ →． 14分注：若设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，不影响解答结果．【试题1】某地区在高三第二轮复习组织一次大型调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数)),((1021)(200)88(2∞+-∞∈⋅=--x ex f x π，则下列命题不正确．．．的是 A . 某地区这次考试的数学平均数为88分B .分数在120分以上的人数与分数在56分以下的人数相同C . 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同D . 某地区这次考试的数学标准差为10【猜题理由】正态分布在新课标中，只要求它的基本性质，特别是正态曲线的对称性，而这些在现在高考命题是可操作的.【解答】由题意可知，μ=88，σ2=100，∴σ=10，由正态分布曲线的对称性可知仅C 不正确.故选C .【试题2】三棱锥P -ABC 中，顶点P 在平面ABC 的射影为O 满足OA +OB +OC =0，A 点在侧面PBC 上的射影H 是△PBC 的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是 A ．36 B .48 C .54 D .72【猜题理由】动态几何问题能有效地考查考生的能力，而且本题利用向量这一工具，使三棱锥体积最大值问题顺利地解决，具有较强的综合性.【解答】∵++=0，∴O 为⊿ABC 的重心.又A 点在侧面PBC 上的射影H 是△PBC 的垂心，∴PH ⊥BC ，而PA 在侧面PBC 上的射影为PH ，∴PA⊥BC ，又而PA 在面ABC 上的射影为PO ，∴AO ⊥BC . 同理可得CO ⊥AB ，∴O 是△ABC 的垂心. 由于⊿ABC 的重心与垂心重合，所以⊿ABC 为等比三角形，即三棱锥P -ABC 为正三棱锥. 设AB=x ，则AO=x3，∴PO=36―x23，∴V= 13×34x 2×36―x 3= 112108x4―x6，令f (x )=108x 4―x 6，则f ノ(x )=6x 3(72―x 2)，∴当x ∈(0，62)时f (x )递增；当x ∈(62，63)时f (x )递减，故x =62时f (x )取得最大值36. 故选A ．【试题3】若关于的方程x 2―(a 2+b 2―6b )x + a 2+b 2+2a ―4b +1=0的两个实数根x 1，x 2满足x 1≤0≤x 2≤1，则a 2+b 2+4a 的最大值和最小值分别为ABDC P H OA ．12和5+45B . ―72和5+45C . ―72和12D . ―12和15―45【猜题理由】本题在函数、方程、线性规划的交汇处命题，有效地考查了函数与方程思想方法，以及解答线性规划的基本方法.【解答】令f (x )= x 2―(a 2+b 2―6b )x + a 2+b 2+2a ―4b +1，则由题意有f (0)= a 2+b 2+2a ―6b +1≤0且f (1)=2a +2b +2≥0，即(a +1)2+(b ―2)2≤4且a +b +1≥0，在直角坐标平面a O b 上作出其可行域如图所示，而a 2+b 2+4a =(a +2)2+b 2―4的几何意义为|PA|2―4（其中P(a ，b )为可行域内任意的一点，A(―2，0)). 由图可知，当P 点在直线l ：a +b +1=0上且AP ⊥l 时取得最小值；当P 点为AC(C 为圆(a +1)2+(b ―2)2≤4的圆心)的延长线与圆C 的交点时达到最大值.又A 点的直线l 的距离为12，|AC|=5，所以a 2+b 2+4a 的最大值和最小值分别为―72和(5+2)2―4=5+45.故选B ．【试题4】已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的图象经过原点，且在x =1处取得极值，直线y =2x +3到曲线y =f (x )在原点处的切线所成的夹角为450.(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意实数α和β恒有不等式| f (2sin α)―f (2sin β)|≤m 成立，求m 的最小值(3)若g (x )=xf (x )+tx 2+kx +s ，是否存在常数t 和k ，使得对于任意实数s ，g (x )在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x 0(x 0>1)使得g (x )在[1，x 0]上递减？若存在，求出t + k 的取值范围；若不存在，则说明理由.【猜题理由】本题在函数和导数、以及线性规划的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放度，情景新颖.【解答】(1)由题意有f (0)= c =0，f ノ(x )=3 x 2+2ax +b ，且f ノ(1)= 3+2a +b =0.又曲线y =f (x )在原点处的切线的斜率k =f ノ(0)= b ，而直线y =2x +3到它所成的夹角为450，∴1=tan450=b―21+2b，解得b =―3. 代入3+2a +b =0得a =0. 故f (x )的解析式为f (x )=x 3―3x .(2)∵对于任意实数α和β有2sin α，2sin β∈[－2，2].由f ノ(x )=3x 2―3=3(x ―1) (x +1)可知，f (x )在(－∞，―1]和[1，＋∞)上递增；在[－1，1]递减. 又f (―2)= ―2，f (―1)= 2，f (1)= ―2，f (2)= 2， ∴f (x )在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2和2. ∴对于任意实数α和β恒有| f (2sin α)―f (2sin β)|≤4. 故m ≥4，即m 的最小值为4.(3)∵g (x )=x (x 3― 3x )+tx 2+kx +s = x 4+(t ―3)x 2+kx +s ，∴g ノ(x )= 4 x 3+2(t ―3)x +k ，∴要使g (x )在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x 0(x 0>1)使得g (x )在[1，x 0]上递减，只需在[－3，―2]和[1，x 0]上g ノ(x )≤0，而在[－1，0]上g ノ(x )≥0.令h (x )= g ノ(x )，则h ノ(x )= 12 x 2+2(t ―3)，当t ―3≥0时，h ノ(x )在R 上恒为非负，此时显然不存在这样的常数t 和k ，∴t ―3<0.当t ―3<0时，g (x )在(－∞，―3―t6]和[3―t6，+∞)上递增，而在[―3―t6，―3―t6]上递减. ∴要使h (x )在[－3，―2]和[1，x 0]上h (x )≤0，而在[－1，0]上h (x )≥0，只需h (―2)= ―32 ―4 (t ―3)+k ⎩⎪⎨⎪⎧h(―2)=―32―4 (t―3)+k≤0，h(―1)=―4―2 (t―3)+k≥0，h(0)= k≥0，h(1)= 4+2 (t―3)+k≤0，t<3，即⎩⎪⎨⎪⎧4t―k+20≥0，2 t―k―2≤0，k≥0，2t+k―2≤0，t<3，作出可行域如图所示，由图可知，当直线t + k = z 过A 点时z 取得最大值5，当直线t + k = z 过B 点时z 取得最大值―5.