【中考全效】2018届中考数学学练测《第5讲第1课时二次函数与三角形的综合》课件

合集下载

2018年中考数学真题演练之二次函数专题(解析版)

2018年中考数学真题演练之二次函数专题（2019年备战中考）1.已知抛物线。

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点。

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C 三点都在圆P上。

①试判断：不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由；②若点C关于直线的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为，圆P的半径记为，求的值。

2.如图，已知抛物线过点A 和B ，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C。

（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）的图像与x轴交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC.（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.4.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。

动点M，N同时从A 点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。

连接MN。

（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。

5.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，且与轴交于点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接、.（Ⅰ）若点的横坐标为，求面积的最大值，并求此时点的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.6.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF 折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.7.已知顶点为抛物线经过点，点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.8.如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；（3）条件同，若与相似，求点P的坐标．10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO= ，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ 的比值为y，求y与m的数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC 的值最大时，求点M的坐标．13.如图1，直线l：与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．14.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点.如图，直线与抛物线交于点两点，直线为.（1）求抛物线的解析式；（2）在上是否存在一点，使取得最小值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点到直线的距离与点到点的距离总是相等，求定点的坐标.15.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）16.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.17.如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为.点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止.设运动时间为秒.（1）当时，线段的中点坐标为________；（2）当与相似时，求的值；（3）当时，抛物线经过、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示.问该抛物线上是否存在点，使，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由.18.如图1，图形ABCD是由两个二次函数与的部分图像围成的封闭图形，已知A(1，0)、B(0，1)、D(0，﹣3)．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．19.如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．20.如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点B（，0）．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21.如图，抛物线y=ax2+bx﹣与x 轴交于A（1，0）、B（6，0）两点，D 是y 轴上一点，连接DA，延长DA 交抛物线于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）若E 点在第一象限，过点 E 作EF⊥x 轴于点F，△ADO 与△AEF 的面积比为= ，求出点E 的坐标；（3）若D 是y 轴上的动点，过D 点作与x 轴平行的直线交抛物线于M、N 两点，是否存在点D，使DA2=DM•DN？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；（3）②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．23.综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为________；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx +c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）24.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.________②如图3，当时E P与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.________③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为________,其中的取值范围是________(直接写出结论，不必证明)（2）【探究二】若且AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：①S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.②随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE=11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.26.已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线经过点A，和x 轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值；（3）如图2，经过点的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求的值．备注：抛物线顶点坐标公式27.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．28.如图，已知二次函数的图象与轴分别交于A(1,0),B(3,,0)两点，与轴交于点C．（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断的形状，并说明理由.参考答案与解析1.【答案】（1）证明：当抛物线与x轴相交时，令y=0，得：x2+mx-m-4=0∴△=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2∵m＞0，∴（m+4）2＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点。

2018中考数学试题二次函数解答题试题汇编(含答案解析)

2018年全国各地中考数学试题《二次函数》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）3．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？5．（2018•张家界）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．6．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？8．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．10．（2018•青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．11．（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．12．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．13．（2018•襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=，n=；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？14．（2018•荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）15．（2018•贵阳）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：cm）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．16．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．18．（2018•邵阳）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．19．（2018•济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．（2018•温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．22．（2018•黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．（2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．24．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？25．（2018•黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？26．（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．27．（2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．28．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．29．（2018•淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．30．（2018•兰州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．32．（2018•巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE 是等腰三角形？33．（2018•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；△AOC若不存在，请说明理由．34．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？35．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C （0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．36．（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？37．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2018•怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2018•黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．40．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？41．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．42．（2018•岳池县三模）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．43．（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．44．（2018•宜宾）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．45．（2018•深圳）已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．46．（2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．47．（2018•岳阳）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m ＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．49．（2018•青海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．50．（2018•日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．51．（2018•湖北）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？52．（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．53．（2018•东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．54．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？。

【中考全效】2018届中考数学学练测《第5讲第2课时二次函数与四边形的综合》课件

全效学习中考学练测
归类探究
分层集训
(2)根据表达式设出点 P 坐标，从而得到点 A，C 的坐标，再通过 N 的坐标求出点 M 的坐标和 D 的坐标，即可求出 MD 和 PA 的长度，得出长度相等，而 MD∥PA，所以四边形 PMDA 是平行四边形； (3)在(2)证明之后继续证明 PM＝PA，则四边形 PMDA 是菱形， 1 1 1 ∠MDP＝ ∠PDE＝ ∠ADM＝ ∠APM，∴∠PDE＝∠APM， 2 2 2 而△DPE 和△PAM 都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似．
2 2 2 4 2 12 3 3 ∴PN＝－ a ＋ a＋＝－ a－2 ＋ ≤ ，∵M，N 在直线 l：y 3 3 3 3 2 2 2 2 PN 2 5 ＝－ x－上，PM∥x，PN∥y，∴PM＝，∴PM＋PN＝ PN≤ 3 3 3 2 15 ， 4 15 即 PM＋PN 的最大值为； 4
图5－2－1
全效学习中考学练测
备用图
归类探究
分层集训
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N.求PM＋PN的最大值； (3)设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 2 2 解： (1)将 B(3，0)，C(0，－2)代入 y＝ x ＋bx＋c，得 3
全效学习中考学练测
归类探究
分层集训
(3)能．设
2 2 Fm，－3m－3， 2 2 4 Pm，3m －3m－2，EC＝PF，
①当 EC 为边时，有
2 2 2 4 4 即－3m ＋3m＋3＝，解得 3

2018届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题及答案

二次函数的综合问题例1。

如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．不存在，请说明理由．图1例2。

2014年苏州市中考第29题如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：ADAE为定值；为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1练习1、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．图1练习2、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；的坐标；（3）若直线l 过点E(4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．的解析式．图1练习3．（2015苏州）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为 ▲ ▲ °；°；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．在，请说明理由．练习4．（2016苏州）如图，直线:33l y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ． (1)求该地物线的函数表达式；求该地物线的函数表达式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ．设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ．求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；的最大值； (3)在(2)的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M ¢. ①写出点M ¢的坐标；的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ¢，当直线l ¢与直线AM ¢重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l ¢与线段BM ¢交于点C ．设点B 、M ¢到直线l ¢的距离分别为的距离分别为 1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l ¢旋转的角度（即∠BAC 的度数）．练习5．（2017苏州）如图，二次函数y=x 2+bx +c 的图象与x 轴交于轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OB=OC ．点D 在函数图象上，CD ∥x 轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．物线的顶点．（1）求b 、c 的值；的值；（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F'恰好在线段BE 上，求点Fy xOPCBAl （第27题）题）的坐标；的坐标；（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．的坐标；如果不存在，说明理由．参考答案：例1。

2018届中考学练测《第5讲第3课时二次函数与相似三角形》课件

1 2 3 ∴抛物线 L2 的表达式是 y＝－ x ＋ x＋2， 2 2 (2)如答图，过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥x 轴于
0＝－16－4b1＋c1， b1＝m－4，由题意得解得 2 0＝－m ＋b1m＋c1， c1＝4m，
点 H，
全效学习中考学练测
全效学习中考学练测
归类探究
分层集训
解： (1)∵抛物线 y＝ax2＋1 经过点 A(4，－3)， 1 ∴－3＝16a＋1，解得 a＝－， 4 1 2 ∴抛物线的表达式为 y＝－ x ＋1，顶点 B 坐标为(0，1)； 4 (2)①当点 P 运动到点 A 处时，PO＝5，PH＝5，PO＝PH； ②结论：PO＝PH.理由：设点 P
归类探究
分层集训
第3课时
二次函数与相似三角形的综合
全效学习
全效学习中考学练测
中考学练测
归类探究
分层集训
1 2 1 [2017· 宁波]如图 5－3－1，抛物线 y＝ x ＋ x＋c 与 x 轴的 4 4 负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点抛物线上，直线 AC 与 y 轴交于点 D.
3 0＝－4k＋b， k＝， 4 得15 解得＝6k＋b， 2 b＝3. 3 ∴直线 AC 的函数表达式为 y＝ x＋3. 4
全效学习中考学练测
归类探究
分层集训
OB 3 (2)①∵在 Rt△AOB 中，tan∠OAB＝OA＝， 4 OD 3 在 Rt△AOD 中，tan∠OAD＝ OA ＝， 4
5 ， 5 ，PH＝_____ (2)①当点P运动到点A处时，计算：PO＝_____ ＝ PH(选填“＞”“＜”或“＝”)；由此发现，PO______ ②当点P在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

【中考全效课件】2018届中考数学学练测《5.3一次函数的应用》课件

全效学习中考学练测
备考基础
归类探究
分层集训
1．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h) 之间为一次函数关系．根据图15－4提供的信息，解答下列问题： (1)求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； (2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．图15－4
全效学习中考学练测
35＝55m＋n， m＝－1，解得 15＝75m＋n， n＝90，
∴z＝－a＋90.当 z＝25 时，a＝65. 设该厂第一个月销售这种机器的利润为 W 万元，则 W＝ 2 000 25×65－ 50 ＝625(万元)．答：该厂第一个月销售这种机器的利润为 625 万元．
备考基础
归类探究
分层集训
解： (1)设 y＝kx＋b，由题知图象过(0，24)，(2，12)，
24＝b， k＝－6，代入，得解得 12＝2k＋b， b＝24，
∴y 与 x 的函数关系式为 y＝－6x＋24(0≤x≤4)； (2)当 y＝0 时，0＝－6x＋24，解得 x＝4. 答：蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为 4 h.
(2)请在同一个平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象；
(3)请回答谁先到达老家．
全效学习中考学练测
备考基础
归类探究
分层集训
解： (1)y1＝20x(0≤x≤2)； y2＝40(x－1)＝40x－40(1≤x≤2)；
(2)如答图所示；
变式跟进1答图 (3)从图象中得出他们同时到达．
全效学习中考学练测
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求该机器的生产数量；
全效学习中考学练测
备考基础

【全效学习】2018届中考数学：专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用

专题提升(八)二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x，y＝(x－9)(1 360－80x)＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．－b2a＝－2 0802×（－80）＝13，∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x＋1_000__；自变量x的取值范围为__30≤x≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得⎩⎨⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1 000，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000.当y ＝0时，x ＝50，∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.(3)设第二个月的利润为W 元，由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，得⎩⎨⎧110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝160， ∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200＝－x 2＋260x －16 400＝－(x －130)2＋500，∴当x ＝130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t 天才能还清集资款，则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ，解得t ≥102249.∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝24 000x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝40 000600×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝50(间)，旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y ＝(800＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025， ∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．①求W 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)y ＝⎩⎨⎧－x ＋14（2≤x ＜8），6（x ≥8）； (2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48，当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，∴函数表达式为W ＝⎩⎨⎧－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），－x ＋48（x ≥8）；②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意，当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ；(3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元．由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132，化简，得3m ＝x ＋60.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得 W ＝－(x －4)2＋64，当x ＝4时，有最大毛利润64万元．此时，m ＝643，m －x ＝523；②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共643 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅523 t ，公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，解得x1＝50，x2＝80.当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．。

2018年中考数学重难点突破5 二次函数与几何综合题 (共129张PPT)

类型二：探究角度数量关系的存在性
类型三：探究图形面积数量关系的存在性
类型四：探究二次函数与几何图形中的最值
类型五：探究特殊三角形的存在性
类型六：探究特殊四边形的存在性
专题五二次函数与几何综合题
类型一：探究线段数量关系的存在性类型二：探究角度数量关系的存在性类型三：探究图形面积数量关系的存在性类型四：探究二次函数与几何图形中的最值类型五：探究特殊三角形的存在性类型六：探究特殊四边形的存在性类型七：探究三角形相似的存在性
类型一：探究线段数量关系的存在性
类型七：探究三角形相似的存在性 Nhomakorabea

