北京市2015-2016学年高一数学下册(必修4)3.1.2 两角和

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必修4课件_3.1.2两角和与差的正弦正切公式

1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，
2注意公式的结构，尤其是符号。
二【探究】
2.T(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin
cos(－ ) cos cos ＋sin sin
二【探究】
2.T(α±β)公式的推导
tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2
二【探究】
1.S(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
sin(＋ ) sin cos cos sin sin( - ) sin[ ( )] sin cos cos sin
3.1.2
两角和与差的正弦正切公式
一【引入】
1、两角和与差的余弦公式
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
2、使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.符号判断、角的变形.
β = α +β α
a sin x b cos x
a b sin x
2 2
b tan ，所在象限就是点(a, b)所在象限 a
四
【课堂小结】
1.两角差的余弦公式 C＋是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程. 2.公式S ( a + b )与 S ( a 与T T

高中数学人教A版必修4 第3章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

根据 α，β 的任意性，在上面式子中，以－β 代替 β 得
tan α＋tan－β tan α－tan β tan(α－β)＝＝ . 1－tan αtan－β 1＋tan αtan β
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
问题 2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α± β 的取值是任
【典型例题】例1 求下列各式的值： 3＋tan 15° (1) ；(2)tan 15° ＋tan 30° ＋tan 15° tan 30° . 1－ 3tan 15°
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tan 60° ＋tan 15° 解 (1)原式＝＝tan(60° ＋15° ) 1－tan 60° tan 15°
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研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
练习 2：求值：tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° .
解方法一 ∵tan 20° ＋tan 40° ＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )，
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∴原式＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3－ 3tan 20° tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3.
3.1.2（二）
探究点一问题 1
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两角和与差的正切公式的推导
sin α 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α＝，从两 cos α
角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角 α，β 的正切值表示 tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试． sinα＋β sin αcos β＋cos αsin β 答当 cos(α＋β)≠0 时，tan(α＋β)＝＝ . cosα＋β cos αcos β－sin αsin β 当 cos αcos β≠0 时，分子分母同除以 cos αcos β，得 tan α＋tan β tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β

高中数学必修四课时作业1：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、基础过关1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7C ．－17D ．－7[答案] A2．已知tan (α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.1318 B.1323C.723D.16[答案] C[解析] tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723.3．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] C4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 [答案] A[解析] ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13， ∴tan (A ＋B)＝52，∴tan C ＝－tan (A ＋B)＝－52， ∴C 为钝角．5.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. [答案] － 36．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． [答案] 23[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 7．求值：(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、能力提升8．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10°D .3tan 20°[答案] A[解析] 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3×33＝1. 设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.[答案] －105[解析] 因为tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13，因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－ 11＋tan 2θ＝－31010，sin θ＝1－cos 2θ＝1010，则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan (α＋β)＝________. [答案] 1[解析] ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan (α＋β)＝1. 11．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C 2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tan C 2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C 2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C 21－tan A 2tan B 2＝1， ∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2. 即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4. 三、探究与拓展是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解若α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又∵tan α2tan β＝2－3， ∴tan α2＋tan β＝3－3， ∴tan α2，tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根， ∴x 1＝1，x 2＝2－ 3.∵若tan α2＝1，但由于α是锐角，即0<α2<π4，故这是不可能的， ∴tan α2＝2－3，tan β＝1. ∵0<β<π2， ∴β＝π4，α＝2π3－2β＝π6， ∴存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.。

高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式二教案新人教A版必修4

探究点一两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二两角和与差的正切公式的变形公式两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。

数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4)

两角和与差的正弦、 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式余弦、
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问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些两角差的余弦公式是什么基本变式？基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
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思考5 正切函数与正弦、思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系，出发，存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
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理论迁移
3 是第四象限角，例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
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求下列各式的值：例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与差的三角系列公式的基础，在联系，就自然掌握了公式的形成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算的结构相同，符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三公式的变形应用例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

人教a版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)(含答案)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

