《近世代数》模拟试卷

《近世代数》模拟试题1及答案.pdf

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪−⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解：e 是R 的单位元。

近世代数模拟试题及答案

近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1．解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2．解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3．解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。

《近世代数》模拟试卷(三)

《近世代数》模拟试卷（三）一、填空题（每空2分，共20分）1、设ϕ是集合A 到A 的满射，则==)(Im A ϕϕ 。

2、设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类[]=a ｛｝。

3、设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），则仅就结合律、交换律而言，适合如下运算律：。

4、设G =()a 是10阶循环群，则G 的生成元是。

5、写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集。

6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。

7、设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是。

8、设F 是一含有4个元的域，则F 的特征是。

9、设G =()a 是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是。

10、实数域R 的全部理想是。

二、简答题（先说出结论，后简述理由）（每小题6分，共30分）1、设A 是实数集，规定A 的元间的一个关系如下：0,,≥⇔∈∀ab aRb A b a 。

问R 是不是A 的元间的等价关系？2、群的同态是否具有对称性？3、设N 是G 的不变子群，N n G a ∈∈∀,，是否一定存在N n ∈1使1an na =？4、模47的剩余类47Z 有没有零因子？5、设G 是一个循环群，N 是G 的子群，N G 是循环群吗？三、选择题（每小题2分，共10分）1、指出下列那些运算是二元运算（）①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

2、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。

那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（）①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。

近世代数模拟试题--附详细答案

近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔〕个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。

【大学课程】近世代数期末考试模拟卷及答案

多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（）①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

近世代数模拟试题及答案

近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。

以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。

答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。

答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。

答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。

例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。

2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。

例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。

四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。

答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。

- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。

- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。

- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。

例如，a的逆元是a^3。

G的子群有：- {1}：平凡子群。

- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。

- G本身：{1, a, a^2, a^3}。

2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。

答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。

《近世代数》模拟试题2

近世代数模拟试题一、单项选择题（每题5分，共25 分）1、在整数加群（Z，+ ）中，下列那个是单位元（）。

A 0B 1C －1D 1/n，n 是整数2、下列说法不正确的是（）。

A G只包含一个元g,乘法是gg= g。

G对这个乘法来说作成一个群B G 是全体整数的集合，G 对普通加法来说作成一个群C G 是全体有理数的集合, G 对普通加法来说作成一个群D G 是全体自然数的集合, G 对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（）。

A 群G 是指一个集合B 环R 是指一个集合C 群G 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在D 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在4、如果集合M 的一个关系是等价关系,则不一定具备的是（）。

A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性5、下列哪个不是S3的共轭类（）。

A （1）B （123）,（132）,（23 ）C （123 ）,（132）D （12）,（13）,（23）二、计算题（每题10分,共30 分）1. 求S={ （12）, （13）}在三次对称群S3的正规化子和中心化子2•设G = {1 , - 1, i, - i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。

3•设R是由一切形如0,0 （x, y是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子三、证明题（每小题15分，共45 分）x,01、设R 是由一切形如（x ，y 是有理数）方阵作成的环，证y,0明0,0是其零因子0,02、设Z是整数集，规定a • b = a+ b—3。

证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元3、证明由整数集Z和普通加法构成的（乙+）是无限阶循环群近世代数模拟试题答案、单项选择题（每题 5 分，共 25 分） 1． A 2． D 3． C 4． D 5． B、计算题（每题 10分，共 30 分）1.解：正规化子 N ( S )= { ( 1 ) , ( 23) }oooooooooooo( 6 分)中心化子 C (S )={(1)}ooooooooooooooooo1的阶是1,—1的阶是2,i 和一i 的阶是4oooo （4X2分）2. 解：群 G 中的单位元是 1。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分,共25分）1、在整数加群（Z,＋）中,下列那个是单位元（）。

A. 0 B。

1 C。

－1 D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。

A 。

G只包含一个元g，乘法是gg＝g.G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群;C 。

G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群。

3。

如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是（).A . 反身性B。

对称性C。

传递性D。

封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）。

A。

Z没有生成元。

B。

1是其生成元.C. －1是其生成元。

D. Z是无限循环群.5。

下列叙述正确的是（）.A。

群G是指一个集合。

B。

环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D。

环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律,并且单位元,逆元存在.二. 计算题(每题10分,共30分） 1。

设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶。

2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群。

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明。

三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分)。

1. 证明：在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=。

3．设S是环R的一个子环。

证明：如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子。

近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题（每题5分，共25分）1. A2. D3. D 4 . A 5 。

