高中数学必修四导学案：2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

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人教a版必修4学案：2.3.2—2.3.2平面向量的正交分解(含答案)

2.3.2—2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算自主学习知识梳理1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝________，则__________叫做向量a 的坐标，__________叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝______.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝____________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．自主探究已知直角坐标系内两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把向量AB →按向量a ＝(m ，n )平移至A ′B ′→的位置．求：(1)点A ′，B ′的坐标；(2)向量A ′B ′→的坐标．对点讲练知识点一平面向量的坐标运算例1 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →.回顾归纳 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．变式训练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .知识点二平面向量的坐标表示例2 已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .回顾归纳待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．变式训练2 设i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，a ＝i －(2m －1)j ，b ＝2i ＋m j (m ∈R )，已知a ∥b ，求向量a 、b 的坐标．知识点三平面向量坐标的应用例3 已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，求顶点D 的坐标．回顾归纳向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．变式训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.课时作业一、选择题1．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →则点P 的坐标为( )A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)二、填空题6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．7．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.8．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.三、解答题9．已知A (1,2)、B (3,2)，a ＝(x ＋3，x －3y －4)，若a ＝AB →，求实数x 的值．10．已知▱ABCD 中，A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)．求顶点D 及对角线交点M 的坐标．2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy ) 自主探究解 (1)设A ′(x ′1，y ′1)，B ′(x ′2，y ′2) AA ′→＝a ，BB ′→＝a ，∴(x ′1－x 1，y ′1－y 1)＝(m ，n )．∴A ′(x 1＋m ，y 1＋n )．同理可得：B ′(x 2＋m ，y 2＋n )． (2)∵A ′(x 1＋m ，y 1＋n )，B ′(x 2＋m ，y 2＋n )．∴A ′B ′→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)或A ′B ′→＝AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．对点讲练例1 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)． ∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)， AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)， BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)． (2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)变式训练1 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 例2 解设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1) ＝(－2x ＋3y,3x ＋y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b . 变式训练2 解 ∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb ，即i －(2m －1)j ＝λ(2i ＋m j )．又i 、j 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm ＝－(2m －1).∴m 2＝－2m ＋1，即m ＝25. ∴a ＝i ＋15j ，b ＝2i ＋25j .故a ＝⎝⎛⎭⎫1，15，b ＝⎝⎛⎭⎫2，25. 例3 解设D (x ，y )．则AB →＝(4,1)， DC →＝(5－x,6－y )，由AB →＝DC →得⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝46－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝5. ∴顶点D 的坐标为(1,5)．变式训练3 解不妨设A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)．第四个顶点为D (x ，y )．则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形有以下三种情形．(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上所述，第四个顶点的坐标可能为 (0，－1)，(2，－3)或(6,15)．课时作业 1．D2．B [∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.]4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.]5．C [A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．] 6．(7，－6)解析 ∵AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)． ∴x ＝7，y ＝－6. 7.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.8．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等． ∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1. 9．解 AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)．∵a ＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2x －3y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－53，∴x ＝－1.10．解设D (x D ，y D )，M (x M ，y M )． ∵A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)． ∴BC →＝(5,1)－(3,0)＝(2,1)．∵四边形ABCD 为平行四边形，M 为对角线的中点．∴AD →＝BC →，AM →＝MC →. 即(x D ＋1，y D －2)＝(2,1)(x M ＋1，y M －2)＝(5－x M,1－y M ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x D ＋1＝2y D －2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x M ＋1＝5－x M y M －2＝1－y M ∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1y D ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝2y M ＝32∴D (1,3)，M ⎝⎛⎭⎫2，32.。

高中数学必修四教案-2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(2)-人教A版

《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容：1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

本节内容是向量进行坐标运算的理论基础，是将向量由几何属性转变为代数属性的转折点，具有非常总要的意义。

【三维目标】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

教学重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想.教学难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】（一）回顾旧知：回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

12a e e λμ=+【设计说明】回顾平面向量基本定理，为本节内容做铺垫，特别强调基底的系数是唯一确定的。

（二）情境引入：光滑斜面上的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?【设计说明】利用学生熟知的物理背景类比引出本节课题。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

-3
y
如图， i, j是分别与X轴、 Y轴方向相同的单位向量，若以向量i,j为基底，则：
A
C
a
B
j o i
x
对于该平面内的任意向量a , 有且只有一对实数 x, y, 使得：
a xi y j
a xi y j
① a （x，y）
i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
向量 a的分解不是唯一的！
e2
a
e1
e4
平行四边形法则
e3
a e1 e2
a e3 e4
如图所示，
重力的分解
F1 F2
G
G F1 F2
向量的分解不是唯一的！把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
如图，向量i, j是两个互相垂直的单位向量，而向量a与i的夹角为30，且 a 4，以向量i, j为基底，向量a应如何用 i, j来表示？
2.3.2
平面向量的正交分解以及坐标表示
（1）平向量基本定理
（2）基底
如果e1 , e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,
有且只有一对实数1，2，使得：
a 1 e1 2 e2
把不共线的向量 e1 , e2 叫作这一平面内所有向量a的一组基底！
向量的夹角与垂直:
j
O
a ( x, y)
i
x
x
j 表示向量 a 、例1:如图，分别用基底 i ， c 、， b、 d 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)

