形状不变势波函数对数微商的研究

合集下载

关于波函数的几点讨论

关于波函数的几点讨论张敏(华中师范大学物理科学与技术学院武汉 430079)摘要：本文主要介绍了波函数的产生及其物理意义，详细讨论了波函数的几个性质和它的三个标准条件，阐述了波函数所满足的态的叠加原理。

关键词：波函数波函数的性质态的叠加原理1 引言在量子力学中波函数是最基本的概念，理解波函数是建立量子观念的关键。

波函数将微观粒子的波动性与粒子性结合起来了，它本身不具有任何意义，它的意义在于波恩对它的统计诠释，深刻地理解波函数的意义对以后量子力学的学习奠定了基础。

2 波函数的引入20世纪初，人们认识到微观粒子具有波粒二象性，但在如何具体描述微观粒子的状态时遇到了困难。

波粒二象性是微观粒子的本性，因此描述微观粒子状态的数学工具应该能反映这种性质。

这里微观粒子所呈现出来的粒子性，只是经典粒子概念中的“原子性”，即总是以具有一定的质量、电荷等属性的客体出现在自然界，而其呈现出的波动性是波最本质的东西——“波的叠加性”。

把微观粒子的波动性与粒子性统一起来的是波恩1926年提出的概率波，他是在用薛定谔方程来处理散射问题时为解释散射粒子的角分布而提出来的。

波恩认为德布罗意提出的“物质波”，或薛定谔方程中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量在空间分布的波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波而已。

在解释杨氏双缝实验衍射花样的强度分布时，用波函数）（r r ψ描述衍射波的波幅，则衍射花样的强度分布用2)r (r ψ描述，它是用来刻画电子出现在空间某一点附近的几率大小，即z y x )r (2ΔΔΔr ψ代表点附近的小体积元z y x ΔΔΔ中找到粒子的概率，这就是波恩提出的波函数的几率诠释。

因此，电子呈现出来的波动性反映了微观客体运动的一种统计规律性，所以称为概率波，波函数也称为概率波幅。

[1]在非相对论情况下，几率波正确地把物质粒子的波动性与原子性统一起来了。

如果我们知道了描写微观体系的波函数，就可以得到粒子在空间任意一点出现的概率以及该系统的各种特性和状态。

精确的量子化条件和不变量-Slide1(精)

45
一维波函数对数微商的计算
根据零点数和极点数确定
的形式
46
一维波函数对数微商的计算
47
结论 1. 精确的量子化条件
2. 有形状不变势的量子系统的不变量。
3. 计算这类系统能级和波函数的新方法。 4. 精确量子化条件的级数形式可用来计算一般系统的能级，精度相当好。
48
问题 1. 怎样由形状不变势条件直接证明量子修正项是不变量? 2. 形状不变势条件如何保证波函数对数微商是简单的代数分式? 3. 能不能找到新的存在解析解的量子系统? 4. 精确的量子化条件还有什么新的应用?
7
精确的量子化条件
一维薛定谔方程
势函数 V(x) 是分片连续的
8
精确的量子化条件
9
精确的量子化条件
10
精确的量子化条件三维空间径向方程
11
精确的量子化条件
基态波函数的对数微商有一个零点，没有极点，形状相当确定，可代入Riccati 方程求解，从而确定这不变量，并解得系统所有能级。
12
氢原子等效势转折点
波矢是波函数对数微商的零点数
42
氢原子
The Riccati equation:
基态波函数的对数微商,
43
氢原子不变量
量子化条件
由量子化条件算得能级
44
一维波函数对数微商的计算有形状不变势系统的又一特征: 波函数对数微商可用代数方法由Riccati方程求解有(n＋1)个零点, n个极点，可表为一个代数分式，形状相当确定。下面以一维简谐振子为例来说明。
势
基态波函数的对数微商,
37
第二类一维不变量
势
计算量子化条件左面的积分

量子力学-第-章-波函数

例如：
对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用：
Z e2 V ( r1 , r2 ,, rZ ) i j | ri r j |
而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：
Ze2 U i ( ri ) ri
1.2 波函数的统计解释
波函数的波恩统计解释

波恩说，波函数ψ代表的是一种随机，一种概率，更准确地说，2代表了电子在某个地点出现的“概率”。电子本身不会像波那样扩展开去，但是它的出现概率则像一个波，严格地按照ψ的分布所展开。现在让我们来做一个思维实验，想象我们有一台仪器，它每次只发射出一个电子。这个电子穿过双缝，打到感光屏上，激发出一个小亮点。那么，对于这一个电子，我们可以说些什么呢？很明显，我们不能预言它组成类波的干涉条纹，因为一个电子只会留下一个点而已。事实上，对于这个电子将会出现在屏幕上的什么地方，我们是一点头绪都没有的，多次重复我们的实验它有时出现在这里，有时出现在那里，完全不是一个确定的过程。
i (r , t ） t
ˆ (r , t ) H
(1.1)
量子力学基本假定 I：微观粒子体系的状态波函数满足Schrödinger 方程
在直角坐标系中，拉普拉斯算符为
2 2 2 2 2 2 2 x y z
在球坐标系中，拉普拉斯算符为
2 1 1 1 2 2 r 2 2 sin 2 2 r r r r sin r sin 2
但是在量子力学中微观体系是由波函数来描写的我们只知道粒子在某一时刻在空间某一点出现的几率这样一来我们就不能说粒子的运动在空间形成一条轨迹了同时由于不确定性原理测不准原理在量子力学中粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值你把粒子的坐标测量的十分精确那么你就完全不知道它的动量是多少了也就是说不可能同时用粒子的坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态

薛定谔方程及其应用

V
4
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
5
德布罗意波（概率波）不同于经典波（如机械波、电磁波）
经典波
是振动状态的传播
波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。
德布罗意波
不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度
6
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 的范围内，已知其波函数为：
x A sin
x
a
求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？解：(1)由归一化条件

a/2

dx A
2
2
sin
0
a
2
x
a
dx 1

0
2 dx a
W | |
2
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子的概率为： dW 2 dV *dV
| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出由此可见，现的几率，称为几率密度。即： 2
| |
2
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
i
2 ( Et Px ) h

分子反应动力学(势能面)的基本概念

搜索的内容：各种概念介绍分子反应动力学：分为：宏观反应动力学(Macroscopic Kinetics) 微观反应动力学（Microscopic Kinetics）即为分子反应动力学（Molecular Reaction Dynamics）。

（不同定义表述）1.在原子、分子的层次上研究化学反应微观动态和机理的一门科学，它所研究的基元反应和基元化学物理过程能够使人们了解化学反应的机理。

2.应用现代物理化学的先进分析方法，在原子、分子的层次上研究不同状态下和不同分子体系中单分子的基元化学反应的动态结构，反应过程和反应机理。

（张爱丽）3.分子反应动力学是现代物理与化学之间的一门边缘学科，是化学物理学科的一个重要分支。

它深入到分子或原子层次来研究化学反应的微观动态和机理。

分子反应动力学的研究主要包括：1）构建反应体系的势能面；2）计算该体系的微观动力学参量（如截面），这些参量是反应物的初态及产物终态的函数；3)通过积分截面得到宏观动力学参量（速率常数）注：基元反应:在反应中一步直接转化为产物的反应（又称简单反应）。

基元反应本身是指没有中间产物，一步完成的反应。

目前验证基元反应最科学的方法包括量子化学的模拟计算和以飞秒激光为代表的分子动力学手段。

通过计算机模拟反应过程可以得到一个反应的模拟过程，数据时很好的预测手段。

通过飞秒激光得到反应过程中各种物质的光谱变化，可以推断反应过程中到底什么物质或者是物质的什么状态发生反应，从而最终确定反应的过程。

（张爱丽）势能面的构建势能面的意义：基于电子运动和核运动可分离假定的势能面概念是现代化学物理学最重要的思想之一。

从动力学理论计算的角度来讲，势能面是最基本也是非常重要的一个因素，势能面的准确程度对动力学计算的结果有直接影响。

势能面的形状反映出整个化学反应过程的全貌以及反应的始终态、中间体和过渡态的基本态势。

在势能面上连接这些态的一条最容易实现的途径就是整个化学反应的路径。

第二章薛定谔方程

第二章薛定谔方程本章介绍：本章将系统介绍波动力学。

波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。

薛定谔方程是波动力学的核心。

在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。

§2.1 波函数的统计解释§2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。

怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。

2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。

如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。

这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。

能否认为粒子是由波组成？比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系：一类是实物粒子另一类是相互作用场（波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。

粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。

经典波动则是以场量（振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。

波与其他物质体系相互作用时，可同时与波所在广延空间内的所有物理体系相互作用，其能量可连续变化，波满足叠加原理，“非定域”是波动性运动的特性。

薛定谔方程及其简单应用

??aycos??????????????h?hxht2??????????pxtea?1cos利用复数计算公式xixeixsincos???上式可以记为上式可以记为50pxetietx?????对时间求微商得到
2-1
薛定谔方程及其简单应用
H
1
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。
薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。
(r,t)(r)eiEt
H
定态波函数
12
(r,t)
(r)e 定态波函数i所E描t述的状态称为定态。
方程
2 2 (r )U (称r )为定(态r 薛)定谔E 方程。(r )
2m
定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定状态，并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度与时间无关：
| (r ,t)|2 | (r )e iE|2 t | (r )|2
H
20
讨论：
（1）能级和能级差
由
k
2
2mE 2
和
k n 可得：
a
En2m 222an2 n1,2,3,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
# n (x) E 称为量子数；为本征n 态；为本征能量。 n
# 零点能的存在
2 2
E称1 为基2m态a能2量。
（2）把关系式中的E和P算符化：
Ei,pi t
（3）把经算符化后的关系式分别作用在上，即可得到所需的薛定谔方程。
4.定态薛定谔方程
如果粒子的势能并不随时间而变化，即V=V(x,y,z)，它不包含时间。在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：

第二章波动力学基础

P → −ih∇ 只适用于直角坐标系
（３）与牛顿方程不同，概率流守恒定律自动地包含在薛定谔方程之中。（４）薛定谔方程为波函数的归一化提供了必要的理论基础。
§2. 4 一维方势阱
1.一维无限深势阱
⎧0 ⎪ 一维薛定谔方程在势场 U(x) = ⎨ ⎪ ⎩∞ x <a x ≥a
（2.4.1）
下的解。由于在 x ≥ a 处，势场为无限大，因此粒子出现的几率为零。
程。设单粒子体系的哈密顿量为
H=
p2 + U (r, t ) 2m
（2.3.1）
利用对应规则，将能量、动量均用算符表示，并作用在波函数上得
ih
∂ψ h2 2 =− ∇ ψ + U (r, t )ψ = Hψ ∂t 2m
（2.3.2）
（2.3.2）式称为薛定谔方程。对多粒子体系，薛定谔方程为
N ∂ψ h2 2 ih = −∑ ∇ iψ + U (r1 , r2 ,LrN , t )ψ ∂t i =1 2mi
∫
∞
ψ (r1 , r2 ,..., rN , t ) dr1 dr2 L drN = 1
2
(2.1.4)
(6)描述粒子微观运动的波函数不仅可用坐标 r、时间 t 为自变量，也可以用其他变
量，比如用动量 p 为自变量。以 p、t 为独立变量的波函数 C (p, t ) ，它的物理意义是
C (p, t ) dp 表示在 t 时刻，粒子的动量在 p → p + dp 的几率，相应的归一化条件是
ψ = C1ψ 1 + C 2ψ 2 + ⋅ ⋅ ⋅C nψ n = ∑ C nψ n
i =1
n
( 2.2.3)
也是体系的一个可能状态; （2）关于态叠加原理的讨论：

量子力学第二章波函数和方程.

考虑电子双缝衍射
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状态，Ψ 是这两种状态的叠加。
Ψ1
S1
电子源
Ψ2
S2
PΨ
感光屏
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2

= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
ii1i2i大处到达光子数多i小处到达光子数少无光子到达各光子起点终点路径均不确定用i对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点终点路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射expet?如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动他的动量和能量不再是常量或不同时为常量粒子的状态就不能用平面波描写而必须用较复杂的波描写一般记为
电子在晶体表面反射后，电子可
例：
能以各种不同的动量 p 运动。具
Ψp
有确定动量的运动状态用de
Ψ
Broglie 平面波表示

d

p

A exp

i
(
p •
r
Et )
根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即

(r , t ) c( p)p(r , t )
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，

第二章波函数

自由粒子的能量
E p 2 / 2m
2 2 i t 2m
i E t
自由粒子波函数所满足的微分方程
自由粒子的薛定谔方程
若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况下，粒子的能量是 p2
E 2m U (r )
类比自由粒子的情况，得到波函数所满足的微分方程
2 1 2 1 2 px A exp[ i(p r Et ) / ] 2 px 2 x
即
2 2 p x x 2
2
同理
2 2 2 2 p y y
2 2 2 p z2 z
可得
2 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( p x p z2 p z2 ) x y z
k 2
A cos(k r t )
t )]

2
2 德布罗意自由粒子的平面波
利用de Broglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由粒子平面波的表达式
2i ( x, t ) A exp[ ( p x x Et )] h
2p x k h 2
A 薛定谔方程适用条件
• 只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动速度(υ＜＜c)
• 要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保持不变，--粒子数守恒
B.波动方程的建立
自由粒子的波函数
i A exp[ (p r Et )]
i i 将上式对t 求微商 EA exp[ i(p r Et ) / ] E t 即 i E t i i p x A exp[ i(p r Et ) / ] p x 对x求微商 x

辅助算子的引入方法

证毕
由Ｒｌｒｏｌ中值定理证明结论成立．ｅ
证毕
当然，这种方法需要对题目中出现的式子做适当的变形，
事实上，Ｄ点或Ｅ作直线与ＡＢ平行（过如图２３所示）、，
并要有较好的数学基础，能有合理的联想．因此，方此种方法用上述方法可以构造出辅助算子
关键词：辅助算子中值定理几何手段
中图分类号：Ｏ１４７
在解决数学问题时，广泛应用了辅助算子法，比如建立中对数学修养要求较高．值定理时，辅助算子的引入就起到至关重要的作用．如何灵活的２用几何手段引入辅助算子．３采用合适的辅助算子，常常成为证题的关键所在．尝试从积本文
．
但这种方法不唯一，：．斯未尔诺夫是这样引入辅助如ＢＮ．算子的。
例３证明Ｌｇａｇａｒｎｅ中值定理。
证：令
Ｆ（）ｒ）＝Ｊ（＋（）８
２引入方法
２１通过积分引入辅助算子．
只需想办法定出参数的具体值，使得Ｆ口＝（）即可由（）Ｆ６，
＋ａｘｌ＋… ＋口＝０
ＡＤ于Ｍ，Ｂ交Ｅ于Ｎ，０贝四边形ＡＭＮＢ是平行四边形，Ｍ＝Ｎ．ＡＢ
在（，）ＯＩ内至少存在一个根．
证：由因
Ｓａ＇ｎａ：磊＋（ｌ＂ｘａｘ＋＂。ｃ０＋ａ＋争
令Ｆ＝ｏ口＋…＋＿（口＋１口二 … （）２０又因Ｆ在【，，）０显然，０＝０（＝ａ（），Ｆ１＇）ｏ

量子力学薛定谔方程及理论(2)

在量子力学中，不可能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态，因为粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能具有确定值。
波函数描述粒子的状态，波函数的模的平方表示粒子在空间一点出现的概率。并且粒子在空间中个点出现的概率总和等于1，另外要注意要是把波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变
分理出变量后，我们很容易给出两个方程解的形式，大大简化了方程的求解
f (t)满足i
df
(t )
=cf
(t )，则f
(t )可写为f
-
(t )=Ae
i
ct，
dt
与自由粒子波函数

Ae
i
(
pr
Et
)
i
=A e
pr
+A
-
e
i
Et
比较
我们可以知道c=E
所以有
i df (t) =Ef (t) dt
量子力学第二章
• 波函数的统计解释 • 态叠加原理 • 薛定谔方程 • 粒子流密度和粒子守恒定律 • 定态薛定谔方程 • 一维无限深势阱 • 线性谐振子 • 势垒贯穿
1、波函数的统计解释
自由粒子的波函数
指数形式：E =E0e-it-k r
正余弦形式：E=E0 cos t-k r
k= 2 ，r=k n
ak+2
k

所以方程可写为 n 2n+1 an+2 n -2 n 1 an1 n+1+ -1 an n
n0
n0
n0
各项合并
2a2 1 a0 2 6a3 2a1 1 a0 ... n 2n+1 an+2 2nan 1 an n

变量形式不变性在一元微积分学中的应用

括号内放的是中间变量。所以，这个性质还是体现
了“变量形式不变性”的思想。例 5：y = sin ( x3 + 1 )，求 dy。解：设 y = sin u，u = x3 + 1，则 dy = d ( sin u ) =
cos udu = cos ( x3 + 1 ) d ( x3 + 1 ) = 3x2 cos ( x3 + 1 ) dx
哪里呢？笔者觉得数学的美，其中会有很多高度概
括、形式简洁的符号化的表达式，［1］变量的形式不变
性实际上就体现了微积分学中的符号的简洁、统一。
因此，要理解并掌握变量形式不变性思想。
1. 变量形式不变性在求极限中的应用
大家都知道两个重要极限对于求一些未定式的
极限是非常有用的。
三个括号放入的是同样的变量，并且该变量趋近 0，
那么极限值都等于 1。
②xli→m∞
(1
+
1 x
)x
=
e, xli→m∞
(1
+
1 x
1
)x
=
e，它们的推
广有 lim
(1
+
1
)( )
= e，lim
(1
1
+ ( ) )()
= e。一样的，括
()→∞
()
()→0
号可以是任意变量，但是，形式必须是不变的。
第第727期期 220011979年年727月月
福建教育学院学报 JOURNAL OF福FU建JIA教N I育NS学TIT院UT学E O报F EDUCATION

