九年级数学上册20.2二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图象课后零失误训练北京课改版

合集下载

新人教版九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质练习

新人教版九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质练习预习要点：1．按下面的步骤画出y=x2、y=-x2、y=12x2、y=2x2的图象：（1）列表：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2……y=-x2……x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y=12x2……x …-2 -1.5 -1 -.05 0 0.5 1 1.5 2 …y=2x2……（2）描点及连线：2．与二次函数y=ax2有关的概念：（1）二次函数的图象都是，它们的开口或者或者．一般地，二次函数y =ax2 +bx+c的图象叫做．（2）y轴是抛物线y=ax2的对称轴，抛物线y=ax2与它的对称轴的交点（0, 0）叫做抛物线y=ax2的顶点．实际上，每条抛物线都有．抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的，它是抛物线的最或最．3．归纳：（1）一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是，顶点是．当a>0时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最；当a<0时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最．对于撇物线y=ax 2，|a |越大，抛物线的开口．（2）从二次函数y=ax 2的图象可以看出：如果a>0，当x<0时，y 随x 的增大而，当x>0时，y 随x 的增大而；如果a <0，当x<0时，y 随x 的增大而，当x>0时，y 随x 的增大而．4．（2016•龙岩模拟）二次函数y=x 2的图象是（） A ．线段B ．直线C ．抛物线D ．双曲线5．（2016•玉林）抛物线y=12 x 2，y=x 2，y=−x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列图象中，当ab ＞0时，函数y=ax 2与y=ax+b 的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．在二次函数（1）y=−3x 2，（2）y=−23 x 2，（3）y=−43 x 2中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为（） A ．（1）＞（2）＞（3） B ．（1）＞（3）＞（2） C ．（2）＞（3）＞（1）D ．（2）＞（1）＞（3） 8．二次函数y=x 2和y=−x 2的图象都是． 9．二次函数y=13 x 2的图象与y=3x 2的图象的相同点是，不同点是．10．利用函数y=−x 2的图象回答下列问题：（1）当x=32 时，y=．（2）当y=−8时，x=．（3）当−2＜x ＜3时，求y 的取值范围是；（4）当−4＜y ＜−1时，求x 的取值范围是． 11．如图所示，a 1、a 2、a 3的大小关系是．同步小题12道一．选择题1．满足函数y=12 x −1与y=−12 x 2的图象为（）A ．B ．C ．D ．2．已知a≠0，b ＜0，一次函数是y=ax+b ，二次函数是y=ax 2，则下面图中，可以成立的是（）A ．B ．C ．D ．3．抛物线y=2x 2，y=−2x 2，y=12 x 2共有的性质是（）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．都有最低点D ．y 的值随x 的增大而减小4．抛物线y=−x 2不具有的性质是（） A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴C ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D ．最高点是原点5．抛物线y=−2x 2开口方向是（） A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右6．抛物线y=ax 2过点（1，−1），则a 的值为（） A ．1B ．−1C ．12D ．−12二．填空题7．试写出一个开口方向向上的抛物线解析式．8．已知二次函数y=12x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为．9．观察二次函数y=x2的图象，并填空．图象与x轴的交点也是它的，这个点的坐标是．10．（2016•睢宁县一模）二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1y2（填“＞”或“＜”）．三．解答题11．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=−3x2的图象，并比较两者的异同．12．已知抛物线y=ax2经过点（1，3）．（1）求a的值；（2）当x=3时，求y的值；（3）说出此二次函数的三条性质．答案：预习要点：1．略2．（1）抛物线向上向下抛物线y =ax2 +bx+c（2）对称轴顶点低点高点3．（1）y轴原点向上低点向下高点越小（2）减小增大增大减小4．【分析】根据函数图象的特点可知二次函数y=x2的图象的形状，本题得以解决．【解答】解：∵y=x2是二次函数，∴y=x2的图象是抛物线，故选C5．【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．【解答】解：抛物线y=12x2，y=x2的开口向上，y=−x2的开口向下，①错误；抛物线y=12x2，y=x2，y=−x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；故选B6．【解答】解：A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b 经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D 选项正确．故选D7．【分析】根据二次项系数的绝对值判断可判断图象的开口大小，即：二次项系数的绝对值越小，开口越小．【解答】解：比较二次项系数的绝对值可知，|−23 |＜|−43 |＜|−3|，因为，二次项系数的绝对值越小，开口越大，即y=−23 x 2的开口最大，y=−3x 2的开口最小．所以，开口由大到小的顺序是：y=−23 x 2，y=−43 x 2，y=−3x 2．故选C8．【分析】根据二次函数的图象的形状，可得答案．【解答】解：二次函数y=x 2和y=−x 2的图象都是抛物线．答案：抛物线． 9．【分析】根据函数图象间的关系，可得答案．【解答】解：二次函数y=13 x 2的图象与y=3x 2的图象的相同点是开口方向相同，顶点坐标相同，对称轴相同，不同点是前者开口大，后者开口小，答案：开口方向相同，顶点坐标相同，对称轴相同；前者开口大，后者开口小．10．【分析】（1）把x=32 代入y=−x 2即可求得；（2）把y=−8代入y=−x 2，得到−8=−x 2，解得即可；（3）根据图象即可得知y 的范围．（4）根据图象即可得知x 的范围．【解答】解：画出二次函数y=−x 2的图象如图所示．（1）把x=32 代入得，y=−94 ．（2）把y=−8代入得−8=−x 2，解得x=±2 2 ．（3）由图象可知，当0＜x ＜3时，求y 的取值范围是−9＜y ＜0；④由图象可知，当−4＜y ＜−1时，求x 的取值范围是−2＜x ＜−1或1＜x ＜2．11．【分析】根据a ＞0图象开口向上，a ＜0图象开口向下，可得a 1、a 2、a 3是正数还是负数；根据|a|越大图象开口越小，可得答案．【解答】解：由图象的开口方向，得a 1＞0，a 2＞0，a 3＜0．由|a|越大图象开口越小，得a 1＞a 2＞0＞a 3．答案：a 1＞a 2＞a 3．同步小题12道1．【分析】本题可先由一次函数与二次函数得到大致图象，直接解答即可．【解答】解：∵一次函数y=12 x −1中，a ＞0，b ＜0，∴图象经过一、三、四象限，∵二次函数y=−12 x 2中，a ＜0，∴抛物线开口方向向下，符合以上条件的图象为C故选C2．【分析】可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：∵a≠0，b ＜0，一次函数是y=ax+b ，∴一次函数图象与y 轴交于负半轴，A 、一次函数图象经过第一、三象限，则a ＞0，则二次函数是y=ax 2的图象开口方向向上．故A 错误；B 、一次函数图象与y 轴交于正半轴，故B 错误；C 、一次函数图象经过第二、四象限，则a ＜0，则二次函数是y=ax 2的图象开口方向向下．故C 正确；D 、一次函数图象与y 轴交于正半轴，故D 错误．故选C3．【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．【解答】解：∵y=2x 2，y=12 x 2开口向上，∴A 不正确，∵y=−2x 2，开口向下，∴有最高点，∴C 不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D 不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y 轴，∴B 正确．故选B4．【分析】此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y=ax 2的基本形式，根据它的性质，进行解答．【解答】解：因为a ＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0），对称轴是y 轴，有最高点是原点．故选A5．【分析】根据a 的正负判断抛物线开口方向．【解答】解：∵a=−2＜0，∴抛物线开口向下．故选B6．【分析】直接把（1，−1）代入y=ax 2得到关于a 的方程，然后解方程即可．【解答】解：把（1，−1）代入y=ax 2得a=−1．故选B7．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，函数图象的开口向上，写出即可．【解答】解：抛物线y=x 2的开口向下．答案：y=x 2（答案不唯一，只要二次项系数为负数即可）．8．【分析】根据抛物线的对称性求出点B 的横坐标，然后求解即可．【解答】解：根据抛物线的对称性，∵点A 的横坐标为2，∴点B 的横坐标是−2，∵线段AB ∥x 轴，∴AB=2−（−2）=2+2=4．答案：4．9．【解答】解：图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是（0，0）．10．＜11．解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．12．【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得a值；（2）把x=3代入求得的函数解析式即可求得y值；（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．解：（1）∵抛物线y=ax2经过点（1，3），∴a×1=3∴a=3；（2）把x=3代入抛物线y=3x2得：y=3×32=27；（3）抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x=0时，y有最小值，是y=0等．。

【北京课改版】九年级数学上册课后零失误训练：20.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象(含答案)

20.2二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象零失误训练基础能力训练★回归教材注重基础 ◆二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象1.已知函数y =mx m 2+m ，当m =_____时，它的图象是开口向上的抛物线.2.已知抛物线221x y =的图象经过点(a ，4.5)和(－a ，y 1)，则y 1的值是_____.3.函数6)3(212++-=x y 的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是_______.4.抛物线y =x 2－2x －3的对称轴是______，顶点坐标是______.5.二次函数253212++=x x y 的图象由函数221x y =的图象先向_____平移_____个单位长度，再向_____平移_____个单位长度得到的. 6.二次函数y =ax 2+bx +c 中，a >0，b <0，c =0，则其图象的顶点应在第_____象限.7.抛物线y =x 2－2mx +m +2的顶点坐标在第三象限，则m 的取值范围为_____.8.已知二次函数y =x 2－2x －3的图象与x 轴交于A .B 两点，在x 轴上方，抛物线上有一点C ，且△ABC 的面积等于10，则C 点的坐标为______.9.已知二次函数y =ax 2与一次函数y =3x －4的图象都经过(b ，2)，则a =_____，b =_____；试写出一个经过(a ，b )点的抛物线的表达式_______.10.函数y =ax 2+bx +c 的图象与y =2x 2－3x －1的图象形状.大小相同，开口方向相反，则下面结论正确的是( )A.a=2，6=3，c=1B.a=－2，b.c为任意实数C.b=3，a.c为任意实数D.c=1，a.b为不等于0的实数11.(2008·长春)二次函数y=kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k>3B.k>3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠012.已知y=ax2+bx+c的图象如图20－2－4所示，则a.b.c的值满足( )A.a<0，b>0，c>0B.a<0，b>0，c<0C.a<0，b<0，c>0D.a<0，b<0，c<013.如图20－2－5，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )14.已知二次函数y =a (x +h )2+k 的图象如图20－2－6所示，则一次函数y =ax +hk 的图象不经过哪个象限?15.用配方法求二次函数45351252+-=x x y 图象的顶点坐标和对称轴.16.巳知点A (－2，－c )向右平移8个单位得到点A ′，A 与A ′两点均在抛物线y =ax 2+bx +c 上，且这条抛物线与y 轴交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标.17.画出函数y =x 2+x －2的图象，并根据图象回答下列问题: (1)求抛物线与坐标轴交点的坐标；(2)当x 取何值时，y >0?当x 取何值时，y <0?(3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大?x 取何值时，y 随x 的增大而减小?(4)求抛物线y=x2+x－2的对称轴；(5)该函数有最大值还是有最小值?x取何值时，y有最大值(或最小值)?最大值(或最小值)是多少?综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用18.某市场经营一批进价为2元一件的商品，在市场调查中发现此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下关系:销售单价x(元) 3 5 9 11 销售量y(件) 18 14 6 2描出实数对(x，y)的对应点；②猜测并确定日销售量y(件)与日销售单价x(元)之间的函数关系式，画出图象.(2)设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为P元，根据日销售量规律:①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式，并求出日销售利润的最大值，试问日销售利润P是否存在最小值?若有，请求出；若无，请说明理由.②在给定的直角坐标系中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象简图，观察图象，写出x.P的取值范围.◆开放探索19.阅读材料，解答问题. 阅读材料:当抛物线的函数关系式中含有字母系数时，随着系数中的字母的取值不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如:由抛物线y =x 2－2mx +m 2+2x －1， ① 有y =(x －m )2+2m －1， ② ∴抛物线的顶点坐标为(m ，2m －1).即⎩⎨⎧-==.12,m y m x ④③ 当m 的值变化时，x .y 的值也随之变化，因而y 的值随x 值的变化而变化，将③代人④得，y =2x －1. ⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线的顶点的纵坐标y 与横坐标x 都满足关系式:y =2x －1. 解答问题:(1)在上述过程中，由①到②所用的数学方法是_______，其中运用了_______公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______.(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y =x 2－2mx +2m 2－3m +1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式.参考答案1答案:1 解析:由题意知，该函数为二次函数，所以m 2+m =2，解得m 1=－2，m 2=1，又因为图象开口向上，所以m =－2舍去，只取m =1.2答案:4.5 解析:由题意知2215.4a =，a 2=9，a =±3，将(－a ，y 1)代入221x y =，进一步求得y 1=4.5. 3答案:向下 x =－3 (－3，6)4答案:x =1 (1，－4) 解析:利用配方法可以得到结论，也可直接用对称轴和顶点坐标公式来求出结果.5答案:左 3 下2 解析:由2)3(2125)6(2125321222-+=++=++=x x x x x y 及221x y =可知平移情况. 6答案:四解析:由02>-=abx ，044422<-=-a b a b ac 可知抛物线的顶点必须在第四象限.7答案:m <－1 解析:易得顶点坐标为(m ，－m 2+m +2).∵顶点在第三象限，∴⎩⎨⎧<++-<,02,02m m m解不等式组得:m <－1. 8答案:(4，5)或(－2，5)解析:因为二次函数与x 轴相交，所以令x 2－2x －3=0，解得x 1=－1，x 2=3，所以AB 之间的距离为4，S △ABC =21×4×h =10，得h =5，即点C的纵坐标为5，所以有5=x 2－2x －3，解得:x 1=－2，x 2=4，所以C 点坐标为(4，5)或(－2，5).9答案:212 y =8x 2(答案不唯一) 解析:直接代入，先求b ，再进一步求a ，符合条件的表达式可以由y =8x 2，21102-=x y 等(答案不唯一). 10答案:B11答案:D 解析:由题意知:⎩⎨⎧≠≥-0042k ac b 即⎩⎨⎧≠≥⨯⨯--0034)6(2k k 解得k ≤3且k ≠0.注意:这里与x 轴也可能只有一个交点，因此勿忘b 2－4ac =0的情况. 12答案:A 解析:因为图象开口向下，所以a <0.又因为抛物线与y 轴的交点在正半轴上，所以c >0.又因为02>-ab，所以b >0，故选A 13答案:D14答案:解析:由二次函数y =a (x +h )2+k 的图象可知，因为抛物线的开口向上，所以a >0，因为抛物线的对称轴在y 轴的左侧，所以h >0，又因为抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，所以k <0，所以hk <0，由此可知，直线y =ax +hk 经过第一.三.四象限，则一次函数y =ax +hk 的图象不经过第二象限. 15答案:解析:)34(125453512522+-=+-=x x x x y 125)2(125]1)2[(12522--=--=x x ， ∴该函数图象的顶点坐标是(2，125-)，对称轴是x =2. 16答案:解析:抛物线的解析式是y =x 2－4x －6，顶点坐标为(2，－10). 17答案:解析:(1)与x 轴交点坐标是(－2，0)和(1，0)，与y 轴交点的坐标是(0，－2).(2)当x <－2或x >1时，y >0，－2<x <1时，y <0.(3)当x >21-时，y 随x 的增大而增大，当x <21-时，y 随x 的增大而减小.(4)对称轴为直线21-=x .(5)有最小值，当21-=x 时，49－最小值=y . 18答案:解析:(1)①如图所示.②函数关系式为y =－2x +24(0≤x ≤12)，函数图象如图a 所示. (2)①因为销售利润=售价－进货价，所以P =xy －2y .又因为y =－2x +24，所以P =y (x －2)=(－2x +24)(x －2)=－2(x －7)2+50.所以当x =7时，P最大=50，又当x >12时，即销售单价大于12元时，此时无人购买，所以此时利润为P =0(x ≥12)，由实际意义知，当销售单价x =0时，此时利润P =－48，即为最小值.②根据实际意义，当0≤x <2时，亏本卖出；当x =－2或x =12时利润P =0；当x >12时，即高价卖，无人购买，此时利润P =0，如图b ，由图象可知x ≥0，－48≤P ≤50.19答案:解析:(1)配方法完全平方代入法(2)由m ma b x =⨯--=-=1222，1344)132(4442222+-=-+-=-=m m m m m a b ac y ，把x =m 代入y =m 2－3m +1得y =x 2－3x +1，即为抛物钱y =x 2－2mx +2m 2－3m +1的顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式.。