人教版高中数学必修4讲义 2.3 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示阅读教材P 94～P 95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示.显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1).( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1).( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容，完成下列问题.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2-3-13在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).如图2-3-13所示.1.已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－2)，则3a －2b 的坐标是( ) A.(0，－7) B.(0,7) C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】 3a －2b ＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2)D.(－1，－2) 【解析】 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( ) A.(1,8) B.(－1,8) C.(3,2)D.(－3,2)(2)如图2-3-14，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2-3-14图2-3-15(3)如图2-3-15，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，所以点B 的坐标为(－1,8).(2)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)，同理OD →＝(－1,1).【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°，120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，所以B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32.所以AB →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 【导学号：00680048】【解】如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)， ∴C (1，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝⎛⎭⎫12－2，32－0＝⎝⎛⎭⎫－32，32.平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n ) C.(1－m,7－n ) D.(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D.(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解. (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). (2)12A B →＝12(OB →－OA →)＝12[](－5，－1)－(3，－2)＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴12AB→＝⎝⎛⎭⎫－4，12.【答案】(1)B(2)A(3)∵AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.【解】(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.[探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？【提示】 ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【提示】 ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解. 故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时， (1)点P 在一、三象限角平分线上；(2)点P 在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】设点P 的坐标为(x ，y )，则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵A P →＝A B →＋λA C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若P 在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.当λ<－1时，点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-16所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2-3-16【解析】以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 41.已知OA →＝(4,8)，OB →＝(－7，－2)，则3AB →＝( ) A.(－9,18) B.(9，－18) C.(－33，－30)D.(33,30)【解析】 3AB →＝3(OB →－OA →)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】 C2.若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0，－1)【解析】 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →等于( ) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2)D.(2,2) 【解析】由AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】【解析】 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫35，－45 5.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标. 【解】因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝(3,24)， CN →＝2CB →＝(12,6).设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)，同理可得N (9,2)，所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18).。

2.3.2平面向量正交分解与坐标表示导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修42

2. 3.2 平面向量正交分解与坐标表示学习目标、细解考纲1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

4.通过培养学生作图、判断、求解的基本能力提升数学实践能力的核心素养。

一、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第94—96页内容，完成以下问题：）1. 对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？2. 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?3.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1.(5,2),(4,3),(,).320,a b c x y a b c c ==--=-+==已知向量若则( )A ．()2312--，B ．（23，12）C ．（7，0） D ．（-7，0）变式1．设12e ,e 是平面内一组基向量，且122a e e =+，12b e e =-+，则向量12e e +可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即12____e e a b +=+例2.如图,分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.变式2 ,i j 是两个不共线的向量,已知AB =32i j +,CB =i j λ+,CD =-2i j +,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例3．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．备选例题例1. 如图,ABCD,AB =a ，AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量AM 和MF .四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标:会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程: 、复习引入:平面向量基本定理：如果 e , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = x 10+入2e 2(2)基底不惟一，关键是不共线;二、讲解新课:1 .平面向量的坐标表示其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 2②式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为 (x,y). • ••••••••••特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作OA a ，则点A 的位置由a 唯一确定.(1) 理解平面向量的坐标的概念; (2) 掌握平面向量的坐标运算;⑴我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (3)由定理可将任一向量a 在给出基底 e i 、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量如图，在直角坐标系内，我们分别取与底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 y ，使得 i 、j 作为基a xi yj …… ……O 1O11 1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作rAa (x,y) ••….... O 2 Oox设OA xi yj ，则向量OA 的坐标（x, y ）就是点A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x, y ）也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a(X 1, y 1)， b (X 2,y 2)，则a b (X 1 X 2,y 1 y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( X 2，y 2) (X 1，y 1)= (X 2 X 1， y 2 y 1)(3)若 a (X, y)和实数，则 a ( X , y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a (Xi yj) xi yj ，即 a (X, y)三、讲解范例:例 1 已知 A （X 1，y i ）， uuu B （x 2， y 2），求AB 的坐标. r例2已知a =（2, 1）, r r 3a +4b 例3已知平面上三点的坐标分别为 A （ 2， 1）， B （ 1， 3），这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为 ABCD 时，由AB DC 得D I =（2 , 2）b= 0C （3, 4）,求点D 的坐标使当平行四边形为ACDB 时，得D 2=（4, 6），当平行四边形为 DACB 时，得D 3=（ 6， 0）例 4 已知三个力 F , (3， 4)， F 2 (2， 5), F 3(X ,y)的合力 F , + F 2+ F 3 =0，求F 3a b (X 1 X 2, y 1 y ?)，设基底为i 、j ，则a b （X 1i y 1 j ）(X 1(y 1 y 2)j即a b （X 1X 2,y 1 站，同理可得(X 1 X 2, y 1 y 2) (2)若 A (X 1, y 1)， B(X 2,y 2)，则 ABX 2X 1,y 2y 1解: 由题设F I+F2+F3=0 得：（3，4）+ （2，5）+（x，y）=（0，0）即:F3（ 5,1）四、课堂练习1 .若M（3 ,-2）N（-5,-1）且MP^MN2求P点的坐标2 .若A（0,1）,B（1,2），C（3, 4）,则AB 2 BC =3 .已知：四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记:232平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案、复习回顾: 平面向量基本定理:基底不惟一，关键是即入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量二、提出疑惑:如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何一、探究学习1. 平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X 轴、y 轴方向相同的两个单位向量底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X 、y ，使得我们把（x, y ）叫做a (x,y)其中X 叫做a 在X 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O2式叫做等的向量的坐标也为（Xy ）.•••••••••\J /理解：（1）我们把不共线向量e1、62叫做表示这一平面内所有向量的a xi yjO1由定理可将任一向量 a 在给出基底e 1> e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式呢？课内探究学案i 、j 作为基，记作特别地，i= j= 0=如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作O A a，则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj，则向量OA的坐标(X, y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2 .平面向量的坐标运算(1)若a (x i, y i),b (X2,y2)，则a b =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1x2 )i,同理可得a b =(2)若A(x i, y i), B(X2,y2)，则AB 他人小y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =0B OA =( x2, y2) (x i, y i)=(3)若a (x, y)和实数，则a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(y i y2)j设基底为i、j，则a (xi yj) xi yj，即a ( x,二、讲解范例:已知A(x i , y i), B(X2,uuuy2),求AB的坐标.已知a=(2, i), rb=(-3, 4)，求a +b , a-b , 3a+4b 的坐标.已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1 , 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点六、课后作业（略）七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则uv ULV OA = _________________ ，OB =v2、已知向量|a|4 ,的方向与X 轴的正方向的夹角o3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是v A . a v(0,0), b(1, 2)v B . av(1,2), b (5,7)vC. av (3,5) b (6,10)v D . av(2, 3)b(4, 6)v 4、已知向量a 2,4) v b (1,r r2）则a 与b 的关系是（）A .不共线B . 相等C. 同向D .反向 5、已知点A (2, 2)B (-2, 2)C (4, 6)D (-5, 6)E (-2, -2）F （ -5，-6）例4已知三个力F 1 （3,4),F 2 (2， 5)， F 3(X ，y)的合力 F i +F 2 + F 3 =0，求 F 31 .若 M(3 , -2)N(-5, -1)且 MP-MN , 22 •若 A(0,1),B(1, 2), C(3, 4),则 AB3 .已知：四点 A(5,1), B(3, 4),C(1, 3),是梯形.D （5, -3）, 求证：四边形 ABCD是30v，则a 的坐标为三、课堂练习:求P 点的坐标2BC =五、小结ULV uuv uuv uuv uuv LUV在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。