数学中的拓扑物理和微商数学

数学中的拓扑物理和微商数学拓扑物理和微商数学是当今最热门的数学研究领域之一。

它们不仅在学术界有着广泛的应用，而且在工业、医学和计算机科学等领域中也被广泛应用。

拓扑物理是指将拓扑学和物理学相结合的领域。

拓扑学是一门研究拓扑空间的数学领域，而拓扑空间是一种特殊的空间，它的形状可以在不改变它的性质的情况下被弯曲和变形。

物理学则是研究物质的本质和性质的一门学科。

拓扑物理将这两个领域相结合，用拓扑学的方法来研究物理问题。

拓扑物理主要研究的是拓扑相变和量子相变。

拓扑相变是指一种相变，当系统参数发生变化时，系统的拓扑性质发生了变化。

量子相变是指一个量子系统在温度为零时，由于某些参数的变化，使得系统的基态发生变化的一种现象。

拓扑物理的研究成果以及对物理现象的解释，既有基础理论的创新，也有实际应用的可能。

微商数学是指微积分和商数学的结合。

微积分是一门研究无限小量的数学学科，而商数学则是研究复杂数的一种数学领域。

微商数学将这两个领域结合在了一起，研究复杂函数的微分、积分和极限等问题。

微商数学主要研究的是复分析和复变函数论。

复分析是一门研究复函数的微积分学科。

复变函数论则是研究复变函数的一门数学领域。

微商数学的研究成果在现代数学和工业应用中，有广泛的应用和重要的地位。

总而言之，拓扑物理和微商数学是两个最有前景的数学研究领域之一。

从理论和实际应用的角度来看，这两个领域的发展都将会给人类带来更多的新发现和贡献。

对于拓扑物理的应用，我们可以将其应用到新的物质发现上，可以借助拓扑物理的概念和方法来设计和制造更好的材料和电子器件，以及更好的能源储存系统等。

此外，拓扑物理还可以应用于量子计算和量子通信等领域。

对于微商数学的应用，我们可以将其应用于金融、生命科学和计算机科学等领域。

微商数学的基本概念和方法可以被用来分析市场数据和金融市场的波动性，以及分析人体的生理和神经系统的变化。

总之，拓扑物理和微商数学是重要的数学研究领域，它们的合作和应用将会给人类带来更多的新发现和产出。

一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):511-523一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程杨怡,方钟波(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)摘要:本文研究一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程齐次Dirichlet初边值问题解的适定性及定性性质.借助于正则解的适定性并结合稠密性理论导出局部弱解的适定性,且利用修正能量泛函技巧,建立当p<γ时整体适定性.同时,利用反证技巧,证明当p>γ时解的有限时刻爆破现象.关键词:半线性波动方程;基尔霍夫型弱阻尼;对数非线性;整体适定性;爆破中图分类号:O175.29AMS(2010)主题分类:35L20;35A01;35B44文献标识码:A文章编号:1001-9847(2022)03-0511-131.引言我们考虑一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程u tt−∆u−σ(∥∇u∥22)|u t|γ−2u t=|u|p−2u log|u|,(x,t)∈Ω×(0,+∞),(1.1)给出齐次Dirichlet边界条件和初始条件u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,+∞),(1.2)u(x,0)=u0(x),u t(x,0)=u1(x),x∈Ω,(1.3)其中Ω⊂R N(N≥1)为具有光滑边界∂Ω的有界区域,基尔霍夫型阻尼系数σ,参数p和γ满足(H1)非局部阻尼系数σ∈C1([0,+∞)),对任意s∈[0,+∞),存在正常数b使得σ(s)≥b;;若N=1,2,则2<γ,p<+∞.(H2)参数γ,p满足:若N≥3,则2<γ,p<2N−2N−2我们的模型(1.1)出现于弹性力学理论,量子力学理论等.比如,在一维和二维空间中,具有常数阻尼系数(σ(∥∇u∥2)≡1)的模型(1.1)分别表示服从于粘性效应的均匀弦的横向振动2)=1))的非局部弱阻尼和均匀杆的纵向振动.特别是,当γ=2时,不为常数系数(σ(∥∇u∥22)u t模拟了作用在物体上的摩擦机制,该机制取决于u自身平均值.[1]同时,在量子场项σ(∥∇u∥22理论中,对数非线性项出现在膨胀宇宙学以及超对称场理论中.本文中,我们的目的在于分析在模型(1.1)-(1.3)中基尔霍夫型弱阻尼项σ(∥∇u∥2)|u t|γ−2u t2和对数非线性项|u|p−2u log|u|之间的相互作用与竞争关系对解的适定性及定性性质的影响.为了陈述研究动机,我们回顾此类问题的研究背景.实际上,具有常数系数阻尼项和乘幂型源项的如下半线性波动方程已被许多学者广泛关注且已有许多进展.[2−3]u tt−∆u+g(u t)=|u|p−2u.(1.4)∗收稿日期:2021-06-01基金项目:山东省自然科学基金面上项目(ZR2019MA072);中央高校基本科研基金(201964008)作者简介:杨怡,女,汉族,山东人,研究方向:偏微分方程.通讯作者:方钟波.512应用数学2022比如,Georgiev和Todorova[2]研究了方程(1.4)中g(u t)=a|u t|γ−2u t情形且在齐次Dirichlet边界条件下,证明了问题解的整体存在性及有限时刻爆破现象.之后,文[3]给出了具有任意负初始能量及正初始能量解的爆破现象.关于具有基尔霍夫阻尼系数(σ(∥∇u∥22)=1))的问题的研究方面,大部分集中于基尔霍夫型拟线性波动方程及四阶波动方程解的长时间动力行为,而很少有文献研究爆破现象.比如, Jorge和Narciso[4]在研究如下可扩展梁方程时首次提出了基尔霍夫型阻尼系数u tt+∆2u−κϕ(∥∇u∥22)∆u+σ(∥∇u∥22)g(u t)+f(u)=h(x),其中g(u t)≈|u t|γu t.他们在Dirichlet边界条件和铰接边界条件下建立了强解的适定性并给出了解的长时间动力行为.最近,ZHANG等[5]研究了具有退化非局部非线性阻尼项和乘幂型源项的半线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u+σ(∥∇u∥22)|u t|γ−2u t=|u|p−2u,且利用位势井理论得到了能量的衰减估计和有限时刻解的爆破现象.另一方面,关于具有常数阻尼系数和对数非线性项的半线性波动方程研究也有一些新的进展,其主要难点在于对数非线性源项的单调性和符号无法确定.Cazenave和Haraux[6]首次考虑了具有对数非线性项的Schrˆo dinger方程及Klein-Gordon方程Cauchy问题解的存在性与唯一性.之后,ZHANG等[7]考虑了具有弱阻尼的模型Dirichlet初边值问题并得到了问题解的整体存在性及能量的指数衰减估计值.最近,我们在文[8]中研究了具有对数源和强阻尼的半线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u−∆u t=u log|u|2,(1.5)且利用位势井理论和对数Sobolev不等式,得到了问题的整体可解性及能量衰减和无限爆破结果.文[9]的作者将方程(1.5)推广到具有更一般形式对数非线性项情形.LIAN和XU[10]考虑了具有强弱阻尼和对数源项的非线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u−ω∆u t+µu t=u ln|u|,他们利用压缩映射原理,位势井方法及微分不等式技巧,证明了问题的可解性,能量衰减及解的无限爆破现象.此外,关于具有时滞阻尼的板模型问题的最新进展,我们阅读了文[11].综上所述,关于基尔霍夫型弱阻尼项和对数非线性项竞争的半线性波动方程初边值问题(1.1)-(1.3)的研究尚未得到完善.本文中,我们考虑与文[12]中相同意思下的正则解与弱解且有以下主要难点:1)当p>2时无法利用对数-Sobolev不等式来估计对数所在的项;2)局部弱解的适定性无法直接导出,需考虑更强的解的结果;3)分析两个非线性项之间的竞争关系,即基尔霍夫型非线性弱阻尼项与对数非线性项时遇到难度.为了克服这些困难,启发于文[2,13]的思想,从问题正则解的局部适定性出发,利用稠密性理论和紧性理论导出局部弱解的适定性.并通过修正能量泛函技巧将局部解推广到了整体解.同时利用反证技巧,得到具有负初始能量解的有限时刻爆破现象.本文的剩余部分结构如下:第二节,我们将证明问题(1.1)-(1.3)弱解的局部适定性;第三节中,给出当p<γ时弱解的整体适定性.关于p>γ时具有负初始能量解在有限时刻发生爆破的结论,在第四节中导出.整文中,C及C i(i=1,···)在不同表达式中可能表示不同的正常数.同时,记空间H:= {u∈H10(Ω):∆u∈L2(Ω)},且赋予内积(u,v)H:=(∇u,∇v)+(∆u,∆v),其中(·,·)表示L2(Ω)的内积.此外,H1(Ω)中的模取为∥∇u∥2.2.弱解的局部适定性本节中,我们将先证明问题(1.1)-(1.3)正则解的存在唯一性,之后,通过稠密性理论得到局部弱解的存在唯一性.注意到,得到弱解局部适定性之前,先证明正则解的原因在于:证明基尔霍夫型非局部阻尼项的收敛性时,需用正则解的一些结果.第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程513定理2.1假设(H1),(H2)成立且令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),则对某些T >0,问题(1.1)-(1.3)存在唯一弱解并满足正则性u ∈C ([0,T ];H 10(Ω))∩C 1([0,T ];L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω)).证我们先分四个步骤来证明问题(1.1)-(1.3)正则解u ∈L ∞([0,T ];H 10(Ω)),u t ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))的存在唯一性结论.第一步逼近问题.令{ωj }∞j =1为H 的一组完备正交基且定义有限维子空间V m :=span {ω1,ω2,···,ωm },m ∈N .我们定义近似解u m (x,t ):=∑mj =1b jm (t )ωj (x ),其中u m (x,t )为如下Cauchy 问题的解:∫Ωu mtt ωj d x +∫Ω∇u m ∇ωj d x +σ(∥∇u m ∥22)∫Ω|u mt |γ−2u mt ωj d x =∫Ω|u m |p −2u m log |u m |ωj d x,(2.1)u m (0)=u 0m =m ∑j =1b jm (0)ωj →u 0,在H 中,(2.2)u mt (0)=u 1m =m ∑j =1b jmt (0)ωj →u 1,在L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω)中.(2.3)由ODE 标准理论可知,上述Cauchy 问题(2.1)-(2.3)在区间[0,T m ),T m >0上存在唯一解b jm (t ),我们将通过接下来的先验估计将解延伸到[0,T ].