故存在这样的常数t 和k ，其取值范围为[－5， 5].【试题5】 “建设创新型国家”是2006年3月份召开的“两会”（全国人大、政协）的主要议题. 某公司为了响应党中央的号召，决定投资创新科技的研发，经调查有两个可投资意向的项目：A 项目是国家重点扶持尖端型创新科技研发的项目，每年需要研发的经费5a 万元，若能申请国家扶持成功，则在近三年内每年可得到国家的研发经费a 万元，在研发的第n 年能研发成功的概率组成以2为公比、0.01为首项的等比数列，2010年后将失去研发价值，若能研发成功在2026年以前（包括2026年）每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益10a 万元；B 项目是该公司的垄断的基础型创新研发的项目，每年需要研发的经费2a 万元，在当年内能研发成功的概率组成以0.1为公差、0.1为首项的等差数列，估计3年后将失去研发价值，若能研发成功在2015年（包括2015年）以前每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益3a 万元. 并且项目研发上马后就不会在中途停止研发，直到没有研发价值的时候为止.在全国范围内另外有1个像该公司具有研发A 项目实力的公司准备在2006年投资研发A 项目，若在某一年有几个公司同时研发成功，则以后A 项目的所有的经济效益由同时研发成功的这几个公司均分. 请你帮助该公司作出决策：在2006年应该投资研发哪一个项目？并说明你的理由.【猜题理由】本题取材于社会热点问题，情景新颖，背景公平，具有较好的教育意义，而且能较好地考查考生灵活地运用所学的概率知识来分析解决实际问题的能力，体现了新课标的理念. 【解答】（1）若该公司投资研发A 项目，则：若该公司在2006年研发成功，其经济效益期望为E ξ11=200a ×0.01×(1―0.01)+100a ×0.01×0.01≈1.99a 万元.若该公司在2006年没有研发成功，而另一个公司在2006年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ12=―4a ×(1―0.01)×0.01≈―0.0396a 万元.若该公司在2007年研发成功，其经济效益期望为E ξ21=190a ×0.02×(1―0.02)+1902a ×0.02×0.02≈3.762a 万元.若该公司在2007年没有研发成功，而另一个公司在2007年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ22=―8a ×(1―0.02)×0.02≈―0.0784a 万元.若该公司在2008年研发成功，其经济效益期望为E ξ31=180a ×0.04×(1―0.04) +1802a ×0.04×0.04≈7.056a 万元.若该公司在2008年没有研发成功，而另一个公司在2008年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ32=―12a ×(1―0.04)×0.04 ≈―0.1536a 万元.若该公司在2009年研发成功，其经济效益期望为E ξ41=170a ×0.08×(1―0.08)+1702a ×0.08×0.08≈13.056a 万元.若该公司在2009年没有研发成功，而另一个公司在2009年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ42=―17a ×(1―0.08)×0.08≈―0.2944a 万元.若该公司在2010年研发成功，其经济效益期望为E ξ51=160a ×0.16×(1―0. 16)+1602a ×0. 16×0. 16≈23.552a 万元.若该公司在2010年没有研发成功，则该公司总要损失22 a 万元，于是该公司的经济效益期望为E ξ52=―22a ×(1―0. 01―0. 02―0. 04―0. 08―0. 16)≈―15.18a 万元.所以该公司投资研发A 项目的经济效益期望为E ξ11+ E ξ12+ E ξ21+ E ξ22+ E ξ31+ E ξ32+ E ξ41+ E ξ42+ E ξ51+ E ξ52≈33.67 a 万元.其投资的期望为4a [0.01+(1―0.01)×0.01]+ 8a [0.02+(1―0.02)×0.02]+ 12a [0.04+(1―0.04)×0.04]+ 17a [0.08+(1―0.08)×0.08]+ 22a {1―[0.01+(1―0.01)×0.01]―[0.02+(1―0.02)×0.02]―[0.04+(1―0.04)×0.04]―[0.08+(1―0.08)×0.08]=19.5354 a 其投资的经济效益期望的平均效率为33.67a 19.5354a ≈1.723538，平均每年的经济效益期望为11.22333a 5≈11.22333万元.（2）设该公司投资研发B 项目的经济效益为η万元，则ξ的可能取值为27a ，24a ，21a ，―6a . 而P(η=27a )= 0. 1，P(η=24a )= 0. 2，P(η=21a )= 0. 3， P(η=―6a )= 0. 7， ∴E η=27a ×0.1+24a ×0.2+21a ×0.3―6a ×0.3=12 a 万元. 其投资的期望为2a ×0. 1+ 4a ×0.2+ 6a ×0.7=5.2 a 万元.其投资的经济效益期望的平均效率为2.3076923，平均每年的经济效益期望为4a 万元.尽管A 项目的投资经济效益期望的平均效率比B 项目略低，但总的经济效益期望和平均每年的经济效益期望比B 项目高得多，故应建议该公司在2006年投资研发A 项目.【试题6】在直角坐标平面中，ΔABC 的两个顶点AB 的坐标分别为A(―77a ，0)，B(77a ，0)(a >0)，两动点M ，N 满足++=0，||=7||=7||，向量与共线.(1)求ΔABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若过点P(0，a )的直线与(1) 轨迹相交于E 、F 两点，求·的取值范围；(3)(理科作)若G(―a ，0)，H(2a ，0)，Q 点为C 点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ(λ>0)，使得∠QHG=λ∠QGH 恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【猜题理由】本题本题在平面向量和解析几何的交汇处命题，重点考查了解析几何的基本思想方法，体现最新《考试大纲》的要“构造有一定的深度和广度的数学问题”高考命题要求.【解答】(1)设(x ，y )，∵++=0，∴M 点是ΔABC 的重心，∴M(x 3，y3).又||=||且向量与共线，∴N 在边AB 的中垂线上，∴N(0，y3).而||=7||，∴x2+49y2=717a2+19y2，即x 2―y23=a 2. (2)设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，过点P(0，a )的直线方程为y =kx +a ，代入x 2―y23 =a 2得 (3―k 2)x 2―2akx ―4a 2=0∴Δ=4a 2k 2+16a 2(3―k 2)>0，即k 2<4. ∴k 2―3<1，∴4k2―3>4或4k2―3<0. 