2020-2021高中数学必修4学案：2.3.2-3 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3平面向量的坐标运算考试标准课标要点学考要求高考要求正交分解的概念a a向量的坐标表示 b b平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示b b平面向量共线的坐标表示 b b 知识导图学法指导1.学习了本节后，可以知道向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．2．向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算.1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则把有序数对a＝(x，y)叫作向量a的坐标．(2)向量的坐标表示在向量a的直角坐标中，x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y 轴上的坐标，(x，y)叫作向量的坐标表示．D ．向量a 与b 关于原点对称解析：因为a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，所以a ＋b ＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0.所以a ＝－b .答案：C3．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2)解析：NM →＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．答案：B4．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝________.解析：BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．答案：(－2，－4)类型一求向量的坐标例1 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，分别求出它们的坐标．【解析】设点A (x ，y )，B (x 0，y 0)， ∵|a |＝2，且∠AOx ＝45°， ∴x ＝2cos 45°＝2，且y ＝2sin 45°＝ 2.又|b |＝3，∠xOB ＝90°＋30°＝120°，∴x 0＝3cos 120°＝－32，y 0＝3sin 120°＝332.故a ＝OA →＝(2，2)，b ＝OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332. 由于向量a →，b →的起点在坐标原点，因此只需求出终点A ，B 的坐标．方法归纳求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练1 如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.解析：由题意知，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)，同理OD →＝(－1,1)．答案：(1，－1) (1,1) (－1,1)结合图形可知OC →＝－OA →，由正方形的对称性可知B ，D 点坐标. 类型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A.(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)(2)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，3a,2a ＋3b 的坐标．【解析】 (1)方法一设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 方法二 AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A.(2)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．【答案】 (1)A (2)见解析方法一先求C 点坐标，再求BC →.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13. (2)OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．(1)OP →＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．(2)若四边形OABP 为平行四边形，则有OA →＝PB →.方法归纳向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．跟踪训练3 若保持本例条件不变，B 为线段AP 的中点，则t ＝______.解析：由OP →＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP →＝2AB →，B 为线段AP 的中点．答案：2由B 是AP 的中点，得AP →＝2AB →，求出t 的值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)解析：因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．答案：D 2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)解析：3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)解析：b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．答案：A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )； ②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)解析：设点D (m ，n )，则由题意知，(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72，故选A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.解析：由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)．答案：(1，－2)7．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)．答案：(23，6)8．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.解析：易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．解析：由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．10．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解析：(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎨⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .[能力提升](20分钟，40分)11．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若第三象限的点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－47D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－35 解析：方法一设P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，又AP →＝AB →＋λAC →＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由AP →＝AB →＋λAC →可得， (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4.因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5λ＋5＜0，7λ＋4＜0，解得λ＜－1.故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．方法二 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，所以P (5＋5λ，4＋7λ)，因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，所以λ＜－1.答案：A12．在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________．(只填序号)①OA →＝2i ＋3j ； ②OB →＝3i ＋4j ； ③AB →＝－5i ＋j ； ④BA →＝5i －j .解析：i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i ＋3j ，OB →＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →＝5i －j ，故①③④正确．答案：①③④13．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43， ∠xOA ＝60°，。

