第三章劳斯判据1
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上（不包括原点），此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下：1）列出系统特征方程：a o S n - a i S nd a^ 0 a。
0 （3-55检查各项系数是否大于0,若是，进行第二步。
可见，ai，i =12川是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3 ）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a。
、a l、b l、c l、的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常a o 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
探※劳斯判据特殊情况•I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零用一个很小的正数；来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列；上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
•I I )劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如：控制系统的特征方程为s6 2s5 8s412s320s216s 16 = 0 列劳斯表S6 1 8 20 16 S5 2 12 16 0 S4 2 12 16S30 0 08 24S2 6 16S180 3S016由于s3这一行全为0，用上- -行组成辅助多项式d［⑸=8s324s，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方ds程在S右半平面上没有特征根。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1
简述劳斯判据的内容
简述劳斯判据的内容
劳斯判据（Routh-Horwitz Criterion）是一种用来确定线性系统的稳定性的数学判据。
这种判据首先被劳斯在1876年提出，并在之后由霍尔威茨进一步发展。
这种判据为我们提供了一个不仅可以预测系统是否稳定，而且可以准确预测系统在何种条件下会变得不稳定的工具。
下面，我们就来详细介绍一下劳斯判据的内容。
劳斯判据基于转移函数的分母多项式的系数来决定系统的稳定性。
通过设置一系列一维数组，利用这些数组判断实根的个数和位置。
在应用劳斯判据之前，需要将多项式标准化，使最高次项的系数为1。
进行劳斯数组的构建，首先，将分母多项式的系数按照幂次递减的顺序放入第一行和第二行。
然后，根据特定的数学规则计算后续行的系数，这个规则是在每一行，新的元素是前一行中的两个相邻元素的负比，除以当前行的第一个元素。
以此方式，我们可以得到完整的劳斯数组。
接下来，我们需要确定数组中第一列中零和正负数的变换次数。
如果零的数量超过一个或者正负数的变换超过两次，则系统被认为是不稳定的。
否则，系统是稳定的。
值得注意的是，劳斯判据只能针对线性时间不变系统，并且只适用于确定整体的稳定性，而不能准确地预测系统的稳定边界。
同时，劳斯判据也不能处理一些特殊情况，比如当数组中出现零或者整行都是零的情况。
总的来说，劳斯判据是一种非常有效的工具，它在分析线性系统的稳定性时具有重要的作用。
通过这种判据，我们可以在早期预测和识别可能的系统故障，从而采取相应的措施以保证系统的正常运行。
自动控制原理第三章3_劳斯公式
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该 系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值； 由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列也为正。
劳斯表出现零行
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6=0
特征根时会出现零行
劳 s4 1 7 6
② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s3 51 51
斯 s2 61 61
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
表 s1 02
继续计算劳斯表
s0 1
劳斯表出现零行
1 2
出劳系现斯统零表一何行定时怎会么不出办稳现?定零行?
s2 0( ) 1 0
s1 2 2 0 0 2 2
s0
1
00
令 0则 2 2 故
第一列不全为正，系统不稳
定，s右半平面有两个极点。
2
2,
2
2
1
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等 而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大 小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚 轴的两对共轭复根。
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。
[处理办法]：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出 劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或下项的
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
第三章——续3.3节(劳斯判据的特殊情况、应用)
用P（S）= 0可求出不稳定根
p( s) 10s 2 40 10( s 2 4) 0
一对共轭虚根 s1,2 j 2 系统临界稳定（工程上属不稳定）
5
练习：判稳，如果不稳定求不稳定根的值。
s 6 2s 5 8s 4 12 s 3 20 s 2 16 s 16 0
3.3 稳定性
三 劳斯判据的几种特殊情况
1 劳斯表中第一列出现零元素