而x 1，x 2是方程的两根，∴x 1+x 2=2ak 3―k2，x 1x 2=―4a23―k2.∴·=(x 1，y 1―a )·(x 2，y 2―a )= x 1x 2+kx 1·kx 2=(1+k 2) x 1x 2=―4a2(1+k2)3―k2=4a 2(1+4k2―3)∈(－∞， 4a 2)∪(20a 2，＋∞).故·PF 的取值范围为(－∞，4a 2)∪(20a 2，＋∞).(3) 设Q(x 0，y 0) (x 0>0，x 0>0)，则x 02―y023=a 2，即y 02=3(x 02―a 02).当QH ⊥x 轴时，x 0=2a ，y 0=3a ，∴∠QGH=π4，即∠QHG= 2∠QGH ，故猜想λ=2，使∠QHG=λ∠QGH 总成立.当QH 不垂直x 轴时，tan ∠QHG=―y0x0―2a ，tan ∠QGH= y0x0+a，∴tan2∠QGH=2tan ∠QGH 1―tan2∠QGH = 2y0x0+a 1―(y0x0+a ) 2= 2y0(x0+a)(x0+a)2―y0 2= 2y0(x0+a)(x0+a)2―3(x02―a02)=―y0x0―2a= tan ∠QHG .又2∠QGH 与∠QHG 同在(0，π2)∪(π2，π)内，∴2∠QGH=∠QHG .故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG 恒成立.【试题7】在直角坐标平面中，过点A 1(1，0)作函数f (x )=x 2(x >0)的切线l 1，其切点为B 1(x 1，y 1)；过点A 2(x 1，0)作函数g (x )=e x (x >0)的切线l 2，其切点为B 2(x 2，y 2)；过点A 3(x 2，0)作函数f (x )= x 2(x >0)的切线l 3，其切点为B 3(x 3，y 3)；如此下去，即过点A 2k ―2(x 2k ―2，0)作函数f (x )=x 2(x >0)的切线l 2k ―1，其切点为B 2k ―1 (x 2k ―1，y 2k ―1)；过点A 2k ―1 (x 2k ―1，0)作函数g (x )= e x (x >0)的切线l 2k ，其切点为B 2k (x 2k ，y 2k )；…. (1)探索x 2k ―2与x 2k ―1的关系，说明你的理由，并求x 1的值； (2)探索x 2k ―1与x 2k 的关系，说明你的理由，并求x 2的值； (3)求数列{x n }通项公式x n ；(4)是否存在实t ，使得对于任意的自然数n 和任意的实数x ，不等式1x2+1+ 2x4+1+3x6+1+…+n x2n+1≤3tx 4―4tx 3―12tx 2+33t ―6t恒成立？若存在，求出这样的实数t 的取值范围；若不存在，则说明理由.【猜题理由】本题以导数为背景，命制出数列与函数、导数、不等式的综合试题，重点考查数列的基本思想方法，综合较强，与高考的压轴题的难度相当，具有较强的预测性.【解答】（1）∵f ノ(x )=2x ，∴切线l 2k ―1的方程为y ―x 2k ―12=2 x 2k ―1(x ―x 2k ―1)，又切线l 2k ―1过点A 2k ―2(x 2k ―2，0)，∴0―x 2k ―12=2 x 2k ―1(x 2k ―2―x 2k ―1)，且x 2k ―1>0，∴x 2k ―1=2 x 2k ―2.∴x 1=2. (2)又g ノ(x )=( e x ) ノ= e x ，∴切线l 2k 的方程为y ―ekx 2=ekx 2(x ―x 2k )，而切线l 2k 过点A 2k ―1(x 2k ―1，0)，∴0―ekx 2= ekx 2(x 2k ―1―x 2k )，且x 2k >0，∴x 2k = x 2k ―1+1. ∴x 2=x 1+1=3.(3)由(1) (1)可知x 2k = x 2k ―1+1 = 2x 2k ―2+1，即x 2k +1= 2(x 2k ―2+1)，∴数列{x 2k +1}为等比数列，且首项为4，∴x 2k +1=4×2k ―1，即x 2k =2k +1―1.而x 2k ―1=2 x 2k ―2=2(2k ―1)= 2k +1―2，故数列{x n }通项公式为x n =⎩⎪⎨⎪⎧223+n ―2 (n 为奇数)，222+n ―1 (n 为偶数).(4) (理)令S n =1x2+1+ 2x4+1+3x6+1+…+n x2n+1= 122+223+324+…+n 2n+1， ∴12S n = 123+224+325+…+n2n+2，两式相减得12S n = 122+123+224+325+…+n 2n+1―n 2n+2 = 14[1―12n ]1―12―n 2n+2 = 12(1―12n )―n2n+2，∴S n =1―12n ―n 2n+1 =1―n+22n+1.∴S n +1― S n =(1―n+32n+2)―(1― n+22n+1)=n+12n+2>0，∴数列{ S n }递增.又当n ≥6时，2n +1=2(1+1) n =2(1+C 1n +C 2n +C 1n +C 3n +…+C n―3n +C n―2n +C n―1n +C n n )>4(1+C 1n +C 2n )>2(n 2+n )，∴0<n+22n+1<n+22(n2+n)，而lim n→∞n+22(n2+n)=0，∴lim n→∞S n =1. 令h (x )= 3tx 4―4tx 3―12tx 2+33t ―6t，则h ノ(x )= 12t (x 3―x 2―2x )= 12tx (x +1)(x ―2)，∴当t <0时，h (x )在(―∞，―1)和(0，2)上递增，在(―1， 0)和(2，+∞)上递减，此时不存在这样的实数t . 当t >0时，h (x )在(―∞，―1)和(0，2)上递减，在(―1， 0)和(2，+∞)上递增， ∴h (x )在x =―1或x =2处取得极小值，而h (―1)=―5t +33t ―6t ，h (2)=―32t +33t ―6t ，∴h (x )min = t ―6t.∴对于任意的自然数n 和任意的实数x 不等式恒成立等价于t ―6t ≥1，而t >0，所以有t 2―t ―6≥0，解得t ≥3或t ≤―2 (舍). 故存在这样的实数t ，其取值范围为t ≥3. 【试题8】右图是某计算机的程序框图. (1)求打印出来的x 的值； (2)求打印出来的z 的值；(3)若将程序框图中的语句(9)“n =2007?”改为“z ≥1?”，则张三同学说这是死循环(即一直无限的算下去而没有结果)，而李四说不会是死循环，你认为哪个同学说的正确？并说出你的理由.【猜题理由】本题以程序框图作背景，情景新颖，而且体现了新课标的理念，与新课标联系紧密，是新课程教材（现行教材）向新课标教材过渡时期的优秀试题.【解答】(1)从数列角度来看，语句(4)(即“x =x +3”) 可以理解为x n +1=x n +3(其中n ∈N *)，语句(6)（即“x =4x ”）可以理解为x n +1=4x n (其中n ∈N )，而语句(2)～(6)是一个小循环，执行的程序是x n +1=⎩⎨⎧xn+3 (n=2k―1)，4xn (n=2k)，(k ∈N). 同理语句(2)～(9)是一个大循环，其终止条件为“n =2007”.于是问题转化为：在数列{x n }中，x 1=4，x n +1=⎩⎨⎧xn+3 (n=2k―1)，4xn (n=2k)，(k ∈N)，求x 2007.