第二步先验估计.第一先验估计对(2.1)两边乘b ′jm (t ),关于j =1,2,···,m 求和并关于时间变量从0到t ≤T m 积分可得¯E m (t )+∫t0σ(∥∇u m (s )∥22)∥u ms (s )∥γγd s =¯E m (0)+∫t 0∫Ω|u m (s )|p −2u m (s )log (|u m (s )|)u ms (s )d x d s,(2.4)其中¯Em (t )=12[∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22].且由(2.2)(2.3)可得¯Em (0)<+∞.另一方面,经过简单计算,我们易得log |u (x )|<|u (x )|ααa.e.x ∈Ω,∀α>0.(2.5)结合Young 不等式可以导出∫Ω|u m |p −2u m u mt log |u m |d x ≤1α∫Ω|u m |p +α−1u mt d x,≤14ε1α2γ−1γ∫Ω|u m |(p +α−1)γγ−1d x +ε1γ∫Ω|u mt |γd x.(2.6)根据p 和γ的选择,我们可取α满足:若N ≥3,则0<α<2N(γ−1)(N −2)γ+1−p ;若N =1,2,则0<α<+∞.且应用嵌入H 10(Ω) →L γ(p +α−1)γ−1(Ω),(2.6)可改写为∫Ω|u m |p −2u m u mt log |u m |d x ≤C (p +α−1)γγ−1s (γ−1)4ε1α2γ∥∇u m ∥(p +α−1)γγ−12+ε1γ∥u mt ∥γγ,(2.7)其中C s 为最优嵌入常数.将(2.7)代入(2.4),应用(H1)我们导出12[∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22]+(b −ε1γ)∫t 0∥u ms (s )∥γγd s514应用数学2022≤¯E m (0)+C (p +α−1)γγ−1s (γ−1)4ε1α2γ∫t∥∇u m (s )∥(p +α−1)γγ−12d s,≤¯Em (0)+C (p +α−1)γγ−1s(γ−1)4ε1α2γ2β∫t0¯E βm (s )d s,其中β=(p +α−1)γγ−1>1.选取ε1使得ε1γ<b,则由非线性Gronwall 不等式可得:存在正常数L 1使得∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22+∫t∥u ms (s )∥γγd s ≤L 1,∀m ∈N ,∀t ∈[0,T ].(2.8)因此,由(2.8)我们得到{u m }在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中有界,(2.9){u mt }在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中有界,(2.10){u mt }在L γ(0,T ;L γ(Ω))中有界.(2.11)第二先验估计首先我们估计∥u mtt (0)∥22.在(2.1)中,取t =0且ωj =u mtt (0),我们有∥u mtt (0)∥22+σ(∥∇u m (0)∥22)∫Ω|u mt (0)|γ−2u mt (0)u mtt (0)d x −∫Ωu mtt (0)∆u m (0)d x =∫Ω|u m (0)|p −2u m (0)u mtt (0)log |u m (0)|d x.(2.12)利用H¨o lder 不等式,我们可得∥u mtt (0)∥22≤[∥∆u 0m ∥22+σ(∥∇u 0m ∥22)∥u 1m ∥2(γ−1)+∥∇u 0m ∥2]∥u mtt (0)∥2,再由σ的连续性及(2.2),(2.3)可得∥u mtt (0)∥2≤L 2,∀m ∈N ,(2.13)其中L 2为与m 无关的常数.紧接着,将(2.1)两边关于时间t 求导并乘b ′′jm (t ),关于j 求和并关于时间变量从0到t ≤T m 积分可得E m (t )+1γ−1∫t 0σ(∥∇u m (s )∥22)∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss |2d x = E m (0)−2∫t 0σ′(∥∇u m (s )∥22)∫Ω∇u m (s )×∇u ms (s )d x ∫Ω|u mt |γ−2u mt u mss (s )d x d s +∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )d x d s+(p −1)∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )log |u m (s )|d x d s,(2.14)其中 E m (t ):=12[∥u mtt ∥22+∥∇u mt ∥22].且由(2.2)和(2.3)可得 E m (0)<+∞.结合(2.9)和(H1),(2.14)可重写为E m (t )+1γ−1b ∫t 0∫Ω|u ms |γ−2|u mss |2d x d s ≤ E m (0)+C 1∫t 0∫Ω∇u m (s )×∇u ms (s )d x3d s +I 1+I 2+I 3,(2.15)其中I 1:=−2∫tσ′(∥∇u m (s )∥22)∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x∫Ω|u ms |γ−2u ms u mss (s )d x d s,第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程515I 2:=∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )d x d s,I 3:=(p −1)∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )log |u m (s )|d x d s.下面,我们估计I 1∼I 3.首先,由H¨o lder 不等式可得∫t 0∫Ω|u ms |γ−2u ms u mss (s )d x d s ≤∫t 0∫Ω|u ms |γ−1|u mss |d x d s≤(∫t 0∥u ms (s )∥γγd s)12(∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s )12.(2.16)利用Young 不等式,σ′的连续性及(2.9),我们可以估计I 1如下:I 1≤L 121C 3(∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s)12∫t 0∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x d s ≤L 121C 3ε1∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s +L 121C 3ε1∫t 0(∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x )2d s.(2.17)对I 2应用p −22(p −1)+12(p −1)+12=1的H¨o lder 不等式,嵌入H 10(Ω) →L 2(p −1)(Ω)及(2.9),我们导出I 2≤∫t 0(∫Ω|u m (s )|2(p −1)d x )p −22(p −1)(∫Ω|u ms (s )|2(p −1)d x )12(p −1)(∫Ω|u mss (s )|2d x )12d s≤∫t 0∥∇u m (s )∥p −22∥∇u ms (s )∥2∥u mss (s )∥2d s ≤L p −221∫t∥∇u ms (s )∥2∥u mss (s )∥2d s≤12L p −221∫t∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s.(2.18)接下来,应用(2.5)并选取适当α满足:若N ≥3,则α<2N −2N −2−p ;若N =1,2,则0<α<+∞.我们可类似于(2.18)的过程来导出I 3≤p −12αL p +α−221∫t 0∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s.(2.19)将(2.17)-(2.19)代入(2.15)并整理得E m (t )+(b γ−1−L 121C 3ε1)∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s≤12L p −221∫t 0∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s + E m (0)+12(p −1αL p +α−221+L p −221)∫t 0∥∇u ms (s )∥22d s +L 121C 3ε1∫t 0(∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x )2d s +12(p −1αL p +α−221+L p −221)∫t 0∥u mss (s )∥22d s.选取ε1<b (γ−1)L 121C 3,则存在正常数C 1,C 2使得 E m (t )≤C 1+C 2∫t 0E m d s.由非线性Gronwall 不等式可得,存在正常数L 3使得∥u mtt ∥22+∥∇u mt ∥22≤L 3,∀m ∈N ,(2.20)且知{u mt }在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中有界,(2.21){u mtt }在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中有界.(2.22)516应用数学2022第三步取极限.结合(2.9)-(2.11)即(2.21)-(2.22),存在函数u 及{u m }∞m =1的子序列(方便起见,仍记为{u m }∞m =1)使得u m W ∗−→u,在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中,(2.23)u mt W ∗−→u t ,在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中,(2.24)u mt W −→u t ,在L γ(0,T ;L γ(Ω))中,(2.25)u mtt W ∗−→u tt ,在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中.(2.26)由(2.23),(2.24)及Aubin-Lions 引理可得u m −→u,在C ([0,T ];H 10(Ω))中.(2.27)因此u m −→u,a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ].这表明σ(∥∇u m ∥22)−→σ(∥∇u ∥22),a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ],|u m |p −2u m log |u m |−→|u |p −2u log |u |,a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ].另一方面,由(2.5),(2.9)及嵌入不等式,我们导出∫Ω |u m |p −2u m log |u m | 2d x ≤∫{x ∈Ω||u m |≤1}|u m |p −2u m log |u m | 2d x +1µ∫{x ∈Ω||u m |>1}|u m |2(p −1+µ)d x,≤[1(p −1)e ]2|Ω|+1µ∥u m ∥2(p −1+µ)2(p −1+µ),≤[1(p −1)e ]2|Ω|+21µB 2(p −1+µ)µ−1∥∇u m ∥2(p −1+µ)2≤C 5,(2.28)其中选择合适的正数µ使其满足:若N ≥3,则0<µ<N2(N −2)+1−p ;若N =1,2,则0<µ<+∞,且对0<x <1,应用不等式|x p −1log x |≤(e (p −1))−1,我们得到|u m |p −2u m log |u m |W ∗−→|u |p −2u log |u |,在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中.另外,由H ×(L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω))在H 10(Ω)×L 2(Ω)中的稠密性可知(u 0m ,u 1m )→(u 0,u 1),在H 10(Ω))×L 2(Ω)中.在(2.1)-(2.3)中取极限可得u tt −∆u +σ(∥∇u ∥22)g (u t )=|u |p −2u log |u |,在u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))中,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ).第四步唯一性.令u 1和u 2是问题(1.1)-(1.3)的解并记z :=u 1−u 2,则由(1.1)我们可知z 满足如下的方程:∫Ωz tt ωj d x +∫Ω∇z ∇ωj d x +∫Ωσ(∥∇u 1∥22)|u 1t |γ−2u 1t ωj d x −∫Ωσ(∥∇u 2∥22)|u 2t |γ−2u 2t ωj d x =∫Ω|u 1|p −2u 1log |u 1|ωj d x −∫Ω|u 2|p −2u 2log |u 2|ωj d x,(2.29)用z t 代替上式中的ωj ,我们得到12d d t (∥z t ∥22+∥∇z ∥22)+I 4=I 5+I 6,(2.30)其中I 4=σ(∥∇u 1∥22)∫Ω(|u 1t |γ−2u 1t −|u 2t |γ−2u 2t )z t d x,I 5=−(σ(∥∇u 1∥22)−σ(∥∇u 2∥22))·∫Ω|u 2t |γ−2u 2t z t d x,I 6=∫Ω(|u 1|p −2u 1log |u 1|−|u 2|p −2u 2log |u 2|)z t d x.下面,我们将估计I 4∼I 6.首先,应用平均值定理,存在θ∈(0,1),我们导出(|u 1t |γ−2u 1t −|u 2t |γ−2u 2t )z t =∫1(θu 1t +(1−θ)u 2t )γ−2z t d θz t第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程517=1γ−1(|θu 1t +(1−θ)u 2t |γ−2(θu 1t +(1−θ)u 2t )) 10z t =1γ−1(12(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)(u 1t −u 2t )+12(|u 1t |γ−2−|u 2t |γ−2)(u 1t +u 2t ))z t =12(γ−1)((|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2+(|u 1t |γ−2−|u 2t |γ−2)(|u 1t |2−|u 2t |2))≥12(γ−1)((|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2.结合(H1),我们可以对I 4估计如下:I 4≥b 2(γ−1)∫Ω(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z 2t |d x.(2.31)然后,利用(H1),H¨o lder 不等式和Young 不等式,我们可估计I 5如下:I 5=−(σ(∥∇u 1∥22)−σ(∥∇u 2∥22))∫Ω|u 2t |γ−2u 2t z t d x≤C ∥∇z ∥2∫Ω|u 2t |z t d x +C ∥∇z ∥2∫Ω|u 2t |γ−1z t d x ≤C ∥u 2t ∥2∥∇z ∥2∥z t ∥2+C ε2∥u 2t ∥γγ∥∇z ∥22+ε2∫Ω(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2d x.(2.32)对I 6,用H¨o lder 不等式得到I 6≤∥G (u 1)−G (u 2)∥2∥z t ∥2,(2.33)其中G (s )=|s |p −2s log |s |.再由平均值定理及(2.5),存在ξ∈(0,1)使得|G (u 1)−G (u 2)|=|G ′(ξu 1+(1−ξ)u 2)z |≤[1+(p −1)log |ξu 1+(1−ξ)u 2|]|ξu 1+(1−ξ)u 2|p −2|z |≤|ξu 1+(1−ξ)u 2|p −2|z |+(p −1)α3|ξu 1+(1−ξ)u 2|p +α3−2|z |≤|u 1+u 2|p −2|z |+(p −1)α3|u 1+u 2|p +α3−2|z |,(2.34)其中选取合适的α3使其满足:若N ≥3,则0<α3≤p −22(p −1)(2N N −2+2(1−p ));若N =1,2,则0<α3<+∞.对(2.34)右边的两项利用H¨o lder 不等式和Sobolev 嵌入不等式,我们分别导出∫Ω|u 1+u 2|2(p −2)|z |2d x ≤C 1(∫Ω|u 1+u 2|2(p −1)d x )p −2p −1(∫Ω|z |2(p −1)d x)1p −1≤C 1[∥u 1∥2(p −1)2(p −1)+∥u 2∥2(p −1)2(p −1)]p−2p −1∥z ∥22(p −1)≤C 2[∥∇u 1∥2(p −1)2+∥∇u 2∥2(p −1)2]p −2p −1∥∇z ∥22(2.35)∫Ω|u 1+u 2|2(p +α3−2)|z |2d x ≤C 3[∥∇u 1∥p ∗2+∥∇u 2∥p ∗2]p −2p −1∥∇z ∥22,(2.36)其中p ∗=2(p −1)+2α3(p −1)p −2.现在,我们把(2.34)-(2.36)代入到(2.33)并整理得到I 6≤C 4{[∥∇u 1∥2(p −1)2+∥∇u 2∥2(p −1)2]p −2p −1+[∥∇u 1∥p ∗2+∥∇u 2∥p ∗2]p −2p −1}(∥∇z ∥22+∥z t ∥22).(2.37)选取ε2<b2(γ−1),将(2.31),(2.32)和(2.37)代入到(2.30)且结合(2.23)得到d d t(∥∇z ∥22+∥z t ∥22)≤C (1+∥u 2t ∥γγ)(∥∇z ∥22+∥z t ∥22).518应用数学2022对上式从0到t 上积分,应用(2.25)和Gronwall 不等式,可知存在正常数L 4使得∥z t ∥22+∥∇z ∥22≤L 4(∥z 1∥22+∥∇z 0∥22),∀m ∈N ,且∥z t ∥22=∥∇z ∥22=0,即可得唯一性的结论.下面,我们应用稠密性理论,从局部正则解u ∈L ∞([0,T ];H 10(Ω)),u t ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))的适定性中导出局部解u ∈C ([0,T ];H 10(Ω))∩C 1([0,T ];L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω))的适定性.由H 在H 10(Ω)中稠密,L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω)在L 2(Ω)中稠密及条件(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω)易知,存在{u 0η}⊂H 及{u 1η}⊂(L2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω))使得u 0η→u 0,在H 10(Ω)中,u 1η→u 1,在L 2(Ω)中,当η→+∞.(2.38)且对任意η∈N ,问题(1.1)-(1.3)存在以{u 0η,u 1η}为初值的正则解,且满足u η∈L ∞(0,T ;H 10(Ω)),u ηtt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω)),u ηt ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)).类似于前述的正则解的存在性证明中第一先验估计的导出过程,并令η2≥η1是两个任取的自然数且记z η:=u η2−u η1则易知∥z ηt ∥22+∥∇z η∥22≤C 1(∥z 1η∥22+∥∇z 0η∥22),∀0≤t <+∞.结合(2.38),我们得到z η(0)=u η1(0)−u η2(0)→0,在H 10(Ω)中,z ηt (0)=u tη1(0)−u tη2(0)→0,在L 2(Ω)中,∥z ηt ∥22+∥∇z η∥22→0,且u η→u,在C 0([0,T ];H 10(Ω))中,(2.39)u ηt →u t ,在C 0([0,T ];L 2(Ω))中.(2.40)因此,以上收敛性并结合(2.28)允许我们对问题(1.1)-(1.3)取极限,且得到弱解满足u tt −∆u +σ(∥∇u ∥22)g (u t )=|u |p −2u log |u |,在u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω)),u (0)=u 0,u t (0)=u 1,x ∈Ω,此外,关于局部弱解的唯一性需要用正则化方法,且可由Visik-Ladyzenskaya 的标准方法来得到.[14]14−16综上所述,我们得到问题(1.1)-(1.3)存在唯一的局部弱解.注2.1局部弱解的唯一性不可用常见的唯一性证明方法的原因在于:对偶积⟨H −1(Ω),L 2(Ω)⟩没有意义.3.弱解的整体适定性本节中,当p <γ时,结合连续性原理,我们得到与第一节中的局部弱解相同正则性的意思下问题(1.1)-(1.3)整体适定性.我们先给出下面引理,将在证明中起到关键作用.引理3.1假设(H1),(H2)成立,对任意的u ∈H 10(Ω)\{0},存在只依赖于Ω的正常数C >1使得∥u ∥s p ≤C (∥∇u ∥22+∥u ∥pp ),其中2≤s ≤p.证当∥u ∥p ≤1时,由Sobolev 嵌入定理可知∥u ∥s p ≤∥u ∥2p ≤C ∥∇u ∥22.同时,当∥u ∥p >1时,我们有∥u ∥s p ≤∥u ∥pp .由此可知,引理3.1成立.