部编数学九年级上册二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质(基础篇)(专项练习) 含答案

专题22.14 二次函数的图象与性质（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】把二次函数化为顶点式1．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（）A ．21(2)42y x =--B ．21(1)32y x =--C ．21(2)52y x =--D ．21(2)62y x =--2．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---3．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线2322y x x =-+上运动．过点A 作AC x ^轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为（）．A ．2B ．4C ．53D ．73【类型二】画二次函数的图象4．二次函数()221210y a x ax a =+++-=的图象经过原点，则a 的值为（）A ．±1B ．1-C ．1D ．05．已知二次函数2y ax bx c =++，且0,0,0a b c <=<，则图象一定经过（）象限．A ．三、四B ．一、三、四C ．一、二、三、四D ．二、三、四2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹6．已知二次函数y ＝x 2﹣（m ﹣2）x ＋4图象的顶点在坐标轴上，则m 的值一定不是（）A ．2B ．6C ．﹣2D ．0【类型三】二次函数的性质7．已知：二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（）x (1)-012…y…0343…A ．()0,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()3,08．已知二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（）A ．开口向下B ．顶点在第一象限C ．1a ³D ．当1x >时，y 的最小值为－19．画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列表如下：x (1234)5…y…2321-6-…关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当2x >时，y 随x 的增大而减小；③当0x =时，1y =-．其中正确的有（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【类型四】二次函数各项系数的符号10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =-+的图象大致是( )．2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹A ．B ．C ．D ．11．在同一坐标系中，直线y ax a =+和抛物线232y ax x =-++（a 是常数，且a ≠0）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．12．对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ¹）如图，小明同学得出了以下结论：①0abc >；②24b ac >；③420a b c ++>；④30a c +>；⑤()a b m am b +£+（m 为任意实数）；⑥当1x <-时，y 随x 的增大而增大．其中结论错误的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【类型五】一次函数与二次函数图象判断13．在同一平面直角坐标系中，函数()20y ax bx a =+¹与y ax b =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．14．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，对称轴为12x =-，下列结论中，正确的是（）A ．abc ＞0B ．a +b =0C ．b +c ＞aD ．a +c ＜b15．当ab ＜0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【类型六】二次函数图象的平移16．将抛物线23y x =向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（）A ．()2312y x =+-B ．()2312y x =++C ．()2312x y =--D ．()2312y x =-+17．关于二次函数y ＝（x ﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为x ＝2C ．图象与y 轴交于点（0，1）D ．图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到18．如图，抛物线y =x 2经过平移得到抛物线y =ax 2+bx ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标是（）A ．（1，-4）B ．（2，-4）C ．（4，-2）D ．（4，-1）二、填空题【类型一】把二次函数化为顶点式19．把二次函数y =-x 2-4x -3化成y =a （x -h ）2+k 的形式是______ .20．已知(0,3)A 、()2,3B 是抛物线2y x bx c =-++上两点，则该抛物线的顶点坐标是_____．21．二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则h k -=___________．【类型二】画二次函数的图象22．如图，已知二次函数22y x x =-+，当x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是_____________．23．已知1(4,)A y -，B 2(3,)y -，3(3,)C y 两点都在二次函数22(2)y x b =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为_________．24．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．【类型三】二次函数的性质25．已知二次函数21y x mx =-+，（1）该二次函数图像的开口方向为______；（2）若该函数的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为______；26．将二次函数241y x x =--+的图象先向右平移a 个单位再向下平移2a 个单位．（1）若平移后的二次函数图象经过点()1,1-，则a ＝______．（2）平移后的二次函数图象与y 轴交点的纵坐标最大值为______．27．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②3a ﹣c ＝0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④对于任意实数m ，总有a ﹣b ≥am 2﹣bm ．其中正确的是 _____（填写序号）．2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹【类型四】二次函数各项系数的符号28．如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于点（－3，0），其对称轴是12x =-，则下列结论：①0abc >；②0a b c ++<；③若两点（－2，1y ），（3，2y ）在二次函数图象上，则12y y >．其中正确结论的个数为___．29．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，下列结论①ac ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a ﹣b ＝0；④3a +c ＝0，其中，正确的个数是_____30．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①0ac <；②20b a -<；③240b ac -<；④0a b c -+<，正确的是______．【类型五】一次函数与二次函数图象判断31．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．2(0)y ax bx c a =++¹32．已知二次函数22y ax =+的图象开口向下，则直线2y ax =-不经过的象限是第______象限．33．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax bc =+ 的图象不经过第____________象限【类型六】二次函数图象的平移34．抛物线2y x bx c =++图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为223y x x =--，那么原抛物线的解析式为____________35．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数22y x x c =++（c 为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为(1,2)，则新抛物线的函数表达式为_______．36．已知平面直角坐标系中，点P 的坐标为()2,1--，若二次函数242y x x m =-++的图像与线段OP 有且只有一个公共点，则m 满足的条件是______．三、解答题37．如图，已知经过原点的抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0）．(1)求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；(2)求直线AM 的解析式．38．已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (0，3)、B (4，3)、C (1，0)．(1)填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为；(2)画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象．(3)当 1 < x £4时， y 的取值范围是39．二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值如下表，根据下表回答问题．x …－3－2－10…y…－2－24…(1)该二次函数与y 轴交点是，对称轴是．(2)求出该二次函数的表达式；(3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式．40．如图，抛物线y ＝﹣x 2+(m ﹣1)x +m 与y 轴交于点(0，3)．（1）m 的值为________；（2）当x 满足________时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）当x 满足________时，抛物线在x 轴上方；（4）当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是________．41．已知抛物线21y ax bx c =++的顶点A 是直线22y x =与324y x =-+的交点，且抛物线经过直线324y x =-+与y 轴的交点B ．（1）求点A 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）写出当13y y >时x 的取值范围．42．已知二次函数2243y x x =-+的图像为抛物线C ．(1)抛物线C 顶点坐标为______；(2)将抛物线C 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线1C ，请判断抛物线1C 是否经过点()2,3P ，并说明理由；(3)当23x -££时，求该二次函数的函数值y 的取值范围．参考答案1．D【分析】先把二次项的系数化为1，再配方，从而可得答案．解：21242y x x =--()2144442x x =-+-- ()21262x =--，故选：D.【点拨】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键．2．C【分析】把抛物线沿y 轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）关于y 轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．解：∵2245(2)1y x x x =-+=-+，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，∴抛物线245y x x =-+沿y 轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，∴抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为2(2)1=---y x ，化简后为：245y x x =-+-．故选：C ．【点拨】本题考查了求抛物线关于y 轴对称后的解析式，点关于y 轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．3．C【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再根据矩形的性质得BD =AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，从而得到BD 的最小值．解：∵2215322333y x x x æö=-+=-+ç÷èø，∴抛物线的顶点坐标为（13，53），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD =AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为53，∴对角线BD 的最小值为53．故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4．C【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a =1或a =-1，然后根据二次函数的定义确定a 的值．解：把（0，0）代入y =（a +1）x 2+3x +a 2-1得a 2-1=0，解得a =1或a =-1，而a +1≠0，所以a 的值为1．故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了a +1≠0．5．A【分析】根据0a <，0b =，0c <，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．解：∵二次函数2y ax bx c =++中0a <，0b =，0c <，∴二次函数的解析式为2y ax c =+，二次函数的开口向下，二次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴二次函数的顶点坐标为(0，c )，在y 轴负半轴，∴二次函数2y ax bx c =++的图象经过三、四象限；故选A ．【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系．6．D【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，再利用该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到关于m 的方程，解方程从而可得答案．解：∵二次函数()()22222244,24m m y x m x x --æö=--+=--+ç÷èø∴该函数的顶点坐标为()222,4,22m m éù---+êúêúëû∵二次函数()224y x m x =--+图象的顶点在坐标轴上，∴202-=m 或()22404m --+=，当202-=m 时，2,m = 当()22404m --+=时，()2216,m -= 24m \-=或24,m -=-6m \=或2,m =-综上：2m =或6m =或 2.m =-故选：D ．【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标在坐标轴上的坐标特点是解题的关键．7．D【分析】由表格可知，二次函数的图象关于直线1x =对称，它的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，根据二次函数的对称性可求它的图象与x 轴的另一个交点坐标．解：由表格可知，二次函数的图象关于直线1x =对称，它的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，∴它的图象与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，故选D ．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于确定二次函数的对称轴．8．C【分析】二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，解不等式即得．解：∵二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，∴a -1≥0，∴a ≥1．故选C ．【点拨】本题考查了二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，运用函数图象与x 轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．9．C【分析】先由表中数据可知，y 随x 的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y =2时，x =1或x =3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x =2，则求出1y =-时的自变量的值．解：由表中数据可知，y 随x 的增大先增大后减小，∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；∵y =2时，x =1或x =3，∴函数的对称轴为直线x =2，∵开口向下，∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故②正确，符合题意；∵对称轴为直线x =2，当x =4时，1y =-，∴x =0时，1y =-，故③正确，符合题意；∴正确的选项有②③；故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10．C【分析】观察二次函数2y ax bx c =++的图象得：0,02b a a<-<，可得0b <，0a ->，从而得到一次函数y ax b =-+的图象经过第一、三、四象限，即可求解．解：观察二次函数2y ax bx c =++的图象得：0,02b a a<-<，∴0b <，0a ->，∴一次函数y ax b =-+的图象经过第一、三、四象限．故选：C【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解题的关键．11．D【分析】根据函数图像和解析式中的参数分析函数图像性质，分析函数图像是否可能存在．解：A 、由直线y ＝ax+a 的图像性质和抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <和0a >，图象不符合题意B 、由直线y ＝ax +a 的图像性质可得0a <，抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <及对称轴在y 轴的左侧，图象不符合题意C 、由直线y ＝ax +a 的图像性质可得0a >，抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <，图象不符合题意D 、由直线y ＝ax +a 的图像性质可得0a <，抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <和对称轴在y 轴的左侧，符合题意故选D【点拨】此题考查的知识点：一次函数增减性质、二次函数开口方向和对称轴在y 轴的左侧还是右侧、函数中参数的作用；根据图像变化确定函数中的参数正负性是解答此题的关键．12．B【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：观察图象得：抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴为直线x =1，∴0,0,12b a c a><-=，∴20b a =-<，∴0abc >，故①正确；根据题意得：抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac D =->，即24b ac >，故②正确；∵对称轴为直线x =1，且抛物线与x 轴的另一个交点位于x 轴负半轴，当x =2时，y <0，即420a b c ++<，故③错误；根据题意得：当x =-1时，y >0，即0a b c -+>∵2b a =-，∴()230a a c a c --+=+>，故④正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，∴当x =1时，函数值最小，最小值为a +b +c ，∴当x =m 时，2a b c am bm c ++£++，∴()a b m am b +£+，故⑤正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，∴⑥当1x <-时，y 随x 的增大而减小，故⑥错误；∴错误的有2个．故选：B【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，理解二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点确定是解题的关键．13．A【分析】根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可．解：函数()20y ax bx a =+¹经过原点（0，0），则B 错误；当a <0时，y ax b =+经过二、四象限，则D 错误；当02b a->时，b >0， y ax b =+经过一、二、四象限，则C 错误；当a >0，02b a ->时，b <0， y ax b =+经过一、三、四象限，则A 符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象的性质是解决问题的关键．14．D【分析】由抛物线开口方向得到a ＞0，由对称轴得到b =a ＞0，由抛物线与y 轴的交点得到c ＜0，则abc ＜0；a +b ＞0，据此来进行一一判断即可．解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =122b a -=-，∴b =a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0；a +b ＞0；故选项A 、B 错误；∵b =a ＞0，c ＜0，∴b +c ＜a ，a +c ＜b ，故选项C 错误，选项D 正确，故选：D ．【点拨】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．15．A【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．解：根据题意，ab＜0，当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；此时，A选项符合，当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；此时，没有选项符合．故选：A．【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．16．D【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．解：∵抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y=3（x-1）2+2．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a （x-k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x-k-m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．17．C【分析】根据二次函数的性质判断A，B选项；根据当x＝0时，y＝5判断C选项；根据图象的平移规律判断D选项．解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；D 选项，图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．18．B【分析】确定出抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．解：如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A 和点B ，连接OA ，OB ，则由抛物线平移的性质可知，a =1，S 阴影=S △OAB ，∴y =ax 2+bx =x 2+bx = (x +2b ) 2−24b ，∴点A 的坐标为 (−2b ，−24b )，点B 的坐标为（−2b ，24b ），∴AB =24b +24b =22b ，点O 到AB 的距离：−2b ，∴S △AOB =12×22b ×(−2b )=8，解得：b =−4．∴−2b =2，−24b =−4，∴抛物线y =ax 2+bx 的顶点A 的坐标为 (2，−4)．故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．19．y =-（x +2）2+11【分析】根据配方法即可求解．解：∵y =-x 2-4x -3=-（x 2+4x +4）+11=-（x +2）2+11，故答案为：y =-（x +2）2+11．【点拨】此题主要考查二次函数的顶点式，解题的关键是熟知配方法的运用．20．()1,4【分析】将A （0，3），B （2，3）代入抛物线y =-x 2+bx +c 的解析式，求出b 、c ，即可得解析式，从而得到顶点坐标．解：∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y =﹣x 2+bx +c 上两点，∴代入得：3423c b c =ìí-++=î，解得：b =2，c =3，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（1，4），故答案为（1，4）．【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21．1【分析】根据配方法进行整理即可得解．解：245y x x =-+2(44)1x x =-++2(2)1=-+x ，∴h =2，k =1，211h k \-=-=，故答案为：1．【点拨】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键．22．a≤1【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．解：∵由函数图象可知，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，∴a≤1，故答案为a≤1．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．312y y y <<．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-2，然后比较三个点离直线x=-2的远近得到y 1、y 2、y 3的大小关系．解： ∵二次函数的解析式为22(2)y x b =-++，∴抛物线的对称轴为直线x =−2，∵1(4,)A y -，B 2(3,)y -，3(3,)C y ，∴点C 离直线x =−2最远，其次为A 点，B 距离x =−2最近而抛物线开口向下，∴所以根据图象可知：312y y y << ；故答案为：312y y y <<.【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小.24．y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【分析】设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），令a ＝1即可．解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），把a ＝1代入，得y ＝x 2+2x ．故答案为y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．25．向上 2±【分析】根据二次函数的性质求解即可．解：∵二次函数解析式为21y x mx =-+，10a =>，∴抛物线的开口向上，抛物线对称轴为直线12x m =，∵该函数的图象的顶点在x 轴上，∴当12x m =时，22111042y m m =-+=，∴2m =±，故答案为：向上；±2．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．26． 3或1##1或3 2【分析】（1）先求出平移后的解析式2(2)52y x a a =-+-+-，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；（2）根据平移后的解析式，令x =0，求出与y 轴交点的函数，配方即可．解：（1）∵二次函数2241(2)5y x x x =--+=-++的图象先向右平移a 个单位再向下平移2a 个单位，∴2(2)52y x a a =-+-+-，∵平移后的二次函数图象经过点()1,1-，∴21(12)52a a -=-+-+-，解得1231a a ==，，故答案为3或1；（2）∵平移后的二次函数图象与y 轴交点，∴()22(02)52=-12y a a a =-+-+--+，∴与y 轴交点的纵坐标最大值为2．故答案为2．【点拨】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．27．①④##④①【分析】根据抛物线的对称轴，开口方向，与y 轴的交点位置，即可判断①，根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），B （1，0），即可求得对称轴，以及当1x =时，0y =，进而可以判断②③，根据顶点求得函数的最大值，即可判断④．解：Q 抛物线开口向下，0a \<，Q 对称轴0,02b x a a=-<<，0b \<，Q 抛物线与y 轴交于正半轴，0c \>，0abc \>，故①正确，Q 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），B （1，0），\对称轴为12b x a=-=-，则2b a =，当1x =，20y a b c a a c =++=++=，30a c \+=，故②不正确，由函数图象以及对称轴为1x =-，可知，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，故③不正确，Q 对称轴为1x =-，则当1x =-时，y a b c =-+取得最大值，\对于任意实数m ，总有2a b c am bm c -+³-+，即2a b am bm -³-，故④正确．故答案为：①④．【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．28．2【分析】根据观察图象得：抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴是直线12x =-，可得a ＜0，c ＞0，0b a =<，从而得到abc ＞0，故①正确；再由抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于点（－3，0），其对称轴是直线12x =-，可得抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴的另一个交点为（2，0），从而得到当x =1时，y ＞0，进而得到0a b c ++>，故②错误；再由（3，2y ）关于对称轴直线12x =-的点为（-4，2y ），在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，可得12y y >，故③正确，即可求解．解：观察图象得：抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵对称轴是直线12x =-，∴122b a -=-，即0b a =<，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于点（－3，0），其对称轴是直线12x =-，∴抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴的另一个交点为（2，0），∵抛物线开口向下，∴当x =1时，y ＞0，∴0a b c ++>，故②错误；根据题意得：（3，2y ）关于对称轴直线12x =-的点为（-4，2y ），∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，∴12y y >，故③正确，∴正确的有①③，共2个．故答案为：2【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．29．3个##三个【分析】由图象可知a ＜0，b ＞0，c ＞0，然后可判定①，根据二次函数的图象与x 轴的交点问题可判定②，根据对称轴公式可判定③，把x =-1代入函数解析式可判定④，进而问题可求解．解：由图象可得：a ＜0，对称轴为12b x a=-=，与x 轴的交点有2个，∴2b a =-，即20a b +=，240b ac ->，故②正确，③错误；∴b ＞0，c ＞0，∴0ac <，故①正确；当x =-1时，则有0a b c -+=，∴30a c +=，故④正确；∴正确的有①②④，共3个；故答案为3个．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．30．①②##②①【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①图象开口向下，与y 轴交于正半轴，能得到：0a <，0c >，0ac \<，故①正确；Q ②对称轴1x <-，0a <，12b a\-<-，2b a \<，20b a \-<，故②正确．③图象与x 轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知240b ac ->，故③错误．④当1x =-时，0y >，0a b c \-+>，故④错误；故答案为①②．【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．31．﹣1≤x ≤2【分析】根据图象可以直接回答，使得y 1≥y 2的自变量x 的取值范围就是直线y 1=kx+m 落在二次函数y 2=ax 2+bx+c 的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．解：根据图象可得出：当y 1≥y 2时，x 的取值范围是：﹣1≤x ≤2．故答案为：﹣1≤x ≤2．【点拨】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．32．四【分析】根据二次函数的图像求出a 的取值，再根据一次函数的图像与性质即可求解．解：∵二次函数22y ax =+的图象开口向下，∴0a <．又∵直线2,0,20y ax a =-->>，直线2y ax =-经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．故答案为：四．【点拨】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟知其图像与性质．33．二##2【分析】由抛物线的开口方向、与y 轴的交点以及对称轴，可确定a ，b ，c 的符号，继而可判定一次函数y ax bc =+的图象不经过哪个象限即可．解：Q 开口向上，0a \>，Q 与y 轴交于负半轴，0c \<，Q 对称轴在y 轴左侧，02b a\-<，又∵0a >，0b \>，0bc \<，\一次函数y ax bc =+的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．【点拨】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质．34．22y x x=+【分析】将抛物线223y x x =--的图像先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得．解：将抛物线2223(1)4y x x x =--=--先向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为2(1)43y x =--+，即为2(1)1y x =--，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为2(12)1y x =-+-，即为22(1)12y x x x =+-=+，则原抛物线的解析式为22y x x =+，故答案为：22y x x =+．【点拨】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．35．2(3)2y x =--【分析】将（1，2）代入y =x 2+2x +c ，解得c =-1，设将抛物线y =x 2+2x -1=（x +1）2-2，向右平移m 个单位，则平移后的抛物线解析式是y =（x +1-m ）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m 的方程，通过解方程求得m 的值即可．解：将（1，2）代入y =x 2+2x +c ，得12+2×1+c =2，解得c =-1．设将抛物线y =x 2+2x -1=（x +1）2-2，向右平移m 个单位，则平移后的抛物线解析式是y =（x +1-m ）2-2，将（1，2）代入，得（1+1-m ）2-2=2．。

