辽宁省高二上学期期末数学试卷(理科B卷)B卷
2020-2021学年人教版六年级下册期末测试数学试卷(B卷)
第1页，总20页绝密·启用前2020-2021学年人教版六年级下册期末测试数学试卷（B 卷）1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、填空题1.3()＝14＝（ ）÷24＝（ ）%＝（ ）。
（小数）2.如果规定向西为正，那么向东走5m 记作________m 。
3.地图上1cm 的距离相当于地面80km 的距离，这幅地图的比例尺是________。
4.最小的自然数是______，最小的偶数是______，最小的质数是______。
5.7个点可以连______条线段，六边形的内角和是______度。
6.一个平行四边形和一个三角形等底等高．如果三角形的面积是30平方厘米，平行四边形的面积是________平方厘米．7.学校买来9个足球，每个a 元，又买来b 个篮球，每个58元。
篮球比足球多花多少元可表示为：________元。
8.把4米长的绳子平均分成6段,每段长____米,每段占全长的_____。
9.小刚家今年收玉米20吨，由于旱灾，今年比去年少收两成，去年收________吨。
10.盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同颜色的，至少要摸出______个球。
要想保证摸出的球一定有不同颜色的，至少要摸出______个球。
11.把长6厘米、宽3厘米的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是________cm 2。
12.圆锥和圆柱的底面积和体积分别相等，圆锥与圆柱高的比值是______。
13.2100年的2月份有_____天。
14.2.8平方千米＝________公顷；320立方厘米＝________升。
15.找规律，填数。
0，1，1，2，3，5，8，13，________，________。
16.如果3a ＝4b ，（a 、b≠0），那么a∶b＝________∶________。
第2页，总20页二、判断题17.真分数的倒数一定是假分数． _____18.等底等高的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。
浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)含答案
2023学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（B 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线方程10x y ++=，则倾斜角为（）A.45° B.60°C.120°D.135°【答案】D 【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线10x y ++=的斜率为-1，设直线的倾斜角为θ，则tan 1θ=-，因为[)0,πθ∈，所以3π1354θ== .故选：D.2.抛物线24y x =的准线方程为（）A.2x =-B.=1x - C.1y =- D.=2y -【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求解.【详解】由抛物线24y x =得：焦点在x 轴上，开口向右，p =2，所以其准线方程为=1x -，故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.3.在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则()12AB BD BC ++=（）A.ADB.GAC.AGD.MG【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得2BD BC BG +=，代入即可得出答案.【详解】因为，点G 是CD 的中点，所以，2BD BC BG +=，所以，()12AB BD BC AB BG AG ++=+=.故选：C.4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则4a =（）A.2B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由443a S S =-直接计算即可.【详解】由题意()()4344321218a S S =-=---=.故选：C.5.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1A 到平面1AB C 的距离为（） A.13B.12C.23 D.33【答案】D 【解析】【分析】设点1A 到平面1AB C 的距离为h ，根据1111A AB C C A AB V V --=，结合锥体的体积的计算，即可求解.【详解】如图所示，设点1A 到平面1AB C 的距离为h ，由1111A AB C C A AB V V --=，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，可得11AC CB B A ===三棱锥11A AB C -的体积为11113A ABC AB C V S h -=⨯⨯ ，所以11121113432h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得h ，所以点1A 到平面1AB C 的距离为3.故选：D.6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角形数．．．．，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（）A.55B.49C.36D.28【答案】C 【解析】【分析】由题意，整理数列的通项公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意，三角形数可看作11=，312=+，6123=++，101234=+++，则第n 个三角形数为()11232n n n +++++=；正方形数可看作211=，242=，293=，2164=，，则第n 个正方形数为2n ；对于A ，令255n =，其解不是正整数，所以55不是正方形数，故A 错误；对于B ，令249n =，解得7n =，令()1492n n +=，其解不是正整数，所以49不是三角形数，故B 错误；对于C ，令236n =，解得6n =，令()1362n n +=，解得8n =，故C 正确；对于D ，令228n =，显然其解不是正整数，所以28不是正方形数，故D 错误.故选：C.7.已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A.13B.12C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，利用条件结合圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积，利用二次函数的图象和性质求解即可．【详解】设圆锥的底面半径为R ，高为h ；圆柱的底面半径为r ，高为x ，画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，如图则r h x R h-=，∴h x xr R R R h h-==-．∴圆柱侧面积22π2π·2π·2π(0)x R S r x R R x x Rx x h h h ⎛⎫==-=-+<< ⎪⎝⎭．22ππ(0)22R h Rhx x h h ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭∴当2hx =时，圆柱侧面积最大，此时圆柱与圆锥的高之比为21x h =．故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3，点P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y =交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（）A.B.C.2 D.23【答案】A 【解析】【分析】不妨设3a =，12F PF θ∠=，则c =21,,sin tan c c PF PQ F Q θθ===，结合椭圆定义可列关于θ的方程由此即可得解.【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3，不妨设3a =，则c =点P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y =交于点Q ，且12QF QF ⊥，所以260QOF ∠=，又O 是12F F 的中点，所以12212QO F F OF ==，所以2QOF △是正三角形，所以2QF c ==，可得2130F F P ∠= ，设12F PF θ∠=，21,,sin tan c c PF PQ F Q θθ===，所以2sin tan c c a θθ++=，即336sin tan θθ+=，所以22cos 1cos 12sin 2sin cos tan 222θθθθθθ+===tan 23θ=，又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，所以12tan F PF ∠=故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含θ的式子表示出21,,PF PQ FQ ，从而即可顺利得解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知圆221:870C x y x +-+=和圆222:60C x y y m +++=外离，则整数m 的一个取值可以是（）A.4B.5C.6D.7【答案】CD 【解析】【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，求出整数m 的值.【详解】因为方程22870x y x +-+=可化为()2249x y -+=，所以圆1C 的圆心1C 的坐标为()4,0，半径为3，因为方程2260x y y m +++=可化为()2239x y m ++=-，由已知90m ->，且m 为正整数，所以圆2C 的圆心2C 的坐标为()0,3-，所以圆心距125C C ==，因为圆1C 和圆2C 外离，所以53>+，所以59m <<，故m 的可能取值有6,7,8，故选：CD.10.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A.22142x y -=与22142x y += B.22142x y -=与22124y x -=C.22142x y +=与22124x y += D.240y x +=与220x y +=【答案】CD 【解析】【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.【详解】对于A 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；椭圆22142x y +=的离心率为22e ===≠，故A 错误；对于B 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；双曲线22124y x -=的离心率为62e ===≠，故B 错误；对于C 项，椭圆22142x y +=的离心率为2e ===；椭圆22124x y +=的离心率为2e ===，故C 项正确；对于D 项，方程240y x +=可化为抛物线24y x =-，方程220x y +=可化为抛物线22x y =-，而且抛物线的离心率均为1，故D 项正确.故选：CD.11.已知三棱锥-P ABC 如图所示，G 为ABC 重心，点M ，F 为,PG PC 中点，点D ，E 分别在,PA PB 上，PD mPA = ，PE nPB =，以下说法正确的是（）A.若12m n ==，则平面DEF ∥平面ABC B.111333PG PA PB PC=++ C.111266AM AP AB AC=++ D.若M ，D ，E ，F 四点共面，则111m n+=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由中位线得//,//DE AB DF AC ，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC ，直接由图形的性质分解向量即可；对于D 由B 中结论变形为111663PM PD PE PF m n =++，由四点共面的充要条件即可判断.【详解】对于A ，若12m n ==，即,D E 分别为,PA PB 的中点，又点F 为PC 的中点，所以//,//DE AB DF AC ，又DE ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以//DE 面ABC ，同理可证//DF 面ABC ，又,,DE DF D DE DF =⊂ 面DEF ，所以平面DEF ∥平面ABC ，故A 正确；对于BCD ，如图所示：设BC 中点为H ，连接,AH AM ，因为点G 为ABC 重心，所以点G 在线段AH 上面，所以()221332PG PA AG PA AH PA AB AC =+=+=+⨯+ ()11113333PA AP PB AP PC PA PB PC =++++=++，故B 正确；对于C ，1111122333AM AP PM AP PG AP PA PB PC ⎛⎫=+=+=+++ ⎪⎝⎭ ()()511111666266AP PA AB PA AC AP AB AC =++++=++，故C 正确；因为()11112233PG PM PA PB PC PD PE PF m n ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，所以111663PM PD PE PF m n =++ ，若M ，D ，E ，F 四点共面，则1111663m n ++=，解得114m n +=，故D 错误.故选：ABC.12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a <，120a a +>，则下列命题正确的是（）A.若{}n a 为等差数列，则数列{}n S 为递增数列B.若{}n a 为等比数列，则数列{}n S 为递增数列C.若{}n a 为等差数列，则数列{}n a 为递增数列D.若{}n a 为等比数列，则数列{}n a 为递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，得到公差0d >，110a d a +>->，结合等差数列求和公式得到110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，A 正确，推出()11n n a a n +>≥得到C 正确；BD 选项，得到公比211a q a =<-，举出反例得到C 错误，由10a >，且11n na q a +=>，得到D 正确.【详解】因为10a <，120a a +>，所以20a >，且211a a a >=-，AC 选项，若{}n a 为等差数列，则公差210d a a =->，110a d a +>->，则()112n n n S na d -=+，110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，则数列{}n S 为递增数列，A 正确；由于21a a >，故21a a >，又0d >，故()102n n a a n +>>≥，则()11n n a a n +>≥，数列{}n a 为递增数列，C 正确；BD 选项，若{}n a 为等比数列，则公比211a q a =<-，不妨设2q =-，11a =-，则232,4a a ==-，故1313S S =->=-，则数列{}n S 不为递增数列，B 错误；由于1q >，故11n na q a +=>，又10a >，故数列{}n a 为递增数列，D 正确.故选：ACD非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程可以是______．（只需填写满足条件的一个方程）【答案】2241y x -=（答案不唯一）.【解析】【分析】由相同渐近线的双曲线的共性即可求解.【详解】若双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程可设为()224,0y x λλ-=≠，在这里不妨取1λ=即可满足题意.故答案为：2241y x -=（答案不唯一）.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，32123S a a =+，且516a =，则1a =______．【答案】1【解析】【分析】由等比数列前n 项和以及等比数列基本量的计算可先算的公比q ，从而由514a a q =即可得解.【详解】设公比为(),0q q >，由题意31232123S a a a a a =++=+，所以231211122a a q a a a q a ==+=+，又10a ≠，所以220q q --=，解得20q =>满足题意，所以51441612a q a ===.故答案为：1.15.已知点P 为圆()()22:448C x y -+-=上一动点，()2,0A ，()0,2B ，则点P 到直线AB 的距离的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先得出圆心()4,4C 到直线:20AB x y +-=的距离，以及圆()()22:448C x y -+-=的半径，由此结合1d r d d r -≤≤+即可求解.【详解】显然点()2,0A ，()0,2B 在圆()()22:448C x y -+-=的外面，而直线:122x y AB +=，即:20AB x y +-=，又圆()()22:448C x y -+-=的圆心、半径分别为()4,4,C r =所以圆心()4,4C 到直线:20AB x y +-=的距离为d ==设点P 到直线AB 的距离的为1d ，则1d r d d r =-≤≤+=，即点P 到直线AB 的距离的取值范围是.故答案为：.16.两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为______．【答案】33【解析】【分析】建立空间坐标系，设点坐标的得到线段长度表达式，配方利用二次函数最小值.【详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，BC BE ∴⊥，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,0A C F E (),,,CM a BN b a b ⎡==∈⎣ ，∴M ，N ．MN =，当33a b ==时，MN 最小，最小值为3；故答案为：33四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1AB =，2'AD AA ==，90BAD DAA '∠=∠=︒，60BAA '∠=︒，设AB a =，AD b = ，AA c '= ．（1）用向量,,a b c 表示A C ' ；（2）求BC A C ''⋅ ．【答案】（1）a A C b c'=+- （2）1BC A C ''⋅=【解析】【分析】（1）直接分解向量即可求解；（2）首先分解向量得B b C c '=+ ，进一步结合,,a b c 两两之间的数量积即可求解.【小问1详解】由题意A C A A AC AA A AD a B b c '''=+=-++=+- .【小问2详解】由题意BC BC CC AD AA b c '''=+=++=，因为1AB =，2AD AA '==，90BAD DAA '∠=∠=︒，60BAA '∠=︒，所以2210,121,42a b a c b c ⋅=⋅=⨯⨯=== ，所以()()2201441B b c a b c a b a c b c C A C ⋅''⋅++-+⋅+-==+-==+ .18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33a =，425S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前10项和10T ．【答案】（1）n a n=（2）102101T =【解析】【分析】（1）直接由等差数列前n 和以及等差数列基本量的计算可得公差d ，由此即可得解；（2）直接由等差数列、等比数列求和公式分组求和即可得解.【小问1详解】由题意33a =，()4123423225S a a a a a a a =+++=+=，因为33a =，解得22a =，所以等差数列的公差321d a a =-=，所以数列{}n a 的通项公式为()22n a a n d n =+-=.【小问2详解】由题意22n a n n n b a n =+=+，所以数列{}n b 的前10项和210101210222T =+++++++()()10212101105520462101212⨯-⨯+=+=+=-.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的菱形，2π3ABC ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD =，M 为PB 的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ；（2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见讲解.（2）4【解析】【分析】（1）利用直线与平面的垂直的性质，平面与平面的判断定理进行证明.（2）利用空间向量求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，因为PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，因为AC ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PDB .【小问2详解】连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为BD 的中点，因为M 为PB 的中点，所以MO 为PBD △的中位线，所以MO PD ∥，因为PD ⊥平面ABCD ，所以MO ⊥平面PBD ，如图建立空间直角坐标系.根据题意有0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,0,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以1,,122CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知平面MAC 的一个法向量为()1,0,0n =，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则·2sin cos ,4CP n CP n CP n θ==== ，所以CP 与平面MAC所成角的正弦值4.20.已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：20x y -=的距离为5，求该圆的方程．【答案】或【解析】【详解】（法一）设圆P 的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题意可知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°圆P 截x 轴所得的弦长为，2|b|=，得r 2=2b 2，圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2=a 2+1，得2b 2-a 2=1．又因P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圆的方程是，或（法二）设圆的方程为，令x =0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，从而有2b 2-a 2=1．又因为P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r 2=2b 2=2所求圆的方程是，或21.已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，112a =．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）13k <【解析】【分析】（1）证明111n na a +-为定值即可；（2）先求出数列{}n a 的通项，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，利用单调法求出数列{}n b 的最小项即可得解.【小问1详解】因为11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为112a =，公差为1的等差数列；【小问2详解】由（1）得11n n a =+，所以11n a n =+，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，则()1221222211n n n n n n n n n b b S S S S a a a ++++++-=---=+-11111111023222232422324n n n n n n n n =+->+-=->++++++++，所以数列{}n b 是递增数列，所以()1212min 13n b b S S a ==-==，即()2min 13n n S S -=，所以13k <.22.已知点()2A 在双曲线C ：22221x y a a -=上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）221x y -=（2）3(,1) 4【解析】【分析】（1）由点()2A在双曲线C上，代入求得a的值，即可求解；（2）根据题意，设直线l为2y x m=+，联立方程组，由0∆>，求得12m<-，且21212,4(1)x x x x m+=-=+，利用弦长公式求得则PQ=，进而得到229S m=-，再由直线AP和AQ 的方程，得到254121MNm=-，求得AMN的面积3521Sm=-，进而得到122511,24209S mS m m=-<--+，结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由点()2A在双曲线2222:1x yCa a-=上，可得22541a a-=，解得21a=，所以双曲线C的方程为221x y-=.【小问2详解】解：由直线l垂直于OA，可得直线l的斜率为12OAkk=-=，设直线l 的方程为52y x m=+，且1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程组2221y x mx y⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，整理得224(1)0x m+++=，因为直线l与双曲线C的右支交于,P Q两点，则()()2212212Δ16(1)0410mx xx x m⎧=-+>⎪⎪+=->⎨⎪=+>⎪⎩，解得12m<-，可得21212,4(1)x x x x m+=-=+，则12PQ x=-===又由点A到直线220l y m-+=的距离为1293d m==-，所以21292S PQ d m=⋅=-，直线AP的方程为2y x-=+，令0x=，可得2My=+，直线AQ的方程为2y x-=+，令0x=，可得2Ny=+则M NMN y y=-===21m==-，所以AMN的面积354121Sm=-，又由23312221S S SSS S S-==-，则12255111,(21)(29)24209S mS m m m m=-=-<----+，令()22542094(162f m m m m=-+=--，可得函数()f m在1(,2-∞-上单调递减，且1(202f-=，所以()20f m>，所以123(,1)4SS∈，即12SS的取值范围为3(,1)4.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.。
