实验四-连续时间LTI系统的时域研究分析
连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
连续时间系统的时域分析
B1 cos t B2 sin t
t pe t sin t B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t t pe t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
结论（不做要求）：
第
17
页
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak ekt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
方程右端自由项为 44,因此令特解 ip t B, 代入式(1)
10B 4 4 要求系统的完全响应为
B 16 8 10 5
i t
A1e2t
A2e5t
8 5
t 0
(3)
确定换路后的i0
和
d dt
i
0
换路前
et 4V
2 S R1 1
1 it iC t
C 1F
et 2V
iL t
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换
域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、
频域分析法和变换域分析法。
5
2.2 用微分方程描述的因果LTI系统
第
页
( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations )
L
iL (0 )
22
二．系统响应划分
连续时间LTI系统的时域分析
实验报告贺鹤 18号实验名称：连续时间LTI系统的时域分析实验课时：2课时实验地点：知行楼404实验时间：2015年5月29日星期五第13周实验目的及要求：(一)目的：1．学会用MATLAB求解连续系统的零状态响应；2. 学会用MATLAB求解冲激响应及阶跃响应；3．学会用MATLAB实现连续信号卷积的方法；（二）要求：1. 在MATLAB中输入程序，验证实验结果，并将实验结果存入指定存储区域。
2. 对于程序设计实验，要求通过对验证性实验的练习，自行编制完整的实验程序，实现对信号的模拟，并得出实验结果。
3. 在实验报告中写出完整的自编程序，并给出实验结果。
实验环境：MATLAB实验内容：（算法、程序、步骤和方法）1．实验原理函数lsim 、函数impluse和step、conv( )函数2.实验内容（1）题目1：已知描述系统的微分方程和激励信号f(t)如下，试用解析法求系统的零状态响应y(t)，并用MATLAB绘出系统零状态响应的时域仿真波形，验证结果是否相同y’’(t)+ 4y’(t)+4y(t)=f’(t)+3f(t) f(t)= exp(-t))(t 程序1：ts=0;te=5;dt=0.01;sys=tf([1,3],[1,4,4]);t=ts:dt:te;f1=(t>=0);f=exp(-t).*f1;y=lsim(sys,f,t);plot(t,y);xlabel('Time(sec)');ylabel('y(t)');（2）题目2：已知描述系统的微分方程如下，试用MATLAB 求系统在0~10秒范围内冲激响应和阶跃响应的数值解，并用绘出系统冲激响应和阶跃响应的时域波形y ’’(t)+3y ’(t)+2y(t)=f(t)y ’’(t)+ 2y ’(t)+2y(t)=f ’(t)程序2：ts=0;te=10;dt=0.01;sys=tf([1,1],[2,5,4]);t=ts:dt:te;h=impulse(sys,t);figure;plot(t,h);xlabel('Time(sec)');ylabel('h(t)');g=step(sys,t);figure;plot(t,g);xlabel('Time(sec)');ylabel('g(t)');（3）题目3：画出信号卷积积分)()(21t f t f *的波形，)1()()()(21--==t t t f t f εε 程序3：dt=0.01; t=-1:dt:2.5;f1=(t>=0);f2=(t>=1);f3=f1-f2;f4=f3;f=conv(f3,f4)*dtn=length(f); tt=(0:n-1)*dt-2;subplot(221), plot(t,f3), grid on;axis([-1,2.5,-0.2,1.2]); title('f1(t)'); xlabel('t')subplot(222), plot(t,f4), grid on;axis([-1,2.5,-0.2,1.2]); title('f2(t)'); xlabel('t')subplot(223), plot(tt,f), grid on;title('f(t)=f1(t)*f2(t)'); xlabel('t')数据记录和计算：由于计算水平有限，加之MATLAB运用不成熟，等式不知怎么表达。
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析连续LTI系统的时域分析是信号与系统学中的重要课题。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数来进行信号与系统的分析。
下面将介绍MATLAB在连续LTI系统时域分析中的应用。
首先，我们需要了解连续LTI系统的基本概念。
一个连续域线性时不变系统（LTI系统）可以由它的冲激响应完全描述。
冲激响应是系统对单位冲激信号的响应。
在MATLAB中，可以使用impulse函数来生成单位冲激信号。
假设我们有一个连续LTI系统的冲激响应h(t)，我们可以使用conv 函数来计算系统对任意输入信号x(t)的响应y(t)。
conv函数实现了卷积运算，可以将输入信号与冲激响应进行卷积运算得到输出信号。
例如，我们假设一个连续LTI系统的冲激响应为h(t) = exp(-t)u(t)，其中u(t)是单位阶跃函数。
我们可以使用以下代码生成输入信号x(t)和计算输出信号y(t)：```matlabt=-10:0.1:10;%时间范围x = sin(t); % 输入信号h = exp(-t).*heaviside(t); % 冲激响应y = conv(x, h, 'same'); % 计算输出信号```这段代码首先定义了时间范围t，然后定义了输入信号x(t)和冲激响应h(t)。
接下来，使用conv函数计算输入信号和冲激响应的卷积，设置参数’same’表示输出信号与输入信号长度相同。
最后，得到了输出信号y(t)。
在得到输出信号后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化结果。
例如，使用以下代码可以绘制输入信号和输出信号的图像：```matlabfigure;plot(t, x, 'b', 'LineWidth', 2); % 绘制输入信号hold on;plot(t, y, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制输出信号xlabel('时间');ylabel('幅度');legend('输入信号', '输出信号');```除了卷积运算外，MATLAB还提供了许多其他函数来进行连续LTI系统的时域分析。
精选LTI系统的时域频率复频域分析资料
k 0
k 0
由于 Y ( j) X ( j)H ( j)
故有：
N
bk ( j )k
H ( j )
k 0 N
7
例：考虑一个因果LTI 系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由
差分方程给出: y[n] 1 y[n 1] x[n]。若x[n] [n 1], 求y[n]。
4
解：
0, n 1
x[n] [n 1] 1, n[n] 0, n 1.
