3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念(A3)
高中数学课件第3章 3.1 3.1.2 瞬时变化率——导数
3．求曲线 C：y＝13x3＋43在 x＝2 处的切线方程． 解：把 x＝2 代入 y＝13x3＋43，得 y＝4，所以切点为 P(2,4)，又ΔΔxy＝132＋Δx3＋Δ43x－13×23－43＝4＋ 2Δx＋13(Δx)2，当 Δx 趋近于 0 时，ΔΔxy趋近于 4. 即切线斜率 k＝4.所以所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4 ＝0.
法二：Δy＝x＋1Δx2＋2－(x12＋2) ＝－2xx＋ΔΔx－x2·Δxx2 2， ∴ΔΔxy＝－x＋2xΔ－xΔ2·xx2. ∴f′(x)＝－x23. ∴f′(1)＝－2.
[一点通] 求函数在 x＝x0 处的导数的方法： 确定 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数．一般有两种方法，一是应 用导数定义法，二是导函数的函数值法，求解时，Δy 要求准 确，Δx 可正可负．
∴ΔΔxy＝2Δx－2Δ＋xΔx＋ΔΔxx＝22－＋1Δx＋1. 当 Δx 无限趋近于零时，ΔΔxy无限趋近于34， 即点 A 处的切线的斜率是34. (2)切线方程为 y－52＝34(x－2)， 即 3x－4y＋4＝0.
[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某 点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋 近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的常数．
3．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别：“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，是针对 x0 而言 的，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与 Δx 无关；“导函数”简记 为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的 函数，依赖于函数本身，而与 x，Δx 无关．
2．已知曲线 y＝2x2＋4x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则 P 点坐 标为________． 解析：设 P 点坐标为(x0，y0)，则fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝ 2Δx2＋4Δxx0Δx＋4Δx＝4x0＋4＋2Δx. 当 Δx 无限趋近于 0 时，4x0＋4＋2Δx 无限趋近于 4x0＋4， 因此 4x0＋4＝16，即 x0＝3， 所以 y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即 P 点坐标为(3,30)．
3.1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念40
※高二文科班数学课堂学习单40※班级 姓名 小组3．1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念 一，学习目标:1、 理解函数的变化率、瞬时变化率的意义2、 能求简单函数的导数。
二，自学导航：p72-p76[例1] 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．小结：1,若函数f (x )在[x 1，x 2]内平均变化率大于0，能否说明函数f (x )在区间[x 1，x 2]上是增函数？2．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？3．求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，4．求平均变化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[例2] 求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．若y ＝2x 2＋4x 在x ＝x 0处的导数是8，求x 0的值．小结：1．“Δx →0”的意义是什么？2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤为：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.[例3] 建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．小结：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况导数可以描述任何事物的瞬时变化率．4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．2．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.14．若f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝________.3．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． 5．已知函数f (x )＝4x 2，求f ′(2)．6．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3作直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度．(时间单位：s ，位移单位：m.)7．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么它在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－0.88 m/s B ．0.88 m/s C ．－4.8 m/s D ．4.8 m/s 8．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，下列说法中正确的是( ) A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度． B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的速度．C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率． 9．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.,五，作业一、选择题1．将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR ·ΔR B ．8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2 C ．4πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：Δs ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2. 答案：B2．一物体的运动方程是s ＝t ＋1t ，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( )A.52B.34 C ．1D ．2解析：Δs ＝2＋Δt ＋12＋Δt －2－12＝Δt －Δt2(2＋Δt )Δs Δt ＝1－12(2＋Δt )t ＝2时的瞬时速度为lim Δt →Δs Δt ＝lim Δt →0[1－12(2＋Δt )]＝34. 答案：B3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．答案：D4．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →f (1＋x )－f (1)x＝( ) A ．2 B ．1 C.12D.14解析：lim x →f (1＋x )－f (1)x＝f ′(1)＝1. 答案：B 二、填空题5．当h 无限趋近于0时，lim h →0 (3＋h )2－32h ＝________.解析：lim h →0 (3＋h )2－32h ＝lim h →0 6h ＋h 2h ＝lim h →0 (6＋h )＝6.答案：66．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10 m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝30＋5Δt .答案：30＋5Δt8.如图是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案：34三、解答题9．利用定义求函数y ＝x 3在x ＝1处的导数． 