人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典练习题(含答案解析)(3)

一、选择题1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④A解析：A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x＝3122ba-=-，则2a+b＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故说法正确；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1<y2，故说法错误；④由图示知，当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7C 解析：C【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝13；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝13，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．3．如图等边ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s 的速度向点C运动，点P沿A B C--以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若APQ的面积为()2cmS，点Q的运动时间为()s t，则下列最能反映S与t之间大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．D解析：D 【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解．【详解】解：当点P 在AB 边运动时，21133sin 22222S AQ AP A t t t =⨯=⨯⨯⨯=，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 4．下列函数关系式中，属于二次函数的是（） A ．21y x =+ B ．21y x x=+C ．()()221y x x x=+-- D ．21y x =-D解析：D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意；故答案为：D ．【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．5．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（） A ．3 B ．2C ．1D ．0A解析：A 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．解：如图：①如图所示，函数图象关于y 轴对称，故①符合题意． ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意． ③如图所示，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当-2＜a ＜-1时，关于x 的方程x 2-2|x|-1=a 有4个实数根，故④符合题意．综上所述，正确的结论有3个．故选：A ．【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．6．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C 【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向下 ∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43c =；其中正确的有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．1C解析：C 【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1， ∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确； ∵当x=-1时，y=0， ∴a-b+c=0，而b=-2a ，∴a+2a+c=0，即c=-3a ， ∴a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c ，所以③正确； a+4b-2c=a-8a+6a=-a ，所以④错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（） A ．123y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．312y y y >>C解析：C 【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-， ∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上， ∴231y y y >>．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．1或2个C解析：C 【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0，△=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2，∵a ＞2， ∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．10．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（） A ．3a 1-<<- B ．2a 1-<< C ．1a 0-<< D ．2a 4<<C解析：C 【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题11．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为解析：2710y x x =++【分析】先把2y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14-)，把点(12-，14-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94-)，所以平移后得到的抛物线的解析式为279()24y x =+-，即2710y x x =++．故答案为：2710y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______．表格给出的信息可看出对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向上与x 轴交于（−10）（30）两点则y>0时x 的取值范围即可求出【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向解析：1x <-或3x > 【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x 的取值范围即可求出．【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x 的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．13．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案．【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点．故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．14．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()b a b c a ++的值为______．＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算b a （a ＋b ＋c ）的值．【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2b a ＝−1， ∴b a＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3，∴b a（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．17．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，则代数式a 2﹣ab +b 2的最小值为_____．【分析】由韦达定理得出ab 与m 的关系式由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b 和ab 整体代入化简然后再配方结合m 的取值范围可得出答案【详解】∵关于x 的解析：916【分析】由韦达定理得出a ，b 与m 的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围，再对代数式a 2﹣ab +b 2配方并将a +b 和ab 整体代入化简，然后再配方，结合m 的取值范围可得出答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，∴a +b ＝2m +1，ab ＝m 2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m +1)]2﹣4×1×(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣4m 2+4＝4m +5≥0，∴m ≥54-． ∴a 2﹣ab +b 2 ＝(a +b )2﹣3ab＝(2m +1)2﹣3(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣3m 2+3＝m 2+4m +4＝(m +2)2，∴a 2﹣ab +b 2的最小值为：2592416⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．故答案为：916．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点．18．已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的,a b 的值：a =__________，b =_________________【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0然后a 取一个不为0的实数再确定对应的b 的值【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点∴△=b2-4a=0若a=1则b 可解析：12【分析】根据判别式的意义得到△=b 2-4a=0，然后a 取一个不为0的实数，再确定对应的b 的值．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点，∴△=b 2-4a=0，若a=1，则b 可取2．故答案为1，2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，20．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x解析：①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）∵对称轴为x=−2b a＝1，从而可知：2a+b=0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）∴△=b 2-4ac ＞0，而②b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，所以，结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，……，n A 和1C ，2C ，3C ，……，n C 均在抛物线2y x 上，点1B ，2B ，3B ，……，n B 在y 轴的正半轴上，若四边形111OA B C ，四边形1222B A B C ，四边形2333B A B C ，……，四边形1n n n n B A B C 都是正方形.（1）分别写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）分别求出正方形2333B A B C 和正方形1n n n n B A B C -的面积.解析：（1）1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)（2）223⨯ ，22n ⨯．【分析】（1）直接根据图象以及二次函数的解析式求出点的坐标即可；（2）表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律即可；【详解】解：（1）∵四边形111A OC B 是正方形且关于y 轴对称，∴ ∠11AOB =45°，又∵点1A 在二次函数图象上，设1A (x ，x)，∴2x x = 且x ＞0，∴x=1即点1A (1，1)，∴1OA 2 ，12OB = ，∴1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)；（2）根据正方形的性质，1OA 与y 轴的夹角为45°，故直线1OA 解析式为y x =，∵1B (0，2)，求得直线11C B 的解析式为2y x =+，进而求得2A (2，4)，2C (-2，4)，2B (0，6)，同时求得3B (0，12) ，于是12OB =，124B B =，236B B =，正方形111OA B C 面积=12222⨯⨯=，正方形1222B A B C 面积=21448=222⨯⨯=⨯，正方形2333B A B C 面积=216618=232⨯⨯=⨯，正方形1n n n n B A B C -的面积=212222n n n ⨯⨯=⨯；【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律是解题的关键；22．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？解析：（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，2810600106804800W x x x x210x 346760 当x 34=时，W 有最大值6760元因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元．（2）由（1）可知210346760W x∴函数图像开口向下，对称轴为34x =，∵最高销售单价不得超过30元，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时210303467606600W，因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m 的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上? ． A ．y ＝x ﹣1 B ．y ＝﹣x ﹣1 C ．y ＝﹣（x+1）2 D ．y ＝﹣（x ﹣1）2解析：（1）见解析；（2）D【分析】（1）根据已知函数解析式得到抛物线与x 轴的两点交点横坐标：x 1=1，x 2=m ，据此证得结论；（2）根据顶点式先得到抛物线的顶点坐标为（-m ，m ），然后分别代入四个解析式中看是否满足解析式，再进行判断．【详解】（1）证明：当y ＝0时，（x ﹣1）（x ﹣m ）＝0．解得x 1＝1，x 2＝m ．当m ＝1时，方程有两个相等的实数根；当m≠1时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）＝（x ﹣12m +）2+m ﹣2(1)4m +得到该抛物线的顶点坐标是（12m +，m ﹣2(1)4m +），而点（12m +，m ﹣2(1)4m +）满足y ＝﹣（x ﹣1）2，不满足y ＝x ﹣1，y ＝﹣x ﹣1，y ＝﹣（x+1）2，∴点（12m +，m ﹣2(1)4m +）在函数y ＝﹣（x ﹣1）2上．故答案是：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识点，需要掌握二次函数与一元二次方程间的关系，二次函数三种形式．24．如图，Rt △OAB 中,∠OAB=90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移2个单位长度后得△11AA B ．(1)求以A 为顶点，且经过点1B 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、 C 的坐标．解析：（1）()2122y x =-；（2）()0,2D ，(35,35C 【分析】（1）根据三角形的边长求出点A 和点1B 的坐标，设抛物线解析式为()22y a x =-，代入点1B 坐标求出解析式；（2）令0x =，求出y 的值，得到点D 的坐标，再求出直线OB 的解析式和抛物线联立求出点C 的坐标．【详解】解：∵2OA =，∴()2,0A ，∵14OA =，112A B =，∴()14,2B ，设抛物线解析式为()22y a x =-，把点()14,2B 代入，得42a =，解得12a =， ∴()2122y x =-；（2）令0x =，得1422y =⨯=， ∴()0,2D ，设直线OB 解析式为y kx =，把点()2,2B 代入，得到22k =，解得1k =，∴直线OB 解析式为y x =，联立直线和抛物线的解析式，得()2122x x -=，解得35x =±，根据点C 的位置，取35x =-，∴()35,35C --．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法．25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②最大值928，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形=22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)；②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得：当t= 32时，S 有最大值，最大值为278， ∵OB=3，OC=3，∴BC= 2232OB OC +=，∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC 的距离的最大值为272928832⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n 的取值范围是______．②若向右平移，则n 的取值范围是______．解析：（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤ 【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解；（2）将点B 坐标代入可求解；（3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx -3的对称轴为直线x =22m m=-1，AB=4， ∴点A （-3，0），点B （1，0），故答案为：x =-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y =mx 2+2mx -3过点B （1，0），∴0=m +2m -3，∴m =1，∴抛物线的解析式：y =x 2+2x -3，（3）如图，∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，把x =-3，y =0代入解析式可得：0=（-3+1+n ）2-4，∴n =0（舍去），n =4，∴向左平移，则n 的取值范围是0＜n ≤4；设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，把x =0，y =-3代入解析式可得：-3=（1-n ）2-4，∴n =0（舍去），n =2，∴向右平移，则n 的取值范围是0＜n ≤2，故答案为：0＜n ≤4；0＜n ≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．27．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货。

人教版-数学-九年级上册二次函数的图像与性质课后练习一及详解

学科：数学专题：二次函数的图像与性质重难点易错点解析题一：题面：已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴为21-=x .下列结论中，正确的是( )A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c >+D ．42a c b +<满分冲刺题一：题面：已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b -2a =0；②abc ＜0；③a -2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题二：题面：如图，经过点A (0，－4)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点B (－2，0)和C ，O 为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 向上平移72个单位长度、再向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；思维拓展题面：求函数y=|x2-4|-3x在-2≤x≤5中的最大值和最小值．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：D.详解：A ．∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0.∵二次函数的图象与y 轴交于负半轴，∴c ＜0.∵二次函数的图象对称轴在y 轴左侧，∴2b a-＜0.∴b ＞0.∴0abc <.故本选项错误. B ．∵二次函数的图象对称轴：122b x a =-=-，∴a b =，0a b >+.故本选项错误. C ．从图象可知，当1x =时，20y a bc b c <=++=+.故本选项错误.D ．∵二次函数的图象对称轴为12x =-，与x 轴的一个交点的取值范围为x 1＞1， ∴二次函数的图象与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2. ∴当2x =-时，420y a b c <=-+，即42a c <b +.故本选项正确. 故选D.满分冲刺题一：答案：B.详解：根据图象可得：a ＞0，c <0，对称轴：02b x >a=-. ①∵它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)，∴对称轴是x =1， ∴=12b a-.∴b +2a =0.故命题①错误. ②∵a ＞0，02b >a -，∴b ＜0. 又c <0，∴abc ＞0.故命题②错误.③法一：由题目可知：当x = -1时，a -b +c =0当x =3时，9a +3b +c =0∴3(a -b +c ) +(9a +3b +c )=12a +4c =0即3a +c =0a -2b +4c =a +4a +4c =5774()4(3)4(0)70444a c a c a a a +=+-=-=-<.故命题③正确. 法二：∵b +2a =0，∴b = -2a∵x 1x 2=c a= -3 ∴c = -3a ∴a -2b +4c = -7a∵a >0 ∴a -2b +4c = -7a <0. 故命题③正确.④根据图示知，当x =4时，y ＞0，∴16a +4b +c ＞0.由①知，b = -2a ，∴8a +c ＞0.故命题④正确.∴正确的命题为：③④两个.故选B.题二：答案：(1)y =12x 2－x －4. (2)0＜m ＜52 . 详解：(1)将A (0，－4)、B (－2，0)代入抛物线y =12x 2+bx +c 中，得： 04220c b c +=-⎧⎨-+=⎩，解得，14b c =-⎧⎨=-⎩. ∴抛物线的解析式：y =12x 2－x －4. (2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：217()()422y x m x m =+-+-+，即：22111(1)222y x m x m m =+-+--.它的顶点坐标P (1－m ，－1). 由(1)的抛物线解析式可得：C (4，0).∴直线AB ：y = －2x -4；直线AC ：y =x －4.当点P 在直线AB 上时，－2(1－m )－4=－1，解得：m =52；当点P 在直线AC 上时，(1－m ) －4=－1，解得：m =－2；又∵m ＞0，∴当点P 在△ABC 内时，0＜m ＜52.。

人教版数学九年级上学期课时练习-二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质(知识讲解)(人教版)