【全效学习】2018专题提升含答案(七) 二次函数的图象和性质的综合运用

专题提升(七)二次函数的图象和性质的综合运用【经典母题】用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．解：略．【思想方法】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．【中考变形】1．[2016·烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z7－1所示，下列结论：①4ac ＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有(B)图Z7－1A．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2－4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确；∵x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，故②错误；∵对称＞1，又∵a＜0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故③正确．故轴直线x＞1，∴－b2a选B.2．[2016·绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是(A) A．4 B．6C ．8D ．10【解析】 ∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，∴⎩⎨⎧4＋2b ＋c ＝6，1≤－b 2×1≤3，解得6≤c ≤14.故选A.3．[2017·株洲]如图Z7－2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A (－1，0)与点C (x 2，0)，且与y 轴交于点B (0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c ＝－1；④当|a |＝|b |时x 2＞5－1，以上结论中正确结论的序号为__①④__.【解析】由A (－1，0)，B (0，－2)，得b ＝a －2，∵开口向上，∴a ＞0.∵对称轴在y 轴右侧，∴－b 2a ＞0，∴－a －22a ＞0，a ＜2，∴0＜a ＜2，①正确；∵抛物线与y 轴交于点B (0，－2)，∴c ＝－2，③错误；∵抛物线图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴a －b －2＝0，b ＝a －2，∵0＜a ＜2，∴－2＜b ＜0，②错误；∵|a |＝|b |，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝12，∴x 2＝2＞5－1，④正确．故答案为①④.图Z7－2 图Z7－3 4．[2017·天水]如图Z7－3是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是__②⑤__.(只填写序号)【解析】由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，①错误；观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，②正确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，④错误；∵x＝1时，y1有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，⑤正确．综上所述，②⑤正确．5．如图Z7－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．图Z7－4解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．6．[2017·江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．解：(1)当a＝1时，抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴对称轴为x＝2，∴当y＝0时，x－2＝3或－3，即x＝－1或5，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)；(2)①抛物线C1表达式为y＝ax2－4ax－5，整理，得y＝ax(x－4)－5.∵当ax(x－4)＝0时，y恒定为－5，∴抛物线C1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)．②这两个点连线为y＝－5，将抛物线C1沿y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5；(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x＝2时，y＝2或－2.当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝7；4当y ＝－2时，－2＝－4a ＋8a －5，解得a ＝34.∴a ＝74或34.7．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C .(1)求直线BC 的表达式；(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线BC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．解：(1)由y ＝x 2－4x ＋3得到y ＝(x －3)(x －1)，C (0，3)，∴A (1，0)，B (3，0)．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3；中考变形7答图(2)由y ＝x 2－4x ＋3得到y ＝(x －2)2－1，∴抛物线y ＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，顶点坐标是(2，－1)．∵y 1＝y 2，∴x 1＋x 2＝4.令y ＝－1，代入y ＝－x ＋3，得x ＝4.∵x 1＜x 2＜x 3(如答图)，∴3＜x 3＜4，即7＜x 1＋x 2＋x 3＜8.8．[2016·益阳]如图Z7－5，顶点为A (3，1)的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B .(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过点B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ；(3)在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．图Z7－5 中考变形8答图解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，∴设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1.将原点坐标(0，0)代入，得a ＝－13，∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x ； (2)证明：将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，得B (23，0)．设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x . ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入，得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D 的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，∴OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD ，在△OCD 与△OAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ，CD ＝AB ，OD ＝OB ，∴△OCD ≌△OAB (SSS )；(3)如答图，点C 关于x 轴的对称点C ′的坐标为(0，2)，连结C ′D ，则C ′D 与x 轴的交点即为点P ，此时△PCD 的周长最小．过点D 作DQ ⊥y 轴，垂足为Q ，则PO ∥DQ .∴△C ′PO ∽△C ′DQ ，∴PO DQ ＝C ′O C ′Q，即PO 3＝25，解得PO ＝235， ∴ 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－235，0.【中考预测】设抛物线y ＝mx 2－2mx ＋3(m ≠0)与x 轴交于点A (a ，0)和B (b ，0)．(1)若a ＝－1，求m ，b 的值；(2)若2m ＋n ＝3，求证：抛物线的顶点在直线y ＝mx ＋n 上；(3)抛物线上有两点P (x 1，p )和Q (x 2，q )，若x 1＜1＜x 2，且x 1＋x 2＞2，试比较p 与q 的大小．解：(1)当a ＝－1时，把(－1，0)代入y ＝mx 2－2mx ＋3，解得m ＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.令y＝0，则由y＝－x2＋2x＋3，得x＝－1或3，∴b＝3；(2)抛物线的对称轴为x＝1，把x＝1代入y＝mx2－2mx＋3，得y＝3－m，∴抛物线的顶点坐标为(1，3－m)．把x＝1代入y＝mx＋n，得y＝m＋n＝m＋3－2m＝3－m，∴顶点坐标在直线y＝mx＋n上；(3)∵x1＋x2＞2，∴x2－1＞1－x1，∵x1＜1＜x2，∴|x2－1|＞|x1－1|，∴P离对称轴较近，当m＞0时，p＜q，当m＜0时，p＞q.。