近世代数模拟试题7

近世代数试卷第3页（共4页）
2、设H是群G的子群，对a,bG，定义a～bab1H，证明：～是G上的一个等价
关系。
3、设R1, R2都是环，是环R1到R2的满同态映射，01和02分别是环R1和R2的零元，
Nker{ x | xR1,( x)02}，证明：是同构映射当且仅当N{ 01}。
近世代数试卷第4页（共4页）
6、（
）无零因子环的同态象无零因子。
6、（
）欧氏环一定是唯一分解整环。
8、（
）整除关系是整环
R的元素间的一个等价关系。
9、（
）循环群有且仅有一个生成元。
10、（
）循环群的子群是不变子群。
近世代数试卷第1页（共4页）
得分评卷人复查人
三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设H{( 1), (12)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是
题
号
一
二
三
四
五
六
是否缺考
题
分
15
20
15
10
20
20
得
分
《近世代数》试卷
得分
评卷人
复查人
一、填空题（每空2分，共20分）
1、设有集合A和B，|A|=3,|B|=2,
则共可定义____个从A到B的映射，其中有_____个单射，
_____个满射，______个双射。
2、设G=(a)是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数为_________.
得分
评卷人
复查人
二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2
分共
20分）
1、（

近世代数模拟试题四

近世代数模拟试题三一、填空题1、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2、如果G 是一个交换群，那么G 的任一个子群H 都是-------------子群。

3、设为的子群. 则在中左陪集的个数与右陪集的个数--------。

.4、设集合M=﹛1，2，3﹜，G 是M 上的置换群，H=﹛I ，（1，3）﹜是G 的子群，则H 的右陪集为。

5、变换群一般 ------------- 交换群。

6、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---------，元a 的逆元是-----------。

7、任一个群G 的子群G 和e 总是-------------子群。

8、设 , 为的两个子群, 则为的子群的充分必要条件是-----------------。

.9、集合A 到A 的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个-----------群。

二、选择题1、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群。

A. G 为整数集合，*为加法B. G 为偶数集合，*为加法C.G 为有理数集合，*为加法D. G 为有理数集合，*为乘法2、剩余类加群Z18的子群有( )。

A.3个B.6个C.9个D.12个3、设S 是群G 的非空子集，G 的含 S 的所有的子群的交仍是G 的子群，这个子群称为G 的由（）子群。

A 、G 生成的B 、G 不作成的C 、S 生成的D 、元0生成的。

4、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（）A.若a 是零元，则b 是零元；B.若a 是单位元，则b 是单位元；C.若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 若2R 是不交换的，则1R 不交换。

5、子群包含的三层意思是（）A 、H G ；H 成群；H 与G 有相同的运算B 、H ≠G ；H 是G 的子半群；H 有两种运算。

C 、H G ；H 有单位元；H 的运算相同。

近世代数模拟试题

近世代数模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 群的定义中，下列哪一项不是必要的？A. 封闭性B. 单位元存在性C. 逆元存在性D. 交换律2. 对于一个环，以下哪项是正确的？A. 必须有加法单位元B. 必须有乘法单位元C. 必须满足交换律D. 必须满足分配律3. 以下哪个选项正确描述了域的特征？A. 域中的每个元素都有逆元素B. 域中的每个元素都有加法逆元素C. 域中的乘法是交换的D. 域中的乘法是结合的4. 如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，那么G被称为：A. 阿贝尔群B. 循环群C. 有限群D. 正规子群5. 以下哪个选项是群的同态映射？A. 恒等映射B. 逆映射C. 任意映射D. 单位元映射二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个群G的拉格朗日定理指出，如果H是G的一个子群，那么|H|整除______。

2. 环R中的元素a被称为______，如果对于R中的每个元素b，都有ab=ba。

3. 一个环R被称为______，如果它的乘法满足交换律。

4. 一个环R的雅可比恒等式是a^2(b+c)=ab^2+ac^2，这表明R是一个______。

5. 一个群G的正规子群N，如果它满足G/N是一个阿贝尔群，那么N 被称为G的______。

三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是群的同构，并给出一个例子。

2. 描述环的整环和域的区别。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。

2. 证明：如果一个环R有单位元且每个非零元素都是可逆的，那么R是一个域。

五、应用题（每题15分，共30分）1. 已知群G={1, a, b, c}，其中a^2=b^2=c^2=1，且ab=c，ba=c。

确定G是否为阿贝尔群，并找出所有可能的群结构。

2. 考虑环Z_6，其中Z_6是由模6的整数组成的环。

证明Z_6不是域，并找出它的所有单位元素。

注意：请根据所学知识，认真审题，仔细作答。

【近世代数】模拟试题(卷)2与答案解析

近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。

A 0B 1C －1D 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。

A G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（）。

A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( )。

A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类( )。

5、下列哪个不是3A （1）B （123），（132），（23）C （123），（132）D （12），（13），（23）二、计算题(每题10分，共30分)S的正规化子和中心化子。