∴x 2n +2= x 2n +1+3=4 x 2n +3，即x 2n +2+1=4 x 2n +4=4 (x 2n +1)，令a n = x 2n +1，则a n =1=4a n ，∴数列{ a n }为等比数列，且a 1=x 2+1=(x 1+3)+1==8，∴a n ==8×4n ―1=2×4n .故x 2n =2×4n ―1，∴x 2n ―2=2×4n ―1―1，∴x 2n ―1=4 x 2n ―2=4(2×4n ―1―1)= 2×4n ―4. 故x 2007= x 2×1004―1= 2×41004―4= 22009―4，即打印出来的x 的值为22009―4.(2)由于经过语句(2)～(7)的小循环后，n 为偶数才执行语句(7)(即“y =y +4”)，从数列角度来看，它可以理解为y 2n +1=y 2n ―1+2(其中n ∈N *).令b n = y 2n ―1，则b n +1=b n +2，数列{b n }为等差数列，且b 1= y 1=2，∴b n ==2+2(n ―1) =2 n . ∴y 2n ―1=2 n . 此时语句(8) (即“z = z +y x+4”)执行的程序是z 2n +1= z 2n ―1+y2n+1x2n+1+4. 于是令c n =y2n―1x2n―1+4，则z 2n ―1为数列{c n }的前项和，∴z 2n ―1=y3x3+4+y5x5+4+…+y2n―1x2n―1+4 =242+343+…+n4n，两边同乘以14得 14z 2n ―1= 243+344+…+n―14n +n 4n+1，两式相减得 34z 2n ―1= 242+143+144+…+14n ―n 4n+1 =142+ 116(1―14n―1)1―14―n 4n+1 =142+ 112(1―14n―1)―n 4n+1= 748―3n+13×4n，∴z 2n ―1=736―12n+49×4n. 故z 2007=z 2×1004―1=736―30139×22006，即打印出来的x 的值为736―30139×22006. (3)由于对于任意的自然数n ，都有z 2n ―1= 736―12n+49×4n<1，即不存在自然数n ，使得z 2n ―1≥ 1. 所以张三同学说的是对的.1．设()f x 的定义域为(0,)+∞,()f x 的导函数为()f x ',且对任意正数x 均有()()f x f x x'>， (Ⅰ) 判断函数()()f x F x x=在(0,)+∞上的单调性； (Ⅱ) 设1x ，2x (0,)∈+∞，比较12()()f x f x +与12()f x x +的大小，并证明你的结论；（Ⅲ）设1x ，2x ，n x (0,)∈+∞，若2n ≥，比较12()()()n f x f x f x +++与12()n f x x x +++的大小，并证明你的结论. 解：(Ⅰ)由于()()f x f x x '>得，()()0xf x f x x'->，而0x >，则()()0xf x f x '->，则()F x '=2()()0xf x f x x '->，因此()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数. (Ⅱ)由于1x ，2x (0,)∈+∞，则1120x x x <<+，而()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数，则112()()F x F x x <+，即112112()()f x f x x x x x +<+，∴121112()()()x x f x x f x x +<+（1），同理 122212()()()x x f x x f x x +<+（2）（1）+（2）得：12121212()[()()]()()x x f x f x x x f x x ++<++，而120x x +>，因此 1212()()()f x f x f x x +<+.（Ⅲ）证法1: 由于1x ，2x (0,)∈+∞，则1120n x x x x <<+++，而()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数，则112()()n F x F x x x <+++，即121112()()n nf x x x f x x x x x +++<++， ∴ 121112()()()n n x x x f x x f x x x +++>+++ 同理 122212()()()n n x x x f x x f x x x +++>+++……………1212()()()n n n n x x x f x x f x x x +++>+++以上n 个不等式相加得：12121212()[()()()]()()n n n n x x x f x f x f x x x x f x x x +++++>++++++而120n x x x +++>12()()()n f x f x f x ++>12()n f x x x +++证法2：数学归纳法（1）当2n =时，由（Ⅱ）知，不等式成立；（2）当n k =(2)n ≥时，不等式12()()()n f x f x f x ++>12()n f x x x +++成立，即12()()()k f x f x f x ++>12()k f x x x +++成立，则当1n k =+时， 121()()()()k k f x f x f x f x ++++>12()k f x x x ++++1()k f x +xOF 2F 1PBAC再由(Ⅱ)的结论, 12()k f x x x ++++1()k f x +121[()]k k f x x x x +>++++12()k f x x x ++++1()k f x +121()k k f x x x x +>++++因此不等式12()()()n f x f x f x ++>12()n f x x x +++对任意2n ≥的自然数均成立.2．设椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两焦点坐标分别为F 1（4,0)-和F 2(4,0)，它与x 轴的两交点分别为A 、B ，点P 为椭圆上一点，若F 1P ⊥PF 2，5tan 2APB ∠=-，求椭圆方程. 解：由于∠F 1PF 2=900，则222212121212()2F F PF PF PF PF PF PF =+=+-，∴22122322PF PF a b =-=，设点P (,)x y 在第一象限，则2121121122PF F S PF PF F F y ∆==⨯ ∴24b y =，由于tan AC a xAPC PC y+∠==，tan CB a xCPB PC y-∠==，∴2222222tan 2tan()1a x a xay y y APC CPB a x x y a y α+--=∠+∠==-+--而22221x y a b+=，∴22222a y x a b =-22222222222225tan 822(1)aya ab ab ab APB a x y ac y y b yb∠====-=-=-+--- ∴ 5a =，故所求的椭圆方程为221259x y +=.(一)设U 为全集，A 、B 是U 的两个子集，则与集合一定相等的是（）(A)A ∩B (B)A ∪B (C) (D)(理由)：摩根公式：在教材中虽未指出，但多次出现，以培养学生的发现能力、观察能力，意在考查集合的子、交、并、补、韦恩图等概念，以及灵活的解题能力。