定理3.1假设(H1),(H2)成立,p <γ,令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),则问题(1.1)-(1.3)存在唯一整体弱解并满足正则性u ∈C ([0,+∞);H 10(Ω))∩C 1([0,+∞);L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,+∞;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,+∞;H −1(Ω)).第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程519证已证明了弱解的局部存在性定理,因此可证明连续性原理(见文[15]).这表明,解的生命跨度T max =∞或T max 有限且满足lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22=+∞.然而,用通常的能量泛函E (t ):=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥pp ,来分析对数源项和基尔霍夫型非线性弱阻尼项之间的相互作用遇到困难,故我们引入如下修正能量泛函:F (t )=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥p p +2pµ∥u ∥p +µp +µ,其中µ满足适当条件且我们只需证明F (t )满足指数形式有界,即通常的能量E (t )得到控制.由简单计算,易知E (t )关于时间变量单调递减,即d d tE (t )=−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ≤0.对F (t )直接求导,结合上式,(H1)和Young 不等式,我们导出F ′(t )=−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµ∫Ω|u |p +µ−2uu t d x ≤−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµ∫Ω|u |p +µ−1u t d x ≤−b ∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+2(p +µ)pµε3∥u t ∥p +µp +µ,其中ε3>0且C ε3是只依赖于ε3的正常数.注意到p <γ,我们可选µ足够小使得p +µ≤γ.因此,可用嵌入L γ →L p +µ可得F ′(t )≤−b ∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+C 1ε3∥u t ∥p +µγ,且F ′(t )≤C 2+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ.(3.1)事实上,当∥u t ∥γγ>1时,我们可选取ε3足够小使得−b ∥u t ∥γγ+C 1ε3∥u t ∥p +µγ≤0且有F ′(t )≤2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ;当∥u t ∥γγ≤1时,我们易知F ′(t )≤2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+C 1ε3.由此可知(3.1)显然成立.另一方面,由(2.5)可得如下F (t )的估计:F (t )=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥p p+2pµ∥u ∥p +µp +µ>12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p 2∥u ∥p p +1pµ∥u ∥p +µp +µ>1pµ∥u ∥p +µp +µ.(3.2)结合(3.1)和(3.2),可得F ′(t )≤C 2+C 4F (t ),其中C 4=2(p +µ)C ε3pµ且F (t )≤(F (0)+C 2C 4)e C 4t .上式与连续性原理结合,即可得整体解的存在性.事实上,我们只需证明:如果T max <+∞,则lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22=+∞就可.利用反证技巧,假设上述结论不成立,即T max <+∞且lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22<+∞.则存在一个序列{t n ,n =1,2,···}和一个正常数K 使得当n →+∞时t n →T max 且满足∥u t ∥22+∥∇u ∥22<K,n =1,2,···.由前述证明可知,对每一个n ∈N ,初值为u (x,t n )的问题(1.1)-(1.3)的解在[t n ,t n +T ∗]上存在且唯一,其中正常数T ∗依赖于K 但不依赖于n ∈N .因此,对足够大的n ∈N ,我们可得到T max <t n +T ∗.这与T max 是解的最大存在时间矛盾.定理3.1证毕.4.爆破现象本节中,我们利用反证技巧得到,当p >γ时问题(1.1)-(1.3)具有负初始能量的解在有限时刻发生爆破.引理4.1[11]若满足∫Ω|u |plog |u |d x >0.则存在一个只依赖于Ω的正常数C 使得下式成立∥u ∥p p ≤C [∫Ω|u |plog |u |d x +∥∇u ∥22],∀u ∈L p (Ω).(4.1)520应用数学2022现在,我们陈述有限时刻发生爆破结论.定理4.1假设(H1),(H2)成立,p >γ且令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),E (0)<0,则问题(1.1)-(1.3)的解在有限时刻发生爆破,即T max <+∞.证利用反证技巧,假设问题(1.1)-(1.3)解整体存在,即T max =+∞.我们引入辅助函数K (t ):=∥u (t )∥22,H (t ):=−E (t ),∀0≤t ≤T 1,其中正常数T 1将在之后给出.且由E (t )的单调性可知:H ′(t )=−E ′(t )≥0,且H (t )≥H (0)=−E (0)>0,∀0≤t ≤T 1.(4.2)我们记G (t ):=∫Ωσ(∥∇u ∥22)u |u t |γ−2u t d x,∀0≤t ≤T 1.现在,由问题解的整体存在性假设知∥∇u ∥22≤C 1,∥u t ∥22≤C 0,∀0≤t ≤T 1.(4.3)并由条件(H1)中σ(s )的连续性,我们有σ(∥∇u ∥22)≤max 0≤∥∇u ∥22≤C 1σ(∥∇u ∥22):=σ1,∀0≤t ≤T 1.(4.4)结合H¨o lder 不等式和Young 不等式,我们导出|G (t )|= ∫Ωσ(∥∇u ∥22)u |u t |γ−2u t d x =σ(∥∇u ∥22)∫Ω|u ||u t |γ−1d x ≤(σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγη−γγ−1)γ−1γ(σ(∥∇u ∥22)1γ∥u ∥γη)≤γ−1γη−γγ−1σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+1γηγσ(∥∇u ∥22)∥u ∥γγ≤γ−1γη−γ−1γH ′(t )+1γηγ∥u ∥γγσ1,(4.5)其中正常数η将在之后给出.接下来,对K (t )直接求导得到K ′(t )=2∫Ωuu t d x,K ′′(t )=2dd t ∫Ωuu t d x,且令y (t ):=H 1−ξ+γ2γ(t )+ε4∫Ωuu t d x,其中正常数ε4将在之后给出.由p >γ知,我们可取正常数ξ满足γ(p −γ)p 2<ξ<p −γp<1.(4.6)且对y (t )直接求导,并利用(4.5)式,我们有y ′(t )=1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γH ′(t )+12K ′′(t )ε4=1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γH ′(t )+ε4∥u t ∥22−ε4∥∇u ∥22+ε4∫Ω|u |p log |u |d x −ε4σ(∥∇u ∥22)∫Ωu |u t |γ−2u t d x,≥[1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γ(t )−ε4γ−1γηγ−1γ]H ′(t )+ε4∥u t ∥22−ε4∥∇u ∥22+ε4∫Ω|u |plog |u |d x −ε4ηγγσ1∥u ∥γγ.进一步,引入0<a <1,并将上式改写为y ′(t )≥[1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γH −1+ξ+γ2γ(t )]H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4p (1−a )−22∥∇u ∥22+aε4∫Ω|u |plog |u |d x +(1−a )p ∥u ∥p p −ε41γηγH −ξ(t )H ξ(t )σ1∥u ∥γγ.(4.7)第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程521现在,我们断言∫Ω|u |plog |u |d x >0.事实上,由能量函数E (t )的定义和单调性,我们有1p ∫Ω|u |p log |u |d x =12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p2∥u ∥pp −E (t )≥12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p2∥u ∥p p −E (0)≥0,(4.8)且引理4.1的条件成立.下面,我们估计(4.7)式右端最后一项.由引理4.1可得∥u ∥γγ≤C 2[(∫Ω|u |plog |u |d x )γp +∥∇u ∥2γp 2],并结合(4.2)和Young 不等式,我们导出H ξ(t )∥u ∥γγ≤(1p ∫Ω|u |plog |u |d x )ξ∥u ∥γγ≤C 3[(∫Ω|u |p log |u |d x )γp +ξ+(∫Ω|u |plog |u |d x )ξ∥∇u ∥2γp2]≤C 4[(∫Ω|u |p log |u |d x )γp +ξ+∥∇u ∥22+(∫Ω|u |p log |u |d x )ξpp −γ].(4.9)由(4.6),知γp<γ+pξp≤1,γp <ξp p −γ≤1,且利用(4.9)可得H ξ(t )∥u ∥γγ≤C 5(∫Ω|u |plog |u |d x +∥∇u ∥22).将上式代入到(4.7)并整理得到y ′(t )≥[1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γH −1+ξ+γ2γ(t )]H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4(p (1−a )−22−1γηγH −ξ(t )σ1C 5)∥∇u ∥22+ε4(a −1γηγH −ξ(t )σ1C 5)∫Ω|u |plog |u |d x +ε4(1−a )p ∥u ∥p p .