高中数学人教A版必修4导学案：2.3.1-平面向量基本定理--2.3.2-平面向量的正交分解和坐标表

分解和坐标表示（无答案）2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示●引入课题1.给定平面内任意两个向量1e 、2e ，作出向量1232+e e ，122-e e .2.将给定向量a 分解为与1e 、2e 平行的两个向量.问题1：比较分解后与1e 、2e 平行的两个向量是否唯一？问题2：a 是否可以用含有1e 、2e 的式子表示出来？问题3：式子中1e 、2e 的系数1λ、2λ是否唯一？●教材新知 1.平面向量基本定理如果1e 、2e 是一平面内的两个________的向量，那么该平面内的______向量a ，有且只有 ______实数1λ、2λ，使=a __________.________的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组______，记作{}12,e e . 【说明】（1）定理中，1e 、2e 是两个______的向量；（2）a 是平面内的_____向量，且实数对1λ、2λ是______的；（3）平面内_____两个______的向量都可以作为一组基底. （4）=a __________叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式. 问题：平面内任意两个向量能作为一组基底吗？平面内向量的基底唯一吗？分解和坐标表示（无答案） 2.已知两个非零向量a 和b ，作OA =u u u r a ，OB =u u u rb ，则AOB θ∠=()0180θ︒≤≤︒叫做向量a 与b 的______，记作,θ=a b .问题：如图，AB u u u r与BC u u u r 的夹角为ABC ∠，对吗？显然，当0θ=︒时，a 与b ______；当180θ=︒时，a 与b ______；当90θ=︒时，a 与b ______，记作______.3.如果基底的两个基向量1e ，2e ________，则称这个基底为正交基底. 把一个向量分解为两个________的向量，叫做正交分解，即在________ 下分解向量.4.向量的坐标在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向______的两个________i 、 j 作为基底.这时，就在坐标平面内建立了一个________{},i j ，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底.对于平面内的任一向量a ，有且只有_____实数x 、y ，使得x y =+a i j ，则有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作________，这个式子叫做向量的 __________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标.特别地，()______=，i ，()______=，j ，()______=0，. 5.设OA x y =+u u u r i j ，则向量OA u u u r的坐标______就是______的坐标；反过来，______的坐标______也就是向量OA u u u r的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一 __________唯一表示.6.向量()11,x y =a ，()22,x y =b ，则=⇔a b ________.7.平面向量的表示方法有________、________、________. ●题组集训（1）下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；② 一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不是基底中的向量.其中正确的说法是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③ （2）向量6=a i ，7=-b i 的夹角为（）A.0︒B.180︒C.90︒D.无法确定（3）若i 、j 为正交基底，设()()()2211x x x x x =++--+∈R a i j ，则向量a 对应的点位于（） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限（4）若向量()2,3x =-a 与向量()1,2y =+b 相等，则（）A.1,3x y ==B.3,1x y ==C.1,5x y ==-D.5,1x y ==- （5）设1e 、2e 是表示平面内所有向量的一组基底，则向量12λ=+a e e 与向量122=-+b e e 共线的条件是_____. ●课堂精讲【例1】如图，在梯形ABCD 中，AB ‖DC ，且2AB DC =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD =u u u r a ，AB =u u u rb ，试用a 、b 为基底表示向量BC u u u r 、EF u u u r.【变式训练】如图，1P 、2P 为直线l 上两个定点，P 为直线l 上一动点，O 为直线l 外任一点，试以1OP u u u r 、2OP u u u u r为基底表示向量OP u u u r.结论：A ，B ，C 三点共线OA mOB nOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r，其中m ，n 为任意非零实数，且___m n +=.特别地，当12m n ==时，点A 为线段BC 的______. 【例2】（1）a ，b 为非零向量，且==-a b a b ，求a 与+a b 的夹角θ. （2）已知向量a ，b 的夹角为60︒，试求下列向量的夹角： ①-a ，b ； ②2a ，23b .【变式训练】（1）若非零向量a 与b 满足()()+⊥-a b a b ，则a 与b 的大小关系为________. （2）已知1=a ，2=b ，且-a b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.【例3】已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，43OA =u u u r，60xOA ∠=︒，求向量OA u u u r 的坐标.【变式训练】已知i ，j 是与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量，23AB =-+u u u r i j ，54BC =-u u u ri j ，求向量AC u u u r的坐标.●课后反馈（1）设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD u u u r 与AB u u u r ；②DA u u u r与BC u u u r ；③CA u u u r 与DC u u u r ；④OD u u u r 与OB u u u r，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是（）A.①②B.①③C.①④D.③④（2）若G 是ABC ∆的重心，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r（）A.6GD u u u rB.6GD -u u u rC.6GE -u u u rD.0 （3）已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足()()1212342363x y x y -+-=+e e e e ，则x y -=（） A.3 B.3- C.0 D.2（4）设a 、b 是两个不共线向量，1AB λ=+u u u ra b ，()212,AC λλλ=+∈R u u u r a b ，则能得出A 、B 、C 三点共线的是（）A.121λλ==-B.121λλ==C.121λλ=-D.121λλ= （5）已知向量1≠0e ，2≠0e ，λ∈R ，12λ=+a e e ，12=b e ，若a 与b 共线，则下列关系中一定成立的是（）A.0λ=B.2=0eC.1e ‖2eD.1e ‖2e 或0λ= （6）已知122=+a e e ，1232=-b e e ，则3-a b 为（）A.24eB.14eC.1236+e eD.28e （7）如图，点P 在AOB ∠的对角区域MON 的阴影内，且满足OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，则实数对(),x y 可以是（）A.11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,42⎛⎫⎪⎝⎭C.21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.32,45⎛⎫- ⎪⎝⎭（8）已知向量a 、b 满足=a b ，且a 与b 的夹角为60︒，则 +a b 与a 的夹角是______. -a b 与b 的夹角是______.（9）已知()21,2x y x y =-++-a ，()2,2=-b ，当=a b 时，x =_____，y =_____. （10）1e ，2e 是两个不共线的向量，且122AB k =+u u u re e ，123CB =+u u u re e ，122CD =-u u u re e ，若A 、 B 、D 三点共线，则k 的值为_____.（11）如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点 M 、N ，若AB mAM =u u u r u u u u r， AC nAN =u u u r u u u r，则m n +的值为______.（12）如图，设P 、Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点，BC =u u u r a ，DA =u u u rb ，试用基底a ，b 表示PQ u u u r .（13）设1e 、2e 为两个不共线的向量，123=-+a e e ，1242=+b e e ，12312=-+c e e ，试以b 、 c 为基底表示向量a .（14）设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知+a b 和c 共线，且+b c 和a 共线，试问b 与+a c 是否共线？证明你的结论.（15）如图所示，平面内有三个向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r ，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120︒，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为30︒，且1OA OB ==u u u r u u u r ，23OC =u u u r，若(),OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，求λμ+的值.。