重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习册

第5节二次函数的综合应用课时1 与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017滨州)如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．第1题图2. (2017宁波)如图，抛物线y ＝14x 2＋14x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点C (6，152)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D .(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长．(用含m 的代数式表示)第2题图3. (2017东营)如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．第3题图4. (2017武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．第4题图课时2 与面积有关的问题 (建议答题时间：40分钟)1. (2017深圳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (－1，0)，B (4，0)，交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使S △ABD ＝32S △ABC ，若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°得到BE ，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．第1题图2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B .(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．3. (2017海南)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y ＝35x ＋3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .①连接PC 、PD ，如图①，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图②，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．第3题图4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线y ＝－13x 2＋13x ＋4交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，连接AC、BC.(1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；(2)如图①，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NK⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1∶2时，求动点P的运动时间t的值；(3)如图②，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A 出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．第4题图课时3 与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B (4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D (3，52)，过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C .(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在线段OC 上(不与点O 、C 重合)，过P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值；(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2017广安)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于点A (0，3)，与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x ＝1. (1)求此抛物线的解析式及点B 的坐标；(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．第2题图3. (2017潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(－1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2－83x－3与x轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C . (1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x 轴的对称点记为点P ，点M 是直线BC 上的一动点，当△PBC 的面积最大时，求PM ＋1010MC 的最小值； (3)如图②，点K 为抛物线的顶点，点D 在抛物线对称轴上且纵坐标为3，对称轴右侧的抛物线上有一动点E ，过点E 作EH ∥CK ，交对称轴于点H ，延长HE 至点F ，使得EF ＝533，在平面内找一点Q ，使得以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q ，若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图课时4 二次函数的实际应用 (建议答题时间：20分钟)1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m )与足球被踢出后经过的时间t (单位：s )之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 42. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m . (1)当a ＝－124时，①求h 的值，②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．第2题图3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x 之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)答案课时1 与线段、周长有关的问题1. 解：(1)∵直线y＝kx＋b经过点A(－4，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3， ∴直线的函数解析式为y ＝34x ＋3；(2)如解图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ∥y 轴交直线AB 于点N .第1题解图∴∠PNM ＝∠ABO ， ∵∠AOB ＝∠NMP ＝90°， ∴△AOB ∽△PMN ， ∴AO PM ＝AB PN ， ∵OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5， ∴PM ＝45PN ，∵点P 是抛物线上的点，PN ∥y 轴， ∴P (x ，－x 2＋2x ＋1)，N (x ，34x ＋3)，∴PN ＝34x ＋3－(－x 2＋2x ＋1)＝x 2－54x ＋2＝(x －58)2＋10364，PM ＝d ＝45(x －58)2＋10380， ∴当x ＝58时，PM 取得最小值10380，此时P 点坐标为(58，11964)；(3)∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ， ∴C (0，1)，对称轴为直线x ＝－22×（－1）＝1，如解图，作点C 关于对称轴的对称点G ，则G 点坐标为(2，1)，点G 到直线AB 的距离即为CE ＋EF 的最小值，最小值为d ＝45×(2－58)2＋10380＝145. 2. (1)解：把点C (6，152)代入抛物线解析式可得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3， ∴y ＝14x 2＋14x －3，当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3， ∴A (－4，0)，设直线AC 的函数表达式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (－4，0)，C (6，152)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b 152＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3，∴直线AC 的函数表达式为：y ＝34x ＋3；(2)①证明：由(1)易得OA ＝4，OB ＝3，OD ＝3，∵在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝34.在Rt △AOD 中，tan ∠OAD ＝OD OA ＝34.∴∠OAB ＝∠OAD ，∵在Rt △POQ 中，M 为PQ 中点， ∴OM ＝MP ， ∴∠MOP ＝∠MPO ， ∵∠MOP ＝∠AON ， ∴∠APM ＝∠AON ， ∴△APM ∽△AON ；②解：如解图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E . 又∵OM ＝MP ， ∴OE ＝EP ， ∵点M 横坐标为m ， ∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4， ∵tan ∠OAD ＝34，∴cos ∠EAM ＝cos ∠OAD ＝45，∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，∵△APM ∽△AON ， ∴AMAN ＝AP AO， ∴AN ＝AM ·AO AP ＝5m ＋202m ＋4.第2题解图3. 解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)． ∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝33，∴∠CBO ＝30°， ∴∠BCO ＝60°， ∵AC ⊥BC ， ∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×33＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33b ＝233， ∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴， ∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， ∵MH ⊥BC ，∴HD ＝12MD ，MH ＝32MD .∴△DMN 的周长为(1＋12＋32)MD .设点D 的坐标为(t ，－33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233t ＋3)， ∵点M 在直线BC 上方的抛物线上， ∴MD ＝(－33t 2＋233t ＋3)－ (－33t ＋3)＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334. ∵0＜t ＜3，∴当t ＝32时，MD 有最大值，且MD 的最大值为334，∴△DMH 周长的最大值为(1＋12＋32)×334＝93＋98.4. (1)解：将点A (－1，1)，B (4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：∵A (－1，1)，F (0，m ) ∴直线AF 的解析式为：y ＝(m －1)x ＋m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，得12x 2－(m －12)x －m ＝0. ∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点，∴x A ＋x G ＝－－（m －12）12＝2m －1，∴x G ＝2m －1－(－1)＝2m ，∴H (2m ，0)，∴直线HF 的解析式为：y ＝－12x ＋m .由抛物线解析式易得E (1，0)，又A (－1，1)，∴直线AE 的解析式为：y ＝－12x ＋12，∵直线HF 与直线AE 的斜率相等， ∴HF ∥AE ；(3)解：t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.【解法提示】由题意知直线AB 解析式为y ＝x ＋2，∴C (－2，0)，D (0，2)，P (t －2，t )，Q (t ，0)．∴直线PQ 的解析式为y ＝－t 2x ＋t22，设M (x 0，y 0)，由QM ＝2PM 可得：|t －x 0|＝2|x 0－t ＋2|，解得：x 0＝t －43或x 0＝t －4.(i )当x 0＝t －43时，代入直线PQ 解析式得y 0＝23t .∴M (t －43，23t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －43)2－12(t －43)＝23t ，解得t 1＝15＋1136，t 2＝15－1136；(ii )当x 0＝t －4时，y 0＝2t . ∴M (t －4，2t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －4)2－12(t －4)＝2t ，解得：t 3＝13＋892，t 4＝13－892.综上所述，t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.课时2 与面积有关的问题1. 解：(1)将点A (－1，0)，B (4，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)存在，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M . 设D (m ，－12m 2＋32m ＋2)(m >0)，则DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|.∵A (－1，0)，B (4，0)， ∴AB ＝5.∵抛物线交y 轴于点C ，∴y ＝－12x 2＋32x ＋2中，令x ＝0，有y ＝2，∴C (0，2)，∴OC ＝2. ∵OC ⊥AB ，∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝5，第1题解图①又∵S △ABD ＝32S △ABC ，∴DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|＝32OC ＝3，当－12m 2＋32m ＋2＝3时，解得m 1＝1，m 2＝2，此时D 1(1，3)，D 2(2，3)；当－12m 2＋32m ＋2＝－3时，解得m 3＝－2(舍去)，m 4＝5，此时D 3(5，－3)．综上所述，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．(3)如解图②，过点C 作CF ⊥BC 交BE 于点F ，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .第1题解图②∵CF ⊥BC ，∠CBF ＝45°，∴△BCF 是等腰直角三角形，且BC ＝CF ， ∴∠OCB ＋∠FCH ＝90°，又∵FH ⊥y 轴，∴∠CFH ＋∠FCH ＝90°， ∴∠OCB ＝∠CFH ，而BC ＝CF ，∴△BOC ≌△CHF (AAS )，又∵B (4，0)，C (0，2)， ∴CH ＝OB ＝4，FH ＝OC ＝2， ∴OH ＝6， ∴F (2，6)．设BE 的解析式为y ＝kx ＋c ，将B (4，0)，F (2，6)代入y ＝kx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋c ＝02k ＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3c ＝12， ∴BE 的解析式为y ＝－3x ＋12.联立抛物线和直线BE 的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x 2＋32x ＋2y ＝－3x ＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 1＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5y 2＝－3， ∴E (5，－3)， ∵EG ⊥x 轴， ∴BG ＝1，EG ＝3，∴在Rt △BEG 中，BE ＝BG 2＋EG 2＝10. 2. 解：(1)据题意得，A (－4，0)，C (0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b＋c 2＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1， ∴B (1，0)，如解图①，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ，第2题解图①∴DM ∥BN ， ∴△DME ∽△BNE ， ∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN，设D (a ，－12a 2－32a ＋2)，则M (a ，12a ＋2)，∴DM ＝－12a 2－32a ＋2－(12a ＋2)＝－12a 2－2a ，在y ＝12x ＋2中，令x ＝1，则y ＝52，∴BN ＝52，∵B (1，0)， ∴N (1，52)，∴S 1S 2＝DM BN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45， ∴当a ＝－2时，S 1S 2取最大值为45；②如解图②，第2题解图②∵A (－4，0)，B (1，0)，C (0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 中点P ，并连接CP ， ∴P (－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC )＝43；情况1：过D 作x 轴的平行线，交y 轴于R ，交AF 延长线于G ，则∠DGC ＝∠BAC ，若∠DCF ＝2∠BAC ，即∠DGC ＋∠CDG ＝2∠BAC ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12.即RC DR ＝12，设D (d ，－12d 2－32d ＋2)， ∴DR ＝d ，RC ＝－12d 2－32d ，∴－12d 2－32d d ＝12，∴d 1＝0(舍)，d 1＝－2， ∴x D ＝－2；情况2：如解图③，过A 作AQ ∥DF ，交CD 延长线于点Q ，过Q 作QH ⊥x 轴于点H ，若∠FDC ＝2∠BAC ，即∠AQC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠AQC ＝AC AQ ＝25AQ ＝43，∴AQ ＝352，△QHA ∽△AOC ，∴AH OC ＝AQ AC ＝HQ AO ＝34，第2题解图③∴AH ＝32，HQ ＝3，∴Q (－112，3)，又C (0，2)，∴易求直线QC 的解析式为y ＝－211x ＋2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－211x ＋2y ＝－12x 2－32x ＋2，∴12x 2＋2922x ＝0， x 1＝0(舍去)，x 2＝－2911，∴x D ＝－2911，综上所述，D 点的横坐标为－2或－2911.3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185，∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)∵点P 是抛物线上的动点，且位于x 轴下方， ∴可设点P (t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M 、N ， ∴M (t ，0)，N (t ，35t ＋3)．①∵点C ，D 是直线与抛物线的交点，∴令35x 2－185x ＋3＝35x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝7.当x ＝0时，y ＝35x ＋3＝3，当x ＝7时，y ＝35x ＋3＝365.∴点C (0，3)，D (7，365)．如解图，分别过点C 和点D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E ，F ，第3题解图则CE ＝t ，DF ＝7－t ，S ΔPCD ＝S ΔPCN ＋S ΔPDN ＝12PN ·CE ＋12PN ·DF ＝12PN (CE ＋DF )＝72PN ，当PN 最大时，△PCD 的面积最大．∵PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，∴当t ＝72时，PN 取最大值为14720，此时△PCD 的面积最大，最大值为12×7×14720＝102940；②存在.∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，∴当NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM 时，△CNQ 与△PBM 相似．∵CQ ⊥PM ，垂足为点Q ， ∴Q (t ，3)．且C (0，3)，N (t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝(35t ＋3)－3＝35t .∴NQ CQ ＝35. ∵P (t ，35t 2－185t ＋3)，M (t ，0)，B (5，0)．∴BM ＝5－t ，PM ＝－35t 2＋185t －3.情况1：当NQ CQ ＝PM BM 时，PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t )，解得t 1＝2，t 2＝5(舍去)，此时，P (2，－95)；情况2：当NQ CQ ＝BM PM 时，BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t 1＝349，t 2＝5(舍去)．此时，P (349，－5527)．综上所述，存在点P (2，－95)或者P (349，－5527)，使得△CNQ 与△PBM 相似．4. 解：(1)令y ＝0，则－13x 2＋13x ＋4＝0，解得x ＝4或－3，∴点A 坐标(－3，0)，点B 坐标(4，0)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，把B (4，0)，C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝44k ＋b ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝4 ，∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋4；(2)如题图①，∵PN ∥OC ，NK ⊥BC ，∴∠MPB ＝∠MKN ＝90°， ∵∠PMB ＝∠NMK ， ∴△MNK ∽△MBP ，∵△MNK 与△MBP 的面积比为1：2，∴BM ＝2MN ， ∵OB ＝OC ， ∴∠PBM ＝45°， ∴BM ＝2PB ， ∴MN ＝PB ，设P (a ，0)，则MN ＝－13a 2＋13a ＋4＋a －4＝－13a 2＋43a ，BP ＝4－a ，∴－13a 2＋43a ＝4－a ，解得a ＝3或4(舍去)， ∴PB ＝1，t ＝15；(3)①如解图①中，过F 作FR ⊥x 轴于R ，交GH 于T ，当轴对称图形为筝形时，PF ＝PG ，GM ＝FM ，∵BP ＝PG ＝AQ ，PQ ＝PF ， ∴AQ ＝PQ ＝5t ，过点Q 作QN ⊥AP ，则AN ＝NP ，由△AQN ∽△ACO ， ∴AQ AC ＝AN AO， ∵A (－3，0)，C (0，4)， ∴AC ＝5， ∴5t 5＝AN 3， ∴AN ＝3t ， ∴AP ＝2AN ＝6t ， ∵AP ＋BP ＝AB ， ∴6t ＋5t ＝7， ∴t ＝711，∴PB ＝PF ＝3511，易证△ACO ∽△FPR ∽△FMT ， ∴FP FR ＝AC AO， ∴FR ＝2111，TF ＝3511－2111＝1411，∴FM AC ＝TF AO ， ∴FM ＝7033，∴S ＝2×12PF ·FM ＝2450363；②如解图②中，当轴对称图形是正方形时，3t ＋5t ＝7，∴t ＝78，∴S ＝494.第4题解图① 第4题解图② 课时3 与三角形、四边形形状有关的问题1. 解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过B (4，0)，D (3，52)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋152＝9a ＋3b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34b ＝114，∴抛物线的表达式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)∵抛物线y ＝－34x 2＋114x ＋1与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为A (0，1)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝d 52＝3k ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12d ＝1，∴直线AD 的表达式为y ＝12x ＋1.∵CD ⊥x 轴，点D 的坐标为D (3，52)，∴点C 的坐标为C (3，0)，设P (m ，0)，则0<m <3. ∵PN ⊥x 轴， ∴M (m ，12m ＋1)，∴PM ＝12m ＋1，CP ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PM ·CP ＝12×(12m ＋1)×(3－m )＝－14(m －12)2＋2516，∴当m ＝12时，△PCM 面积取得最大值为2516；(3)∵OP ＝t ，∴P (t ，0)，M (t ，12t ＋1)，N (t ，－34t 2＋114t ＋1)，∴MN ＝|－34t 2＋114t ＋1－(12t ＋1)|＝|－34t 2＋94t |，∵CD ∥MN ，∴要使得四边形MNDC 是平行四边形，只需MN ＝CD 即可． ∵CD ＝52，∴只需|－34t 2＋94t |＝52，化简得3t 2－9t ＋10＝0或3t 2－9t －10＝0.当3t 2－9t ＋10＝0时，Δ＝81－120<0，方程无解；当3t 2－9t －10＝0时，Δ＝81＋120＝201>0， ∴t ＝9±2016，∵t >0， ∴t ＝9＋2016，∴当t 为9＋2016时，四边形MNDC 是平行四边形．2. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)， ∴c ＝3，∵对称轴是直线x ＝1，∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)；(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，－4t 2＋4t ＋3)， ∵四边形OMPN 为矩形，∴PM ＝ON ，即－4t 2＋4t ＋3＝3t ，解得t 1＝1，t 2＝－34(不合题意，舍去)，∴当t ＝1时，四边形OMPN 为矩形；②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3，∴∠B ＝45°，若△BOQ 为等腰三角形，有三种情况： (ⅰ)若OQ ＝BQ ，如解图①所示：则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝32，∴t ＝32÷2＝34；(ⅱ)若OQ ＝OB ， ∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)；(ⅲ)若OB＝BQ，如解图②所示：∴BQ＝3，∴BM＝BQ·cos45°＝3×2 2＝322，∴OM＝OB－BM＝3－322＝6－322，∴t＝6－322÷2＝6－324，综上所述，当t为34秒或6－324秒时，△BOQ为等腰三角形．第2题解图3.解：(1)将点A、B、D的坐标代入抛物线的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧c＝3a－b＋c＝04a＋2b＋c＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1b＝2c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)把y＝0代入y＝－x2＋2x＋3得：－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝－1.∴点E的坐标为(3，0)．∵l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，∴直线l经过平行四边形两对角线的交点，∴直线l经过点BD的中点，即(12，32)．设EF的解析式为y＝kx＋b′，将(12，32)和(3，0)代入直线的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧12k＋b′＝323k＋b′＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－35b′＝95，∴直线EF 的解析式为y＝－35x ＋95，将直线EF 解析式与抛物线解析式联立可得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－35x ＋95y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25y ＝5125，∴F (－25，5125)，如解图①所示，连接PE ，过点P 作PG ⊥x 轴，交EF 于点G .第3题解图①设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，则点G 的坐标为(t ，－35t ＋95)，∴PG ＝－t 2＋2t ＋3－(－35t ＋95)＝－t 2＋135t ＋65.△PEF 的面积＝12PG ·|x E －x F |＝12×(3＋25)PG ＝12×175(－t 2＋135t ＋65)＝－1710t 2＋22150t ＋10250＝－1710·(t －1310)2＋289100×1710， ∴当t ＝－b 2a ＝1310时，△PFE 的面积最大，最大面积为289100×1710，∴最大值的立方根为3289100×1710＝1.7；(3)如解图②所示：当∠PAE ＝90°时，第3题解图②设直线AE 的解析式为y ＝k ′x ＋3，将点E 的坐标代入得：3k ′＋3＝0，解得k ′＝－1.∴直线AE 的解析式为y ＝－x ＋3. ∴直线AP 的解析式为y ＝x ＋3.将y ＝x ＋3与y ＝－x 2＋2x ＋3联立，解得x ＝0时，y ＝3；x ＝1时，y ＝4. ∴P (1，4)． ∴t ＝1.如解图③所示：当∠APE ＝90°时，第3题解图③设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．设直线AP 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，PE 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2.将点A 和点P 的坐标代入y ＝k 1x ＋b 1得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3tk 1＋b 1＝－t 2＋2t ＋3，解得k 1＝－t ＋2.将点P 、E 代入y ＝k 2x ＋b 2得⎩⎪⎨⎪⎧3k 2＋b 2＝0tk 2＋b 2＝－t 2＋2t ＋3，解得k 2＝－(t ＋1)． ∵PA 与PE 垂直，∴k 1·k 2＝－1，即－(t ＋1)×(－t ＋2)＝－1，整理得：t 2－t －1＝0，解得t ＝1＋52或t ＝1－52，∵点P 在直线l 的上方， ∴t ＝1－52(舍去)．综上所述，当t ＝1或t ＝1＋52时，△PAE 为直角三角形．4. 解：(1)△ABC 是直角三角形. 理由如下：对于抛物线y ＝33x 2－83x －3，令y ＝0, 得33x 2－83x －3＝0，解得x ＝－33或3 3. 令x ＝0，y ＝－ 3. ∴A (－33，0)，C (0，－3)，B (33，0)， ∴OA ＝33，OC ＝3，OB ＝33， ∴AO OC ＝OC OB ＝13， ∵∠AOC ＝∠BOC ， ∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ACO ＝∠OBC ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°. 即△ABC 为直角三角形；(也可以求出AC 、BC 、AB ，利用勾股定理逆定理证明) (2)如解图①中，设第四象限抛物线上一点N (m ，33m 2－83m －3)，点N 关于x 轴的对称点P (m ，－33m 2＋83m ＋3)，过B 、C 分别作y 轴、x 轴的平行线交于点G ，连接PG .第4题解图①∵G (33，－3)，∴S ΔPBC ＝S ΔPCG ＋S ΔPBG －S ΔBCG ＝12×33×(－33m 2＋83m ＋23) ＋12×3×(33－m )－12×33×3＝－32(m －736)2＋1218.∵32<0，∴当m ＝736时，△PBC 的面积最大，此时P (736，1134)．如解图②，作ME ⊥CG 于点E ，第4题解图②∵CG ∥OB ， ∴∠OBC ＝∠ECM ， ∵∠BOC ＝∠CEM ， ∴△CEM ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝1∶3∶10， ∴EM ∶CE ∶CM ＝1∶3∶10， ∴EM ＝1010CM ， ∴PM ＋1010CM ＝PM ＋ME ， ∴根据垂线段最短可知，当PE ⊥CG 时，PM ＋ME 最短， ∴PM ＋1010MC 的最小值为1134＋3＝1534； (3)存在，理由如下：① 如解图③，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴．作CG ⊥HK 于G ，PH ∥x 轴，EP ⊥PH 于点P .第4题解图③∵FH ∥CK ，K (433，－2539)，易知CG ∶GK ∶CK ＝3∶4∶5，由△EPH ∽△KGC ，得PH ∶PE ∶EH ＝3∶4∶5，设E (n ，33n 2－83n －3)，则HE ＝53(n －433)，PE ＝43(n －433)．∵DH ＝HF ， ∴3＋[－33n 2＋83n ＋3－43(n －433)]＝53(n －433)＋533，解得n ＝－3＋4716或n ＝－3－4716(舍去)．②如解图④，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴．同上面的方法可得[33n 2－83n －3＋43(n －433)]－3＝53(n －433)＋533，解得n ＝332＋5916或n ＝332－5916(舍去)．第4题解图④③如解图⑤，当DH ＝DF ，DQ 平分∠HDF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴.第4题解图⑤设DQ 交HF 于M ，由△DHM ∽△CKG ，可知HM ∶DH ＝4∶5，则12×[53(n －433)＋533]∶[33n2－83n －3＋43(n －433)－3]＝4∶5，解得n ＝19316＋3345948或n ＝19316－3345948(舍去)．综上所述，满足条件的点E 的横坐标为－3＋4716或332＋5916或19316＋3345948.课时4 二次函数的实际应用1. B 【解析】由足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间关系可求得h 与t 的函数关系式为：h ＝－t 2＋9t ，当t ＝1.5时，可得h ＝11.25，所以④错误；当h ＝0时，可得－t 2＋9t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝9，所以足球被踢出9秒时落地，由h ＝－t 2＋9t 可得对称轴是t ＝92，故②③正确；当t ＝92时，h ＝－814＋812＝814＝20.25，所以①错误；正确结论的个数为2个，故选B .2. 解：(1)①把P (0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h 中得h ＝53；②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625＞1.55. ∴此球能过网；(2)把P (0，1)，Q (7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝19a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15h ＝215， ∴a ＝－15.3. 解：(1)p 与x 之间满足一次函数关系p ＝kx ＋b ，点(50，0)，(30，600)在图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝030k ＋b ＝600，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－30b ＝1500， ∴p 与x 之间的函数表达式为p ＝－30x ＋1500(30≤x ≤50)； (2)设日销售价格为x 元/千克，日销售利润为w 元，依题意得w ＝(－30x ＋1500)(x －30)＝－30x 2＋2400x －45000(30≤x ≤50)，∵a ＝－30<0，∴w 有最大值．当x ＝－24002×（－30）＝40时，w 最大＝3000(元)；故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大． (3)∵w ＝p (x －30－a )＝－30x 2＋(2400＋30a )x －(1500a ＋45000)，对称轴为x ＝－2400＋30a 2×（－30）＝40＋12a .①若a >10，当x ＝45时w 取最大值，即(45－30－a )×150＝2250－150a <2430(舍去)； ②若a <10，当x ＝40＋12a 时w 取最大值，将x ＝40＋12a 代入，得w ＝30(14a 2－10a ＋100)，令w ＝2430，则30(14a 2－10a ＋100)＝2430，解得a 1＝2或a 2＝38(舍去)．综上所述，a 的值为2.。