2006年高考理科数学摸拟试题解析样本20

2006年高考理科数学摸拟试题解析样本20本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ卷(非选择题共90分)，考试时间120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知f (x )=sin x +cos x ，则f (12π)的值为 A.26B.21 C.23 D.22 2.若a 1＜b1＜0，则下列结论不正确的是 A.a 2＜b 2B.ab ＜b 2C.baa b +＞2D.｜a ｜+｜b ｜＞｜a +b ｜3.已知a ，b ，c 为任意非零向量，下列命题中可作为a =b 的必要不充分的条件是 ①|a |=|b |；②(a )2=(b )2；③c ²(a －b )=0. A.①② B.②③ C.①②③ D.①4.从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边(可以不相邻)，则所有不同排法种数是A.36B.72C.144D.2885.正项等比数列｛a n ｝满足：a 2²a 4=1，S 3=13，b n =log 3a n ，则数列｛b n ｝的前10项的和是A.65B.－65C.25D.－256.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的长轴被圆x 2+y 2=b 2与x 轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是A.21 B.22 C.33 D.322 7.甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为51、31、41，现三人各投篮一次至少有1人命中的概率为A.601B.6047C.53D.6013 8.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为A.3πB.23π C.25πD.3π9.如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，底面边长为1，侧棱长为2，E 为BB 1中点，则异面直线AD 1与A 1E 所成的角为A.arccos510 B.arcsin510 C.90°D.arccos1010 10.已知，命题p :x +x1的最小值是2，q :(1－x )5的展开式中第4项的系数最小，下列说法正确的是A.命题“p 或q ”为假B.命题“p 且q ”为真C.命题“非p ”为真D.命题q 为假11.已知f (x )为奇函数，周期T =5，f (－3)=1，且tan α=2，则f (20sin αcos α)的值为 A.1 B.－1 C.2 D.－212.已知f (x )=3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则F (x )=［f －1(x )］2－f －1(x 2)的值域为A.［2，5］B.［1，+∞）C.［2，10］D.［2，13］第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_________.14.已知函数y =f (x )的反函数f －1(x )=log8sinπ(x －cos 28π)，则方程f (x )=1的解是_________.15.对于实数x 、y ，定义新运算x *y =ax +by +1，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若3*5=15，4*7=28，则1*1=_________.16.设α、β表示平面，l 表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实： ①l ⊥α;②l ∥β;③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是_________.(要求写出所有真命题)三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且4sin 22C B +－cos2A =27， (1)求∠A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值. 18.(本小题满分12分)数列｛a n ｝中，a 1=1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2=a n (S n －21). (1)求S n 的表达式； (2)设b n =12+n S n，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 19.(本小题满分12分)如图，正三角形ABC 与直角三角形BCD 成直二面角，且∠BCD =90°，∠CBD =30°.(1)求证：AB ⊥CD ；(2)求二面角D —AB —C 的大小； (3)求异面直线AC 和BD 所成的角. 20.(本小题满分12分)在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(七天)涨价2元，5周后保持20元的价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P 与周次t 的函数关系.(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q =－0.125(t －8)2+12，t ∈［0，16］，t ∈N .试问：该服装第几周每件销售利润L 最大？21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2－1(x ≥1)的图象是C 1，函数y =g (x )的图象C 2与C 1关于直线y =x 对称. (1)求函数y =g (x )的解析式及定义域M ； (2)对于函数y =h (x )，如果存在一个正的常数a ，使得定义域A 内的任意两个不等的值x 1，x 2都有|h (x 1)－h (x 2)|≤a |x 1－x 2|成立，则称函数y =h (x )为A 的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y =g (x )是M 上的利普希茨Ⅰ类函数；(3)设A 、B 是曲线C 2上任意不同两点，证明：直线AB 与直线y =x 必相交.22.(本小题满分14分)椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率e =32，过点C (－1，0)的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且C 分有向线段的比为2.(1)用直线l 的斜率k (k ≠0)表示△OAB 的面积; (2)当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.解析：f (x )=2sin(x +4π)， ∴f (12π)=2sin 3π=26. 答案：A 2.解析：由a 1＜b1＜0，得b ＜a ＜0. ∴|a |+|b |=|a +b |，∴D 不正确. 答案：D3.解析：由a =b 可推得①②③均成立，而由①②③均推不出a =b 成立，∴选C. 答案：C4.解析：C 24A 44÷A 22=72. 答案：B5.解析：a 32=a 2a 4=1，∴a 3=1.设{a n }的公比为q1，则 S 3=q 2+q +1=13，解得q =3，∴公比为31. a n =a 3(31)n －3=(31)n －3， ∴b n =log 3(31)n －3=3－n .∴{b n }是等差数列，其前10项和为2)72(10-=－25. 答案：D6.解析：由题意知a －b =2b ，∴a =3b ，c =22b ，∴e =322=a c .答案：D7.