解：Δy ＝(1＋Δx )3－1＝(1＋Δx )2(1＋Δx )－1 ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx ΔyΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3 y ′|x ＝1＝lim Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋3]＝3. 10．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2，(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度； (3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度． 解：(1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt .当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt →3，所以v 0＝3.(2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt＝－Δt －1.当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt →－1，所以t ＝2时的瞬时速度为－1. (3)v ＝s (2)－s (0)2＝6－4－02＝1.[读教材·填要点]1．函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：ΔyΔx.①平均速度； ②曲线割线的斜率.刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →ΔyΔx. ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率.刻画函数值在x 0点附近变化的快慢.2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. [小问题·大思维]※高二文科班数学课堂学习单40※班级 姓名 小组3．1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念 一，学习目标:2、 理解函数的变化率、瞬时变化率的意义 2、 能求简单函数的导数。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
21-22版：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念（步步高）
学核心素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 f(x)＝2x＋1 在[1,2]上的平均变化率为ΔΔxy＝f22－－1f1＝2.
12345
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
√A.－1
B.1
C.2
D.－2
反思 感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点
B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则
2 题型探究
PART TWO
一、函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为 1，哪一点附
3 近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为 k1＝f1＋ΔΔxx－f1＝1＋ΔΔxx2－1＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝f2＋ΔΔxx－f2＝2＋ΔΔxx2－22＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋31＝37，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139， 由于k1<k2<k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定 义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的 物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运 动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平 均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？ 提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点 处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的 值．
【自主解答】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位 移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11
=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给 定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一 求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
变化率与导数的概念、导数的运算
03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导 数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶 导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每 求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本 初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律 可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加； 当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数 在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际 成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等 于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于 零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问 题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化 算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的 梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的 方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收 益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量 化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目 录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法
第三章3.1-3.1.2导数的概念
[变式训练] 的平均变化率．
求函数 f(x)＝x2＋2x＋3 从 1 到 1＋Δ x
解：因为Δ y＝f(1＋Δ x)－f(1)＝(1＋Δ x)2＋2(1＋Δ x)＋3－(12＋2×1＋3)＝4Δ x＋(Δ x)2，所以函数 f(x)＝x2 Δy ＋ 2x ＋ 3 从 1 到 1 ＋ Δ x 的 平 均 变 化 率 为 ＝ Δx 4Δ x＋（Δ x）2 ＝4＋Δ x. Δx
温馨提示 Δ x 称为自变量 x 的增量，Δ x 可取正值，也可取负 值，但不可以为 0.
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错的打“×”) (1)函数在某一点的导数与Δ x 值的正、 负无关． ( )
(2)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值是Δ x＝0 时的平 均变化率．( ) )
类型 1 求函数的平均变化率(自主研析) [典例 1] 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δ