中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)

中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A（2，0）和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P如果点C在x轴上且△ABC与△ABP相似求点C的坐标．2．如图在平面直角坐标系中点A(1,2)B(5,0)抛物线y=ax2−2ax(a>0)交x轴正半轴于点C连结AO AB．(1)求点C的坐标和直线AB的表达式(2)设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA BA延长线于点D E．①若△CDB与△BOA相似求抛物线表达式②若△OAE是等腰三角形则a的值为______（请直接写出答案即可）．3．如图拋物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点．(1)求出抛物线的解析式(2)若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标(3)若P是抛物线上一动点过P作PM⊥x轴垂足为M使得以A,P,M为顶点的三角形与△OCA相似请直接写出符合条件的点P的坐标．x2+bx+c与x轴交于A B(4,0)两点与y轴交于点C(0,2)连4．如图抛物线y=−12接BC交抛物线的对称轴于点D连接AC．(1)求抛物线的表达式(2)若点E在对称轴上①当AE+CE的值最小时求点E的坐标②以C D E为顶点的三角形与△ABC相似时求点E的坐标．5．如图已知A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)．点P是第一象限内抛物线上的一点连接AC BC．M为OB上的动点过点M作PM⊥x轴交抛物线于点P交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式(2)过点P作PN⊥BC垂足为点N设点M的坐标为(m,0)请用含m的代数式表示线段PN的长并求出当m为何值时PN有最大值最大值是多少？(3)试探究M在运动过程中是否存在这样的点Q使得以O M Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在请求出此时点Q的坐标若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点B(4,0) D(5,3)设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧）且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标（2）求∠DAB的度数（3）若抛物线与y轴相交于点C直线CD交x轴于点E点P在线段AD上当△APE与△ABD相似时求AP的长．7．如图抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C连接BC．(1)求点A B C的坐标(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t过点P作直线PN⊥x轴交抛物线于点N交直线BC于点M．①当点P在线段AB上时设MN的长度为s求s与t的函数关系式②当点P在线段OB上时是否存在点P使得以O P N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在请求出点P的坐标若不存在请说明理由．8．如图在同一直角坐标系中抛物线L1：y=ax2+bx+8与x轴交于A(−8,0)和点C 且经过点B(−2,12)若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称点A的对应点为A′点B的对应点为B′．（1）求抛物线L2的表达式（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3抛物线L3的顶点为M 抛物线L3的对称轴与x轴交于点N 试问：在x轴的下方是否存在一点M 使△MNA′与△ACB′相似？若存在请求出抛物线的L3表达式若不存在说明理由．9．抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点与y轴交于点C点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标S△ACD求点P的坐标（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P使S△ACP=12（3）在坐标轴上找一点M使以点B C M为顶点的三角形与△ACD相似直接写出点M 的坐标．(x+2)(ax+b)的图象过点A(−4，3)，B(4，4)．10．如图已知二次函数y=148(1)求二次函数的解析式(2)请你判断△ACB是什么三角形并说明理由．(3)若点P在第二象限且是抛物线上的一动点过点P作PH垂直x轴于点H试探究是否存在以P H D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在求出P点的坐标．若不存在请说明理由．11．如图直线y=−x+4与x轴交于点A与y轴交于B抛物线y=−x2+bx+c经过A B两点与x轴负半轴交于点C连接BC抛物线对称轴与x轴交于点F P为y轴右侧抛物线上的动点直线BP交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式(2)当BD=3PD时求点P的坐标(3)作PQ⊥AB垂足为Q当△BPQ与△BCO相似时直接写出点Q的坐标．12．在平面直角坐标系中二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（－3 0）B （1 0）两点与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点过点Q作QE垂直于x轴垂足为E．是否存在点Q使以点B Q E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在求出点Q的坐标若不存在说明理由(3)点M为抛物线上一动点在x轴上是否存在点Q使以A C M Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点Q的坐标若不存在说明理由．13．如图① 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−4,0)点B(2,0)和点C(0,−4)它的对称轴为直线l顶点为D．（1）求该抛物线的表达式（2）如图② 点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点连接AP CP AC当△APC的面积取得最大值时求点P的坐标（3）如图③ 点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点过E点作EF⊥直线l于F连接DE当以D E F为顶点的三角形与△BOC相似时求点E的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3 0）B（1 0）两点与y轴交于点C（0 ﹣3m）（m＞0）顶点为D．(1)如图1 当m＝1时①求该二次函数的解析式②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点连接AC OP相交于点Q求PQ的最大值OQ(2)如图2 当m取何值时以A D C为顶点的三角形与∠BOC相似．15．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)B(8,0)C(0,4)三点．(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式(2)如图2 设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B C重合）过点P作PD⊥BC 垂足为点D点P在运动的过程中以P D C为顶点的三角形与△AOC相似时求点P 的坐标(3)在y轴负半轴上是否存在点N使点A绕点N顺时针旋转后恰好落在第四象限抛物线上的点M处且使∠ANM+∠ACM=180°若存在请求N点坐标若不存在请说明理由．（请在备用图中自己画图）16．抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点（A在B的左边）C是抛物线的顶点．(1)当m=2时直接写出A B两点的坐标：(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点∠COB=∠OCD①如图（1）求线段CD长度②如图（2）当m>2T(t,0)(t>0)P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似并且符合条件的点P有2个求t和m之间的数量关系．17．如图1 抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,3)和B(72,−94)两点直线AB与x轴相交于点C P是直线AB上方的抛物线上的一个动点PD⊥x轴交AB于点D抛物线与x轴的交点为F G．(1)求该抛物线的表达式．(2)当点P的坐标为(2，3)时求四边形APGO的面积．(3)如图2 若PE∥x轴交AB于点E且点P在直线AB上方求PD+PE的最大值．(4)若以A P D为顶点的三角形与△AOC相似请直接写出所有满足条件的点P的坐标．18．如图1 抛物线y=ax2+23x+c(a≠0)与x轴交于A(−2，0)B两点与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点AD与BC交于点E且AE=5DE求点D的坐标(3)如图2 已知点M(0，1)抛物线上是否存在点P使锐角∠MBP满足tan∠MBP=1若2存在求出点P的坐标若不存在说明理由．19．如图1 平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)B(2,0)和C(0,2)连接BC点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M交x 轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式(2)如图2 连接OM当△OCM为等腰三角形时求m的值(3)当P点在运动过程中在y轴上是否存在点Q使得以O P Q为顶点的三角形与以B C N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）若存在直接写出点P和点Q的坐标若不存在请说明理由．20．如图（1）在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C点A的坐标为(−1,0)且OC=OB点D和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a b的值和直线AD的解析式(2)直线AD下方的抛物线上有一点P过点P作PH⊥AD于点H作PM平行于y轴交直线AD 于点M交x轴于点E求△PHM的周长的最大值(3)在（2）的条件下如图2 在直线EP 的右侧 x 轴下方的抛物线上是否存在点N 过点N 作NG ⊥x 轴交x 轴于点G 使得以点E N G 为顶点的三角形与△AOC 相似？如果存在请直接写出点G 的坐标如果不存在请说明理由．参考答案1．（1）解：∠抛物线y =x 2+bx 经过点A （2 0） ∠22+2b =0 解得：b =−2 ∠抛物线解析式为y =x 2−2x 当x =−1 时 y =3 ∠点B 的坐标为B (−1,3)设直线AB 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 把A （2 0） B (−1,3) 代入得： {2k +m =0−k +m =3 解得：{k =−1m =2 ∠直线AB 的解析式为y =−x +2 （2）如图连接BD AD∠y =x 2−2x =(x −1)2−1 ∠点D 的坐标为D (1,−1) ∠A （2 0） B (−1,3)∠AB 2=(−1−2)2+32=18,AD 2=(2−1)2+(−1)2=2,BD 2=(−1−1)2+(−1−3)2=20∠AB 2+AD 2=BD 2 ∠∠ABD 为直角三角形 ∠tan∠ABD =ADAB =√2√18=13（3）设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0) 把点D (1,−1) B (−1,3)代入得：{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3 解得：{k 1=−2b 1=1∠直线BD 的解析式为y =−2x +1当y =0 时 x =12 ∠点P 的坐标为P (12,0) 当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠ABC =∠APB如图过点B 作BQ ∠x 轴于点Q 则BQ =3 OQ =1∠∠ABP ∠∠ABC∠∠ABD =∠BCQ由（2）知tan∠ABD =13∠tan∠BCQ =13 ∠BQ CQ =13∠CQ =9∠OC =OQ +CQ =10∠点C 的坐标为C (−10,0)当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠APB =∠ACB 此时点C 与点P 重合∠点C 的坐标为C (12,0)综上所述点C 的坐标为C (−10,0)或(12,0)．2．（1）解：∠x =−b 2a =1∠O C 两点关于直线x =1对称∠C (2,0)设直线AB ：y =kx +b (k ≠0)把A (1,2) B (5,0) 代入得{k +b=25k +b=0解得{k =−12b =52则y =−12x +52 （2）①设D 的坐标为(p,q ) 则BD AB =q 2 若△CDB 与△BOA 相似则BD AB =BC BO∠q 2=BC BO =35∠q =65 ∠D (p,q )在直线AB 上∠D (135,65) 代入抛物线解析式可得a =1013∠抛物线解析式为y =1013x 2−2013x ．②∠A (1,2) B (5,0) O (0,0)∠OA =√5 OB =5 AB =2√5∠OA 2+AB 2=OB 2∠∠OAB=90°∠∠OAE=90° 设E 的坐标为(m,n )∠△OAE 是等腰三角形∠AE =AO =√5∠BE =3√5∠S △BEO =12BE ⋅OA =12BO ⋅n ∠12×3√5×√5=12×5n∠n =3∠E (m,n )在直线AB 上∠3=−12m +52 ∠m =−1又∠E (−1,3)在抛物线上∠3=a +2a故答案为：1．3．解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x −4)(x −1)∵点C (0,−2)在抛物线上∴−4×(−1)a =−2∴a =−12∴抛物线的解析式为y =−12(x −4)(x −1)=−12x 2+52x −2（2）如图当点D 在抛物线上且使△DCA 的面积最大必有平行于直线AC 的直线DE且和抛物线只有一个交点设直线AC 解析式为y =kx +m∵A (4,0) C (0,−2)∠{4k +m =0m =−2解得{k =12m =−2∴直线AC 解析式为y =12x −2设直线DE 解析式为y =12x +b ①∵抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2②联立①②化简得 x 2−4x +4+2b =0∴ Δ=16−4(4+2b )=0∴b =0∴x 2−4x +4=0∴x =2∴D (2,1)过点P 作PM ⊥OAA (4,0) C (0,−2)∴OA =4 OC =2∴ OA OC =2设点P (p,ℎ)∴AM =|4−p|．PM =|ℎ| ℎ=−12p 2+52p −2③∵∠APM =∠AOB =90°∵以A P M 为顶点的三角形与△OAC 相似∴ PM AM=OA OC =2 ① ∴ |ℎ||4−p|=2④联立③④解得{p =4ℎ=0 （舍)或{p =5ℎ=−2或{p =−3ℎ=−14 ∴P (−3,−14)或(5,−2)②PM AM=OC OA =12 ∴ |ℎ||4−p|=12⑤联立③⑤解得 {p =2ℎ=1 或{p =4ℎ=0 （舍)或{p =0ℎ=−2∴P (2,1)或(0,−2)综上得到点P (−3,−14)或(5,−2)或(2,1)或(0,−2)．4．（1）解：将点B C 的坐标代入抛物线表达式得：{c =2−12×16+4b +c =0解得：{b =32c =2故抛物线的表达式为：y =−12x 2+32x +2（2）解：①∵B 是点A 关于抛物线对称轴的对称点连接BC 交抛物线对称轴于点E 则点E 为所求点则点D E 重合设BC 的解析式为y =kx +b将B(4,0) C(0,2)代入解析式可得{0=4k +b b =2解得{k =−12b =2∴直线CB 的表达式为：y =−12x +2 由y =−12x 2+32x +2知点D 的横坐标为−b 2a =32把x =32代入y =−12x +2 可得y =54∴E (32,54)②令y =−12x 2+32x +2=0 解得：x =−1或4 则点A(−1,0)由点A B C 的坐标得 AB =5 AC =√5 BC =√20∵AB 2=AC 2+BC 2∴△ABC 为直角三角形且∠ACD =90°∵以C D E 为顶点的三角形与△ABC 相似则△CDE 为直角三角形当∠CE ′D 为直角时如图则点E ′的坐标为E ′(32,2)当∠ECD 为直角时如图∵∠ACB 为直角∴A,C,E 三点共线设AC 的解析式为y =k 1x +b 1把A (−1,0),C (0,2)代入可得{2=b 0=−x +b 解得{k =2b =2∴直线AC 的表达式为：y =2x +2当x =32时 y =2x +2=5即点E(32,5)综上点E的坐标为：(32,2)或(32,5)．5．（1）解：∵A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)∴c=4{4a−2b+4=016a+4b+4=0解得{a=−12 b=1∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1∵点C的坐标为(0,4)B点坐标为(4,0)∴{4k1+b=0b=4∴{k1=−1b=4∴直线BC的解析式为y=−x+4∴点P的坐标为(m,−12m2+m+4)点Q的坐标为(m,−m+4)∴PQ=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2∵OC=OB=4∴∠B=45°∠BQM=∠PQN=45°∴PN=√22PQ=−√22m2+√2m=−√22(m−2)2+√2∴当m=2时PN有最大值√2（3）解：存在Q(43,83)或Q(83,43)理由：如图所示OC=4OA=2Q的坐标为(m,−m+4)∠COA=∠OMQ=90°当△OAC∽△MOQ时MQOM =OCOA=2即−m+4m=2解得m=43此时Q的坐标为(43,83)当△OAC∽△MQO时MQOM =OAOC=12即−m+4m=12解得m=83此时Q的坐标为(83,43)综上Q点坐标为(43,83)或(83,43)．