解析：甲、乙、丙三人均未命中的概率为 (1－51)(1－31)(1－41)=52， ∴甲、乙、丙三人至少有1人命中的概率为1－52=53. 答案：C8.解析：将正四面体补成正方体，由正四面体棱长为1，可得正方体棱长为22，正四面体的外接球也就是正方体的外接球，其直径2r 等于正方体的对角线长22²3=26. ∴r =46，∴外接球表面积为4πr 2=23π. 答案：B9.解析：取CC 1中点F ，连结D 1F 、AF ，则∠AD 1F 是AD 1与A 1E 所成角，易得AD 1=5，D 1F =2，AF =3， ∴∠AFD 1=90°. cos AD 1F =51011=AD F D . 答案：A10.解析：∵x 可取负值，∴命题p 为假，∴非p 真，故选C. 答案：C11.解析：由tan α=2，得sin2α=54， f (20sin αcos α)=f (10sin2α)=f (8)=f (3)=－f (－3)=－1. 答案：B12.解析：∵f (x )图象过点(2，1)，∴32－b =1，∴b =2.∴f (x )=3x －2，∴f －1(x )=log 3x +2(1≤x ≤9). ∴f －1(x 2)中，x 2∈［1，9］. ∴x ∈［－3，－1］∪［1，3］， ∴F (x )定义域为［1，3］，而F (x )=(log 3x +2)2－(log 3x 2+2)=(log 3x +1)2+1. ∵log 3x ∈［0，1］，∴F (x )∈［2，5］. 答案：A二、填空题(每小题4分，共16分)13.60° 14.x =2 15.－11 16.①②⇒③，①③⇒②三、解答题(17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分)17.解：(1)由4sin 22C B +－cos2A =27及A +B +C =180°，得2［1－cos(B +C )］－2cos 2A +1=27， 4(1+cos A )－4cos 2A =5.∴4cos 2A －4cos A +1=0，∴cos A =21. ∵0°＜A ＜180°，∴A =60°.6分(2)由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+.∵cos A =21，∴bc a c b 2222-+= 21，∴(b +c )2－a 2=3bc .将a =3，b +c =3代入上式得bc =2. 由⎩⎨⎧==+23bc c b 得⎩⎨⎧==.2,1c b 或⎩⎨⎧==.1,2c b12分18.解：(1)n ≥2，S n 2=(S n －S n －1)(S n －21)， ∴S n =1211+--n n S S ，即n S 1－11-n S =2(n ≥2). ∴n S 1=2n －1，∴S n =121-n .6分(2)b n =)121121(21)12)(12(112+--=-+=+n n n n n S n ， T n =21 (1－31+31－51+51－71+…+121-n －121+n ) =21 (1－121+n ). 12分19.(1)证明：∵平面ABC ⊥平面BCD ，且∠BCD =90°， ∴CD ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥AB . 3分 (2)解：过点C 作CM ⊥AB 于M ，连DM ，由(1)知CD ⊥平面ABC ， ∴DM ⊥AB .∴∠CMD 是二面角D —AB —C 的平面角.设CD =1，由∠BCD =90°，∠CBD =30°，得BC =3，BD =2.∵△ABC 为正三角形，∴CM =23BC =23.∴tan CMD =32=CM CD ，∴∠CMD =arctan 32. ∴二面角D —AB —C 的大小为arctan32. 7分(3)解：取三边AB ，AD ，BC 的中点M ，N ，O ，连AO ，MO ，NO ，MN ，O D. 则OM21AC ，MN 21B D. ∴直线OM 与MN 所成的锐角或直角就是直线AC 和BD 所成的角. ∵△ABC 为正三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥平面BCD ，∴△AOD 是直角三角形，ON =21AD ，又∵CD ⊥平面ABC ，∴AD =1322+=+CD AC =2.在△OMN 中，OM =23，MN =1，ON =1， cos NMO =4321=MN MO. ∴直线AC 和BD 所成的角为arccos43. 12分20.解：(1)P =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+.1611 240,105 20,50 210t t t t t6分(Ⅱ)P －Q =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤+.1611 36481,105 16281,50 681222t t t t t t t tt =5时，L max =981，即第5周每件销售利润最大. 12分21.解：(1)由y =x 2－1(x ≥1)，得y ≥0，且x =1+y ，∴f －1(x )=1+x (x ≥0)，即C 2：g (x )=1+x ，M ={x |x ≥0}.4分(2)对任意的x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2，则有x 1－x 2≠0，x 1≥0，x 2≥0. ∴|g (x 1)－g (x 2)|=|11+x －12+x |=11||2121+++-x x x x ＜21|x 1－x 2|.∴y =g (x )为利普希茨Ⅰ类函数，其中a =21. 8分(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线C 2上不同两点，x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2. 由(2)知|k AB |=|2121x x y y --|=|||)()(|2121x x x g x g --＜21＜1.∴直线AB 的斜率k AB ≠1.又∵直线y =x 的斜率为1，∴直线AB 与直线y =x 必相交.12分22.解：(1)设椭圆E 的方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0)，由e =32=a c . ∴a 2=3b 2，故椭圆方程x 2+3y 2=3b 2.2分设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由于点C (－1，0)分有向线段的比为2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x ，即⎩⎨⎧-=+-=+.2),1(212121y y x x由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2－3b 2=0. 4分由直线l 与椭圆E 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2) 两点，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+-=∆.1333,136,0)23)(13(4362222122212224k b k x x k k x x b k k k而S △OAB =21|y 1－y 2|=21|－2y 2－y 2| =23|y 2|=23|k (x 2+1)|= 23|k ||x 2+1|. ⑥由①④得:x 2+1=－1322+k ，代入⑥得：S △OAB =13||32+k k (k ≠0).8分(2)因S △OAB =13||32+k k =||||33k k +≤323=23，①②③④ ⑤当且仅当k =±33，S △OAB 取得最大值. 此时x 1+x 2=－1，又∵3221x x =－1， ∴x 1=1，x 2=－2. 将x 1，x 2及k 2=31代入⑤得3b 2=5. ∴椭圆方程x 2+3y 2=5.14分。

