小题分层练(六)

小题分层练(六) “985”跨栏练(2)1．(2016·江西七校第二次联考)已知对数函数y ＝f (x )的图象过点P (81，－4)，则在(0，10]内任取一个实数x ，使得f (x )＜2成立的概率为( )A.8990 B.190 C.910D.1102．(2016·长沙模拟)已知正项等差数列{a n }单调递增，其前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝17(a 3＋a 4＋a 5)，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5均为正整数，则数列{a n }的前5项和S 5可以是( )A ．119B ．120C ．121D ．1223．已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤6x －y －2≥0x ≥a ，若z ＝3x ＋y 的最小值是8，则实数a ＝( )A ．2B ．－27C ．14 D.1454．如图，已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝( )A ．3B ．12 C. 3D ．2 35．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )A.89B.109C.259D.2696．已知实数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示．若S △ABF 2＝14S △AOB ，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )A.54B.247 C ．－2124D.2558．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上的B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)分别为AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，若A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为( )A ．5 kmB ．6 kmC ．7 kmD ．8 km9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体中任意两个顶点间距离的最大值为( )A.10 B ．5 C ．3 2D ．3 310．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A ．－ 3B ．0 C.32D ．336 311．(2016·大连模拟)已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a ＞0)，若点Q (m ，n )在直线y＝2x ＋12上，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为( )A.95B.355 C ．9D ．312．(2016·东北四市联考(二))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2＜f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)13．(2016·贵州适应性考试)已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f （x ）f （x ）.若g (2)＝3，则g (－2)＝________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．15．(2016·沈阳模拟)已知直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)，且该直线上的点A (－1，2)始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，则ba的取值范围是________．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．参考答案与解析1． A由题意可设f (x )＝loga x (a ＞0，a ≠1)．由点P (81，－4)在函数图象上可得，log a 81＝－4，即a ＝13，所以f (x )＝log 13x .由f (x )＜2，即log 13x ＜2，解得x ＞19.又x ∈(0，10]，所以f (x )＜2的解集为⎝⎛⎦⎤19，10.所以所求事件的概率P ＝10－1910－0＝8990，故选A. 2． B设公差为d ，由a1＋a 2＝17(a 3＋a 4＋a 5)，得2a 1＋d ＝17(3a 1＋9d )，整理可得d ＝112a 1，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5均为正整数，只需a 1是2的倍数，则d 是11的倍数，根据条件，若a 1＝2，则d ＝11，可得数列{a n }的前5项和S 5为5×2＋5×42×11＝120.3．[导学号：96982268] D不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤6x －y －2≥0x ≥a表示的平面区域如图中△ABC (包括边界)所示，平移直线3x ＋y ＝0，当经过点B 时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值8，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2x －y ＝6可得B (a ，2a －6)，所以3a ＋2a －6＝8，解得a ＝145.4． D法一：由题意得△POF2是边长为c 的正三角形，所以34c 2＝3，所以c 2＝4，易得P (1，±3)．又点P 在椭圆上，且a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋4，所以1b 2＋4＋3b2＝1，得b 2＝2 3.法二：连接PF 1，由△POF 2是边长为c 的正三角形易得c ＝2，PF 1⊥PF 2，∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝3c ＝23，|PF 2|＝c ＝2，由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝1＋3，b 2＝a 2－c 2＝2 3.5． B由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 6． B因为2a ＝3，3b ＝2，所以a ＞1，0＜b ＜1，又f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (x )为增函数，且f (－1)＝1a －1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，从而由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．7．[导学号：96982269] B因为S △ABF 2 ＝14S △AOB ，所以12(c －a )b ＝14×12ab ，即c ＝54a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以⎝⎛⎭⎫54a 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝916，即b a ＝34.设双曲线的渐近线y ＝34x与x 轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝34，所以tan 2θ＝2×341－⎝⎛⎭⎫342＝247，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.选B.8． C因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＋∠B ＝π，在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得，82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，解得cos D ＝－12，所以AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49，故AC 的长为7 km. 9． D由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，其中AE ，AB ，AG 两两垂直，平面AEFG ⊥平面ABCE ，BC ∥AE ∥GF ，过F 作FD ⊥AE 于D ，连接CD ，则AB ＝AD ＝AG ＝BC ＝GF ＝3，DE ＝1，连接AC ，AF ，GC ，BF ，GE ，BE ，根据几何体的结构特征可得AC ＝AF ＝32，GC ＝BF ＝32＋（32）2＝33，GE ＝BE ＝32＋42＝5，BG ＝CF ＝32，AE ＝4，EF ＝10，CE ＝10，故该几何体中任意两个顶点间距离的最大值为3 3.10． C由框图知输出的结果s ＝sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2 017π3， 因为函数y ＝sin π3x 的周期是6，所以 s ＝336⎝⎛⎭⎫sinπ3＋sin 2π3＋…＋sin6π3＋sin 2 017π3＝336×0＋ sin ⎝⎛⎭⎫672π＋π3＝sin π3＝32.11．[导学号：96982270] A由题意知，y ＝2x ＋12表示斜率为2的直线，变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a ，设函数f (x )＝－12x 2＋3ln x ，则f ′(x )＝－x ＋3x ，设当切线斜率为2时，函数f (x )图象的切点的横坐标为x 0，则－x 0＋3x 0＝2，所以x 0＝1，此时切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，－12，切点到直线y ＝2x ＋12的距离d ＝35，所以(a －m )2＋(b －n )2的最小值为d 2＝95.12． C因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2＜f (1)等价于|f (ln x )|＜f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.13.由题意可得g (2)＝2＋f （2）f （2）＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f （－2）f （－2）＝2－1－1＝－1.－114.由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C＝120°－A ，所以60°≤A ＜120°，a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2，则2a －c ＝4sin A －2sin C＝4sin A －2sin(120°－A )＝23sin(A －30°)，当A ＝60°时，2a －c 取得最小值 3.315.将点A (－1，2)代入2ax －by ＋14＝0，可得a ＋b ＝7，由于A (－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a 2＋b 2≤25.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝7，a 2＋b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，这说明点(a ，b )在以B (3，4)和C (4，3)为端点的线段上运动，所以ba的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，43.⎣⎡⎦⎤34，4316．[导学号：96982271]函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．2。