6．解：（1）设A(m,0)∵B(4,0),D(5,3)∴AB=4−m AB边上的高为3则由ΔABD的面积是3可得：12(4−m)×3=3解得m=2∴A(2,0)设抛物线解析式为y=a(x−2)(x−4)将D(5,3)代入得：3a=3解得a=1∴y=(x−2)(x−4)=x2−6x+8∵y=x2−6x+8=(x−3)2−1∴顶点坐标为(3,−1)故该抛物线的表达式为y=x2−6x+8顶点坐标为(3,−1)（2）如图过点D作DF⊥x轴于点F∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴DF =3,AF =5−2=3,AB =4−2=2∴DF =AF∴∠DAB =∠DAF =45°（3）如图∵抛物线的表达式为y =x 2−6x +8令x =0 则y =8∴ C(0,8)设直线CD 解析式为y =kx +b将C(0,8),D(5,3)代入得{b =85k +b =3解得{k =−1b =8直线CD 解析式为：y =-x +8当y =0时 −x +8=0 解得x =8∴E(8,0)∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴AB =4−2=2 AD =√(5−2)2+32=3√2,BD =√(5−4)2+32=√10 ①若ΔADB ∽ΔAPE 则AP AE =AD AB∴AP =AE⋅AD AB =3√2×62=9√2>AD∵点P 在线段AD 上∴此种情形不存在不合题意②若ΔADB ∽ΔAEP 则AP AB =AE AD∴AP =AE ⋅AB AD =3√2=2√2 综上所述 AP 的长为2√2．7．（1）解：当x =0时 y =2当y =0时即−12x 2+32x +2=0 解得：x 1=−1 x 2=4∠A(−1，0) B(4，0) C(0，2)（2）解：①设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)把B(4，0) C(0，2)代入得{4k +b =0b =2解得：{k =−12b =2∠直线BC 的解析式为y =−12x +2 ∠点P 的横坐标为t∠M (t,−12t +2) N (t,−12t 2+32t +2) 当点P 在y 轴的左侧即−1≤t <0时由题意得：s =−12t +2−(−12t 2+32t +2)=−12t +2+12t 2−32t −2=12t 2−2t 当点P 在y 轴的右侧（包含原点）即0≤t ≤4时由题意得：s =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+32t +2+12t −2=−12t 2+2t 综上 s ={12t 2−2t (−1≤t <0)−12t 2+2t (0≤t ≤4)②如图当△OP 1N 1∽△COB 时可得OP 1CO =N 1P 1BO 即t 2=−12t 2+32t+24∠−t 2+3t +4=4t整理得：t 2+t −4=0 解得：t 1=−1+√172 t 2=−1−√172（不合题意舍去）当△OP2N2∽△BOC时可得OP2BO =N2P2CO即t4=−12t2+32t+22∠−2t2+6t+8=2t整理得：t2−2t−4=0解得：t3=1+√5t4=1−√5（不合题意舍去）综上点P的坐标为(−1+√172,0)和(1+√5,0)．8．解：（1）将A(−8,0)B(−2,12)分别代入y=ax2+bx+8中得{a×(−8)2−8b+8=0a×(−2)2−2b+8=12解得{a=−12 b=−3∴抛物线L1的解析式为y=−12x2−3x+8=−12(x+3)2+252则：顶点为(−3,252)∵抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称顶点也关于y轴对称开口方向及大小均相同即二次项系数相同∴抛物线L2的顶点为(3,252)∴抛物线L2的解析式为y=−12(x−3)2+252=−12x2+3x+8．故抛物线L2的解析式为y=−12x2+3x+8．（2）如图存在点M 使△MNA′与△ACB′相似．由题意得：A′(8,0) B′(2,12) C (2,0) N (3,0) ∴ AC =10 B′C =12 A′N =5 ∵ ∠A′NM =∠ACB′=90°∴ △A′MN 与△AB′C 相似可以分两种情况： ①当△AB′C ∽△A′MN 时则MNNA′=B′C AC=1210=65∴ MN =6 即点M (3,−6)此时抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−6=−12x 2+3x −212．②当△AB′C ∽△MA′N 时同理可得：点M (3,−256)此时抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−256=−12x 2+3x −263故：函数L 3的解析式为：y =−12x 2+3x −212或y =−12x 2+3x −263．9．解：（1）将A(−3,0),B(1,0)代入抛物线解析式中得：{9a −3b +3=0a +b +3=0解得：{b =−2c =3∠抛物线解析式为y =−x 2−2x +3=−(x 2+2x)+3 =−(x 2+2x +1−1)+3=−(x +1)2+4 当x =−1时 y =4 ∠顶点D(−1,4)（2）当x =0时 ∠点C 的坐标为(0,3)∠AC =√32+32=3√2,CD =√12+12=√2,AD =√22+42=2√5 ∠AC 2+CD 2=AD 2∠△ACD 为直角三角形 ∠ACD =90°．设直线AC 的解析式为y =kx +b 根据题意得：{−3k +b =0b =3解得：{k =1b =3∠直线AC 的解析式为y =x +3 ∠A(−3,0) D(−1,4)∠线段AD 的中点N 的坐标为(−2,2) 过点N 作NP//AC 交抛物线于点P 设直线NP 的解析式为y =x +c 则−2+c =2 解得：c =4 ∠直线NP 的解析式为y =x +4由y =x +4,y =−x 2−2x +3联立得：−x 2−2x +3=x +4 解得：x 1=−3−√52,x 2=−3+√52∠P (−3−√52,5−√52)或(−3+√52,5+√52)（3）分三种情况： ①△CMB ∽△ACD∴CM CB =ACAD ∴CM √10=3√22√5∴CM =3此时M 恰好为原点 M(0,0) ②△MCB ∽△ACD∴MC AC =CBCD∴3√2=√10√2 ∴CM =3√10设M(x,0)∵OM 2+OC 2=CM 2 ∴x 2+32=(3√10)2∴x 2=81∴x =−9或x =9（舍去）此时M(−9,0) ③△CBM ∽△ACD∴CB AC =CM AD∴√103√2=CM2√5 ∴CM =103设M(x,0)∴|CM −OC |=103−3=13∴x =−13或x =13（舍去）此时M 在y 轴负半轴上 M (0,−13)综上所述点M 的坐标为(0,0)或(−9,0)或(0,−13)．10．（1）解：由题意得函数图象经过点A （﹣4 3） B （4 4）故可得：{3=148（−4+2）（−4a +b ）4=148（4+2）（4a +b ）解得：{a =13b =−20故二次函数关系式为： y =148(x +2)(13x −20)=1348x 2+18x −56．故答案为：y =1348x 2+18x −56．（2）解：△ACB 是直角三角形理由如下：由（1）所求函数关系式y =1348x 2+18x −56当y =0时 0=1348x 2+18x −56解得x 1=−2 x 2=2013∠点C 坐标为（﹣2 0）点D 坐标为（2013 0）又∠点A （﹣4 3） B （4 4） ∠AB =√(4+4)2+（4−3）2=√65 AC =√(−2+4)2+（0−3）2=√13BC =√(4+2)2+（4−0）2=2√13∠满足AB 2=AC 2+BC 2 ∠△ACB 是直角三角形．（3）解：存在点P 的坐标为（−50133513）或（−1221328413）．设点P 坐标为（x 148（x +2）（13x ﹣20））则PH ＝148（x +2）（13x ﹣20） HD ＝﹣x +2013 若∠DHP ∠∠BCA 则PH AC＝DH BC即148(x+2)(13x−20)√13＝−x+20132√13解得：x =−5013或x =2013（因为点P 在第二象限故舍去）代入可得PH =3513即P 1坐标为（−50133513）若∠PHD ∠∠BCA 则PH BC＝HD AC即148(x+2)(13x−20)2√13＝−x+2013√13解得：x =−12213或 x =2013（因为点P 在第二象限故舍去）．代入可得PH =28413即P 2坐标为：（−1221328413）．综上所述满足条件的点P 有两个即P 1（−50133513）或P 2（−1221328413）．11．（1）解：∠直线y =−x +4与x 轴交于点A 与y 轴交于B ∴当x =0时 y =4 当y =0时 ∴A (4,0) B (0,4)又抛物线y =−x 2+bx +c 经过A B 两点把A (4,0) B (0,4)代入得：{−16+4b +c =0c =4解得：{b =3c =4∠抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 （2）解：作PE ⊥AC 垂足为E 如图所示∠∠DFA =∠PEA =∠BOA =90° ∠DF ∥PE ∥BO由（1）得：抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 抛物线对称轴是x =−b2a =−32×(−1)=32 ∠BD =3PD①当P 在对称轴右侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶4 点P 的横坐标是2 y =−4+6+4=6 ∠点P 的坐标是(2,6)②当P 在对称轴左侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶2 点P 的横坐标是1 y =−1+3+4=6 ∠点P 的坐标是(1,6)∠点P 的坐标是(2,6)或(1,6)（3）解：∠抛物线对称轴与x轴交于点F对称轴是x=−b2a =−32×(−1)=32∠F(32,0)∠点A C关于对称轴对称∠CF=AF=4−32=52∠C(−1,0)∠A(4,0)B(0,4)∠OC=1OA=OB=4∠△ABO是等腰直角三角形∠∠BAO=∠ABO=45°设P(t,−t2+3t+4)过点P作PM∥y轴交直线AB于点M过点M作MN⊥y轴于点N 当点P在AB上方点Q在点B的右侧时如图所示则M(t,−t+4)MN=t∠PM=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t∠△BMN是等腰直角三角形∠BM=√2MN=√2t∠∠PMQ=∠ABO=45°∠PQM=90°∠△PMQ是等腰直角三角形∠PQ=MQ=√22PM=√22(−t2+4t)∠BQ=BM−MQ=√2t−√22(−t2+4t)=√22t2−√2t若△BPQ∼△BCO则PQOB =BQOC∠√22(−t 2+4t )4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=125当t 2=125时 −t 2+3t+4=−(125)2+3×125+4=13625∠P (125,13625) M (125,85) ∠PM =13625−85=9625过点Q 作QK ⊥PM 轴于点K 则QK =12PM =12×9625=4825∠点Q 的横坐标为125−4825=1225 纵坐标为−1225+4=8825 ∠Q (1225,8825)若△BPQ ∼△CBO 则PQ OC =BQOB ∠√22(−t 2+4t )1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=185当t 2=185时 −t 2+3t+4=−(185)2+3×185+4=4625∠P (185,4625) M (185,25) ∠PM =4625−25=3625 同理可得：Q (7225,2825)当点P 在AB 上方点Q 在点B 的左侧时如图所示则M (t,−t+4) MN =t∠PM =−t 2+3t+4−(−t+4)=−t 2+4t同理可得：PQ =MQ =√22PM =√22(−t 2+4t ) BM =√2MN =√2t∠BQ =BM −MQ =−√22t 2+√2t 若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22(−t 2+4t )4=−√22t 2+√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43当t 2=43时 −t 2+3t+4=−(45)2+3×43+4=569∠P (43,569)同理可得：Q (−49,329) 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22(−t 2+4t )1=−√22t 2+√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍去）当点P 在AB 下方对称轴左侧的抛物线上时则t <0 如图所示∠PM =−t+4−(−t 2+3t+4)=t 2−4t ME =−t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =−√2t∠BQ =MQ −BM =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍）若△BPQ ∼△BCO 则PQOC =BQOB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当点P 在AB 下方对称轴右侧的抛物线上时则t>4 如图所示∠PM =t 2−4t ME =t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =√2t∠BQ =BM+MQ =√22t 2−2√2t+√2t =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB=BQ OC∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍）若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当t 2=143时 −t 2+3t+4=−(143)2+3×143+4=−349∠P (143,−349)同理可得：Q (569,−209)综上所述：点Q 的坐标为Q 1(7225,2825),Q 2(1225,8825),Q 3(569,−209),Q 4(−49,409) 12．解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +2过点A （－3 0） B （1 0）∠{9a −3b +2=0a +b +2=0 解得：{a =−23b =−43∠二次函数的关系解析式为y =−23x 2−43x +2．（2）存在点Q （-2 2）或(−34,218)使以点B Q E 为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：如图①设点E 的横坐标为c 则点Q 的坐标为（c −23c 2−43c +2）∠BE =1-c QE =−23c 2−43c +2①OA 和BE 是对应边时 ∠∠BEQ ∠∠AOC ∠OA BE=OC QE即31−c =2−23c 2−43c+2整理得 c 2+c -2=0 解得c 1=-2 c 2=1（舍去）此时 −23×(−2)2−43×(−2)+2=2点Q （-2 2）②OA 和QE 是对应边时 ∠∠QEB ∠∠AOC ∠OA QE=OC BE 即3−23c 2−43c+2=21−c整理得 4c 2-c -3=0解得c 1=−34 c 2=1（舍去）此时−23×(−34)2−43×(−34)+2=218点Q(−34,21 8)综上所述存在点Q（-2 2）或(−34,218)使以点B Q E为顶点的三角形与∠AOC相似．（3）①如图2当MC//AQ且MC=AQ时M与C关于对称轴x=-1对称∠AQ=MC=2∠Q1（-1 0）Q2（-5 0）②如图3当AC//MQ且AC=MQ时因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上所以点M到x轴的距离为2．设M（m23m2−43m+3）∠2 3m2−43m+3=-2∠m2+2m-6=0∠m=-1±√7∠QG=3∠Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．综上所述满足条件的点Q 的坐标为：Q 1（-5 0） Q 2（-1 0） Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．13．解：（1）将点A (−4,0) 点B (2,0) 点C (0,−4)代入y =ax 2+bx +c得{c =−416a −4b +c =04a +2b +c =0∠{a =12b =1c =−4∠y =12x 2+x −4（2）如图过P 点作x 轴垂线交AC 于点Q设直线AC 的解析式为y =kx +b∠{−4k +b =0b =−4∠{k =−1b =−4∠y =−x −4设P (t,12t 2+t −4) 则Q (t,−t −4) ∠PQ =−t −4−12t 2−t +4=−12t 2−2t∠S △ACP =12×4×(−12t 2−2t)=−t 2−4t =−(t +2)2+4∠当t =−2时 S △ACP 有最大值∠P (−2,−4)（3）抛物线的对称轴为x =−1 顶点D (−1,−92)设E (m,12m 2+m −4) 则F (−1,12m 2+m −4)∠EF =−1−m DF =12m 2+m −4+92=12m 2+m +12∠点E 是直线AD 下方该抛物线上的一个动点∠−4<m <−1∠B (2,0) C (0,−4)∠OB =2 OC =4∠tan∠OCB =12当∠EDF =∠OCB 时 △EDF ∼△BCO∠EF FD =12∠2(−1−m)=12m 2+m +12解得m =−1（舍）或m =−5（舍）当∠FED =∠OCB 时 △EDF ∼△DBO∠EF FD =2∠2(12m 2+m +12)=−1−m解得m =−1（舍）或m =−2∠E (−2,−4)综上所述：当以D E F 为顶点的三角形与△BOC 相似时 E 点坐标(−2,−4)．