y ''(t)
y '(t)
x(t )
+
y(t)
3 -2
解 由图可知第一个和第二个积分器的输入分别为 y''(t), y'(t)，根 据加法器的输入输出关系有
y ''(t) x(t) 3y '(t) 2y(t)
所以系统的微分方程为: y"(t) 3y '(t) 2y(t) x(t)
线性时不变系统的时域、频域 与复频域分析
本章主要内容：
• LTI系统的差分/微分方程描述和框图描述 • LTI系统的频域分析 • LTI系统的复频域分析
1
LTI系统的描述
1.用 h(t)、h[n] 描述系统；
2.用线性常系数微分或差分方程（LCCDE）描述； 3.用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）； 4.用系统频率响应 H ( jω) 或系统函数 H(s)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
N
M
ak y[n k] bk x[n k]
k 0
k 0
一阶系统
a0 y[n] a1y[n 1] b0x[n] b1x[n 1], a1, a0,b1,b0为常数
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告一、实验目的通过实验三的设计和实现，达到如下目的：1、了解连续时间LTI（线性时不变）系统的性质和概念；2、在时域内对连续时间LTI系统进行分析和研究；3、通过实验的设计和实现，了解连续时间LTI系统的传递函数、共轭-对称性质、单位冲激响应等重要性质。
二、实验原理在常见的线性连续时间系统中，我们知道采用差分方程的形式可以很好地表示出该系统的性质和特点。
但是，在本实验中，我们可以采用微分方程的形式来进行相关的研究。
设系统的输入为 x(t)，输出为 y(t)，系统的微分方程为：其中，a0、a1、…、an、b0、b1、…、bm为系统的系数，diff^n(x(t))和diff^m(y(t))分别是输入信号和输出信号对时间t的n阶和m阶导数，也可以记为x^(n)(t)和y^(m)(t)。
系统的单位冲激响应函数 h(t)=dy/dx| x(t)=δ(t),则有：其中，h^(i)(t)表示h(t)的第i阶导数定义系统的传递函数为：H(s)=Y(s)/X(s)在时域内，系统的输出y(t)可以表示为：其中，Laplace^-1[·]函数表示Laplace逆变换，即进行s域到t域的转化。
三、实验步骤1、在Simulink中，构建连续时间LTI系统模型，其中系统的微分方程为：y(t)=0.1*x(t)-y(t)+10*dx/dt2、对系统进行单位冲激响应测试，绘制出系统的单位冲激响应函数h(t)；4、在S函数中实现系统单位冲激响应函数h(t)的微分方程，并使用ODE45框图绘制出系统单位冲激响应函数h(t)在t=0~10s之间的图像；6、利用数据记录栏，记录系统在不同的参数下的变化曲线、阶跃响应函数u(t)和单位冲激响应函数h(t)的变化规律。
四、实验数据分析1、单位冲激响应测试那么，当输入信号为单位冲激函数δ(t)时，根据系统的微分方程，可以得知输出信号的形式为：即单位冲激响应函数h(t)为一个包含了单位冲激函数δ(t)在内的导数项序列。
《MATLAB》连续时间信号的频域分析和连续时间系统的时域分析实验报告
《MATLAB 》连续时间信号的频域分析和连续时间系统的时域分析实验报告1、编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入式中的项数ｎ。
2、给程序例3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题3-1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
-+-=)5cos(51)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞==10)cos()2sin(1n t n n nωπ3.3反复执行程序例3_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所合成的周期方波信号。
通过观察，你了解的吉布斯现象的特点是什么？3.4分别手工计算x1(t) 和x2(t) 的傅里叶级数的系数。
1．利用MATLAB 求齐次微分方程，，起始条件为，，时系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
2． 已知某LTI 系统的方程为：其中，。
利用MATLAB 绘出范围内系统零状态响应的波形图。
3．已知系统的微分方程如下，利用MATLAB 求系统冲激响应和阶跃响应的数值解，并绘出其时域波形图。
（1）'''()2''()'()'()y t y t y t x t ++=()()t x t e u t -=(0)1y -='(0)1y -=''(0)2y -=''()5'()6()6()y t y t y t x t ++=()10sin(2)()x t t u t π=05t ≤≤''()3'()2()()y t y t y t x t ++=（2）''()2'()2()'()y t y t y t x t ++=。
LTI系统的时域频率复频域分析
a2y''(t)a 1y'(t)a0y(t)b 2x''(t)b 1x'(t)b 0x(t), a2,a 1,a0,b 2,b 1,b 0为常数
5
（2）线性常系数差分方程
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation ，LCCDE)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
2
2
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础 上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。 17
