八年级第五讲有条件的分式的化简与求值

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分式的化简与求值

分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1分式和分式方程的定义。

2、分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。

3、注意整体代入的思想方法。

1学会x的应用。

4、学会等比设k 法的应用。

5、x(4)(1 )要使分式A. X1——有意义，则x 1B. xx应满足的条件是(2)(3)A.(2009年吉林省)化简x 2化简B.亠x 2时,C. x分式一1—无意义.x 2xy 2y4x-的结果是(4C. D.3x 22x 5x 6 2 x 4x 3(5)b2bD. x 12 2a b24ab 4b例3. (1)已知1 13，求分式2a 3ab 2b的值。

a b a ab ba2 2ab 3b22，求二2a2 6ab 7b2的值。

例8 .已知a 、 c 满足ab1 _b^ 3，b c1 ca 4‘c a1abc，求分式的值。

例5 .已知ab-b c d例4 .已知：X 1xy 2 2 0，试求丄xyIII1 x 2000 y 2000的值。

的值。

例6. 已知4x(x24)AxBx CC，则A4,B,C2 x例7. 若x1x 3，求4 x2x2 x的值。

12、选择题1•将分式中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（x y结果是( )a 1A 、x6. 使分式有意义的2x 4=2 工 2 C.x= -27. 下列等式成立的是（a b 的值为 _________________A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变;D 、无法确定;3•计算的正确结果是4.若 x 2 0,则2.3 2 2 .的值等于（（X 2 X ）2 1 3B.C. .3D. .3 或35•某人上山和下山走同一条路，且总路程为 =千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为a b 2ab A. B.2 aC. b ( aba bD.)2s a bA. (-3 )-2=-9 B. ( -3 )-2=丄 C.912\a )2=a 14已知 a 2 6a9与b 1互为相反数,则式子练习a 2的取值范围是（3 19.方程——的解是 __________________2x x 32x m 10、当m时, 关于 x 的分式万程1无解x 311、若关于x 的方程 x 2 m无解，则m 的值是()x 2x 2=-4 B. m=-2C.m=-4 =212、若关于x 的分式方程 —a -1无解，则a 的值为（）x 1 xA. 1或-2D. 无法确定13. 某服装厂准备加工 400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%结果共用了 18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为二、计算22(x 1) 2x1 1 2.已知丄丄b a(1)2x 2x 31 2x 3(2)x1)2 A.型x400 (1 20%)x 18160 400 160(1 20%) x 18400 16020%x18D.400400 160 (1 20%) x18(3)(4)1x 22 x试求的值;2ab b3.已知x , y , z 均不为0，且满足4x 3y 6z 0 , x 2y 7z0，求尊黑罷2x 5y 7 z 之值。

八年级数学培优——分式的化简求值与证明

第15讲分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，可直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷∙++++，其中a ＝02．已知x ＝2y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--∙-⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x ＋1y＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【变式题组】01．已知1a －1b ＝4，则2227a ab b a b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ．215D ．27- 02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy y x y xy +++值. 03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z++++的值.【例3】已知231x x x -+＝1，求24291x x x -+的值.【变式题目】01．若x ＋1x ＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a ++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abc ab ac bc ++的值.【变式题组】01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝. 02．已知xy x y +＝2，xz x z +＝3，yz y z+＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b+，求()()()a b c b a c abc +++的值.【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x ＝3y z -＝5z x +，则52x y y z-+的值为（） A ．1 B ．13C ．13-D ．1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b c a -++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝1【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ．72C ．1 D ．1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x－1x＝3，那么多项式x3－x2－7x＋5的值是（）A．11 B．9 C．7 D． 502．若M＝a＋b,N＝a－b,则式子M NM N+-－M NM N-+的值是（）A．22a bab-B．222a bab-C．22a bab+D． 003．已知5x2－3x－5＝0，则5x2－2x－21525x x--＝.04.设a＞b＞0,a2＋b2－6ab＝0，则a bb a+-＝.05.已知a＝1＋2n,b＝1＋12n，则用含a的式子表示b是.06. a＋b＝2,ab＝－5,则b aa b+＝.07.若a＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b＝－534⎛⎫⎪⎝⎭,c＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a、b、c用“＜”连接起来为.08.已知1nm-⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m nm n m n m n+-+--值为.09.若2x＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y的值为.10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∙-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为.11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中xy ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝213．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A B x x x x -=+---+，求常数A 、B 的值.15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.。