14．（1）解：①由m ＝1可知点C （0 ﹣3）∵抛物线与x 轴交点为A(−3,0) B(1,0)∴抛物线解析式为：y =a(x +3)(x −1)将点C(0,−3)代入上式得a ×3×(−1)=−3∴a =1∴抛物线的解析式为：y =(x +3)(x −1)=x 2+2x −3②由①可知抛物线解析式为y =x 2+2x −3 则设P(x,x 2+2x −3) 设直线AC 的解析式为y =kx +b由题意可得{−3k +b =0b =−3解得{k =−1b =−3∴直线AC 的解析式为y =−x −3如图1 过点P 作PN ⊥x 轴交AC 于N 则PN//OC∴点N(x,−x −3)∴PN =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x∵PN//OC∴△PQN ∽△OQC∴ PQ OQ =PN OC∴ PQ OQ =−x 2−3x 3=−(x+32)2+943 ∴当x =−32时 PQ OQ 的最大值为34 （2）解：∵y =mx 2+2mx −3m =m(x +1)2−4m∴顶点D 坐标为(−1,−4m)如图2 过点D 作DE ⊥x 轴于点E 则DE =4m OE =1 AE =OA −OE =2 过点D 作DF ⊥y 轴于点F 则DF =1 CF =OF −OC =4m −3m =m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9CD2=CF2+DF2=m2+1AD2=DE2+AE2=16m2+4∵ΔACD与ΔBOC相似且ΔBOC为直角三角形∴ΔACD必为直角三角形i)若点A为直角顶点则AC2+AD2=CD2即：(9m2+9)+(16m2+4)=m2+1整理得：m2=−12∴此种情形不存在ii)若点D为直角顶点则AD2+CD2=AC2即：(16m2+4)+(m2+1)=9m2+9整理得：m2=12∵m>0∴m=√2 2此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√3CD=√62AC=3√62ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3√22BC=√222两个三角形对应边不成比例不可能相似∴此种情形不存在iii)若点C为直角顶点则AC2+CD2=AD2即：(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4整理得：m2=1∵m>0∴m=1此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√5CD=√2AC=3√2ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3BC=√10∵ADBC =ACOC=CDOB=√2∴满足两个三角形相似的条件∴m=1．综上所述当m=1时以A D C为顶点的三角形与ΔBOC相似．15．（1）解：将A(−2,0),B(8,0),C(0,4)三点坐标代入y=ax2+bx+c中得{4a−2b+c=0c=464a+8b+c=0解得{a=−14b=32c=4所以抛物线表达式为：y=−14x2+32x+4．（2）解：根据题意得：∵A(−2,0),B(8,0),C(0,4)∠OA=2,OB=8,OC=4∴AOOC=COBO=12又∠AOC=∠COB=90°∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°当△AOC∽△PDC时∴∠ACO=∠PCD∵∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCD+∠OCB=90°∴PC⊥OC∴点P的纵坐标为4当y=4时有−14x2+32x+4=4解得x=6或x=0（舍）∴点P的坐标为(6,4)当△AOC∽△CDP时∠P′CD′=∠CAO作P′G⊥y轴于点G过点P′作P′H∥y轴交BC于点H如图∴∠P′HC=∠BCO∵AOOC=COBO=12,∠AOC=∠BOC=90°∴△AOC∽△COB∴∠OCB=∠OAC∴∠P′CH=∠P′HC∴P′C=P′H设直线BC的解析式为y=k′x+b′把点B(8,0),C(0,4)代入得：{8k ′+b′=0b′=4解得：{k′=−12b′=4∠直线BC的解析式为y=−12x+4设P′(m,−14m2+32m+4)则H(m,−12m+4)∴P′C=P′H=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m在Rt△P′GC中由勾股定理得P′C2=P′G2+GC2即(−14m2+2m)2=m2+(−14m2+32m)2解得m=3∴P′(3,254)综上点P的坐标为：(6,4)或(3,254)．（3）解：过N作NF⊥MC交MC于点F过N点作NG⊥AC交CA的延长线于点G则∠G=∠CFN=90°∴∠ACM+∠GNF=180°设CM与x轴交于K由旋转得：AN=MN∵∠ANM+∠ACM=180°∴∠ANM=∠GNF∴∠ANG=∠MNF∵∠G=∠MFN=90°∴△NGA≌△NFM∴NG=NF∴NC平分∠ACM∵CO⊥AB ∴OK=OA=2∴K(2,0)∴CK的解析式为：y=−2x+4∴−2x+4=−14x2+32x+4解得：x1=0,x2=14∴M(14，−24)设N(0,n)∵AN=MN∴(−2)2+n2=142+(−24−n)2解得：n=−16所以点N坐标为(0,−16)．16．解：（1）∠抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点∠当m=2∠y=−x2+4x∠x1=0x2=4∠A(0,0)B(4,0)．（2）①∠y=−x2+2mx−m2+2m∠对称轴x=−b2a=m∠顶点坐标C(m,2m)延长CD交x轴于点E设点E(a,0)a>m∠∠COB=∠OCD∠|OE|=|CE|∠a2=(a−m)2+(2m)2解得：a=52m∠点E的坐标为：(52m,0)设直线CE的解析式为：y=k1x+b1(k≠0)∠{2m=km+b 0=52mk+b解得：{k=−43b=103m∠y=−43x+103m∠−43x+103m=−x2+2mx−m2+2m解得：x1=m（舍）x2=m+43∠点D(m+43,2m−169)∠CD=209．②设直线OC的解析式为：y=k1x(k≠0)∠y=2x∠设点P(b,2b)∠OP=√b+24b2=√5b CP=√(m−b)2+(2m−2b)2=√5(m−b)当△OPT∼△CDP∠OP CD =OTCP∠√5b×920=√5(m−b)整理得：9b2−9mb+4t=0∠Δ>0∠81m2−4×9×4t>0∠9m2−16t>0当△OTP∼△CDP∠OT CD =OPCP∠t×920=√5b√5(m−b)整理得：b =9tm 20+9t∠仅存在一个点P∠不符合题意∠综上 t 和m 之间的数量关系为：9m 2−16t >0．17．（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (0,3)和B (72,−94)两点∴将A (0,3)和B (72,−94)代入y =−x 2+bx +c 得{c =3−(72)2+72b +c =−94 解得{b =2c =3 ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3（2）解：在 y =−x 2+2x +3中当y =0时 −x 2+2x +3=0 解得x =3或x =−1 ∠G(3，0)∠OG =3∠A(0，3)，P(2，3)∠OA =3，AP =2，AP ∥x 轴∠S 四边形APGO =AP+OG 2⋅OA =2+32×3=7.5（3）解：设直线AB 的解析式为y =kx +n 把A (0,3)和B (72,−94)代入得{n =372k +n =−94解得{k =−32n =3∴直线AB 的解析式为y =−32x +3 在y =−32x +3 当y =0时 −32x +3=0 解得x =2 ∴C (2,0)联立{y =−x 2+2x +3y =−32x +3 解得x 1=0 x 2=72 ∵PD ⊥x 轴 PE ∥x 轴∴∠ACO =∠DEP∴Rt △DPE ∽Rt △AOC∴ PD PE =OA OC =32 即PE =23PD∴PD +PE =53PD设点P (a,−a 2+2a +3) 0<a <72 则D (a,−32a +3)∴PD =(−a 2+2a +3)−(−32a +3)=−(a −74)2+4916 ∴PD +PE =−53(a −74)2+24548∵−53<0 抛物线开口向下 PD +PE 有最大值 0<a <72 ∴当a =74时 PD +PE 有最大值为24548（4）解：∵PD ⊥x 轴∴PD ∥y 轴即∠OAC =∠PDA根据题意分两种情况：①当△AOC ∽△DPA 时∴∠DPA =∠AOC =90°∵PD ⊥x 轴 ∠DPA =90° A (0,3)∴点P 纵坐标是3 横坐标x >0 即−x 2+2x +3=3 解得x =2∴点D 的坐标为(2,0)∵PD ⊥x 轴∴点P 的横坐标为2∴点P (2,3)②当△AOC ∽△DAP 时∴ ∠APD =∠ACO过点A 作AG ⊥PD 于点G 如图所示：∴△APG ∽△ACO∴ PG AG =OC AO设点P (n,−n 2+2n +3) 则D (n,−32n +3) 则−n 2+2n+3−3n =23 解得n =43 ∠P (43,359)综上所述 P (2,3)或P (43,359)．18．（1）解：把点A(−2，0) C(0，4)代入y =ax 2+23x +c (a ≠0)得：{4a −43+c =0c =4 解得：{a =−23c =4 ∠抛物线的解析式为y =−23x 2+23x +4 （2）解：过点D 作DF∥AB 交BC 于点F当y =0时有−23x 2+23x +4=0 解得x 1=−2,x 2=3∠B (3,0)设直线BC 的解析式为：y =kx +b代入B (3,0) C(0，4)得：{3k +b =0b =4解得{k =−43b =4∠直线BC 的解析式为：y =−43x +4 设点D 的横坐标为t 则D (t ，−23t 2+23t +4) ∠F (12t 2−12t,−23t 2+23t +4) ∠DF =t −(12t 2−12t)=−12t 2+32t∠A(−2，0) B(3，0)∠AB =5∠DF∥AB∠△DEF∽△AEB∠DF AB =DE AE∠−12t 2+32t 5=DE 5DE =15 ∠−12t 2+32t =1解得：t 1=1 t 2=2∠点D 的坐标为(1，4)或(2,83)（3）解：存在点P 使tan∠MBP =12 ①当PB 在MB 上方时过点M 作IM ⊥PB 交PB 于I 过I 作IJ ⊥y 轴于J则tan∠MBI =MI MB =12∠∠JMI +∠JIM =90° ∠JMI +∠OMB =90°∠∠JIM =∠OMB又∠∠IJM =∠MOB =90°∠△MIJ∽△BMO∠IJ MO=JM OB =IM MB ∠IJ 1=JM 3=12 ∠IJ =12 JM =32∠OJ =JM +OM =52∠I (12,52)设直线BI 的解析式为：y =mx +n代入B(3，0) I (12,52)得：{3m +n =012m +n =52 解得：{m =−1n =3∠直线BI 的解析式为：y =−x +3联立{y =−23x 2+23x +4y =−x +3解得：{x =−12y =72或{x =3y =0 （不合题意舍去）∠此时点P 的坐标为(−12,72)②当PB 在MB 下方时过点M 作KM ⊥P ′B 交P ′B 于K 过K 作KL ⊥y 轴于L 同理可得点P 的坐标为(−3114,−7398)综上所述点P 的坐标为(−12,72)或(−3114,−7398)．19．（1）解：∠抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (−1,0) B (2,0)∠抛物线的表达式为y =a (x +1)(x −2)将点C (0,2)代入y =a (x +1)(x −2) 得：2=−2a解得：a =−1∠抛物线的表达式为y =−(x +1)(x −2) 即y =−x 2+x +2设直线BC 的表达式为y =kx +t 过点B (2,0) C (0,2)∠{2k +t =0t =2解得：{k =−1t =2∠直线BC 的表达式为y =−x +2（2）∠点M 在直线BC 上且P (m,n )(m >0) PN ⊥x 轴 C (0,2)∠M (m,−m +2) OC =2∠CM 2=(m −0)2+(−m +2−2)2=2m 2 OM 2=m 2+(−m +2)2=2m 2−4m +4 当△OCM 为等腰三角形时①若CM =OM 则CM 2=OM 2即2m 2=2m 2−4m +4解得：m =1②若CM =OC 则CM 2=OC 2即2m2=4解得：m=√2或m=−√2（舍去）③若OM=OC则OM2=OC2即2m2−4m+4=4解得：m=2或m=0（舍去）综上所述m=1或m=√2或m=2（3）∠B(2,0)C(0,2)∠COB=90°∠OC=OB=2∠∠OCB=∠OBC=45°CB=√OC2+OB2=√22+22=2√2∠点P与点C相对应P(m,n)(m>0)∠△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB①若点P在点B的左侧则∠CBN=45°BN=2−m CB=2√2∠CNB=∠CON+∠OCN=90°+∠OCN>90°如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=45°时∠P(m,m)此时直线OP的表达式为y=x∠直线OP：y=x与抛物线y=−x2+x+2交于点P(m,m)(m>0)∠−m2+m+2=m解得：m=√2或m=−√2（负值舍去）∠OP=√(√2)2+(√2)2=2∠OP BC =OQBN即2√2=2−√2解得：OQ=√2−1∠P(√2,√2)Q(0,√2−1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=45°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−m2+m+2∠PQ=KPsin∠PQO =msin45°=√2m OQ=KQ−KO=m−(−m2+m+2)=m2−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−22−m解得：m=1+√133或m=1−√133（负值舍去）∠P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)②若点P在点B的右侧则∠CBN=135°BN=m−2如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠P(m,−m)此时直线OP的表达式为y=−x PK=KQ=m KO=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠m2−m−2=m解得：m=1+√3或m=1−√3（负值舍去）∠OP=PKsin∠POK =msin45°=√2m=√2(1+√3)=√2+√6∠OP BC =OQBN即√2+√62√2=1+√3−2解得：OQ=1∠P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠PQ=KPsin∠PQK =msin45°=√2m OQ=KO−KQ=m2−m−2−m=m2−2m−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−2m−2m−2解得：m=1+√5或m=1−√5（负值舍去）∠P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)综上所述P(√2,√2)Q(0，√2−1)或P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)或P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)或P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)．20．解：（1）∵点A的坐标为(−1,0)∴OA=1．令x=0则y=−4∴C(0,−4)OC=4∵OC=OB∴OB=4∴B(4,0)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−4)∵将x=0y=−4代入得：−4a=−4解得a=1∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4∴a=1b=−3∵抛物线的对称轴为x=−−32×1=32C(0,−4)∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称∴D(3,−4)设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A(−1,0)D(3,−4)代入得：{−k+b=03k+b=−4解得k=−1b=−1∴直线AD的解析式y=−x−1（2）∵直线AD的解析式y=−x−1∴直线AD的一次项系数k=−1∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴∴∠AEP=90°∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+√22MP+√22PM=(1+√2)PM．设P(a,a2−3a−4)则M(a,−a−1)则PM=−a−1−(a2−3a−4)=−a2+2a+3=−(a−1)2+4．∴当a=1时PM有最大值最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×(1+√2)=4+4√2（3）在直线EP的右侧x轴下方的抛物线上存在点N过点N作NG⊥x轴交x轴于点G使得以点E N G为顶点的三角形与△AOC相似理由如下：设点G的坐标为(a,0)则N(a,a2−3a−4)①如图2.1若OAOC =EGGN时△AOC∠△EGN．则a−1−a2+3a+4=14整理得：a2+a−8=0．得：a=−1+√332(负值舍去)∴点G为(−1+√332,0)②如图2.2若OAOC =GNEN时△AOC∠△NGE则a−1−a2+3a+4=4整理得：4a2−11a−17=0得：a=11+√3938(负值舍去)∴点G为(11+√3938,0)综上所述点G的坐标为(−1+√332,0)或(11+√3938,0)．。