人教版高中数学必修4学案 2.3.2平面向量的正交分解、坐标表示

第二章平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算1．理解向量的坐标表示．2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量的坐标运算．基础梳理一、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做向量的正交分解．2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj．这样平面内的任一向量a都可由x、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．3．几个特殊向量的坐标表示． i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0)．4．以原点O 为起点作向量OA→，设OA →＝x i ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )，就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )也就是向量OA →的坐标．思考应用1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标．二、向量的坐标运算1．两个向量和差的坐标运算．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．2．数乘向量的坐标运算．若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )． 3．向量AB→的坐标表示．若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．思考应用2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量AB→经过平移以后得到向量CD →，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关．自测自评1．若O (0，0)，A (－1，3)且OB→＝3 OA →，则点B 的坐标为(B ) A ．(3，9) B ．(－3，9) C ．(－3，3) D ．(3，－3)解析：OB →＝3 OA →＝3(－1，3)＝(－3，9)，所以点B 的坐标为(－3，9)．故选B.2．已知MA →＝⎝⎛⎭⎫－2，4，MB →＝⎝⎛⎭⎫2，6，则12AB →＝(D ) A ．(0，5) B ．(0，1) C ．(2，5) D ．(2，1)3．已知A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，C ⎝⎛⎭⎪⎫－12，23，则(D )A.AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，13B.BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13C.CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，23D.AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13解析：AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，BC →＝(－1，1)，CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－23，AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13.故选D4．若点A ⎝⎛⎭⎫－2，1，B (1，3)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫－3，－2．基础提升1．若AB→＝()2，3，且点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为(C ) A ．(1，1) B.()－1，1 C.()3，5 D.()4，42．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC 等于(A )A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC→＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A.3．若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于(B ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 4.设a ＝(4，－3)，b ＝(x ，5)，c ＝(－1，y )，若a ＋b ＝c ，则(x ，y )＝________．解析：∵a ＋b ＝c ，∴(4＋x ，2)＝(－1，y )，∴⎩⎨⎧4＋x ＝－1，2＝y ，即⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝2，∴(x ，y )＝ (－5，2)．答案：(－5，2)5．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π2得到向量b ，则b 的坐标为________．答案：(－1，3)6．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC →等于(A)A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC →＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A. 巩固提高7．作用于原点的两个力F 1＝()2，2，F 2＝()1，3，为使它们平衡，需加力F 3＝________．答案：()－3，－58．已知A ()2，3，B ()4，－3，点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，求点P 的坐标．解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，得⎝⎛⎭⎫x －2，y －3＝32⎝⎛⎭⎫x －4，y ＋3，即⎩⎨⎧2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫8，－15.9．已知A (－2，1)，B (1，7)，求线段AB 的三等分点P ，Q 的坐标(其中P 距点A 近)．解析：设P (x ，y )，∵P 为AB 的三等分点， ∴AP→＝13AB →，即(x ＋2，y －1)＝13(3，6)． ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2，⇒⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3.∴P (－1，3)同理可求Q (0，5)．10．在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF [已知若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2)]．证明：建立如下图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0， a )．设|DP →|＝λ(0＜λ＜2a )，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ，因为|EF→|2＝λ2－2a λ＋a 2， |PA→|2＝λ2－2a λ＋a 2，所以|EF→|＝|PA →|，即EF ＝PA . 11．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试求t 为何值时：(1)点P 在x 轴？ (2)点P 在y 轴？ (3)点P 在第一象限？解析：∵OP→＝(1＋3t ，3t ＋2)，∴P (1＋3t ，3t ＋2)． (1)若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；(2)若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；(3)若点P 在第一象限上，则⎩⎨⎧1＋3t >0，2＋3t >0，t >－13.1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟悉的数量运算．3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐标．4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点，终点在该点的向量坐标．。