北京市第四中学高中数学 3.1.2二倍角的正弦、余弦、正切公式提高巩固练习新人教版必修4

北京市第四中学高中数学 3.1.2二倍角的正弦、余弦、正切公式提高巩固练习新人教版必修4【巩固练习】 1．若1sin(),33πα+=则2cos(2)()3πα+= A ．79- B ． 13 C ． 13- D ．792．化简22cos2sin 1+-的结果是（）A ．－cos1B ．cos1C ．3cos1D ．3cos1-3．化简2212sin 20cos 202cos 101cos 1601-︒︒︒--︒-得（）A ．1sin 40-︒B ．1cos 20sin 20︒-︒C ．1D ．―14．已知sin 76α=o，则cos 7o的值为（）A ．12a - B ．12a+ C ．22a D ．2a 5．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6．若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为（） A ．103B ．53C ．23 D ．－27．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )A ．917 B ．179± C ．17- D ．3178．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）A ．3―cos2xB ．3―sin2xC ．3+cos2xD ．3+sin2x 9．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= ．10．22cos cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是．11．已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为． 12．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为． 13．已知1sin sin 446ππαα⎛⎫⎛⎫+⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 4α． 14．在△ABC 中，cos A =35,tan B =2，求tan(2A +2B )的值．15．已知04πα<<，β为()cos 28f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，向量1tan ,14a αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(cos ,2)b α=，且a ·b=m ，求22cos sin[2()]cos sin ααβαα++-的值． 16．已知2cos 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x 的值；（2）求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案与解析】 1．【答案】D 2．【答案】C【解析】 2+cos2―sin 21=2+2cos 21―1―sin 21=2cos 21+1―sin 21=3cos 21，∴原式3cos1=．3．【答案】C【解析】222(cos 20sin 20)12sin 20cos 202cos 101cos 1601︒-︒-︒︒=︒--︒-cos 20sin 201cos 20sin 20︒-︒==︒-︒． 4．【答案】B【解析】由已知sin 76cos14a ==oo，所以21cos141cos 722a ++==o o，所以1cos 72a +=o．5．【答案】A【解析】22cos 1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为奇函数，最小正周期为22ππ=，故选A ． 6．【答案】A【解析】由3sin α+cos α=0，得1tan 3α=-．所以 22221sin cos cos sin 2cos 2sin cos ααααααα+=++211tan 1109212tan 313αα++===+- 7. 【答案】A 【解析】214(cos sin ),sin cos sin 0,cos 099αααααα+==-><，而 217cos sin (cos sin )4sin cos 3αααααα-=-+-=-22117cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )()33ααααααα=-=+-=-⨯-=179．8．【答案】C【解析】22(sin )3(12sin )22sin f x x x =--=+，∴2()22f x x =+，∴221cos (cos )22cos 223cos 22xf x x x +=+=+⋅=+． 9. 【答案】2008 【解析】11sin 21sin 2tan 2cos 2cos 2cos 2cos 2ααααααα++=+=222(cos sin )cos sin 1tan 2008cos sin cos sin 1tan αααααααααα+++====--- 10. 【答案】[]1,1- 11. 【答案】17,39【解析】22417(sincos )1sin ,sin ,cos 212sin 22339θθθθθθ+=+===-= 12．【答案】0360,2【解析】2cos 2cos cos 2sin 12sin 2sin 2222B C A A AA A ++=+=-+ 22132sin2sin 12(sin )22222A A A =-+-=--+当1sin 22A =，即060A =时，得max 3(cos 2cos )22B C A ++= 13．【解析】原式=sin()cos()44ππαα++=11sin(2)226πα+=，1cos 23α∴=，,222παππαπ<<∴<<Q ，∴2α是第三象限角，∴22sin 23α=-，∴22142sin 42sin 2cos 22()339ααα==⨯-⨯=-．14．【解析】由题意知，44sin ,tan 53A A ==，tan tan tan()21tan tan A BA B A B+∴+==--，22tan()4tan(22)1tan ()3A B A B A B +∴+==-+．15．【解析】因为β为()cos 28f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故β=π．因为a ·b=m ，又1cos tan 2cos tan 244a b πααβαα⎛⎫⎛⎫⋅=+-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos tan 24m παα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．由于04πα<<，所以222cos sin[2()]2cos sin(22)cos sin cos sin ααβααπαααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )1tan 2cos cos sin cos sin 1tan αααααααααααα+++===---2cos tan 2(2)4m παα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．16．【解析】（1）因为3,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以,442x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．于是272sin 1cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin sin 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 4444x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222241021025=+⨯=．（2）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3cos 5x ===-，24sin 22sin cos 25x x x ==-，27cos 22cos 125x x =-=-．所以sin 2sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．。

2015-2016学年高一数学人教A版必修四教案：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2) Word版含答案