【中考全效课件】2018届中考数学学练测《5.5二次函数的图象和性质》课件

D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2
全效学习中考学练测
备考基础
归类探究
分层集训
4．[2017· 滨州]抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5
个单位，得到的抛物线的表达式为 A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5 C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5 1 时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小 5．[2017· 广州]当x＝______ 5 ．值______ (
二次函数y＝ax2＋bx＋c的结构特征是：①等号左边是函
数，右边是关于自变量x的二次整式，x的最高次数是2；② 二次项系数a≠0.
全效学习中考学练测
备考基础
归类探究
分层集训
2．二次函数的图象
2 4 ac － b b －， 2a 二次函数的图象：以____________________ 为顶点，以直 4a
b 线 x＝－为对称轴的抛物线． 2a
用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的步骤：
y＝a(x－m)2＋k(a≠0) _的形式； (1)用配方法化成______________________
(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图．
全效学习中考学练测
备考基础
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当 x<－在对称轴的左侧，即当 x< b b 时，y 随 x 的增大而减小；－时， y 随 x 的增大而增 2a 2a 在对称轴的右侧，即当 x>－大；在对称轴的右侧，即 b b 时，y 随 x 的增大而增大，当 x>－时，y 随 x 的增 2a 2a 简记左减右增大而减小，简记左增右减 b 抛物线有最高点，当 x＝抛物线有最低点，当 x＝－ 2a b －时，y 有最大值， 2a 时，y 有最小值，y 最小值＝ 4ac－b2 4ac－b2 y 最大值＝ 4a 4a