x]上的平均变化率，并求当 x0＝2，Δ x＝0.1 时平均变化 率的值． 解： 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0， x0＋Δ x]上的平 f（x0＋Δ x）－f（x0） 均变化率为 ＝ （x0＋Δ x）－x0
答案：8
[类题尝试]
1 求函数 y＝x－x在 x＝1 处的导数．
1 1 解：因为 Δ y ＝ (1 ＋ Δ x) － － 1－1 ＝ Δ x ＋ 1＋ Δ x
， 1＋Δ x
Δx
Δ x＋ 1＋Δ x Δy 1 所以 ＝ ＝1＋ . Δx Δx 1＋ Δ x
Δx
Δy 当Δ x→0 时， →2，所以 f′(1)＝2， Δx 1 即函数 y＝x－ 在 x＝1 处的导数为 2. x
Δ y f（x0＋Δ x）－f（x0） 1．平均变化率 ＝ ，当Δ x Δx Δx 趋于 0 时， 它所趋于的一个常数就是函数在 x0 处的瞬时 变化率， 即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐 逼近”的方法求解． 另外， 平均变化率和瞬时变化率都是 用来刻画函数变化快慢的， 它们的绝对值越大， 函数变化 得越快．
3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念【知识点总结】1.瞬时变化率的概念：物体在运动中，在不同的时刻其速度是不同的。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
2.在上一节课中， 我们学习了求函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率： 00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆ 当0x ∆→时，区间00[,]x x x +∆→点0x ，此时函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率→函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率。
可以表示如下：0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率 或表示如下：函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆ 注意：由以上说法，我们可以求函数在任一时刻0x 的瞬时变化率.（‘→’表示无限趋近于）3.定义导数的概念：一般地，函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆， 我们称它为函数函数()y f x =在点0=x x 处的导数，记作：0()f x '或0=x x y '.即：00000()()()lim=lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆ 或记作： 000=00()()=lim =lim x x x x f x x f x y y x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆ 注意1：导数的概念，初听起来有些玄乎，其实就是函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率，或者说就是0x ∆→时00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值。
这样我们可以利用求极限的方法去求函数()y f x =在点0=x x 处的导数，也即函数()y f x =在点0=x x 处的瞬时变化率. 注意2：一般情况下0()f x '反映的是函数()y f x =在点0=x x 附近的变化情况.4.利用导数定义，求函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）的步骤： 第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）:00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：当0x ∆→时，计算00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值 （即计算：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆∆∆）； 第四步：写出函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）.5.区分0()f x 与0()f x '：0()f x 是函数()f x 当0=x x 时的函数值；而0()f x '是函数()f x 在0=x x 处的导数，同时也是函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率.【典型例题】例题一：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.9 6.510h t t t =-++，求运动员1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解：=(1)(1)h h t h ∆+∆-22[ 4.9(1) 6.5(1)10][ 4.91 6.5110]t t =-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9 3.3t t =-∆-∆ 24.9 3.3= 4.9 3.3h t t t t t∆-∆-∆=-∆-∆∆ 00(1)lim lim( 4.9 3.3) 3.3t t h h t t ∆→∆→∆'==-∆-=-∆ 所以，运动员1t s =时的瞬时速度为 3.3-，这说明运动员在1t s =附近以3.3m s 的速度下降。
510.(高中数学)1.1 变化率问题 1.2 导数的概念
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的定义域应由不等式 解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设 , (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 )
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，则在 时，由于 为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
解：
例5、（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和5，说明在 附近，原油温度大约以 的速率下降，在第 附近，原油温度大约以 的速率上升．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
课件11：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念
类型2 求瞬时速度 【例 2】 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的 关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度．
在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2.
【例 3】 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为__________．
【解析】Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔyx＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋1Δx＋1，Δlxi→m0 1＋1Δx＋1＝21， 所以 y′|x＝1＝12. 【答案】12
【例 3】 (2)如果一个质点由定点 A 开始运动， 在时间 t 的位移函数为 y＝f(t)＝t3＋3， ①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求 Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
初试身手 1．下列说法错误的是( ) A．函数的平均变化率可以大于零 B．函数的平均变化率可以小于零 C．函数的平均变化率可以等于零 D．函数的平均变化率不能等于零 【解析】函数的平均变化率为ΔΔyx，显然其值是可正、 可负、可为零的，故选 D． 【答案】D
2．已知函数 f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值
3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念
学习目标
核心素养
1.了解导数概念的实际背景．(难点) 1．通过学习导数概念，培养
2.会求函数在某一点附近的平均变化 学生数学抽象的素养.