由于h ( t ) 的傅氏变换 H ( j ) 就是频率为 的复指
数信号 e j t 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。
鉴于h ( t ) 与 H ( j ) 是一一对应的，因而LTI系统 可以由其频率响应完全表征。
6
（3）线性常系数差分方程的时域递归解法
对于差分方程，可以将其改写为：
y[n]a 1 0 kM 0bkx[nk]kN 1aky[nk]
可以看出：要求出y[0]，不仅要知道所有x[n] (-M≤n ≤0 )，还要知 道y[-1]、y[-2]、…、y[-N]，这称为一组初始条件。对于因果LTI系 统，若当n<0时，x[n]=0，则有y[-1]、y[-2]… y[-N]都为0，于是可 以求得y[0]=b0x[0]/a0。进一步，又可以通过y[0]和x[0]、x[1]求得 y[1],依次类推可求出所有y[n]。
右端加法器的输出:
y(t) 2f'(t)4f(t) (2)
由(2)可得y’(t)，y’’(t)为:
;(t)2f''(t)4f'(t) (3) y''(t)2f'''(t)4f''(t) (4)
连续时间LTI系统分析报告
实验三 连续时间LTI 系统分析一、实验目的（一）掌握使用Matlab 进行连续系统时域分析的方法1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）掌握使用Matlab 进行连续时间LTI 系统的频率特性及频域分析方法1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性2、学会运用MATLAB 进行连续系统的频域分析（三）掌握使用Matlab 进行连续时间LTI 系统s 域分析的方法1、学会运用MATLAB 求拉普拉斯变换（LT ）2、学会运用MATLAB 求拉普拉斯反变换（ILT ）3、学会在MATLAB 环境下进行连续时间LTI 系统s 域分析二、实验条件装有MATLAB 的电脑三、实验容（一）熟悉三部分相关容原理（二）完成作业1、已知某系统的微分方程如下：)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''其中，)(t e 为激励，)(t r 为响应。
（1） 用MATLAB 命令求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e t e t 时系统的零状态响应和零输入响应（零状态响应分别使用符号法和数值法求解，零输入响应只使用符号法求解）；符号法求解零输入响应： >> eq='D2y+3*Dy+2*y=0';>> cond='y(0)=1,Dy(0)=2';>> yzi=dsolve(eq,cond);>> yzi=simplify(yzi)yzi =符号法求解零状态响应：exp(-2*t)*(4*exp(t) - 3)eq1='D2y+3*Dy+2*y=Dx+3*x';eq2='x=exp(-3*t)*heaviside(t)';cond='y(-0.001)=0,Dy(-0.001)=0';yzs=dsolve(eq1,eq2,cond);yzs=simplify(yzs)yzs =(exp(-2*t)*(exp(t) - 1)*(sign(t) + 1))/2图像如下：代码：subplot(211)ezplot(yzi,[0,8]);grid ontitle('ÁãÊäÈëÏìÓ¦')subplot(212)ezplot(yzs,[0,8]);grid ontitle('Áã״̬ÏìÓ¦')数值计算法：t=0:0.01:10;sys=tf([1,3],[1,3,2]);f=exp(-3*t).*uCT(t);y=lsim(sys,f,t);plot(t,y),grid on ;axis([0 10 -0.001 0.3]);title('ÊýÖµ¼ÆËã·¨µÄÁã״̬ÏìÓ¦')（2）使用MATLAB命令求出并画出系统的冲激响应和阶跃响应（数值法）；用卷积积分法求系统的零状态响应并与（1）中结果进行比较；系统的冲激响应和阶跃响应（数值法）：代码：t=0:0.01:10;sys=tf([1,3],[1,3,2]);h=impulse(sys,t);g=step(sys,t);subplot(211)plot(t,h),grid on;axis([0 10 -0.01 1.1]);title('³å¼¤ÏìÓ¦')subplot(212)plot(t,g),grid on;axis([0 10 -0.01 1.6]);title('½×Ô¾ÏìÓ¦'卷积积分法求系统的零状态响应：Ctsconv函数的定义：function[f,t]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)f=conv(f1,f2);f=f*dt;ts=min(t1)+min(t2);te=max(t1)+max(t2);t=ts:dt:te;subplot(221)plot(t1,f1);grid onaxis([min(t1),max(t1),min(f1)-abs(min(f1)*0.2),max(f1)+abs(max(f1)*0.2)])title('f1(t)');xlabel('t')subplot(222)plot(t2,f2);grid onaxis([min(t2),max(t2),min(f2)-abs(min(f2)*0.2),max(f2)+abs(max(f2)*0.2)])title('f2(t)');xlabel('t')subplot(212)plot(t,f);grid onaxis([min(t),max(t),min(f)-abs(min(f)*0.2),max(f)+abs(max(f)*0.2)])title('f(t)=f1(t)*f2(t)');xlabel('t')求系统的零状态响应代码：dt=0.01;t1=0:dt:10;f1=exp(-3*t1).*uCT(t1);t2=t1;sys=tf([1,3],[1,3,2]);f2=impulse(sys,t2);[t,f]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)如图，根据两图相比较，两种方法做出的零状态响应大体相同。