第五讲分式

第五讲分式一、知识要点回顾：1、分式：（1）定义：分母中含有的式子。

（2）分式有意义的条件是无意义的条件是，分式值为0的条件是2、分式的基本性质（1）MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=；（2）分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=--；确定公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母中相同的字母因式的最低次幂. 3、约分：把分子与分母中公因式约去。

4、分式的乘除主要步骤：把分子和分母中能分解因式的先分解，再把能分子和分母中的公因式约分，最后根据分式的乘除法则运算5、整数指数幂的运算法则同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a a a a m n m n m nm n=≠>-()其中，、为正整数，0零次幂和负整数指数幂（1）如果a ≠0，则a 0＝1 即：任何不等于零的数的零次幂都等于1。

（）（，为正整数）2110a a a a n n n n -==≠()6、整数指数幂的运算法则（1）同底数幂相乘：a a a a m n m n m n⋅=≠+()0，、为整数（2）幂的乘方：()()a a a m n m n mn =≠0，、都为整数（3）积的乘方：()()ab a b a b n n n n =≠≠00，，为整数（4）同底数幂相除：a a a a m n m n m n÷=≠-()0，、为整数（5）商的乘方： ()()a b a b b a n n nn =≠≠00，，为整数7、科学记数法（1）用科学记数可以把绝对值较小于1的数表示成：a ×10-n（1≤|a|<10，n 为正整数）的形式。

（2）确定n 的具体数值，通常从小数点往后至第一个不为零的数字上，所有零的个数，包括小数点前面的那个零。

8、分式的加减（1）确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.（2）分式的通分的步骤：先确定各分母的最简公分母，再确定各分母所乘的因式，最后利用分式的基本性质将分子也乘相同的因式。