2006年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷数学(理工农医类)

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（理工农医类）乖试卷分第；卷（１选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分。第ｌ１２．筇 Ⅱ卷３卷到贞；；０：
注意事项：
则０＋０。的取值范围是（
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第Ⅱ 卷得分裹
维普资讯
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第１卷答题卡
题号１２３４６７８９１ｌ０】１第１２卷得分
２００６年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷
Ａ．＝一２．＝４口ｂＣ．口＝一２．＝一４ｂ
Ｂ．＝２．＝一４ Ⅱ ｂＤ．＝２，＝４口ｂ
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５．已知２Ｎ角一＾．ｆ卢为直面角．， ∈ 线段Ａ Ⅳ一ＡＥＢＢ与平而、所戚的角分别为卢
（）３如果事件Ａ在一次试验中发生的概书是Ｐ那么在４，次独立重复试验中恰好发生次
８ “ ＜口≤ｉ ” 函数，）＝．０ｌ是“ （
＋（一）２区间（，］２１＋在一４上为减函数”的（
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１设（ＩＶ－（（】５，）－１Ｘ０要使．』／
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）一，）内连续，实数的值在（＋则
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2006高考数学模拟试卷

2006高考数学模拟试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|a-2≤x≤a+1},B={x|2<x<4},能使A B 成立的实数a 的取值范围是（） A ．{a|3<a<4} B ．{a|3≤a<4} C ．{a|3<a≤4} D ．{a|3≤a≤4}2. 已知f(x+2)是偶函数，则y=f(2x)的图像的对称轴是（） A ．x=-1 B ．x=1 C ．x=2 D ．x=-23．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（0，+∞） D ．（1，+∞） 4．关于等比数列{a n }给出下述命题：（1）数列a n =10是公比q=1的等比数列；（2）;,224+++=+∈n n n a a a N n 则（3）;,,,,,q p n m a a a a q p n m N q p n m ⋅=⋅+=+∈+则（4）S n 是等比数列的前n 项和，则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列，其中的真命题是（） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④5．已知x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥--,012,01,01y x y x y x 则z=20-2y+x 的最大值是（）A ．21B ．23C ．25D ．276．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高AA 1=3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 所角的正弦值等于（） A ．54 B ．53C ．522D ．5237．一组数据8,12，x ，11，9的平均数是10，则这样数据的方差是（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．228．函数f(x)=4x 4-2x 2+6的单调递增区间是（） A ．]1,0[]1,(和--∞ B ．)0,1(- C ．],1[]0,1[+∞⋃- D ．[0，1]9．复数iz +=11的辐角主值是（） A ．4πB ．43πC ．45πD ．47π10．已知)cos ,(cos ),cos ,sin 3(x x b x x a ωωωω==，记函数f(x)=a ·b ，且f(x)的最小正周期是π，则ω=（）A ．ω=1B ．ω=2C ．21=ωD ．32=ω11．给出三个条件：①xt 2>yt 2; ②ty t x >; ③x 2>y 2其中能分别成为x>y 的充分条件的是（）A ．①②③B ．②③C ．③D ．①12．双曲线14322=+-y k x 的离心率e<2，则k 的取值范围是（） A ．k<3 B ．-9<k<3 C ．-3<k<3 D ．-57<k<3第II 卷（非选择题共90分）二、填空题本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上。

06年数学高考模拟试题(2).doc

06年数学高考模拟试题(2)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．（1）与向量(12,5)a =平行的单位向量为（）A ．125(,)1313-B ．125(,)1313--C ．125(,)1313或125(,)1313--D ．125(,)1313±±（2）函数2log (2)y x =+的定义域为（）A.．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(,1][3,)-∞-+∞C ．(2,1]--D ．(2,1][3,)--+∞（3）某地区高中分三类：A 类校共有学生4000人，B 类校共有学生2000人，C 类校共有学生3000人。