人教版高中数学必修四《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》

b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算
性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
答案
梳理
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
平面向量的基本定理
把一个向量分解为两个互相垂直量，叫做把向量正交分解.
的向
知识点一
平面向量的正交分解
思考如果向量 a与b的夹角是 90°，则称向量 a与b垂直，记作 a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一
有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，
我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
思考2
在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1 ， 1) ，则 A 点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？
题型探究
类型一平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45° ，
→ → ∠OAB＝105° ，OA＝a，AB＝b. 四边形 OABC 为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；

高中数学必修四教案：2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

图3
活动 :如图 3,在平面直角坐标系中 ,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、 j 作为基底 .对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知 ,有且只有一对实数 x、 y,使得
a=x ｉ +yj
①
这样 ,平面内的任一向量 a 都可由 x、 y 唯一确定 ,我们把有序数对 (x,y) 叫做向量 a 的坐标 ,记
关于向量的夹角 ,我们规定 :
图2
已知两个非零向量 a 和 b( 如图 2),作 OA =a, OB =b,则∠ AOB=θ (0 °≤θ≤ 叫18做0向°量） a
与 b 的夹角 . 显然 ,当 θ =0时°,a 与 b 同向 ;当 θ =180时°,a 与 b 反向 .因此 ,两非零向量的夹角在区间
示平面上任意向量的分解 ,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么
样的结论？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
图1
①给定平面内任意两个不共线的非零向量
e1、 e2,请你作出向量 3e1+2e2、 e1-2e2.平面内
的任一向量是否都可以用形如 λ1e1+λ2e2 的向量表示呢 ?
②如图 1,设 e1、 e2 是同一平面内两个不共线的向量 ,a 是这一平面内的任一向量 ,我们通
过作图研究 a 与 e1、 e2 之间的关系 .
活动 :如图 1,在平面内任取一点 O,作 OA =e1, OB =e2, OC =a.过点 C 作平行于直线 OB 的
直线 ,与直线 OA; 过点 C 作平行于直线 OA 的直线 ,与直线 OB 交于点 N. 由向量的线性运算性
质可知 ,存在实数 λ1、 λ2,使得 OM =λ1e1, ON =λ2e2.由于 OC OM ON ,所以 a=λ1e1+λ2e2.

人教新课标A版高一数学《必修4》2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

典型例题
例 1 a＝(x＋3y，2x＋y＋2)，b＝(y－2x＋1，3x－y＋7)，若 a＝b，求实数 x，y 的值．
x＋3y＝y－2x＋1，解：由题意，可列方程组 2x＋y＋2＝3x－y＋7. 3x＋2y＝1， x＝－1，整理得解得 x－2y＝－5， y＝2.
跟踪训练 1 以下命题： ①点 A 的坐标即为向量 OA的坐标； ②向量的坐标与向量所在位置无关； ③两向量起点与终点都不相同，所以两向量不相等； ④向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标．其中正确命题的序号为________．
解析 ①②正确； ③中向量坐标与位置无关，故有可能是相等向量； ④中应为终点坐标减去始点坐标．
答案
①②
例 2 已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30° 角．求点 B、点 D、 AB 、 AD 的坐标．
解：由题知点 B、D 分别是 30° ，120° 角的终边与单位圆的交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)． 3 1 由三角函数的定义，得 x1＝cos 30° ＝，y1＝sin 30° ＝， 2 2
∴B
3 1 ， . 2 2
1 3 x2＝cos 120° ＝－2，y2＝sin 120° ＝2，
1 ∴D －2， ∴ AB ＝
3 . 2
1 3 1 3 ，＝ . AD ，－， 2 2 2 2
跟踪训练 2 已知点 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， | OA |＝4 3，∠xOA＝60° ，求向量OA 的坐标.
解：设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60° ＝2 3，y＝4 3sin 60° ＝6，即 A(2 3，6)，OA ＝(2 3，6)．

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案_001

2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及运算教学目的：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算。

教学重点：向量的坐标表示及坐标运算。

教学难点：坐标表示及运算意义的理解。

教学过程一、复习提问 1．复习向量相等的概念相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。

2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e 其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

二、新课1、正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力 F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。

由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量 a =λ11e +λ22e把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2、平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , 作基底，则平面内作一向量a =x i +y ，O B C A xy a记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。

＝（1,0），＝（0,1），＝（0,0）例2、如图，分别用基底, 表示向量、、、，并求出它们的坐标。

解：由图可知：21AA +=＝2＋3 所以，＝（2,3）同理，有：＝－2＋3＝（－2,3）＝－2－3＝（－2,－3）＝2－3＝（2,－3）3、平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a -b 的坐标（2）已知a (x, y)和实数λ, 求λa 的坐标解：a +b =(x 1i +y 1j )+( x 2i +y 2j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即：a +b =(x 1+ x 2, y 1+y 2)同理：a -b =(x 1- x 2, y 1-y 2)，。

高中数学必修四第二章平面向量 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

123
【做一做2】已知基向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m的坐标是
()
A.(4,1)
B.(-4,1)
C.(4,-1) D.(-4,-1)
答案:C
123
3.向量与坐标的关系设�� = ��i+yj,则向量��的坐标 ��, �� 就是终点��的坐标;
123
2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在 x轴上的坐标,y叫做向量a在 y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学必修四
第二章平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
教学目标
1.借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义. 2.了解向量与坐标的关系,会求给定向量的坐标.
教学目标
123
1.平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂-直的向量,叫做平面向量的正交分解.
【做一做 1】如图,在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,下列是正交分解的是( )
a=(x,y). (3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终
点的坐标相同.
典型例题
题型一题型二
题型一
求向量的坐标
【例 1】如图,已知点 M(1,2),N(5,4),试求��的坐标.