连续LTI系统的时域分析
实验报告实验二连续LTI系统的时域分析班级姓名学号指导老师时间一、实验目的：1、熟悉连续时间系统的线性和时不变性质。
2、掌握线性时不变系统的单位冲激响应的概念。
3、掌握两个连续时间信号卷积的计算方法和编程技术。
4、了解线性时不变系统的微分方程描述方法及其MATLAB 编程的求解方法。
二、实验环境：matlab7.0三、实验原理：卷积积分在信号与线性系统分析中具有非常重要的意义，是信号与系统分析的基本方法之一。
（1）线性时不变（LTI ）系统的单位冲激响应给定一个连续时间LTI 系统，在系统的初始条件为零时，用单位冲激信号δ(t)作用于系统，此时系统的响应信号称为系统的单位冲激响应（Unit impulse response ），一般用h(t)来表示。
需要强调的是，系统的单位冲激响应是在激励信号为δ (t)时的零状态响应（Zero-state response ）。
系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念，如果已知一个系统的单位冲激响应，那么，该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。
（2）卷积的意义对于LTI 系统，根据系统的线性和时不变性以及信号可以分解成单位冲激函数可得，任意LTI 系统可以完全由它的单位冲激响应h(t)来确定，系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)之间的关系可以用卷积运算来描述，即：⎰∞∞--=τττd t h x t y )()()( 由于系统的单位冲激响应是零状态响应，故按照上式求得的系统响应也是零状态响应。
它是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。
（3）函数说明利用MATLAB 的内部函数conv( )可以很容易地完成两个信号的卷积积分运算。
其语法为：y = conv(x,h)。
其中x 和h 分别是两个参与卷积运算的信号，y 为卷积结果。
四、实验内容：1、已知两连续时间信号如下图所示，绘制信号f 1(t )、f 2(t )及卷积结果f (t )的波形；设时间变化步长dt 分别取为0.5、0.1、0.01，当dt 取多少时，程序的计算结果就是连续时间卷积的较好近似？2、计算信号)()(1t u e t f at -=(a =1)和)(sin )(2t tu t f =的卷积f (t )， f 1(t )、f 2(t )的时间范围取为0~10，步长值取为0.1。
实验4 连续时间LTI系统的时域分析
b [ b0b1 bm ]
– initial(A,B,C,D,y(0-),t)：求系统的零输入响应
• lsim的调用形式：
a [ a0a1 an ]
– 求系统的零状态响应
• lsim(sys,X,t)
• lsim(b,a,X,t) • lsim(A,B,C,D,X,t）
– 求系统的全响应
• lsim(A,B,C,D,X,t,y(0-))
4、已知系统的微分方程，求单位冲激响应和单位阶 跃响应
（1） y(t) 3y(t) 2y(t) f (t)
（2） y(t) 2y(t) 2y(t) f (t)
实验内容：
1、已知系统的微分方程和激励信号，求零状态响应 （用符号法，数值法，卷积积分法）
（1） y(t) 4y(t) 3y(t) f (t), f (t) u(t)
（2） y(t) 4 y(t) 4 y(t) f (t) 3 f (t), f (t) etu(t)
2、已知系统的微分方程和激励信号，初始值，求零 输入、零状态和全响应（用符号法，数值法）
y(0 ) 1, y(0 ) 2
手动求解：
yzi (t) 4et 3e2t (零输入响应) yzs (t) (et e2t )u(t)(零状态响应) y(t) 4et 3e2t (et e2t )u(t)(全响应)
零输入响应
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
零状态响应
0.2
0.1
实验原理：
LTI连续系统可用线性常系数微分方程来描述
N
M
air(i) (t) bje( j) (t)
信号与系统实验指导全部实验答案
信号与系统实验指导全部实验答案实验一连续时间信号的MATLAB 表示实验目的 1．掌握MATLAB 语言的基本操作，学习基本的编程功能； 2．掌握MATLAB 产生常用连续时间信号的编程方法；3．观察并熟悉常用连续时间信号的波形和特性。
实验原理：1. 连续信号MA TLAB 实现原理从严格意义上讲，MATLAB 数值计算的方法并不能处理连续时间信号。
然而，可用连续信号在等时间间隔点的取样值来近似表示连续信号，即当取样时间间隔足够小时，这些离散样值能够被MATLAB 处理，并且能较好地近似表示连续信号。
MATLAB 提供了大量生成基本信号的函数。
比如常用的指数信号、正余弦信号等都是MATLAB 的内部函数。
为了表示连续时间信号，需定义某一时间或自变量的范围和取样时间间隔，然后调用该函数计算这些点的函数值，最后画出其波形图。