率．(重点)
2.借助导数的定义求函数在
3.会利用导数的定义求函数在某点处 某点的导数，培养数学运算
的导数．(重点、难点)
高中数学变化率问题导数的概念(老师版)(可编辑修改word版)
Δx1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率1. 平均变化率的概念f (x 2)－f (x 1)设函数 y ＝f (x )，x 1，x 2 是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子 x 2－x 1 表示，我们把这个式子称为函数 y ＝f (x )从 x 1 到 x 2 的平均变化率，习惯上用 Δx 表示 x 2－x 1，即 Δx ＝x 2－x 1，可把 Δx 看作是相对于 x 1 的一个“增 Δy 量”，可用 x 1＋Δx 代替 x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为 .Δx2. 求平均变化率求函数 y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下：(1) 求自变量的增量 Δx ＝x 2－x 1； (2) 求函数值的增量 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；Δy f (x 2)－f (x 1) f (x 1＋Δx )－f (x 1)(3) 求平均变化率Δx ＝ ＝ . x 2－x 1 Δx 思考 (1)如何正确理解 Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是 Δ 与 x 相乘，其值可取正值、负值，但 Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若 Δx ＝x 1－ x 2，则 Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线 y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，|Δy|越大，曲线 y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 y ＝f (x )图象上有两点 A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))， f (x 2)－f (x 1) 则 x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数 s ＝s (t )描述，设 Δt 为时间改变量，在 t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是 Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量 Δs 与时间改变量 Δt Δs 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δt＝ s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t 0 的速度，即 t 0 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在 t 0 时 刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0) s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt Δs 在Δt →0 时的极限，即v ＝Δli t →m 0 Δt＝ Δli t →m 0 Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x 0 点处变化的快慢；② Δy联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x 0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.Δx知识点三 导数的概念函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0 处的导数一般地，函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0 处的瞬时变化率是Δl x i →m 0 Δy＝Δl x i →m 0f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx，我们称它为函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0 处 的导数，记作 f ′(x 0)或 y ′| x = x ，即 f ′(x 0)＝Δl x i →m 0 Δy＝Δl x i →m 0f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 思考 (1)函数 f (x )在 x 0 处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数 f (x )在 x 0 处导数的步骤是什么？Δy Δy答案 (1)函数 f (x )在 x 0 处可导，是指 Δx →0 时， 有极限，如果 不存在极限，就说函数在点 x 0 处无导数.Δx Δx (2)求解函数 f (x )在 x 0 处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0)②求平均变化率： ＝ ；Δx Δx Δyf (x 0＋Δx )－f (x 0) ③取极限，得导数：f ′(x 0)＝Δl x i →m 0 ＝Δl x i →m 0Δx .题型一 求平均变化率1例 1 求函数 y ＝f (x )＝2x 2＋3 在 x 0 到 x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当 x 0＝2，Δx ＝ 时该函数的平均变化率.2 解 当自变量从 x 0 变化到 x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0) [2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 02＋3) 4x 0Δx ＋2(Δx )2＝ ＝ ＝ ＝4x 0＋2Δx . Δx Δx 1 Δx Δx1当 x 0＝2，Δx ＝ 时，平均变化率的值为 4×2＋2× ＝9.2 2反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均 Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0)变化率问题，即求 ＝ 的值.Δx ΔxΔy跟踪训练 1 (1)已知函数 y ＝f (x )＝2x 2－1 的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则 ＝ .ΔxΔx 0 ΔxΔxx答案 2Δx ＋4Δy解析 因为 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率 ＝2Δx ＋4.