高中数学必修四2-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示_2-3-3 平面向量的坐标运算课件

解 (1)2a＋3b＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a－13b＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).
3，
即 b＝－32，32
3．
(2)B→A＝－A→B＝32，－32
3．
(3)O→B＝O→A＋A→B＝(2 2，2 2)＋(－32，32 3)
＝2 2－32，2 2＋32 3．
∴点 B 的坐标为(2 2－32，2 2＋323)．
规律方法求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
则 OM＝OA·cos 45°＝4× 22＝2 2，
AM＝OA·sin 45°＝4× 22＝2 2， ∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又 OC＝AB＝3．
∴C－32，32
3，∴A→B＝O→C＝－32，32
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 (重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．
知识点1 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个
_互__相__垂__直___ 的向量． 2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同
的两个_单__位__向__量___ i，j作为__基__底____ ．

高中数学 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示导学案新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学

第二章 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示【学习目标】掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握向量的坐标运算.【学习重点】向量的坐标运算【知识链接】平面向量的基本定理【基础知识】1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y 轴作一个向方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=……○1 我们把),(y x 叫做，记作),(y x a =……○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做与．a 相等的向量的坐．．．．．．．标也为．．．),(y x .特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，（1）设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a += ，同理可得b a -= .结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即=a λ .结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3）若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= .结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.【例题讲解】例1已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ， 3a +4b 的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例3已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.【达标检测】1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ，求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD 是梯形.4.在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则OA =_______________，OB =__________________。

广东省江门一中人教版高中数学必修四导学案 19平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示，2.3.3平面向量的坐标运算一、学习目标：1.理解并掌握向量的正交分解．2．理解并掌握向量的坐标表示．二、课前导学：(一)基础梳理：1．如果e 1、e 2是同一个平面内的两个_______的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中不共线向量e 1、e 2称为这个平面的一组_____答案：不共线；基底答案：(1,2)．（二）预习1．向量的正交分解把一个向量分解为__________________的向量，叫做把向量正交分解．2．向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝xi ＋yj ，我们把有序数对________叫做向量a 的坐标，记作a ＝________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．答案：1、两个互相垂直；2、(x ，y )；(x ，y )。

