高考导数(洛必达法则)
2024年高考数学 二轮复习第49讲 洛必达法则解高考导数压轴题
第49讲 洛必达法则解高考导数压轴题
确界
如果分离参数后相应的函数不存在最值,为了能够利用分离参数思想【解析】决含参不等式恒成立的问题,我们利用如下的函数确界的概念:
函数()()y f x x D =∈的上确界为(){}min ,M
f x M x D ∈∣,记作.M 上函数()()y f x x D =∈的下确界为()max{M
f x ∣,}M x D ∈,记作M 下.于是,有如下结论:
(1)若()f x 无最大值,而有上确界,这时要使()()f x g a <恒成立,只需()M g a 上. (2)若()f x 无最小值,而有下确界,M 下,这时要使()()f x g a >恒成立,只需()M g a 下. 确界通俗地说就是,知道函数不会超过某个值(这个值其实就是确界),但就是在定义域内取不到这个值,举个【例】子:
在()()1,21x f x x a ∈=+>恒成立,求a 的取值范围.
x 取不到1,但()f x 为单调递
增,()()12f x f ∴>=,即2就是()f x 的下确界,于是我们可以得到2a .
可以简单地理解为确界就是函数取不到的最值,需要用极限来逼近,下面举例子来说明.
【例1】 设函数()21x f x e x ax =−−−,0x 时,()0f x ,求a 的取值范围. 分析:由()0f x 对所有的0x 成立,可得 (1)当0x =时,a R ∈.
(2)当0x >时,2
1
x e x a x −−.
设()2
1
x e x g x x −−=,把问题转化为求()g x 的最小值或下确界. ()()22224
洛必达法则巧解高考压轴题(好东西)
（Ⅱ）当 x 0 时， f (x) 0 ，求 a 的取值范围.
8.2010全国大纲理
设函数 f (x) 1 ex .
（Ⅰ）证明：当 x 1 时， f (x) x ； x 1
（Ⅱ）设当 x 0 时， f (x) x ，求 a 的取 ax 1
值范围.
9.2011新课标理
已 知 函 数 f (x) a ln x b ， 曲 线 y f (x) 在 点 x 1 x
x
x cos x4
x
2x
.
记 g(x) 3sin x x cos x 2x ，则 g '(x) 2cos x x sin x 2 .
因为 g ''(x) xcos x sin x cos x(x tan x) ，
g '''(x) xsin x 0 ，所以 g ''(x) 在 (0, ) 上单调递减，且 g ''(x) 0 ， 2
h(1)
0
，故当
x
(1, 1 1 k
)
时，
h(x)
0
，可得
1 1 x2
h(x)
0
，与题设矛盾.
（ iii ） 当 k 1 时 ， h '(x) 0 ， 而 h(1) 0 ， 故 当 x (1, ) 时 ， h(x ) 0， 可 得
洛必达法则解高中导数问题
洛必达法则解高中导数问题
在高中教学内容中，导数占据着重要的地位，并且通常在数学考试中以压轴题目出现，另外还是学生以后学习微积分的基础。合理应用导数可以拓宽解决中学问题的视野，可以说导数是解决数学问题的有力工具。而在运用导数解决问题的时候通过引入洛必达法则可以有效提高解题效率。本文结合相关教学经验，分析洛必达法则在高中数学导数教学中的应用。
在高中数学教学内容中，有关导数有着较为详细的介绍，并详细论述导数的概念与几何意义，通过函数的变化率刻画函数变化的趋势。导数教学内容是对函数性质与图像的总结与延伸，是研究函数、几何问题、证明不等式的重要工具，并且，通过导数可以实现生活中最优化问题的解答。而应用洛必达法则可以对部分导数问题进行进一步的简化。
1应用洛必达法则的注意事项
作为高中数学导数学习中的一个重要板块，洛必达法则能够有效减轻学生解决极限问题的压力，帮助他们以较为简便的方法对相关导数问题求解，大大降低了求解导数的难度，这在一定程度上有利于导数应用的广泛性，帮助学生应用导数解答大量的数学问题。但是应用洛必达也有一些注意事项，教师在开展教学活动的过程中可以对此进行强调，引导学生在正确的情境之中合理应用洛必达法则，提高自己的解题效率。如果教师不对应用洛必达法则的注意事项进行强调，学生难免会出现滥用洛必达法则而不自知的情况，这对于学生的解题是不利的。
教师可以从以下几个方面对洛必达法则进行强调：1、洛必达法则只能应用于0/0型或者是无穷大比无穷大型的。在0/0型中，函数可以从正向趋近于0，也可以从负向趋近于0;在无穷大比无穷大型中，函数可以趋近于正无穷大，也可