专题22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．关于函数y=（500﹣10x ）（40+x ），下列说法不正确的是（） A ．y 是x 的二次函数 B ．二次项系数是﹣10 C ．一次项是100D ．常数项是200003．下列函数关系中，是二次函数的是（）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系 4．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（） A ．y=a 2x +bx+c B ．x 2+y -2=0C ．y 2-ax=-2D ．2x -y 2+1=0知识点二、二次函数的参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．当函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（）A ．1a =B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =-7．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对8．下列结论正确的是（） A ．y=ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数知识点三、二次函数的解析式9．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（）A ．230(030)y x x x =-<<B ．230(030)y x x x =-+<C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-++C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-11．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）模型的是（） A ．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B ．正方形周长与边长之间的关系 C ．正方形面积和正方形边长之间的关系 D ．圆的周长与半径之间的关系12．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．y ＝-10 x 2-560x+7350B ．y ＝-10 x 2+560x -7350C ．y ＝-10 x 2+350xD ．y ＝-10 x 2+350x -7350二、填空题知识点一、二次函数的判断13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列函数中：①y=－x 2；①y=2x ；①y=22+x 2－x 3；①m=3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).15．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．知识点二、二次函数的参数17．定义：由a ，b 构造的二次函数()2y ax a b x b =+++叫做一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax ＋b 叫做二次函数()2y ax a b x b =+++的“本源函数”（a ，b 为常数，且0a ≠）．若一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”是231y ax x a =-++，那么二次函数231y ax x a =-++的“本源函数”是______．18．如果函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，那么m =____．19．当m____________________________时，函数22(23)(2)y m m x m x m =--+-+是二次函数．20．点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________知识点三、二次函数的解析式21．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 与n 的解析式是______．22．如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <≤的函数关系是______．23．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________． 24．二次函数()()y 412x x 3=-+-的一般形式2y ax bx c =++是________．三、解答题25．已知函数y ＝(m 2－m )x 2＋(m －1)x ＋2－2m . (1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m 的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？26．已知函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，求不等式141123k k -+≥-的解集．27．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y (台)与售价x (万元/台)之间存在函数关系：24y x =-+．（1）设这种摘果机一期销售的利润为1W (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？参考答案1．C解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．2．C【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可.解：①y=（500﹣10x）（40+x）=-10x2+100x+20000，①y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000，①A、B、D正确，C错误.故选C.【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可.3．D【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；B、t=sv，当s≠0时，是反比例函数，错误；C、C=3a，是正比例函数，错误；D、S=13πR2，是二次函数，正确．故选D．【点拨】本题考查二次函数的定义．4．B解：利用二次函数的定义，可知：A.y=a2x+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；B.x2+y-2=0可变为y=2x+2，是二次函数，故此选项正确；C.y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；D.x2-y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；故选B．5．A 【分析】利用二次函数定义进行解答即可．解：由题意得：a ﹣1≠0，解得：a ≠1，故选：A ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．D 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．解：①函数21(1)23ay a x x +=-++ 是二次函数，①a -1≠0，2a 1+=2， ①a≠1，21a =， ①1a =-，故选D ．【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．7．B 【分析】令x 的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．解：由题意得：m 2-6m -5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1， ①m=7，故选：B ．【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0． 8．B 【分析】根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题．解：A 、应强调a 是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．【点拨】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义．9．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x （0＜x＜30）．故选：C．【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．10．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．解：每件的利润为（x-21），①y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7350．故选B．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．11．C【分析】利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可．解：A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型；B 、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c模型；C 、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c 模型；D 、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c 模型．故选C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化和图象几个方面分析．12．B解：根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x -21）（350－10x ）=－10x 2＋560x －7350，故选B.13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．①① 【分析】一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可．解：①y ＝－x 2，二次项系数为－1，是二次函数；①y ＝2x ，是一次函数；①y ＝22＋x 2－x 3，含自变量的三次方，不是二次函数；①m ＝3－t －t 2，是二次函数. 故填①①．【点拨】本题考查二次函数的定义．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a 是否为0．15．①①① 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．解：y 是x 的二次函数的有①，①，①．故答案是：①，①，①．【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）．16． 3 0 【分析】根据二次函数的定义解答即可．解：二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．故答案是：3；0．【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0．17．2-1y x =﹣【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数231y ax x a =-++的本源函数．解：由题意得3=++1=a b a b ⎧⎨⎩﹣解得=2=1a b ⎧⎨⎩﹣﹣①函数231y ax x a =-++的本源函数是2-1y x =﹣．故答案为：2-1y x =﹣．【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．18．2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m 的值．解：①函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，①m 2−m ＝2，（m−2）（m ＋1）＝0，解得：m 1＝2，m 2＝−1，①m ＋1≠0，①m≠−1，故m ＝2．故答案为：2．【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m 的方程是解题关键．19．不等于1-和3【分析】我们一般把形如2y ax bx c =++(a b c 、、为常数)的函数称之为二次函数，其中二次项系数不能为0，据此进一步求解即可.解：根据二次函数的定义可得：2230m m --≠，即：()()130m m +-≠，①1m ≠-，且3m ≠，即当m 不等于1-和3时，原函数为二次函数，故答案为：不等于1-和3.【点拨】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．6【分析】把点(),1m 代入221y x x =--即可求得22m m -值，将236m m -变形()232m m -，代入即可．解：①点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上，①2121m m =--则222m m -=．①()223632326m m m m -=-=⨯=故答案为：6．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．21．m =2n 2−n【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n 层正方形的个数，即可推出当有n 层时总的正方形个数．解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），第二层的正方形个数为（4×1＋1），第三层的正方形个数为（4×2＋1），……第n 层的个数为：[4×（n −1）＋1]，第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 为：1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n −2）＋1]＋[4×（n −1）＋1]＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n −2）＋1＋4×（n −1）＋1＝n ＋4（1＋2＋3＋…＋n −2＋n −1）＝n ＋4()()1112n n +--⨯ ＝n ＋2n （n −1）＝2n 2−n ．即：m =2n 2−n ．故答案为：m =2n 2−n【点拨】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n 层时小正方形共增加了4（n −1）＋1个，将n 层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．22．2100y x =-+##2100y x =-【分析】由已知图形可以分析得到矩形AEGF 的长AF 为(10)x +cm ，宽AE 为(10)x -cm ，由面积公式即可计算得到正确答案．解：①正方形ABCD 的边长是10cm ，且BE DF =①矩形AEGF 的长AF 的长为(10)x +cm ，宽AE 的长为(10)x -cm①矩形AEGF 的面积为：()()21010=100y AF AE x x x ==+--+故答案为：2100y x =-+【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．23．22()1y x =-+【分析】利用配方法整理即可得解．解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点拨】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．24．2y 8x 20x 12=-++【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式．解：y ＝−4（1＋2x ）（x−3）＝−8x 2＋20x ＋12，故答案为y ＝−8x 2＋20x ＋12．【点拨】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．25．(1). m ≠0且m ≠1.(2). m ＝0.(3). 不可能试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．解：(1)①这个函数是二次函数，①m 2－m ≠0，①m (m －1)≠0，①m ≠0且m ≠1.(2)①这个函数是一次函数，①①m ＝0.(3)不可能．①当m ＝0时，y ＝－x ＋2，①不可能是正比例函数．26．15k ≤且13k ≠-．【分析】首先利用二次函数的定义得出k 不能取的值，进而解不等式得出答案.解：∵函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，∴2910k -≠，解得：13k ≠±， 141123k k -+≥- ()()312416k k -≥+-，解得：15k ≤，故不等式141123k k -+≥-的解集为：15k ≤且13k ≠-．【点拨】此题主要考查了二次函数的定义以及解不等式，正确解不等式是解题关键. 27．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量，列出函数关系式，再将132W =代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）⨯销售量-7，列出函数关系式，再将263W =代入函数关系式得出方程求解即得．解：（1）根据题意列出函数关系式如下：21(6)(6)(24)(15)81W x y x x x =-⋅=--+=--+当132W =时，2(15)8132x --+=，解得18x =，222x =．①要抢占市场份额①8x =．答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为(5)x -万元，销售量24y x =-+．依据题意得22(5)(24)729127W x x x x =--+-=-+-，当263W =时，22912763x x -+-=，解得110x =，219x =．①要继续保持扩大销售量的战略①10x =答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量．。

【精品】人教版九年级数学上册22.2 第2课时二次函数y=ax2bxc(a≠0)中的不等关系同步测试题及解析

人教版九年级数学上册第22章二次函数二次函数的图象和性质二次函数y=ax2的图象和性质同步训练题含答

人教版九年级数学上册第22章二次函数二次函数的图象和性质二次函数y ＝ax2的图象和性质同步训练题含答案22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质同步训练题1. 抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是( ) A ．启齿向下 B ．对称轴是y 轴 C ．都有最高点 D ．y 随x 的增大而增大2．有抛物线①y ＝－3x 2，②y ＝23x 2，③y ＝43x 2，它们的启齿由大到小的顺序是( ) A ．②＞③＞① B ．①＞②＞③ C ．①＞③＞② D ．②＞①＞③3. 如图，一座拱桥外形为抛物线，其函数解析式为y ＝－14x 2.当水位线在AB 位置时，水面宽12m ，这时水面离桥顶的高度h 是( )A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m4. 假定二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2,4)，那么该图象必经过点( )A ．(2,4)B ．(－2，－4)C ．(－4,2)D ．(4，－2)5. 关于函数y ＝3x 2的性质表述正确的选项是( )A ．无论x 为任何实数，y 的值总为正B ．当x 值增大时，y 的值也增大C ．它的图象关于y 轴对称D ．它的图象在第一、三象限6. a≠0，在同不时角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有能够是( )7．抛物线y ＝ax 2启齿向下，那么当x 1＞x 2＞0时，对应的函数值y 1与y 2的大小关系为 .8．二次函数y ＝(k －1)xk 2－3k ＋2的图象启齿向上，那么k ＝ .9．点(x 1，－7)和点(x 2，－7)(x 1≠x 2)均在抛物线y ＝ax 2上，那么当x ＝x 1＋x 2时，y 的值是 .10. 抛物线y ＝－5x 2的启齿向，对称轴是轴，图象有最点．11．抛物线y ＝12x 2与y ＝－12x 2的外形，启齿方向，它们关于轴对称． 12．抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－2)，那么抛物线的解析式为 .13. 函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值．(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？14. 如下图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB 时，桥下水面宽度为20m ，水位上升3m 就抵达警戒线CD ，这时桥下水面宽度为10m.(1)树立适当的坐标系，求抛物线的关系式及B 、D 两点的坐标；(2)假定洪水到来时水位以0.2m/h 的速度上升，从正常水位末尾，再过几小时水就能抵达桥面？15. y ＝(m －3)xm 2－3m －2为x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)当m 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)当m 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？16. 抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)判别点B(－1，－4)能否在此抛物线上；(2)求此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．17. 一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点(－1，19)． (1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)指出图象的外形，当x ＞0时，y 随x 的变化状况；(4)指出函数的最大值或最小值．18. 如下图，有一城门洞呈抛物线形，拱高4m(最高点到空中的距离)，把它放在平面直角坐标系中，其解析式为y ＝－x 2.(1)求城门洞最宽处AB 的长；(2)如今有一高2.6m ，宽2.2m 的小型运货车，问它能否平安经过此城门？参考答案：1---6 BADAC C7. y 1＜y 28. 39. 010. 下 y 高11. 相反相反 x12. y ＝－12x 2 13. 解： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2或m ＝－3，m≠－2∴m ＝2或m ＝－3.(2)依题意得m ＋2＞0，即m ＞－2，∴取m ＝2.∴这个最低点的坐标为(0,0)．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(3)假定函数有最大值，那么抛物线启齿向下，∴m ＋2＜0，即m ＜－2，∴取m ＝－3.14. (1)树立如下图的平面直角坐标系，那么D 点的横坐标为5，B 点的横坐标为10，EF ＝3.设OE ＝h ，那么OF ＝h －3，那么B(10，－h)，D(5,3－h)．设抛物线的关系式为y ＝ax 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 100a ＝－h 25a ＝3－h 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－125h ＝4，∴y ＝－125x 2，B(10，－4)，D(5，－1)．(2)由(1)知OE ＝4,4÷0.2＝20(h)，∴再过20小时水就能抵达桥面．15. 解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －2＝2m －3≠0解得m ＝－1或4即m 的值为－1或4(2)当m ＝－1时，抛物线有最高点(0,0)；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(3)当m ＝4时，函数有最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．16. 解：由得a ＝－2，故y ＝－2x 2；(1)当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)2＝－2≠－4，故(－1，－4)不在此抛物线上．(2)(－3，－6)(3，－6)17. 解：(1)设此二次函数的解析式为y ＝ax 2，把点(－1，19)代入y ＝ax 2中得：19＝a×(－1)2，∴a ＝19，∴此二次函数的解析式为y ＝19x 2. (2)图象略．(3)图象的外形是抛物线，当x ＞0时，y 随x 增大而增大．(4)函数有小值0.18. 解：(1)∵点O 到AB 的距离为4m ，∴A 、B 两点的纵坐标都为－4，∴－4＝－x 2，x ＝±2∴A(－2，－4)，B(2，－4)∴AB ＝4即城门洞最宽处AB 的长为4m.(2)如答图所示，设小货车行驶到城门洞正中，用矩形CDEF 表示小货车的横截面，那么E、F到AB的距离均为2.6m，F点的横坐标为1.1，设CF的延伸线交抛物线于G，G点的横坐标为1.1，纵坐标为－1.12＝－1.21，G到AB的距离为4－|－1.21|＝2.79＞2.6，所以小货车能平安经过此城门.。

部编数学九年级上册二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)最值(基础篇)(专项练习)(人教版)含答案