条件分式的化简与求值

条件分式的化简与求值二、方法剖析与提炼例1. 当a=20161时，求的值．【解答】先将所求代数式进行化简将a=20161代入上式得：原式=a=20161. 【解析】化简所求代数式，有括号先去括号，括号里中是分式的减法运算，对于这种异分母分式相减，通分后再利用同分母分式相加减的运算.遇到分式相除，先转化成乘法运算，然后进行计算.【解法】代入法，分式的加减乘除法，因式分解法.【解释】若直接把a=20161直接代入所求的代数式中，计算相当复杂.正面突破发现困难时，不妨从逆向思考，对所求的代数式进行化简.在化简过程中，此代数式属于代数式的混合运算，由括号时，一般先去括号，括号里涉及异分母分数相加减，通分是关键，化异分母为同分母，根据分式的基本性质.接下来是分式的除法运算，运用因式分解，化除为乘将问题迎刃而解.对于先化简后求值的问题时，要注意对所求代数式进行化简，先对括号里的异分母分式化为同分母，然后化除为乘.书写的格式. 当然，此题还可以先化除为乘，再利用乘法分配率进行化简.例2. 已知113,x y +=求323x xy y x xy y-+++的值. 【解答】（方法1）先将条件变形为31y x y =-.把31y x y =-代入所求代数式323x xy y x xy y -+++ 得 23331313131y y y y y y y y y y y -+--++-- 即323(31)71314y y y y -+-=++-. 【解析】条件113,x y +=若直接代入所求分式，感觉无从下手.这里的条件含有2个未知数，若将其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后将其代入，问题就迎刃而解了.【解法】分式的基本性质，代入法.【解释】（1）解答中的方法属于解这类问题的通法，当出现条件有两个字母时，通常用一个字母的代数式表示另一个字母，然后整体代入，最后利用分式的基本性质进行约分化简. 此题还可以通过以下两种方法解决，如：方法2：先将条件变形为x+y=3xy.所求代数式323x xy y x xy y -+++=(33)2()x y xy x y xy +-++=33277344xy xy xy xy xy xy ⨯-==+. 方法3：因为x ≠0,y ≠0，所以xy ≠0，所求代数式：11113233()2323332711113141()1x xy y y x y x x xy y y x y x-++--+⨯-====+++++++.（2）方法2与方法1类似，但方法2很巧妙，把x+y 用xy 表示，让问题变得更简洁，渗透了整体代入的思想方法.方法3直接将所求代数式进行化简，然后把已知条件整体代入.也是一种不错的方法.（3）这类题目比较特殊，若所求代数式323x xy y x xy y-+++变成423x xy y x xy y -+++，或条件变下，就不好求值了. 例3.（2020苏州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．【解答】当x=时，原式==．【解析】这个代数式涉及分式的加减，乘除，需要注意运算的顺序，本题中，有括号先算括号里的，然后计算除法，最后代入化简即可．【解法】因式分解法，约分，代入法.【解释】分式化简需要注意运算的顺序，一般情况下，有括号先算括号里的，对于异分母分式的加减需先通分.若分子，分母是多项式，通常需要进行因式分解，然后进行约分.先对括号里的代数式进行分式减法运算，然后化除为乘进行约分例4.若b ac a c b c b a +=+=+，则cb ac b a 322-+++= ． ( “希望杯”邀请赛试题)【解答】（1）设比值k,引入参数，即b a c a c b c b a +=+=+=k.则a=k(b+c),b=k(c+a),c=k(a+b)三式相加得a+b+c=2k(a+b+c).（2）当a+b+c ≠0时，利用比例性质，可得k=21)(2=++++c b a c b a .即c=)(21b a +,代入原式得.5)(23)(2122322-=+-++++=-+++b a b a b a b a c b a c b a .当a+b+c=0时，c=-(a+b),代入原式=41)(3)(22=++++-+b a b a b a b a .综合上述，可得cb ac b a 322-+++=-5或41. 【解析】（1）引入参数k ，利用参数寻找a 、b 、c 之间的关系．在得到等式a+b+c=2k(a+b+c)后，不要直接将等式的两边除以a+b+c ，因为此式可能等于0，因此这个时候需要对a+b+c 是否为0进行分类讨论.（2）将其中一个字母用另外两个字母的代数式来表示，然后代入所求分式，最后约分得到所求分式的值.【解法】设参数法，分类讨论法，整体代入法，分式的约分.【解释】（1）解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用可以直接运用，变形运用，综合运用，挖掘隐含条件．（2）将相等的比用一个参数表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.三、能力训练与拓展1.（2019温州）若分式32+-x x 的值为0，则x 的值是（） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．22.（2019台州）化简的结果是（） A ．﹣1 B ．1 C ． D ．3．（2019泰安）化简：÷﹣的结果为（） A ． B ． C ． D ．a4.（2019杭州）如图，设k=（a ＞b ＞0），则有（） A ．k ＞2 B ．1＜k ＜2 C ． D ．5.（2019宿迁）计算： = ．6．（2019枣庄）先化简，再求值2221()211a a a a a a+?-+-，其中a 是方程2x ²+x-3=0的解.7. 已知a b c 、、均为实数，且111,,,432ab bc ca a b b c a c ===+++求abc ab bc ca ++的值.答案1.D 【解析】对于分式BA ,当A=0且B ≠0时，分式的值为0，即x-2=0,此时x=2.2.D 【解析】对于分式222)(x y y x --，先对分子进行因式分解可得2)())((x y y x y x --+，然后将分母进行变形得.)()(,)())((2y x y x y x y x y x -+--+约分后得 3. C 【解析】观察这个代数式，属于分式的混合运算，先通过化除为乘，再进行约分 .原式222(2)(2)(1)2=(1)(2)2a a a a a a +-+?+--=22=222a a a a a +-=---. 4. B 【解析】图甲阴影部分的面积为22b a -，图甲阴影部分的面积为ab a -2所以a b a b a a b a b a ab a b a k +=--+=--=)())((222 ，很显然a b ＜,所以 a b a b a k +=+=1. 即1<k<2.5. 【解析】对于11x 2---x x x ，属于同分母分式相减，即原式=x x x x x x =--=--1)1(1x 2 6. 【解析】222(1)=21(1)a a a a a a a a +--¸-+-原式 2(1)(1)=(1)1a a a a a a +--+g 2=1a a - ∵a 是方程2x 2+x ﹣3=0的解.∴2230a a +-=得到：a 1=1，a 2=﹣，又10a -?即a ≠1，∴32a =当时，, 原式=23()9231012a -==---． 7. 【解析】（思路点拨）直接将条件111,,,432ab bc ca a b b c a c ===+++ 变形成ab=4(a+b),bc=3(b+c),ca==2(a+c)整体代入所求代数式，解决起来比较困难.若将每个式子取倒数得1111114,3, 2.a b b c a c+=+=+=即1119.2a b c ++=而所求代数式也取倒数得： 11192ab bc ac abc c a b ++=++=，所以29abc ab bc ca =++.。

专题复习分式的化简求值

专题复习：求代数式的值教学目标：（1）掌握求代数式的值的技巧，克服分式化简过程中的易错点，熟练准确地进行分式的化简；（2）熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法、以及整体代入思想，准确地求出代数式的值。