导数洛必达法则7种例题
导数洛必达法则7种例题
1、一次函数的导数洛必达法则：设y=f(x)为某函数，当x的变化量Δx趋近于零时，函数y的变化量Δy满足下式：$$\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$$
2、几何意义：对于一元函数f(x)，函数图像的斜率正好就是f'(x)，而
且x位置上的斜率正好等于f(x)的导数。
3、函数的连续性的应用：若二元函数F(x，y)满足一定的条件，关于x 的变量中存在某函数f(x)，且f（x）的可导性有保证，则f（x）具有
极限函数f'(x)，由此可得：$$F(x, y) ~ \underset {y \to f(x)} \toL f'(x)$$
4、极限符号的应用：在求出某函数f（x）.f'（x）的极限值时，由于x
变化量趋近于零，因此可将其表示为极限符号：$$f'(x)=\lim_{\Delta
x\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$$
5、二元函数的导数：F（x，y）为定义在⊿内的连续的二元函数，它
满足有限差分式，对于常数C，则有：$$\frac{\partial F}{\partial
x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x,y)-F(x-\Delta x,y)}{2\Delta
x}=C$$
6、定义极限的应用：假设F（x，y）为可导函数，其极限能够有意义：$$\frac{\partial F}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x，y)-
洛必达法则解决高考导数问题
洛必达法则简介：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a
f x →= 及()lim 0x a
g x →=；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()
()
lim x a f x l g x →'='，
那么 ()()
lim
x a
f x
g x →=()
()
lim
x a
f x l
g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞
= 及()lim 0x g x →∞
=； (2)0A
∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)()
()
lim
x f x l g x →∞
'='， 那么 ()
()lim x f x g x →∞=()
()
lim x f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a
f x →=∞及()lim x a
g x →=∞；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()
()lim
x a f x l g x →'='， 那么 ()
()lim x a f x g x →=()
()
lim
x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a
+
→，x a
-
→
洛必达法则也
成立。
○
2洛必达法则可处理00，∞∞
高考导数(洛必达法则)
第二部分：泰勒展开式
1.23
11,1!2!3!
!(1)!
n n x x x x x x x e e n n θ+=++
+++++ 其中(01)θ<<； 2. 23
1
ln(1)(1)
,2!3!!
n n n x x x x x R n -+=-
+-+-+ 其中111(1)
()(1)!1n n
n n x R n x θ++=-++； 3.35
211
sin (1)
3!5!(21)!k k n x x x x x R k --=-
+-+-+- ，其中21(1)cos (21)!
k k
n x R x k θ+=-+；
4. 24
221
cos 1(1)
2!4!
(22)!k k n x x x x R k --=-
+-+-+- 其中2(1)cos (2)!
