高三数学一轮复习抛物线课件

• (2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问 题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为 二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线， 转化为两平行直线间的距离，后者更简便．
• 3．抛物线的标准方程．
• 由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方 程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．
解析：如图，设 B(x0，y0)，由题意知 MK ＝12BH，
∴x0＋p2＝21＋p2，∴x0＝p2＋2. ∵点 B(x0，y0)在抛物线 y2＝2px 上， ∴y0＝ p2＋4p，又直线 AB 方程为 y＝ 3(x － 1) ， 将 点 B 的 坐 标 代 入 得 p2＋4p ＝ 3
p2＋2－1，∵p>0，∴p＝2.
• ①|AB|＝x1＋x2＋p； ②y1y2＝－p2.
直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 Fp2，0时，常
设 l：x＝my＋p2以简化运算．
• 2．关于抛物线的最值问题
• (1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点， 求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的 准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点．
9 C.2
D．5
解析：如图，焦点 F(12，0)，当 P、A、F 三点共线
时|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，
即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－12＝
72－122＋42－
1 2
＝
5
－12＝92，故选 C.
答案：C
[例 2] 双曲线xm2－yn2＝1(mn≠0)离心率为 2，有一个 焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，则 mn 的值为( )
∴mn＝136.故选 A.
• 答案：A
• 点评：解决这类问题一定要抓准各种曲线的基本量及其关 系．
• 设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交 于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为
()
• A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
• C．y2＝4x
D．y2＝8x
解析：由已知抛物线焦点为 Fa4，0， ∴AF 所在直线方程为 y＝2x－a4，∴A0，－a2， ∴S△OAF＝12×－a2·a4＝1a62 ＝4， ∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为 y2＝±8x.
答案：B
[例 3] 已知直线 l 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点，
A(8,8)且直线 l 经过抛物线的焦点 F，则线段 AB 的中点到
S3＝12·|NN1|·|F1N1|＝12(x2＋p2)|y2|. 要证 S22＝4S1S3， 即证(p2|y1－y2|)2＝4×12(x1＋p2)|y1|·12(x2＋p2)|y2| 即证14p2[(y1＋y2)2－4y1y2] ＝[x1x2＋p2(x1＋x2)＋p42]|y1y2|.
将
x1＝my1＋p2 x2＝my2＋p2
证法二：依题意，焦点为 Fp2，0， 准线 l 的方程为 x＝－p2 设点 M，N 的坐标分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直 线 MN 的方程为 x＝my＋p2，则有 M1－p2，y1，N1－p2，y2， F→M1＝(－p，y1)，F→N1＝(－p，y2)， 由x＝my＋p2 ，得 y2－2mpy－p2＝0.
准线的距离为( )
25 A. 4
25 B. 2
25 C. 8
D．25
• 分析：由直线l经过抛物线的焦点F及点A(8,8)可求l的方程，
由l与抛物线方程联立可求得B点坐标(或依据根与系数关系，
求得AB中点M的横坐标，进一步即可求得M到准线的距离)，
M到准线的距离为 |AB|.
解析：因为抛物线的焦点为 F(2,0)，则直线 l 的方程 为 y＝43(x－2)，由yy2＝＝438xx－2 解得 B12，－2，
• 要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直 线.
• 2．关于抛物线的标准方程
• 由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线 的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在 于：
• (1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为 正数．
(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称 相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.
(2)抛物线 C 的准线方程是 x＝－1， 由抛物线定义知|A→F|＝x1＋1，|B→F|＝x2＋1，|D→F|＝x3 ＋1 ∵|A→F|、|B→F|、|D→F|成等差数列， ∴x1＋1＋x3＋1＝2(x2＋1)，∴x1＋x3＝2x2 又 y12＝4x1，y22＝4x2，y32＝4x3，故 y12－y32＝(y1＋y3)(y1 －y3)＝4(x1－x3)，∴kAD＝xy11－－xy33＝y1＋4 y3， ∴AD 的中垂线为 y＝－y1＋4 y3(x－3)
解析：触法一：设圆心坐标为(x，y)，由题意，x－(－ 1)＝ x－12＋y2，整理得 y2＝4x，故选 C.