2019届中考学练测《第5讲第1课时二次函数与三角形的综合》课件

第五讲二次函数综合型问题
第1课时二次函数与三角形的综合
特征
二次函数综合型问题
(1)二次函数与三角形的综合；(2)二次函数与四边形类型的综合；(3)二次函数与相似三角形的综合；(4)二次
函数与圆的综合
解题策略
充分运用数形结合思想，把“数”与“形”结合，互相渗透，把数量关系与空间形式巧妙结合起来寻找解题思路
32 m的值是____2___．
图5－1－2
变式跟进答图
解： (1)由抛物线y＝x2－mx－3可知点C坐标为(0，－3)，
AC⊥OC，∴点A纵坐标为－3，
y＝－3时，－3＝x2－mx－3，解得x＝0或m，
∴点A坐标为(m，－3)，∴AC＝m，
∴BE＝2AC＝2m；
(2)点 D 落在抛物线上，理由： ∵m＝ 3，∴点 A 坐标为( 3，－3)， ∴直线 OA 的表达式为 y＝－ 3x， ∴抛物线的表达式为 y＝x2－ 3x－3， ∴点 B 坐标为(2 3，3)，∴点 D 纵坐标为 3，对于函数 y＝－ 3x，当 y＝3 时，x＝－ 3， ∴点 D 坐标为(－ 3，3)． ∵对于函数 y＝x2－ 3x－3，x＝－ 3时，y＝3， ∴点 D 落在抛物线上；
得到抛物线 y2＝ 33x2－43 3x，
如答图，当直线 y＝ 3x＋ 3m 与 y＝－ 33x2
变式跟进答图
＋43 3x 相切，即只有一个交点时，直线与 M 有 3 个公共点，解方程组y＝－ 33x2＋433x，消去 y，整理得 x2－x＋3m＝0，由 1
y＝ 3x＋ 3m，－12m＝0，解得 m＝112. 当直线 y＝ 3x＋ 3m 与 y＝ 33x2－43 3x 相切，即只有一个交点时，直线与 M 有 3 个公共点，解方程组y＝ 33x2－43 3x，

2018届中考数学全程演练第一部分数与代数第五单元函数及其图象第18课时二次函数的应用

第18课时二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2016²铜仁]河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图18－1所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C)图18－1A ．－20 mB ．10 mC ．20 mD ．－10 m【解析】根据题意B 的纵坐标为－4，把y ＝－4代入y ＝－125x 2，得x ＝±10，∴A (－10，－4)，B (10，－4)，∴AB ＝20 m ．即水面宽度AB 为20 m.2．[2016²金华]图18－2②是图18－2①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴，若OA ＝10 m ，则桥面离水面的高度AC 为(B) A ．16940 mB.174 m C ．16740mD.154m图18－2【解析】 ∵AC ⊥x 轴，OA ＝10 m ， ∴点C 的横坐标为－10，当x ＝－10时，y ＝－1400(x －80)2＋16＝－1400(－10－80)2＋16＝－174，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，－174，∴桥面离水面的高度AC 为174 m. 二、填空题(每题6分，共18分)3．[2017²咸宁]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：__－1__℃.【解析】设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，选(0，49)，(1，46)， (4，25)代入后得方程组⎩⎪⎨⎪⎧c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，16a ＋4b ＋c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49，所以y 与x 之间的二次函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋49，当x ＝－b2a ＝－1时，y 有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃.4．[2016²温州]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图18－3所示的三处各留1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为__75__m 2.【解析】设垂直于墙的材料长为x m ，则平行于墙的材料长为27＋3－3x＝30－3x ，则总面积S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故饲养室的最大面积为75 m 2. 5．如图18－4，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过__3__s ，四边形APQC 的面积最小．【解析】 S 四边形AP QC ＝12³12³24－12(12－2t )³4t ＝4t 2－24t ＋144，图18－3图18－4∴当t＝－b2a ＝－242³4＝3时，S四边形APQC最小．三、解答题(共30分)6．(15分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30 m 的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图18－5)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若平行于墙的一边的长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88 m2时，试结合函数的图象，直接写出x的取值范围．图18－5【解析】(1)用x表示y；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y＝88，求x的值，根据图象写出符合要求的x的取值范围．解：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)；(2)设矩形苗圃园的面积为S，则S＝xy＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，由(1)知6≤x＜15；∴当x＝7.5时，S最大＝112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为7.5 m时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 m2；(3)图象略.6≤x≤11.7．(15分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图18－6所示的关系．图18－6(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得⎩⎪⎨⎪⎧130k ＋b ＝50，150k ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝180，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋180； (2)w ＝(x －100)y ＝(x －100)(－x ＋180) ＝－x 2＋280x －18 000 ＝－(x －140)2＋1 600，当售价x 定为140元/件时，w 最大＝1 600元，∴当售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1 600元．(25分)8．(10分)[2017²天水]如图18－7，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式y ＝a (x －6)2＋h .已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.图18－7(1)当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．解：(1)∵h ＝2.6，球从O 点正上方2 m 的A 处发出，∴抛物线y ＝a (x －6)2＋2.6过(0，2)点， ∴2＝a (0－6)2＋2.6，解得a ＝－160，故y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2＋2.6； (2)当x ＝9时，y ＝－160(x －6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；当y ＝0时，－160(x －6)2＋2.6＝0，解得x 1＝6＋239＞18，x 2＝6－239(舍去)， ∴球会出界；(3)由题意，抛物线y ＝a (x －6)2＋h 过点(0，2)，代入点(0，2)的坐标得a (0－6)2＋h ＝2，即36a ＋h ＝2且a ＜0，∴a ＝2－h36，且h ＞2.若球一定能越过球网，则当x ＝9时，y ≥2.43，即9a ＋h ≥2.43，①若球不出边界，则当x ＝18时，y ≤0，即144a ＋h ≤0，②将a ＝2－h 36代入①②解得h ≥83.故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是h ≥83.9．(15分)[2016²丽水]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x (m)，与桌面的高度为y (m)，运动时间为t (s)，经过多次测试后，得到如下部分数据：(1)当t (2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y ＝a (x －3)2＋k . ①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0.14 m ，球桌长(1.4³2)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．图18－8解：以点A 为原点，以桌面中线为x 轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系． (1)由表格中的数据，可得t ＝0.4(s)．答：当t 为0.4 s 时，乒乓球达到最大高度；(2)由表格中数据，可画出y 关于x 的图象，根据图象的形状，可判断y 是x 的二次函数，设y ＝a (x －1)2＋0.45.将(0，0.25)代入，可得a ＝－0.2. ∴y ＝－0.2(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，x 1＝52，x 2＝－12(舍去)，即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ；(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.代入y ＝a (x －3)2＋k ，得a ³⎝ ⎛⎭⎪⎫52－32＋k ＝0，化简整理，得k ＝－14a ； ②由题意，可知扣杀路线在直线y ＝110x 上．由①得y ＝a (x －3)2－14a .令a (x －3)2－14a ＝110x ，整理得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.当Δ＝(120a ＋2)2－4³20a ³175a ＝0时符合题意．解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.当a 1＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不符合题意，舍去；当a 2＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．答：当a ＝－6－3510时，能恰好将球沿直线扣杀到点A .(15分)10．(15分)[2016²南京]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图18－9中的折线ABD ，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)，销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式； (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；图18－9(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝k 1x ＋b 1， ∵y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60，∴这个一次函数的表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)； (3)设y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝k 2x ＋b 2， ∵y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)．∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－0.6，b 2＝120，∴这个一次函数的表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)，设产量为x kg 时，获得的利润为w 元，当0≤x ≤90时，w ＝x [(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250， ∴当x ＝75时，w 的值最大，最大值为2 250；当90≤x ≤130时，w ＝x [(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535，当x ＝90时，w ＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，w 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，w ≤2 160，因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润为2 250元．。

2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

精选文档中考数学真题汇编 :二次函数一、选择题1.给出以下函数：① y=﹣ 3x+2；② y= ；③ y=2x2；④ y=3x，上述函数中切合条作“当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（）A. ①③B③④. C②④. D②③.【答案】 B2.如图 ,函数和( 是常数 ,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】 B3.对于二次函数，以下说法正确的选项是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右边C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为 -3【答案】 D4.二次函数的图像如下图，以下结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】 C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，获得的抛物线过点 ( )【答案】 B6.若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，获得的抛物线过点（）A. （-3， -6）B.（-3， 0）C（. -3， -5） D.（-3， -1）【答案】 B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞翔时间t（ s）知足函数表达式h＝﹣ t 2＋ 24t ＋1．则以下说法中正确的选项是（）A. 点火后 9s 和点火后13s 的升空高度同样B.点火后 24s 火箭落于地面C. 点火后 10s 的升空高度为139m D火.箭升空的最大高度为145m【答案】 D8.如图，若二次函数y=ax2 +bx+c（ a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点A、点 B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；② a﹣ b+c＜ 0；③ b2﹣4ac＜0；④当 y＞0 时，﹣ 1＜x＜ 3，此中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】 B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于以下说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，此中正确的选项是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】 A10.如图，二次函数y=ax2+bx 的图象张口向下，且经过第三象限的点P．若点 P 的横坐标为 -1，则一次函数y=（a-b） x+b 的图象大概是（）A. B. C. D.【答案】 D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B.乙C.丙D.丁【答案】 B12.如下图 ,△ DEF中 ,∠ DEF=90°,∠ D=30°,DF=16,B是斜边 DF上一动点 ,过 B 作 AB⊥ DF 于 B,交边 DE(或边 EF) 于点 A,设 BD=x,△ABD 的面积为y,则 y 与 x 之间的函数图象大概为（）A.（B.C.D（.【答案】 B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m，水面降落2m ，水面宽度增添________m。

(完整word版)2018年中考数学复习专题训练：二次函数的综合应用(含解析)

中考复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1. 下列函数是二次函数的是( )A. y=2x+1B. y= 2x+1C. y=+2D. y= x- 22. 函数y= ( m - 3) x|m| 1+3x - 1是二次函数，则m的值是( )A. - 3B. 3C. ± 2D. ± 33. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么( )A. a>0, b>0, c>0B. a>0, b>0, c=0C. a>0, b>0, c v0D. a>0, b v 0, c=04. 如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是( )5. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x<1与y轴的交点坐标是()A. (1, 0)B.(0, 1)C.(0, -1)D.(-1, 0)6. 二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )1 2A. y 亍(x - 2) 2+3il 2B. y= - ( x- 2) 2- 31 2C. y=-一(x- 2) 2+3D. y=- (x- 2) 2- 32 4 「7. 如图，已知二次函数y1= T x2- x的图象与正比例函数y2= = x的图象交于点 A (3, 2),与x轴交于点B (2, 0),若y1 v y2 ,则x的取值范围是()A. 0v x v 2B. V x v 3C. V x v 3D. v0 或x> 38. 设二次函数y1=a( x- X1)(x- X2)(a工0刘工2)的图象与一次函数y2=dx+e (d工0的图象交于点(X10)，若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则( )A. a (X1 - X2) =dB. a(x - X1) =dC. a( X1 - x2) 2=dD. a( xi+x2) 2=d9. 二次函数豪-8x+15的图象与x轴相交于M , N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有( )10. 已知二次函数y=3x 2+c 与正比例函数y=4x 的图象只有一个交点，贝U c 的值为（）A. 7B.C. 3D. 411. 当-2< x 却时，二次函数y=-（x - m ） 2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为（）A. -一B. 或-C. 2 或-D. 2 或或-12•现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字 1 , 2, 3, 4, 5, 6） •用小莉掷 A 立方体朝上的数字为 x 小明掷B 立方体朝上的数字为 y 来确定点P （x , y ）,那么它们各掷一次所确定的点 P 落在已知抛物线 y=- x 2+4x 上的概率为（）1111A.B.巨9.D.二、填空题13. 若函数y= （ m+2）曲为沁是二次函数，贝y m= _______ 14.抛物线y= ___________________________ （x -4） 2+3与y 轴交点的坐标为15. 已知抛物线的顶点坐标为（1,- 1）,且经过原点（0, 0），则该抛物线的解析式为17. 二次函数y=ax 2+bx+c （a , b , c 为常数，且x 值的增大而减小.③当x=2时，y=5 :④3是方程ax 2+ （b - 1） x+c=0的一个根；其中正确的有 _________ .（填正确结论的序号） 18.已知抛物线y=ax 2+bx+c （ a >0）的对称轴为直线 -一，且经过点（-3, y 1）,（ 4, y 2）,试比较y 1A. 1个B.个C.个D. 个16.二次函数 y=x 2+4x+5 中，当 x=时, y 有最小值.a 工）中的x 与y 的部分对应值如表②当x > 1时，y 的值随y 2 （填 >”，或二”）.19.如图是二次函数和一次函数y 2=kx+t 的图象，当y 1>2时，x 的取值范围是论：①供疋 >0；②Ji: 4/ - I ；③二-卜•： :④_._:|J ；⑤A ；和y 2的大小：y 1 U 「左丁反｝的图象经过点,对称轴为直线工二・1,下列5个结其中正确的结论为__________ •(注：只填写正确结论的序号)T' I三、解答题21. 已知抛物线y= x1 2-2x的顶点是A,与x轴相交于点B、C两点(点B在点C的左侧).(1) 求A、B C的坐标；(2) 直接写出当y v 0时x的取值范围.22. 在平面直角坐标系中，抛物线'-：■, " J 山. 小打与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当&ABC=15时，求该抛物线的表达式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为 D.该抛物线在直线说菟总上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。