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想（一）导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝cos αcos βsin αsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan μ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）οο15tan 115tan 1-+ 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为οοοο15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=οοοο15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3.点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1οο+- 解：原式=οοοο75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22ba a +,sin φ=22b a b +,从而得到tan φ=ba ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx) =22sin(6π-x).例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值;（2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tan α,tan β的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin(α-β)= 31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21,①sin αcosβ-cosαcosβ=31.②①+②得sin αcos β=125, ①-②得cos αsin β=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.（四）作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β,求tan(α+β)的值.解：由韦达定理得：tan α+tan β=ab -,tan αtan β=a c ,∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.（五）课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。

2015-2016学年高一数学人教B版必修4精练：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析

第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 的结果为( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin x D ．－sin x[答案] D[解析] 原式＝sin[y －(x ＋y )]＝sin(－x )＝－sin x . 2．若cos αcos β＝1，则sin(α＋β)等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1[答案] B[解析] ∵cos αcos β＝1，∴cos α＝1，cos β＝1或cos α＝－1，cos β＝－1， ∴sin α＝0，sin β＝0，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0. 3．cos α－3sin α化简的结果可以是( ) A ．2sin(π6－α)B ．12sin(π6－α)C ．12cos(π3－α)D ．2cos(π3－α)[答案] A[解析] cos α－3sin α＝2(12cos α－32sin α)＝2(sin π6cos α－cos π6sin α)＝2sin(π6－α)．4．对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的认识正确的是( ) A ．对于任意的角α、β都成立 B ．只对α、β取几个特殊值时成立 C ．对于任意的角α、β都不成立 D ．有无限个α、β的值使等式成立 [答案] D[解析] 当α＝2k π或β＝2k π，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，因此有无限个α、β的值能使等式成立．5．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A ． 2 B ．22 C ．12D ．32[答案] B[解析] sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·sin[90°－(110°－x )]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin(65°－x ＋x －20°)＝sin45°＝22. 6．(2015·四川理，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x[答案] A[解析] 对于选项A ，因为y ＝－sin 2x ，T ＝2π2＝π，且图象关于原点对称，故选A ．二、填空题7．化简sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α的结果是________．[答案] 12[解析] 原式＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°2cos α＝cos α2cos α＝12. 8．化简sin22°＋cos45°sin23°cos22°－sin45°sin23°＝________.[答案] 1[解析] 原式＝sin (45°－23°)＋cos45°sin23°cos (45°－23°)－sin45°sin23°＝sin45°cos23°－cos45°sin23°＋cos45°sin23°cos45°cos23°＋sin45°sin23°－sin45°sin23°＝sin45°cos23°cos45°cos23°＝tan45°＝1.三、解答题9．(2015·荆门市高一期末测试)已知向量a ＝(3，1)、b ＝(1，3)、c ＝(－1－cos α，sin α)，α为锐角．(1)求向量a 、b 的夹角； (2)若b ⊥c ，求角α的值．[解析] (1)设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a |·|b |＝3×1＋1×33＋1×1＋3＝234＝32. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.(2)∵b ⊥c ，∴－1－cos α＋3sin α＝0， ∴2sin(α－π6)＝1，∴sin(α－π6)＝12.∵α为锐角，∴α＝π3.10.(2014·广东理，16)已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．[解析] (1)f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝32，∴A ×32＝32， ∴A ＝ 3.(2)f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)]＝32. ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64，又∵θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.一、选择题1．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] B[解析] a ＝2sin(14°＋45°)＝2sin59°， b ＝2sin(16°＋45°)＝2sin61°， c ＝2·32＝2sin60°，由y ＝sin x 的单调性知：a <c <b .2．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin(π3－x )＝( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35[答案] D[解析] ∵3cos x －sin x ＝2(sin π3cos x －cos π3sin x )＝2sin(π3－x )＝－65，∴sin(π3－x )＝－35.3．已知向量a ＝(sin α，cos α)，b ＝(cos β，sin β)，α、β为锐角且a ∥b ，则α＋β等于( ) A ．0° B ．90° C ．135° D ．180° [答案] B[解析] a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0，∴－cos(α＋β)＝0， ∴α＋β＝90°.4．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)函数y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( )A ．[－π6，π3]B ．[π3，5π6]C ．[5π12，13π12]D ．[π12，7π12][答案] D[解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x＝－32cos2x －12sin2x ＝－sin(2x ＋π3)令2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z .取k ＝0，得π12≤x ≤7π12，故选D ．二、填空题5．(2015·随州市高一期末测试)已知cos α＝35，cos(α－β)＝1213，且0<α<β<π2，则sin β＝________.[答案]6365[解析] ∵cos α＝35，0<α<π2，∴sin α＝45.又∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝－513.∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝45×1213－35×(－513)＝6365. 6．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，x ＝________. [答案]5π6[解析] y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)，∵x ∈[0,2π]，∴x －π3∈[－π3，5π3]，∴当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取最大值2.三、解答题7．已知sin α＝1517，cos β＝－513，α∈(π2，π)，β∈(π2，π)，求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．[解析] ∵sin α＝1517，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－(1517)2＝－817.∵cos β＝－513，β∈(π2，π)，∴sin β＝1－(－513)2＝1213，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1517×(－513)＋(－817)×1213＝－75＋96221＝－171221，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1517×(－513)－(－817)×1213＝21221. 8．求值：(1)(tan10°－3)·cos10°sin50°；(2)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°. [解析] (1)(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50° ＝sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝sin (－50°)cos60°·1sin50°＝－2.(2)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280° ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°＋sin10°⎝⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°·2cos 210°＝⎝⎛⎭⎫2sin50°＋2sin10°·cos50°cos10°·2cos10° ＝22(sin50°cos10°＋sin10°·cos50°) ＝22sin60°＝ 6.9. (2014·重庆理，17)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2. 所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.。