实验内容：正弦信号抽样信号矩形脉冲信号单位跃阶信号实验编程：（1）t=0:0.01:3;K=2;a=-1.5;w=10; ft=K*exp((a+i*w)*t); A=real(ft); B=imag(ft); C=abs(ft);D=angle(ft);subplot(2,2,1),plot(t,A),grid on;title('实部');subplot(2,2,2),plot(t,B),grid on;title('虚部'); subplot(2,2,3),plot(t,C),grid on;title('取模'); subplot(2,2,4),plot(t,D),grid on;title('相角');实部2211-1-2-1取模相角25100-5（2）t=0:0.001:3;y=square(2*pi*10*t,30);方波信号plot(t,y);axis([0,1,-1,1]); title('方波信号');0.5-0.5-1 00.20.40.60.81（3）t=-2:0.01:2;y=uCT(t+0.5)-uCT(t-0.5); plot(t,y),grid on axis([-2,2,0,1.5]); xlabel('t(s)'),ylabel('y(s)') title('门函数')10.50 -2-1.5-1-0.5门函数y (s )0t(s)0.511.52实验二连续时间LTI 系统的时域分析实验目的1．运用MATLAB 符号求解连续系统的零输入响应和零状态响应； 2．运用MATLAB 数值求解连续系统的零状态响应； 3．运用MATLAB 求解连续系统的冲激响应和阶跃响应；4．运用MATLAB 卷积积分法求解系统的零状态响应。
连续时间LTI系统的时域分析报告
一、课程设计题目：基于 MATLAB 的连续时间LTI 系统的时域分析二、基本要求：① 掌握连续时不变信号处理的基本概念、基本理论和基本方法； ② 学会 MATLAB 的使用，掌握 MATLAB 的程序设计方法； ③ 学会用 MATLAB 对信号进行分析和处理；④ 编程实现卷积积分或卷积和，零输入响应，零状态响应； ⑤ 撰写课程设计论文，用信号处理基本理论分析结果。
三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.1．连续时间系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。
建模当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）其中p 1,p 2,…,p n 是特征方程a 1λn +a 2λn-1+…+a n λ+a n =0的根，它们可以用root(a)语句求得。
各系数 由y 及其各阶导数的初始值来确定。
对此有………………………………………………………………………………………写成矩阵形式为: P 1n-1C 1+ P 2n-1C 2+…+ P n n-1C n =D n-1y 01121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dtdt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++即V•C=Y0其解为：C=V\Y0式中V为德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有vander。
以下面式子为例：y(0_)=1,y(0_)=5；MATLAB程序：a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]=');p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0';dt=input('dt=');te=input('te=');t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t));for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridxlabel('t') ;ylabel('y');title('零输入响应');程序运行结果：用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[1,5,4] Y0=[1,5] dt=0.01 te=6结果如下图：根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。
LTI系统的时域分析法
S ? y(t)
2
2.1 LTI连续系统的经典时域分析法
一、 微分方程的经典解
如果单输入一单输出系统的LTI连续系统激励为f(t)，响应为y(t)，则系统的数
学模型是n 阶线性常系数微分方程。
n
n
ai y( i )( t ) bj f ( j )( t )
i0
j0
ai 和bj 为常数，且an=1
第二章 LTI系统的时域分析法
2.1 LTI连续系统的经典时域分析法 2.2 LTI离散系统的经典时域分析法 2.3 LTI连续系统的单位冲激响应 2.4 LTI离散系统的单位序列响应 2.5 卷积 2.6 卷和
1
LTI连续系统的数学模型是：常系数线性微分方程； LTI离散系统的数学模型是：常系数线性差分方程； 时域分析法：不经变换，在时间域中直接求出系统的输响应； 两种时域分析方法：经典求解法和卷积（和）分析法；
P 1 yp (t) et
8
(3) 求全解
h
p
i
p
n
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
Ci t 2
e 3yt
p(et)t
i1
C1e2t C2e3t et
C1 3,C2 2
齐次解
特解
6 4 7 4 48 }
y( t ) 13e42t2 24e33t e{t
齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的 特性，与激励f(t)的函数形式无关，称为 系统的自由响应或固有响应。但齐次解的
自由响应
强迫响应 系数Ci的值是与激励f(t)有关。
特解的函数形式由激励信号f(t)确定，
实验二连续时间LTI系统的时域分析