k
k n x R x k θ=-； 第三部分：新课标高考命题趋势及方法
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易
让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了0
”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
第四部分：洛必达法则及其解法
洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：
高中数学洛必达法则
高中数学洛必达法则
高中数学中，洛必达法则是一种用于解决极限问题的方法。它适用于形如 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式极限，通过对分子、分母同时求导，然后取极限的方式，可以得到相应的极限值。
具体来说，洛必达法则包含以下三个步骤：
1. 确定不定式极限形式，即 $frac{0}{0}$ 或
$frac{infty}{infty}$。
2. 对分子、分母同时求导，得到导数。
3. 取导数极限，即可得到原极限的值。
需要注意的是，洛必达法则只适用于一些特定的极限情况，对于其他类型的极限问题，可能需要使用其他方法来解决。此外，在实际应用中，也需要注意洛必达法则的合理性和适用性，以避免出现误解和错误。
- 1 -
妙用洛必达法则-2023年新高考数学导数压轴题(解析版)
妙用洛必达法则【典型例题】
例1.已知f(x)=(x+1)ln x．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对任意x≥1，不等式x
f(x)
x+1
-ax
+a≤0恒成立，求a的取值范围．
【解析】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ln x+1+1 x，
令g(x)=ln x+1+1
x
(x>0)，则g (x)=1
x
-1
x2
=x-1
x2
所以当0<x<1时，g (x)<0；当x>1时，g (x)>0，
所以g(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以x>0时，g(x)>g(1)=2>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间．
(2)对任意x≥1，不等式x
f(x)
x+1
-ax
+a≤0恒成立等价于对任意x≥1，ln x-a x-1x
≤0恒
成立．
当x=1，a∈R对任意x>1，不等式x
f(x)
x+1
-ax
+a≤0恒成立等价于对任意x>1，a≥x ln x
x2-1
恒成立．
记m(x)=x ln x
x2-1
(x>1)，则m (x)=
(1+ln x)(x2-1)-2x2ln x
(x2-1)2
=
x2-1-(1+x2)ln x
(x2-1)2
=
1 x2+1
1-2
x2+1
-ln x (x2-1)2
，
记t(x)=1-
2
1+x2
-ln x(x>1)，
则t (x)=
4x
(1+x2)2
-1
x
=
4x2-(1+x2)2
x(1+x2)2
=-
(1-x2)2
x(1+x2)2
<0，
所以t(x)在(1,+∞)单调递减，又t(1)=0，所以，x>1时，t(x)<0，即m (x)<0，
洛必达法则(高考题)
洛必达法则(高考题)
洛必达法则
洛必达法则是微积分中的重要概念之一。它用于求解未定式的极限，主要包括三个法则。
法则1：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，那么它们的极限相等。
法则2：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在正负无穷处极限存在，那么它们的极限相等。
法则3：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在某一点的去心邻域内极限存在，那么它们的极限相等。
在使用洛必达法则求解极限时，需要注意以下几点：
1.检查是否满足前提条件，否则结果可能不正确。
2.可以连续多次使用洛必达法则，直到求出极限为止。
3.若不满足前提条件，不能使用洛必达法则，需要从其他
途径求解。
XXX在高考中也经常出现，例如以下题目：
1.设函数f(x) = e^(-1-x-ax)/(x^2)，求f(x)的单调区间和a
的取值范围。
解：根据洛必达法则，当a = 1时，f(x) = e^(-1-x)，f'(x) = e^(-1)。当x∈(-∞,0)时，f'(x)。0.因此，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。又因为f(x)≥1/x^2，所以当x≥1时，f(x)≥1/e。因此，a的取值范围为a≤1/2.
经过格式修正和改写，文章变得更加清晰易懂。
首先，将文章中的数学符号进行修改，使其符合规范。然后，删除掉明显有问题的段落，比如第一段中的“于是当x
时，f(x).”这句话没有明确的意义。最后，对每段话进行小
幅度的改写，使其更加清晰易懂。
具体修改如下：
首先，对于函数 $f(x)$，当 $f'(x) \geq 0$（$x \geq 0$）时，有 $f(0) = 2$。因此，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 2$。
高考中的洛必达法则
导数利器——洛必达法则
一、问题指引
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或
恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞
∞
型可以考虑使用
洛必达法则。 二、方法详解
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) ()lim 0x a
f x →= 及()lim 0x a
g x →=；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)()
()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()
lim
x a
f x
g x →=()
()
lim
x a
f x l
g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)()lim 0x f x →∞
=及()lim 0x g x →∞
=；
(2)0A
∃，f(x)和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且 g'(x)≠0；
(3)()()
lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()
()lim x f x g x →∞=()
()lim
x f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) ()lim x a
f x →=∞及()lim x a
g x →=∞；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()
()lim
x a
f x l
g x →'='， 那么 ()
()lim x a f x g x →=()
()lim x a f x l g x →'='。
2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法：洛必达法则
第5讲洛必达法则
知识与方法
与函数导数相关的压轴题,一般需要确定函数的值域和参数的取值范围,其传统做法是构造函数,然后通过分类讨论,求导分析单调性进行,过程相对复杂繁琐,且分类的情况较多.并且我们采用分离参数时,往往还会出现最值难以求解的情况,这时,我们就可以考虑使用“洛必达法则”来简化解题过程,快速解题.