Δx 1(2)求函数 y ＝f (x )＝ 2在 x 0 到 x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0). Δx (2x 0＋Δx ) － 1 1 Δx (2x 0＋Δx ) Δy (x 0＋Δx )2x 202x 0＋Δx 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝ 0 － ＝－ 02 ，∴ ＝ ＝－ 20 02.(x ＋Δx )2 x 题型二 实际问题中的瞬时速度(x 0＋Δx )2x Δx Δx (x 0＋Δx )2x 例 2 一作直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；(2) 求此物体在 t ＝2 时的瞬时速度； (3) 求 t ＝0 到 t ＝2 时的平均速度.s (Δt )－s (0) 3Δt －(Δt )2 解 (1)初速度 v 0＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 Δt＝Δli t →m 0即物体的初速度为 3 m/s.(3－Δt )＝3. s (2＋Δt )－s (2) 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3 × 2－4)－(Δt )2－Δt (2) v 瞬＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 (－Δt －1)＝－1. 即此物体在 t ＝2 时的瞬时速度为 1 m/s ，方向与初速度方向相反.s (2)－s (0) 6－4－0(3) v ＝＝ 2－02 ＝1.即 t ＝0 到 t ＝2 时的平均速度为 1 m/s. 反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于 0，指时间间隔 Δt 越来越小，但不能为 0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于 0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.1跟踪训练 2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为 s ＝ gt 2，其中 g 为重力加速度，g ≈9.8 米/平方秒(s2 的单位：米).(1) 求 t 从 3 秒到 3.1 秒、3.01 秒、3.001 秒、3.000 1 秒各段内的平均速度；(2)求 t ＝3 秒时的瞬时速度.1 1 解 (1)当 t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝ g ·3.12－ g ·32≈2.989(米).2 2Δs 2.989 v 1＝Δt≈0.1 ＝29.89(米/秒). 同理，当 t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当 t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当 t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒).1 1 Δs s 3＋Δt －s 3g (3＋Δt )2－ g ·32( (2) Δt＝Δs ) ( ) 2＝ Δt 1 2 1 ＝ g (6＋Δt )， Δt 2 Δli t →m 0Δt ＝Δli t →m 0 g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒).所以 t ＝3 秒时的瞬时速度约为 29.4 米/秒. 2 题型三 函数在某点处的导数 1例 3 求函数 y ＝x －x在 x ＝1 处的导数.＋ ＋ 2 2 2x因对导数的概念理解不到位致误11 ΔxΔxΔy Δx ＋ ＋ 1 解 Δy ＝(1＋Δx )－ －(1－ )＝Δx ＋ ， ＝1 Δx 1 1 Δx Δx1 ΔxΔx ＝1＋1＋Δx ，∴Δl x i →m 0 Δy＝Δl x i →m 0 1 (1＋ ＋ )＝2，从而 y ′|x ＝1＝2.Δx 1Δx 反思与感悟 求函数在 x ＝x 0 处的导数的步骤：(1) 求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0)(2) 求平均变化率，Δx ＝ Δx；Δy(3) 取极限，f ′(x 0)＝Δl x i →m 0 Δ .4跟踪训练 3 求函数 y ＝ 在 x ＝2 处的导数；x4 4 4(Δx )2＋4Δx Δy Δx ＋4 解 ∵Δy ＝ － ＝ －1＝－ ，∴ ＝－ ，(Δx ＋2)2 22 (Δx ＋2)2 (Δx ＋2)2 Δx (Δx ＋2)2∴Δl x i →m 0 Δy ＝－Δl x i →m 0 Δx ＋4 ＝－1.Δx (Δx ＋2)2例 4 设函数 f (x )在 x 0 处可导，且 f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. f (x 0－Δx )－f (x 0)(1) Δl x i →m 0 Δx；(2) l h i →m 0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h .错解 (1)Δl x i →m 0f (x 0－Δx )－f (x 0) Δx＝f ′(x 0). f (x 0＋h )－f (x 0－h ) 1 f (x 0＋h )－f (x 0－h ) 1(2)l h i →m 0 2h ＝ l h i →m 0 ＝ f ′(x 0). 错因分析 在导数的定义中，增量 Δx 的形式是多种多样的，但不论 Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1) 中 Δx 的改变量为 Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中 Δx 的改变量为 2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ).f (x 0－Δx )－f (x 0) f (x 0－Δx )－f (x 0) f (x 0－Δx )－f (x 0)正解 (1)Δl x i →m 0 Δx＝－Δl x i →m 0 －Δx ＝－－l Δim x →0 －Δx ＝－f ′(x 0). f (x 0＋h )－f (x 0－h ) f (x 0＋h )－f (x 0－h )(2)l h i →m 0 2h ＝2l h i →m 0 2h ＝f ′(x 0). 防范措施 自变量的改变量 Δx 的值为变后量与变前量之差.1. 在求解平均变化率时，自变量的变化量 Δx 应满足( )A. Δx ＞0B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 Ch1＋Δx －1 1＋Δx ＋1Δx 0，∴ ＝ Δy解析 因平均变化率为 ，故 Δx ≠0.Δx2. 沿直线运动的物体从时间 t 到 t ＋Δt 时，物体的位移为 Δs ，那么Δli t →m 0A. 从时间 t 到 t ＋Δt 时物体的平均速度B. t 时刻物体的瞬时速度C. 当时间为 Δt 时物体的速度D. 从时间 t 到 t ＋Δt 时位移的平均变化率答案 BΔsΔt为( )Δs 解析 v ＝Δt ，而Δli t →m 0ΔsΔt则为 t 时刻物体的瞬时速度. 