处理方法： 用一个小的正数 代替零元素， 继续计算劳斯表。 判断：令 0 ，判断变号次数 不变号临界稳定 变号不稳定
1
例3-5 s 2s s 2s 1 0
4 3 2
s4 3 s 2 s 1 s s0
s 2 s 1 s s0
3
1 6
5
2K1
30 2 K1 6
2K1
0
2 K1 0 0 K1 15 30 2 K1 0
10
练 习 例，已知单位负反馈系统开环传函如下， 确定系统稳定时K值的范围
解：
D( s) s 15 s 50 s 50 K 0
R (s )
解：开环
s 1 s
10 s ( s 1)
C (s)
10 ( zs 1) G (s) H (s) 2 s ( s 1)
10(s 1) 10(s 1) W ( s) 2 3 2 s ( s 1) 10(s 1) s s 10s 10
s3, 4 2
稳定性由系统结构参数决定——本身固有特征， (t ) 无关 r 稳定性与根的分布有对应关系——充要条件——虚轴为分界线
第三章1劳斯判据.ppt
当 n 为奇数时 (n+1)；n 为偶数时( n+1)。 ； 为偶数时( )
例 3s 4 + 10s 3 + 5s 2 + 5s + 2 = 0 5 ， s4 3 ，
10
s3
s2
2
，
，
，
0.5 3.5
5
1
4−0 =2 2
，
，
，
00Leabharlann 0210 − 3 =3.5 2
∴系统不稳定， 系统不稳定， 且有两个根位于[s] 且有两个根位于 的右半平面上。 的右半平面上。
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1．1892年，Ляпунов发表了博士论文 论运动稳定性的一般问题》 《论运动稳定性的一般问题》Общая задача об устойчивости движеня 给出了运动稳定性的科学概念、严格的数学定义、 研究的方法和科学理论体系。 2．渐近稳定性。 ．渐近稳定性。
§3.2劳斯稳定性判据(代数判据)
Page: 1
第3章 系统的稳定性 章
§3.1 系统稳定性的初步概念
一、几个例子
1．单摆 ．
b M
φ
d
o
f
2．倒立摆 ．
c
3．小球的稳定性 c ． bde
o
4．液压位置随动系统 ． 去掉外力后， 去掉外力后，阀芯在原位 xi 不动的情况下， 不动的情况下，活塞与阀 体围绕阀芯反复振荡。 体围绕阀芯反复振荡。 自由振荡是减幅的→稳定的 稳定的； xo 自由振荡是减幅的 稳定的 自由振荡是增幅的，不稳定的。 自由振荡是增幅的，不稳定的。
，
B3 =0 ，
s C1 =
s1 D1 =
s0
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
劳斯判据1
第一种特殊情况：劳斯阵列中某行的第一列元素
为零，其他列元素不为零或不全为零。
例：系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为 s3 1 3 2
s2
s1
ε 0
b1 2 3
(1)用一很小的正数来代替 为零的项
2 s0 ∴系统有两个正根，不稳定。
自动控制原理
授课期班：生物医学工程
授课教师：欧仁侠
一、劳斯判据的内容
二、劳斯判据中的两种特殊情况 三、小结
设线性系统的闭环特征多项式为
D(s) a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
根据闭环特征方程各项的系数构造劳斯表。 sn sn-1 sn-2 sn-3 a0 a1
(2)用因子（s+a）乘以原特征方程式，a可以是任
意正数，然后对新的特征方程列写劳斯阵列。
（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0
s4
s3 s2 s1 s0
1 3 2/3 20
3 7 6
6
6
第二种特殊情况：劳斯阵列中某行的元素全部为零。
用全零行上面一行各项的系数构造辅助多项式
F(s)，求F(s)的一阶导数，用所得导数多项式的系
数代替全零行的元素，再继续列写。从而可以确定
系统的正根个数。
设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。 解: 该系统的劳斯表如下
劳斯判据 原理
劳斯判据原理
劳斯判据的原理是：对于一个n阶线性时不变系统，其特征方程的根的符号与劳斯表的符号相同。
如果劳斯表的所有符号为正，则系统稳定；如果劳斯表的符号至少有一次变化，则系统不稳定。
劳斯表是一个n行2n列的表格，表格中的第一列是特征方程的系数，从第二列开始，每列包含两个系数。
劳斯判据的判定过程如下：
1.从劳斯表的第一列开始，依次比较相邻两列系数的符号。
2.如果相邻两列系数的符号相同，则系统稳定。
3.如果相邻两列系数的符号不同，则系统不稳定。
4.如果劳斯表的最后一列只有一个系数，并且该系数为正，则系统稳定。
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
劳斯判据特殊情况1
判稳
解: S 5 | 1 3 2
4 S | 1 3 2 3 S | 0 0 0 全零行，若要了解根的分布
则作辅助方程 Q(s) s 4 3 s 2 2 0 求导
s 4 s 3 s 2 s s s
1 0 5
4 s 3 6s 0
1 1 4 3 2 2 3 2 3 3 6 2 2 2
二、系统稳定的充要条件
线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特 性，而与外界条件无关。
故设线性系统在初始条件为零时，作用一个 理想单位脉冲信号 (t ) ，这时系统的输出 量为脉冲响应 c(t ) 。这相当于系统在扰动 信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的 问题。 c(t ) 0 ，则系 若 t 时，脉冲响应为lim t 统是稳定的。
解:
( s) G , G (s) 1 G ( s)
K B K
1 G K ( s )闭环特征方程
s (0.1s 1)( 0.25s 1) K 0
s
3
14 s 40 s 40 K 0 0 K 14
2
K 0 14 40 1 40 K 0
在劳斯表中,同一个正整数去除或乘某一行,不会改变劳 斯判据的结论
位于右半S平面根的个数=劳斯表第一列元素符号改变的 次数
三、劳斯判据
例： 特征方程为a s3 a s2 a s a 0 3 2 1 0
判稳
s 2 s s s