实验二连续时间LTI系统的时域分析一、实验目的：1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应二、实验原理及实例分析1、连续时间系统零输入响应和零状态响应的符号求解连续时间系统可以使用常系数微分方程来描述，其完全响应由零输入响应和零状态响应组成。
MATLAB符号工具箱提供了dsolve函数，可以实现对常系数微分方程的符号求解，其调用格式为：dsolve(‘eq1,eq2…’,’cond1,cond2,…’,’v’)其中参数eq表示各个微分方程，它与MATLAB符号表达式的输入基本相同，微分和导数的输入是使用Dy，D2y，D3y来表示y的一价导数，二阶导数，三阶导数；参数cond表示初始条件或者起始条件；参数v表示自变量，默认是变量t。
通过使用dslove函数可以求出系统微分方程的零输入响应和零状态响应，进而求出完全响应。
2、连续时间系统零状态响应的数值求解在实际工程中使用较多的是数值求解微分方程。
对于零输入响应来说，其数值解可以通过函数initial 来实现，而该函数中的参量必须是状态变量所描述的系统模型，由于现在还没有学习状态变量相关内容，所以此处不做说明。
对于零状态响应，MATLAB 控制系统工具箱提供了对LTI 系统的零状态响应进行数值仿真的函数lsim ，利用该函数可以求解零初始条件下的微分方程的数值解。
其调用格式为：y=lsim(b,a,f,t)，其中t 表示系统响应的时间抽样点向量，f 是系统的输入向量； b 和a 分别为微分方程右端和左端的系数向量，若不带返回参数y ，则直接在屏幕上绘制输入信号x 和响应信号的波形。
例如，对于微分方程)()()()()()()()(0'1''2'''30'1''2'''3t f b t f b t f b f f b t y a t y a t y a t y a +++=+++可以使用32103210[,,,];[,,,]a a a a a b b b b b ==注意，如果微分方程的左端或者右端表达式有缺项，则其向量a 或者b 中对应元素应该为零，不能省略不写。
信号与系统MATLAB仿真——LTI连续系统的时域分析
信号与系统MATLAB仿真——LTI连续系统的时域分析1. 知识回顾（1）经典时域分析⽅法线性时不变（LTI）系统是最常见最有⽤的⼀类系统，描述这类系统的输⼊-输出特性的是常系数线性微分⽅程。
\begin{array}{l} {y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = \\ {b_m}{f^{(m)}}(t) + {b_{m - 1}}{f^{(m - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {b_1}{f^{(1)}}(t) + {b_0}f(t) \end{array}齐次解：{y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = 0特征⽅程：{\lambda ^n} + {a_{n - 1}}{\lambda ^{n - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {a_1}\lambda + {a_0} = 0均为单根：{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}}有重根（r重根）：{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{C_i}{t^{i - 1}}{e^{{\lambda _1}t}}}共轭复根（{\lambda _{1,2}} = \alpha \pm j\beta ）：{e^{\alpha t}}({C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t)r重复根：{e^{\alpha t}}(\sum\limits_{i = 1}^r {{C_{1i}}{t^{i - 1}}} \cos \beta t + \sum\limits_{i = 1}^r {{C_{2i}}{t^{i - 1}}} \sin \beta t)特解：f(t) = {t^m}所有的特征根均不等于0：{y_p}(t) = {P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}有r重等于0的特征根：{y_p}(t) = {t^r}[{P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}] f(t) = {e^{\alpha t}}：\alpha 不是特征根：{y_p}(t) = P{e^{\alpha t}}\alpha 是特征单根：{y_p}(t) = {P_1}t{e^{\alpha t}} + {P_0}{e^{\alpha t}}\alpha 是r重特征根：{y_p}(t) = ({P_r}{t^r} + {P_{r - 1}}{t^{r - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}){e^{\alpha t}} f(t) = \cos \beta t或\sin \beta t：所有特征根均不等于 \pm j\beta ：{y_p}(t) = {P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t\pm j\beta 是特征单根：{y_p}(t) = t[{P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t]全解：y(t) = {y_h}(t) + {y_p}(t)（2）零输⼊响应与零状态响应y(t) = {y_{zi}}(t) + {y_{zs}}(t)（3）冲激响应和阶跃响应\left\{ \begin{array}{l} \delta (t) = \frac{{{\rm{d}}\varepsilon (t)}}{{{\rm{d}}t}}\\ \varepsilon (t) = \int_{ - \infty }^t {\delta (\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} h(t) = \frac{{{\rm{d}}g(t)}}{{{\rm{d}}t}}\\ g(t) = \int_{ - \infty }^t {h(\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right.