3. 函数 f (x )＝ 1 答案2x 在 x ＝1 处的导数为.解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝ 1＋Δx －1，Δy 1∴ ＝ ＝ ， Δx Δx Δy 1 1∴f ′(1)＝Δl x i →m 0 ＝Δl x i →m 0＝ . 2f (x 0＋3Δx )－f (x 0)4. 设 f (x )在 x 0 处可导，若Δl x i →m 01 Δx＝A ，则 f ′(x 0)＝ . 答案 3Af (x 0＋3Δx )－f (x 0) f (x 0＋3Δx )－f (x 0) 1解析 Δl x i →m 0 Δx ＝33Δli x m →03Δx ＝3f ′(x 0)＝A .故 f ′(x 0)＝ A . 315. 以初速度为 v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为 s (t )＝v 0t － gt 2，求物体在 t 0 时刻的瞬时加速度.2解 ∵Δs ＝v (t ＋Δt ) 1 g (t ＋Δt )2－v t1gt 20＝(v －gt )Δt1 g (Δt )2Δs v －gt1 g Δt .0 0 － 0 2 Δs0 0＋ 2 0 0 － 2 ，∴ ＝ 0 0－ Δt 2当 Δt →0 时，Δt→v 0－gt 0.∴物体在 t 0 时刻的瞬时速度为 v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v －gt Δv Δt Δvv 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g . ∴当 Δt →0 时， Δt →－g .故物体在 t 0 时刻的瞬时加速度为－g .Δy1. 求平均变化率的步骤：(1)求 Δy ，Δx .(2)求 .Δx Δs 2. 求瞬时速度的一般步骤：(1)求 Δs 及 Δt .(2)求Δt . (3)求Δli t →m 0ΔsΔt .Δy3. 利用定义求函数 f (x )在 x ＝ x 0 处的导数： (1)求函数的改变量 Δy ＝ f (x 0＋ Δx )－ f (x 0).(2)求Δx.(3)y ′| x = x 0 ＝ Δl x i →m 0 1＋Δx ＋1f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于( )9A.6＋ΔtB.6＋Δt＋ΔtC.3＋ΔtD.9＋Δt答案 As(3＋Δt)－s(3)6Δt＋(Δt)2解析因为v＝＝Δt Δt＝6＋Δt.故选A.2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则( )A.f′(x)＝aB.f′(x0)＝aC.f′(x)＝bD.f′(x0)＝b答案 Bf(x0＋Δx)－f(x0)aΔx＋b(Δx)2解析由导数定义得f′(x0)＝Δl x i→m0Δx ＝Δl x i→m0 Δx ＝a.故选B.3 如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 BΔy f(3)－f(1) 1－3解析＝Δx 3－1 ＝2＝－1.4.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s 的单位为m，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A.－4.8 m/sB.－0.88 m/sC.0.88 m/sD.4.8 m/s答案 A解析物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2 处的导数，利用导数的定义即可求得.f(1＋3Δx)－f(1)5.设函数f(x)可导，则Δl x i→m01 3Δx等于( )A.f′(1)B.3f′(1)C. f′(1)D.f′(3)3答案 Af(1＋3Δx)－f(1)解析Δl x i→m03Δx ＝f′(1).x 1＋ΔxΔx －1 ＋3－ ＋3 ＝ －1＝ . 16. 一个质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s ＝ t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是()3 A.1 秒末 B.1 秒末和 2 秒末 C.4 秒末 D.2 秒末和 4 秒末答案 D解析 据导数的定义，得 s ′＝t 2－6t ＋8，令 s ′＝0，即 t 2－6t ＋8＝0. 解得 t ＝2 或 t ＝4，故速度为零的时刻为 2 秒末和 4 秒末. 二、填空题2 7. 已知函数 y ＝x＋3，当 x 由 2 变到 1.5 时，函数的增量 Δy ＝.1 答案3 (2 ) (2 )4 1 1.5 12 3 38.已知函数 f (x )＝ ，则 f ′(1)＝ .1答案 － 21 f (1＋Δx )－f (1)－1 1 解析 f ′(1)＝Δl x i →m 0Δx＝Δl x i →m 0 ＝Δl x i →m 0＝－ . 1＋Δx (1＋ 1＋Δx )29. 如图所示，函数 y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是.答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数 y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1) ，x 2－x 1f (x 3)－f (x 2) f (x 4)－f (x 3)， x 3－x 2x 4－x 3 ，结合图象可以发现函数 y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].10. 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是 a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出所用的时间为 1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s.答案 8001解析 运动方程为 s ＝ at 2. 2 ∵Δs ＝1a (t ＋Δt )2－1at 02＝at Δt ＋1a (Δt )2，∴Δs ＝at ＋1a Δt ，∴v ＝ lim Δs ＝at .2 0 2 0 2 Δt0 2 Δt →0 Δt 0 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s). 三、解答题11. 求函数 y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在 x ＝3 处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝Δy 2(Δx)2＋16Δx Δy∴＝＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝Δl x i→m0＝Δl x i→m0(2Δx＋16)＝16.Δx Δx Δx12.若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a 的值.