3．平面向量的坐标运算已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ＋b ＝_________________，a －b ＝___________________即两个向量和、差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和、差．2.如图边长为1的两个正方形拼接为矩形ABCD ，AD →＝e 1，AM →＝e 2，AC →＝λ1e 1＋λ2e 2，则数对(λ1，λ2)为_______(2)λa ＝____________(λ∈R)．即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．答案：（1）(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；(x 1－x 2，y 1－y 2)．（2）(λx 1，λy 1)答案：(x 1，y 1)；(x 2，y 2)；(x 2－x 1，y 2－y 1)．1．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么P 点(x 2－x 1，y 2－y 1)如何作出？（三）自测：1．A (1,3)，B (2,1)，则BA →的坐标是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(1，－2)D ．(－2,1)(3)若A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，O 为坐标原点，则OA →＝_______，OB →＝_______，AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝______________________即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．提示： A B →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，把AB →平移至A 与O 点重合，得向量OP →，则OP →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴P (x 2－x 1，y 2－y 1)．2．设A (2,1)，B (－1,0)，O (0,0)，将向量OA →的起点O 移到B 点，OA →的坐标为多少？提示：平移向量是相等向量，OA →坐标仍为(2,1)．解析：选A.BA →＝(1,3)－(2,1)＝(－1,2)．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D.12(1,1)－32(1，－1)＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)． 3．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 、BD 相交于O 点，则CO →＝( )A ．(－12，5) B ．(－12，－5) C ．(12，－5) D ．(12，5) 解析：选B.∵CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12×(－2,3)－12×(3,7)＝(－12，－5)，∴选B. 4．若a ＋b ＝(－3，－4)，a －b ＝(5,2)，则向量a ＝________，向量b ＝________.解析：a ＋b ＝(－3，－4)，①a －b ＝(5,2)．②①＋②，得a ＝12×[(－3，－4)＋(5,2)]＝(1，－1)； ①－②，得b ＝12×[(－3，－4)－(5,2)]＝(－4，－3)．答案：(1，－1) (－4，－3)三、合作探究：在平面直角坐标系内，每一个向量都可以用一个有序实数对表示，即坐标可以把向量的起点平移到坐标原点，看其终点坐标即可，也可以把一个向量分解到两个轴上，看其对应的实数对．探究一、向量的正交分解例1：在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．【思路分析】本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式．探究二、平面向量的坐标运算平面向量用坐标形式表示，向量的运算就能转化为代数形式的运算．例2、【解】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos120°＝3×(－12)＝－32， b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×(－12)＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝(－32，332)，c ＝(23，－2)．【思维总结】(1)向量的坐标就是向量在x 轴和y 轴上的分量，而与向量的位置无关，如图AB →的坐标为(B 2－A 2，B 1－A 1)．(2)利用任意角的三角函数定义，若a ＝(a 1，a 2)，a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝|a |cos θ，a 2＝|a |sin θ. 解：设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．变式1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， | O A → | ＝ 4 3 ， ∠ x OA ＝ 60° ，求向量 OA→ 的坐标． (1)已知平面上三个点A (4,6)、B (7,5)、C (1,8)，求AB →、AC →、AB →＋AC →、AB →－AC →、2 AB →＋12AC →； (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a－b,3a －4b 的坐标．(2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)； a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)； 3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．【误区警示】用点的坐标求向量坐标时，本题易出现颠倒顺序的错误．变式2、小结：*探究三、向量坐标运算的综合应用给出了向量的另一种表示——坐标表示式，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．例3、已知平面上三个点的坐标分别为A (3,7)，B (4，6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．【思路分析】 A 、B 、C 、D 四个点能构成平行四边形的情况有三种：四边形ABCD 为平行四边形，四边形ABDC 为平行四边形，四边形ADBC 为平行四边形．【思维总结】向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形是代数运算法则的直观含义，坐标【思路分析】 (1)先计算出AB →，AC →，再进行向量的线性运算． (2)直接利用向量的坐标运算．【解】 (1)∵A (4,6)、B (7,5)、C (1,8)．∴AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；2 AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2) ＝(6，－2)＋(－32，1)＝(92，－1)．【解】设点D 的坐标为(x ，y )．(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知，D 点可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．方法技巧1．向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，即基底i ，j 垂直的情况．单位正交基底坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，零向量坐标0＝(0,0)．如例12．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．如例2失误防范1．点的坐标与向量坐标的联系与区别(1)表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连结，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)意义不同，点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．2．已知两点坐标求向量的坐标时，一定要注意是用终点坐标减去起点坐标，同时要加强向量坐标与该向量起点，终点的关系的理解，以及坐标运算的灵活运用，向量的坐标运算可转化为实数的运算．四、课堂小结五、课外作业1．下列各式中正确的是( )A ．a ＝(－2,4)，b ＝(5,2)，则a ＋b ＝(3,6)B ．a ＝(5,2)，b ＝(2,4)，则a －b ＝(－3,2)C ．a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则a ＋b ＝(0,1)D ．a ＝(1,1)，b ＝(1,2)，则2a ＋3b ＝(4,8)解析：选A.由向量坐标运算公式，易知A 是正确的．2．若P (x 1，y 1)，向量PQ →＝(x 2，y 2)，则点Q 的坐标为( )A ．(x 1－x 2，y 1－y 2)B ．(x 2－x 1，y 2－y 1)C ．(x 1＋x 2，y 1＋y 2)D ．(x 1－x 2，y 1＋y 2)解析：选C.OQ →＝OP →＋PQ →＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，故选C.3．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，则DA →等于( )A ．(x ＋4,2－y )B ．(x －4,2－y )C ．(x －4，y －2)D ．(－4－x ，－y ＋2)解析：选D.∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6＋x －2,1＋y －3)，∴DA →＝－AD →＝(－x －4，－y ＋2)．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1,5)或(5,5)B ．(1,5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D.设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ，(1)若▱ABCD ，则AB →＝DC →，∴D (－3，－5)；(2)若▱ACDB ，则AC →＝BD →，∴D (5，－5)；(3)若▱ACBD ，则AC →＝DB →，∴D (1,5)．综上所述：则D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5、作用于原点O 的三个力F 1、F 2、F 3平衡．若F 1＝(23，2)，F 2＝(－23，4)，则F 3＝__________. 解析：由于三力平衡，则F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－F 1－F 2＝－(23，2)－(－23，4)＝(0，－6)．答案：(0，－6)6、已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，则以e 1，e 2为基底，将a 分解为λ1e 1＋λ2e 2的形式为a ＝__________.解析：设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧ λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2. 答案：17e 1＋47e 2 7．已知两点M (3，－2)和N (－5，－1)，点P 满足MP →＝12M N →，求点P 的坐标．解：由已知两点M (3，－2)和N (－5，－1)，可得12M N →＝12(－5－3，－1＋2)，即12M N →＝(－4，12)．设点P 的坐标是(x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．由已知MP →＝12MN →，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.所以点P 的坐标是(－1，－32)． *8．正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，证明：EF ＝PA .证明：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为1，|DF →|＝a ，则F (a,0)，P (a ，a )，A (0,1)，E (1，a )，∴EF →＝(a －1，－a )，PA →＝(－a,1－a )，∴|EF →|＝ (a －1)2＋(－a )2，|PA →|＝ (－a )2＋(1－a )2， ∴|EF →|＝|PA →|.∴EF ＝PA .4．若a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A.32a －12bB.12a －32b C ．－12a ＋32b D ．－12a ＋12b 解析：选B.设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则(－1,2)＝(m ，m )＋(n ，－n )＝(m ＋n ，m －n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝－1，m －n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝12，n ＝－32.9、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .解：四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝6a ＋4b －4c ＋d ＝0，∴d ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．7、已知P 1(2，－1)，P 2(0,5)，点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|，则P 点坐标为__________．解析：设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－x,5－y )，因为点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|，所以P 1P →＝2 PP 2→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－2x y ＋1＝2(5－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝3， ∴P (23，3)．答案：(23，3)。

高中数学 (2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)教案新人教A版必修4

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。