(4.10)此外,应用(2.5),(4.3),H (t )的定义和嵌入不等式,我们得到H (t )=−12∥u t ∥22−12∥∇u ∥22+1p ∫Ω|u |p log |u |d x −1p2∥u ∥p p≤1p 1δ∥u ∥p +δp +δ≤1p 1δB p +δδ∥∇u ∥p +δ2≤1p 1δB p +δδC p +δ21.且上式与(4.2)和(4.10)结合,我们导出y ′(t )≥ 1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γ(1p 1δB p +δδC p +δ21)−1+ξ+γ2γ H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4(p (1−a )−22−1γηγH −ξ(0)σ1C 5)∥∇u ∥22+ε4(a −1γηγH −ξ(0)σ1C 5)∫Ω|u |plog |u |d x +ε4(1−a )p ∥u ∥p p .(4.11)可选取充分小的正数a 使得p (1−a )−22>0,并可选取η充分小,使得p (1−a )−22−1γηγH −ξ(0)σ1C 5>0,且a −1γηγH −ξ(0)σ1C 5>0.固定η和a 之后,我们现在可选取充分小的ε4使得1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γ(1p 1δB p +δδC p +δ21)−1+ξ+γ2γ>0,522应用数学2022(−E(0))1−ξ+γ2γ−C2ε4C1−12ε4C0≥0,(4.12)且H1−ξ+γ2γ(0)+ε4∫Ωu0u1d x>0.于是,由(4.11)知,存在正常数C6使得y′(t)≥C6[H(t)+∥u t∥22+∥∇u∥22+∥u∥p p]≥0,(4.13)且知y(t)在(0,T max)上单调递增且满足y(t)=H1−ξ+γ2γ(t)+ε4K′(t)≥H 1−ξ+γ2γ(0)+ε4K′(0)>0.再由(4.6)及p>γ知,0<ξ<1且令r:=γ1−ξ+γ2,则根据不等式:|a+b|r≤2r−1(|a|r+|b|r),r≥1,以及Young不等式,我们得到y r(t)≤2r−1(H(t)+ε4∥u(t)∥r2∥u t(t)∥r2)≤C7(H(t)+∥u(t)∥11−ξγ2+∥u t(t)∥22).(4.14)进一步,我们估计(4.14)右端第二项.由(4.6)知,1−ξ>γp,且应用如下不等式:xτ≤(1+1m)(m+x),x≥0,0≤τ≤1,m>0,并取x=∥u(t)∥p2,τ=γ(1−ξ)p<1,m=H(0),得到∥u(t)∥γ1−ξ2≤(1+1H(0))(H(0)+∥u(t)∥p2)≤C8(H(t)+∥u(t)∥pp).(4.15)将(4.15)代入到(4.14)中,我们有y r(t)≤C9(H(t)+∥u(t)∥pp+∥u t(t)∥22),由上式与(4.13),我们得到y′(t)≥C10y r(t),∀0≤t≤T1.(4.16)且对上式关于时间变量从0到t积分,我们有y(t)≥(y(0)1−r−C10(r−1)t)−1r−1,0≤t≤T1.我们可取T1≥T∗=y(0)1−rC10(r−1),且由r:=γ1−ξ+γ2>1和y(0)>0知,在[0,T1]上存在有限时刻T2≤T∗使得y(t)满足limt→T−2y(t)→+∞.(4.17)但是,我们断言:存在正常数使得C11≤y(t)≤C12,∀0≤t≤T1.(4.18)事实上,由(4.3),(4.4),Poincare不等式,H¨o lder不等式和Young不等式和嵌入不等式,我们导出y(t)=H1−ξ+γ2γ(t)+ε4∫Ωuu t d x=(∫tσ(∥∇u∥22)∥uτ∥γγdτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ+ε4∫Ωuu t d x≤(∫tσ1∥uτ∥22dτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ+C2ε4∥∇u∥22+12ε4∥u t∥22≤C11,且y(t)≥(∫tb∥uτ∥γγdτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ−C2ε4∥∇u∥22−12ε4∥u t∥22,≥(−E(0))1−ξ+γ2γ−12ε4C0−C2ε4C1≥C12>0,其中最后一式由(4.12)得到.显然,(4.17)与(4.18)产生矛盾且我们知T max<+∞.定理4.1证毕.参考文献:[1]LANGE H,PERLA M G.Rates of decay of a nonlocal beam equation[J].Diﬀer.Integral Equ.,1997,10(6):1075-1092.第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程523[2]GEORGIEV V,TODOROVA G.Existence of solutions of the wave equation with nonlinear dampingand source terms[J].J.Diﬀerential Equations,1994,109:295-308.[3]MESSAOUD S A.Blow up in a nonlinearly damped wave equation[J].Math.Nachr.,2001,231:105-111.[4]JORGE SILVA M A,NARCISO V.Long-time dynamics for a class of extensible beams with nonlocalnonlinear damping[J].Evol.Equ.Control Theory,2017,6(3):437-470.[5]ZHANG H W,LI D H,HU Q Y.Asymptotic stability and blow-up for the wave equation withdegenerate nonlocal nonlinear damping and source terms[J/OL].Appl.Anal.,2020[2021-06-01].DOI:10.1080/00036811.2020.1836354.[6]CAZENAVE T,HARAUX A.´Equations d’´e volution avec non-lin´e arit´e logarithmiqu[J].Ann.Fac.Sci.Toulouse Math.,1980,2(1):21-51.[7]ZHANG H W,LIU G W,HU Q Y.Exponential decay of energy for a logarithmic wave equation[J].J.Partial Diﬀ.Equ.,2015,28(3):269-277.[8]MA L W,FANG Z B.Energy decay estimates and inﬁnite blow-up phenomena for a strongly dampedsemilinear wave equation with logarithmic nonlinear source[J].Math.Method App.Sci.,2018,41(7): 2639-2653.[9]DI H F,SHANG Z F,SONG Z F.Initial boundary value problem for a class of strongly dampedsemilinear wave equations with logarithmic nonlinearity[J].Nonlinear Anal.Real World Appl.,2020, 51:102968.[10]LIAN W,XU R Z.Global well-posedness of nonlinear wave equation with weak and strong damp-ingterms and logarithmic source term[J].Nonlinear Anal.,2020,9:613-632.[11]KAFINI M,MESSAOUDI S.Local existence and blow up of solutions to a logarithmic nonlinearwave equation with delay[J].Appl.Anal.,2020,99(3):530-547.[12]LIU L,WANG M.Global existence and blow-up of solutions for some hyperbolic systems withdamping and source terms[J].Nonlinear Anal.,2006,64(1):69-91.[13]MESSAOUDI S A.Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math.Nachr.,2003,260:58-66.[14]LIONS J L.Quelques Méthodes de R´e solution des Probl´e mes aux Limites Non Lin´eéairess[M].Paris:Dunod,1969.[15]SEGAL I.Nonlinear semigroups[J].Ann.Math.,1963,78:339-364.On a Semilinear Wave Equation with Kirchhoﬀ-type Weak Damping Terms and Logarithmic NonlinearityYANG Yi,FANG Zhongbo(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao266100,China) Abstract:Under homogeneous Dirichlet conditions,the well-posedness and qualitative propertiesfor a semilinear wave equation with Kirchhoﬀ-type weak damping terms and logarithmic nonlinearity were considered.By improving the well-posedness for regular solution and density argument,a local existence of weak solutions was proved.Meanwhile,based on modiﬁed energy technique and contradiction argument, a global existence with p<γand theﬁnite time blow-up with p>γwere also established.Key words:Semilinear wave equation;Kirchhoﬀ-type weak damping;Logarithmic nonlinearity; Global existence;Blow-up。