辽宁省沈阳市第二十中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段验收数学试卷(含答案)
沈阳市第二十中学2024-2025学年度（上）高二年级阶段验收数学试卷考试时间：120分钟考试分数：150分第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的倾斜角是，则（ ）A ．B ．C．D ．2．已知空间向量，则在上的投影是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点与关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．0D ．34．已知某圆的方程为，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．C ．D ．5．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且，若P 是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）ABCD6．已知，则异面直线与之间的距离是（ ）AB ．CD ．27．直线与直线相交于点P ，对任意实数m ，直线:3410l x y +-=αsin α=45-35-3545(1,1,1),(2,0,0)a b == a b (1,0,0)11,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0,0)222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0)A (0,4)B 0ax y b ++=a b +=4-2-2210x y mx y ++++=(,)-∞+∞ (,)-∞+∞ [1111ABCD A B C D -ABCD 11A ADD 1120,2A AB AB ∠=︒=1C D 1CD AP DC (0,1,0),(2,1,0),(1,0,0),(0,1,1)A B C D --AB CD 121(1):220l x m y m ++--=2:(1)220l m x y m +---=分别恒过定点，则的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．如图，在棱长为1的正方体中，点M 是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．过），且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线有（ ）A ．B ．C ．D ．10．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）．A ．若点P 在直线上，则B ．若点P 在直线上，则C ．若点P 在平面内，则D ．若点P 在平面内，则11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且．则下列结论中正确的有（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．当E 向运动时，二面角的大小不变C ．二面角的最小值为12,l l ,A B ||||PA PB+1111ABCD A B C D -11ADD A 11BC BM ⋅= 1BC BM 75︒30︒45︒60︒(1,2)A 1x =2y x =10x y -+=30x y +-=111ABCD A B C D -1,,AB a AD b AA c === AP xa yb zc =++ 1A D 1x y +=1AC x y z ==1A BD 1x y z ++=11B BDD 1x y +=1111ABCD A B C D -11B D ,EF EF =A BEF -1D A EFB --E ABC --45︒D ．当E 向运动时，总成立第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，若，则_______．13．平面上有四条直线，它们的方程分别是．则由这四条直线围成四边形的面积是_______．14．将由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的多面体放在空间直角坐标系中，使得A 为坐标原点，如图所示．已知，且该多面体所有的顶点都在球上，令球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______，令正四棱锥的内切球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）（1）求过三点的圆的一般方程；（2）求过两点和，且圆心在x 轴上的圆的标准方程．16．（本题15分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（1）证明：平面；1D AE CF ⊥()2(1,,),,,32a m n b m n == //a b mn =21,4250,1,40y x x y y x x y =+-+==-++-=1111ABCD A B C D -1111P A B C D -A xyz -12,1AB AA ==1O 1O A xy -1O '1O 'A xy -1111P A B C D -2O A xz -2O '2O 'A xz -(1,0),(0,1),(2,3)A B C (1,2)C-(1,D 111ABC A B C -1,2,,,BA BC BA BC BB D E F ⊥===111,,AA B C AB //EF 11ACC A（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本题15分）如图，在以P的圆锥中，底面圆O 的直径长为是圆O 所在平面内一点，且是圆O 的切线，连接交圆O 于点D ，连接．（1）求证：平面平面；（2）若E 是的中点，连接，当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（本题17分）已知直线．（1）若当时，，当时，，求的值；（2）经过的定点记为关于的对称点记为N ．①求点N 的坐标；②在上是否存在点P ，使得的面积为2，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由．19．（本题17分）如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点E 是棱上的动点（不含端点B ）．（1）求二面角平面角余弦的最小值；（2）当E 为棱的中点时，在平面内的射影是F ，求点F 到平面的距离．CE DEF AB 2,C AC BC ,PD PC PBC ⊥PAC PC ,OE ED 120BOD ∠=︒PAC DOE 12:(1)20,:35l x y l y x λλλ++++==+1λλ=12//l l 2λλ=12l l ⊥12λλ+1l ,M M 2l 2l PMN V 111ABC A B C -ABC V 11124,2AB A B CC ===1CC ⊥ABC 1BB C AE B --1BB 1A ACE ABC高二期初月考数学参考答案及评分标准1．C2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．D 9．BD 10．BCD 11．ABC 12．1613．14．15．解：（1）设圆的一般方程为，……1分由题将三点代入得：……4分解得，所以所求圆的一般方程为；……6分（2）由题，设圆心为，，……7分，即，……10分，……12分∴圆的标准方程为．……13分（若用其他方法，适当给分）16．解：（1）证明：取的中点G ，连接，因为分别为的中点，所以，……2分又E 为的中点，，所以，……4分所以四边形是平行四边形，所以，……5分32229(1)(1)4x y -+-=22(1)(3x z -+=-220x y Dx Ey F ++++=101049230DF E F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩332D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩223320x y xy +--+=(,0)M a ||||MC MD = 2222(1)(02)(1)(0a a ∴++-=-+-222142112a a a a +++=-++2,||a r MC ∴===22(2)13x y -+=AC 1,FG GC ,F G ,AB AC 1//,2FG BC FG BC =11B C 1111//,BC B C BC B C =11//,FG EC FG EC =1EFGC 1//EF GC又平面平面，所以平面……6分（2）在直三棱柱中，平面，又平面平面，所以，又，故以B 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，……8分则，所以，设平面的法向量为，则令得，所以平面的一个法向量为，……12分设直线与平面所成的角为，则，……14分即直线与平面15分17．解：（1）证明：因为是圆O 的直径，与圆O 切于点A ，所以，又底面圆底面圆，EF ⊂/111,ACC A GC ⊂11ACC A //EF 11ACC A 111ABC A B C -1BB ⊥ABC BA ⊂,ABC BC ⊂ABC 11,BB BA BB BC ⊥⊥BA BC ⊥1,,BA BC BB ,,x y z (0,2,0),(2,0,1),(0,1,2),(1,0,0)C D E F (1,1,2),(1,0,1),(0,1,2)FE FD CE =-==- DEF (,,)m x y z =200m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =3,1y z ==-DEF (1,3,1)m =- CE DEF θ||sin |cos ,|||||m CE m CE m CE θ⋅=〈〉=== CE DEF AB AC AC AB ⊥PO ⊥,O AC ⊂,O PO AC ∴⊥平面，平面平面，……2分在中，，则，……4分因为平面，所以平面．又平面，所以平面平面……6分（2）底面圆O ，如图以O 为原点，在底面圆O 内过点作的垂线为x 轴，分别为轴建立空间直角坐标系，……7分得，，由（1）知，为平面的一个法向量，……9分设平面的一个法向量为，，，即，令，所以平面的一个法向量为，……13分，……14分所以平面与平面．……15分,,PO AB O PO AB =⊂ PAB AC ∴⊥,PAB PB ⊂,PAB AC PB ∴⊥PAB V 2PA PB AB ===222,PA PB AB PA PB +=∴⊥,,PA AC A PA AC =⊂ PAC PB ⊥PAC PB ⊂PBC PBC ⊥PAC PO ⊥ AB ,OB OP ,y z 1(0,1,0),(0,1,0),,0,1,02A B D C ⎫⎫---⎪⎪⎪⎪⎭⎭11(0,0,1),,22P E ⎫-⎪⎪⎭(0,1,1)m BP ==- PAC ODE (,,)n x y z =111,,,0222OE OD ⎫⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭00n OE n OD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 11022102x y z x y -+=-=x =3,1y z ==ODE n = cos ,||||m n m n m n ⋅∴===⋅ PAC ODE18．解：（1）依题有，……4分解得，所以；……6分（2）①因为，所以，即，所以，……8分令，由对称性知，解得，，所以……10分②由上知，……11分直线方程为，……12分令，则P 到的距离13分而三角形的面积为2，所以有，即， (4)于是，解得或，……16分()1112212315310λλλλλ++⎧=≠⎪-⎨⎪-+=⎩123412λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1214λλ+=-(1)20x y y λ++++=1020x y y ++=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=-⎩(1,2)M -(,)N x y 2135222113y x y x -+⎧=⨯+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩50x y =-⎧⎨=⎩(5,0)N -||MN ==MN 350x y ++=()00,35P x x +MN d PMN 122d =⨯d =05101x +=095x =-115-从而在直线上，存在点或……17分19．（1）取棱的中点D ，有，又平面平面，所以，在平面中，过点C 作，所以，，……2分以C 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，因为是等边三角形，，所以，因为，所以．设，所以，……4分所以．设平面的一个法向量为，又，所以，即，令，得的一个法向量为，……6分设平面的法向量为，又，所以，即，令，得，2l 92,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭118,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭AB CD AB ⊥1CC ⊥,ABC AB ⊂ABC 1CC AB ⊥ABC //CF AB 1,CC CF CD CF ⊥⊥1CCCD ⊥1,,CD CF CC ,,x y z ABC V 11124,2AB A B CC ===12,0),2,0),(0,0,2)A B C-1112C B CB = 12)B 1((0,1])BE BB λλ=∈ 1(,,2)BE BB λλλ==- ,2,2)E λλ-ABE ()1111,,n x y z =(0,4,0),(,4,2)AB AE λλ==- 1100AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111140(4)20y x y z λλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩12x =110,y z ==ABE 1n = ACE ()2222,,n x y z = (2,0)AC =- 2200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222320(4)20y x y z λλ⎧-+=⎪⎨+-+=⎪⎩21x =2y z ==所以平面的一个法向量为，……8分设平面与平面的夹角为，所以设，因为，所以，所以，所以，所以当时，平面与平面的夹角的余弦值最小，最小值为；……10分（2）因为E为点，由（1）知，平面的一个法向量是，因F 在平面内，所以令，所以，……12分所以，ACE 2n ⎛= ⎝ ABE ACEθ121212coscos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 3(2)625t λλλ-=+=-(0,1]λ∈(,1]t ∈-∞-1[1,0)t ∈-cos θ===11t=-ABE ACE 173,12E ⎫⎪⎪⎭ACE n =-ACE CF CA CE λμ=+ 32,0),12CF λμ⎫=-+⎪⎪⎭3,2,2F μλμμ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭又，所以，……14分因平面，所以，，……15分即，解得，……16分这样点F 的竖坐标为，也就是说，F 到平面的距离是……17分11,2)A -1321,22A F λμμ⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭ 1A F ⊥ACE 1//A F n==83412112λμλμ+=⎧⎨-=⎩831μ=831ABC 831。
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案解析)
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（）A ．2-B ．143-C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）AB C ．3D 5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c -+D ．1162a b c--+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）AB C D8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC -中，PA PB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A ．π9B ．π18C ．π27D ．π54二、多选题9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC uuu r 所成角的余弦值为5C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈，则下列说法正确的是（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D ．当11,2λμ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AB AA =+ B ．直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQ 的距离是3D ．异面直线CQ 与BD 三、填空题12．正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC V 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为.14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为.四、解答题15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16．如图所示，直三棱柱11ABC A B C -中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17．如图，在四棱维P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成Q 的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PFBD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE与线段BC交于M点，AH PM于点H，求线段CH长的最小值．参考答案：题号12345678910答案C BADDDCBBCDBCD题号11答案BC1．C【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得λ的值．【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=，73λ∴=．故选：C ．2．B【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(),,x y z ，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=--- ，()1,1,0PC x y =--，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x y ==时，1PA PC ⋅ 取得最小值12-，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0，所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.3．A【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选：A.4．D【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =- ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,2n =r，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ，故选：D ．5．D【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a b c =-+-=--+.故选：D 6．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=.故选：D 7．C【分析】计算出b a -=≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，所以b a -=当0t =时，等号成立，故ba -.故选：C.8．B【分析】设1PFCF ==，易知PA PB AB AC BC =====，且23FG =，设肉馅球半径为r ，CG x =，根据中点可知P 到CF 的距离4d r =，sin 4dPFC r PF∠==，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =，结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=，进而可得3PC =，sin 3PFC ∠=，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ⋂=，为方便计算，不妨设1PF CF ==，由PA PB AB AC BC ====，可知3PA PB AB AC BC =====，又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，则2233FG PF ==，且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ，即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ，设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC r S r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅，又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠=⋅=⋅⋅，解得PC =，sin 3PFC ∠=，所以：4sin 31rPFC ∠==，解得6r =，343V r =π=球，由以上计算可知：P ABC -为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，=.故选：B.9．BCD【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知，2,0,0,()0,0,0D,()2,2,1E,()1,0,2F,()12,2,2B,()10,2,2C，所以1DB==A错误；()0,2,1AE=,()12,2,2AC=-，所以111·cos,AE ACAE ACAE AC=B正确；()0,2,1AE=,()1,0,2AF=-，记()4,1,2n=-，则0,0AE AFn n==，故,AE AFn n⊥⊥，因为AE AF A⋂=,,AE AF⊂平面AEF，所以()4,1,2n=-垂直于平面AEF，故选项C正确；B =2,0,0，所以点D到平面AEF的距离·21DA ndn===，故选项D正确；故选：BCD10．