现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A 类校抽取的试卷份数应为（）A ．450份B ．400份C ．300份D ．200份（4）已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的一个必要条件是（）A ．m ∥α，n ∥α Ｂ．m ⊥α，n ⊥α C ．m ∥α，n ⊂α D ．m 、n 与α成等角（5）若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（）A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(（6）设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（）A ．2 B ．12C D （7）若函数y =f (x ) (x ∈R )满足f (x +2)=f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )=|x |．则函数y =f (x )的图象与函数y =log 4|x |的图象的交点的个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8 （8）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是（）A ．112 B ．4 C ．92D ．5 （9）已知函数()y f x =的图象与函数21xy -=-的图象关于直线y x =对称，则(3)f 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（10）能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（）A ．2C ．3 D．（11）关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是（） A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B ．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞)（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）A.180B.196C.210D.224第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）如图，已知点E 是棱长为2的正方体1AC 的棱1AA 的中点，则点A 到平面EBD 的距离等于_____________．（14）若123n a n =++++，则数列1{}na 的前n 项和n S =_____________．（15）已知1sincos,222θθ+=则cos2θ= ．（16）有两个向量1(1,0)e =，2(0,1)e =，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = 秒．三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A 产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A 产品中有2件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．1A 1B 1C 1D DC BAE(18)(本小题满分12分)已知偶函数f (x )=cos θsin x －sin(x －θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ的最小值是0，求f (x )的最大值及此时x 的集合．(19) (本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA ==，90BAC ∠=，D 为棱1BB 的中点．（Ⅰ）求异面直线1C D 与1A C 所成的角；（Ⅱ）求证：平面1A DC ⊥平面ADC ．(20) (本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行．（I ）求f (x )的解析式；（II ）求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间。

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学预测试卷江苏卷及参考答案

★启封前绝密★2006年普通高等学校招生全国统一考试数学预测试卷(江苏卷)注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考试证号等填写清楚,并认真核准答题卡表头及答题纸密封线内规定填写或填涂的项目。

2.第I 卷选择题部分必须使用2B 铅笔填涂在答题卡上；II 卷非选择题部分必须使用0.5mm 黑色签字笔书写在答题纸上,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,书写不能超出横线或方格,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面和答题纸清洁,不折叠、不破损。

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟。

一、选择题:(本大10题小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

) 1.设集合M ＝｛x x ＜5＝,N ＝｛x x ＞3｝,那么“x ∈｛x x ∈M 或x ∈N ｝是“x MN ∈”的 AA.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件 2 .已知数列{a n }是等差数列,且a 3＋a 11＝50,又a 4＝13,则a 2等于 C A.1 B.4 C.5 D.63.若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边和最小边长度比为m ,则m 的范围是 BA.(1,2)B.(2,)+∞C.[)3,+∞D.(3,)+∞4.若ΔABC 中,三个内角A ＜B ＜C 成等差数列,则C A cos cos 的取值范围是 D A.]41,21(-B.]41,43[-C.)41,43(-D.)41,21(- 5.已知直线m,n 和平面α,则m ∥n 的一个必要非充分条件是DA.m ∥α、n ∥αB.m ⊥α、n ⊥αC.m ∥α、n ⊂αD.m 、n 与α成等角6、在直角坐标系中,函数223ax a y += )0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线,则箕舌线可能是下列图形中的 A7.设函数()y f x =满足(1)()1f x f x +=+,则方程()f x x =的根的个数是 CA.无穷个 B .有限个 C .没有或者无穷个 D .没有或者有限个 8.一个正方体,它的表面涂满了红色。

2006年上海普通高等学校招生考试数学模拟试卷

2006年上海市普通高等学校招生考试数学模拟试卷（三）、填空题（本大题满分 48分，每小题4分，共12小题）不等式(x-a)(x-b) °的解集是[_1,2] (3,=)，则不等式口 0的解x —c(x —a)(x —b)集为已知O 是坐标原点，经过 P （3,2）且与OP 垂直的直线方程是2 1 关于x 的方程x 2 -(2 • i)x • 1 • mi =0 (m • R)有一实根为n ，贝V m + ni若正整数 m 满足10md ：：：2512 ：：：10m ，则m =1已知函数 y =f '（x ）的图象过（1,0），贝U y=f （ x-1）的反函数的图象一定过2占八、、题作答，选甲题答对得 100分，答错得—100分；选乙题答对得 90分，答错得—90分. 若四位同学的总分为 0,则这4位同学不同得分情况的种数是10. 2004年元月9日，第十届全国运动会筹备委员会正式成立，由二名主任和组成主席团成员•若章程规定：表决一项决议必须在二名主任都同意，且副主任同意的人数超过半数才能通过•一次主席团全体成员表决一项决议，结果有 1 的面积为-，则实数a 二 .412•某纺织厂的一个车间有 nn ・7, n ・N 台织布机，编号分别为间有技术工人n 名，编号分别为1, 2, 3，…，n 。

定义记号a ij ,如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a j -1,否则a j =0。

例如第3号织布机有且仅有一个人操作，则a 13 a 23 -a 3^' ■ a n3 =1，那么，7号工人操作了二台机器，请用一个等式来表示1. 复数的共轭复数是1 +2i3.4.5. 函数y 二sin 4 x cos 2 x 的最小正周期为6. 若规定a 2 bc ac cd ab +bd be +d 2』，计算:9. 四位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定: 每位同学必须从甲•乙两道题中任选6名副主任6人同意，则决议通过的概率是（结果用分数表示）11 •若A,B 分别是椭圆 2 a 2 +12-—y 2 =1 (a 0)与x , y 正半轴的交点,F 是右焦点，且.AFB1, 2, 3，…，n ；该车二、选择题(本大题满分 16分，每小题4分，共4小题) 13.满足“对任意实数 x,y , f(x f(x) f(y)都成立”的函数可以是((A ) f(x)=3x(B) f(x)=log 3X (C) f(x) = x 3 (D)等式f (x 1^0的解集为((A ) [2,3] (D) (_：: , 一2] [ _1,：:)17. (本小题满分12分)・44・22求函数f (x)二sin x cosXsin xcosX 的最小正周期、最大值和最小值14.设 f (x)二ax 2 bx c ,若关于X 的不等式f(x —1)_0的解集为［0,1］,则关于X 的不f (x) Jx(C ) [ -2, -1]15•已知惊［是单调增的等比数列, q 为公比•若印=2., 3 -3., 2，则((A ) q 1(B) 0 ■ q ：：：1 (C) _1 ：：： q :：: 0(D ) q -1 16.若 a 、b R ，且 a -b =1, 则 a 2 b 2 ((A )既有最大值，也有最小值; (B )有最大值，无最小值; (C )有最小值，无最大值;(D )既无最大值，也无最小值。