（4）卷积积分y(t) = {f_1}(t) * {f_2}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_1}(\tau ){f_2}(t - } \tau ){\rm{d}}\tau系统的零状态响应：{y_{zs}}(t) = f(t) * h(t)卷积积分的性质：交换律分配率结合律任意函数与单位冲激函数卷积的结果仍是函数本⾝：f(t) * \delta (t) = f(t)2. 利⽤MATLAB求LTI连续系统的响应LTI连续系统以常微分⽅程描述，如果系统的输⼊信号及初始状态已知，便可以求出系统的响应。
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实验四-连续时间LTI系统的时域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：电子信息工程系实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：连续时间LTI 系统的时域分析 实验时间：2013-12-6班级： 姓名： 学号：一、实 验 目 的:1、学会运用MATLAB 符号求解连续系统的零输入响应和零状态响应；2、学会运用MATLAB 数值求解连续系统的零状态响应；3、学会运用MATLAB 求解连续系统的冲激响应和阶跃响应；4、思考运用MATLAB 卷积积分法求解系统的零状态响应。
二、实 验 环 境:1、Windows 72、MATLAB 7.1三、实 验 原 理：3.1、 连续时间系统零输入响应和零状态响应的符号求解LTI 连续系统可用线性常系数微分方程来描述，即：()()00()()N Mi j ij i j a y t b f t ===∑∑ 其中，(0,1,,)i a i N =L 和(0,1,,)i b i M =L 为实常数。
该系统的完全响应由零输入响应()zi y t 和零状态响应()zs y t 两部分组成。
MATLAB 符号工具箱提供了dsolve 函数，可实现常系数微分方程的符号求解，其调用格式为：dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2,…','v')其中，参数eq1,eq2…表示各微分方程，它与MATLAB 符号表达式的输入基本相同，微分或导数的输入是用Dy,D2y,D3y,…来分别表示y 的一阶导数，y 的二阶导数，y 的三阶导数…；参数cond1，cond2,…表示个初始条件或起始条件；参数v 表示自变量，默认为变量t 。
可利用dsolve 函数来求解系统微分方程的零输入响应和零状态响应，进而求出完全响应。
3.2、 连续时间系统零状态响应的数值求解前面叙述了符号求解系统微分方程的方法，实际工程中用得较多的方法是数值求解微分方程。
下面主要讨论零状态响应的求解。
而零输入响应的数值求解可通过函数initial 来实现，initial 函数中的参量必须是状态变量所描述的系统模型，此处不做说明讲解。
对于零状态响应，MATLAB 控制系统工具箱提供了对LTI 系统的零状态响应进行数值仿真的函数lsim ，该函数可求解零初始条件下微分方程的数值解，语句格式为：y=lsim(sys,f,t)其中，t 表示计算系统响应的时间抽样点向量；f 是系统的输入信号向量；sys 表示LTI 系统模型，用来表示微分方程、差分方程或者状态方程。
在求微分方程时，sys 是由MATLAB 的tf 函数根据微分方程系数生成的系统函数对象，其语句格式为：成 绩： 指导教师（签名）：''()4'()3()();()()y t y t y t f t f t u t ++==''()4'()4()'()3();()()t y t y t y t f t f t f t e u t -++=+= sys = tf(b,a)其中，b 和a 分别为微分方程右端和左端的系数向量。
例如，对于微分方程32103210'''()''()'()()'''()''()'()()a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t +++=+++可用3210[,,,]a a a a a =；3210[,,,]b b b b b =；(,)sys tf b a =获得其LTI 模型。
注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a 或者b 中对应的元素应为0，不能省略不写，否则会出错。
3.3 连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解在连续时间LTI 系统中，冲激响应和阶跃响应是系统特性的描述，对它们的分析是线性系统中极为重要的问题。
输入为单位冲激函数()t δ所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示；输入为单位阶跃函数U(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。
在MATLAB 中，对于连续LTI 系统的冲激响应和阶跃响应的数值解，可分别用控制系统工具箱提供的函数impulse 和step 来求解。
其语句格式分别为：y = impulse(sys,t);y = step(sys,t);其中，t 表示计算机系统响应的时间抽样点向量，sys 表示LTI 系统模型。