专题22.24 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠最值（基础篇）（专项练习）一、单选题1．二次函数223y x x =++的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知二次函数的图象（0 3.4x ££）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最大值2，无最小值B ．有最大值2，有最小值1.5C ．有最大值2，有最小值2-D ．有最大值1.5，有最小值2-3．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的开口向下，顶点坐标为()3,2-，那么该抛物线有（）A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值2D ．最大值24．已知512x ££，那么函数243y x x =-+-的最大值为( )A ．0B ．34C ．1D ．525．在二次函数y =x2-2x -3中，当03x ££时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，-4B ．0，-3C ．-3，-4D ．0，06．图中是有相同最小值的两条抛物线，则下列关系中正确的是（）A ．k ＜nB ．h=mC ．k+n=0D ．h ＜0，m ＞07．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x 2+60x+800,则利润获得最多为( )A ．15元B ．400元C ．800元D ．1250元8．已知二次函数2243y x x =-++，当12x -££时，y 的取值范围是（）A ．5y £B ．3y £C ．33y -££D ．35y -££9．已知22223y ax ax a =+++二次函数（其中x 是自变量），当2x ³时，y 随x 的增大而减小，且21x -££时，y 的最大值为9，则a 的值为( )A ．2或32-B ．C ．32-D ．110．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-，汽车刹车后到停下来所用的时间t 是（）A ．2.5sB ．1.5sC ．1.25sD ．不能确定11．已知抛物线y ＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3，当﹣1≤x ≤3时，函数最大值为1，则a 值为（）A ．12-B ．13-C ．12-或13-D ．﹣1或13-12．关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，若x 2＝2x 1，则4b ﹣3ac 的最大值是（）A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题13．已知二次函数2(1)3y x =-+，当x ＝_______时，y 取得最小值．14．已知抛物线232y x x =-+上任意一点(),P m n ，则m n -的最大值为______．15．若二次函数y ＝x 2﹣4x +2m 的最小值是0，则m ＝_____．16．当03x ……时，二次函数223y x x =-+有最大值m ，则m 的值为__．17．已知抛物线()2121y x =-+，当03x <<时，y 的取值范围是______________18．已知点P (2，3)、Q (6，1)，点A (m ，n )为线段PQ 上的一个动点．在点A 从点Q 运动至点P 的过程中，当mn 取最大值时，则点A 的坐标为_______．19．若2230x x y ---=，且03x <<，则y 的取值范围为______．20．已知二次函数y =ax 2+2ax +3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且−2≤x ≤1时，y 的最大值为21，则a 的值为________．21．已知二次函数22()1y x m m =--++的最大值为4，且对称轴在y 轴的左侧，则实数m 的值为_________．22．二次函数y ＝x 2﹣2mx +2m +3的顶点纵坐标为p ，当m ≥2时，p 的最大值为 _____．23．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若四边形EFGH 是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD 的面积的最大值是___．24．如图，点A 是抛物线y ＝2x 2﹣3x +2上的动点．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________．三、解答题25．已知：二次函数243y xx =-+．(1)将243y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式．(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．26．2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市场调查发现，该商品的周销售量y （件）关于售价x （元/件）的一次函数为y ＝﹣2x +200，当售价为40元时，周销售利润为2400元．(1)该商品每件的进价是多少元？(2)当每件售价x 为多少时，周售价利润w 最大？并求出此时的最大利润．27．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于()1,0A ，()2,3C -两点，与y 轴交于点N ．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求直线AC 的函数关系式；(3)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．求APC △面积的最大值．参考答案1．B【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．解：2223(1)2y x x x =++=++Q ，∴当x =−1时，二次函数223y x x =++取得最小值为2．故选：B ．【点拨】此题考查二次函数的最值，解题关键在于化为顶点式．2．C【分析】直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可．解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），∵此抛物线开口向下，∴此函数有最大值，最大值为2；∵0≤x≤3.4，∴当x=3.4时，函数最小值为-2．故选：C ．【点拨】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．3．D【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为()3,2-，可直接做出判断．解：∵抛物线开口向下，其顶点坐标为()3,2-，∴该抛物线有最大值2，故选：D ．【点拨】本题考查了求二次函数最大值的方法，解答本题的关键是熟练掌握求二次函数最大值的3种方法，分别为：第一种可由图像直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．4．C【分析】将二次函数化为顶点式得出其增减性即可得．解：2243(2)1y x x x =-+-=--+则此二次函数的增减性为：当12x ££时，y 随x 的增大而增大；当522x <£时，y 随x 的增大而减小因此，当2x =时，y 取得最大值，最大值为1故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质（增减性），依据二次函数的解析式得出其增减性是解题关键．5．A【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．解：∵()222314y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴是1x =，则当1x =时，1234y =--=-，是最小值；当3x =时，9630y =--=是最大值．故选：A ．【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．6．D【分析】根据顶点的位置确定正确的选项即可．解：∵两条抛物线具有相同的最小值，∴k=n ，∵顶点分别位于三和四象限，∴h ＜0，m ＞0，故选：D ．【点拨】本题考查的知识点是二次函数的最值，掌握二次函数的图像及其性质是解此题的关键．7．D【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润.解：y=-2x 2+60x+800=-2（x-15）2+1250∵-2＜0故当x=15时，y 有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选:D.【点拨】此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键.8．D【分析】先求出二次函数的对称轴为直线1x =，然后根据x 的取值范围求出y 的最大值和最小值，即可得出y 的取值范围．解：∵()22243215y x x x =-++=--+，∴二次函数的对称轴为直线x =1，∵20a =-＜，∴当1x =时，函数取最大值，且最大值为5y =，∵在12x -££的范围内，1x =-时，距离对称轴最远，∴1x =-时，函数取最小值，且最小值为：()221153y =-´--+=-，∴y 的取值范围是：35y -££，故D 正确．故选：D ．【点拨】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出函数的最大值5，最小值-3，是解题的关键．9．C【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且-2≤x ≤1时，y 的最大值为9，可以判断a 的正负，得到关于a 的方程，从而可以求得a 的值．解：∵二次函数y =ax 2+2ax +2a 2+3=a （x +1）2+2a 2-a +3，∴该函数的对称轴为直线x =﹣1，∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最大值为9，∴a ＜0，当x =﹣1时，y =9，∴9=2a 2-a +3，解得，a 1=﹣32，a 2=2（舍去），故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．C【分析】根据题干可知，汽车刹车后停下来的那一刻行驶距离s 达到最大，所以求s 最大时所用的时间即为汽车刹车后停下来的时间．解：Q 函数解析式是2156s t t =-\当汽车刹车后到停下的那一刻时，s 最大\225756(68541t s t t =--+=-\当54t =时，即 1.25t =s 时，汽车刹车后停下来．故选：C ．【点拨】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．11．D【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．解：2(21)3y x a x =+--Q ，\图象开口向上，对称轴为直线212a x -=-，∵﹣1≤x ≤3，∴当2112a --时，即12a -…，3x =时有最大值1，9(21)331a \+-´-=，13a \=-，当2112a --时，即12-a …，1x =-时有最大值1，1(21)(1)31a \+-´--=，1a \=-，1a \=-或13-，故选：D ．【点拨】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．12．D【分析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-b a ，由x 2=2x 1得出3x 1=-b a ，即x 1=-3b a，可解出x 2，由两根之积x 1x 2=c a 可得c =229b a ，代入代数式即可得到4b -3ac ==4b -223b =-23（b -3）2+6，从而求得4b -3ac 的最大值是6．解：∵关于x 的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1、x 2，∴x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a，∵x 2=2x 1，∴3x 1=-b a ，即x 1=-3b a，∴x 2=-23b a，∴c a =3b a g 23b a =2229b a ，∴9ac =2b 2，∴c =229b a∴4b -3ac =4b -3a •229b a=4b -223b =-23（b -3）2+6，∵-23＜0，∴4b -3ac 的最大值是6，故选：D ．【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是根据两根之和和两根之积，找到a 、b 、c 之间的关系，再代入所求的式子运用配方法配方求出最大值．13．1【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．解：2(1)3y x =-+Q ，\该抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口方向向上，\当1x =时，y 取得最小值，故答案为：1．【点拨】本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．14．2【分析】把点(,)P m n 代入抛物线的解析式，得到232n m m =-+，可得242m n m m -=-+-，得到m n -关于m 的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．解：Q 点(,)P m n 在抛物线233y x x =-+上，233n m m \=-+，22(32)(2)2m n m m m m \-=--+=--+，\当2m =时，m n -有最大值2．故答案为：2．【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，整理成用m 表示m n -的形式是解题的关键．15．2【分析】首先将二次函数y ＝x 2﹣4x +2m 配方成顶点式()2224y x m =-+-，然后得到240m -=，解方程即可求出m 的值．解： ∵将二次函数y ＝x 2﹣4x +2m 配方成顶点式为()2224y x m =-+-，∵最小值是0，∴240m -=，解得：2m =．故答案为：2．【点拨】此题考查了二次函数的最值，解题的关键是把二次函数y ＝x 2﹣4x +2m 配方成顶点式()2224y x m =-+-得到最小值．16．6【分析】现将二次函数解析式化为顶点式，从而得到当01x ……时，y 随x 的增大而减小，当13x <…时，y 随x 的增大而增大，即可求解．解：2223(1)2y x x x =-+=-+Q ，\抛物线的对称轴为：直线1x =，10a =>Q ，\当01x ……时，y 随x 的增大而减小，当13x <…时，y 随x 的增大而增大，当0x =时，3y =，当1x =时，2y =，当3x =时，6y =，所以m 的值为6故答案为：6．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，能将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键．17．1≤y ＜9【分析】根据二次函数的图象和性质求出抛物线在03x <<上的最大值和最小值即可．解：20a =>Q∴抛物线开口向上∴当1x =时，y 有最小值，最小值为1当3x =时，y 有最大值，最小值为()223119y =-+=∴当03x <<时，y 的取值范围是19y £<故答案为：19y £<．【点拨】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值和最小值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．18．(4，2)【分析】先求得直线PQ 的解析式，得到n =-12m +4，推出21(4)82mn m =--+，再利用二次函数的性质即可求解．解：设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，代入P (2，3)、O (6，1)，得2361k b k b +=ìí+=î，解得：124k b ì=-ïíï=î，∴直线PQ 的解析式为y =-12x +4，∵点A (m ，n )为线段PQ 上的一个动点．∴n =-12m +4，∴22111(4)4(4)8222mn m m m m m =-+=-+=--+，∵-12<0，∴当m =4时，mn 有最大值，最大值为8，∴n =-12×4+4=2，∴点A 的坐标为(4，2)，故答案为：(4，2)．【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，利用二次函数的性质是解题的关键．19．40y -£<【分析】将等式化为二次函数解析式的形式，再根据二次函数的性质求y 的取值范围即可；解：2230x x y ---=，()222314y x x x =--=--，二次函数的对称轴为x =1，开口向上，当03x <<时，函数在x =1时取得最小值-4，函数在x =3时取得最大值0，∴40y -£<，故答案为：40y -£<；【点拨】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键．20．2【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，即可得到a 的正负情况，最后根据当-2≤x ≤1时，y 的最大值为21和二次函数的性质，可以求得a 的值．解：∵二次函数y =ax 2+2ax +3a 2+3=a （x +1）2+3a 2-a +3（其中x 是自变量），∴该函数的对称轴为直线x =-1，∵当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，又∵当-2≤x ≤1时，y 的最大值为21，∴x =1时，y =21，即21=a （1+1）2+3a 2-a +3，解得，a 1=-3（舍去），a 2=2，由上可得，a 的值是2，故答案为：2．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．【分析】先由顶点式的最大值=4得到m 的值，再根据对称轴在y 轴的左侧进行排除即可得到正确的结果．解：∵22()1y x m m =--++的最大值是4，∴21m +=4，解得：m =，又∵二次函数的对称轴在y 轴的左侧，∴m ＜0，∴m =故答案为：【点拨】本题考查二次函数的顶点式和对称轴．熟记顶点式和二次函数的对称轴公式是解决本题的关键．22．3【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，从而可得其顶点纵坐标p 的值，再利用二次函数的性质求最值即可得．解：二次函数222223()23y x mx m x m m m =--++=-++，其顶点纵坐标2223(1)4p m m m =-++=--+，由二次函数的性质可知，当2m ³时，p 随m 的增大而减小，则当2m =时，p 取得最大值，最大值为2(21)43--+=，故答案为：3．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．23．50【分析】连接AC 、BD ，交于O 点，根据三角形中位线性质得出EF ∥AC ，EH ∥BG ，由四边形EFGH 是矩形，即可得到AC ⊥BD ，进而即可得出四边形ABCD 的面积S ＝12AC •BD ，设EH 的长为x ，则相邻的边EF 为（10﹣x ），从而得到S ＝12×2x •2（10﹣x ）＝﹣2x 2+20x ＝﹣2（x ﹣5）2+50，根据二次函数的性质即可求得结论．解：连接AC 、BD ，交于O 点，∵点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴2EF＝AC，2EH＝BD，EF∥AC，EH∥BD，∵四边形EFGH是矩形，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝12AC•BD，∵四边形EFGH的周长为20，设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），∴BD＝2x，AC＝2（10﹣x），∴S＝12×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，∴四边形ABCD的面积的最大值是50．故答案为：50．【点拨】此题考查了三角形中位线的性质，四边形面积的求法，二次函数的最值等知识，解题的关键是熟根据题意设出未知数表示出四边形ABCD的面积．24．78##0.875【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A 的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，从而得到BD的最小值．解：∵2237 232248y x x xæöç÷=-+=-+ç÷èø，∴抛物线的顶点坐标为37,48æöç÷ç÷èø，∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为78，∴对角线BD的最小值为78．故答案为：78．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．25．(1)2(2)1y x =--(2)对称轴是直线2x =，顶点坐标是(2)1-，，最小值为1-【分析】（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．(1)解：243y x x =-+24443x x =-+-+()221x =--．(2)解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x =2，顶点坐标为（2，－1），抛物线开口朝上，有最小值，最小值为－1．【点拨】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．26．(1)每件商品的进价20元；(2)当每件售价为60元时，周售价利润w 最大，最大利润是3200元【分析】（1）把x ＝40代入求出销售量，再根据利润2400元可得每件利润，售价减利润即为进价；（2）根据“总利润＝每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得答案；(1)解：把x ＝40代入y ＝﹣2x +200可得周销售量y ＝120，∴每件利润为：2400÷120＝20（元），∵售价为40（元），∴每件商品的进价为：40-20=20元；(2)解：设利润为w 元，则w ＝（x ﹣20）（﹣2x +200）＝﹣2（x ﹣60）2+3200，∵﹣2＜0，二次函数开口向下，∴当x ＝60时，w 最大为3200，答：当每件售价为60元时，周售价利润w 最大，最大利润是3200元．【点拨】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．27．(1)y ＝−x 2−2x ＋3(2)y ＝−x ＋1(3)278【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法确定直线解析式；（3）根据（2）的结论，设Q （x ，−x ＋1），则P （x ，−x 2−2x ＋3），过点P 作PQ x ^轴，交AC 于点Q ，根据三角形面积公式求解即可．(1)解：由抛物线y ＝−x 2＋bx ＋c 过点A （1，0），C （−2，3），得10423b c b c -++=ìí--+=î，解得23b c =-ìí=î，故抛物线为y ＝−x 2−2x ＋3；(2)设直线为y ＝kx ＋n 过点A （1，0），C （−2，3），则023k n k n +=ìí-+=î，解得11k n =-ìí=î，故直线AC 为y ＝−x ＋1；(3)如图，过点P 作PQ x ^轴，交AC 于点Q ，∵直线AC 为y ＝−x ＋1；设Q （x ，−x ＋1），则P （x ，−x 2−2x ＋3），∴PQ ＝（−x 2−2x ＋3）−（−x ＋1）＝−x 2−x ＋2，∴S △APC ＝12()22C Ax x x x --+´-´＝12()223x x ´--+´＝23127 228xæö-++ç÷èø，∴△APC面积的最大值为27 8【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

部编数学九年级上册二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)最值(巩固篇)(专项练习)(人教版)含答案