BCD【分析】对于A，由1CP BP BC BBμ==-即可判断；对于B，由[]11,0,1B P BP BB BCλλ=-=∈和11//B C平面ABC即可判断；对于C，分别取BC和11B C的中点D和E，由BP BD=+1BBμ即1DP BBμ=即可判断；对于D，先求证1A E⊥平面11BB C C，接着即可求证1B P⊥平面1A EB，进而即可求证1A B⊥平面1AB P.【详解】对于A，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BBμμ=-=∈，又11CC BB=，所以1CP CCμ=即1//CP CC，又1CP CC C=，所以1C C P、、三点共线，故点P在1CC上，故A错误；对于B ，当1μ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈，又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ，所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ，即1DP BB μ= ，所以DP E D μ= 即//DP DE，又DP DE D ⋂=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λμ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ，由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ，又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=，所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠，所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=，设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ，所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ，所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥，又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ，所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于求证1A B ⊥平面1AB P ，可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ，从而得11A E B P ⊥，接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ，进而11B P A B ⊥，再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11．BC【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到122AB AA CG +≠ ；B 选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C 选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D 选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==，则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误；B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =，()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ m θ⋅===⋅，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为3d ==，C 正确；D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=--，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅，D 错误.故选：BC 12．18/0.125【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥，因此以M 为坐标原点，以1,,AMBM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；易知1110,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =，所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．23【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量m 及PG，由PG 与平面PAD 所成角θ，根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =- ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP =，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =则()0,1,0m = ，则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅，故答案为：23.14．117m【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解．【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以5tan tan EMO EGO ∠=∠．因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ==，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=．故答案为：117m15．(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC 【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,·DA n DA n DA n=== 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ===令4[2,4]m t -=∈，则sin θ=当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.16．(2)10(3)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间两点间距离公式，即得答案；（2）根据空间向量的夹角公式，即可求得答案；（3）求出1C M ，1C N，BN 的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，结合线面垂直的判定定理，即可证明结论.【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN == （2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =- ，1(0,1,2)CB =，113BA CB =⋅，1BA1CB所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅（3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭．∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()11,0,1C N =- ，()1,1,1BN =-，∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ，1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥，即11,C M BN C N BN ⊥⊥，又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ，∴BN ⊥平面1C MN ．17．(2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ，建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可；（2）假设在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =，所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，0,0,1，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，所以()2,0,1PC =- ，()0,1,1PD =--，()1,1,1PB =- ，设平面PCD 的一个法向量为 =s s ，则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1,x =则2,2z y ==-，所以()1,2,2m =-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m PB m PB m PB θ⋅====，所以cos 3θ==，所以tan θ所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值2.（2）在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，所以()0,1,1PA =- ，所以()0,,PM PA λλλ==-，所以()0,,1M λλ-，所以()1,1,1BM λλ=---，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ---+-=，解得34λ=，所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.18．(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,,0,1,0,P D B N PB --=- ()A，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,3,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ，平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ==，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，故可设()21n λλ=--+ ，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13，所以1212cos n n n n θ⋅==⋅解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为13.19．(1)证明见解析(2)8(3)5【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BM tBC = ，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH ，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G -，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP =-=-=- ，由()01BE PF BD PCλλ==<≤，可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量，显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+-=+- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则200n BP x z n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2,3z y ==，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅==⋅ ，易知35λ=时，()2min 165655λλ-+=，即此时sin α取得最大值8；（3）设()(](),0,0,12,0BM t BC t t AM AB BM t ==-∈⇒=+=- ，由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+- ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP x AM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ，所以22114451x t t AM ==-++ ，则()()2CH CA AH t x x =+=--- ，即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=+-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+，则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+，易知22550t t -+>恒成立，所以()0f t '<，即()f t 单调递减，所以()()min 9155f t f CH ≥=-⇒==.。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
高二上学期数学第一次月考卷(考试版)(北师大版选择性必修第一册第1.1~2.1：直线与圆+椭圆)
高二上学期数学第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。
5．难度系数：0.68。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点()1,1到直线3420x y +−=的距离是（ ） A ．1 B ．2 CD ．32．已知方程2212x y m m+=−表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(1,2) 3．圆()2249x y −+=和圆()2234x y +−=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．已知实数x ，y 满足方程y y x 的最大值为（ ） A ．0 B ．1 CD ．25．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A.U.149597870=千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1510kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（ ）试卷第2页，共4页A ．0.03B ．0.97C ．0.83D ．0.776．已知直线l ：10x my m −+−=，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线l 恒过点()1,1B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 的斜率可以等于0D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =−7．若圆222610x y x y +−−+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，则k 的值为（ ） A ．12 B ．34 C ．43 D ．28．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，当12F PF 的面积为1时，12PF PF ⋅ 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +−=，下列结论正确的是（ ） A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ）A ．1y =B ．2x =C ．3450x y −−=D ．4350x y −−=11．已知椭圆2221(03)9x y b b+=<<的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（ ）AB ．22AF BF +的最大值为8C D ．椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠=第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
北京市丰台区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(B卷)含答案
丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高二数学（B 卷）考试时间：120分钟（答案在最后）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知函数()cos 2f x x =，则()f x 的导数()f x '=（A ）sin 2x-（B ）2sin 2x-（C ）sin 2x（D ）2sin 2x（2）若随机变量2)(3N σξ~,，则)(3P ξ=≤（A ）0.4（B ）0.5（C ）0.6（D ）0.7（3）现有甲、乙、丙、丁4人从宫灯、纱灯、吊灯这三种灯笼中任意选购1种，则不同的选购方式有（A ）321⨯⨯种（B ）432⨯⨯种（C ）43种（D ）34种（4）抛掷一颗质地均匀的骰子，事件{}135A =,,，事件{}12456B =,,,,，则|P A B =（）（A ）15（B ）25（C ）35（D ）45（5）若2340123441a a x a x x a x a x =+++++（），则1234a a a a +++=（A ）15（B ）16（C ）20（D ）24（6）某班从3名男同学和4名女同学中选取3人参加班委会选举，要求男女生都有，则不同的选法种数是（A ）60（B ）45（C ）35（D ）30（7）某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学在同一个社区进行民意调查.甲、乙两班人数之比为5：3，甲班女生占甲班总人数的23，乙班女生占乙班总人数的13.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（A ）19（B ）29（C ）12（D ）1324（8）某种新产品的社会需求量y 与时间t 存在函数关系()y f t =.经过一段时间的市场调研，估计社会需求量y 的市场饱和水平为500万件，且()f t 的导函数f t '（）满足：))500)))(((((0f t kf t f t k ->='.若0f y =（0），则函数()f t 的图象可能为（A ）①②（B ）①③（C ）②④（D ）③④（9）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()()f x g x ''，，且满足()()()()0f x g x f x g x '+<'，当a x b <<时，下列结论正确的是（A ）()()()()f x g b f b g x >（B ）()()()()f x g a f a g x >（C ）()()()()f xg x f b g b >（D ）()()()()f xg x f a g a >（10）已知函数()ln f x x =和()1g x ax =+.若存在01[,)ex ∈+∞，使得00()()f xg x =-恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）21[2e,]e-（B ）21[,2e]e-（C ）21[,e 2e]（D ）21[,2e]e第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.（11）用1，2，3，4这四个数字可以组成___个无重复数字的四位数.（12）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则m =___，()D ξ=___．（13）函数()f x =的导数()f x '=___．（14）已知5*)1((n x n x+∈N 的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的n 的值：___.（15）莱布尼茨三角形（如下图）具有很多优美的性质，给出下列四个结论：①第8行第2个数是172；②111111(,2)(1)C (1)C C r r r n n n r r n n n n ++-+=∈-++N ≤；③当2024n =时，中间一项为1012202412025C ；④当n 是偶数时，中间的一项取得最小值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值.其中所有正确结论的序号是___.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题14分）已知函数32(2)21x a x x x b f =-++在2x =处取得极小值5．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[03],上的最小值．（17）（本小题14分）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（Ⅰ）如果从男生和女生中各选2人，那么有多少种选法？（Ⅱ）如果男生甲和女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种选法？（Ⅲ）如果恰有2人获得了本次比赛的冠军、亚军，那么有多少种获奖方式？（18）（本小题14分）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备台数为X ．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）求计算机网络不会断掉的概率．（19）（本小题14分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1(1)f ,处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x k =有两个实数根，直接写出实数k 的取值范围．（20）（本小题14分）某地旅游局对本地区民宿中普通型和品质型两类房间数量进行了调研，随机选取了10家民宿，统计得到各家民宿两类房间数量如下表：（Ⅰ）若旅游局随机从乙、丙2家民宿中各选取2个房间，求选出的4个房间均为普通型的概率；（Ⅱ）从这10家中随机选取4家民宿，记其中普通型房间不低于17间的有X 家，求X 的分布列和数学期望.（21）（本小题15分）民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型19541713189201015品质型61210111091285已知函数()()0ekx xf x k =≠．（Ⅰ）若1k =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(11)-,上单调递增，求实数k 的取值范围．（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高二数学（B ）卷参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）题号12345678910答案BBCBADDBCB第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共25分）（11）24；（12）23；29（13）22(1)x+-；（14）6；（答案不唯一）（15）①③④．（注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．)三、解答题（共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为()26212f x x ax '=-+，且()f x 在2x =处取极小值5，所以()2244120f a '=-+=，得9a =，所以()222912f x x x x b =-++．又因为()245f b =+=，所以1b =．因为()f x 在区间()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增,所以()f x 在2x =时取极小值，符合题意.……………6分（Ⅱ）()3229121f x x x x -+=+，所以()()()612f x x x '=--.令0f x '=（），解得1x =，或2x =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.因此，当2x =时，函数()3229121f x x x x -+=+有极小值，并且极小值为(2)5f =.又由于(0)1f =，(3)10f =,所以函数()3229121f x x x x -+=+在区间[0,3]上的最小值是1.