解法二：动圆圆心 C 到定点(1,0)和定直线 x＝－1 距 离相等，∴C 点轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1 为准线的 抛物线，∴p＝2，∴方程为 y2＝4x.
答案：C
• (文)抛物线x2＝－8y上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵 坐标为( )
• 4．韦达定理的应用．
• 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利 用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．
• [例1] 已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆 圆心的轨迹方程为( )
• A．x2＋y2＝1
B．x2－y2＝1
• C．y2＝4x
D．x＝0
• 分析：由条件知，动圆圆心C到点(1,0)和直线x＝－1的距离 相等，可用直译法求解，也可以用定义法求解．应注意圆锥 曲线定义在解题中的应用．
•( )
• A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| • B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 • C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| • D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
解析：将 2x2＝x1＋x3 两边同时加上 p 得， 2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2， ∵P1、P2、P3 在抛物线上，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
答案：C
[例 4] 设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 M→N＝2M→P，P→M⊥P→F.
(1)当点 P 在 y 轴上运动时，求 N 点的轨迹 C 的方程； (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上的三 点，且|A→F|、|B→F|、|D→F|成等差数列，当 AD 的垂直平分线 与 x 轴交于 E(3,0)时，求 B 点的坐标．
• A．5
B．－5
• C．3
D．－3
• 解析：抛物线的准线方程为y＝2，且点P到准线距离为5 ， ∴yP＝－3.
• 答案：D
(理)已知点 P 为抛物线 y2＝2x 上的动点，点 P 在 y 轴
上的射影是 M，点 A 的坐标是 A(72，4)，则|PA|＋|PM|的最
小值是( )
11 A. 2
B．4
(3)AB 为抛物线的焦点弦、F 为焦点，A、B 在准线上 射影为 C、D，AB 的中点在准线上射影为 N，则
|A1F|＋|B1F|为定值；∠ANB＝90°，∠CFD＝90°等等， 推证这些性质对提高解决抛物线问题的能力很有帮助．
• 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2， y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有
33 A.16 B.8
16 8 C. 3 D.3
分析：由双曲线的一个焦点与抛物线 y2＝4x 焦点
F(1,0)重合知，双曲线焦点在 x 轴上，从而 a2＝m，b2＝n，
c2＝m＋n，e＝ac＝2.且 m＋n＝1，可解得 m、n 的值．
解析：由条件知
mm＋n＝2
m＋n＝1
，解得mn＝＝3414
.
AD 的中点x1＋2 x3，y1＋2 y3在其中垂线上， ∴y1＋2 y3＝－y1＋4 y3x1＋2 x3－3.∴x2＝x1＋2 x3＝1. 由 y22＝4x2.∴y2＝±2.∴B 点坐标为(1,2)或(1，－2)．
(文)(2010·全国Ⅱ理)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准 线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B.若A→M＝M→B，则 p＝________.
• 重点难点 • 重点：抛物线定义、几何性质及标准方程 • 难点：抛物线几何性质及定义的应用 • 知识归纳 • 1．抛物线的定义
• 平面内与一个定点F和一条定直线l (F∉l)的距离 相等 的
点的轨迹叫做抛物线．
• 2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)
• 误区警示
• 1．关于抛物线定义
(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.
• 1．抛物线的焦点弦 • 若直线l过抛物线的焦点与抛物线相交于两点A、B，则线段
AB通常称作抛物线的焦点弦，焦点与抛物线上任一点的连 线段，通常称作抛物线的焦半径，涉及焦半径(或焦点弦)的 问题，常考虑应用定义求解．
• 若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2， y2)，则有如下结论：
• 解析：(1)证法一：由抛物线的定义得
• |MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|. • ∴∠MFM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F. • 如图，设准线l与x轴的交点为F1， • ∵MM1∥NN1∥FF1， • ∴∠F1FM1＝∠MM1F，∠F1FN1＝∠NN1F. • 而∠F1FM1＋∠MFM1＋∠F1FN1＋∠NFN1＝180°， • 即2∠F1FM1＋2∠F1FN1＝180°， • ∴∠F1FM1＋∠F1FN1＝90°，即∠M1FN1＝90°， • 故FM1⊥FN1.