下面,我们先来介绍一下洛必达法则：
法则1:
若函数f(x)和g(x)满足下列条件:
(1)lim x→a f(x)=0及lim x→a g(x)=0;
(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导,且g′(x)≠0;
(3)lim x→a f ′(x)
g′(x)
=l.
那么lim x→a f(x)
g(x)=lim x→a f′(x)
g′(x)
=l.
法则2:
若函数f(x)和g(x)满足下列条件:
(1)lim x→∞f(x)=0及lim x→∞g(x)=0;
(2)∃A>0,f(x)和g(x)在(−∞,A)与(A,+∞)内可导,且g′(x)≠0;
(3)lim x→∞f ′(x)
g′(x)
=l.
那么lim x→∞f(x)
g(x)=lim x→∞f′(x)
g′(x)
=l.
法则3:
若函数f(x)和g(x)满足下列条件:
(1)lim x→a f(x)=∞及lim x→a g(x)=∞;
(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导,且g′(x)≠0;
(3)lim x→a f ′(x)
g′(x)
=l.
那么lim x→a f(x)
g(x)=lim x→a f′(x)
g′(x)
=l.
利用洛必达法则解题时,应点睛意:
高数课件10洛必达法则
01 洛 必 达 法 则 的 定 义 02 洛 必 达 法 则 的 应 用 03 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项
添加 标题
洛必达法则是微积分中的一种重要法则，用 于解决极限问题
添加 标题
洛必达法则分为上下两个部分，分别用于解 决不同类型的极限问题
添加 标题
洛必达法则的上部分用于解决0/0型极限问 题，即当分子和分母都趋于0时，可以通过 洛必达法则转化为其他形式进行求解
洛必达法则是求极 限的一种重要方法， 适用于0/0型和 ∞/∞型极限
洛必达法则可以将 复杂极限转化为简 单极限，从而简化 求解过程
洛必达法则在求极 限中的应用广泛， 如求函数极限、求 导数、求积分等
洛必达法则在求极 限中的应用需要注 意条件，如分母不 为0，分子分母可 以同时求导等
洛必达法则是求解不定积分的 重要工具
洛必达法则只适用于可导函数
洛必达法则不能应用于不可导点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
洛必达法则不能应用于无穷小量
洛必达法则不能应用于无穷大点
添加标题
洛必达法则的证明：首先，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上 可导，且其导数为f'(x)/g'(x) - f(x)g'(x)/g'(x)^2
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题1 培优点1 洛必达法则
当 x>1 时，a≤xx22－ln 1x，
令
g(x)＝xx22－ln 1x(x>1)，则
xx2－1－2ln g′(x)＝ x2－12
x，
因为 x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－2x>0，
故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝x2－1－2ln x>0，
xx2－1－2ln x 故 g′(x)＝ x2－12 >0. 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增. 则g(x)>g(1)，由洛必达法则知
由题设可得，当 x>0，且 x≠1 时，k<21x－lnxx2＋1 恒成立. 令 g(x)＝21x－lnxx2＋1(x>0，且 x≠1)，
x2＋1ln x－x2＋1
则 g′(x)＝2· 1－x22
，
再令h(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x>0，且x≠1)，
则 h′(x)＝2xln x＋1x－x， 令 φ(x)＝2xln x＋1x－x(x>0，且 x≠1)，
x→a
x→a
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0;
(3)lim x→a
gf′′xx＝k，那么lxi→ma
gfxx＝lxi→ma
gf′′xx＝k.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
新高考数学二轮复习洛必达法则专项复习课件
g (x)＝－xsin x＜0， 所以 g″(x)在0，π2上单调递减，且 g″(x)＜g″(0)＝0，
索引
所以 g′(x)在0，π2上单调递减，且 g′(x)＜g′(0)＝0. 因此 g(x)在0，π2上单调递减，且 g(x)＜g(0)＝0，
故 f′(x)＝g（xx4）＜0， 因此 f(x)＝x－xs3in x在0，π2上单调递减，
索引
连续两次使用洛必达法则，得 g(x)＝ xex＋xeexx－1＝
故
1 g(x)>2(x>0).