教学重点：熟练准确地进行分式的化简，会利用条件准确求出代数式的值教学难点：克服分式化简过程中的易错点，准确地化简分式。

一、课题引入（2分钟）教师课件展示：学习目标：（1）掌握求代数式的值的技巧，克服分式化简过程中的易错点，熟练准确地进行分式的化简；（2）熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法、以及整体代入思想，准确地求出代数式的值。

二、知识梳理：（4-5分钟）（教师请学生观察课件展示的题目，学生总结所涉及的知识和方法，教师板书）教师课件展示整理的知识与方法求代数式的值所涉及到的知识与方法有：（1）化简部分：其中有添括号、去括号的方法，因式分解，整式的运算法则；分式的通分、约分，分式的运算法则等。

（2）求值部分：涉及到解一元一次方程，分式方程，二元一次方程组，一元二次方程的解法，一元一次不等式及不等式组的解法与其整数解，整体代入法等 (0的正根。

2x ，其中x是方程x 44x x 4x x )x 2x 2x 1x （4）（2b a 4b a 足2b)，其中a、b满a 2b a 5b (2ab a 9b 6ab a （3）；3x 2x 1，x满足方程2x x 4)2x 12-2-(2)(x 1的最小整数解;3，其中x是不等式x 12x x 2x x )1x 2-x -x 1-x （1）到哪些知识与方法：下列求代数式的值会用222222222=--++-÷--+-⎩⎨⎧=-=+---÷-+-+=+-÷+->-++-÷+；三、典例分析：（8-10分钟）教师用投影仪展示学生的错误解答（2-3名）。

初中数学人教版八年级上册分式的化简求值与证明讲义

分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1．【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（）A ．－1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（） A ．－7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（） A ．－2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（） A ． 0 B ． 1 C ．－1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

初三复习分式的化简求值与分式方程

分式的化简求值与分式方程一、分式化简技巧1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。

2. 要注意运算顺序，先乘方、同级运算从左到右依次进行。

3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。

4. 注意分式化简题不能去分母.类型一、分式化简1、计算：2、化简:类型二、化简求值3、先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x 。

2、4、先化简，再求值：21121222+---÷+++x xx x x x x ，其中x=23-．2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭35(2)482y y y y -÷+---5、先化简，再求代数式的值．22+2(+)+111a a a a a ÷-+，其中2012(1)tan 60a =-+︒类型三、化简求值与不等式组6、先化简再求值：，其中x 是不等式组的整数解．类型四、化简求值，整体代入7、已知11)a b a b+=≠，求()()a b b a b a a b ---的值。

8、先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．二、分式方程技巧：解分式方程的步骤：1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘以最简公分母2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为13、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。

1、解方程：22333xx x -+=--2、解分式方程：163104245--+=--x x x x3、解方程：．课后练习1、解分式方程：212111xx x -=--2、化简，：，12111xx x -=--2211()22x yx y x x y x +--++3、在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了 200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图 6－5－7)，由此可知，B、C 两地相距多少米。