高中数学人教版必修四学案：第三单元 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案

3.1.2 两角和与差的正弦学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数的性质.知识点一两角和与差的正弦思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”.知识点二辅助角公式思考1a sin x＋b cos x化简的步骤有哪些？思考2在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？梳理辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)＝a2＋b2cos(x－θ).其中cos φ＝________，sin φ＝________，sin θ＝aa2＋b2，cos θ＝ba2＋b2，φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定.类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°).(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x ).类型二给值求值(角)例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β).反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α的值.类型三辅助角公式例3将下列各式写成A sin(ωx＋φ)的形式.(1)3sin x－cos x；(2)24sin(π4－x)＋64cos(π4－x).反思与感悟辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2·sin(x＋φ)可以把含sin x、cos x的一次式化为A sin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝ba确定.研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数的性质都要用到该公式.跟踪训练3已知函数f(x)＝3cos 2x－sin 2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间.1.计算2cos π12＋6sin π12的值是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.22 2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A.－32B.32C.－12D.123.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________.4.化简：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.5.化简：sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋3x ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋3x .1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C α－β――→诱导公式S α＋β――→以－β代换βS α－β.(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.答案精析问题导学知识点一思考1 sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β＝sin αcos β＋cos αsin β .思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β知识点二思考1 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b 2，sin θ＝b a 2＋b 2(或sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2)．一般θ为特殊角⎝⎛⎭⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2·(sin θsin x ＋cos θcos x ))．(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ))．思考2 θ所在的象限由a 和b 的符号确定．梳理 a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 题型探究例1 (1)解原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°)＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x )＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝22. (2)12跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )] ＝sin 90°＝1.例2 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213， sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365. 跟踪训练2 α＝π4例3 解 (1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)． (2)原式＝22[12sin(π4－x )＋ 32cos(π4－x )]＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π4－x －π6)＝22cos(π12－x ) ＝22sin(x ＋5π12)．跟踪训练3 解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2， k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．当堂训练1．B 2.D 3.124.cos α 5．解原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4－3x －⎝⎛⎭⎫π3－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝sin π4cos π3－cos π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64.。