专题22.25 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠最值（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知实数x ，y 满足12x y +=，则2xy -的最大值为（）A ．10B ．22C ．34D ．1422．已知二次函数()220y ax ax c a =-+≠，当12x -££时，y 有最小值7，最大值11，则a c +的值为（）A ．3B ．9C ．293D ．2533．二次函数()212y x =--+，当05x ££时，y 的取值范围为（）A ．83y -££-B ．30y -££C ．81y -££D ．80y -££4．已知：二次函数2y -x +x 6=+，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y m =与新图象有2个交点时，m 的取值范围是（）A ．254m <-B ．254m £-或0m =C ．254m <-或0m =D ．2504m -<<5．当13x ££时，二次函数223y x ax =++的最小值为－1，则a 的值为（）A ．-2B ．±2C ．2或52D ．2或1366x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是（）A ．2m >B ．2m ³C ．4m £且0m ≠D ．4m >7．已知二次函数2243(0)=++<y mx mx m ，当时32x -££，y 的最大值与最小值的差为6，则m 的值为（）A ．13-B ．13C ．34-D ．348．已知二次函数2()1y x h =-+（h 为常数），在自变量x 的值满足13x ££的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（）A ．5或1-B ．3或1-C ．5或3D ．3或19．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，下列结论不正确的是（）A ．抛物线的对称轴为直线2x =-B ．若120x x <<，则12y y <C ．y 的最大值为1 D ．若CD x ∥轴交抛物线于点D ，则4CD =10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．函数的最大值为4B ．函数图象关于直线1x =-对称C ．当1x <-时，y 随x 的增大而减小D ．x ＝1或3x =-是方程20ax bx c ++=的两个根11．二次函数y =ax 2+2ax +3（a 为常数，a ≠0），当a -1≤x ≤2时二次函数的函数值y 恒小于4，则a 的取值范围为（）A ．18a <B ．1a >-C ．108a <<或0a <D ．108a <<或10a -<<12．已知二次函数22y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ≠）的图象经过点(2,1)和(4,2)-，且当0x m ££时，函数22y ax bx =+-的最小值为2-，最大值为1，则m 的取值范围是（）A ．10m -££B ．23m £<C ．24m ££D ．2m ³二、填空题13．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -．（1）a 的值为______，图象的顶点坐标为______；（2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上，且点Q 到y 轴的距离小于2，则n 的取值范围为______．14．如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则四边形OAPB 周长的最大值为______．15．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 互相垂直，且8AC BD +=，则四边形ABCD 面积的最大值为_____．16．一个斜抛物体的水平运动距离记为x （m ），对应的高度记为y （m ），y 是关于x 的二次函数．已知当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x =4时，y ＝0．该斜抛物体的所能达到的最大高度是_______m ．17．如图，点O 是正方形ABCD 的对称中心，射线OM ，ON 分别交正方形的边AD ，CD 于E ，F 两点，连接EF ，已知2AD =，90EOF Ð=°．（1）以点E ，O ，F ，D 为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF 的最小值是_________．18．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，P 为对角线BD 上一动点，F 为射线AD 上一点，若AP ＝PF ，则△APF 的面积最大值为_______19．平面直角坐标系xOy 中，已知点2(,26)P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为______．20．已知二次函数224my x mx -=-++（m 是常数），当02x ££时，函数的最大值是2，则m 的值为________．21．如图，已知抛物线2246y x x =-++与x 轴相交于于点A ，B ，与y 轴的交于点C ．点()P m n ，在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBCD 的面积为S ．下列结论：①4AB =；②6OC =；③274S =最大值，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）22．已知抛物线2(1)23y x m x m =-+++．（1）当m ＝0时，点（2，4） _____（填“在”或“不在”）该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为____．23．若x ＋y ＝5，则xy ＋1的最大值为______．24．已知抛物线()2210y ax ax a a =-++≠过点(),2A m ，(),2B n 两点，若线段AB 的长不大于2，则代数式23a a --的最小值是________．三、解答题25．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点(3,0)A -，抛物线的对称轴是直线1x =-，连接BC 、AC ．(1)用含a 的代数式求ABC S V ；(2)若6ABC S =V ，求抛物线的函数表达式：(3)在（2）的条件下，当11m x -££时，y 的最小值是-2，求m 的值．26．已知关于x 的一元二次方程222240x tx t t -+-+=，有两个不相等的实数根m ，n ．(1)求t 的取值范围；(2)当3t =时，解这个方程；(3)若m ，n 是方程的两个实数根，设()()22Q m n =--，试求Q 的最小值．参考答案1．C 【分析】利用二次函数的性质求解即可．解：∵x +y =12，∴y =12-x ，∴xy -2=x (12-x )-2=-x 2+12x -2=-(x -6)2+34，∵-1＜0，∴当x =6时，xy -2有最大值，最大值为34，故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．2．B 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线1x =，再分①0a >和②0a <两种情况，然后利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出,a c 的值，由此即可得．解：二次函数222(1)y ax ax c a x a c =-+=--+的对称轴为直线1x =，①当0a >时，则当11x -££时，y 随x 的增大而减小；当12x <£时，y 随x 的增大而增大，所以当1x =时，y 取得最小值；当1x =-时，y 取得最大值，所以27211a a c a a c -+=ìí++=î，解得18a c =ìí=î，符合题设，则此时189a c +=+=；②当0a <时，则当11x -££时，y 随x 的增大而增大；当12x <£时，y 随x 的增大而减小，所以当1x =时，y 取得最大值；当1x =-时，y 取得最小值，所以21127a a c a a c -+=ìí++=î，解得110a c =-ìí=î，符合题设，则此时1109a c +=-+=；综上，a c +的值为9，故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．3．C 【分析】根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当0x =时，3,y =- 当5x =时，8,y =- 从而可得答案．解：二次函数()212y x =--+，10,a =-<Q 所以函数有最大值，而05x ££，当2x =时，=1,y 最大值当0x =时，3,y =- 当5x =时，8,y =-\ y 的取值范围为8 1.y -££故选C【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．4．C 【分析】画出翻折前后的图象，求出原图象的顶点坐标，利用翻折的性质求出原顶点翻折后对应点的坐标，上下移动y m =，观察y m =与新图象的交点情况，即可得出答案解：二次函数2y -x +x 6=+的图象及翻折后的图象如下图如所示，221256(24y x x x =-++=--+Q ，\二次函数2y -x +x 6=+图象的顶点C 的坐标为125(,)24，\翻折后顶点C 对应点C ¢的坐标为125(,24-，观察图象可知，当254m <-或0m =时，y m =与新图象有2个交点，故答案为：C ．【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及翻折的性质，解题的关键是求出原抛物线顶点翻折后对应点的坐标．5．A 【分析】将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．解：y =x 2+2ax +3=（x +a ）2+3-a 2．抛物线开口向上，对称轴为直线x =-a ．∴当-a ≤1时，即a ≥-1，当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，当x =1时，y 有最小值=1+2a +3=4+2a ，∴4+2a =-1，∴a =-52，不合题意，舍去．当1<-a <3时，x =-a ，y 有最小值3-a 2．∴3-a 2=-1．∴a 2=4，∵1<-a <3，∴a =-2．当-a ≥3时，即a ≤-3，当1≤x ≤3，y 随x 的增大而减少．∴当x =3时，y 有最小值=9+6a +3=12+6a ．∴12+6a =-1．∴a =-136．∵a ≤-3．∴不合题意，舍去．综上：a =-2．故选：A ．【点拨】本题考查二次函数的最值，对a 的范围进行分类讨论是求解本题的关键．6．D 【分析】利用根号下的非负性，以及分母不为0进行求解，只需240x x m -+>恒成立，即只需函数24y x x m =-+的最小值大于0．x 总有意义，则240x x m -+>恒成立，Q 224(2)4y x x m x m =-+=-+-的最小值为4m -，\40m ->，即4m >．故选：D ．【点拨】本题考查了二次函数的最值，根号下的非负性，分母不能为0，解决本题的关键是求出二次函数的最小值．7．A 【分析】将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求解．解：由2243y mx mx =++，可得22(1)32y m x m =++-，∵m ＜0，∴当x =-1时，函数有最大值，且max 32y m =-，在32x -££范围内，函数先递增再递减，则：当x =-3时，y=3+6m ，当x =2时，y =3+16m ，∵m ＜0，∴函数的最小值为：min 316y m =+，∵max min 6y y -=，∴32(316)6m m --+=，∴解得13m =-，故选：A ．【点拨】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数的解析式配成顶点式是解答本题的关键．8．A 【分析】由解析式可知该函数在x h =时取得最小值1、x h >时，y 随x 的增大而增大、当x h <时，y 随x 的增大而减小，根据13x ……时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若13h x <……，1x =时，y 取得最小值5；②若13x h <……，当3x =时，y 取得最小值5，分别列出关于h 的方程求解即可．解：Q 当x h >时，y 随x 的增大而增大，当x h <时，y 随x 的增大而减小，\①若13h x <……，1x =时，y 取得最小值5，可得：2(151)-+=h ，解得：1h =-或3h =（舍)；②若13x h <……，当3x =时，y 取得最小值5，可得：2(153)-+=h ，解得：5h =或1h =（舍)．综上，h 的值为1-或5，故选：A ．【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．9．B 【分析】从图象得到()30A -,、()1,0B -、()0,3C - ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．解：A 、根据抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()30A -,、()1,0B -，可得出对称轴3122x --==-，该选项不符合题意；B 、根据抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =-，开口向下可知：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当20x -<<时，y 随x 增大而减小，所以当120x x <<，无法判断1y 与2y 的大小，该选项符合题意；C 、根据抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()30A -,、()1,0B -，可设交点式()()13y a x x =++，再根据抛物线与y 轴交于点()0,3C -，代值求解得1a =-，即抛物线表达式为()()13y x x =-++，当2x =-时，y 的最大值为1，该选项不符合题意；D 、若CD x ∥轴交抛物线于点D ，则()0,3C -、D 关于对称轴2x =-对称，从而得到()4,3D --，则4CD =，该选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．10．C 【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出0a <、二次函数对称轴为1x =-以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．解：观察二次函数图象，发现：开口向下，0a <，抛物线的顶点坐标为(1,4)-，对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点为(1,0)．A 、0a <Q ，\二次函数y 的最大值为顶点的纵坐标，即函数y 的最大值是4，选项正确，不符合题意；B 、Q 二次函数的对称轴为1x =-，\函数的图象关于直线1x =-对称，选项正确，不符合题意；C 、当1x <-时，y 随x 的增大而增大，选项错误，符合题意；D 、Q 二次函数的图象关于直线1x =-对称，且函数图象与x 轴有一个交点(1,0)，\二次函数与x 轴的另一个交点为(3,0)-．\ x ＝1或3x =-是方程20ax bx c ++=的两个根，选项正确，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解．11．D 【分析】先求得对称轴为x =-1，再分a >0和a <0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．解：对于二次函数y =ax 2+2ax +3，其函数图象的对称轴为x =-22aa=-1，当a >0时，a -1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减少，当a -1≤x ≤2时，函数y 的值在x =2时，取得最大值，∴a ×22+2a ×2+3<4，解得：a <18，∴a 的取值范围为108a <<；当a <0时，a -1<-1，开口向下，当a -1≤x ≤2时，函数y 的值在顶点时，取得最大值，∴a ×(-1)2+2a ×(-1)+3<4，解得：a >-1，∴a 的取值范围为10a -<<；综上，a 的取值范围为108a <<或10a -<<，故选：D ．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键．12．C 【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．解：Q 二次函数22y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ≠）的图象经过点()2,1和()4,2-，∴422116422a b a b +-=ìí+-=-î，解得：343a b ì=-ïíï=î，∴223332(2)144y x x x =-+-=--+，∴二次函数的顶点坐标为()2,1，最大值为1，∵当0x m ££时，函数22y ax bx =+-的最小值为2-，最大值为1，∴令2y =-，则233224x x -+-=-，解得：10x =，24x =，∴24m ££，故选：C ．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．13． 2a = ()1,2- 211n £<【分析】（1）把P （−2，3）代入23y x ax =++中，即可求解；（2）由|m |＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n 的范围．解：（1）把P （−2，3）代入23y x ax =++中，得：()23223a =--+，∴a ＝2，∴223y x x =++＝（x ＋1）2＋2；∴图象的顶点坐标为（−1，2）；（2）点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m |＜2，∴−2＜m ＜2，∴当m =-1时，y 的最小值= 2，当m =2时，y 的最大值= 11，∴2≤n ＜11．【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二次函数图像的对称轴，是解题的关键．14．212．【分析】设P （x ，x 2−2x −3）（0<x<3），根据矩形的周长公式得到C ＝−2232()x -＋212．根据二次函数的性质来求最值即可．解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，∴当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3=0即（x +1）（x -3）＝0，解得 x ＝-1或x ＝3故设P （x ，y ），设P （x ，x 2﹣2x-3）（0<x <3），∵过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，∴四边形OAPB 为矩形，∴四边形OAPB 周长C ＝2PA +2OA ＝﹣2（x 2﹣2x ﹣3）+2x ＝﹣2x 2+6x +6＝﹣2（x 2﹣3x ）+6，＝﹣2232(x -+212．∴当x ＝32时，四边形OAPB 周长有最大值，最大值为212．故答案为：212．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．8【分析】设BD =x ，则AC =8－x ，而四边形的面积为S =11(8)22AC BD x x =-g ，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值．解：如图，设AC 、BD 交于点O设BD =x ，则AC =8－x ，其中0<x <8∵1111+()2222ABD CBD S S S BD OA BD OC BD OA OC BD AC ==+=+=g g g △△∴211(8)(4)822S x x x =-=--+∵102->∴当x =4时，S 有最大值8故答案为：8【点拨】本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键．16．4【分析】设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，根据x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ﹣4时，y ＝0列方程组，可求出a 、b 、c 的值，可得二次函数解析式，转化为顶点式即可得答案．解：设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，∵x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ﹣4时，y ＝0，∴031640c a b c a b c =ìï++=íï++=î，解得：140a b c =-ìï=íï=î，∴二次函数的解析式为224(2)4y x x x =-+=--+，∴该斜抛物体的所能达到的最大高度是4m ，故答案为：4【点拨】本题考查二次函数的最值，利用待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数各种形式解析式的转化是解题关键．17． 1 【分析】（1）连接AO ，DO ，证明()AEO DFO ASA ≌△△，可得EOFD S 四边形ADO S △=，求出Δ1414ADO S =´=即可求解；（2）设AE x =，则2ED x =-，由勾股定理可得()22212EF x =-+，即可求EF 的最小值．解：（1）连接AO ，DO ，∵90EOF Ð=°，∴90EOD FOD Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 是正方形，O 是中心，∴90AOD Ð=°，AO DO =，45EAO FDO Ð=Ð=°，∴90EOD AOE Ð+Ð=°，∴FOD AOE Ð=Ð，∴()AEO DFO ASA ≌△△，∴EOFD S 四边形ADO S △=，∵2AD =，∴Δ1414ADO S =´=，∴ 1.EOFD S =四边形故答案为：1；（2）设AE x =，则2ED x =-，Q AEO DFO ≌△△，,DF AE x \==在Rt EDF V 中，()()222222244212EF x x x x x =+-=-+=-+，∴当1x =时，EF ，．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．18．4【分析】作PM ⊥AD 与M ，根据正方形的性质易得PM ＝DM ，设PM ＝DM ＝x ，则AM ＝4−x ，根据等腰三角形的性质即可得出AF ＝2（4−x ），由三角形面积公式得出S △APF ，进而根据二次函数的性质即可求得结果．解：作PM ⊥AD 与M ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝45°，∴△PDM 是等腰直角三角形，∴PM ＝DM ，设PM ＝DM ＝x ，则AM ＝4−x ，∵AP ＝PF ，∴AM ＝FM ＝4−x ，∴AF ＝2（4−x ），∵S △APF ＝12AF •PM ，∴S △APF ＝12×2（4−x ）•x ＝−x 2＋4x ＝−（x −2）2＋4，∴当x ＝2时，S △APF 有最大值4，故答案为：4【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19【分析】根据240m n -+=，可得24n m =+，进而可知22622n m -=+，由2(,26)P m n -，进而根据两点间距离公式进行求解即可．解：∵240m n -+=，∴24n m =+，∴22622n m -=+，∵2(,26)P m n -，∴点P 到原点距离为：=∴点P 到原点O =，．【点拨】本题考查二次函数的最值问题，点到原点的距离，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键．20．3或-6【分析】根据题目中的函数解析式和当0≤x ≤2时，y 的最大值是2，利用分类讨论的方法可以求得m 的值，本题得以解决．解：二次函数y =-x 2+mx +24m -=-（x -2m ）2+242m m -+，当22m＞时，即m ＞4，在0≤x ≤2时，x =2时取得最大值，则2=-22+2m +24m -，得2247m =＜（舍去）；当2m＜0时，即m ＜0，在0≤x ≤2时，x =0时取得最大值，则224m-=，得60m =-＜；当0≤2m≤2时，即0≤m ≤4，在0≤x ≤2时，x =2m 时取得最大值，则2422m m -+=，得13m =，22m =-（舍去），由上可得，m 的值是3或6-．故答案为：3或6-．【点拨】本题主要考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．21．①②③【分析】2246y x x =-++中令y =0得：22460x x -++=，得A （-1，0），B （3，0），从而判断①；2246y x x =-++中令x =0得：y =6，得C （0，6），从而判断②；过点P 作//PF y 轴，交BC 于点F ，求出BC 的函数关系式，得出点P 的坐标为2(,246)m m m -++，点F 的坐标为(,26)m m -+，再列出S 关于m 的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．解：∵抛物线2246y x x =-++与x 轴相交于于点A ，B ，∴令y =0得：22460x x -++=，解得：121,3x x =-=，∴A （-1，0），B （3，0），∴AB =4故①正确；∵抛物线2246y x x =-++与y 轴相交于于点C ，∴令x =0得：y =6，∴C （0，6），∴OC =6，故②正确；过点P 作//PF y 轴，交BC 于点F ，如图1所示．设直线BC 的解析式为y kx c =+，将(3,0)B 、(0,6)C 代入y kx c =+，得306k c c +=ìí=î，解得26k c =-ìí=î，\直线BC 的解析式为26y x =-+．Q 点(,)P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，\点P 的坐标为2(,246)m m m -++，则点F 的坐标为(,26)m m -+，22246(26)26PF m m m m m \=-++--+=-+，221327393(224S PF OB m m m \=×=-+=--+，\当32m =时，PBC D 面积取最大值，最大值为274．故③正确，故答案为：①②③．【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．22．不在（2，5）【分析】（1）将2x =代入()2123y x m x m =-+++计算即可；（2）先用m 表示出顶点坐标，然后确定顶点坐标纵坐标的最大时m 的值，进而确定顶点坐标即可．解：（1）∵m ＝0，∴抛物线解析式为23y x x =-+将2x =代入23y x x =-+可得：22235y =-+=．∴当m ＝0时，点（2，4）不在抛物线上，故答案为：不在．（2）()2123y x m x m =-+++即22161124m m m y x +-++æö=-+ç÷èø∴抛物线的顶点坐标为：（12+m ,26114m m -++）∵当顶点移动到最高处时，即纵坐标取最大值而()2261113544m m m -++=--+．∴当m =3时，纵坐标最大，即顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为（2,5）．故答案为：（2，5）【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，确定二次函数的顶点坐标成为解答本题的关键．23．294【分析】由x ＋y ＝5得x ＝5-y ，代入xy ＋1得（5-y ）y ＋1=-y 2+5y +1，进而求出最值．解：由x ＋y ＝5得x ＝5-y ，∴xy ＋1=（5-y ）y ＋1=-y 2+5y +1=-（y -52）2+294，∵-1<0，∴当y =52时，xy ＋1有最大值，且最大值为294．故答案为：294．【点拨】本题考查一元二次方程的最值问题，用一个未知数表示另一个未知数进而求最值解决问题的关键．24．3-【分析】根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段AB 的长不大于2，求出a 的取值范围，再根据23a a --的增减性，求出最小值．解：∵抛物线()2210y ax ax a a =-++≠过点(),2A m ，(),2B n 两点，∴对称轴为：2122m n aa+-=-= ，∴顶点为()1,1 ，∴由题意可知0a > ，∵线段AB 的长不大于2，∴12a +³ ，∴1a ³ ，∵当1a ³时，23a a --随着a 的增大而增大．∴当1a =时，23a a --有最小值，最小值为3-；故答案为：3-.【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出12a +³，求出a 的取值范围是解题的关键．25．(1)6ABC S a =△(2)y =x 2+2x -3(3)m 【分析】（1）将点A 的坐标代入抛物线表达式列等式，再根据对称轴列等式，依此分别把b 、c 用含a 的代数式表示，即可解答；（2）利用（1）的结果，根据面积为6，建立方程求解即可；（3）分两种情况讨论，即①当m -1≥-1时，②当m -1＜-1时，分别根据二次函数的性质，结合最小值为-2，建立关于m 的方程求解，即可解答．(1)解：将点A 的坐标代入抛物线表达式得：9a -3b +c =0①，∵函数的对称轴为：12b x a=-=-，∴b =2a ②，将②代入①得c =-3a ，∴抛物线的表达式为：y =ax 2+2ax -3a ，设y =ax 2+2ax -3a =0，解得x =1或-3，∴B 的坐标为（1,0），∴AB =1-(-3)=4，∵图象的开口向上，∴a >0，当x =0时，y =-3a ，∴C （0,-3a ），∴OC =3a ，∴11·43622ABC S AB OC a a ==´´=V ；(2)解：∵66ABC S a ==△，∴a =1，∴抛物线的表达式为：y =x 2+2x -3；(3)解：①当m -1≥-1时，即m >0，函数在x = m -1 时，取得最小值，即()()212132m m -+--=- ，解得m =（负值舍去），∴m ②当m -1＜-1时，即m ＜0，当x =-1时，函数取得最小值，而顶点的纵坐标()()2121342y =-+´--=-≠-，故此时，不存在m 的值，使得y 的最小值是-2；综上所述，m =【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题，二次函数的最小值问题，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质．26．(1)2t >(2)1233x x =+=(3)1-【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ=（-2t ）2-4（t 2-2t +4）＞0，然后解不等式即可；（2）当t =3时，方程化为x 2-6x +7=0，然后利用配方法解方程即可；（3）根据根与系数的关系得m +n =2t ，mn =t 2-2t +4，则Q =t 2-6t +8，配方得到Q =（t -3）2-1，利用非负数的性质得到当t =3时，Q 有最小值，最小值为-1．解：(1)根据题意得Δ=（-2t ）2-4（t 2-2t +4）＞0，解得t ＞2，即t 的取值范围为t ＞2；(2)当t =3时，方程化为x 2-6x +7=0，x 2-6x +9=2，（x -3）2=2，x\1233x x ==(3)根据根与系数的关系得m +n =2t ，mn =t 2-2t +4，Q =mn -2（m +n ）+4=t 2-2t +4-4t +4=t 2-6t +8=（t -3）2-1，∵t ＞2，∴当t =3时，Q 有最小值，最小值为-1．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