浅析有条件的分式化简与求值问题

浅析有条件的分式化简与求值问题342800　江西宁都三中　李雪樱解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标,又要抓住条件;既要根据目标变换条件,又要依据条件来调整目标,常常用到如下解题技巧.1　引入参数法此法的运用特点是当题目所给条件为连比等式的形式时,采用引入参数法进行转换1例1　已知a+b2=b-2c3=3c-a4,求5a+6b-7c8a+9b的值.分析　审视条件和待求式,设连比值为k,则a,b,c 分别能用参数k的倍数来表示,问题可迎刃而解.解　设a+b2=b-2c3=3c-a4=k,则a+b=2k,b-2c=3k,3c-a=4k,三式联立解方程组,得a=-115k,b=21 5k,c=35k.所以,5a+6b-7c8a+9b=5×(-11k5)+6×21k5-7×3k58×(-11k5)+9×21k5=50101.点评　通过引入参数k,将条件转化为方程组,然后用k分别表示a,b,c,代入分式中求解.通过引入参数,实现将多元(a,b,c)转变为一元(k)来求解,既有条不紊又方便快捷.例2　已知abc≠0,且a+bc=b+ca=c+ab,求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值.分析　审视条件和待求式,设连比值为k,则待求式等于k3,若能求出k,问题获解.解　设a+bc=b+ca=c+ab=k,则a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb,三式相加得2(a+b+c)=k(a+b+c),即(a+b+c)(k-2)=0,所以k=2或a+b+c=01当k=2时,(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c2a2babc=8;由a+b+c=0,得出k=a+bc=-1.∵a+bc=k,∴k=-11当k=-1时,(a+b)(b+c)(c+a)abc=(-c)(-a)(-b)abc=-1. 所以∠H MD=∠H MP+∠PMD=∠QBP+∠MBD +∠ACB=∠ABC+∠ACB=180°-∠A,易证∠QO P=180°-∠A,所以∠QO P=∠HMD1又因为△COP∽△BOQ,所以CPBQ =O POQ=MDH M1所以△QO P∽△HMD,由此可得∠OQ P=∠MH D,因为OQ⊥A B,∠OQ P+∠A Q P=90°,由H M∥BQ 得到∠A Q P=∠MHQ,所以∠MHD+∠MHQ=90°,即DH⊥PQ.从而问题得证.这种证明的方法是利用三角形的中位线和相似变换,简洁明了,方法更具有创新性,思维也更周密通过对问题证法的探求,我们不但发现了新的证法,而且对题目有了更深刻、更本质的认识和把握.不仅沟通了相似变换、全等变换、三角形、四边形等知识之间的联系,更可贵的是我们形成了解决中点类问题的方法和策略,体悟了运用数学方法解决规律性探索问题的策略,可谓一举多得1笔者想借用罗增儒教授的话结束本文:对“解题过程的反思”继续把解题活动作为认识的对象,不仅关注如何获得解,而且寄希望于对“解”进一步分析,增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质,学会“数学地思维”,重点在学会怎样解题.参考文献罗增儒.中学数学解题的理论与实际[M].广西:广西教育出版社,2008,9(收稿日期3)22　(2009年第6期初中版) 解题研究.:2009040 点评　本题引进参数k表示比值,一方面使已知条件便于使用,另一方面使待求式简化,一箭双雕.2　折项相消法此法的运用特点是题目中待化简式的全部或部分分式中,其分子或分母可以通过分解因式分拆为两项,使待化简式产生容易相抵消的某些项,从而简化求解过程.例3　化简分式2a 2+3a+2a+1-a2-a-5a+2-3a2-4a-5a-2+2a2-8a+5a-31分析　直接通分,则分子中a的次数最高可达到5次,运算将十分繁杂,显然不可取.审视各分式的结构,分子a的最高次数是分母次数的2倍,可将每一个分式拆分为两项,一项含其分母中的因式,一项为常数,以简化运算.解　原式=(2a+1)(a+1)+1a+1-(a-3)(a+2)+1a+2-(3a+2)(a-2)-1a-2+2(a-1)(a-3)-1a-3=[(2a+1)+1a+1]-[(a-3)+1a+2]-[(3a+2)-1a-2]+[2(a-1)-1a-3]=1a+1-1a+2+1a-2-1a-3=1(a+1)(a+2)+-1(a-2)(a-3)=-8a+4(a+1)(a+2)(a-2)(a-3).点评　拆分时要依据分母和分子中二次项的系数和一次项的系数进行;消减有关项后,巧用分组(两式相减且分母相差1)进而再通分,通过这种分步通分来简化运算.例4　化简1(x+2005)(x+2006)+1(x+2006)(x+2007)+1(x+2007)(x+2008)1分析　审视需要化简的式子结构,每个分式具有(+)的特征,而(+)=+,问题则迎刃而解解　原式=(1x+2005-1x+2006)+(1x+2006-1x+2007)+(1x+2007-1x+2008)=1x+2005-1x+2008=3(x+2005)(x+2008).