1 0
3
a3 a1 a2 a0 a1 a 2 a 3 a 0 0 a2 a0
R( s ) +
-
K s(0.1s 1)(0.25s 1)
第三章劳斯判据1
该系统不稳定
有两个正实部根
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
1、劳斯稳定判据（首项为０） 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
3 4 2 -8 -8 2 ε +8 7 ε -8(2 +8)-7 ε ε ε 7
1 2 1 ε 0
3-6 线性系统的误差分析
26
一、 稳态误差的定义
9 9.5 -0.33 3
s1 s0
91.4 3
0
s4 s3 方法２ s2 s2 s
３
1
(3
-3)/
代替 了０
1
特殊情况2：
劳斯表出现零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 s2 6 s1 0 2 s0 1 7 5 6
例3.6
设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试 用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：列出劳斯表 s6 s5 s4 s3 用 1 2 2 0 6 8 8 0 10 4 4 0 4 辅助多项式A(s)的系数
s
4 行的系数构造系列辅助方程
F (s) 2s 4 8s2 4 0
某行的第一列项为0，其余各项不为0或不 全为0。（１）用（s+a）因子乘原特征方 程（a为任意正数），（２）或用很小的正 数代替零元素。
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
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lim c n ) = A 其中 0〈ζ k 〈1 q +2γ =( t 拉氏反变换为 临界稳定
t→ ∞
j =1
k =1
c(t ) = ∑ Aj e
j =1
q
s jt
+ ∑ Bk e
k =1
r
−ζ k ω k t
cos(ω k 1 − ζ k )t
2
2
+∑
r
C k − Bkζ kω k
k =1
ωk 1−ζ k2
稳 定 的 摆 不 稳 定 的 摆
不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后， 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。 范围稳定。 小扰动恢复到原平衡状态， 小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 系统为小范围稳定 小范围稳定。 态，系统为小范围稳定。 线性系统，小范围稳定， 线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定 大范围稳定。 必然大范围稳定。 扰动消失后， 扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡， 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 稳定状态。 经典控制论中， 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。 为不稳定。
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移 行列式第一列不动第二列右移 不动第二列 对角线减 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 第一列出现零元素时， 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε 穷小量ε代替。 一行可同乘以或同除以某正 7 一行可同乘以或同除以某正数
3.5.2线性系统稳定的充要条件 3.5.2线性系统稳定的充要条件
稳定的条件
系统初始条件为零时，受到δ( t)的作用 的作用， 系统初始条件为零时，受到δ( t)的作用，输出 c ( t ) 为 单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下， 单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏 离平衡点的问题， t→∞时 离平衡点的问题，当t→∞时， 若 若 若
⋮
an
⋮ 第一列中各数⋮ 符号相同 系统稳定
符号不同 系统不稳定
稳定的充要条件是劳思阵列第一列元素不改变符号
特征方程为s 例3.12 特征方程为 4+2s3+3s2+4s+5=0; 用劳斯稳定判据 判别系统稳定性。 判别系统稳定性。 解：劳斯表
s4 s3
1 2
3 4
5 0
5 0 = 5
s2
符号改变一次
3-5 稳定性分析
3.5线性系统的稳定性分析 3.5线性系统的稳定性分析
35.1 稳定性概念及定义
系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后， 系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后，又恢复到 平衡状态，称系统是稳定的。 平衡状态，称系统是稳定的。 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定， 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定，与初始条 件及外作用无关。 件及外作用无关。
1 2
2 1
3 4 2
1 4 5
= 1
= −6
1 2 2
s
符号改变一次
1
0
s
0
1
5 0 6 = 5
− 6
符号改变两次， 平面右侧有两个根 系统不稳定性。 平面右侧有两个根， 符号改变两次，s平面右侧有两个根，系统不稳定性。 动画
劳斯(routh)判据小结 劳斯(routh)判据小结 (routh)判据
5
3 ×
稳定性与零点无关
s平面
O
×
s2
s1
×
× s4
σ
s6 ×
3.5.3
线性系统的代数判据
代数判据可以省略高阶系统求征特根带来的麻 常用的代数判据有劳斯判据. 烦。常用的代数判据有劳斯判据.