高中数学人教版必修四学案：第3章 3.1 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案

3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)[自主预习·探新知]1．两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2．辅助角公式siny＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θθ思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()[解析](1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( ) A.12 B.22C.32D ．以上都不对A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.] 3．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4πC [y ＝sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴函数的最小正周期为T ＝2π.]4．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，则sin(α＋β)＝________.【导学号：79402116】[解析] ∵α为锐角，且sin α＝35， ∴cos α＝45.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－45， ∴cos β＝45，sin β＝－35.∴sin(α＋β)＝35×45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝0.[答案] 0[合作探究·攻重难]利用公式化简求值(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.32(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值． [思路探究] (1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． [解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12. [答案] C(2)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1. (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ；(2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).【导学号：79402117】[解] (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0. (2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.给值(式)求值设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．[思路探究] 应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解析] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32.母题探究：1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝32×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝34－34－14－34＝－1.2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？ [解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32. 因为β为第三象限，所以cos β＝－12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34＋34＝0. [规律方法] (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.,提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值.辅助角公式的应用[探究问题]1．函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z)的最大值为2对吗？为什么？ [提示] 不对．因为sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以函数的最大值为 2.2．函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ [提示] 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ，令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)，所以函数y 的最大值为5. 3．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式？[提示] a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫aa 2＋b 2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到． [思路探究] 辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．[解] (1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π(k ∈Z)，所以x ＝4π3＋2k π(k ∈Z)．所以f (x )的最小值为－3，x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z. (2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y ＝3sin x 的图象；然后将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象.[当堂达标·固双基]1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( )【导学号：79402118】A.12 B ．－12 C.32D ．－32D [原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D.] 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B.7210C ．－210 D.210A [∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．故选B.]4．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________. [解析] 原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32. [答案] 325．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。

高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案

和角公式3．1.2两角和与差的正弦预习课本P136～138，思考并完成以下问题(1)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式？(2)两角和与差的正弦公式是什么？[新知初探]两角和与差的正弦公式[点睛] 两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°的值等于( ) A.12 B ．－12C ．0D ．1 答案：D3．已知sin α＝－35，α是第四象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 答案：7210[典例] 求值：(1)sin(－15°)； (2)(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.[解] (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°) ＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45° ＝12×22－32×22 ＝2－64.(2)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50° ＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50° ＝－2.法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3cos 10°sin 50°cos 10°sin 50°＝2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°sin 50°＝2sin (10°－60°)sin 50°＝－2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．[活学活用]求值：(1)sin 105°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.解：(1)sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60° sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. (2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.[典例] (1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sinπ12＋cos π12； (3)已知π4＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．[解] (1)[直接法]因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝35，cos β＝－513，所以cos α＝45，sin β＝1213，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513＋45×1213＝3365， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513－45×1213＝－6365. (2)[常值代换法] 原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin π12＋12cos π12＝2⎝⎛⎭⎫sin π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝2sin π4＝ 2.(3)[角的代换法]∵π4＜β＜α＜3π4，∴π2＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665.给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°等.1，3，33，12，22等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，α＋β＝(2α＋β)－α， 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等． [活学活用]在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( )A ．－55 B.55C ．－255D.255解析：选D ∵A ＝π4，∴cos A ＝sin A ＝22，又cos B ＝1010，0＜B ＜π，∴sin B ＝31010， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×1010＋22×31010＝255.[典例] 求y ＝3sin x －cos x 的最小正周期、最值及单调递增区间． [解] y ＝2⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π6－cos x sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. ∴此函数的最小正周期为2π，y max ＝2，y min ＝－2. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.∴y ＝3sin x －cos x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)．辅助角公式及其运用(1)公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．[活学活用]求函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值和最小值．解：f (x )＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3＝32sin x －32cos x＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f (x )的最大值为3，此时x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)；f (x )的最小值为－3，此时x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．层级一学业水平达标1．sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.2.sin (α＋30°)－sin (α－30°)cos α的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 原式＝sin α cos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选A 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝⎛⎭⎫－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α的值为( ) A ．－14B.12 C ．2 D ．－1解析：选B cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A. 2B ．－2C ．－ 2 D. 3解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x ，所以所求函数的最小值为－ 2. 6．计算sin π12－3cos π12的值为________．解析：sin π12－3cos π12＝2⎝⎛⎭⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2. 答案：－ 27．已知π4<β<π2，sin β＝223，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝________. 解析：∵π4<β<π2，sin β＝223， ∴cos β＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝sin β·cos π3＋cos β·sin π3＝223×12＋13×32＝23＋36＝22＋36. 答案：22＋368．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，所以f (x )的最大值为1.答案：19．已知cos α＝45(α为第一象限角)，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎫π3－α的值．解：∵cos α＝45，且α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2 α＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α ＝32×45－12×35＝43－310. 同理可求sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝43－310.10．化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.层级二应试能力达标1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝( )A ．±1B ．1C ．－1D ．0解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝－32cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D. 2．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )．由已知可得 sin(B ＋C )＝2sin C cos B⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0.∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π.∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．3．函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x 图象的一条对称轴为( )A ．直线x ＝π2B ．直线x ＝πC ．直线x ＝π6D ．直线x ＝π3 解析：选D f (x )＝sin x ＋sin 2π3·cos x －cos 2π3·sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其图象的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3. 4．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A 由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12. 所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6. 又1－3cos A ＝4sin B >0，所以cos A <13. 又13<12，所以A >π3，所以C <2π3，所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6. 5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝________. 解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，即sin β＝－35，又β是第三象限角，∴cos β＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－22＝7210. 答案：72106．已知cos θ＝13⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值为________；sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．解析：因为cos θ＝13⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝223，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin θcos π4＋cos θsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫223＋13＝4＋26； sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝223×32－13×12＝26－16. 答案：4＋26 26－167．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．解：∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. 又∵α，β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.故α－β＝－π4.8．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：∵π4＜α＜3π4， ∴π2＜π4＋α＜π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365.。