届九年级数学上册21.2二次函数y=ax2bxc的图象和性质y=a(xh)2型(第3课时)课后作业1(新版)沪科版【含

二次函数y ＝ax ²+bx+c 的图象和性质 y ＝a （x+h ）²型一、教材题目：P16 T4-T54．抛物线y ＝4(x －1)2可由抛物线y ＝4x 2怎样平移后得到？5．抛物线y ＝a(x ＋b)2的顶点为(－2，0)，形状与抛物线y ＝5x 2相同，但开口方向相反．(1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求抛物线与y 轴交点坐标．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．对于抛物线y ＝2(x －1)2，下列说法中正确的有( )①开口向上；②顶点为(0，－1)；③对称轴为直线x ＝1；④与x 轴的交点坐标为(1，0)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋1与y ＝－32(x －1)2的图象大致是( )7．已知抛物线y ＝－(x ＋1)2上的点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，如果x 1＜x 2＜－1，那么下列结论成立的是( )A ．y 1＜y 2＜0B ．0＜y 1＜y 2C ．0＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜08．已知二次函数y ＝－2(x ＋h)2，当x ＜－3时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－3时，y 随x 的增大而减小，则当x ＝1时，y 的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－3213．抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式．14．已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝－2x 2平移后的顶点与点A 重合． (1)求平移后的抛物线l 对应的函数表达式；(2)若点B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)在抛物线l 上且－12<x 1<x 2，试比较y 1，y 2的大小．15．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y ＝2x 2都相同，而顶点与抛物线y ＝(x －2)2相同．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)将(1)中的抛物线向左平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)直接写出(2)中的抛物线沿坐标轴翻折180°后的抛物线对应的函数表达式．答案一、教材4．解：抛物线y ＝4(x －1)2可由抛物线y ＝4x 2向右平移1个单位得到． 5．解：(1)∵抛物线y ＝a(x ＋b)2的顶点为(－2，0)，∴b＝2. ∵抛物线y ＝a(x ＋b)2的形状与抛物线y ＝5x 2相同，但开口方向相反， ∴a ＝－5.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－5(x ＋2)2.(2)令x ＝0，得y ＝－5×4＝－20.∴抛物线与y 轴交点坐标为(0，－20)．二、典中点3.C4.D 7.A 8.D13．解：抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y ＝a(x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a×(－1－3)2，解得a ＝14.∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝14(x －3)2.方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位长度后，a 不变，括号内x 应“减去3”；若向左平移3个单位长度，括号内x 应“加上3”，即“左加右减”，也可以通过只平移抛物线顶点，利用顶点坐标来确定二次函数的表达式，这样做不容易出现符号错误．14．解：(1)在y ＝x ＋1中，令y ＝0，则x ＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l 的顶点坐标为(－1，0)．又抛物线l 是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，∴抛物线l 对应的函数表达式为y ＝－2(x ＋1)2.(2)∵抛物线l 的对称轴为直线x ＝－1，a ＜0，且x 2＞x 1＞－12，∴y 2＜y 1.15．解：(1)令新抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －h)2，因为新抛物线的开口方向和大小与抛物线y ＝ 2x 2都相同．所以a ＝ 2，又因为新抛物线的顶点与抛物线y ＝(x －2)2相同，所以h ＝2，所以新抛物线对应的函数表达式为y ＝2(x －2)2.(2)将(1)中的抛物线向左平移3个单位长度会得到抛物线y ＝2(x －2＋3)2＝2(x ＋1)2. (3)沿x 轴翻折180°后得到的抛物线对应的函数表达式为y ＝－2(x ＋1)2，沿y 轴翻折180°后得到的抛物线对应的函数表达式为y ＝2(x －1)2.。

【附答案或解析】九年级数学上册20.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象(北京课改版)

20.2 二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题 1.填空：答案：从左向右依次为： y=ax 2：向上向下 y 轴 (0，0) y=ax 2+c ：向上向下 y 轴 (0，c) y=a(x －h)2：向上向下 x=h (h ，0) y=a(x －h)2+k ：向上向下 x=h (h ，k)y=ax 2+bx+c ：向上向下 abx 2-= )44,2(2a b ac a b -- 2.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象是______. 答案：一条抛物线 3.二次函数5)3(212-+=x y 的图象可以看作是221x y =的图象向_____平移_____个单位长度,再向______平移______个单位长度而得到的. 答案：左 3 下 54.画函数图象的步骤是______、______、_______. 答案：列表描点连线点击思维 ←温故知新查漏补缺→1.如何根据c 的大小确定抛物线与y 轴的交点(0,c)与x 轴的位置关系? 答案：解析：c>0⇔抛物线与y 轴的交点在x 轴上方；c=0⇔抛物线与y轴的交点是原点；c<0⇔抛物线与y轴的交点在x轴下方.2.如何根据“b2－4ac的值”确定抛物线与x轴的交点个数?答案：解析：b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有两个不同的交点，此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.b2－4ac=0⇔抛物线与x轴有且只有一个交点，此时一元二次方程ax2+b+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. b2－4ac<0⇔抛物线与，轴没有交点，此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.3.当a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最______点；当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最_____点.(填“高”或“低”)答案：低高。

人教版九年级上册数学《二次函数y=ax2 bx c的图像与性质》靶向专题提升练习(解析版)

人教版九年级上册数学《二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质》靶向专题提升练习一．选择题.1. 二次函数y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是( )A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4)B.开口向下,顶点坐标为(1,4)C.开口向上,顶点坐标为(1,4)D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4)2. 若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿垂直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为( )A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x2+43. 在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是( )4. 抛物线y=x2+2x+3的对称轴是( )A.直线x=1B.直线x=-1C.直线x=-2D.直线x=25. 已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是( )A.m=-1B.m=3C.m≤-1D.m≥-16. 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下四个结论:①abc=0;②a+b+c>0;③a>b;④4ac-b2<0,其中正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题.1. 二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是________.2. 二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是________.3. 若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则1x1+1x2的值为________.4. 在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的表达式是________.5. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=-x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为________.6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出以下结论:①abc<0;②b2-4ac>0;③4b+c<0;④若B(−52,y1),C(−12,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2;⑤当-3≤x≤1时,y≥0.其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)________.三．解答题.1. 已知二次函数y=x2-4x+3,求解下列问题:(1)开口方向.(2)顶点坐标,对称轴.(3)最值.(4)抛物线和x轴、y轴的交点坐标.(5)作出函数图象.(6)当x取何值时,y>0,y<0?(7)当x取何值时,y随x的增大而增大,y随x的增大而减小?(8)怎样由y=x2-4x+3的图象得到y=x2的图象?2. 已知点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上.(1)若b=1,c=3,求n的值.(2)若此抛物线经过点B(4,n),且二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,请画出点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由.3. 如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴,抛物线y=-1x2+bx+c经过B,C两点,点D为抛物线的顶点,连接2AC,BD,CD.(1)求此抛物线的表达式.(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.4. 如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值.(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值..人教版九年级上册数学《二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质》靶向专题提升练习（解析版）一．选择题.1. 二次函数y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是( )A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4)B.开口向下,顶点坐标为(1,4)C.开口向上,顶点坐标为(1,4)D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4)【解析】选A.∵二次函数y=x2+2x-3的二次项系数为a=1>0,∴函数图象开口向上,∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴顶点坐标为(-1,-4).2. 若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿垂直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为( )A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x2+4【解析】选C.将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿垂直方向向上平移三个单位,相当于把抛物线向左平移一个单位,再向下平移3个单位,∵y=(x-1)2+2,∴原抛物线图象的解析式应变为y=(x-1+1)2+2-3=x2-1. 3. 在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是( )【解析】选C.A.对于直线y=ax+b来说,由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物>0,应在y轴的右侧,故不合题意,图形错误;B.对线y=ax2-bx来说,对称轴x=b2a于直线y=ax+b来说,由图象可以判断,a<0,b>0;而对于抛物线y=ax2-bx来说,对称轴x=b<0,应在y轴的左侧,故不合题意,图形错误;C.对于直线y=ax+b来说,2a由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物线y=ax2-bx来说,图象开口向上,对称轴x=b>0,应在y轴的右侧,故符合题意;D.对于直线y=ax+b来说,由图象可以判2a断,a>0,b>0;而对于抛物线y=ax2-bx来说,图象开口向下,a<0,故不合题意,图形错误.4. 抛物线y=x2+2x+3的对称轴是( )A.直线x=1B.直线x=-1C.直线x=-2D.直线x=2【解析】选B.∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴抛物线的对称轴为直线x=-1.5. 已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是( )A.m=-1B.m=3C.m≤-1D.m≥-1【解析】选D.抛物线的对称轴为直线x=-m−1,2∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,∴-m−1≤1,解得m≥-1.26. 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下四个结论:①abc=0;②a+b+c>0;③a>b;④4ac-b2<0,其中正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,∴c=0,∴abc=0,∴①正确;∵x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴②不正确;∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴是x=-32,∴-b2a =-32,b<0,∴b=3a,又∵a<0,b<0,∴a>b,∴③正确;∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点, ∴Δ>0,∴b 2-4ac>0,4ac-b 2<0,∴④正确. 综上,可得正确结论有3个:①③④. 二.填空题.1. 二次函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是________.【解析】因为y=x 2-2x+3=x 2-2x+1+2=(x-1)2+2,所以顶点为(1,2). 答案:(1,2)2. 二次函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是________.【解析】因为y=x 2-2x+3=x 2-2x+1+2=(x-1)2+2,所以顶点为(1,2). 答案:(1,2)3. 若二次函数y=2x 2-4x-1的图象与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点,则1x 1+1x 2的值为________.【解析】设y=0,则2x 2-4x-1=0,∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标,即x 1,x 2, ∴x 1+x 2=-−42=2,x 1·x 2=-12, ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1·x 2=2−12=-4.答案:-44. 在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x 2+5x+6,则原抛物线的表达式是________.5. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 的坐标为(4,3),D 是抛物线y=-x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为________.6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出以下结论:①abc<0;②b2-4ac>0;③4b+c<0;④若B(−52,y1),C(−12,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2;⑤当-3≤x≤1时,y≥0.其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)________.【解析】由题干中图象可知,a<0,b<0,c>0,∴abc>0,故①错误.∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确.∵抛物线对称轴为x=-1,与x轴交于A(-3,0), ∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),∴a+b+c=0,-b2a=-1,∴b=2a,c=-3a,∴4b+c=8a-3a=5a<0,故③正确.∵B(−52,y1),C(−12,y2)为函数图象上的两点,又点C离对称轴近,∴y1<y2,故④错误,由题干中图象可知,-3≤x≤1时,y≥0,故⑤正确. ∴②③⑤正确.答案:②③⑤三．解答题.1. 已知二次函数y=x2-4x+3,求解下列问题:(1)开口方向.(2)顶点坐标,对称轴.(3)最值.(4)抛物线和x轴、y轴的交点坐标.(5)作出函数图象.(6)当x取何值时,y>0,y<0?(7)当x取何值时,y随x的增大而增大,y随x的增大而减小?(8)怎样由y=x2-4x+3的图象得到y=x2的图象?【解析】(1)∵a=1>0,∴开口向上.(2)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,∴顶点坐标为(2,-1),对称轴为x=2.(3)∵抛物线开口向上,函数有最小值,其值为-1.(4)若x=0,则y=3,∴抛物线与y轴交点为(0,3),若y=0,则x2-4x+3=0,∴x1=1,x2=3,∴抛物线与x轴的交点为(1,0)和(3,0).(5)图象如下:(6)由图象知,当x<1或x>3时y>0,当1<x<3时y<0.(7)当x>2时,y随x的增大而增大,当x<2时,y随x的增大而减小.(8)将抛物线y=x2-4x+3的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到y=x2的图象.2. 已知点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上.(1)若b=1,c=3,求n的值.(2)若此抛物线经过点B(4,n),且二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,请画出点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由.【解析】(1)∵b=1,c=3,A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上.∴n=4+(-2)×1+3=5.(2)∵此抛物线经过点A(-2,n),B(4,n),=1,∴抛物线的对称轴x=−2+42∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,∴抛物线的表达式为y=(x-1)2-4,令x-1=x′,∴点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2-4, 点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象如图:3. 如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A,C分别在x轴、x2+bx+c经过B,C两点,点D为抛物线的顶点,连接y轴的正半轴,抛物线y=-12AC,BD,CD.(1)求此抛物线的表达式.(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.【解析】(1)由已知得:C(0,4),B(4,4),把B 与C 坐标代入y=-12x 2+bx+c 得:{4b +c =12,c =4,解得:b=2,c=4,则表达式为y=-12x 2+2x+4.(2)∵y=-12x 2+2x+4=-12(x-2)2+6,∴抛物线顶点坐标为D(2,6),则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12.4. 如图,二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b 的值.(2)点C 是该二次函数图象上A,B 两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式,并求S 的最大值.【解析】(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax 2+bx,得{4a +2b =4,36a +6b =0,解得{a =−12,b =3.(2)如图,过A 作x 轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过C 作CE ⊥AD,CF ⊥x 轴,垂足分别为E,F,S △OAD =12OD ·AD=12×2×4=4;S△ACD =12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4;S△BCD =12BD·CF=12×4×(−12x2+3x)=-x2+6x,则S=S△OAD +S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6),∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16..。