重点
劳斯阵列 劳斯(routh)判据 劳斯(routh)判据 (routh) 劳斯(routh)判据的特殊情况 劳斯(routh)判据的特殊情况 (routh) 劳斯(routh)判据的应用 劳斯(routh)判据的应用 (routh)
稳定区域
不稳定区域
σ
0
二、劳斯—赫尔维茨判据 劳斯—
线性系统特征方程为： 线性系统特征方程为：
D(s) = a0sn + a1sn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1s + an = 0, a0 > 0
稳定判据： 稳定判据：只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是 否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。 否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。
系统稳定的必要条件: 系统稳定的必要条件 必要 特征方程各项系数
全>0或全<0 >0或 有正有负一定不稳定! 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定! 缺项一定不稳定! -s2-5s-6=0稳定吗？ 稳定吗？ 稳定吗
系统稳定的充分条件 系统稳定的充分条件: 充分 劳斯表第一列元素不变号 第一列元素不变号! 劳斯表第一列元素不变号 若变号系统不稳定! 若变号系统不稳定
− 6 6
第一列元素符号变化两次，因此系统不稳定性。 第一列元素符号变化两次，
1、劳斯稳定判据（劳斯表介绍） 劳斯稳定判据（劳斯表介绍） 设系统特征方程为： 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
3 4 2 -8 -8 2 ε +8 7 ε -8(2 +8)-7 ε ε ε 7
该系统不稳定
有两个正实部根
为特征根在s 个数! 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
1、劳斯稳定判据（首项为０） 劳斯稳定判据（首项为０ 设系统特征方程为： 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
3 4 2 -8 -8 2 ε +8 7 ε -8(2 +8)-7 ε ε ε 7
例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 设系统特征方程为s
试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。 试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。
解：列劳斯表
s4 s3 s
2
1 2
1 2 − 2
2 1
3 4
3 4 = 1
1 2 − 2 5 0 = 5
5 0
s
s
1
4 5 − 1
= − 6
0
0
1
5 0 = 5
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移 行列式第一列不动第二列右移 不动第二列 对角线减 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 第一列出现零元素时， 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε 穷小量ε代替。 一行可同乘以或同除以某正 7 一行可同乘以或同除以某正数
大范围稳定
小范围稳定
图示用曲线表示稳定性的概念和定义
r(t) r(t)
C(t)
a)外加扰动 (a)外加扰动
C(t) C(t)
(b)稳定 (b)稳定 (c)不稳定 (c)不稳定 注意： 注意：仅适用于线性定常系统
线性系统的稳定性概念
系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态， 系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态， 扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态， 扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳 定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外 定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外 作用无关。 作用无关。 • 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性 设初始条件为零时， 系统，这相当于给系统加了一扰动信号。 系统，这相当于给系统加了一扰动信号。 若lim g(t) = 0 ，则系统稳定。 则系统稳定。
劳斯表
s4 s3 s2 s
1 3 0 ∞ 1 3
(3
1 3 1 1 3 1
1
D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0
第一列为零 方法１ (s+3)乘原式 乘原式， 方法１：(s+3)乘原式，得 D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 6 9 -0.33 91.4 3 10 6 9.5 3 0 10 3
lim c ( t ) = 0
t→∞
（渐近）稳定 渐近） 系统不稳定 临界稳定 非零常数
t→ ∞
lim c ( t ) = ∞
t→ ∞
lim c ( t ) = A
设n阶系统表达式为 阶系统表达式为 若全部特征根有负实部， 若全部特征根有负实部，则 m
C ( s ) b0 s + b1 s m −1 + ⋯ + bm −1 s + bm Φ ( s ) = c (t ) = 0 n lim R ( s ) = a s + a s n −1 +（渐近）稳定 ⋯渐近）+ a n + a n −1 s t→∞ 0 1
2
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D ( s ) = a0 s n + a1 s n −1 + a 2 s n − 2 + ... + a n −1 s + a n = 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数