第20章 振动

动物的心跳（次/分）
大象 猪 松鼠 25~30 60~80 380 马 兔 鲸 40~50 100 8
9
昆虫翅膀振动的频率（Hz）
雌性蚊子
雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂
355~415
455~600 330 220
满足规律
1 2 2
k m
10
2π x A cos(t ) A cos( t ) T
圆频率
2
k m
频率 1 2 2
m 周期 T 2 k
k m
——简谐运动的(角)频率由振动系统本身 的性质所决定。这一频率叫振动系统的固有 频率，相应的周期叫振动系统的固有周期。 8
例如，人心脏的跳动80次/分 1 60 周期为 T (分） (秒) 0.75s 80 80 频率为 1 / T 1 .33Hz
振幅
A xmax
x
A
x t 图
T
T 2
初相位 常数 A和 的确定 x A cos( t )
o
A
t
A x0
2
v A sin( t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
2
v0
2
v0 tan x0
11
2π x A cos(t ) A cos( t ) T
简谐运动的表达式为
π x 7.07 10 cos(4 πt ) 4
2
18
例20.3 单摆的小摆角振动。如图所示单摆摆长 为l，摆锤质量为m。证明：单摆的小摆角振动是 简谐运动并求其周期。 解 取逆时针方向为叫位移的正方向，则
f t mg sin
在位移角很小时，sin ，所以
k
v0
mБайду номын сангаас
21
补充例题2
如图所示，质量为m的比重计放在密度ρ的液 体之中，已知比重计由下端的球体和圆管（直径为 d）组成，今用手指沿竖直方向将比重计下压后放 手，任其运动，试证明，若不计液体的粘滞力，比 重计的运动是简谐运动，并求其周期。
x
22
课堂练习：
已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此 简谐运动的运动方程（x的单位为cm，t的单位为s）

k m

2 v0 2
A x02
对给定振动系统，角 频率由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决 定.
v0 tan x0
12
三、简谐运动的运动方程 (Equation of Simple Harmonic Motion)
O A x A
v a x
图6.1 质点的简谐运动
dx v A sin( t ) A cos( t ) dt 2
33
质点在负x向最大位移处
v A sin( t ) 0.05 10 sin(10 0.05 2) 0
此时质点瞬时停止
a A cos( t )
2
(10 ) 0.05 cos(10 0.05 2)
2
49.3m / s
其周期为
l T 2 g
2
g l
20
补充例题1
在电梯的天花板上系着一轻弹簧，其劲度系数 k=20N.m-1，弹簧的另一端系有一质量为0.2kg的重物， 如图所示，当电梯以速度v0=2m.s-1匀速下降时，突然 停电不动，若忽略弹簧质量，试求：电梯突然停电后， 重物将如何运动？并求出重物的运动方程。
2
物体在一定位置附近作往复的运动叫机械 振动，简称振动 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震 以及晶体中原子的振动等都在不停地振动。 周期和非周期振动
简谐运动：最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成
复杂振动
3
分解
口琴的发音机理
？
1 2 3
4 5 6
7
7 6 5 4 3 2 1
？
4
20.1 简谐运动的描述 (Simple Harmonic Motion)
32
解 (1)取平衡位置为坐标原点，以余弦函数表示 简谐运动，则A=0.05m，=2/T=10 s-1。由于 t=0时x=0，且v<0，所以= /2。因此质点简谐 运动表达式为
x A cos( t ) 0.05 cos(10 t 2)
（2）t=0.05s时
x 0.05 cos(10 0.05 2 ) 0.05 cos 0.05m
f t mg
由于
dv d d 2 at l l 2 dt dt dt
图6.6 例6.3单摆
19
由牛顿第二定律可得
或
d ml 2 mg dt 2 d g 2 dt l
2
与式（20.11）比较，可得在摆角很小的情况下， 单摆的振动是简谐运动，其角频率为

解 用矢量图法求解
φ ωt π / 6
o

A/2
N
x
ω 2 π / T t T /12
M
2 一个质点作简谐运动，振幅为A，在 A 起始时刻质点的位移为 2 ,且向x轴正 方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量 为（ ）
3 已知某简谐运动的振动曲线如图所示， 则此简谐运动的运动方程（x的单位为cm，t的 单位为s）
26
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
27
四、相位 初相 相位差
（Phase Initial Phase Phase Difference）
t ：叫在时刻 t 振动的相位（或相）

：t = 0 时刻的相位叫初相
：表示两个相位之差,叫相位差
(1)对同一简谐运动，相位差可以给出两运动 状态间变化所需的时间．
质点运动时，如果离开平衡位置的位移 x （ 或角位移 ）按正弦规律随时间变化，这种 运动就叫简谐运动，如弹簧振子的运动。
振动的成因 a 回复力
b 惯性
5
一、简谐运动的动力学方程 (Kinetics Equation of Simple Harmonic Motion)
F kx ma
2
d x 2 x 得 2 dt 具有加速度 a 与位移的大小x成正比,而方 向相反特征的振动称为简谐运动
2 2 （Ａ） x 2 cos( πt π) 3 3 2 2 （Ｂ） x 2 cos( πt π) 3 3 4 2 （Ｃ） x 2 cos( πt π) 3 3 4 2 （Ｄ） x 2 cos( πt π) 3 3
4 一质点作简谐运动，其振动方程为 x 0.24cos( 1 πt 1 π)m 试用旋转矢量法求 2 3 出质点由初始状态运动到 x=-0.12m， v<0的 状态所经过的最短时间 t ． 解
2 2 （Ａ） x 2 cos( πt π) 3 3 2 2 （Ｂ） x 2 cos( πt π) 3 3 4 2 （Ｃ） x 2 cos( πt π) 3 3 4 2 （Ｄ） x 2 cos( πt π) 3 3
四、相量图法(Method of phasor diagram)
x
解 T1 : T2 1 : 2
x2
x1 t
1 : 2 2 : 1 2 am ω A
v m ωA
o
例20.2 弹簧振子 如图所示为一水平弹簧振子，
O为振子的平衡位置，选作坐标原点。弹簧对小 球（即振子）的弹力遵守胡克定律，即F=-kx， 其中k为弹簧的劲度系数。 （1）证明：振子的运动为简谐运动。 （2）已知弹簧的劲度系数为k=15.8N/m，振子的 质量为m=0.1kg。在t=0时振子对平衡位置的位移 x0=0.05m，速度 v0=-0.628m/s。 写出相应的简谐 运动的表达式。 16 图20.5 水平弹簧振子
29
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示 它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
2 1
30
2 1
0 同步
——简谐运动的加速度和位 移成正比而反相 13
x A cos( t )
T 2π

若
0
A
o o
A
x
x t 图
T
t
t
v A sin( t )
π A cos(t ) 2
a A cos( t )
2
A
v vt图
T
6
k 令 m 2 即 a x
2
d x 2 F m 2 m x dt
2
kx
——简谐运动的动力学方程
d x k 或 a x 2 dt m
其解为
2

k m
x A cos( t )
简谐运动方程
7
二、描述简谐运动的三个特征量
2π x A cos(t ) A cos( t ) T
旋转矢量（向量）
自原点 O 作一 矢量 A，使它的模 等于谐振动的振幅 A ，并使矢量 A在 Oxy平面内绕点O作 逆时针方向的匀角 速转动，其角速度 与振动圆频率相 等，这个矢量就叫 做旋转矢量. 24

t t
t
A
x
o
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
2
34
（3）另一质点的简谐运动表达式为
x A cos( t ) 0.08 cos(10 t 2)