九年级数学上册 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课后训练 (新版)沪科版

第1课时二次函数y ＝A.x 2＋k 的图象和性质1．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝2x 2＋1共有的性质是( )．A.．开口向上 B ．对称轴都是y 轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点2．抛物线y ＝A.x 2＋b 与x 轴有两个交点，且开口向上，则A.、b 的取值范围是( )． A.．A.＞0，b ＜0 B ．A.＞0，b ＞0 C ．A.＜0，b ＞0 D ．A.＜0，b ＜03．在同一直角坐标系中，y ＝A.x 2＋b 与y ＝A.x ＋b(A.，b 都不为0)的图象的大致位置是( )．4．若二次函数y ＝A.x 2＋c ，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )．A.．A.＋c B ．A.－c C ．－c D ．c5．在同一直角坐标系中，图象不可能由函数y ＝2x 2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是( )．A.．y ＝2x 2－1 B ．y ＝2x 2＋3C ．y ＝－2x 2－1 D ．y ＝212x －1 6．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线y ＝x 2＋k ，当k 取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：(1)开口方向都相同；(2)对称轴都相同；(3)形状相同；(4)都有最低点．其中判断正确的是________．(填序号)7．已知点(－2，y 1)、(－1，y 2)、(3，y 3)在函数y ＝x 2＋c 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．8．说明y ＝213x ＋4是由y ＝213x 怎样平移得到的，并说明： (1)抛物线y ＝213x ＋4的顶点坐标、对称轴及y 随x 的变化情况；(2)函数的最大(小)值．9．设直线y 1＝x ＋b 与抛物线y 2＝x 2＋c 的交点为A.(3,5)和B ． (1)求出b 、c 和点B 的坐标．(2)画出草图，根据图象回答：当x 在什么范围时y 1≤y 2?10．(创新应用)如图所示，小华在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝215x ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，求他与篮底的距离l.参考答案1. 答案：B2. 解析：由抛物线开口向上，可知A.＞0.又抛物线与x 轴有两个交点，可知A.x 2＋b ＝0有两个不同的根，故b ＜0.答案：A.3. 解析：根据抛物线y ＝A.x 2＋b 和一次函数y ＝A.x ＋b 的图象与性质可知选D ．答案：D4. 解析：因为二次函数y ＝A.x 2＋c 的对称轴为y 轴，再由抛物线的对称性知x 1和x 2关于y 轴对称，所以x 1＋x 2＝0.故x ＝0时，y ＝c .答案：D5. 解析：由y ＝2x 2＋1向下平移2个单位长度可得到y ＝2x 2－1，由y ＝2x 2＋1向上平移2个单位长度可得到y ＝2x 2＋3，由y ＝2x 2＋1关于x 轴对称可得到y ＝－2x 2－1，故选D ．答案：D6. 答案：(1)(2)(3)(4)7. 解析：对于函数y ＝x 2＋c 的增减性应分x ＞0，x ＜0讨论．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，因为－2＜－1，所以y 1＞y 2；对于对称轴两侧的x 值，应根据它与对称轴的远近来比较函数值的大小．因为|3－0|＞|－2－0|，所以y 3＞y 1.所以y 3＞y 1＞y 2.答案：y 3＞y 1＞y 28. 解：因为k 值由0变为4，所以y ＝213x ＋4是由y ＝213x 向上平移4个单位得到的．(1)y ＝213x ＋4的图象的顶点坐标为(0,4)，对称轴是y 轴(直线x ＝0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．(2)当x ＝0时，y 有最小值是4.9. 解：(1)∵直线y 1＝x ＋b 与抛物线y 2＝x 2＋c 的交点为 A.(3,5)，∴35,9 5.b c +=⎧⎨+=⎩∴2,4.b c =⎧⎨=-⎩∴y 1＝x ＋2，y 2＝x 2－4.由22,4,y x y x =+⎧⎨=-⎩得112,0x y =-⎧⎨=⎩或223,5,x y =⎧⎨=⎩ ∴B(－2,0)．(2)图象如图所示．由图象可知：当x ≤－2或x ≥3时，y 1≤y 2. 10. 解：由题意，得当y ＝3.05时，3.05＝215x -＋3.5，解得x ＝±1.5.∵篮圈中心在第一象限，∴篮圈中心点的坐标是(1. 5,3.05)．∴他与篮底的距离是l＝2.5＋1.5＝4(m)．答：他与篮底的距离l为4 m.。

初三中考数学专项练习二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习(提高)

二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．若抛物线210(2)my m x -=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23- 2．抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )．A ．(2，0)，直线x ＝-4B ．(-2，0)，直线x ＝4C ．(1，3)，直线x ＝0D ．(0，-4)，直线x ＝03．如图所示正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且0＜x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是( )．4．（2015•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（）.A.B. C. D.5．在抛物线①y ＝2x 2，②235y x =，③276y x =-中．图象开口大小顺序为( )． A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞①＞③ D ．②＞③＞①6．图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =-B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x = 二、填空题7．（2015•崇明县一模）抛物线y=2x 2﹣1在y 轴右侧的部分是（填“上升”或“下降”）．8．若y ＝(m 2-1)x 2+(m 2+2m-3)x-m-1，当m________时，y 是x 的二次函数；当m________时，y 是x 的一次函数．9．已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10．将抛物线2y x =-向下平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．11．如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．第11题第12题 12．如图所示，二次函数212y x c =-+的图象经过点93,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭与x 轴交于A 、B 两点，则c 的值为．三、解答题13．如图所示，桥拱是抛物线形，桥拱上有一点P ，其坐标为(2，-1)，当水位在AB 位置时，水面宽12米，求水面离拱顶的高度h ．14. 已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15．（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；m=-．【解析】依题意得m2-10＝2且2+m＜0，即m＝±23，且m＜-2，所以232．【答案】D；【解析】由函数y=ax2+c的图象性质可得.3．【答案】D；【解析】依题意知所有阴影部分面积的和恰好等于一个小正方形的面积，即y＝x2，又0＜x≤10，画出y＝x2的图象不难得到D答案．4.【答案】D；【解析】A 、由一次函数y=kx+k 的图象可得：k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象应该开口向上，错误； B 、由一次函数y=kx+k 图象可知，k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象顶点应在y 轴的负半轴，错误；C 、由一次函数y=kx+k 可知，y 随x 增大而减小时，直线与y 轴交于负半轴，错误；D 、正确．故选：D ．5．【答案】D ；【解析】 ∵ 73|2|65>->，∴ 22y x =图象开口最小，235y x =图象开口最大． 6．【答案】C ；【解析】依题意知点(2，-2)在y ＝ax 2图象上，所以-2＝a ×22，12a =-．所以212y x =-．二、填空题 7．【答案】上升；【解析】∵y=2x 2﹣1，∴其对称轴为y 轴，且开口向上，∴在y 轴右侧，y 随x 增大而增大，∴其图象在y 轴右侧部分是上升，故答案为：上升．8．【答案】≠±1；＝-1 ；【解析】由y ＝(m 2-1)x 2+(m 2+2m-3)x-m-1，得y ＝(m+1)(m-1)x 2+(m+3)(m-1)x-m-1，显然当m ≠±1时，y 是x 的二次函数，当m ＝-1时，m 2-1＝0而m 2+2m-3≠0，y 是x 的一次函数．9．【答案】a ＜0 ；【解析】∵ x 2＜x 1＜0，y 2＜y 1，所以y 随x 的增大而增大，结合图象知，抛物线开口向下． 10．【答案】22y x =--；【解析】根据上加下减. 11．【答案】4 ；【解析】由抛物线对称性知ODBG ODEF S S =四边形四边形．因此1064ABG BCD S S +=-=△△． 12．【答案】6c =．【解析】∵ 抛物线经过点93,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 219(3)22c -⨯-+=． ∴ 6c =．三、解答题13.【答案与解析】依题意设抛物线为y ＝ax 2，将x ＝2，y ＝-1代入得14a =-，∴ 214y x =-，根据题意，AB ＝12，由抛物线的对称性知B(6，-h)．将x ＝6，y ＝-h 代入214y x =-，得h ＝9．答：水面离拱顶的高度为9米. 14.【答案与解析】（1）∵ 1y x =+，∴ 令0y =，则1x =-，∴ (1,0)A -，即抛物线C 的顶点坐标为(1,0)-，又抛物线C 是由抛物线22y x =-平移得到的， ∴ 2a =-，∴ 抛物线C 的解析式为22(1)y x =-+．（2）由（1）知，抛物线C 的对称轴为直线1x =-．∵ 20a =-<，∴ 当1x >-时，y 随x 的增大而减小，又12112x x -<-<<，∴ 12y y >． 15.【答案与解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：．。

人教版九年级数学上册二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的不等关系同步练习题

第2课时二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）中的不等关系●基础练习1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________. (4)当x_____时,y 随x 的增大而减小. 当x_____时,y 随x 的增大而增大. (5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________; 与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:x 0 1 2 ax 21 ax 2+bx+c33(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax 2+bx+c 的图象示意图,由图象确定,当x 取什么实数时,ax 2+ bx+c>0?14B AxO y3.请画出适当的函数图象,求方程x 2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V 为自变量,刹车距离s 为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.速度V(km/h)4864 8096112…刹车距离s(m) 22.5 3652.5 72 94.5 …5010015015010050s(m)v(km/h)O●能力提升6.如图所示,矩形ABCD 的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB 在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y 轴交于点E,抛物线过E 、A 、B 三点,求抛物线的关系式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD 内部,并说明理由.C BAxO D y E7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=53. (1)求这条抛物线的关系式.(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. (1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式; (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.3.05m4m2.5mxOy●综合探究11.已知抛物线L;y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 都不等于0), 它的顶点P 的坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点是M(0,c)我们称以M 为顶点,对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线,直线PM 为L 的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x 2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x 2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L 与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点x 2>x 1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D 两点,且AB=CD,请求出a 、b 、c 应满足的条件.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)小; 52;94- (4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0. 3.:在同一坐标系中如答图所示,画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---. (2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示.13122x=1xy O 632BAxyO(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩. ∴23351216s v v =+ (4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+当v=112时, 22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯=∵s=94.5,∴23351216s v v =+经检验,所得结论是正确的.6.:(1)如答图所示.∵y=x-2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x-2,2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部.∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A 点关于x 轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE 的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 . 由 94x-3=0,得x=43.故C 为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C 点与抛物线在x 轴上的一个交点重合,在x 轴上任取一点D,在△BED 中,BE< BD+DE. 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD ,∴AC+BC<A D+BD. 若D 与C 重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5. ∴点D 坐标为(1.5,3.05). ∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=a x 2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5, ∴a=-0.2,∴y=-0.2x 2+3.53.05m4m2.5m xOy BDA(2)∵OA=2.5,∴设C 点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x 2+3.5, 得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx-P=(-30x +45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x-150)2+2000.∵-215<0,∴W 有最大值.当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx-1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx-1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-12, ∴124022k --⨯+<,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.法二:∵抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k-1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72. 11.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x-3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).x 2x 12xyO∴设抛物线过P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴22442ac b b m c aa -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).∵P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442ac b b k c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2bx+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac. ∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=ca>0,∴ab<0,ac>0. 对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=ca±. ∴,0,,0c c C D a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴CD=2c a . 又AB=x 2-x 1=22221212124()()44b c b ac x x x x x x a a a -⎛⎫-=+-=--⋅= ⎪⎝⎭.由AB=CD ,得 24b ac a-=2c a , 整理得b 2=8ac,综合b 2>4ac,ab<0,ac>0,b 2=8ac,得a,b,c 满足的条件为b 2=8ac 且ab<0,(或b 2=8ac 且bc<0).高频考点强化训练：三视图的有关判断及计算时间：30分钟分数：50分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..2．(2016·贵阳中考)如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是【易错6】( )3．如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图( )4．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是( )5．一个长方体的主视图、俯视图如图所示(单位：cm)，则其左视图的面积为( )A ．36cm 2B ．40cm 2C ．90cm 2D ．36cm 2或40cm 2乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第5题图第6题图6．(2016·承德模拟)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图和左视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体个数可能有( )A．8个 B．6个 C．4个 D．12个二、填空题(每小题4分，共16分)7．下列几何体中：①正方体；②长方体；③圆柱；④球．其中，三个视图形状相同的几何体有________个，分别是________(填几何体的序号)．8．如图，水平放置的长方体的底面是边长为3和5的长方形，它的左视图的面积为12，则长方体的体积等于________．9．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是________．第8题图第9题图第10题图10．(2016·秦皇岛卢龙县模拟)由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x 的值为________，y 的值为________．三、解答题(10分)11．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．中考必考点强化训练专题：简单三视图的识别◆类型一简单几何体的三视图1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第1 题图第2题图第3题图 2．(2016·抚顺中考)如图所示几何体的主视图是( )3．(2016·南陵县模拟)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( )4．(2016·肥城市一模)如图所示的四个几何体中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2016·宁波中考)如图所示的几何体的主视图为( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..6．(2016·鄂州中考)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( )7．(2016·菏泽中考)如图所示，该几何体的俯视图是( )◆类型二简单组合体的三视图8．(2016·黔西南州中考)如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是( )9．(2016·营口中考)如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的主视图应该是( )10．(2016·日照中考)如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( )11．(2016·烟台中考)如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..这个几何体的主视图和俯视图分别为( )。

九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题带答案(人教版)

九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题带答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？（）A．a B．b C．c D．d2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x …-1 0 1 2 ……y …0 3 4 3那么关于它的图象，下列判断正确的是（）A．开口向上B．与x轴的另一个交点是（3，0）C．与y轴交于负半轴D．在直线x=1的左侧部分是下降的3．已知抛物线C：y=(x+2)2+1，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C和C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移3个单位B．将抛物线C向右平移6个单位C．将抛物线C向左平移3个单位D．将抛物线C向左平移6个单位4．将函数y=x2-2x-5变形为y=a（x-h）2+k的形式，正确的是（）A．y=（x-1）2-5 B．y=（x-2）2+5C．y=（x-1）2-6 D．y=（x+1）2-45．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 13，则a、b的值分别为（）围成的阴影部分的面积为83A．和B．和﹣C．和﹣D．﹣和7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：x …0 1 2 3 …y …﹣1 2 3 2 …在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1＜y28．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA，则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．10．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．11．若函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式．12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.有下列结论：①b2−4ac<0；②ab>0；③a−b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0 .其中正确的是13．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，当y˃0时，x的范围是.三、解答题14．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．15．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过（2，-1）和（4，3）两点，求y=x2+bx+c的表达式16．已知二次函数y=-2x2+8x-6，完成下列各题：（1）写出它的顶点坐标C；（2）它的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，求S△ABC．x2﹣x+4.17．已知抛物线y=﹣12（1）用配方法确定它的顶点坐标和对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？18．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，−2m+3)，过点A作y轴的平行线交二次函数y=x2的图象于点B．（1）点B的纵坐标为（用含m的代数式表示）；（2）当点A落在二次函数y=x2的图象上时，求m的值；（3）当m<0时，若AB=2．求m的值；（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．19．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.x⋯−3−52−2−10 1 2523 ⋯y⋯ 3 540 −10 −10543 ⋯（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（2）观察函数图象，写出2条函数的性质；（3）进一步探究函数图象发现：①方程x2−2|x|=0的实数根为；②方程x2−2|x|=2有个实数根.③关于x 的方程 x 2−2|x|=a 有4个实数根时，a 的取值范围 .参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】-1；增大 10．【答案】三、四11．【答案】y=﹣2（x ﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8 12．【答案】③④ 13．【答案】−1<x <314．【答案】解：设其中一段铁丝的长度为xcm ，另一段为（156﹣x ）cm 则两个正方形面积和S= 116 x 2+ 116 （156﹣x ）2= 18 （x ﹣78）2+761 ∴由函数当x=78cm 时，S 最小，为761cm 2．答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm 215．【答案】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x 2+bx+c 得 {1+2b +c =−116+4b +c =3解得 {b =−4c =3所以二次函数解析式为y=x 2﹣4x+316．【答案】（1）解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2 ∴顶点坐标C 为（2，2）（2）解：∵二次函数y=-2x 2+8x-6的图象与x 轴交于A ，B 两点 ∴当y=0时，0=-2x 2+8x-6 ∴x 1=1，x 2=3∴点A （1，0），点B （3，0） ∴AB=2∴S △ABC = 12 ×AB ×2=2.17．【答案】（1）解：∵y=﹣ 12 x 2﹣x+4=﹣ 12 （x 2+2x ﹣8）=﹣ 12 [（x+1）2﹣9]=﹣ 12 （x+1）2+ 92 ∴它的顶点坐标为（﹣1， 92 ），对称轴为直线x=﹣1 （2）解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下 ∴当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小 18．【答案】（1）m 2（2）解：把A （m ，-2m+3）代入y=x 2，得-2m+3=m 2．解得m 1=-3，m 2=1；（3）解：根据题意知：|-2m+3-m 2|=2． ①-2m+3-m 2=2解得m 1=−√2−1，m 2=√2−1 ∵m ＜0∴m=−√2−1，符合题意； ②-2m+3-m 2=-2解得m 1=−√6−1，m 2=√6−1 ∵m ＜0∴m=−√6−1，符合题意．综上所述，m 的值为−√2−1或−√6−1；（4）-3＜m ≤-1或m ＞119．【答案】（1）解：如图所示；（2）①函数图象是轴对称图形，关于 y 轴对称；②当 x >1 时， y 随 x 的增大而增大（3）x 1=−2，x 2=0，x 3=2；2；−1<a <0。