…………14分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）如果从男生和女生中各选2人，选择方法数为：22436318C C =⨯=种…………4分（Ⅱ）如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选中：男生甲被选中，女生乙没有被选中的方法数为：3510C =种；女生乙被选中，男生甲没有被选中的方法数为：3510C =种；男生甲和女生乙都被选中的方法数为：2510C =种；所以，男生甲和女生乙至少有1人被选中的方法数为30种.…………9分（Ⅲ）恰有2人获得了本次比赛的冠军、亚军的方法数为：4274420C A =种.…………14分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知X 服从二项分布，即~(3,0.9)X B ．033(0)C 0.9(10.9)0.001P X ==⨯⨯-=，1123(1)C 0.9(10.9)0.027P X ==⨯⨯-=，2213(2)C 0.9(10.9)0.243P X ==⨯⨯-=，3303(3)C 0.9(10.9)0.729P X ==⨯⨯-=，从而X 的分布列为X 0123P0.0010.0270.2430.729…………10分（Ⅱ）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即1X ≥ ，因此所求概率为：(1)1(1)1(0)10.0010.999P X P X P X =-<=-==-=≥ ．…………14分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+，则()11k f '==，()10.f =所以切线方程为10.x y --=……………4分（Ⅱ）由()1ln f x x '=+，()0,x ∈+∞，令()0f x '=即1ln 0x +=，解得1ex =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1(,)e+∞上单调递增，当1e x =()f x 有极小值11()e ef =-，无极大值.……11分（Ⅲ）1,0e（-）……14分（20）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“从乙家民宿中选取2个房间，选到的2个房间均为普通型为事件A ；“从丙家民宿中选取2个房间，选到的2个房间均为普通型”为事件B ；所以选出的4间均为普通型房间的概率为22542266C C 4()()()C C 15P AB P A P B ==⨯=.……………5分（Ⅱ）记其中普通型房间不低于17间的有X 家，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.()()464101346410C 10,C 14C C 81,C21P X P X ======()()()2246410314641044410C C 32,C 7C C 43,C 35C 14,C210P X P X P X =========用表格表示X 的分布列，如下表.158090241()01234 1.6.210210*********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以……14分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）2e e 1()e ekx kx kx kx kx kx f x --'==若1k =，则1()ex x f x -'=，令()0f x '=，解得1x =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,).+∞……5分（Ⅱ）因为()()0e kx x f x k =≠所以2e e 1().e ekx kx kx kx kx kx f x --'==令()0f x '=，解得1x k=.①0k >时,当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以，()f x 在1(,k-∞上单调递增，在1(,)k +∞上单调递减.②0k <时,当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以，()f x 在1(,k-∞上单调递减，在1(,)k +∞上单调递增.若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，则0k >时，11k≥，即01k <≤；则0k <时，11k-≤，即10k -<≤；所以k 的范围是[1,0)(0,1]- ．……………15分。
四川省仁寿县汪洋中学2024-2025学年高二上学期期末复习数学试卷(含解析)
仁寿县汪洋中学高二、下期数学期末复习题卷班级：_______姓名:________考号:_______一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 已知函数f (x )=(1―2x )2 ,则f′(1)= A. 8 B. 4C. 3D. 12. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是3．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为A ．0.93B ．0.934C ．0.94D ．0.9454. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种5.已知为实数，函数，，下列说法中不正确的是A.若，则函数为奇函数 B.函数在上单调递增C.是函数的极大值点 D.若函数有3个零点，则6.设随机变量,随机变量,则下列结论正确的是A. B. Y 的方差D (X )＝430.8245r =0.824570%,30%94%,92%c 3()3f x x x c =-+x ∈R 0c =()f x ()f x (,1)-∞-1x =()f x ()f x 22c -<<)32,3(~B X 12+=X Y 91)1(==X PB. C.的期望 D. 的期望7.已知的展开式中的系数为40，则的值为A. －2B. －1C. 1D. 28. 已知函数在区间上单调递增，则a 的最小值为A. B. eC. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法10. 已知，则A. B. 是所有系数中的最大值C. D. 11. 若函数既有极大值也有极小值，则A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 关于二项式的展开式常数项为_________．13. 已知随机变量X 服从正态分布，即：，若，，则实数________．X 2)(=X E Y 4)(=Y E ()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭24x y m ()e ln xf x a x =-()1,22e 1e -2e -6260126(32)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+0729a =3a 60246512a a a a -+++=6540125622224096a a a a a +++⋅⋅⋅++=()()2ln 0b cf x a x a x x=++≠0bc >0ab >280b ac +>0ac <622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2~2,X N σ(1)0.8P X ≥-=(2)0.3P X m ≤≤=m =14. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．四、解答题(77分）15（13分）若函数f (x )=ax 3―bx 2+2 ,当x =2 时，函数f (x ) 有极值―2 .（1） 求函数f (x ) 的解析式；（2） 求函数f (x ) 的极值.16（15分）.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在区间上的最小值.17 （15分）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：了解安全知识的程度性别得分不超过85分的人数得分超过85分的人数男生20100女生3050（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，记这3名学生中男生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校高二年级男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？若有关，请结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异．附：参考公式，其中．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值a 0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818（17分）某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x (单位：万元/吨)和一天销售量y (单位：吨)的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2023-2024学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(B卷)【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B 卷）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线y =√3x 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知向量a →=（2，﹣1，3），b →=（4，x ，y ），且a →∥b →，则x +y ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．4D ．23．已知点B 是点A （2，﹣3，4）在坐标平面Oxy 内的射影，则点B 的坐标为（ ） A ．（2，﹣3，0）B ．（2，0，4）C ．（0，﹣3，4）D ．（2，3，4）4．已知直线l 经过点A （﹣3，2），且与直线x +2y ﹣2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +7＝0C ．2x +y +4＝0D ．2x ﹣y +8＝05．圆x 2+（y ﹣1）2＝4截x 轴所得弦的长度为（ ） A ．2B ．2√3C ．2√5D ．46．若直线2x ﹣y +m ＝0和直线3x ﹣y +3＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2）∪（3，+∞）D ．（2，3）7．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若D 1M →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则有序实数组（x ，y ，z ）＝（ ）A ．(−12，12，1) B ．(12，12，1) C ．(12，−12，−1)D ．(−12，−12，−1)8．已知直线l 1：ax ﹣3y +12＝0，l 2：x +（a ﹣4）y +4＝0，若l 1∥l 2，则实数a ＝（ ） A ．1B ．3C ．1或0D ．1或39．已知平面α＝{P |n →•AP →=0}，其中点A （1，1，2），向量n →=（1，1，1），则下列各点中在平面α内的是（ ）A ．（2，﹣1，﹣1）B ．（0，3，1）C ．（﹣2，4，3）D ．（5，﹣1，﹣2）10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（ ）A ．56B ．√116C ．√216D ．√156二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．以点（2，﹣1）为圆心且半径为2的圆的标准方程是 ．12．已知点A （1，0，2），B （1，2，5），C （﹣2，3，6），则AB →−AC →= ． 13．已知直线l 经过点A （1，4），且斜率为2，则直线l 的一个方向向量为 ．14．已知点P 为圆x 2+y 2＝1上一点，记d 为点P 到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当m 变化时，d 的最大值为 ．15．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝DD 1＝1，点E 是棱CD 上的动点，给出下列4个结论： ①AB →+AA 1→−AD 1→=B 1D 1→； ②AD 1⊥A 1E ；③若E 为CD 中点，则点B 1到直线A 1E 的距离为2√23； ④存在点E ，使得A 1E ⊥平面AB 1D 1． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（14分）在△ABC 中，A （﹣3，0），B （1，4），C （3，﹣3）． （Ⅰ）求边AB 所在直线的方程； （Ⅱ）求边AB 上的中线所在直线的方程．17．（14分）已知向量a →=（1，3，2），b →=（﹣2，1，4），c →=（5，1，x ）． （Ⅰ）若a →⊥c →，求实数x 的值； （Ⅱ）求|2a →−b →|；（Ⅲ）若a →，b →，c →不能构成空间向量的一个基底，求实数x 的值．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥AD ，PD ＝2DC ＝4，E 是棱P A 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值． 条件①：平面P AD ⊥平面ABCD ； 条件②：PD ⊥DC ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（14分）已知圆M 1：x 2+2x +y 2﹣8＝0． （Ⅰ）求圆M 1的圆心坐标以及半径；（Ⅱ）求经过点P 0（2，1）的圆M 1的切线方程；（Ⅲ）若圆M 1与圆M 2：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝m （m ＞0）有公共点，求实数m 的取值范围． 20．（14分）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求这座圆拱桥的拱圆的方程；（Ⅱ）若该景区游船宽10m，水面以上高3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(√3≈1.732)21．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3．M，N分别为棱AB，B1C1的中点，BC1与B1C交于点P．（Ⅰ）求直线AA1与平面A1CM所成角的正弦值；（Ⅱ）求直线BC1到平面A1CM的距离；（Ⅲ）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，求A1QA1N的值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线y =√3x 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π），直线y =√3x 的斜率为√3，则tanθ=√3，解得θ=π3． 故选：B ．2．已知向量a →=（2，﹣1，3），b →=（4，x ，y ），且a →∥b →，则x +y ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．4D ．2解：∵向量a →=（2，﹣1，3），b →=（4，x ，y ），且a →∥b →， ∴42=x −1=y3，解得x ＝﹣2，y ＝6，∴x +y ＝4．故选：C ．3．已知点B 是点A （2，﹣3，4）在坐标平面Oxy 内的射影，则点B 的坐标为（ ） A ．（2，﹣3，0）B ．（2，0，4）C ．（0，﹣3，4）D ．（2，3，4）解：因为点B 是点A （2，﹣3，4）在坐标平面Oxy 内的射影，所以点B （2，﹣3，0）． 故选：A ．4．已知直线l 经过点A （﹣3，2），且与直线x +2y ﹣2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +7＝0C ．2x +y +4＝0D ．2x ﹣y +8＝0解：设与直线x +2y ﹣2＝0垂直的直线方程为2x ﹣y +m ＝0， 因为直线l 过点A （﹣3，2），则﹣6﹣2+m ＝0，即m ＝8， 故所求直线方程为2x ﹣y +8＝0． 故选：D ．5．圆x 2+（y ﹣1）2＝4截x 轴所得弦的长度为（ ） A ．2B ．2√3C ．2√5D ．4解：圆x 2+（y ﹣1）2＝4的圆心为（0，1），半径为r ＝2，所以圆心到x 轴得距离d ＝1，所以弦长|AB |＝2√r 2−d 2=2√22−12=2√3． 故选：B ．6．若直线2x ﹣y +m ＝0和直线3x ﹣y +3＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2）∪（3，+∞）D ．（2，3）解：{2x −y +m =03x −y +3=0，解得{x =m −3y =3m −6，由于交点（m ﹣3，3m ﹣6）在第二象限，故{m −3＜03m −6＞0，解得m ∈（2，3）．故选：D ．7．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若D 1M →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则有序实数组（x ，y ，z ）＝（ ）A ．(−12，12，1) B ．(12，12，1) C ．(12，−12，−1)D ．(−12，−12，−1)解：∵D 1M →=D 1D →+DM →=−AA 1→+12DB →=−AA 1→+12(AB →−AD →)=12AB →−12AD →−AA 1→，∴x =12，y =−12，z ＝﹣1，∴有序实数组（x ，y ，z ）＝（12，−12，﹣1）．故选：C ．8．已知直线l 1：ax ﹣3y +12＝0，l 2：x +（a ﹣4）y +4＝0，若l 1∥l 2，则实数a ＝（ ） A ．1B ．3C ．1或0D ．1或3解：直线l 1：ax ﹣3y +12＝0，l 2：x +（a ﹣4）y +4＝0，l 1∥l 2， 则a （a ﹣4）＝﹣3，解得a ＝3或a ＝1，当a ＝3时，直线l 1，l 2重合，不符合题意，舍去， 当a ＝1时，直线l 1，l 2不重合，符合题意， 故a ＝1． 故选：A ．9．已知平面α＝{P |n →•AP →=0}，其中点A （1，1，2），向量n →=（1，1，1），则下列各点中在平面α内的是（ ）A ．（2，﹣1，﹣1）B ．（0，3，1）C ．（﹣2，4，3）D ．（5，﹣1，﹣2）解：对于A ，AP →=(1，−2，−3)，所以n →⋅AP →=1×1﹣2×1﹣3×1＝﹣4≠0，故点（2，﹣1，﹣1）不在平面α内，故A 错误；对于B ，AP →=(−1，2，−1)，所以n →⋅AP →=−1+2﹣1＝0，故点（0，3，1）在平面α内，故B 正确； 对于C ，AP →=(−3，3，1)，所以n →⋅AP →=−3+3+1＝1≠0，故点（﹣2，4，3）不在平面α内，故C 错误；对于D ，AP →=(4，−2，−4)，所以n →⋅AP →=4×1﹣2×1﹣4×1＝﹣2≠0，故点（5，﹣1，﹣2）不在平面α内，故D 错误． 故选：B ．10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（ ）A ．56B ．√116C ．√216D ．√156解：取BCDE 各边中点H ，K ，I ，G ，连接HI ，KG ，FE ，由正八面体的性质可得三线交于一点，设为O ，由正八面体的性质可得HI ，KG ，FE 两两垂直，以O 为坐标原点，HI ，KG ，FE 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B （1，﹣1，0），C （1，1，0），A （0，0，√2），D （﹣1，1，0），F （0，0，−√2）， 则N （12，12，√22），M （−12，12，√22），所以BN →=（−12，32，√22），FM →=（−12，12，3√22），所以cos ＜BN →，FM →＞=BN →⋅FM →|BN →|⋅|FM →|=14+34+64√124×√204=523×5=√156，所以直线BN 和FM 夹角的余弦值为√156． 故选：D ．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．以点（2，﹣1）为圆心且半径为2的圆的标准方程是 （x ﹣2）2+（y +1）2＝4 ． 解：以点（2，﹣1）为圆心且半径为2的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． 故答案为：（x ﹣2）2+（y +1）2＝4．12．已知点A （1，0，2），B （1，2，5），C （﹣2，3，6），则AB →−AC →= （3，﹣1，﹣1） ． 解：B （1，2，5），C （﹣2，3，6），则AB →−AC →=CB →=（3，﹣1，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1，﹣1）．13．已知直线l 经过点A （1，4），且斜率为2，则直线l 的一个方向向量为 （1，2）（答案不唯一） ． 解：令直线的方向向量为（x ，y ），则k =yx ，∴可取x ＝1，y ＝2， 此时直线的一个方向向量为（1，2）（答案不唯一）． 故答案为：（1，2）（答案不唯一）．14．已知点P 为圆x 2+y 2＝1上一点，记d 为点P 到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当m 变化时，d 的最大值为 3 ．解：因为圆的方程为x 2+y 2＝1， 所以圆心为O （0，0），半径为r ＝1，由直线x ﹣my ﹣2＝0，可得直线恒过定点A （2，0）， 则当直线与OA 垂直时，d 的距离最大，|OA |＝2， 所以d 的最大值为|CA |+r ＝2+1＝3． 故答案为：3．15．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝DD 1＝1，点E 是棱CD 上的动点，给出下列4个结论： ①AB →+AA 1→−AD 1→=B 1D 1→； ②AD 1⊥A 1E ；③若E 为CD 中点，则点B 1到直线A 1E 的距离为2√23； ④存在点E ，使得A 1E ⊥平面AB 1D 1． 其中所有正确结论的序号是 ②④ ．解：①AB →+AA 1→−AD 1→=AB 1→−AD 1→=D 1B 1→=−B 1D 1→，即①错误； ②连接A 1D ，则A 1D ⊥AD 1，由正方体的性质知，DE ⊥平面ADD 1A 1， 因为AD 1⊂平面ADD 1A 1，所以DE ⊥AD 1， 又A 1D ∩DE ＝D ，A 1D 、DE ⊂平面A 1DE ， 所以AD 1⊥平面A 1DE ，因为A 1E ⊂平面A 1DE ，所以AD 1⊥A 1E ，即②正确；③当E 为CD 中点时，在△A 1B 1E 中，A 1B 1＝2，A 1E ＝B 1E =√3，设点B 1到直线A 1E 的距离为d ，则S △A 1B 1E =12A 1E •d =12A 1B 1•√A 1E 2−(A 1B12)2， 所以√3d ＝2×√(√3)2−(22)2，解得d =2√63，即点B 1到直线A 1E 的距离为2√63，故③错误；④当点E 为线段CD 的靠近点D 的四等分点时，可使A 1E ⊥平面AB 1D 1，理由如下：过点E 作EF ⊥AB 于F ，连接A 1F ，则点F 为AB 的靠近点A 的四等分点， 所以AA 1AF=A 1B 1AA 1=2，所以△A 1AF ∽△B 1A 1A ，所以∠A 1F A ＝∠B 1AA 1，因为∠B 1AA 1+∠B 1AB ＝90°，所以∠A 1F A +∠B 1AB ＝90°，即A 1F ⊥AB 1， 因为EF ⊥平面ABB 1A 1，且AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以EF ⊥AB 1， 又A 1F ∩EF ＝F ，A 1F 、EF ⊂平面A 1EF ，所以AB 1⊥平面A 1EF ， 因为A 1E ⊂平面A 1EF ，所以AB 1⊥A 1E ， 由②知AD 1⊥A 1E ，因为AB 1∩AD 1＝A ，AB 1、AD 1⊂平面AB 1D 1， 所以A 1E ⊥平面AB 1D 1，即④正确． 故答案为：②④．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（14分）在△ABC 中，A （﹣3，0），B （1，4），C （3，﹣3）． （Ⅰ）求边AB 所在直线的方程； （Ⅱ）求边AB 上的中线所在直线的方程． 解：（Ⅰ）因为A （﹣3，0），B （1，4）， 所以边AB 所在直线的斜率k AB ＝1． 又因为该直线过点A （﹣3，0）， 所以边AB 所在直线的方程为：y ＝x +3， 即x ﹣y +3＝0．（Ⅱ）设边AB 上的中点为M ，则直线MC 即为边AB 上的中线． 因为A （﹣3，0），B （1，4），所以M （﹣1，2），又因为C （3，﹣3） 所以直线MC 的斜率k MC =−54． 又因为该直线过点M （﹣1，2），所以直线MC 的方程为：y −2=−54(x +1)， 即5x +4y ﹣3＝0．17．（14分）已知向量a →=（1，3，2），b →=（﹣2，1，4），c →=（5，1，x ）． （Ⅰ）若a →⊥c →，求实数x 的值； （Ⅱ）求|2a →−b →|；（Ⅲ）若a →，b →，c →不能构成空间向量的一个基底，求实数x 的值． 