点评　利用每个分式具有同一结构特征,通过裂项(拆项),使待化简式中出现若干对“相反数”,相消某些项从而得解.这种拆项相消法是分式化简中的常用技巧.3　取倒数变形法例5　化简b-c(a-b)(a-c)+c-a(b-c)(b-a)+a-b(c-a)(c-b)-2a-b-2c-a-2b-c1分析　审视需要化简的式子的结构特征,直接通分虽然也可行,但运算量比较大.利用a-b,b-c,c-a,对分子进行添项减项的恒等变形,使分式进行简化拆分相消,进而获解.解　原式=(a-c)-(a-b)(a-b)(a-c)+(b-a)-(b-c)(b-c)(b-a)+(c-b)-(c-a)(c-a)(c-b)-2a-b-2c-a-2b-c=1a-b-1a-c+1b-c-1b-a+1c-a-1c-b-2a-b-2c-a-2b-c=01点评　根据问题的特点,对分子进行某种变形,旨在优化解题过程.4　整体代入法此法的运用特点是所给的条件式的左端,或者待求式,取倒数后可变为几项之和,使条件与待求容易沟通.例6　已知aba+b=13,bcb+c=14,aca+c=15,求abcab+bc+ca的值.分析　审查条件式的结构和待求式的结构,取倒数后由分式变为和式,通过方程组的形式可求得1a+1b+1的值,再取倒数则可得待求式的值.若瞄准目标(待求式),设法将++用表示出,考察条件,不难实现32解题研究 (2009年第6期初中版)1n n11n n11n-1n1.cab bc c a abc .解　由已知条件取倒数,得1a +1b =3,1b +1c =4,1a +1c=5,三式相加得1a+1b +1c=6.所以abc ab +bc +ca =11a +1b +1c=16.点评　瞄准目标,抓住条件,对待求式变形和对条件变形,加以灵活运用,是顺畅解题的常用策略.例7　已知x x 2+x +1=a,a ≠0且a ≠12,求x2x 4+x 2+1的值.分析　若由条件式求出x,代入待求式求值,显然繁琐.若将条件式取倒数,则可以用x +1x这个整体来关联条件与待求,化难为易.解法1　由x x 2+x +1=a 及a ≠0,得x 2+x +1x =1a ,即x +1x =1a-1,所以x 4+x 2+1x 2=x 2+1x2+1=(x +1x )2-1=(1a-1)2-1=1-2aa2.又a ≠12,所以x 2x 4+x 2+1=a 21-2a(a ≠12).若注意到x 4+x 2+1=(x 2+x +1)(x 2-x +1),也可以形成另一种巧妙解法.解法2　由xx 2+x +1=a 及a ≠0,得x 2+x +1=x a ,x 2-x +1=x (1-2a )a ,所以当a ≠12时,x 2x 4+x 2+1=a21-2a.点评　观察是解题的门户,仔细观察,善于联想,在条件与结论之间寻找最便捷的桥梁,是学习数学的理想追求.5　整体运用法此法的运用特点是待求式通过变形可用某个“整体”来表示,而所给条件通过变形又可以求出这个“整体”例　若,都是正实数,且+=,求(ba)3+(ab)3的值.分析　由待求式的特征,联想到公式a 3+b 3=(a +b)3-3ab (a +b),即可知(ba )3+(a b)3=(b a +a b)3-3ba ab (b a+a b ),若能求出b a +a b这个整体,原问题即可获解.由条件可得b a -a b =1,进而b a +ab可求.解　因为1a -1b -1a +b=0,所以1a -1b =1a +b ,a +b a -a +b b =1,即b a -a b =1,所以(b a +a b)2=(b a -ab)2+4=5,即b a +ab=5,所以(b a )3+(a b)3=(b a +a b)3-3ba ab (b a +a b)=(5)3-35=25.点评　解答数学问题,应先紧扣待求问题寻觅解题途径,然后对照条件审视该途径是否通畅,若不通畅则继续寻觅,直到条件与寻觅的途径能够有效沟通.例9　如果a 是方程x 2-3x +1=0的根,试求2a 5-5a 4+2a 3-8a2a 2+1的值.分析　由条件得a 2-3a +1=0,显然求出a 值(2个)代入待求式求值十分繁琐,此路不可取.关注待求式,分母可以化为3a,分子则以整体(a 2-3a +1)来表示它,从而降次简化分子,便可简化待求式.解　由题意a 2-3a +1=0,用长除法,得到:2a 5-5a 4+2a 3-8a2=(a 2-3a +1)(2a 3+a 2+3a )-3a,所以,原式=(a 2-3a +1)(2a 3+a 2+3a)-3a3a=-3a3a=-1.点评　在解题时,细察题目的外形,把握问题的特征,展开联想,创设整体常常会使解题思路豁然开朗.运用整体方法的具体操作中常常有:整体构造、整体观察、整体换元、整体变形、整体代入等灵活而闪耀智慧光芒的变形是学习数学所要追求的理想境界之一(收稿日期3)42　(2009年第6期初中版) 解题研究.8a b 1a -1b -1a b0..:2009027。