四、实 验 内 容 及 结 果 分 析:4.1、已知系统的微分方程和激励信号()f t 如下，试用MATLAB 命令绘出系统零状态响应的时域仿真波形图。
（1）''()4'()3()();()()y t y t y t f t f t u t ++==解：建立关于单位阶跃函数的源文件，即创建名为uCT 的M 文件：function f=uCT(t)f=(t>0);保存后，就可调用该函数。
编写的程序代码如下：clear;clc;ts = 0; te =5; dt = 0.01;sys = tf([1],[1,4,3]);t = ts:dt:te;f = 1.*uCT(t);y = lsim(sys,f,t);plot(t,y);grid on ;xlabel('Time(sec)');ylabel('y(t)'); title('零状态响应'); 图1把编写好程序以sys311.m 为文件名保存，并执行此文件，然后在窗口中可看到''()4'()3()();()()y t y t y t f t f t u t ++==连续信号的波形如上图1所示：（2）''()4'()4()'()3();()()t y t y t y t f t f t f t e u t -++=+= 解：同理，按要求编写如下程序代码：clear;clc;ts = 0; te =5; dt = 0.01;sys = tf([1,3],[1,4,4]);t = ts:dt:te;f = exp(-t).*uCT(t);y = lsim(sys,f,t);plot(t,y);grid on ; xlabel('Time(sec)'); ylabel('y(t)');title('零状态响应');图2把编写好程序以sys312.m 为文件名保存，并执行此文件，然后在窗口中可看到''()4'()4()'()3();()()t y t y t y t f t f t f t e u t -++=+=连续信号的波形如上图2所示：4.2、已知系统的微分方程如下，试用MATLAB 命令求系统冲激响应和阶跃响应的数值解，并绘出系统冲激响应和阶跃响应的时域波形图。
（1）''()3'()2()()y t y t y t f t ++=思路：利用控制系统工具箱提供的函数impulse 和函数step 来求解。
解：按要求编写如下程序代码：clear;clc;t = 0:0.001:4;sys = tf([1], [1,3,2]);h = impulse(sys,t);g = step(sys,t);subplot(211)plot(t,h)；grid on ；xlabel('Time(sec)')；ylabel('h(t)')；title('冲激响应')；subplot(212)plot(t,g)；grid on ；xlabel('Time(sec)')；ylabel('g(t)')；''()3'()2()()y t y t y t f t ++=''()2'()2()'()y t y t y t f t ++=''()2'()2()'()y t y t y t f t ++=title('阶跃响应')； 图3把编写好程序以sys321.m 为文件名保存，并执行此文件，然后在窗口中可看到''()3'()2()()y t y t y t f t ++=连续信号的波形如上图3所示：（2）解：按要求编写如下程序代码：clear;clc;t = 0:0.001:4;sys = tf([1], [1,2,2]);h = impulse(sys,t);g = step(sys,t);subplot(211)；plot(t,h)；grid on ；xlabel('Time(sec)')；ylabel('h(t)')；title('冲激响应')； subplot(212)；plot(t,g),grid onxlabel('Time(sec)')；ylabel('g(t)')；title('阶跃响应')； 图4把编写好程序以sys322.m 为文件名保存，并执行此文件，然后在窗口中可看到''()2'()2()'()y t y t y t f t ++=连续信号的波形如上图4所示：五、问 题 与 思 考：思考如何用卷积积分法求系统的零状态响应，叙述详细的编程求解思路。
答：用卷积积分法求系统的零状态响应，可先求单位冲激响应，接着将输入信号与冲激响应进行卷积，即可求得系统的零状态响应。
利用卷积函数conv 自定义编写以M 文件形式存在的函数ctsconv.m ，编程如下：Function [f,t]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)f=conv(f1,f2);f=f*dt;ts=min(t1)+min(t2);te=max(t1)+max(t2);t=ts:dt:te;subplot(2,2,1);plot(t1,f1);grid on;axis([min(t1),max(t1),min(f1)-abs(min(f1)*0.2),max(f1)+abs(max(f1)*0.2)]);title('f1(t)');xlabel('t');subplot(2,2,2);plot(t2,f2)；grid on;axis([min(t2),max(t2),min(f2)-abs(min(f2)*0.2),max(f2)+abs(max(f2)*0.2)]);title('f2(t)');xlabel('t');subplot(2,1,2);plot(t,f);grid on;axis([min(t),max(t),min(f)-abs(min(f)*0.2),max(f)+abs(max(f)*0.2)]);title('f(t)=f1(t)*f2(t)');xlabel('t');若f(t)为系统的激励信号即输入信号，f(2)即为单位冲激响应，求单位冲激响应可利用式子f（2）=impulse(sys，t2)求得。