1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群32.设G ＝{1，－1，i ，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。

3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分，共45分)1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子。

2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。

证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。

3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。

近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)1．A2．D3． C4． D5． B二、计算题(每题10分，共30分)1．解：正规化子N （S ）＝{（1），（23）}。

《近世代数》模拟试题及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕg a是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。

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近世代数期末考试题库完整近世代数模拟试题⼀⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（）A 、满射⽽⾮单射B 、单射⽽⾮满射C 、⼀⼀映射D 、既⾮单射也⾮满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中⽅程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说A 、不是唯⼀B 、唯⼀的C 、不⼀定唯⼀的D 、相同的(两⽅程解⼀样)4、当G 为有限群，⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数（）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不⼀定相等。

5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的（）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法⼀般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是⼀个------。

4、偶数环是---------的⼦环。

5、⼀个集合A 的若⼲个--变换的乘法作成的群叫做A 的⼀个--------。

6、每⼀个有限群都有与⼀个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么---------。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一 .单项选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)1、在整数加群（ Z，＋）中，以下那个是单位元（） .A. 0B.1C.－ 1D. 1/n， n 是整数2、以下说法不正确的选项是（） .A . G只包括一个元 g，乘法是 gg＝ g。

G对这个乘法来说作成一个群 ;B . G是全体整数的会合，G对一般加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的会合，G对一般加法来说作成一个群;D. G 是全体自然数的会合，G对一般加法来说作成一个群 .3.假如会合 M的一个关系是等价关系，则不必定具备的是 ( ).A .反身性 B.对称性 C.传达性 D.关闭性4. 对整数加群Z 来说，以下不正确的选项是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C.－ 1 是其生成元 .D.Z 是无穷循环群 .5.以下表达正确的选项是（）。

A.群 G是指一个会合 .B.环 R 是指一个会合 .C.群 G是指一个非空会合和一个代数运算，知足联合律，而且单位元，逆元存在 .D.环R 是指一个非空会合和一个代数运算，知足联合律，而且单位元，逆元存在 .二. 计算题 ( 每题 10 分，共 30 分)1.设 G是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵对方阵一般乘法作成1213的群，试求中 G中以下各个元素 c, d0,cd ，011的阶 .2.试求出三次对称群S3(1),(12),(13),(23),(123),(132)的全部子群 .3.若 e 是环R的唯一左单位元，那么 e 是R的单位元吗假如，请赐予证明 .三. 证明题(第 1小题 10分，第 2小题 15分，第 3小题 20分，共 45 分).1.证明 : 在群中只有单位元知足方程x2 x.2．设G是正有理数乘群，G是整数加群.证明：n b: 2 g a n是群 G 到G的一个满同态，此中a, b 是整数，而 (ab,2) 1 .3．设S是环R的一个子环.证明:假如R与S都有单位元，但不相等，则 S 的单位元必为 R 的一个零因子 .近世代数模拟试题答案2008 年 11 月一、单项选择题 ( 每题 5 分，共 25分 )1.A2. D3.D 4 . A 5 . C二.计算题(每题10分，共30分)1.解：易知 c的阶无穷，(3分 )d 的阶为 2.（3分）可是11cd,（2分）01的阶有限，是 2.（2分）2.解： S3的以下六个子集H1(1) , H 2(1),(12) , H 3(1),(13) ,H 4(1),(23) , H 5(1),(123),(132) ,H6 S3（7 分）对置换乘法都是关闭的，所以都是S3的子集.（3 分）3. 解： e 是 R 的单位元。

近世代数期末考试模拟试卷和答案

近世代数期末考试模拟试卷及答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。

2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。

3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。

4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。

5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。

否则，视为为作弊。

6、不可以使用普通计算器等计算工具。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

修改过的近世代数

修改过的近世代数近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。

33e,ae,a,aaa,eA、B、C、D、2、下面的代数系统（G，某）中，（）不是群A、G为整数集合，某为加法B、G为偶数集合，某为加法C、G为有理数集合，某为加法D、G为有理数集合，某为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a某b=a-bB、a某b=ma某{a,b}C、a某b=a+2bD、a某b=|a-b|4、设1、2、（1324），则A、213是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=3=（）22B、12C、D、215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于------。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

a,a,,an7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----01使得a0a1ann40。

8、对任何某A均成立某a某，则称a为---------。

a是代数系统(A,0)的元素，9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。