故当 0≤a≤12，x≥0 时，1－e－x≤axx＋1恒成立，
综上，a 的取值范围是0，21.
xxeexx＋＋2eexx＝12，
索引
训练 2 若不等式 sin x＞x－ax3 对于 x∈0，π2恒成立，求 a 的取值范围.
索引
则 g′(x)＝2（x2＋1（）1ln－xx＋2）2（2 1－x2） ＝2（（1x－2＋x21））2·ln x＋1x－2＋x12. 记 h(x)＝ln x＋1x－2＋x12， 则 h′(x)＝x1＋（1－＋4xx2）2＝x（（11－＋xx22））22>0， 从而h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0， 因此当x∈(0，1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0， 故当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
高数洛必达法则
高数洛必达法则
当涉及到极限的求解时，洛必达法则是一种常用且有效的方法。它适用于求解某些特定形式的不定型极限，包括0/0型和∞/∞型。下面将更详细地解释洛必达法则的应用步骤。
假设我们需要求解的极限是lim(x→a) [f(x)/g(x)]，其中 a 为特定的数值。
首先，检查函数f(x) 和g(x) 在点 a 的邻域内是否满足以下条件：
f(x) 和g(x) 在x=a 处的函数值都为0。
f(x) 和g(x) 在点a 的邻域内可导。
这两个条件是应用洛必达法则的前提。如果不满足这些条件，洛必达法则不能直接应用。在这种情况下，您可以尝试其他求极限的方法。
如果满足上述条件，我们需要计算函数f’(x) 和g’(x) 在x=a 处的极限。也就是说，我们需要分别求解下面两个极限：
lim(x→a) f’(x)
lim(x→a) g’(x)
这些极限的求解可能需要使用导数的各种规则，例如求导法则、链式法则或乘积法则等。求出这些极限的结果，进行下一步的计算。
然后，我们可以利用洛必达法则的核心思想。根据洛必达法则，这两个极限的商等于原始函数f(x)/g(x) 的极限。也就是说，我们有：
lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) [f’(x)/g’(x)]
这个等式可以使我们将原始问题转化为计算两个极限的商的形式。接下来，我们继续计算这个极限。
最后，求解极限lim(x→a) [f’(x)/g’(x)]。这个极限可能仍然是某个不定型极限。如果仍然满足洛必达法则的条件，我们可以再次应用洛必达法则来求解这个极限。重复上述步骤，直到得到一个确定的值或者确定该极限不存在。
利用洛必达法则解决导数问题(学生版)-高中数学
利用洛必达法则解决导数问题
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数问题
2能用洛必达法则解决极限等问题
【命题预测】洛必达法则只是一个求极限的工具，是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍，这里用高中生最能看懂的方式说明，能备考使用即可.
知识讲解
洛必达法则：
法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim
x→a f x =0及lim
x→a
g x =0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)lim
x→a f x
g x
=l，
那么lim
x→a f x
g x
=lim
x→a
f x
g x
=l。0
0型
法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim
x→a f x =∞及lim
x→a
g x =∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)lim
x→a f x
g x
=l，
那么lim x →a f x g x =lim x →a
f x
g x
=l 。
∞
∞
型注意：
1. 将上面公式中的x →a ,x →∞换成x →+∞,x →-∞,x →a +
,x →a -
洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理
00,∞
∞
,0⋅∞,1∞,∞0,00,∞-∞型。3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足00,∞∞
,0⋅∞,1∞, ∞0,00
,∞-∞型定式, 否则滥用洛必达法则会出
错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。