高考题与对数的发明相似题

高考题与对数的发明相似题1.弹性力学的发明随着科学技术的发展，人们越来越重视物理规律。

其中，弹性力学发明是一项重要的技术，它主要用于描述物质运动和变形状的加速度、速度和位移间的关系。

弹性力学可以解决扭矩学、水动力学和刚体力学问题。

其主要定律称作Hooke定律，由物理学家Robert Hooke在1660年发明。

它是一个表达开放系统力学力量作用时变形的定律：若力量作用的模量是常量，则弹性力学较小的物体，其变形程度大小与该力量之比成正比；变形程度大小与该力量的平方值之比成正比，在其发展过程中，经过实验，目前Hooke定律已经得到了完善的发展。

2.波动方程的发明此外，另一项重大的科学技术，即波动方程的发明，它是由现代物理学家Joseph Fourier提出的。

Fourier方程是一个非线性的方程，它用于描述波型变化。

它是用正弦、余弦及其他几何函数来描述集合函数的综合变形状态，从而推知函数的准确变形。

Fourier方程不仅可以应用于统计波动和传播的物理问题，还可以应用于数学分析、逆向工程、傅立叶变换和信号处理领域。

3.对数的发明最后一项重要的技术，即对数的发明，这是由John Napier在16世纪初发明的。

对数是一种表示基数体系中底数折归次方、乘方数关系的数学表示形式。

算术运算中，logarithm函数是反函数，它把加法和乘法变成减法和除法；它本质上是一种折叠，将太多的元素简化成少量的元素，且分级复杂的运算准确度高。

这种折叠现象也出现在物理现象中，比如音频记录中的折叠，把声音的不同频段保留在一个频段中。

现在，人们已经广泛使用对数，并用它来加快运算速度，在众多领域表现出它的重要作用。

广义KdV-Burgers方程的势对称和不变解

广义KdV-Burgers方程的势对称和不变解朱永平;吉飞宇;陈晓艳【摘要】In this paper, the symmetries of generalized KdV - Burgers equation with different coeﬃcients are discussed with the help of Wu′s method in differential forms. And new potential symmetries are obtained. Furthermore, the corresponding invariant solutions can be obtained by using the above symmetries. The solutions have are of great importance to further researching the physical phenomena described by generalized KdV -Burgers equation.% 用微分形式的吴方法讨论了广义KdV-Burgers 方程不同系数情况下的势对称，并且利用这些对称求得了相应的不变解，这些解对进一步研究广义 KdV - Burgers 方程所描述的物理现象具有重要意义。

【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】8页(P164-171)【关键词】KdV-Burgers方程;微分形式的吴方法;势对称;不变解【作者】朱永平;吉飞宇;陈晓艳【作者单位】西北大学数学系，陕西西安710127;西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055;西北大学数学系，陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】O175.2偏微分方程的对称理论和方法[1]是以求解线性微分方程的变量分离法,Fourier级数法及积分变换等为其特例的普适性方法,在求精确解和对称约化方面具有广泛的应用[23].由于古典对称方法在构造微分方程的对称中存在一定的局限性,因此,1981年Perk和Schultz提出了超对称,1994年Zhdanow和Fokas以及Liu提出了广义条件对称等,这些均是对古典对称的推广.1989年,Bluman提出的势对称理论[4]是扩充方程(组)对称的简便有效方法.近期,有许多学者致力于某些重要的非线性偏微分方程的势对称及不变解的研究,得到了许多重要成果[5-7].在物理学中是一类非常重要的非线性波动方程,可看作是Burgers方程及Kuramoro-Sivashinsky方程组合的一种简单耗散模型.该类方程的很多理论结果受到了广泛关注[911].本文采用微分形式的吴方法[12]作为辅助计算,对KdV-Burgers方程的势对称和不变解进行了研究,将方程中系数的各种情况分类讨论,获得了与以往文献不同的势对称和不变解,并且大大降低了求解确定方程组的难度.2.1 基本理论假设给定方程的自变量是x,t,其中u=u(x,t)是未知函数,并且该方程可以写成守恒形式:引入势变量v,得到方程(2)的辅助系统:设辅助系统的(3)的古典对称向量为:2.2 广义KdV-Burgers方程的势对称和不变解将方程(1)写成守恒形式:引入势变量v,得到相应的辅助系统:设方程组(6)对应的古典对称向量为:下面对方程组(6)的系数α,β,γ分八种情形进行讨论.情形1α/=0,β/=0,γ/=0.用微分形式的吴方法计算得到(6)式的确定方程组为:本文利用微分形式的吴方法计算了广义KdV-Burgers方程在不同系数情况下的势对称,并且求得了对应的不变解,获得了与以往文献不同的结果.这对进一步研究广义KdVBurgers方程具有重要的意义.对于可写成守恒形式的微分方程在什么样的情况下允许势对称,有待于继续研究.【相关文献】[1]Peter J Olver.Applications of Lie Groups to Differential Equations[M].New York:Spring-Verlag,1986.[2]王珍,吉飞宇.mKdV方程的对称和群不变解[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(6):778-780.[3]姬利娜,张颖.多孔介质方程的广义条件对称和精确解[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(3):339-342.[4]George W Bluman,Sukeyuki Kumei.Symmetries and Integration Methods for Differential Equations[M]. New York:Spring-Verlag,1989.[5]Gandarias M L.New potential symmetries for some evolution equations[J].PhysicaA,2008,387(10):2234-2242.[6]张红霞,郑丽霞.Benney方程的势对称和不变解[J].动力与控制学报,2008,6(3):220-222.[7]饶云高,朝鲁.广义KdV-Burgers方程新形势下的势对称分类[J].内蒙古工业大学学报,2012,31(1):1-6.[8]郭柏灵.一类更广泛的Kdv方程的整体解[J].数学学报,1982,25(6):641-656.[9]Ablowitz M J.Clarkson P A.Solitons,Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scatting[M].New York: Cambridge University Press,1991.[10]Zhang S L,Wang Y,Lou S Y.Approximate generalized conditional symmetries for perturbed evolution equations[J].Commu.Theor.Phys.,2007,47(6):975-980.[11]Zhang S L,Li J N.Initial-value problem for extended KdV-Burgers equations via generalized conditional symmetries[J].Chinese Physics Letters,2007,24(6):1433-1436. [12]朝鲁.微分方程(组)对称向量的吴-微分特征列算法及其应用[J].数学物理学报,1999,19(3):326-332.。

波函数及其一阶微商的连续性

波函数及其一阶微商的连续性
罗礼进;方靖淮
【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(6)2
【摘要】从薛定谔方程出发,依据数学原理对波函数及其一阶微商的连续条件作出严格的推证,得出波函数及其一阶微商连续的条件为:当势函数连续时,波函数及其一阶微商均连续;当势函数不连续时,若在其间断点的某一邻域内势函数有界,则波函数及其一阶微商连续.若在其间断点的某一邻域内势函数无界,则波函数及其一阶微商可能连续,也可能不连续.
【总页数】3页(P18-20)
【作者】罗礼进;方靖淮
【作者单位】南通大学,理学院,江苏,南通,226007;南通大学,理学院,江苏,南
通,226007
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.微商不连续波函数的应用 [J], 李树深
2.关于波函数一阶导数的连续性 [J], 孙存兰;张学龙
3.关于波函数一阶导数的连续性 [J], 朱玉霞
4.关于波函数一阶导数的连续性 [J], 孙存兰;张学龙
5.关于波函数一阶导函数的“连续”问题的探讨 [J], 暴学伟
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

浅议量子化条件

子中，电子绕核沿圆轨道运动。所以，在圆周上必须有偶数个波腹偶数个波节，才能够形成
驻波。即
l = 2πr = nλ
（19）
又
λ= h p
即得
L = mυr = nh,
n = 1,2,3K
这正是量子化条件。下面将给出几个证明玻尔索末菲量子化条件证明的几个例子。
1、从圆周运动直接推
∫ Pdq = P∫ dq
=
Enπ
/(hω )
由此计算得到一维谐振子能级符合通常结果，
En
=
(n +
1 2
)hω
。
参考文献：【1】钱伯初。量子力学。北京：电子工业出版社，1993，3：12-19，198 【2】罗光，肖广渝。浅议导出玻尔量子化条件的驻波条件。重庆师范大学学报（自然科
学版）。2008，25（2）【3】何贤文。精确量子化条件的应用。黄冈师范学院学报。2008，28 【4】催金玉。玻尔索末菲量子化条件证明的几个例子。牡丹江师范学院报（自然科学版）。
=
mem p me + mp
代替上式中的电子质量 me ，这
样得到氢原子光谱里德伯常数理论值为
RH
=
2π 2 µe4 ch 3
= 109677cm−1
和实验符合得很好。下面再从驻波条件方向推导量子化条件。
直线弦振动形成驻波的条件是 l = n λn 2
(n = 1,2,3K) 。而按照波尔的模型，在氢原
为了确定电子的轨道，即分立能级相应的定态，玻尔提出了量子化条件，即电子运动的
角动量是量子化的
mvr = nh
（n=1，2，3…）
（2）
后来，索末菲尔德推广了这一量子化条件，对于任何一个周期运动，有量子化条件