八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计

1.对分式性质的灵活运用不够熟练，容易在化简过程中出错。
2.分式运算中，特别是乘除法和加减法的混合运算，学生容易混淆，导致计算错误。
3.在解分式方程时，对等式性质的掌握不够牢固，可能难以找到解题的关键步骤。
针对以上情况，教学中应注重以下几点：
1.注重启发式教学，引导学生发现分式性质和运算法则，提高他们的观察力和思维能力。
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质，如约分、通分等，并能够灵活运用这些性质对分式进行化简。
2.掌握分式的乘除法、加减法法则，能够正确进行分式的四则运算，解决实际问题。
3.学会解分式方程，理解分式方程的解的意义，并能将其应用于解决实际问题。
2.教学过程：
-采用任务驱动法，设计一系列具有梯度的问题和练习，引导学生逐步掌握分式化简的方法和技巧。
-结合具体例题，讲解分式乘除法和加减法的运算规则，强调运算顺序和运算法则的重要性。
-通过小组合作和讨论，让学生在解决分式方程的过程中，学会转化问题和找到解题关键步骤。
-设计课堂互动环节，鼓励学生提问和分享解题心得，培养他们的表达能力和团队合作精神。
4.能够运用所学的分式知识，解决数学问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法：
1.通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究分式的化简求值方法。
2.采用讲解、示范、讨论、练习等多种教学手段，帮助学生掌握分式的性质、运算法则和解方程的方法。
3.设计具有梯度、层次的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
3.分式的乘除法与加减法：介绍分式乘除法和加减法的运算规则，结合具体例题进行讲解。

第五讲：分式的化简与求值(提高培优)

上课内容: 分式的化简与求值上课时间: 7-28(16:00-18:00) 学员: 戴永杰代课老师:游老师授课内容：第2讲分式的化简与求值分式的基本概念分式的定义：一般地，若A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母，0B ≠。

判断分式： ①原式中含有分数线；②分母中含有字母且分母不等于0； ③必须要看原式的最初形式分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即0B ≠。

因此，要使分式无意义，只需分式的分母等于0板块一基础练习1.使分子、分母中的最高次项的系数都为正.22333107385y x x x yx +-+-＝2. 通分22222b)(a b ,)(2b ,2+--b a b a a 约分： 43273a a -= ；m m m -+-1122= ； 3. 已知xzyz xy z y x z y x 3232432222+++-==，则的值是4.若分式y x xy -3的值是5，则x 、y 都扩大为原来的21倍后，这个分式的值为 . 5.分式236562+--x x x 的值为0，则x 的值为板块二中考必考知识点 6. 代数式1133342x y m n a x b π+-+，，，，，2-a 中，分式有( )。

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7.若分式25011250x x -++有意义，x 的值是______；若分式无意义，则x ______；若250011250x x-=++，则x ______； 8. ⑦ xy y x y x y x yx 222)()]11(211[+÷++++ ⑧)]121()144[(48122a a a a -÷-+⋅--三、本次课后作业：见学生学案。

四、学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差学生签字：分式的化简与求值分式的基本概念分式的定义：一般地，若A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母，0B ≠。

【八年级】有条件的分式的化简与求值

【八年级】有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当导入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆毁项变形或分拆变形；4．整体代入；5．利用比例性质等．例题求解【基准1】若，则的值就是．(“希望杯”邀请赛试题)思路指点导入参数，利用参数找寻a、b、c、d的关系．注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径：(1)轻易运用条件；(2)变形运用条件；(3)综合运用条件；(4)挖掘隐含条件．在求解某些不含多个字母的代数式问题时，如果未知与未明之间的联系不显著，为了沟通交流未知与未明之间的联系，则可以考量导入一个参数，参数的导入，可以起著沟通交流变元、消元的功能．【例2】如果，，那么等于()a．1b．2c．3d．4(全国初中数学联赛武汉选拔赛)思路指点把c、a用b的代效式则表示．【例3】已知，，，求代数式的值．(北京市竞赛题)思路指点轻易通在分后，似乎较繁，由x+y+z=2，得z=2－x－y，x=2－y－z，z＝2－x－y，从变形分母抓起．【例4】不等于0的三个数a、b、c满足，求证a、b、c中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路指点必须证a、b、c中至少存有两个互为相反数，即为必须证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，并使证明的目标更加明晰．【例5】(1)已知实数a满足a2－a－1=0，求的值．河北省竞赛题)(2)汜知，求的值．(“北京数学科普日”组内赛试题)思路点拨(1)由条件得a2=a+1，，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是、、三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出++的值是解本例的关键．学历训练1．已知，那么=．(淄博市中考题)2．已知，则=．3．若a、b、c满足用户a+b+c=0，abc>0，且，y=，则=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)4．已知，则=．(“五羊杯”竞赛题)5．已知a、b、c、d都是正数，且，给出下列4个不等式：①；②；③；④，其中正确的是()a．①③b．①④c．②④d．②③(山东省竞赛题)6．设a、b、c就是三个互不相同的正数，如果，那么()a．3b=2cb．3a=2bc．2b=cd．2a=b(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x?3y一6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则代数式的值等于()．a．c．－15d．－13(全国初中数学竞赛题)8．设立轮船在静水中速度为，该船在流水(速度为<)中从上游a驶向下游b，再回到a，所用时间为t，假设=0，即为河流改成静水，该船从a至b再回到b，所用时间为t，则()a．t=tb．ttd．无法确认t、t的大小关系9．(1)化简，求值：，其中满足；(山西省中考题)(2)设，求的值．10．未知，其中x、y、z互不成正比，澄清：x2y2z2=1．11．若，且，则=．12．未知a、b、c满足用户，，那么a+b+c的值．13．已知，，，则x的值为．14．未知x、y、z满足用户，，，则xyz的值．(全国初中数学竞赛题)15．设a、b、c满足用户abc≠0，且，则的值a．－1b．1c．2d．3(2021年南通市中考题)16．未知abc=1，a+b+c=2，，则的值()a．－1b．c．2d．(大原市竞赛题)17．已知?列数、、、、、、，且=8，=5832，，则为（）a．648b．832c．1168d．194418．已知，则代数式的值为()a．1996b．1997c．1998d．199919．（1）已知，求的值；(2)未知x、y、z满足用户，谋代数式的值．(北京市竞赛题)20．设a、b、c满足用户，澄清：当n为奇数时，(波兰竞赛题)21．已知，且，求x的值．(上海市高中理科班录取试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有a，b两组检验员，其中a组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，b组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．。