解：（Ⅰ）因为a →⊥c →，且a →=（1，3，2），c →=（5，1，x ） 所以a →⋅b →=0，即5+3+2x ＝0，解得x ＝﹣4； （Ⅱ）因为向量a →=（1，3，2），b →=（﹣2，1，4） 所以2a →−b →=2（1，3，2）﹣（﹣2，1，4）＝（4，5，0）， 所以|2a →−b →|=√42+52+02=√41；（Ⅲ）因为a →，b →，c →不能构成空间向量的一组基底， 所以向量c →与向量a →，b →共面，故存在唯一的数对（m ，n ），使得c →=m a →+n b →，即（5，1，x ）＝m （1，3，2）+n （﹣2，1，4）＝（m ﹣2n ，3m +n ，2m +4n ）， 解得x ＝﹣6．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥AD ，PD ＝2DC ＝4，E 是棱P A 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值． 条件①：平面P AD ⊥平面ABCD ； 条件②：PD ⊥DC ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）证明：在底面ABCD中，连接AC交BD于点F，可得F为AC中点，连接EF，因为EF是△P AC的中位线，所以EF∥PC，因为EF⊂平面BDE，又因为PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE．（Ⅱ）选①：平面P AD⊥平面ABCD．因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PD⊂平面P AD，PD⊥AD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC，又底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以PD，AD，DC两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz：则D （0，0，0），B （2，2，0），E （1，0，2）． 所以DB →=（2，2，0），DE →=（1，0，2）， 设平面BDE 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=2x +2y =0n →⋅DE →=x +2z =0，令x ＝2，则y ＝﹣2，z ＝﹣1， 所以n →=（2，﹣2，﹣1）， 又因为PD ⊥平面ABCD ，所以DP →=（0，0，3）为平面ABCD 的一个法向量，设平面BDE 与平面ABCD 夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜DP →，n →＞|＝|DP →⋅n→|DP →||n →||=13，所以平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值为13． 选②：PD ⊥DC ．因为PD ⊥DC ，PD ⊥AD ，又底面ABCD 是正方形， 所以PD ，AD ，DC 两两相互垂直， 如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ：则D （0，0，0），B （2，2，0），E （1，0，2）， 所以DB →=（2，2，0），DE →=（1，0，2）， 设平面BDE 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=0n →⋅DE →=0，即{2x +2y =0x +2z =0，令x ＝2，则y ＝﹣2，z ＝﹣1，于是n →=（2，﹣2，﹣1）， 又因为PD ⊥平面ABCD ，所以DP →=（0，0，3）为平面ABCD 的一个法向量．设平面BDE 与平面ABCD 夹角为θ， 所以cos θ＝|cos ＜DP →，n →＞|＝|DP →⋅n→|DP →||n →||=13，所以平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值为13． 19．（14分）已知圆M 1：x 2+2x +y 2﹣8＝0． （Ⅰ）求圆M 1的圆心坐标以及半径；（Ⅱ）求经过点P 0（2，1）的圆M 1的切线方程；（Ⅲ）若圆M 1与圆M 2：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝m （m ＞0）有公共点，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为圆M 1：x 2+2x +y 2﹣8＝0，整理得（x +1）2+y 2＝9， 所以圆心M 1的坐标为（﹣1，0），半径r 1＝3；（Ⅱ） ①当切线l 斜率不存在时，切线l 的方程为x ＝2，符合题意； ②当切线l 斜率存在时，设l ：y ﹣1＝k （x ﹣2）， 即kx ﹣y ﹣2k +1＝0．设圆心M 1（﹣1，0）到切线l 的距离为d ，则d ＝r 1＝3， 即√1+k 2=3，整理可得：﹣6k +1＝9，解得k =−43，所以切线l 的方程为−43x ﹣y +113=0，即4x +3y ﹣11＝0； 综上所述：切线l 的方程为x ＝2或4x +3y ﹣11＝0；（Ⅲ）由圆M 2：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝m （m ＞0）可知圆心M 2（2，4），半径r 2=√m ， 所以圆心距|M 1M 2|=√(2+1)2+42=5，若圆M 1与圆M 2：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝m 有公共点， 则|r 2﹣r 1|≤|M 1M 2|≤|r 1+r 2|，即{|r 2−3|≤55≤|3+r 2|，解得2≤r 2≤8，故m 的范围为：m ∈[4，64]．20．（14分）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求这座圆拱桥的拱圆的方程；（Ⅱ）若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(√3≈1.732)解：（Ⅰ）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 因为该拱圆过A （﹣8，0），B （8，0），C （0，4）， 所以{64−8D +F =064+8D +F =016+4E +F =0，解得{D =0E =12F =−64． 所以拱圆的一般方程为x 2+y 2+12y ﹣64＝0， 即x 2+（y +6）2＝100．（Ⅱ）该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，当x ＝5时，52+（y +6）2＝100， 得y =5√3−6≈2.66m ＜3m 所以该景区游船可以从桥下通过．21．（15分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3．M ，N 分别为棱AB ，B 1C 1的中点，BC 1与B 1C 交于点P ． （Ⅰ）求直线AA 1与平面A 1CM 所成角的正弦值； （Ⅱ）求直线BC 1到平面A 1CM 的距离；（Ⅲ）在线段A 1N 上是否存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1CM ？若存在，求A 1Q A 1N的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以AA 1，AB ，AC 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A （0，0，0），A 1（0，0，3），C （2，0，0），M （0，1，0）． 所以AA 1→=（0，0，3），A 1C →=（2，0，﹣3），A 1M →=（0，1，﹣3）． 设平面BDE 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅A 1C →=0n →⋅A 1M →=0即{2x −3z =0y −3z =0， 令z ＝2，则x ＝3，y ＝6．于是n →=（3，6，2）． 所以cos ＜AA 1→，n →＞=AA 1→⋅n→|AA 1→|⋅|n →|=63×√3+6+2=27．设直线AA 1与平面A 1CM 所成角为θ， 所以sin θ＝|cos ＜AA 1→，n →＞|=27．故直线AA 1与平面A 1CM 所成角的正弦值为27．（Ⅱ）在侧面AA 1C 1C 中，连接AC 1交A 1C 于点G ，可知G 为AC 1中点，连接GM ． 因为GM 是△AC 1B 的中位线， 所以BC 1∥GM ， 又因为GM ⊂平面A 1CM ， BC 1⊄平面A 1CM ， 所以BC 1∥平面A 1CM ．所以直线BC 1到平面A 1CM 的距离等于点B 到平面A 1CM 的距离．又因为B （0，2，0），所以BA 1→=（0，﹣2，3）， 设点B 到平面A 1CM 的距离为d ，则d =|BA 1→⋅n →||n →|=|0−12+6|√3+6+2=67，所以直线BC 1到平面A 1CM 的距离为67．（Ⅲ）线段A 1N 上存在点Q ，点Q 为A 1N 上靠近点N 的三等分点，满足PQ ∥平面A 1CM ， 证明如下：设A 1Q →=λA 1N →（0≤λ≤1）， 因为A 1（0，0，3），N ＝（1，1，3） 所以A 1N →=（1，1，0），所以A 1Q →=（λ，λ，0），PQ →=PA 1→+A 1Q →=（﹣1，﹣1，32）+（λ，λ，0）＝（λ﹣1，λ﹣1，32）．由（Ⅰ）知平面A 1CM 的一个法向量为n →=（3，6，2）， 因为PQ ∥平面A 1CM ，所以PQ →•n →=0，即3×(λ−1)+6×(λ−1)+2×32=0， 解得：λ=23，所以线段A 1N 上存在点Q ，点Q 为A 1N 上靠近点N 的三等分点，满足PQ ∥平面A 1CM ．。
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷附答案解析
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线40x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．椭圆22154x y +=的焦距为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12(1,(,2,n x n x ==-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则x =（）A ．1B ．7C ．2-D ．24．已知直线1:20l x my ++=和直线2:(23)20l mx m y ++-=平行，则m 的值为（）A ．3B ．3或1-C ．1-D ．3-5．如图，在四面体ABCD 中，E 为DC 的中点，F 为BE 的中点，设,,AB a AC b AD c === ，则AF =（）A ．111422a b c-++ B ．111244a b c ++C ．111242a b c+- D ．111442a b c++ 6．已知,A B 是抛物线22y x =上的两点，且线段AB 的中点为(1,1)，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．10x y +-=C ．0x y -=D ．210x y -+=7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB =1MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点Q 是圆22(3)(2)1x y -+-=上一点，则||||PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．5D ．58．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12,.F F A 是C 上的一点（在第一象限），直线2AF 与y 轴交于点B ，若11AF BF ⊥，且2232AF F B =，则C 的离心率为（）A ．305B ．32C ．6D ．355二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆22:(6)16C x y ++=，设点(,)P x y 为圆上的动点，则下列选项正确的是（）A ．点P 到原点O 的距离的最小值为2B ．过点(3,0)A -的直线与圆C 截得的最短弦长为6C ．yx的最大值为1D ．过点(1,0)B -作圆的切线有2条10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列四个结论正确的有（）A ．1BC 与AC 所成角为60oB ．三棱锥1A D PC -的体积不变C ．//DP 平面11ABD D ．1DP BC ^11．已知12,F F 分别为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，若点12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，P是椭圆C 上一动点，下列结论中正确的有（）A ．12PF PF ⋅的范围为[2,3]B ．若12F F P 为直角三角形，则12F F P 的面积为3C ．若点(1,1)B，则2PB PF +的最大值为4D ．直线12,PA PA 的斜率之积为34-三、填空题（本大题共3小题）12．若直线220mx y +-=经过两直线53170x y --=和50x y --=的交点，则m =.13．已知直线:0l x y --=，点P 为椭圆22:14y C x +=上的一个动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为.14．一动圆与圆221:10240C x y y +++=和222:10240C x y y +--=都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为20x =.(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程;(2)若斜率为2且纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，F 为抛物线C 的焦点，求FMN 的面积.16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40，45].(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数；(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第61百分位数；(3)若在抽出的第1组、第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率.17．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且ABC V 的外接圆半径R 满足sin cos (cos cos )R A A c B b C =+.(1)求角A ；(2)若a =ABC V 面积的最大值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，求出BMBP的值；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ（λ为非零的正实数）代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称曲线12E E 、关于原点“伸缩”，变换(,)(,)x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.如果曲线221:243E x y +=经“伸缩变换”后得到曲线2E ，射线1(0)2y x x =>与12E E 、分别交于两点A ，B 且||2AB =.(1)求2E 的方程;(2)若M ，N 在2E 上，,,BM BN BD MN D ⊥⊥为垂足，求证：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷1．【答案】A【详解】40x +=的斜率为3，故倾斜角为30︒，故选：A 2．【答案】B【详解】由题意得1c ==，则其焦距为2.故选：B.3．【答案】D【详解】由于αβ⊥，所以12n n ⊥ ，故12260n n x x ⋅=+-=，解得2x =，故选：D 4．【答案】A 【详解】由题意可得12232m m m =≠+-，则223m m +=，2230m m --=，即()()310m m -+=，解得3m =或1-，当3m =时，132392=≠-，显然成立，符合题意；当1m =-时，112112-==--，不符合题意.故选：A.5．【答案】B【详解】由F 是BE 的中点，则12BF BE = ，由E 为CD 的中点，则12DE DC = ，在ABD △中，BD AD AB =-，在ACD 中，DC AC AD =- ，()11112222AF AB BF AB BE AB BD DE AB AD AB DC ⎛⎫=+=+=++=+-+ ⎪⎝⎭()111111111224244244AB AD AC AD AB AD AC a b c =++-=++=++.故选：B.6．【答案】C【详解】设1,1,2,2,则2211222,2y x y x ==，故221212121212222y y y x x x x y y y --=-⇒=-+，由于AB 的中点为(1,1)，故122y y +=，因此12121221AB y y k x x y y -===-+,故直线方程为11y x =-+，即0x y -=，经检验，直线0x y -=与抛物线相交，满足条件.故选：C 7．【答案】A【详解】由题意设抛物线的方程为22(0)y px p =>，因为AB =，1MO =，所以点(1,B -在抛物线上，将B 的坐标代入到抛物线的方程中，可得82p =，故4p =，所以抛物线的方程为28y x =，所以抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)，准线方程为2x =-，圆22(3)(2)1x y -+-=的圆心位()3,2H ,半径位1R =，可知圆在抛物线内部，如图：如图，过点P 作PP '与准线垂直，P '为垂足，点H 作HN 与准线垂直，N 为垂足，则||||PF PP '=，所以3214PF PQ PP PQ P Q NH R +=+≥≥-='+-='，当且仅当P ，H ，P '三点共线时，所以||||PF PQ +的最小值为4．故选：A8．【答案】D【详解】设1BF m =，如下图所示：由题意可得2BF m =，2122,233AF m AF m a ==+；又22AF F AB B =+，由11AF BF ⊥可得22211AF BF AB +=，即22222233m a m m m ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3m a =；所以2112,4,3AF a AF a BF a ===；因为111190,90AF O BF O BF O F BO ∠+∠=∠+∠=，所以11AF O F BO ∠=∠；即11cos cos AFO F BO ∠=∠，可得222112211212AF F F AF OB AF F F BF +-=，即22216442423a c a a c a+-=⨯⨯，解得c a =故选：D9．【答案】AD【详解】由题意可知：圆22:(6)16C x y ++=的圆心为()6,0-，半径4r =，对于选项A ：点P 到原点O 的距离的最小值为2PO r -=，故A 正确；对于选项B ：因为3CA r =<，可知点(3,0)A -在圆C 内，所以最短弦长为=B 错误；对于选项C ：因为yx表示直线OP 的斜率，当OP 与圆C 相切时，此时OP =，yx取到最大值255r OP ==，故C 错误；对于选项D ：因为5CB r =>，可知点B 在圆C 外，所以过点(1,0)B -作圆的切线有2条，故D 正确；故选：AD.10．【答案】ABC【详解】对于A 选项，连接AC 、11AC 、1A B ，则1111A B A C BC ==，所以，11A BC V 是等边三角形，所以1160A C B ∠=，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以，四边形11AAC C 为平形四边形，所以，11//AC AC ，所以，异面直线1BC 与AC 所成的角等于1160A C B ∠=，A 对；对于B 选项，因为11//AB C D ，11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以，1//BC 平面1ACD ，因为1P BC ∈，所以，点P 到平面1ACD 的距离等于点B 到平面1ACD 的距离，为定值，又因为1ACD △的面积为定值，故三棱锥1P ACD -的体积为定值，B 对；对于C 选项，由B 选项可知，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，所以，1//BC 平面11AB D ，同理可证//BD 平面11AB D ，因为1BC BD B = ，1BC 、BD ⊂平面1BC D ，所以，平面1//BC D 平面11AB D ，因为DP ⊂平面1BC D ，所以，//DP 平面11AB D ，C 对；对于D 选项，若1DP B C ⊥，且四边形11BB C C 为正方形，则11B C BC ⊥，因为1DP BC P = ，DP 、1BC ⊂平面1BC D ，则1B C ⊥平面1BC D ，又因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，则1B C AB ⊥，因为11B C BC ⊥，1AB BC B =I ，AB 、1BC ⊂平面11ABC D ，所以，1B C ⊥平面11ABC D ，又因为过点P 有且只有一个平面与直线1B C 垂直，矛盾，假设不成立，D 错.故选：ABC.11．【答案】ACD【详解】对于A ，()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，故()()2222212000000000311,1,1(4)1244PF PF x y x y y x x x x ⋅=---⋅--=+-=-+-=+ ，由于2004x ≤≤，故[]2120122,34PF PF x ⋅=+∈ ，A 正确，对于B ，当212PF F F ⊥时，此时31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，故12F F P 的面积为12113322222P F F y =⨯⨯=，故B 错误，对于C ，由于1(1,0)F -，又(1,1)B ，所以1||BF =所以21114444PB PF PB PF PB PF BF +=+-=+-≤+=+当且仅当1,,P B F 三点共线时，且1F 在,P B 之间时取等号，故C 正确．对于D ，由椭圆22:143x y C +=，得()12(2,0),2,0A A -，设()00,P x y ，则1220002000224PA PA y y y k k x x x =⨯=+--，又2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，所以12220022003(4)34444PA PAx y k k x x -===---，故D 正确；故选：ACD12．【答案】10【详解】联立5317050x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩，将点()1,4-代入到直线220mx y +-=，得820m --=，故10m =.故答案为：10.13．【答案】【详解】由点P 在椭圆22:14y C x +=上，设(cos ,2sin ),R P θθθ∈，则点P 到直线l的距离d =，其中锐角ϕ由1tan 2ϕ=确定，而1sin()1θϕ--≤≤，则当sin()1θϕ-=-时，min d =所以点P 到直线l的距离的最小值为故答案为：14．【答案】221(0)916y x y -=<【详解】圆221:(5)1C x y ++=的圆心1(0,5)C -，半径11r =，圆222:(5)49C x y +-=的圆心2(0,5)C ，半径27r =，设动圆的圆心(,)P x y ，半径为r ，依题意，1217PC rPC r ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，则2112||||610||PC PC C C -=<=，因此动圆的圆心P 的轨迹是以12,C C 为焦点，实轴长为6的双曲线下支，实半轴长3a =，半焦距5c =，虚半轴长4b ==，方程为221(0)916y x y -=<.故答案为：221(0)916y x y -=<15．【答案】(1)212y x =，22154x y -=；.【详解】（1）双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的渐近线方程为20x ay ±=，而双曲线E的渐近线方程为20x =，则a =，双曲线E 的方程为22154x y -=，双曲线E 的右焦点坐标为(3,0)，而抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p，于是32p=，解得6p =，所以抛物线C 的标准方程为212y x =.（2）直线l 的方程为21y x =+，由22112y x y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2660y y -+=，2646120∆=-⨯=>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,6y y y y +==，12||y y -==令直线l 与x 轴的交点为A ，1(,0)2A -，由（1）知(3,0)F ，所以FMN的面积12117||||2222FMN S AF y y =-=⨯⨯=.16．