高中人版B版数学必修四练习：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案

3.1.2 两角和与差的正弦课后篇巩固探究一、A 组基础巩固1.sin 10°cos 35°-sin 260°sin 145°的值是( ) A.√22 B.-√22C.sin 25°D.-sin 25°2.已知sin α=-35,α∈(π,3π2),则sin (α+π4)的值为( ) A .3√210 B .7√210 C .-√210D .-7√210α∈(π,3π),sin α=-3,∴cos α=-4, sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4 =-35×√22+(-45)×√22=-7√210.3.在△ABC 中,A=15°,则√3sin A-cos(B+C )的值为( ) A .√32B .√22C .√2D .2=√3sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin45°=√2.4.在△ABC 中,2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形2cos B sin A=sin C ,∴2cos B sin A=sin(A+B ).∴2cos B sin A=sin A cos B+cos A sin B. ∴sin A cos B-cos A sin B=0,∴sin(A-B )=0. ∵A ,B 是△ABC 的内角,∴A=B. ∴△ABC 是等腰三角形.5.已知α∈(π,3π2),sin α=-14,β∈(3π2,2π),cos β=45,则α+β为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6.已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(√2,√2),a ·b =85,则cos (x -π4)= .7.已知sin α=12,sin β=13,则sin(α+β)sin(α-β)= .8.导学号73764075已知cos (π4-α)=35,sin (3π4+β)=513,其中π4<α<3π4,0<β<π4,求sin(α+β)的值.α+β+π2=3π4+β-(π4-α),所以sin(α+β)=-cos [π2+(α+β)] =-cos [(3π4+β)-(π4-α)] =-cos (3π4+β)cos (π4-α)-sin (3π4+β)sin (π4-α). 又因为π4<α<3π4,0<β<π4, 所以-π2<π4-α<0,3π4<3π4+β<π. 所以sin (π4-α)=-45,cos (3π4+β)=-1213.所以sin(α+β)=-(-1213)×35−513×(-45)=5665. 9.已知M (1+cos 2x ,1),N (1,√3sin 2x+a ),若f (x )=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点). (1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[0,π2]时,f (x )的最大值为4,求a 的值.f (x )=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+cos2x+√3sin2x+a , ∴f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1. (2)f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1 =2sin (2x +π6)+a+1,∵x ∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴当2x+π6=π2时,即x=π6时,f (x )取得最大值为3+a ,∴3+a=4,∴a=1.二、B 组能力提升1.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则lo g √5(tanαtanβ)2等于( )A.2B.3C.4D.62.sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°的值等于( ) A.2+√3 B.2+√32 C.2-√3D.2-√32=sin (15°-8°)+cos15°sin8°cos (15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=√6-√246+24=2-√3.3.已知f (x )=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在[0,π]上是减函数,则θ的一个值是( ) A .π4B .πC .43πD .54π(x )=√2sin (3x +θ-π4),∵f (x )是奇函数,∴f (0)=√2sin (θ-π4)=0,∴θ=k π+π4,k ∈Z . ∵f (x )在[0,π6]上是减函数,∴k 为奇数. 当k=1时,θ=5π.4.在△ABC 中,已知sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B ≥1,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .等腰非直角三角形sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B=sin(A-B+B )=sin A ≥1,且0≤sin A ≤1,∴sin A=1,即A=π2,∴△ABC 是直角三角形.5.函数y=sin x+cos x+2(x ∈[0,π2])的最小值是( ) A .2-√2 B .2+√2 C .3D .1sin x+cos x+2=√2sin (x +π4)+2.∵x ∈[0,π2],∴x+π4∈[π4,34π], ∴y min =√2×√22+2=3.6.已知A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则sin (α+π4)= .AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3,sin α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α,sin α-3),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=cos 2α-3cos α+sin 2α-3sin α=1-3√2sin (α+π4)=-1.∴sin (α+π4)=√23.7.已知sin α+cos α=√62,α∈(0,π4),则sin (α-5π4)= .(α-5π4)=sin αcos 5π4-cos αsin 5π4=√22cos α-√22sin α=√22(cos α-sin α).∵α∈(0,π4),∴cos α>sin α, ∴(sin α+cos α)2=32,(sin α-cos α)2=12,∴cos α-sin α=√22. ∴sin (α-5π)=√2×√2=1.8.已知f (x )=sin 2x+√3cos 2x-1,x ∈[0,π2]. (1)求f (x )的最大值;(2)求f (x )在定义域上的单调递增区间.f (x )=2sin (2x +π3)-1.∵0≤x ≤π2,∴π3≤2x+π3≤4π3. ∴f (x )max =1.(2)由π3≤2x+π3≤π2,得0≤x ≤π12.∴f (x )在定义域上的单调递增区间为[0,π12].9.已知函数f (x )=A sin(x+φ)(A>0,0<φ<π,x ∈R )的最大值是1,其图象经过点M (π3,12).(1)求f (x )的解析式;(2)已知α,β∈(0,π2),且f (α)=35,f (β)=1213,求f (α-β)的值.因为函数f (x )的最大值为1,所以A=1.因为f (x )的图象经过点M (π3,12), 所以sin (π3+φ)=12.因为0<φ<π,所以π3<π3+φ<4π3. 所以π3+φ=5π6.所以φ=π2. 所以f (x )=sin (x +π2)=cos x. (2)因为f (α)=cos α=35,f (β)=cos β=1213, 且α,β∈(0,π2),所以sin α=45,sin β=513.所以f (α-β)=cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β =35×1213+45×513=5665. 10.导学号73764076已知函数f (x )=sin (2x +π6)+sin (2x -π6)+cos 2x+a (a ∈R ,a 为常数).(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间; (2)当x ∈[0,π]时,f (x )的最小值为-2,求a 的值.∵f (x )=2sin2x cos π+cos2x+a=√3sin2x+cos2x+a=2sin (2x +π6)+a ,∴f (x )的最小正周期T=2π2=π. 当2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z ,即k π-π≤x ≤k π+π(k ∈Z )时,函数f (x )单调递增, 故所求区间为[kπ-π3,kπ+π6](k ∈Z ). (2)当x ∈[0,π2]时,2x+π6∈[π6,7π6], ∴x=π2时,f (x )取得最小值. ∴2sin (2×π2+π6)+a=-2, ∴a=-1.。