解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.f(1＋Δx)－f(1)a(Δx)2＋2aΔx∴f′(1)＝Δl x i→m0Δx ＝Δl x i→m0 Δx ＝Δl x i→m0π(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.13.试比较正弦函数y＝sin x 在x＝0 和x＝2附近的平均变化率哪一个大.sin Δx－sin 0 sin Δx解当自变量从0 变到Δx 时，函数的平均变化率为k1＝Δx ＝Δx.ππππsin(2＋Δx)－sin2cos Δx－1当自变量从2变到Δx＋2时，函数的平均变化率为k2＝Δx＝Δx.π由于是在x＝0 和x＝2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负. 当Δx＞0 时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2.sin Δx cos Δx－1 sin Δx－cos Δx＋1πsin(Δx－4)＋1当Δx＜0 时，k1－k2＝Δx－ππ＝Δx Δxπ2＝Δx.π∵Δx＜0，∴Δx－4＜－4，∴sin(Δx－4)＜－2，从而有2sin(Δx－4)＜－1，2sin(Δx π1＜0，∴k －k ＞0，即k ＞k .4) 1 2 1 2π综上可知，正弦函数y＝sin x 在x＝0 附近的平均变化率大于在x＝2附近的平均变化率.－＋2。
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(3)得平均变化率＝.
训练1(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
【探究点二】函数在某点处的导数
为，简记作：
①平均速度；
②曲线割线的斜率
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；
②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝.
问题3导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？
答案函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
例2利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.
训练2求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.
1.函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
引言某市2015年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2012年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？
A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx)2
4.已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝
简记为一差，二比，三趋近.
特别提醒①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
鸡西市第十九中学学案
2016年（）月（）日班级姓名
3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念
学习
目标
1.了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
重点
难点
导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.
问题4平均变化率也可以用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？有什么几何意义？
答案Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－f(x1).Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零.
观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率.
计算运动员在下列时间段内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？
①0≤t≤0.5，②1≤t≤2.
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢.
问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？
答案如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢.
如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，
看平均速度的变化趋势，用式子
表示，这就是物体在t＝2时的瞬时速度.
结论函数在某点处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝＝.
【探究点一】平均变化率的概念
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？
结论当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是.
问题2高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
问题1物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
答案不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系
h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
ห้องสมุดไป่ตู้易知h()＝h(0)，＝＝0，
而运动员依然是运动状态.
问题2如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答案可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.
例1已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率；
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
小结求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).
【当堂训练】
1.在导数的定义中，自变量的增量Δx满足()
A.Δx<0B.Δx>0C.Δx＝0D.Δx≠0
2.函数f(x)在x0处可导，则()
A.与x0、h都有关B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关，而与x0无关D.与x0、h均无关
3.已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于()