【答案】(1)0.07x =，175(2)33(3)1115【详解】（1）()0.020.060.040.0151x ++++⨯=，解得0.07x =，5000.075175⨯⨯=，估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为175.（2）设第61百分位数为y ，由()0.020.060.0750.750.61++⨯=>，()0.020.0650.40.61+⨯=<，则[)30,35y ∈，可得()()0.020.0650.07300.61y +⨯+⨯-=，解得33y =.（3）第1组、第2组和第4组的人数之比为0.02:0.06:0.041:3:2=，抽取的6人中第1组、第2组和第4组的人数分别为1,3,2，从这6名中抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率111111133212222666C C C C C C 11++C C C 15P ==.17．【答案】(1)π3A =；(2)334.【详解】（1）在ABC V 中，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===及sin cos (cos cos )R A A c B b C =+，得()()1sin cos cos cos 2cos sin cos sin cos 2a R A A c Bb C R C C B B C ==+=+()2cos sin 2cos sin cos R A B C R A A a A =+==，解得1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.（2）由（1）知，π3A =，a =由余弦定理得2222232cos a b c bc A b c bc bc ==+-=+-≥，当且仅当b c ==因此1333sin 244ABC S bc A ==≤ ，所以ABC V 面积的最大值为334.18．【答案】(1)证明见解析(2)13(3)存在，且13BM BP =【详解】（1）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，所以，AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以，AB PD ⊥，因为PD PA ⊥，PA AB A = ，PA 、AB ⊂平面PAB ，所以，PD ⊥平面PAB .（2）解：取AD 中点为O ，连接OC 、OP ，又因为PA PD =，则PO AD ⊥，则1AO PO ==，因为AC CD ==，则OC AD ⊥，则2CO =，在平面ABCD 内，因为OC AD ⊥，AB AD ⊥，则//OC AB ，因为AB ⊥平面PAD ，则OC ⊥平面PAD ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则0,0,1、()1,1,0B 、()0,1,0D -、()0,1,0A 、()2,0,0C ，则()0,1,1PA =- ，()0,1,1DP = ，()2,1,0DC = ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则020n DP y z n DC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,2n =- ，设PA 与平面PCD 的夹角为θ，则sin cos ,3n PA n PA n PA θ⋅====⋅ ，则1cos 3θ==，所以，直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值为13.（3）解：设()()1,1,1,,BM BP λλλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()()()1,0,0,,1,,AM AB BM λλλλλλ=+=+-=+- ，因为//AM 平面PCD ，则122130AM n λλλλ⋅=+--=-= ，解得13λ=，因此，在棱PB 上存在点M ，使得//AM 平面PCD ，且13BM BP =.19．【答案】(1)22163x y +=(2)详见解析.【详解】（1）解：设伸缩比为λ，则曲线2E 的方程为2222243x y +=λλ.由221,(0)2243y x x x y ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1(1,)2A ,由22221,(0)2243y x x x y λλ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(,)2B λλ,因为||AB =224111(1)()225-+-=λλ，解之得12λ=，所以曲线2E 的方程为22163x y +=（2）证明：当直线MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN 方程为y kx m =+（k 为斜率），联立方程得22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，222(12)4260k x kmx m +++-=，直线MN 与椭圆交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，所以0∆>，即228(63)0k m -+>，由韦达定理可得，122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为(2,1)B 且BM BN ⊥，所以0BM BN ⋅= ，则1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，其中22121212()y y k x x km x x m =+++，1212()2y y k x x m +=++，所以221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++--++-+=，于是可得22222264(1)()(2)()2501212m km k km k m m k k --++--+-+=++化简整理可得22483210k km m m ++--=，即(231)(21)0k m k m +++-=.所以2310k m ++=或210k m +-=，经检验两式均能使0∆>.当2310k m ++=时，直线MN 方程为3312y kx k =--，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由33121(2)1y kx ky x k =--⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得22338230x y x y +--+=，即22418()()339x y -+-=，此时存在定点41(,)33Q 使得|DQ |为定值3；当210k m +-=时，直线MN 方程为12y kx k =+-，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由121(2)1y kx ky x k =+-⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得224250x y x y +--+=，即22(2)(1)0x y -+-=，所以点(2,1)D 与点(2,1)B 重合，不符合题意，故舍去.当0k =时，可由2310k m ++=求得，13m =-，所以1(2,)3D -，可验证点1(2,)3D -在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值当直线MN 的斜率不存在时，不妨设直线MN 方程为x n =，由22260x nx y =⎧⎨+-=⎩可解得点(M n，(,N n ，由0BM BN ⋅= 可得：(2)(2)1)(1)0n n --+=，解之得23n =（2n =舍去），所以点2(,1)3D ，可验证点2(,1)3D 在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值3.综上所述，存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值.。
2024—2025学年山东省泰安市新泰市弘文中学高二上学期期中学情检测数学试卷
2024—2025学年山东省泰安市新泰市弘文中学高二上学期期中学情检测数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．(★★) 2. 若圆与圆相切，则的值为（）A．B．C．或D．或(★★) 3. 已知圆：，点，，在圆上存在点，使得，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知两圆和相交，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（）A．内含B．外切C．相交D．外离(★★) 6. 已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（）A． 1B．C． 2D．(★★) 7. 以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（）A．B．C．=16D．(★★) 8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，下列结论正确的是（）A．B．C．D．(★★) 11. 直线与圆的大致图像可能正确的是（）A．B．C．D．三、填空题(★★) 12. 在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ______ ．(★★★) 13. 已知是方程组的解，则方程组的解是 ______ ．(★★★) 14. 平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 ______ .四、解答题(★★) 15. 已知圆：.(1)若直线过定点且与圆相切，求直线的方程；(2)若直线与圆交于两点，求的最小值.(★★★) 16. 如图，在四棱柱中，二面角均为直二面角.(1)求证：平面；(2)若，二面角的正弦值为，求的值. (★★★) 17. 如图，长方体中，点分别在上，且，.(1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值.(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．(★★) 19. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．(1)求证：平面；(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．。
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ， 则BE u u u r等于（ ）A ．1122a b c -++r r r B ．1122a b c -+r r r C ．1122a b c -+r r r D ．1122a b c -++r r r2．若平面α的法向量为μu r ，直线l 的方向向量为v r，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ）A ．cos ||||v v μθμ⋅=u r r u r rB ．||cos ||||v v μθμ⋅=u r ru r r C ．sin |||v v μθμ⋅=u r ru r r ∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=u r ru r r3．若直线AB 的一个法向量是)1a =-r，则该直线的倾斜角为（ ）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o4．已知空间向量()()1,1,2,1,2,1a b =-=-r r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量是（ ）A ．()1,1,1-B ．555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设P 是120o 的二面角l αβ--内一点，PA α⊥，PB β⊥，A 、B 是垂足，4PA =，3PB =，则AB 的长度为（ ）A ．B ．5CD 6．对于空间一点O 和不共线三点,,A B C ，且有2OP PA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则（ ） A ．,,,O A B C 四点共面 B ．,,,P A B C 四点共面 C ．,,,O P B C 四点共面D ．,,,,O P A B C 五点共面7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论不正确的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AB ，CD 所成角为60︒C ．ADC △为等边三角形D ．AB 与平面BCD 所成角为60︒8．正方形11ABB A 的边长为12，其内有两点,P Q ，点P 到边111,AA A B 的距离分别为3，2，点Q 到边1,BB AB 的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得AB 和11A B 重合.则此时两点,P Q 间的距离为（ ）A B C D二、多选题9．下列说法中，正确的有（ ）A ．直线()32y ax a a =-+∈R 必过定点()3,2B ．方程0Ax ByC ++=是直线的一般式方程C ．直线10x +=的斜率为D ．点()5,3-到直线20y +=的距离为110．已知空间单位向量,,i j k rr r 两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A ．向量i j +r r与k j -r r 共线 B ．问量i j k ++rr rC ．{},,i j i j k +-r r r r r 可以构成空间的一个基底D ．向量i j k ++r r r 和k r11．如图，已知正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的底面边长为2点均在球O 的球面上，则下列说法错误的是（ ）A ．直线DE '与直线AF '异面B ．若M 是侧棱CC '上的动点，则AM MD '+C ．直线AF '与平面DFE 'D ．球O 的表面积为18π三、填空题12．已知点()1,2A -关于直线y kx b =+对称的点是()1,6B --，则直线y kx b =+在x 轴上的截距是.13．若三条直线2,3,100y x x y mx ny =+=++=相交于同一点，则点(),m n 到原点的距离的最小值为.14．已知正三棱柱ABC A B C '''-的底面边长为2，点P 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是.四、解答题15．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （－3，4）； （2）斜率为16．16．如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥面,2,BCD AD M =是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在棱AC 上，且3AQ QC =.请建立适当的空间直角坐标系，证明：//PQ 面BCD .17．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．(1)用向量1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 表示向量1BD u u u u r，并求1BD u u u u r ； (2)求1cos ,BD AC u u u u r u u u r ． 18．如图，在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥平面,,,ABCDE AB CD AC ED AE BC ∥∥∥，45,24ABC AB BC AE ∠=︒===､三角形PAB 是等腰三角形.(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ： (2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，棱1,AC CC 的中点分别为1,,D E C 在平面ABC 内的射影为D ，ABC V 是边长为2的等边三角形，且12AA =，点F 在棱11B C 上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：(1)若点F为棱B C的中点，求点F到平面BDE的距离；11(2)求锐二面角F BD E--的余弦值的取值范围．。
高二数学期末试卷B卷
高二数学期末考试试题(B 卷)注：考试时间为120分钟，总分100分，解答题务必有解题步骤，否则不得分一、选择题（每题只有一个选项正确，每题3分，共36分）1．已知集合M=}01{>+x x ，N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-011x x，则=N M （ ）A ． }11{<≤-x xB ． }1{>x xC ．}11{<<-x xD ．}1{-≥x x 2．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合{A =参加北京奥运会比赛的运动员}，集合{B =参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合{C =参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A.A B ⊆B. B C ⊆C. AB C = D. B C A =3．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ） A ．1B ．—1C ．1或—1D ．1或—1或04．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A 、 ()M P SB 、 ()M P SC 、 ()u MP C S D 、 ()u M P C S5.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i7．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝x －2B ． y ＝2x －3C ．y ＝－3x ＋2D ．y ＝－2x ＋18.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如下，则( )A ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点9．(2010年绍兴模拟)函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 10.“2a =”是“直线20ax y +=与1x y +=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i + 12．函数x x y ln =在区间 ( )A ．)1,0(e 上单调递减 B.),1(+∞e上单调递减 C ．),0(+∞上单调递减 D.),0(+∞上单调递增 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．函数y =x 2（x －3）的减区间是14．已知函数f (x )的定义域为(0,2]，函数f (1+x )的定义域为 15．复数()2i 1+i 的实部是16．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝三、解答题：(本大题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，过程或步骤)17．已知全集U={}22,3,23a a +-，若A={},2b ，{}5U C A =，求实数的a ,b 值18. 解不等式2321-->+x x19．已知集合A={}37x x ≤≤，B={x|2<x<10}，全集为实数集R.(1) 求A ∪B （2）(C R A)∩B ；20．函数b ax x x f +-=3)(3)0(>a 的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数b a ，的值. （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.高二数学期末考试试题(B 卷)参考答案一、 选择题：二、填空题：13． [0，2] 14．（-1，1 ] 15． -1 16．-1 三、解答题（解答应写出文字说明，过程或步骤，否则不得分） 17.解：a=-4和2 b=3 18. 原不等式的解为{}60<<x x ．19．(1)∵A={}73<≤x x ，B={x|2<x<10},∴A ∪B={x|2<x<10}； (2) ∵A={}73<≤x x ，∴C R A={x| x<3或x ≥7}∴(C R A)∩B={x| x<3或x ≥7}∩{}102<≤x x ={x|2<x<3或7≤x<10} 20.a=1，b=4。
A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学(B卷)试题(原卷版)
A10联盟2023级高二上学期9月初开学摸底考数学（北师大版）试题命题单位：淮南二中数学教研组 编审单位：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．1. 已知集合{}3,2,0,1,2A =−−，{}260B x xx =∈−−≥N ，则()NA B = （ ）A. {}3,2,0,1,2−−B. {}1,0,1,2− C {}0,1,2D. {}1,22. 设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 86B. 87C. 88D. 904. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. 1()4P A =B. 事件A 与事件B 互斥C. 事件A 与事件B 相互独立D. 1()2P A B ∪=5. 已知4tan 23θ=，π0,4θ∈ ，若ππcos cos 44m θθ −=+，则实数m 值为（ ） A. 3−B. 2−C. 3D. 26. 已知平面向量1e 和2e 满足2122e e == ，2e 在1e 上的投影向量为1e −，则1e 在2e 上的投影向量为（ ）.的A. 214e −B. 12−C. 212e −D. 2e −7. 已知函数()lg ,01016,102x x f x x x <≤= −+>，若a ，b ，c ，d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（ ）A. [)26,+∞B. ()14,+∞C. 34126,10D. 22126,108. 在ABC 中，M 为BC 上一点且满足2BM MC =，120AMC ∠=°，2AM =，若3ABM S =△，则ABC 的外接圆半径为（ ）A.B.C. 1D. 3二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：i e cos isin x x x =+其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A.πi 2e 的虚部为1B. 复数πi4e在复平面内对应的点位于第二象限C. i i e e sin 2ix xx −−=D. 若πi 31e z =，i 2e z θ=在复平面内分别对应点1Z ，2Z ，则12 OZ Z 面积的最大值为110. 把函数()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω=+⋅+<<的图象向右平移π12个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()π3f x f x−=C. 当π0,3x ∈时，()f x 的值域为[]1,2D. 若方程()1f x =在区间()π,m −上恰有六个不等实根，则实数m 的取值范围为7π2π,311. 如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −表面上的一个动点，则（ ）A. 当M 在平面1111D C B A 内运动时，四棱锥M ABCD −的体积是定值B. 当M 在直线11A C 上运动时，BM 与AC 所成角取值范围为ππ,42C. 使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点MD. 若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 在ABC 中，D 为BC 边上的中点，E 是AD 上靠近A 的四等分点，若BE xAB y AC =+，则x y +=______．13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为25log 10qv =（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为1q 时的飞行速度为1v （米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为2q 时的飞行速度为2v （米/秒），两只燕子同时起飞，当124q q =时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米14. 已知P A B C D ,,,,是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，1AB DC AD ===，2BC PA ==，PD ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为______．四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．的15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =.（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. （2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.16. 已知锐角ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos sin 0a C C b c +−−=． （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．17. 如图1，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为边CD 上一点．现将ADE 沿着AE 折起，使点D 到达点P 的位置．（1）如图2，若E 为边CD 的中点，点F 为线段PB 的中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）如图3，设点P 在平面ABCE 内的射影K 落在线段AB 上． ①求证：CB ⊥平面PAB ； ②当14AK AB =时，求直线PC 与平面ABCE 所成的角的余弦值． 18. 设函数()e e 2x x f x −−=，()e e2xxg x −+=．的（1）判断函数()f x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； （2）求证：()()()()2f x y f x y f xg y ++−=；（3）若()()()22ln 42ln 2xx x h x f t f −+⋅在区间[]1,1−上的最小值为78−，求t 的值． 19. 对于集合{}12,,,n A θθθ= 和常数0θ，定义：σ=A 相对的0θ的“正弦标准差”．（1）若集合ππ,63A = ，0π4θ=，求A 相对0θ的“正弦标准差”； （2）若集合π,,4A αβ = ，是否存在3π,π4∈α，3π7π,24β ∈，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．的。
黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024-2025学年高二上学期阶段测试数学试卷(一)
黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024-2025学年高二上学期阶段测试数学试卷（一）一、单选题1．直线350x +=的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π42．已知直线1:20l x ay +-=，()2:110l a x ay +-+=，若12://p l l ；:2q a =-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线:20l ax y a +-+=与圆22:(2)(1)9C x y -++=交于A ,B 两点，则当弦AB 最短时，直线l 的方程为（ ）A ．310x y ++=B ．230x y ++=C ．20x y +=D ．10x y ++=4．已知平面α内有两点()1,1,2M -，(),3,3N a ，平面α的一个法向量为()6,3,6n =-r ，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线34100x y +-=相切，则该圆半径的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．26．点P 为x 轴上的点，()1,2A ，()3,4B ，以A ，B ，P 为顶点的三角形的面积为8，则点P 的坐标为（ ）A ．()7,0或()9,0-B ．()7,0或()11,0-C ．()7,0或()9,0D ．()11,0-或()9,0-7．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 中点，则异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是（ ）A B C D8．点P 是以AB 为直径的单位圆上的动点，P 到A ，B 的距离分别为x ，y ，则x y x y ++的最大值为（ ）A ．B ．C ．2+D ．2+二、多选题9．已知直线1:10l x y --=，动直线()()2:10l k x ky k k +++=∈R ，则下列结论错误的有（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90︒B ．存在实数k ，使得1l 与2l 没有公共点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直10．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60o ，下列说法中正确的是（ ）A ．1AC =u u u rB ．1AC BD ⊥u u u u r u u u rC ．向量1B C u u u r 与1AA u u u r 的夹角是60o .D ．异面直线1BD 与AC . 11．已知圆C ：()2224x y -+=，直线l ：()1230m x y m ++--=（m ∈R ），则（ ）A ．直线l 恒过定点()1,1B ．存在实数m ，使得直线l 与圆C 没有公共点C ．当3m =-时，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离等于1D ．圆C 与圆222810x y x y +-++=恰有两条公切线三、填空题12．已知直线()()1:21210l a x a y ---+=，直线()2:1210l a x y +--=．若12l l ⊥，则实数a 的值为．13．定义2 a b a a b →→→→→⊗=-⋅.若向量()1,2,3a →=-，向量b →为单位向量，则a b →→⊗的取值范围是. 14．已知圆221:4210C x y kx y +-++=与圆222:210C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 坐标为；2212PC PC +的最小值为．四、解答题15．已知点()A 3,4，求下列直线的方程：(1)求经过点()3,4A ，且在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍的直线的方程；(2)光线自点()3,4A 射到y 轴的点()0,1B 后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程． 16．已知圆()()22:124M x y -+-=，直线l 过点()3,2A ．(1)若直线l 被圆M 所截得的弦长为l 的方程；(2)若直线l 与圆M 交于另一点B ，与x 轴交于点C ，且A 为BC 的中点，求直线l 的方程． 17．在①圆过点C （－9，2）；②圆心在直线x －y ＋1＝0上；③圆与直线2x －y －0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解．已知圆E 过点A （1，12），B （7，10），且________．(1)求圆E 的方程．(2)已知点C （－2，0），D （2，－20），在圆E 上是否存在点P ，使得PC 2＋PD 2＝258？若存在，求出点P 的个数；若不存在，请说明理由．18．如图，四棱锥E ABCD -中，AE ⊥平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．(1)求证：AD MN ∥;(2)记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．19．已知圆()22:(1)4,,C x y A a b +-=为圆C 上一点.(1)求2b a+的取值范围； (2)圆222:(1)(0)D x y r r ++=>的圆心为D ，与圆C 相交于M 、N 两点，H 为圆C 上相异于M 、N 的点，直线,HM HN 分别与y 轴交于点P 、Q ，求CHP CHQ S S ⋅V V 的最大值.。
广雅中学2024年高二上学期9月月考数学试题B卷
江门市广雅中学2024-2025学年第一学期9月月考高二年级数学试卷（时间：120分钟，满分：150分）试卷类型：B一、单选题（8小题，共40分）1.将直线0y =绕着原点逆时针旋转60°，得到新直线的斜率为( )A.B.C.D. 2. 已知直线l 过点()3,4−且方向向量为()1,2−，则l 在x 轴上的截距为（ ） A. 1−B. 1C. 5−D. 53. 直线x+y ﹣1＝0被圆（x+1）2+y 2＝3截得的弦长等于（ ）A.B. 2D. 44. 已知圆22:2690C x y x y +−−+=，过x 轴上的点P(1,0)向圆C 引切线，则切线长为 A. 3B. 2√2C. 2√3D. 3√25. 若圆()()2213425O x y −+−=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于 A 6B. 7C. 8D. 96. 离心率为2的双曲线22221y x a b−=的渐近线方程是（ ）A. 0x y ±=B.0y ±=C. 0x ±=D.0y ±=7. 椭圆22182x y +=中，以点11,2M为中点的弦所在直线的斜率为（ ）A. 14−B. 4−C. 12−D. 2−8. 已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠= ，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A.B.C.D.的.二、多选题（3小题，每题6分，共18分）9. 若两条平行直线1l ：20x y m −+=与2l ：260x ny +−=之间的距离是，则m n +的可能值为（ ） A. 3B. 17−C. 3−D. 1710. 已知圆221:(1)(1)10C x y +++=与圆222:(1)(5)50C x y −++=，则（ ） A. 两圆圆心距为 B. 两圆的公切线有3条C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为240x y −+=D.两圆相交，且公共弦的长度为11. 已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y −=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线C 的渐近线方程为y x =±B. 12PF F 的面积为1C. 1F 到双曲线的一条渐近线的距离为2D. 以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=三、填空题（3小题，共15分）12. 抛物线24y x =的焦点F 到准线l 的距离为_________．13. 若圆()()22115x y ++−=上存在两点关于直线()2300,0ax by a b −+=>>对称，则112+a b的最小值是______.14. 已知双曲线22:13y C x −=的左焦点为1F，顶点(0,Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________. 四、解答题（共5小题，共77分）15. 已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为34−. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与直线l 平行，且点P 到直线m 距离为3，求直线m 的方程．的的16. 已知圆22:240C x y y +−−=，直线:10l mx y m −+−=. （1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.17 已知椭圆22149x y +=及直线3:2l y x m =+. (1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．18. 已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,5，端点A 在圆()()221:434C x y −+−=上运动．（1）求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；（2）若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求QA QC +的最小值．19. 已知动点(),P x y (其中0x ≥)到定点()10F ,的距离比点P 到y 轴的距离大1. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过椭圆221:11612x y C +=的右顶点作直线交曲线C 于A ､B 两点，其中O 为坐标原点①求证：OA OB ⊥；②设OA ､OB 分别与椭圆相交于点D ､E ，证明：原点到直线DE 的距离为定值..。
2024-2025 学年上海市大同中学高二数学上学期 10 月调研试卷及答案解析
2024-2025学年上海市大同中学高二数学上学期10月调研试卷90分钟满分100分一、填空题（3共36）1.若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，则a 与b 的位置关系是________．2.设{|A x x =为长方体}，{|B x x =为直平行六面体}，{|C x x =为正四棱柱}，{|D x x =为正六面体}，则集合A ，B ，C ，D 之间的包含关系为________．3.用斜二测画法画出的水平放置的ABC V 的直观图如图，其中1B O C O ''''==，若原ABC V 的面积为2，则A O ''=____________．4.在图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．5.若两异面直线a ，b 所成的角为70°，过空间内一点P 作于直线a ，b 所成角均为70°的直线l ，则所作直线l 的条数为______.6.正四面体ABCD 的棱长为1，则点A 到平面BCD 的距离为_______7.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，6AB BC ==，点E 在线段11C D 上，且112,D E EC M =为线段BE 的中点，若BE =1AD 与CM 所成角的余弦值为______．8.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =则线段AB 的长为__________.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB 为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.10.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11AD AA ==．动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是____________．12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A和线段1B C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为__.二、选择（4共16）13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件14.下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（）A.若直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α垂直B.若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α垂直C.若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直D.若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，则直线a 与平面α垂直15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF16.设1111,,,A B C D 分别是四棱锥P ABCD -侧棱,,,PA PB PC PD 上的点.给出以下两个命题，则（）.①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111D C B A 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111D C B A 可能是平行四边形.A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）17.已知正方体1111ABCD A B C D -．求证：（1）面11//AB D 面1BC D ．（2）1A C ⊥面1BC D ．18.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，A 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，2,120OA AOP ︒=∠=.（1）由点A 拉一根细绳绕圆柱侧面到达1B ，求绳长的最小值.（2）求异面直线1A B 与AP AP 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是正方形，平面BDEF 丄平面ABCD .（1）证明：平面ACE 丄平面BDEF ；（2）若点M 是线段BF 的一点，且满足DM 丄平面ACE ，求二面角A DM B --的大小20.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，且PA PC ⊥.（1）求PC 的长度；（2）是否存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由；（3）过点P 作平面α与直线PC 垂直，求平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面2024-2025学年上海市大同中学高二数学上学期10月调研试卷90分钟满分100分一、填空题（3共36）1.若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，则a 与b 的位置关系是________．【答案】平行、相交或异面【解析】【分析】根据线面角的定义可分析得出.【详解】若//a b ，显然a 、b 与平面α所成的角相等；若a 、b 为圆锥的两条母线所在的直线，显然a 、b 与平面α所成的角相等，此时a 、b 为相交直线；若a 、b 为异面直线，若满足//,//a b αα，此时a 、b 与平面α所成的角相等，均为0，故a 与b 的位置关系是平行、相交或异面.故答案为：平行、相交或异面.2.设{|A x x =为长方体}，{|B x x =为直平行六面体}，{|C x x =为正四棱柱}，{|D x x =为正六面体}，则集合A ，B ，C ，D 之间的包含关系为________．【答案】D C A B⊆⊆⊆【解析】【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可.【详解】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体.故答案为:D C A B⊆⊆⊆3.用斜二测画法画出的水平放置的ABC V 的直观图如图，其中1B O C O ''''==，若原ABC V 的面积为2，则A O ''=____________．【答案】1【解析】【分析】根据斜二测画法原则可还原ABC V ,利用面积公式计算即可求解.【详解】由直观图可还原ABC V ，如图：其中1,2OB O B OC O C BC B C ⅱⅱⅱ======，又,2OA BC AO A O ⅱ^=，因此12222ABC S BC A O A O ⅱⅱ=×==，所以1A O ⅱ=.故答案为：14.在图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．【答案】②④【解析】【分析】根据异面直线的定义分别判断即可.【详解】对①，连接GM ，,G M 为中点，//GM AB ∴，又//AB HN ，//GM HN ∴，故直线GH ，MN 共面，故①错误；对②，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面，故②正确；对③，如图，连接GM ，,G M 为中点，//GM AB ∴，又//AB HN ，//GM HN ∴，故直线GH ，MN 共面，故③错误；对④，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，GH ∴与MN 异面．故④正确.故答案为：②④.5.若两异面直线a ，b 所成的角为70°，过空间内一点P 作于直线a ，b 所成角均为70°的直线l ，则所作直线l 的条数为______.【答案】4【解析】【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.【详解】在空间取一点P ，经过点P 分别作//,//a a b b ''，设直线,a b ''确定平面α，如图，当直线MP 满足它的射影PQ 在,a b ''所成角的平分线上时，MP 与a '所成的角等于MP 与b '所成的角，因为直线a ，b 所成的角为70 ，得,a b ''所成锐角等于70 ，当MP 射影PQ 在,a b ''所成锐角的平分线上时，MP 与,a b ''所成角的范围是)35,90⎡⎣ .这种情况下，过点P 有两条直线与,a b ''所成的角都是70 ，当MP 的射影PQ 在,a b ''所成钝角的平分线上时，MP 与,a b ''所成角的范围是)55,90⎡⎣ .这种情况下，过点P 有两条直线与,a b ''所成的角都是70 ，综上所述，过空间任意一点P 可作与a ，b 所成的角都是70 的直线有4条.故答案为：46.正四面体ABCD 的棱长为1，则点A 到平面BCD 的距离为_______【答案】63【解析】【分析】作出辅助线，得到AE 即为点A 到平面BCD 的距离，E 为等边三角形BCD 的中心，结合勾股定理求出答案.【详解】取BC 的中点H ，连接DH ，则DH ⊥BC ，过点A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为E ，AE 即为点A 到平面BCD 的距离，则点E 在DH 上，且E 为等边三角形BCD 的中心，因为正四面体ABCD 的棱长为1，则12BH CH ==，由勾股定理得32DH ==，则2333DE DH ==，因为1AD =，由勾股定理得3AE ==，则点A 到平面BCD 的距离为63.故答案为：637.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，6AB BC ==，点E 在线段11C D 上，且112,D E EC M =为线段BE 的中点，若BE =1AD 与CM 所成角的余弦值为______．【答案】35【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点及向量的坐标，求出必要参数，利用向量的夹角公式求解即可，或作合适辅助线，利用线线角定义求解也可.【详解】．解法一以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()10CC a a =>，则()()()()()()116,0,0,6,6,0,0,0,0,6,0,0,6,,0,2,,3,4,2,a A B D a C C a E a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()6,4,BE a =-- ，则BE ==，解得2a =，所以()()13,4,1,0,0,2M D ，所以()()16,0,2,3,2,1AD CM =-=- ，设线线角为a则11cos 35⋅==-⋅ AD CM a AD CM，因此异面直线1AD 与CM 所成角的余弦值为35．故答案为：35解法二设()10DD x x =>，因为112,6D E EC AB BC===，所以BE ==2x =．如图，取线段AB 上靠近点A 的三等分点P ，靠近点B 的三等分点F ，连接,,EP MF CF ，易知11//,AD EP AD EP =，又//,2EP MF EP MF =，所以11//,2AD MF AD MF =，故CMF ∠为异面直线1AD 与CM 所成的角或其补角．2222116210,62210,1422MF CF CM BE =⨯+==+===，所以222435cos 235MF CM CF CMF MF CM +-∠==-⨯，因此异面直线1AD 与CM 所成角的余弦值为43535．故答案为：435358.