高一数学人教版必修4学案：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析

3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质．[知识链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S α－β吗？答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β) ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β－cos αsin β.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定.要点一利用和(差)角公式化简例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°. 解原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 要点二利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值．解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值．解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.① ∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.② 由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0，所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ；(2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 规律方法辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式．跟踪演练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32答案 A解析原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x )∈[－2,2]．4．试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α； (3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α. 解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α) ＝2(sin αcos π4－cos αsin π4) ＝2sin(α－π4)． (2)3sin α＋cos α＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6) ＝2sin(α＋π6)． (3)方法一原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝22. 方法二原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α) ＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ))．其中cos φ＝35，sin φ＝45(或sin θ＝35，cos θ＝45)．1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)错误!sin(α＋β)错误!sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．一、基础达标1．函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2答案 A解析 ∵f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )max ＝1.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( ) A ．0 B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1答案 D解析 ∵cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2. 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________．答案 cos α解析原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7．化简求值： (1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )； (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；(3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3) ＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64. (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)，∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°＝tan 45°＝1. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365答案 B解析由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213. ∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝45×1213－35×513＝3365. 9．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________．答案 137解析 ∵⎩⎨⎧ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎨⎧ sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时，cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋53×154＝－2＋5312. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－53×154＝－2－5312＝－2＋5312. (2)当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin α＝23，cos β＝－14， ∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝53－212. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝－2＋5312，综上可知：sin(α＋β)＝53－212，sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.。