分式的化简与求值

数学八年级5．分式的化简与求值分式的化简与求值是紧密相连的，化简的目的通常是为了求值，而求值之前必须先化简，先化简后求值是解分式化简与求值的基本策略，分式的化简与求值一般可分为无条件和有条件两类问题。

解分式的化简与求值问题时，除了要用到整式变形求值的知识方法外，还经常用到以下技巧：1．取倒数或利用倒数关系；2．拆项变形或拆分变形；3．整体代入；4．引入参数等。

例1．已知a 2－3a ＋1=0，则代数式361a a +的值为___________. 解题思路目前不能求出a 的值，但可得出a+1a =3，需要对所求的代数式变形含“a+1a”。

例2．已知一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，且a 1=8，a 7=5832，123456234567a a a a a a a a a a a a =====，则a 5为( ) A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944解题思路引入参数k ，把a 1~ a 7用k 的代数式表示，这是解答比问题的基本思路。

例3．已知x+y+z=3a(a ≠0)求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值解题思路观察发现，所求式是关于x －a 、y －a 、z －a 的代数式，而条件可分拆成x －a ，y －a ，z －a 的等式，因此，很自然地想到用换元法来简化解题过程。

例4．已知xy x y +=1,yz y z +=2,zx z x+=3,求x 的值。

解题思路注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元二次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式。

例5．不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。

解题思路要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(a+c)=0。

2020年北师大版八年级下册第五章：分式的化简求值

第五章分式的化简求值1．（2018·毕节织金县期末）先化简，再求值：1x －2）÷x 2－2x ＋1x 2－4，（1＋其中x ＝－5. 解：原式＝x －2＋1x －2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2＝x －1x －2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2＝x ＋2x －1. 当x ＝－5时，原式＝－3－6＝12.2．先化简3x 2－9x x －2÷（x ＋2－5x －2），然后选择你喜欢的一个数代入求值．解：原式＝3x （x －3）x －2÷（x ＋2）（x －2）－5x －2＝3x （x －3）x －2·x －2（x ＋3）（x －3）＝3x x ＋3. ∵x 不能取2，3和－3，∴可取x ＝1，当x ＝1时，原式＝3×11＋3＝34.3．化简分式：（x 2－2x x 2－4x ＋4－3x －2）÷x －3x 2－4，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．解：原式＝[x （x －2）（x －2）2－3x －2]·（x ＋2）（x －2）x －3 ＝x －3x －2·（x ＋2）（x －2）x －3＝x ＋2.∵当x 取2或3时，原式无意义， ∴x 只能取1或4. 当x ＝1时，原式＝3；当x ＝4时，原式＝6.4．化简求值：（x －y 2x ）·yx ＋y －y ，其中x ＝2，y ＝ 3.解：原式＝x 2－y 2x ·yx ＋y －y＝（x ＋y ）（x －y ）x ·yx ＋y－y＝xy －y2x －y＝xy －y 2x －xy x＝－y 2x.当x ＝2，y ＝3时，1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。

20.6.176.17.202019:2819:28:32Jun -2019:282、心不清则无以见道，志不确则无以定功。

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