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，2AC =，2BD =，32CD =则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且2AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得14CF =，再在CDF V 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD ，且22AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 22142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，即CF =，又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF V 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB 为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.【答案】5【解析】【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.【详解】取AB 中点为O ，连接,PO DO ,由于PAB 是等边三角形，所以PO AB⊥因为平面PAB ⊥平面ABCD ，其交线为AB ,PO ⊂平面PAB ,所以⊥PO 平面ABCD ，PDO ∠是直线PD 与平面ABCD 所成角．不妨设1,2AD AB ==，在等边PAB 中，3PO =，2222211DO AD DO =+=+=，所以225DP DO OP =+=，故315sin 55OP PDO DP ∠===故直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为155．故答案为：15510.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.【答案】60︒##π3【解析】【分析】遮阴影面ABC '面积达到最大即是点C '到AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点C '到AB 的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥交AB 于D ，连接C D '，由题可知C D AB'⊥因此C DC '∠就是遮阳篷ABC 与地面所成的角，因为C D AB '⊥，所以求遮阴影面ABC '面积最大，即是求C D '最大，其中已知30CC D '∠=︒，32CD =设DCC θ'∠=，()0,150θ∈︒︒，根据正弦定理2sin 30sin CD C D C D θθ''=⇒=︒当90θ=︒时遮阴影面ABC '面积最大，此时60C DC '∠=︒故答案为：60︒11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11AD AA ==．动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是____________．【答案】15[,]22【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设BQ t =，并求出PQ 的坐标，再结合线面角的向量求法求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点1A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)BQ t t =≤≤，由P 的运动速度是Q 的2倍，得12A P t =，即(,2,1),(0,2,0)Q t P t ，则(,22,1)PQ t t =- ，显然平面ABCD 的法向量(0,0,1)n = ，于是||sin |cos ,|||||PQ n PQ n PQ n θ⋅=〈〉==，cos θ==，因此tan θ==显然当45t =时，max (tan )2θ=，当0t =时，min 1(tan )2θ=，所以tan θ的取值范围是1[,22.故答案为：1[,]22【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦．12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为__.【解析】【分析】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为N ，关于11B C 的对称点为M ，求出MN ，即可得出结论.【详解】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为N ，关于11B C 的对称点为M ，连接MN ，交11B C 于点P ，交1B C 于点Q ，则MN 即为PEQ 周长的最小值，则3,1MC CN ==，由勾股定理得：MN ==.故答案为.二、选择（4共16）13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断.【详解】因为m α⊂，若//αβ，则由线面平行的性质可知//m β，故“//αβ”是“//m β”的充分条件，设n αβ= ，,//m m n a Ì，显然n β⊂，从而有//m β成立，但此时,αβ不平行.故选：A.14.下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（）A.若直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α垂直B.若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α垂直C.若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直D.若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，则直线a 与平面α垂直【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的判定定理逐项判断即可.【详解】对于A ，直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系无法确定，故A 错误；对于B ，若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系无法确定，故B 错误；对于C ，若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直，故C 正确；对于D ，若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，当这无数条直线平行时，直线a 与平面α的位置关系无法确定，故D 错误.故选：C.15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF【答案】C【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则⊥BC 平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由AC BC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由⊥BC 平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==时取等号，1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C16.设1111,,,A B C D 分别是四棱锥P ABCD -侧棱,,,PA PB PC PD 上的点.给出以下两个命题，则（）.①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111D C B A 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111D C B A 可能是平行四边形.A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】C【解析】【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪.【详解】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形，具体做法是：取1111PA PB PC PD ===，则四棱锥1111P A B C D -为正四棱锥，然后令11112,2,3,3PA PA PB PB PC PC PD PD ====，那么//,,AD BC AD BC ≠此时ABCD 是梯形，但不是平行四边形，对于①，如图，四边形ABCD 为平行四边形，1111D C B A 也为平行四边形，若平面ABCD 与平面1111D C B A 不平行，则四边形1111D C B A 中必有一边与底面ABCD 相交，不妨设直线11A D 与底面相交，则直线11B C 也与底面相交，在平面PAD 中过P 做11A D 的平行线，交AD 与T ，则11//PT B C ，因P ∈平面PBC ，11B C ⊂平面PBC ，故PT ⊂平面PBC ，即T ∈平面PBC ，而平面PBC ⋂平面ABCD BC =，故T BC ∈，而T AD ∈，故,BC AD 相交，这与ABCD 为平行四边形矛盾.故平面//ABCD 平面1111A B C D ，故11111A B PA A D AB PA AD==，若四边形1111A B C D 为菱形，则1111A B A D =，则AB AD =，故四边形ABCD 为菱形，故①错误.故选：C.【点睛】关键点睛：空间中满足条件的几何体的存在性，可以通过常见几何体来构造，或者通过反证法结合空间中点线面的判断与性质导出矛盾.三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）17.已知正方体1111ABCD A B C D -．求证：（1）面11//AB D 面1BC D ．（2）1A C ⊥面1BC D ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得：11//B D BD ，由线面平行的判定定理可得：11//B D 平面1BC D ，同理可得1//AD 平面1BC D ，从而根据面面平行的判定定理可得结论；（2）由三垂线定理得1A C BD ⊥，同理11A C BC ⊥，在根据线面垂直的判定定理可得结论.【详解】（1）由正方的性质可知：11BB DD ∥且11BB DD =可得：11BB D D 是平行四边形可得：11//B D BD又11B D ⊄平面1BC D ，BD ⊂平面1BC D可得：11//B D 平面1BC D同理可得：1//AD 平面1BC D故平面11//AB D 平面1BC D（2）1CC ABCD ⊥，且AC 为1AC 在面ABCD 内的射影，且AC BD ⊥由三垂线定理得：1A C BD⊥同理可得：11A C BC ⊥故1A C ⊥平面1BC D18.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，A 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，OA AOP︒2,120=∠=.（1）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面到达1B，求绳长的最小值.（2）求异面直线1A B与AP AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）（2）arccos5【解析】【分析】（1）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点A到达1B的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求解即可.AP BC，（2）由已知，延长PO交圆于C，连接BC，从而得到四边形APBC为平行四边形，根据//将异面直线1A B与AP所成角转化为1A B与BC所成角，然后利用余弦定理可知接求解；【小问1详解】AA剪开，并展开在一个平面上，将圆柱的侧面沿母线1求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线，AB=.即1【小问2详解】已知圆柱1OO 的表面积为20π，则圆柱的高为3，延长PO 交圆于C ，连接BC ，因为四边形APBC 的对角线互相平行，所以APBC 为平行四边形，则//AP BC ，异面直线1A B 与AP 所成角即1A B 与BC 所成角.在1A CB 中，113A C =，23CB =，15A B =；222111123cos 2A B CB A C A BC A B CB +-∠=⋅，所以13arccos 5A BC ∠=即异面直线1AB 与AP 所成角为3arccos5.19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是正方形，平面BDEF 丄平面ABCD.（1）证明：平面ACE 丄平面BDEF ；（2）若点M 是线段BF 的一点，且满足DM 丄平面ACE ，求二面角A DM B --的大小【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据菱形、正方形的性质有AC BD ⊥、DE BD ⊥，结合面面垂直的性质可得DE ⊥面ABCD ，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论；（2）O 是AC 、BD 的交点，连接OE 交DM 于G ，由线面垂直的性质及射影的性质可得OE DM ⊥，进而可确定二面角的平面角，根据已知求其正切值，即可得二面角A DM B --的大小.【小问1详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，由四边形BDEF 是正方形有DE BD ⊥，又面BDEF ⊥面ABCD ，面BDEF ⋂面ABCD BD =，DE ⊂面BDEF ，∴DE ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，即DE AC ⊥，又BD DE D = ，且,BD DE ⊂面BDEF ，∴AC ⊥面BDEF ，由AC ⊂面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BDEF ；【小问2详解】若O 是AC 、BD 的交点，连接OE 交DM 于G ，由DM ⊥面ACE ，AE ⊂面ACE ，即DM ⊥AE ，由（1）知：OE 是AE 在面BDEF 上的射影，故OE DM ⊥，连接AG ，∴AGO ∠是二面角A DM B --的平面角，由射影定理知：2OD OG OE =⋅，1OD =，2DE =，则OE =，55OG =.∴tan AO AGO OG∠==arctan AGO ∠=.∴二面角A DM B --的大小为20.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，且PA PC ⊥.（1）求PC 的长度；（2）是否存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由；（3）过点P 作平面α与直线PC 垂直，求平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面积.【答案】（1）1（2）不存在，理由见解析（3）π4，4-【解析】【分析】（1）根据依题意利用线面垂直的判定定理可得，点P 的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆，即可求得1PC =；（2）利用空间向量求出当平面PAD ⊥平面PCD 时点P 的位置与点D 重合，显然不合题意，可知不存在满足题意的点P ；（3）利用线面角的定义可得当直线PC 与平面ABCD 所成的角θ取到最大值时，平面α与平面ABCD 所成锐二面角最小，即可求得结果，做出平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为五边形，分别算的边长，然后即可求得面积.【小问1详解】连接,AC BD 交于点O ，连接,,OP PA PC ，如下图所示：易知AC BD ⊥，利用正方体性质可得1AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ；又P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，O BD ∈，即可得OP ⊂平面11BDD B ；所以AC OP ⊥，又因为AO CO =，所以可得PC PA =，又PA PC ⊥，利用勾股定理可得222PC PA AC +=，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，因此2OP OC ==，因此P 点的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆；可得1PA PC ==.【小问2详解】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：由（1）可知，假设存在点(),,P a a b ，使得平面PAD ⊥平面PCD ；易知()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0D A C ；则()()(),,,1,0,0,0,1,0DP a a b DA DC === ，设平面PAD 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则111100DP m ax ay bz DA m x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y b =，则1z a =-，可得()0,,m b a =- ；设平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z = ，则22220DP m ax ay bz DC m y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令2x b =，则2z a =-，可得(),0,n b a =- ；由平面PAD ⊥平面PCD 可得2000m n b b a ⋅=⨯+⨯+= ，解得0a =，即可知()0,0,P b ；又P 点的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆，可知此时P 点与D 点重合，不合题意；因此可得不存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ；【小问3详解】过点P 作平面α与直线PC 垂直，设直线PC 与平面ABCD 所成的角为θ，易知θ和平面α与平面ABCD 所成锐二面角互余，所以当θ取到最大值时平面α与平面ABCD 所成锐二面角最小，由（2）可知sin bPC θ=，又22b ≤，因此当P 点竖坐标取到最大值时，即OP ⊥平面ABCD 时满足题意，此时sin 2θ=，所以π4θ=，因此平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值为π4延长AP ，交1CC 的延长线与点E ，交11A C 于点F ，如下图所示：易知OP AOEC AC =，由2OP =可得EC =，所以11EC =-；由PA PC =可知145FEC ∠= ，可得11FC =-，过点F 作11//GH B D 分别交1111,B C C D 于点,G H ，则12GC =-显然由正方体性质可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以GH ⊥平面11ACC A ，又PC ⊂平面11ACC A ，所以GH PC ⊥；由PA PC ⊥，GH AP F ⋂=，,GH AP ⊂平面AGH ，所以PC ⊥平面AGH ，即平面α即为平面AGH ，设平面α截正方体交1BB 于点J ，1DD 于点K ，连接,AJ AK ；所以平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形即为五边形AJGHK ；设()1,1,J z ，易知()()110,1,0,,,,2222C P G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则)11,,,1,0,1222PC GJ z ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭；由PC GJ ⊥可得)()1101022z -+--=，解得2z =；即1,1,2J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2GJ =- ，而20,1,2AJ ⎛= ⎝⎭ ，所以62AJ = ；由对称性可知2AJ AK ==，2GJ HK ==，)21GH =-；分别做,,MH KJ GR KJ AM KJ ⊥⊥⊥，则122KM KJ ==，则1AM ==，所以1122AKJ S == ，且())112221222KN KJ HG -⎤=-==⎦，则1HN ==，则梯形HGJK的面积为()12142HGJK S =+=-所以截面的面积为442AKJ HGJK S S +=+--。
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辽宁省高二上学期期末数学试卷（理科B卷）B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则CU(A∩B)=（）
A . {1，2，3，4}
B . {1，2，4，5}
C . {1，2，5}
D . {3}
2. （2分）(2018·恩施模拟) 已知为虚数单位，复数满足，且，则（）
A . 2或
B .
C . 2
D .
3. （2分） (2018高一下·商丘期末) 在直角坐标系中，函数的图像可能是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）下面的程序框图输出S的值为（）
A . 62
B . 126
C . 254
D . 510
5. （2分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（）
A . 2016
B . 2
D . -1
6. （2分）(2017·上饶模拟) 《九章算术》教会了人们用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织6尺布，现一月（按30天计）共织540尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．
A .
B .
C .
D .
7. （2分）抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知向量．若为实数，，则（）
A .
B .
C .
9. （2分）已知椭圆的焦点为，，在长轴上任取一点M，过M作垂直于的直线交椭圆于点P，则使得的点M的概率为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2018·南阳模拟) 已知双曲线的右焦点为 ,右顶点为，过
作的垂线与双曲线交于分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高一上·深圳期末) 一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）
A . 8πcm2
B . 12πcm2
C . 16πcm2
D . 20πcm2
12. （2分）已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）
A . （21，25）
B . （21，24）
C . （20，24）
D . （20，25）
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2018高二下·辽源月考) 在区间上随机取一个数x，则的概率为________
14. （2分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为________，体积为________．
15. （1分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+v）=2被圆ρ=3截得的弦长为________．
16. （1分）关于x的方程有实根时，k的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共40分)
17. （10分） (2019高一下·大庆月考) 在锐角中角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
18. （5分）(2017·临翔模拟) 某次数学考试试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（Ⅰ）得45分的概率；
（Ⅱ）所得分数ξ的数学期望．
19. （10分） (2016高三上·崇明期中) 已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．
（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；
（2）若f（x0）= ，x0∈[ ， ]，求cos2x0的值．
20. （5分）数列中，，求，并归纳出．
21. （5分）(2017·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ，过点F2作直线PF2的垂线l2 ．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
22. （5分） (2017高二下·新余期末) 已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρco s（θ﹣）=3 ，射线OT：θ= （ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、
17-2、
18-1、19-1、
19-2、20-1、
21-1、
22-1、。